Transcript
verzija 0.1 – 23.11.2015.
7. Fourierov red po ortogonalnim sustavima U ovom c´emo poglavlju promatrati op´cenite vektorske prostore u kojima je definiran skalarni umnoˇzak. Postojanje skalarnog umnoˇska omogu´cava promatranje geometrijskih pojmova: okomitosti, duljine vektora, udaljenosti dvaju vektora na prirodan naˇcin, poop´cenjem tih pojmova iz trodimenzionalnog prostora. Cilj nam je izvesti op´cenite postupke za prikaz vektora preko elemenata ortogonalne baze i primjeniti do bivene formule na prostor funkcija. 1. Fourierovi redovi u unitarnom prostoru 1.1. Skalarni produkt. Unitarni prostori. Neka je X vektorski prostor, x , y , z ,. . . njegovi elementi. Skalarni umnoˇzak
Skalarni umnoˇzak na vektorskom prostoru X je svaka funkcija (· | ·) : X × X → R koja ima sljede´ca cˇetiri svojstva: 1) Pozitivnost. Za svaki x ∈ X vrijedi (x | x) > 0 . Nadalje, (x | x) = 0 ako i samo ako je x = 0 . 2) Homogenost. Za svaki skalar α ∈ R vrijedi (α x | y) = α (x | y). 3) Komutativnost. Za svake x, y ∈ X vrijedi (x | y) = (y | x). 4) Aditivnost. Za svaka tri vektora x, y, z ∈ X vrijedi (x + y | z) = (x | z) + (y | z). Vektorski prostor X na kojem postoji skalarni umnoˇzak zovemo unitarni prostor.
2
7. FOURIEROV
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
Iz skalarnog umnoˇska izvodimo i druge vaˇzne geometrijske pojmove. Tu je najprije duljina vektora (norma): p kxk := (x | x), te udaljenost dvaju vektora:
d(x, y) := kx − yk. Pojam ortogonalnosti bit c´e u nastavku kljuˇcan. Za vektore x i y kaˇzemo da su okomiti (ortogonalni) ako vrijedi (x | y) = 0 . 1.2. Primjer. Skalarni umnoˇzak u Rn . Elementi prostora Rn uredene su n torke: x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ). Skalarni umnoˇzak vektora x i y definiramo formulom (x | y) := x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn .
(7.1)
Norma vektora raˇcuna se formulom q p kxk = (x | x) = x21 + . . . + x2n .
(7.2)
Vektori x i y su okomiti ako vrijedi
x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn = 0.
(7.3)
1.3. Prostor L2 (a, b) . Neka je I = (a, b) interval u R , pri cˇemu moˇze biti a = −∞ i b = +∞ . S L2 (a, b) oznaˇcavamo prostor svih kvadratno integrabilnih funkcija. Funkcija f definirana na intervalu [a, b] pripada tom prostoru ako vrijedi Z b |f (x)|2 dx < ∞. a
Ukoliko za neku funkciju f vrijedi Z b |f (x)|2 dx = 0 a
tada je ona jednaka nuli svuda, osim moˇzda u nekoliko toˇcaka. Takvu funkciju c´emo u okviru ove teorije poistovjetiti s nul-fukcijom, zato sˇ to nam ponaˇsanje funkcije u jednoj ili nekolicini toˇcaka ne´ce biti vaˇzno. U tom smislu, ako za dvije funkcije f i g vrijedi Z b |f (x) − g(x)|2 dx = 0, a
smatrat c´emo da su te dvije funkcije jednake.
7. FOURIEROV
3
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
U prostoru L2 (a, b) definiran je skalarni umnoˇzak formulom (f | g) =
Z
b
f (x)g(x) dx.
(7.4)
a
Lako je provjeriti da ovako definiran skalarni produkt zaista ima cˇetiri traˇzena svojstva. Zato je L2 (a, b; ρ) unitarni prostor. Norma elementa prostora L2 (a, b) glasi kf k = (f | f )1/2 =
Z
a
b
1/2 |f (x)|2 dx .
