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Einführung in die Physik I Elektromagnetismus 1
O. von der Lühe und U. Landgraf
Elektrische Ladung •
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Elektrische Ladung bleibt in einem abgeschlossenen System erhalten Es gibt zwei Arten elektrischer Ladung – positive und negative Ladung – die sich in ihrer Wirkung neutralisieren können Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an Das Kraftgesetz für Ladungen ist das Coulombsche Gesetz Influenzkonstante ε0
Elektromagnetismus 1
+
-
+
+
-
-
+
r r F (r ) =
-
r q1 ⋅ q2 r ⋅ 2 4πε 0 r r 1
ε0 = 8.8542·10-12 [A s V-1 m-1]
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SI Einheiten •
Definition des Ampere [A]: „Das Ampere ist der konstante Strom, der eine Kraft von 2·10-7 [N] pro Längenmeter in zwei unendlich ausgedehnten, vernach-lässigbar dünnen Leitern im Vakuum mit einem Abstand von 1 m erzeugt.”
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Das Ampere als Einheit für den elektrischen Strom I ist eine SI-Grundeinheit
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Abgeleitete Einheiten: – Ladung Q: – Spannung U: – Feldstärke E:
I
I F
Coulomb [C] = [As] Volt [V] = [J C-1] [N C-1] = [V m-1]
Elektromagnetismus 1
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Elektrisches Feld •
Kräfte, die in Verbindung mit elektrischer Ladung auftreten: – ruhende Ladungen: Coulomb-Kräfte (Coulombsches Gesetz) – bewegte Ladungen: Lorentz-Kräfte, beinhalten Magnetfelder
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r F r E
Zunächst nur ruhende Ladungen (Elektrostatik) Elektrische Feldstärke: erfährt ein Körper mit einer Ladung Q eine Kraft F, so heißt E die elektrische Feldstärke „Feldlinien“: Tangenten bilden Feldvektoren Elektromagnetismus 1
r r F E= Q
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Elektrische Felder
Punktladung
Zwei ungleichnamige Ladungen gleicher Größe Elektromagnetismus 1
Zwei gleichnamige Ladungen gleicher Größe Gerthsen Physik
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Elektrischer Fluss •
Der elektrische Fluss Φ ist das Produkt aus elektrischer Feldstärke und vom Feld durchdrungener, gerichteter Fläche
r dA r E
r r dΦ = E ⋅ dA
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Einheit: [V m-1 m2] = [V m]
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Der Fluss durch eine beliebig gekrümmte Fläche A kann durch ein Integral berechnet werden
r r Φ = ∫∫ E ⋅ dA
Der Gesamtfluss Φ durch eine beliebige geschlossene Fläche ist proportional zur eingeschlossenen Ladung Q (Gauß‘scher Satz)
r r 1 Φ = ∫∫ E ⋅ dA = Q
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Elektromagnetismus 1
Fläche
ε0
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Spannung und Potential •
Bei Verschiebung einer Ladung Q um einen Weg dr muss die Arbeit dW aufgebracht werden
r dr
Q
r E r F
r r r r dW = − F ⋅ dr = − Q ⋅ E ⋅ dr
•
• •
Die Verschiebung längs eines Weges von r1 nach r2 ergibt die Arbeit
Die Größe U heißt Spannung Einheit: Volt [V] Elektromagnetismus 1
r r2
r r2
r r1
r r1
r r r r W12 = − ∫ F ⋅ dr = − Q ⋅ ∫ E ⋅ dr
r r2
U12
r r = − ∫ E ⋅ dr r r1
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Potentiale
Punktladung
Elektromagnetismus 1
Dipol
Gerthsen Physik
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Spannung und Potential •
Eine im elektrischen Feld bewegte Ladung Q gewinnt oder verliert potentielle Energie
