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¨ UBUNGSZETTEL 9 - LINEARE ALGEBRA II JENS FRANKE, FABIAN HEBESTREIT
Es sei erneut V ein orientierter, euklidischer Vektorraum der Dimension 3 mit Einheitssph¨are S und A, B, C ∈ S drei Punkte, die nicht auf einem gemeinsamen Großkreis liegen, also eine Basis von V bilden. Weiterhin sei d eine normierte, alternierende Trilinearform auf V , derart dass d(A, B, C) > 0. Es bezeichnen wieder a, b, c die Winkel zwischen (B, C), (A, C) bzw. (A, B), tA,B , tB,C , tA,C die Tangentialvektoren gem¨aß Aufgabe 3 von Zettel 8 und α, β, γ die Winkel zwischen (tA,B , tA,C ), (tB,A , tB,C ) bzw. (tCA , tCB ). Wir bezeichnen das bez¨ uglich d definierte Vektorprodukt auf V mit ×. Es hilft wahrscheinlich enorm, sich diese Situation einmal aufzumalen um den Definitionen geometrischen Inhalt zu geben! Aufgabe 1 (3 Punkte). Durch Anwendung von Aufgabe 3 von Zettel 8 auf die Formel cos α = htA,B , tA,C i leite man den Seitenkosinussatz cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α her! Durch zyklische Vertauschung der Eckpunkte A, B, und C ergeben sich die anderen Seitenkosinuss¨atze: cos b = cos a cos c + sin a sin c cos β cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ. Aufgabe 2 (2 Punkte). Es gilt A×B = sin(c)A×tA,B = sin(c)tB,A ×B. Das sp¨arische Dreieck mit den Ecken B×C A˜ = = B × tB,C = tC,B × C sin a ˜ = C × A = C × tC,A = tA,C × A B sin b A ×B C˜ = = A × tA,B = tB,A × B sin c Abgabetermin: 24.06. in der Vorlesung 1
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nennt man das Polarendreieck zu dem Ausgangsdreieck. Wir bezeich˜ γ˜ . nen die Seiten sowie Winkel dieses Dreieckes mit a ˜, ˜b, c˜ sowie α ˜ , β, F¨ ur eine geometrische Definition bed¨ urfen wir der folgenden Aufgabe. Aufgabe 3 (6 Punkte). Zeigen Sie: ˜ = |B| ˜ = |C| ˜ = 1. i) Es gilt |A| ˜ Ai, hB, ˜ Bi und hC, ˜ Ci sind positiv. ii) Die Skalarprodukte hA, ˜ ˜ ˜ iii) Es gilt d(A, B, C) > 0. Weiterhin zeige man, daß das Polarendreieck des Polarendreiecks gleich dem Ausgangsdreieck ist. Der Vektor A˜ steht also, weil zu B×C proportional, senkrecht auf der Ebene des Großkreisbogens S ∩ L(B, C) und liegt bzgl. dieser Ebene in demselben Halbraum wie A, was zusammen mit analogen Charakterisierungen der anderen Ecken gerade die u ¨bliche geometrische Definition des Polarendreiecks ist. Aufgabe 4 (2 Punkte). F¨ ur Vektoren u, v, w aus V mit hu, vi = hu, wi = 0 gilt hu × v, u × wi = |u|2 hv, wi Aufgabe 5 (3 Punkte). Durch Anwendung der vorigen Aufgabe auf A, tA,B und tA,C berechne man cos a ˜ und leite die Gleichung a ˜+α = π her! Durch Vertauschung der Ecken sowie Vertauschung von Polarendreieck und Ausgangsdreieck kommt insgesamt a+α ˜ = b + β˜ = c + γ˜ = a ˜ + α = ˜b + β = c˜ + γ = π. Durch Anwendung des Seitenkosinussatzes auf das Polarendreieck ergibt sich so der Winkelkosinussatz cos α = cos a sin β sin γ − cos β cos γ cos β = cos b sin α sin γ − cos α cos γ cos γ = cos c sin α sin β − cos α cos β Wegen cos a = 1 + O(a2 ) ergibt sich cos α = cos(π − β − γ) + O(a2 ), f¨ ur kleine Abmessungen des Dreieckes geht also der Winkelkosinussatz u ¨ber in den bekannten Satz u ¨ber die Innenwinkelsumme des ebenen Dreiecks. Aufgabe 6 (4 Punkte). Im sph¨arischen rechtwinkligen Dreieck mit einem rechten Winkel bei C (also γ = π2 ) gilt i) cos c = cos a · cos b. ii) sin c sin α = sin a.
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iii) tan c cos α = tan b. iv) sin b tan α = tan a. Auf Grund von cos c = 1 −
c2 2
+ O(c4 ) sowie
a2 + b 2 + O a4 + b 4 ) 2 geht der erste Punkt f¨ ur kleine Abmessungen asymptotisch in den Satz des Pythagoras u ¨ber. Zu den drei anderen Punkten gelten nat¨ urlich auch die Analoga f¨ ur die Winkelfunktionen von β. Weil die in den Quotienten auf der rechten Seite auftauchenden Winkelfunktionen tan und sin an der Stelle 0 den Funktionswert 0 und die Ableitung 1 haben, gehen diese Formeln f¨ ur kleine Abmessungen des Dreieckes asymptotisch u ¨ber in die planimetrischen Definition von Tangens, Sinus, Kosinus als Quotienten der Katheten bzw. der Katheten durch die Hypothenuse. cos a cos b = 1 −