Udaljenost dviju funkcija u ovom prostoru raˇcunamo na naˇcin d(f , g) = kf − gk2 =
Z
a
b
1/2 |f (x) − g(x)| dx . 2
ˇ Udaljenost d jest prikladna mjera za udaljenost funkcija u mnogim primjenama. Cinjenica da je ta udaljenost inducirana skalarnim produktom omogu´cava da se koriste sva svojstva unitarnih prostora u prouˇcavanju prostora funkcija opskrbljenog ovom udaljenoˇsc´u. Postojanje skalarnog produkta omogu´cava razmatranje pojmova kao sˇ to su ortogonalnost i ortogonalna projekcija. Mjerenje udaljenosti na prostoru funkcija pomo´cu skalarnog produkta ima odredene prednosti u odnosu na udaljenost koja promatra razlike funkcijskih vrijednosti. 1.4. Primjer. Promotrimo funkcije f n (x) = xn definirane na intervalu (0, 1) . Sa slike nam je vidljivo da porastom broja n ove funkcije se “pribliˇzavaju” funkciji
f (x) = 0,
0 < x < 1.
Medutim, ako udaljenost dviju funkcija definiramo na uobiˇcajeni naˇcin, preko supremuma razlika njihovih funkcijskih vrijednosti, za njihovu udaljenost c´e vrijediti za svaki n d∞ (f n , f ) = sup |f n (x) − f (x)| = sup |xn | = 1. 0 kxk2 −
n X k=1
n X k=1
n X k=1
n X k=1
x−
n X k=1
n X ak ek ak ek x − k=1
X n n n X X aj ej ak ek ) + ak ek ak ek x − (x | k=1
ak (ek | x) +
ak ck kek k2 +
n X
k=1
k=1
(ej | ek )
j,k=1
n X k=1
a2k kek k2
n X (ak − ck )2 kek k2 c2k kek k2 + k=1
c2k kek k2 .
Moˇzemo zakljuˇciti sljede´ce: 1) Ova je udaljenost P najmanja kad je ak = ck . 2) Uvijek vrijedi n1 c2k kek k2 6 kxk2 . Time smo pokazali sljede´ci teorem. Svojstvo najbolje aproksimacije Fourierovog reda Teorem 1.4. Fourierov red (??) ima svojstvo da najbolje aproksimira element x , za svaki n je udaljenost n X ak ek || kx − k=1
(x | ek ) . kek k2 Nadalje, za koeficijente ck Fourierovog reda vrijedi Besselova nejednakost
najmanja, ukoliko je ak = ck =
∞ X
k=1
c2k kek k2 6 kxk2 .
1.15. Uvjeti za ortogonalnu bazu. P Niz sin x , sin 2x ,. . . , sin nx je ortogonalan. Medutim, kako je bk sin kx uvijek neparna funkcija, niti jedna drukˇ c ija funkcija ne moˇ z e se napisati u obliku P f (x) = bk sin kx . Ovaj je niz presiromaˇsan da bi cˇinio bazu u prostoru L2 (−π , π ) .
7. FOURIEROV
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
11
Postavlja se pitanje: kad neki ortogonalni skup cˇini bazu? S tim u vezi bit c´e sljede´ca definicija: Svojstva ortogonalnog niza
Neka je (en ) ortogonalan niz u unitarnom prostoru X . Za njega kaˇzemo da je • zatvoren, ako za koeficijente Fourierovog reda vrijedi Parsevalova jednakost n X c2k kek k2 = kf k2 ; k=1
• potpun, ako je svaki element koji je okomit na sve svaki ek identiˇcki jednak nuli.
Teorem 1.5. Neka je (ek ) ortogonalan sistem u L2 (a, b) . Slijede´ce su tvrdnje ekvivalentne 1) (ek ) je baza. 2) (ek ) je zatvoren. 3) (ek ) je potpun.
1.16. Ortogonalni sustavi. Istaknutu ulogu u prostoru L2 (a, b, ρ) cˇine polinomi. Sistem polinoma 1 , x , x2 , . . . linearno su nezavisni, jer identitet
λ0 + λ1 x + λ2 x2 + . . . λn xn = 0 moˇze vrijediti samo onda ako su svi skalari jednaki nuli. Konaˇcan niz polinoma 1 , x ,. . . , xn razapinje prostor Pn svih polinoma stupnja n . Naime svaki se polinom P stupnja n moˇze prikazati u obliku linearne kombinacije elemenata ove baze. Ta baza nije ortogonalna. Npr., vrijedi (x | x3 ) =
Z
a
b
x · x3 ρ(x)dx > 0.
