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Technische Universit¨at M¨ unchen Fakult¨at f¨ ur Physik
Blatt 3 SS 2005
Musterl¨ osung fu ¨ r Blatt 3 Prof. Dr. Katharina Krischer, PD Dr. A. Ulrich
1. Tr¨ agheitskraft im Aufzug Im Inertialsystem ist die von der Waage gemessenen Kraft die Gewichtskraft. F¨ ur g ≈ 10 sm2 ist diese F = 350 N. F¨ ur beschleunigte Bezugssysteme kommen Tr¨agheitskr¨afte zur Kraft F~ hinzu, die folgender Formel unterliegen. F~ 0 sei die Kraft, die im mit der Beschleunigung a beschleunigten Bezugssystem gemessen wird, also hier im Aufzug. Diese unterscheidet sich von der im Inertialsystem gemessenen Kraft um die Tr¨agheitskraft −m~a F~ 0 = F~ − m~a a) Hier wird die Kraft gr¨oßer, weil die Tr¨agheits- und die Gewichtskraft in dieselbe Richtung zeigen. F 0 = F + ma = 350 N + 35 · 2.5 N = 437.5 N Die Waage zeigt also 43.75 kg an. b) Hier gibt es keine Beschleunigung, weswegen die Waage unver¨andert 35 kg anzeigt. c) Hier gibt es wieder eine Beschleunigung, die nun allerdings der Gewichtskraft entgegengesetzt ist. Wir erhalten analog zu a) F 0 = F − ma = 350 N − 35 · 2.5 N = 262.5 N Damit zeigt die Waage ein Gewicht von 26.25 kg an. 2. Tr¨ agheitskraft bei der Rotation Ganz analog zum Radfahrer vom letzten Blatt muss die resultierende Kraft parallel zur Kette sein. Diese Kraft ist die Summe aus der Gewichtskraft FG und der Zentrifugalkraft FZ . Daraus folgt ω2r FZ = tan ϕ = FG g Wir setzen die Zahlenwerte aus der Angabe ein und erhalten ω = 1.10
1 s
3. Impulserhaltung a) Im Inertialsystem der beiden W¨agen ist die Anfangsgeschwindigkeit null. Daher gibt es keine kinetische Energie, sondern nur die potentielle Energie der Feder. Diese muss nach dem L¨osen der Kopplung in die kinetische Energie der W¨agen u ¨bergehen. 1 1 2 1 kx = m1 ve12 + m2 ve22 2 2 2
Die Tilde e stellt klar, dass es diese Geschwindigkeiten nur im Bezugssystem der beiden W¨agen gibt. Der Impuls zu Beginn ist ebenfalls null, weswegen aus der Impulserhaltung folgen muss 0 = m1 ve1 + m2 ve2
⇒
m1 ve1 = −m2 ve2
Nun haben wir zwei Gleichungen f¨ ur die zwei Unbekannten ve1 und ve2 , dessen L¨osung folgendermaßen aussieht s m2 kx2 · ve1 = − m1 m1 + m2 s m1 kx2 ve2 = · m2 m1 + m2 Nun m¨ ussen wir diese Geschwindigkeit noch in das a¨ußere System u ¨bertragen, indem wir diese Geschwindigkeiten mit v0 addieren. So erhalten wir s m2 kx2 v1 = v0 + ve1 = v0 − · m1 m1 + m2 s v2 = v0 + ve2 = v0 +
kx2 m1 · m2 m1 + m2
b) Da die Massen gleich sind, sind ve1 und ve2 betragsm¨aßig, also bis auf das Vorzeichen, gleich. Da v1 = 0 ist, folgt aus a) v1 = 0 = v0 + ve1
⇒
ve1 = −v0 = −1.00
m s
und damit ist ve2 = 1.00 m/s. Dann ist v2 v2 = v0 + ve2 = 2.00
m s
Wenn wir ve1 und ve2 in die Energiebilanz aus a) stecken, bekommen wir 1 2 1 1 kx = m1 ve12 + m2 ve22 = m1 ve12 = 500 J 2 2 2 was wir nach x aufl¨osen r
2 m1 ve12 = 0.16 m k Da die einzige Energie, die u ¨brig geblieben ist, die kinetische Energie des zweiten Wagens ist, muss der erste seine Energie auf diesen u ¨bertragen haben. x=
4. Dezentraler Stoß Als erstes ist es n¨ utzlich zu zeigen, dass die beiden Winkel sich zu 90◦ erg¨anzen. Dazu ben¨otigen wir wie in der obigen Aufgabe wieder sowohl die Energie, als auch die Impulserhaltung. Zuerst zur Energieerhaltung 1 2 1 2 1 2 mv = mv + mv 2 0 2 1 2 2