Epot = W12 = Q ⋅ U12
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Ein (konservatives) elektrisches Feld hat ein eindeutiges Potential U(r)
r r U12 = U (r2 ) − U (r1 )
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Für das von einer Punktladung Q‘ erzeugte elektrische Feld ist das Potential
1 Q′ U (r ) = 4πε 0 r
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Das elektrische Feld berechnet sich aus dem Gradienten des Potentials
Elektromagnetismus 1
⎛ d dx ⎞ r r r r ⎟ r ⎜ E (r ) = − ∇U (r ) = − ⎜ d dy ⎟U (r ) ⎜ d dz ⎟ ⎠ ⎝ 9
Spannung und Potential •
In elektrischen Leitern können sich Ladungen beliebig bewegen
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Eine elektrische Ladung verteilt sich in einem Leiter gleichmäßig
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Innerhalb eines Leiters ist die elektrische Feldstärke Null
+
+
+ +
+
+
•
Die Oberflächen von Leitern sind daher Flächen konstanten Potentials (Äquipotentialflächen)
+
+
•
Im Inneren eines hohlen Leiters verschwindet die Feldstärke (Faraday‘scher Käfig)
+ +
Elektromagnetismus 1
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Kapazität •
Das Potential U und die Ladung Q eines elektrisch geladenen leitenden Körpers sind zueinander proportional
Q = C ⋅U
•
Die Proportionalitätskonstante C hängt von der Gestalt des Körpers ab – Kapazität
Q C= U
•
Einheit: Farad F (nach Faraday)
Elektromagnetismus 1
1 [F] =
1 [C] 1 [V ]
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Kapazität - Beispiele •
Kugelkondensator: Kapazität einer Kugel mit Radius R
C = 4πε 0 ⋅ R
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Plattenkondensator: Kapazität zweier Leiterplatten der Fläche A im Abstand d
C=
ε0 ⋅ A d
R
Q
Fläche A
d
-Q Fluss: A·E = Q/ε0 Potential: U = E·d = Q·d/(ε0·A)
Elektromagnetismus 1
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Dipole •
Dipol: Paar eng benachbarter, ungleichnamiger Ladungen
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Gesamtladung = 0
r r p = Q ⋅l
•
Dipolmoment
•
Ein Dipol hat in einem elektrischen Feld ein Drehmoment
r l
r r r T = p× E
Elektromagnetismus 1
Gerthsen Physik
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Dielektrika •
Materie in einem elektrischen Feld beeinflusst das Feld
+
+
– Eine geerdeter Leiter schirmt elektrische Felder ab – Ein Nichtleiter schirmt ein elektrisches Feld nicht ab
• •
++++++++++++
Isolierende Stoffe heißen Dielektrika Wenn Dielektrika den Raum zwischen zwei Leitern einnehmen
-
-
-
E0
- - - - - - - - - - - -
-
-
-
-
ED +
– verringern sie die Feldstärke – vergrößern die Kapazität
•
++++++++++++
+
+
+
+
+
+
- - - - - - - - - - - -
Dielektrizitätskonstante ε – dimensionslos
Elektromagnetismus 1
ε =
C CVakuum
A C = ε ⋅ε0 d
ED =
E0
ε
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Energiedichte des elektrischen Feldes •
Einem mit einer Ladung Q geladener Kondensator C fügt man eine weitere Ladung dq zu
++++++++++++
+
q
Q E - - - - - - - - - - - -
•
•
Dabei muss eine Arbeit dw geleistet werden Arbeit, die aufgebracht werden muss, um den Kondensator von 0 auf die Ladung Q aufzuladen – Elektrische Feldstärke im Kondensator E = U/d – Feldgefülltes Volumen: V = A·d
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Energiedichte des Feldes e Elektromagnetismus 1
dw = U ⋅ dq =
Q dq C
Q
q 1 Q2 1 = C ⋅ U 2 = Epot W = ∫ dq = C 2 C 2 0 Epot
e=
ε0 2 1 A 2 ε0 U 2 = ε0 U = A ⋅ d = E ⋅V 2 2 d 2 d 2
Epot V
=
ε0 2
E2 15