Pokazat c´emo kako se Gramm-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije ta baza moˇze zamijeniti sistemom polinoma Q0 , Q1 ,. . . , Qn . . . koji su ortogonalni na intervalu [a, b] , s teˇzinskom funkcijom ρ . Pri tom je Qk polinom stupnja k . Neka je Pk bilo koji polinom stupnja k . On se moˇze prikazati u obliku linearne kombinacije polinoma Q0 , Q1 , . . . , Qk . Kako je Qn okomit na sve polinome Qj , j < n , zakljuˇcujemo da c´e Qn biti okomit na po volji odabran polinom Pk , cˇim je k < n . Dakle, Qn je okomit na prostor Pn−1 .
12
7. FOURIEROV
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
1.17. Nul-toˇcke ortogonalnih polinoma. U mnogim primjenama od osnovne s vaˇznosti nul toˇcke ortogonalnih polinoma. U sljede´cem teoremu c´emo dokazati neke osnovne cˇinjenice o karakteru tih nul-toˇcaka. Teorem 1.6. Neka je n > 1 . Sve nul-toˇcke polinoma Qn su realne razliˇcite i leˇze unutar intervala [a, b] .
DOKAZ. Dokaˇzimo najprije da realne nul toˇcke ne mogu biti viˇsestruke. Pretpostavimo obratno: x0 je viˇsestruka realna nul-toˇcka. Tada je Rn−2 (x) :=
Qn (x) (x − x0 )2
polinom stupnja n − 2 . On je stoga okomit na Qn . Medutim, vrijedi Z b Qn (x)2 ρ(x)dx > 0 (Qn | Rn−2 ) = 2 a (x − x0 ) jer je podintegralna funkcija pozitivna. Time smo dobili kontradikciju. Stoga su sve realne nul-toˇcke jednostruke. Na sliˇcan naˇcin c´emo pokazati da realnih nul-toˇcaka ima n te da sve leˇze unutar intervala [a, b] . kad bi ih bilo manje, recimo x1 , . . . , xk , ( k < n ), tada bismo mogli napisati Qn (x) = (x − x1 ) · · · (x − xk )Rn−k (x). Tu je Rn−k polinom stupnja n − k koji nema realnih nul-toˇcaka unutar intervala [a, b] i stoga je na tom intervalu stalnog znaka. Nadalje, polinom Qn je okomit na polinom Qn (x) = (x − x1 ) · · · (x − xk ) , jer je ovaj stupnja k < n . Stoga, Rn−k (x) Z b 2 Qn Qn (x) ρ(x)dx = 0 (Qn | )= R n −k a Rn−k (x) sˇ to je ponovo kontradikcija, jer je podintegralna funkcija stalnog znaka na [a, b] . 2. Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije 2.1. Postupak ortogonalizacije. Postupak nalaˇzenja niza ortogonalnih vektora u nekom vektorskom prostoru vaˇzan je postupak. Opisat c´emo op´ceniti algoritam za zamjenjivanje linearno nezavisnih vektora medusobno ortogonalnim vektorima. Taj se postupak naziva Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije. Pretpostavimo da su x1 , . . . , xn bilo koji linearno nezavisni vektori. Definirajmo
e1 := x1 . Vektor e2 c´emo izabrati tako da on zadovoljava sljede´ca svojstva: • okomit je na e1 , • potprostor L(e1 , e2 ) podudara se s potprostorom L(x1 , x2 ) ,
7. FOURIEROV
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
13
• sustav (O; x1 , x2 ) ima istu orijentaciju kao i sustav (O; e1 , e2 ) . Sva ta svojstva zadovoljava sljede´ci vektor: e2 := x2 −
(x2 | e1 ) e1 . ke1 k2
Tre´ci vektor dobivamo formulom e3 := x3 −
(x3 | e1 ) (x3 | e2 ) e1 − e2 , 2 ke1 k ke2 k2
i op´cenito, ek := xk −
(xk | ek−1 ) (xk | e1 ) e1 − . . . − ek−1 . ke1 k2 kek−1 k2
Ukoliko nakon svakog koraka vektor ek zamijenimo s ek /kek k , dobit c´emo ortonormirani niz istih svojstava.
