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MW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase
17. Februar 2016
Musteraufgaben zum Mathematikwettbewerb der Einführungsphase 2016 am 17.02.2016 Hinweis: Beim Mathematikwettbewerb MW-E der Eingangsstufe werden Aufgaben zur Auswahl angeboten, wobei von acht Aufgaben fünf gewertet werden. Wurden mehr als fünf Aufgaben bearbeitet, so werden die Aufgaben mit den höchsten Punktzahlen berücksichtigt. Der Lösungsweg muss jeweils klar erkennbar sein. Die folgenden acht Aufgaben sollen einen Eindruck vermitteln, welche Kenntnisse und Fähigkeiten beim Wettbewerb erforderlich sind. Zugelassene Hilfsmittel sind Taschenrechner, Formelsammlung und Zeichengeräte (Zirkel, Lineal und Geodreieck). Die Lösungen zu den Musteraufgaben gibt es ab 1. Februar 2016 unter http://www.z-f-m.de im Bereich Projekte – MW-E.
1. Gegeben ist das Dreieck ABO mit A(12|8) , B(0|8) und O(0|0.) Gesucht ist ein Punkt P(a|b) innerhalb des Dreiecks, so dass die Dreiecke OAP , ABP und OPB flächengleich sind. a) Zeichnen Sie das Dreieck in ein Koordinatensystem und berechnen Sie die Koordinaten von P . b) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Seitenhalbierenden im Dreieck ABO . 2. Wenn die Zehnerziffer einer 3-stelligen Zahl abc gestrichen wird, entsteht die 2-stellige Zahl ac . Für welche Zahlen abc gilt abc=9⋅ac +6⋅c ? Beispiel: 615=9⋅65+ 6⋅5. 3. Zwei kleine Quadrate mit Seitenlänge a und ein größeres Quadrat sind einem Kreis einbeschrieben (vgl. Abb.) . s
Berechnen Sie die Seite s des größeren Quadrates in Abhängigkeit von a .
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Dieser Wettbewerb wird veranstaltet von:
in Kooperation mit: Hessisches Kultusministerium
unterstützt durch Sparda-Bank Hessen eG
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4. Die Kosten für den Treibstoff eines Zuges sind proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit des Zuges, und zwar sind dies 900€ pro Stunde bei 30 km . h Die anderen Kosten betragen 400€ pro Stunde. Bei welcher Geschwindigkeit v auf einer 225 km langen Strecke sind die Gesamtkosten g(v) am geringsten?
5. Bei einem Würfel sind auf den Mittellinien gegenüberliegender Flächen parallele, gleichlange Strecken eingezeichnet (vgl. Abb.). Die Länge der Strecken ist kleiner als die der Würfelkanten. Jeder Endpunkt einer Strecke wird mit den nächstgelegenen Endpunkten der Strecken auf benachbarten Würfelflächen verbunden, zum Beispiel
a) Wie viele der (gestrichelten) Verbindungsstrecken gehen von dem Endpunkt einer Strecke aus? b) Wie viele dieser (gestrichelten) Verbindungsstrecken gibt es insgesamt? c) Wie viele Dreiecke mit 2 oder 3 gestrichelten Seiten entstehen dabei?
6. Gegeben ist die Parabel y = x 2+ 4 x +2 und der Punkt P(−1|−5) . a) Zeichen Sie die Parabel und skizzieren Sie die beiden Tangenten durch P an die Parabel. b) Berechnen Sie die Koordinaten der Berührpunkte. Hinweis: Die Steigung der Parabel y = ax 2 +bx +c im Punkt P( x 0| y 0 ) ist 2 ax 0 +b .
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7. Gegeben ist die Folge 4, 7, 11, 18, 29, 47,… . a) Setzen Sie die Folge fort, indem Sie die nächsten 8 Folgenglieder berechnen. b) Zeigen Sie, dass jede 4. Zahl in der Folge durch 3 teilbar ist. c) Teilen Sie jedes Folgenglied durch 8 und bilden Sie die Folge der Reste, also 4, 7, 3, 2, 5,… . Setzen Sie diese Folge fort, bis sie periodisch wird. Wie lange ist die Periode?
8. a) Der Preis eines Buches wurde um 20 % reduziert. Um wie viel Prozent muss der reduzierte Preis erhöht werden, damit man wieder den ursprünglichen Preis erhält? b) Das Ehepaar Kuchenmüller hat keine Kinder aber mehrere Meerschweinchen. Das durchschnittliche Alter der Eheleute und dieser Haustiere ist 16. Der Ehemann ist 32 Jahre alt. Das mittlere Alter der Ehefrau und der Meerschweinchen ist 12. Wie viele Meerschweinchen hat das Ehepaar?
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