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10.3
Numerische Berechnung der Fourier–Koeffizienten Numerische Quadratur
170
Kapitel 11:
Numerische Quadratur
Zu berechnen sei ein bestimmtes Integral I = I[f ] =
Zb
f (x) dx
a
¨ Berechnung uber ¨ Stammfunktion nicht moglich: Numerische Quadratur In[f ] =
n X
gif (xi)
Fehlerfunktion
Quadraturformel
i=0
1) Knoten xi ∈ [a, b],
i = 0, 1, . . . , n
2) Gewichte gi ,
i = 0, 1, . . . , n 171
11.1 Newton–Cotes Formeln Interpolationspolynom fur ¨ xi ∈ [a, b], In[f ] =
Zb
i = 0, 1, . . . , n und integriere
pn (x) dx
a
pn (x) =
n X
li(x)f (xi ),
li(x) =
i=0
n Y
x − xj x − xj j=0,j6=i i
Quadraturformel In[f ] =
Zb
pn (x) dx =
n X
gif (xi)
i=0
a
mit Gewichten gi =
Zb
li(x) dx
a
172
Trapezregel: ¨ Wahle n = 1, x0 = a und x1 = b. Damit gilt x−a x−b · f (a) + · f (b) a−b b−a Berechne die beiden Gewichte g0 und g1: p1(x) =
g0 =
Zb
g1 =
Zb
x−b b−a dx = a−b 2 a
x−a b−a dx = b−a 2 a
Daraus folgt die Trapezregel: I[f ] ≈ I1[f ] =
b−a (f (a) + f (b)) 2 173
Simpsonregel: b+a und x2 = b. Damit berechnet man die 2
¨ Wahle n = 2, x0 = a, x1 = Gewichte g0 =
Zb
l0(x) dx =
b−a 6
Zb
l1(x) dx =
2 (b − a) 3
Zb
l2(x) dx =
b−a 6
a
g1 =
a
g2 =
a
Daraus folgt die Simpsonregel: b+a b−a f (a) + 4f + f (b) I[f ] ≈ I2[f ] = 6 2
174
3/8–Regel: !
b−a b−a (b − a) I3[f ] = f (a) + 3f a + + 3f a + 2 + f (b) 8 3 3
!
Milne–Regel: b−a b−a b−a I4[f ] = 7f (a) + 32f a + + 12f a + 2 90 4 4
!
(b − a) + 7f (b) + 32f a + 3 4
!
Satz: Die Newton–Cotes–Formel In [f ] integriert Polynome vom Grad ≤ n exakt. 175
Zusammengesetzte Newton–Cotes–Formeln: ¨ Hohere Genauigkeit durch Unterteilung des Intervalls [a, b] ¨ Gegeben sei die aquidistante Unterteilung mit den Knoten b−a N Verwende auf jedem Teilintervall Quadraturformel der Ordnung n. xi = a + ih,
Beispiel:
i = 0, 1, . . . , N,
h=
Zusammengesetzte Trapezregel
T (h) =
NX −1 h
i=0 2
(f (xi) + f (xi+1 )
f (a) f (b) = h + f (a + h) + . . . + f (b − h) + 2 2
! 176
Beispiel:
Zusammengesetzte Simpsonregel
S(h) = =
NX −1 h
i=0 6
(f (xi) + 4f
xi + xi+1 2
!
+ f (xi+1)
h (f (a) + 4f (a + h/2) + 2f (a + h) + . . . 6 +2f (b − h) + 4f (b − h/2) + f (b))
¨ Quadraturfehler der (zunachst einfachen) Newton–Cotes Formeln: ¨ Abschatzung fur ¨ den Interpolationsfehler:
n Y 1 max |f (n+1)(ξ)| · (x − xi) |f (x) − pn(x)| ≤ (n + 1)! ξ∈[a,b] i=0
177
Daraus folgt: Zb Zb |f (x) − pn(x)| dx (f (x) − pn(x)) dx ≤ a a
Zb Y n (x − xi) dx i=0
1 max |f (n+1)(ξ)| ≤ (n + 1)! ξ∈[a,b] a
Beispiel:
Trapezregel
Zb Y Zb 1 (b − a)3 (x − x ) dx = (x − a)(b − x) dx = i 6 a i=0 a
Wir erhalten also:
Zb (b − a)3 f (x) dx − I1 [f ] ≤ max |f (2)(ξ)| 12 ξ∈[a,b] a
178
Tabelle der Integrationsfehler: Trapezregel:
(b − a)3 · kf (2)k∞ 12
Simpsonregel:
(b − a)5 · kf (4)k∞ 2880
3/8–Regel:
(b − a)5 · kf (4)k∞ 6480
Milneregel:
(b − a)7 · kf (6)k∞ 967680
Bemerkung: ¨ Man beachte die vergleichsweise hohere Genauigkeit der Simpson– und Milneregel (n gerade!): n = 1 : (b−a)3 , n = 2 : (b−a)4→5 , n = 3 : (b−a)5, n = 4 : (b−a)6→7 179
¨ Fehlerabschatzungen bei zusammengesetzten Newton–Cotes Formeln Beispiel: Es gilt:
Zb h2 (b − a)kf (2) k∞ f (x) dx − T (h) ≤ 12 a
Beweis:
Zusammengesetzte Trapezregel
x j+1 Z n−1 X j f (x) dx − I1 [f ] j xj xj+1 Z n−1 X j f (x) dx − I1[f ] j xj
x j+1 Z n−1 X j f (x) dx − I1 [f ] j xj x j+1 Z n−1 X j f (x) dx − I1[f ] j xj
f (x) dx − T (h) = a
Zb
≤
180
Beweis:
f (x) dx − T (h) = a
Zb
≤
≤
n−1 X (xj+1 − xj j
12
kf (2)k∞
≤
n 3 (2) h kf k∞ 12
=
h2 (b − a) kf (2)k∞ 12 181
Beispiel: Es gilt:
Satz:
Zusammengesetzte Simpsonregel
h4 f (x) dx − S(h) ≤ (b − a)kf (4) k∞ 2880 a
Zb
(Konvergenz)
Die Funktion f : [a, b] → R sei hinreichend oft stetig differenzierbar. Dann konvergieren die zusammengesetzten Newton–Cotes Formeln im Grenzwert h → 0 gegen das Integral I[f ] =
Zb
f (x) dx
a
182
11.2
Gauß–Quadratur
Approximiere Integrale der Form I[f ] =
Zb
w(x)f (x) dx
a
durch die Quadratur I[f ] ≈
n X
wif (xi)
i=0
mit einer speziellen Wahl von Stutzstellen ¨ xi. Gaußsche Quadraturformeln mit (n + 1) Punkten integrieren Polynome vom Grad 2n + 1 exakt 183
11.3
Extrapolation
Berechne Quadratur mittels Trapezregel I[f ] ≈ T [hi ] fur ¨ verschiedene hi, i = 1, . . . , k und interpoliere die Funktion g(y) := T [y] an den Stutzstellen ¨ yi = hi , i = 1, . . . , k. Extrapolation: Werte das Interpolationspolynom an der Stelle y = 0 aus
184