x3
e3
e2
e1
Da je ovaj sistem zaista ortogonalan, lako provjeravamo indukcijom. Vrijedi (e2 | e1 ) = (x2 | e1 ) −
(x2 | e1 ) (e1 | e1 ) = 0. ke1 k2
ˇ Neka je k < n . Pretpostavimo da je (ej | ek ) = 0 za sve j < n , j = 6 k . Zelimo pokazati da vrijedi i (en | ek ) = 0 . Mnoˇze´ci relaciju (??) skalarno s ek dobivamo (en | ek ) = (xn | ek ) −
n −1 X (xn | ej ) (ej | ek ) kej k2 j=0
(xn | ek ) (ek | ek ) = 0. = (xn | ek ) − kek k2 2.2. Primjer. Ortogonalizirajmo skup {x1 , x2 , x3 } ⊂ R3 ako je x1 = (1, 1, 1) , x2 = (1, 1, 0) , x3 = (1, 0, 0) .
14
7. FOURIEROV
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
Prema navedenom algoritmu imamo e1 = x1 = (1, 1, 1), (x2 | e1 ) e1 e2 = x2 − ke1 k2
= (1, 1, 1) − 32 (1, 1, 1) = ( 13 , 31 , − 23 ) (x3 | e1 ) (x3 | e2 ) e3 = x3 − e1 − e2 , 2 ke1 k ke2 k2 = (1, 0, 0) − 31 (1, 1, 1) −
1 3 2 3
( 31 , 31 , − 23 ) = ( 21 , − 12 , 0).
Dobiveni vektori su okomiti. Pritom vrijedi L(e1 ) = L(x1 ) , L(e1 , e2 ) = L(x1 , x2 ) , - svi sustavi imaju istu orijentaciju. L(e1 , e2 , e3 ) = L(x1 , x2 , x3 ) . Takoder, Rezultat ortogonalizacije bitno ovisi o poretku vektora koje ortogonaliziramo. Razlog tome je upravo zahtjev da u svakom koraku k vrijedi L(e1 , . . . , ek ) = L(x1 , . . . , xk ) . Tako na primjer, ako u gornjem primjeru izaberemo poredak x2 , x3 , x1 dobit c´emo za rezultat niz (1, 1, 0) , ( 12 , − 12 , 0) , (0, 0, 1) . Uzmemo li pak poredak x3 , x2 , x1 , ortogonalizacijom dobivamo kanonsku bazu u R3 . Provjerite! ∗*∗ Ovaj postupak moˇzemo zamisliti i u poneˇsto izmjenjenim okolnostima. Zamislimo da imamo nekoliko ortogonalnih vektora {e1 , . . . , ek } koji ne cˇine bazu. Lako je zamisliti postupak koji c´e te vektore nadopuniti do bilo koje baze prostora: dovoljno je dodavati jedan po jedan vektor {xk+1 , . . . , xn } koji se ne nalazi u potprostoru razapetom s ve´c odabranim vektorima. Sad Gramm-Schmidtovim postupkom ortogonaliziramo zadani skup. Pri tom prvih k vektora ostaje nepromijenjeno (jer su ve´c ortogonalni). Istaknimo ovaj zakljuˇcak. Pri tom rijeˇc ortogonalni moˇzemo po potrebi zamijeniti s ortonormirani. Teorem 2.1. Svaki se ortogonalni (ortonormirani) skup e1 , . . . , ek moˇze nadopuniti do ortogonalne (ortonormirane) baze.
