N= N1

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Analytische Geometrie 1. Ebenengleichungen a) Parameterform Gegeben seien drei Punkte A, B und C, die auf der Ebene liegen. Dann sieht die Parameterform der Ebenengleichung folgendermaßen aus: OAr⋅ ABs⋅ AC , oder x = x= OBr⋅ BAs⋅ BC , oder   x=OC r⋅CAs⋅ CB. Man setzt Werte für r und s ein und das Ergebnis ist ein Ortsvektor eines Punktes, der auf der Ebene liegt. b) Koordinatenform E: n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = d  n1 n  = n 2 der Normalenvektor der Ebene, der senkrecht auf dieser Dabei ist der Vektor n3 Ebene steht. Man setzt die Koordinaten eines beliebigen Punktes in die Gleichung ein und dieser liegt auf der Ebene, wenn sich dabei eine wahre Aussage ergibt. c) Normalenform E : x −  a ∗n =0 n ist der a der Ortsvektor eines Punktes der Ebene. Der Vektor  Dabei ist der Vektor  Normalenvektor der Ebene. Man setzt die Koordinaten eines beliebigen Punktes in die Gleichung ein und dieser liegt auf der Ebene, wenn sich dabei eine wahre Aussage ergibt. d) Hessesche Normalenform E: 1 ⋅ n∗x −d =0 ∣n∣ Dabei entspricht d dem als d bezeichneten Element in der Koordinatenform. Der Vektor n ist der Normalenvektor der Ebene. Man setzt die Koordinaten eines beliebigen  Punktes in die Gleichung ein und dieser liegt auf der Ebene, wenn sich dabei eine wahre Aussage ergibt. 2. Bestimmung des Normalenvektors und des Elementes d Der Normalenvektor ist derjenige, welcher auf der Ebene senkrecht steht. Den meisten Formen der Ebenengleichung lässt er sich direkt entnehmen. Wenn die Parameterform gegeben ist, so kann er durch das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bestimmt werden. Das Element d der Koordinatenform kann ausgerechnet werden durch das Skalarprodukt des Normalenvektors mit dem Ortsvektor des Aufpunktes. 3. Ausrechnung des Kreuzproduktes Das Kreuzprodukt zweier Vektoren kann mit Hilfe der „Gartenzaunmethode“ ausgerechnet werden: a1 b1 a 2 b3−a 3 b 2  = a2 b2 a3 b1−a1 b3 a3 b3 a 1 b2−a 2 b 1 a und b Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist ein Vektor, der auf den Vektoren  senkrecht steht.     4. Das Skalarprodukt Das Skalarprodukt zweier Vektoren wird folgendermaßen ausgerechnet:    a1 b1 ∗ a2 b 2 =a 1 b 1a 2 b2a 3 b 3 a3 b3 Das Ergebnis des Skalarproduktes ist eine reelle Zahl, kein Vektor. Diese Zahl besitzt eine a und  Verbindung zum Winkel zwischen den beiden Vektoren  b . 5. Winkel a) Winkel zwischen zwei Vektoren a und  b ∣ a ∗b∣ cos ∢ a , b= ∣ a∣⋅∣b∣ a bzw.  b) Winkel zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren  b cos ∢ g 1, g 2 = ∣ a∗ b∣ ∣ a∣⋅∣ b∣ c) Winkel zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren n1 bzw. n2 cos ∢ E 1, E 2= ∣n1∗n2∣ ∣ n 1∣⋅∣ n 2∣ n und einer Geraden mit d) Winkel zwischen einer Ebene mit Normalenvektor  a Richtungsvektor  sin ∢ E , g = ∣n∗a∣ ∣n∣⋅∣ a∣ 6. Abstände (Auswahl) a) Abstand zwischen zwei Punkten Um den Abstand zwischen zwei Punkten A und B zu bestimmen, bestimmt man den Betrag des Verbindungsvektors zwischen diesen Punkten: ∣ ∣ b1 −a 1 Abstand  A , B=∣ AB∣= b2 −a 2 = b 1−a 12 b 2−a 2 2b3−a3 2 b3 −a 3 b) Abstand eines Punktes A zu einer Ebene E. Zuerst ist der Normalenvektor und das Element d der Koordinatenform der Ebenengleichung zu bestimmen. Dann kann man den gesuchten Abstand bestimmen mit der Gleichung: Abstand  A , E= 1 ⋅∣n∗ a −d∣ ∣n∣ Dabei ist a der Ortsvektor des Punktes A, dessen Abstand von der Ebene E bestimmt n ist der Normalenvektor der Ebene. werden