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MSG-Hausaufgaben Serie 27 Abgabe: 27.05.2015
Lucas Mann
Aufgabe 1. a) Kein Mensch hat mehr als 300.000 Haare auf dem Kopf. In der Hauptstadt von Sikinia gibt es 300.001 Einwohner. Kannst du mit Sicherheit sagen, dass zwei Einwohenr dieser Stadt die gleiche Anzahl an Haaren auf dem Kopf haben? b) In einer Schublade liegen 60 Socken, die sich nur durch ihre Farbe unterscheiden. 10 Paare sind rot, 10 Paare sind schwarz, 10 Paare sind gelb. Wie viele Socken muss man im verdunkelten Zimmer aus der Schublade ziehen, um sicher ein Paar gleicher Farbe zu bekommen? Aufgabe 2. 100 Personen treffen sich in einem Raum. Jeder schüttelt mit jedem anderen die Hände. Zeige, dass es während dieser Begrüßungszeremonie zu jedem Zeitpunkt zwei Personen gibt, die die gleiche Anzahl von Händen geschüttelt haben. Aufgabe 3. Schwer: Gegeben seien 14 Punkte und je zwei Punkte sind durch genau eine Kante miteinander verbunden. Nun wird jede Kante in rot oder blau gefärbt. Zeige, dass es dann vier Punkte gibt, sodass alle Kanten zwischen diesen vier Punkten die gleiche Farbe haben. Tipp: Gehe so ähnlich vor wie bei 6 Punkten und einem Dreieck statt Viereck. Wähle also einen beliebigen Punkt x aus. Wie viele Kanten, die von diesem Punkt ausgehen, haben auf jeden Fall die gleiche Farbe? Betrachte die von x verschiedenen Endpunkte dieser Kanten. Wähle unter diesen Endpunkten einen neuen Punkt y. Nun untersuche die Kanten, die von y ausgehen.
Zusatz Aufgabe 4. Es werden drei natürliche Zahlen gesucht, die folgende zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen: (1) Die Summe der drei Zahlen beträgt 945. (2) Ein Sechstel der ersten Zahl ist gleich einem Siebentel der zweiten Zahl und auch gleich einem Achtel der dritten Zahl. Untersuche, ob es derartige Zahlen gibt! Ist dies der Fall, dann ermittle alle Lösungen! Zeige auch, dass die von dir gefundenen Ergebnisse tatsächlich die genannten Bedingungen erfüllen! Aufgabe 5. Gegeben sei ein fairer Würfel, also einer, bei dem jedes der sechs möglichen Ergebnisse gleichwahrscheinlich ist. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man eine Sechs würfelt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man eine Primzahl würfelt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man zweimal hintereinander eine Primzahl würfelt?
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