2.3. Legendreovi polinomi. Neka je P vektorski prostor svih polinoma, promatranih na intervalu [−1, 1] . Istaknimo u njemu sljede´ce polinome
f 0 (x) = 1 , f 1 (x) = x , f 2 (x) = x2 .. . Tada se svaki polinom f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 moˇze napisati u obliku f = an f n + . . . + a1 f 1 + a0 f 0 . Kaˇzemo da smo polinom f rastavili po bazi (f n )
7. FOURIEROV
15
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
u prostoru P . Medutim, taj sistem nije ortogonalan na intervalu [−1, 1] . Vrijedi npr. Z 1 2 (f 1 | f 3 ) = x · x3 dx = . 5 −1 Sistem ortogonalnih polinoma moˇzemo dobiti od sistema 1 , x2 ,. . . s pomo´cu Gramm–Schmidtovog postupka ortogonalizacije. Stavimo P0 (x) = 1 P1 (x) = x . R1 Vrijedi (P0 | P1 ) = −1 x dx = 0 . Polinom P2 potraˇzimo u obliku: P2 (x) = ax2 + bx + c . Tada mora biti (P2 | P0 ) =
Z
1
−1
(ax2 + bx + c)dx = 32 a + 2c = 0 =⇒ a = −3c
(P2 | P1 ) =
Z
1
−1
(ax3 + bx2 + cx)dx = 32 b = 0 .
Dobili smo P2 (x) = c(−3x2 + 1) . Konstantu c c´emo izabrati tako da bude P2 (1) = 1 . Dobivamo 3 1 P2 (x) = x2 − . 2 2 Nastavimo ovakav postupak s polinomom P3 (x) = ax3 + bx2 + cx + d . Dobiti c´emo: P3 (x) =
5 3 3 x − x, 2 2
itd. Na ovaj naˇcin dobivamo sistem (Pn ) polinoma koji su ortogonalni na intervalu [−1, 1] . Polinom Pn naziva se n–ti Legendreov polinom. Zadatak 2.1. Gramm-Schmidtovim postupkom ortogonaliziraj funkcije
f 0 (x) = 1 ,
f 2 (x) = x2 ,
f 1 (x) = x ,
f 3 (x) = x3
na intervalu [0, 1] , uz teˇzinsku funkciju ρ(x) = x . ⊲ Raˇcunat c´emo ortogonalan niz (wn) po formuli . Izraˇcunajmo potrebne skalarne produkte i norme. w0 (x) = f 0 (x) = 1, Z 1 x dx = 12 , kw0 k2 = 0
(f 1 | w0 ) =
Z
0
1
x · 1 · x dx = 13 .
16
7. FOURIEROV
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
Zato w1 (x) = f 1 (x) −
(f 1 | w0 ) w0 (x) = x − kw0 k2
1 3 1 2
· 1 = x − 23 ,
Da bi odredili w2 , raˇcunamo 2
kw1 k = (f 2 | w0 ) = (f 2 | w1 ) =
Z
1
(x − 32 )2 x dx =
0
Z
1
x2 · 1 x dx =
0
Z
1 36 ,
1 36 ,
1
0
x2 (x − 23 ) x dx =
1 30 .
i odavde w2 = f 2 (x) −
(f 2 | w1 ) (f 2 | w0 ) w0 (x) − w1 (x) kw0 k2 kw1 k2 1 4 1 2
= x2 −
·1−
1 30 1 36
(x − 23 ) = x2 − 65 x +
3 10 ,
Joˇs jedan krug raˇcunanja 2
kw2 k = (f 3 | w0 ) = (f 3 | w1 ) = (f 3 | w2 ) =
Z
1
(x2 − 56 x +
0
Z
0
1 600 ,
x3 · 1 · x dx = 15 , 1
x3 (x − 23 ) x dx =
0
Z
=
1
0
Z
3 2 10 ) x dx
1 30 ,
1
x3 (x2 − 65 x −
3 10 ) x dx
=
1 350 ,
i ponovo po dobivamo w3 (x) = x3 − = x3 −
1 5 1 2 12 7
·1−
1 30 1 36
x2 + 65 x −
(x − 23 ) − 4 35
. ⊳
1 350 1 600
x2 − 65 x +
3 10
2.4. Rademacherov sistem. Uz klasiˇcne ortogonalne sisteme, sastavljene od klasa lijepih’, beskonaˇcno-diferencijabil funkcija poput sinusoida ili polinoma, vaˇzni su i ortogonalni sistemi sasvim drukˇcijih svojstava, koje saˇcinjavaju diskontinuirane funkcije. Jedan od tih sistema je i Rademacherov sistem.