⇒
v02 = v12 + v22
nun die Impulserhaltung p~0 = p~1 + p~2 = m~v0 = m~v1 + m~v2
⇒
~v0 = ~v1 + ~v2
Die Impulserhaltung liefert uns ein Dreieck, das aus den Vektoren ~v0 , ~v1 und ~v2 besteht (siehe zweite Skizze in b)). Gleichzeitig gilt die Gleichung f¨ ur die Quadrate der jeweiligen Geschwindigkeitsbetr¨age, die wir aus der Energieerhaltung hergeleitet haben. Da diese nichts anderes ist als der Satz von Pythagoras, muss das Dreieck rechtwinklig sein. a) Wenn wir in der Skizze der Angabe vom Mittelpunkt der ersten Kugel das Lot auf die gestrichelte Linie f¨allen, bekommen wir ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Winkel am Mittelpunkt der zweiten Kugel α2 ist. Damit bekommen wir d ⇒ α2 = 37◦ 2r b) Man muss aus den drei Vektoren p~0 , p~1 und p~2 ein Dreieck bilden k¨onnen. Die Richtungen m¨ ussen so sein, dass p~1 + p~2 = p~0 sin α2 =
ist. Die Impulserhaltung l¨asst sich damit folgendermaßen darstellen
p1
p2
α1
α2
p0 Da die Massen der Kugeln gleich sind, kann man die Gleichung f¨ ur die Impulserhaltung durch Dividieren durch m sofort in eine Gleichung f¨ ur die Geschwindigkeiten u uhren. ¨berf¨
v1
v2
α1
α2
v0 c) Aus der Skizze folgt sofort v1 = v0 cos α1 = 6.0
cm s
und v2 = v0 cos α2 = 8.0
cm s
5. Rakete a) Die Raketengleichung, also die Bewegungsgleichung ist ma = uq − mg Diese Gleichung gilt f¨ ur alle Zeiten, wobei die Masse m, genauso wie die Beschleunigung a zeitabh¨angig ist. Beim Start hat die Rakete noch ihre vollst¨andige Masse m0 . Also bekommen wir uq m a0 = − g = 2.0 2 m0 s b) Zum Zeitpunkt t1 ist die Masse nur noch m1 = m0 − qt1 . Dies setzen wir in die Bewegungsgleichung ein. a1 =
uq m − g = 2.5 2 m0 − qt1 s
c) Die Schubkraft FS ist definiert als FS = uq = 3.0 MN d) Wir schreiben die Raketengleichung ma = uq − mg in die Form
dv m(t) · v˙ = m(t) · = uq − m(t)g dt uq ⇒ dv = − g dt m(t)
Die zeitliche Entwicklung der Masse ist m(t) = m0 − qt womit wir folgende Gleichung bekommen uq dv = − g dt m0 − qt die wir nun von der Zeit null bis zu einer beliebigen Zeit t0 integrieren. Links sind die Grenzen damit v(0) = 0 und v(t0 ): 0
v(t ) Z Zt0 dv = 0
uq − g dt m0 − qt
0
Wir l¨osen nach v(t0 ) auf
m0 − gt0 m0 − qt0 Diese Gleichung gilt nur, solange der Treibstoff verbrannt und damit ausgestoßen wird. Die Nutzlast wird sich unter dem Einfluss der Schwerkraft mit der Anfangsgeschwindigkeit, die die Rakete zu dem Zeitpunkt, an dem der Treibstoff aufgebraucht v(t0 ) = u ln
ist, hat, weiterbewegen. Wir ermitteln die Zeit tE , zu der die Beschleunigung beendet wird. m(tE ) = mN
⇒
tE = 225 s
Damit haben wir f¨ ur die Geschwindigkeit der Nutzlast zur Zeit tE v(tE ) = u ln
m m0 m m − gtE = 6907.8 2 − 2250 2 = 4657.8 2 m0 − qtE s s s
Nach diesem Zeitpunkt geht es wie beim senkrechten Wurf weiter v(t) = 4657.8
m − gt s2
So gesehen w¨ urde jede Rakete irgendwann wieder fallen. Der Grund, weshalb sie einen Orbit erreichen, ist, dass die Erdanziehung mit wachsender Entfernung zum Erdmittelpunkt schw¨acher und damit g kleiner wird.
¨ Ubungen: Dr. Friedrich R¨ opke, Christoph Reisinger (
[email protected]), Karsten K¨ uhn Forum: http://portal.mytum.de/foren/vorlesungen/veranstaltungen-ph/ph-ei/discussionboard view