soll. Und  c) Abstand von zwei Ebenen zueinander. Bei Ebenen gibt es nur drei Möglichkeiten: (1) Sie sind identisch. (2) Sie schneiden sich. (3) Sie sind parallel zueinander. Im ersten Fall sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander und ein beliebiger Punkt der einen Ebene liegt in der anderen Ebene. Dann beträgt der Abstand 0. Im zweiten Fall sind die Normalenvektoren keine Vielfache voneinander und der Abstand beträgt 0. Im dritten Fall sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander und der Test, ob ein beliebiger Punkt der einen Ebene in der anderen liegt, führte zu einem negativen Resultat. In diesem Fall berechnet man nach Verfahren (6b) den Abstand des Punktes von der Ebene. Dieser ist zugleich der Abstand der Ebenen zueinander. d) Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene. Bei dieser Aufgabe gibt es drei Möglichkeiten: (1) Die Gerade liegt in der Ebene. Dann steht der Normalenvektor senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden und ein Punkt der Geraden liegt in der Ebene. Der Abstand ist 0. (2) Die Gerade und die Ebene schneiden sich. Dann steht der Normalenvektor nicht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden. Der Abstand ist 0. (3) Die Gerade verläuft parallel zur Ebene. Dann ist der Normalenvektor senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden und der Test, ob ein beliebiger Punkt der Geraden in der Ebene liegt, führte zu einem negativen Resultat. In diesem Fall berechnet man nach Verfahren (6b) den Abstand des Punktes von der Ebene. Dieser ist zugleich der Abstand der Ebene und der Geraden. 7. Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen Als Beispiel sei der Schnittpunkt S1 mit der ersten Koordinatenachse gewählt. Für den Punkt S1 gilt: S1 (a / 0 / 0) mit noch zu bestimmendem a. Entsprechend S2 (0 / a / 0) und S3 (0 / 0/ a). Damit sind zwei Koordinaten gegeben. Am besten setzt man diese Information in die Koordinatenform der Ebenengleichung ein: n 1 x 1n2 x 2n3 x 3=d n 1 an2 0n 3 0=d n1 a=d Da der Normalenvektor und d bekannt sind, kann die fehlende Koordinate des Schnittpunktes ausgerechnet werden. 8. Flächenberechnungen a) Parallelogramm Flächeninhalt=∣ AB AD∣ b) Dreieck 1 Flächeninhalt= ⋅∣ AB AC∣ 2 9. Schnittpunkte (Auswahl) a) Schnittpunkt einer Geraden und einer Ebene Wenn es sich bewerkstelligen lassen sollte, dann sollte man die Ebenengleichung in die Koordinatenform bringen. Dann kann der Schnittpunkt nämlich relativ einfach ausgerechnet werden: E :n1 x 1n2 x 2n3 x 3=d a1 b1 g : x = a 2 r⋅ b 2 a3 b3   Daraus folgt für den Schnittpunkt : n 1⋅a 1r⋅b 1n2⋅a 2r⋅b 2n3⋅a 3r⋅b3 =d Diese Gleichung löst man nach r auf. Das r setzt man dann in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt auszurechnen. Wenn man bei der Auflösung der Gleichung nach r eine wahre Aussage erhält (0=0) liegt die Gerade in der Ebene. Wenn man eine falsche Aussage erhält (0=1 z. B.) gibt es keinen Schnittpunkt. b) Schnittmenge zwischen zwei Ebenen In diesem Fall verfährt man genauso. Es wäre gut, wenn eine Gleichung in Parameterform und eine in Koordinatenform gegeben wäre. Der einzige Unterschied ist der, dass die Parameterform der Ebenengleichung zwei Parameter besitzt. Daher löst man die Gleichung am Ende nicht einfach nach r auf, sondern man drückt den einen Parameter durch den anderen aus. Damit kann in der Parameterform der Ebenengleichung ein Parameter durch den anderen ersetzt werden. Das Ergebnis ist die Gleichung der Schnittgeraden.