7. FOURIEROV
17
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
Definirajmo niz funkcija {rn } na intervalu [0, 1] na naˇcin r0 (x) = 1, (
r1 (x) = r2 (x) =
(
0 n . Neka je In bilo koji od 2n intervala na kojima je rn konstantna (i iznosi +1 ili −1 ). Tada je Z Z rm (x)dx. rn (x)rm (x)dx = ±1 · In
In
Kako je m > n , to funkcija rm poprima na intervalu In vrijednosti +1 ili −1 , na svakom od 2m−n dijelova na koje se raspada taj podinterval. Funkcija rm c´e imati vrijednost +1 na polovini tih podintervala, te −1 na preostaloj polovini. Zato je Z rm (x)dx = 0 In
te je Z
0
n
1
rn (x)rm (x)dx =
2 Z X k=1
In
rn (x)rm (x) = 0
18
7. FOURIEROV
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
S druge strane je 1
Z
Z
rn (x)2 dx =
1
1 · dx = 1,
0
0
te je {rn } ortonormirani sistem. ⊳ Zadatak 2.3. Funkciju f (x) = x razvij u red po Rademacherovom sistemu.
⊲ Kako je {rn } ortonormirani sistem, to c´e Fourierov red glasiti f =
∞ X (f | rn )rn .
n=0
Nulti koeficijent dobivamo iz (f | r0 ) =
Z
1
0
x · 1 · dx = 21 .
Pri raˇcunanju ostalih koeficijenata koristimo prikaz rn (x) = (−1)j−1 ,
x∈
Zato je (f | rn ) = =
Z
n
1
f (x)rn (x)dx =
0
2n X
(−1)
j−1
1 22n+1
1 2
j=1
=
j − 1 j , j = 1, 2, . . . , 2n . , 2n 2n
n
2 Z X
n
j2
j/2n
x · (−1)j−1 dx
j=1
(j−1)/2n
2
j − 1 2
−
2n
2 X (−1)j−1 (2j − 1) j=1
1 [1 − 3 + 5 − 7 + . . . − (2n − 1)] 22n+1 1 1 = 2n+1 [(−2) · 2n−1 ] = − n+1 2 2 =
Dobili smo:
∞
f (x) =
X 1 1 − rn (x). ⊳ r0 2n+1 n=1
7. FOURIEROV
19
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
ˇ sevljevi polinomi 3. Cebiˇ
ˇ sevljevih polinoma definiran je formulom Niz (Tn ) Cebiˇ Tn (x) = cos n(arc cos x). Ovom su formulom uistinu definirani polinomi. Stavimo t := arc cos x . Tada je x = cos t i Tn (x) = cos nt . Znamo da se cos nt uvijek moˇze prikazati u obliku polinoma po cos t . Npr. T0 (x) = cos 0 · t = 1 T1 (x) = cos t = x T2 (x) = cos 2t = cos2 t − sin2 t
= 2 cos2 t − 1 = 2x2 − 1
T3 (x) = cos 3t = cos3 t − 3 cos t sin2 t = 4 cos3 t − 3 cos t = 4x3 − 3x
ˇ sevljevi polinomi zadovoljavaju rekurzivnu formulu, koju c´emo itd. Op´cenito, Cebiˇ izvesti iz identiteta cos(n + 1)t + cos(n − 1)t = 2 cos t cos nt . Supstitucija t = arc cos x daje Tn+1 (x) = 2x Tn (x) − Tn−1 (x) , T0 (x) = 1, T1 (x) = x.
n > 1,
Odavde zakljuˇcujemo da je Tn polinom stupnja n , s vode´cim koeficijentom 2n−1 . ˇ sevljevih polinoma Iz rekurzivne formule lako dobivamo nekoliko prvih Cebiˇ T0 (x) = 1 T1 (x) = x T2 (x) = 2x2 − 1
T3 (x) = 4x3 − 3x
T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1
T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x
T6 (x) = 32x6 − 48x4 + 18x2 − 1 .. .
20
7. FOURIEROV
T0
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
1
T1
1 T2 T4 T3
ˇ sevljevih polinoma iskazano je u sljede´cem teoremu Temeljno svojstvo Cebiˇ
Teorem 3.1. Polinom
1 2n−1
- svim polinomima stupnja Tn (x) ima svojstvo da medu
n s vode´cim koeficijentom 1 najmanje odstupa od nule na intervalu [−1, 1] . 1 Maksimalno odstupanje tog polinoma je ± n−1 i ono se dostiˇze u n + 1 toˇcki. 2 Dokaz. Neka je Pn (x) = xn + . . . bilo koji polinom s vode´cim koeficijentom jednakim 1 i neka vrijedi |Pn (x) 6
1 2n−1
,
za |x| 6 1.
1 Trebamo dokazati da je Pn (x) = 2n−1 Tn (x) . ˇ sevljevih polinoma: ako je Pri tom c´emo koristiti samo jedno svojstvo Cebiˇ kπ xk = cos( n ) , onda vrijedi
Tn (xk ) = cos kπ = (−1)k ,
k = 0, 1, . . . n.
Promotrimo polinom Q(x) =
1 Tn (x) − Pn (x). 2n−1
7. FOURIEROV
21
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
1 Budu´ci je vode´ci koeficijent polinoma 2n−1 Tn (x) i P(x) jednak 1, stupanj polinoma Q(x) ne prelazi (n − 1) . Nadalje, vrijedi
1 2n−1
T( xk ) = (−1)k ,
|Pn (xk )| 6 1.
Zato se predznak od Q(xk ) podudara s predznakom od Tn (xk ) , ili je Q(xk ) = 0 . Dakle, u krajnjim toˇckama svakog intervala [xk+1 , xk ] , polinom Q(x) poprima vrijednosti suprotnih predznaka, pa zato Q(x) ima nultoˇcku u svakom od tih intervala.
Ako je Q(xk ) = 0 , trebamo uˇciniti malo detaljniju analizu. U tom sluˇcaju, ili je nultoˇcka dvostruka, pa taj polinom opet ima dvije nultoˇcke u intervalu [xk+1 , xk−1 ] , ili u jednom od susjednih intervala polinom ima joˇs jednu nultoˇcku (vidi sliku). Razlog za to je sˇ to u toˇckama xk+1 i xk−1 polinom Q(x) ima vrijednosti istog predznaka 1 . Budu´ci promatranih intervala ima n , zakljuˇcujemo da polinom Q(x) ima barem n nultoˇcaka na intervalu [−1, 1] . Njegoc je stupanj (n − 1) , zato je on identiˇcki jednak 1 Tn (x) . nuli. Dakle, vrijedi P(x) = 2n−1 ˇ sevljevih polinoma koristi u postupku telesPokaˇzimo kako se ovo svojstvo Cebiˇ kopiranja reda potencija, bitnom postupku za dobivanje dobrih polinomijalnih aproksimacija. Zadatak 3.4. Odredi polinom stupnja 4 koji najmanje odstupa od polinoma P(x) = x6 , na intervalu [−1, 1] .
- svim polinomima stupnja 6 , s vode´cim koeficijentom 1 , najmanje od ⊲ Medu 1 nule odstupa polinom 32 T6 (x) . Vrijedi 1 32
T6 (x) = =
6 4 2 1 32 (32x − 48x + 18x 9 2 1 x6 − 32 x4 + 16 x − 32
− 1)
9 2 1 x + 32 najmanje odstupa od polinoma P(x) = x6 . Zbog toga polinom Q(x) = 32 x4 − 16 Polinom Q moˇzemo dobiti na joˇs jedan naˇcin, koji bolje opisuje postupak aproksimiranja funkcije s njenim Fourierovim redom. Prikaˇzimo u tu svrhu x6 pomo´cu ˇ sevljevih polinoma (vidi Tablicu 2.1). Cebiˇ
x6 =
1 32 (10
+ 15 T2 + 6 T4 + T6 )
1 Ako je vrijednost u nekoj of tih toˇcaka opet jednaka nuli, razmatranje bi se trebalo nastaviti na analogan naˇcin, s istim konaˇcnim zakljuˇckom
22
7. FOURIEROV
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
a zatim zanemarimo cˇlan sa T6 : x6 ≈
1 32 (10 + 15 T2 + 6 T4 2 1 32 10 + 15(2x − 1) 3 4 9 2 1 2 x − 16 x + 32 ⊳
=
=
) + 6(8x4 − 8x2 + 1)
Zadatak 3.5. Odredi polinom cˇ etvrtog stupnja koji dobro aproksimira funkciju f (x) = cos x na intervalu [−1, 1] .
⊲ Funkciju f moˇzemo aproksimirati Taylorovim polinomom stupnja 4 : cos ≈ 1 −
x4 x2 + 2 24
Pri tom je uˇcinjena pogreˇska koja iznosi R4 =
cos(5) (ϑ ) x5 , 5!
ϑ ∈ (−1, 1)
ˇ i manja je od 1/5! = 0.0083 . Zelimo li posti´ci ve´cu toˇcnost, aproksimirati c´emo funkciju f Taylorovim polinomom ve´ceg stupnja: x2 x4 x6 + + 2 24 720 6 ˇ a zatim polinom x aproksimiramo pomo´cu Cebiˇsevljevih polinoma polinomom cˇevtrtog stupnja, kao u proˇslom zadatku: cos x ≈ 1 −
x6 ≈
1 32 (1
− 18x2 + 48x4 ) .
Tako dobivamo x4 1 1 x2 + − (1 − 18x2 + 48x4 ) 2 24 720 32 = 0.99996 − 0.49922 x2 + 0.03958 x4
cos x ≈ −
Uˇcinjena pogreˇska je manja od R6 +
1 1 1 1 1 |T6 | < + = 0.00024 . 720 32 7! 720 32
Joˇs ve´cu toˇcnost postiˇzemo ako dodamo i cˇlan 1 x8 = 8! 40 320 1 ≈ 40 320 1 ≈ 40 320
1 (35T)0 + 56T2 + 28T4 + T8 ) 128 1 (35T0 + 56T2 + 28T4 ) 128 1 (7 − 112x2 + 224x4 ) 128
7. FOURIEROV
23
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
Tada c´emo imati cos x ≈ 0.9999580 − 0.4992405 x2 + 0.0396267 x4 Uˇcinjena pogreˇska je sada sigurno manja od 1 1 |T6 | + (8|T6 | + |T8 |) + R8 < 0.000048 ⊳ 720 · 32 40320 · 128 ˇ sevljevih polinoma pomo´cu polinoma x 7→ xn i obratne veze. Tablica 2.1. Prikaz Cebiˇ
T0 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
1 1
x
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
1 −1 1
2 −3 5
−1 1
4 −8
8 −20
18 −7 9
−1
56 −32 50
1 x x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
160 −120
T0 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 1 512
16 −48
T1
32 −112 432
−400
64 −256 1120
128 −576
256 −1280
512
T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
1 1
1 3
3
1 4
10 10
1 5
15 35
35
6 21
56 126
126
1
28 84
210
1 7
1 8
36 120
1 9
45
1 10
1
ˇ sevljevih polinoma. 3.1. Svojstva Cebiˇ ˇ sevljevi polnomi zadovoljavaju identitete Teorem 3.2. Cebiˇ (1 − x2 )Tn′ (x) = n(Tn−1 (x) − xTn (x)),
(1 − x )(Tn′ (x))2 = n2 (1 − Tn (x))2 , (1 − x2 )Tn′′ (x) − xTn′ (x) + n2 Tn (x) = 0. 2
(7.10) (7.11) (7.12)
24
7. FOURIEROV
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
⊲ Ove se relacije lako dokazuju koriste´ci se vezama x = cos t , Tn (x) = cos nt . Odavde imamo d cos nt n sin nt dt = , = dcost sin t dt −1 n cos t sin nt − n2 cos nt sin t d n sin nt · = Tn′′ (x) = dt sin t sin t sin3 t Tn′ (x)
S ovim supstitucijama, formula (7.10) postaje (1 − cos2 t) ·
n sin nt = n(cos(n − 1)t − cos t cos nt) sin t
odnosno sin t sin nt + cos t cos nt = cos(n − 1)t sˇ to je istina, po adicijskom teoremu. Na sliˇcan naˇcin se dokazuju preostala dva identiteta. ⊳ Fourierov red funkcije f po ortogonalnom sistemu (Tn ) glasi f (x) = c0 T0 (x) + . . . + cn Tn (x) + . . . , Z 1 1 f (x) √ c0 = dx π −1 1 − x2 Z 2 1 f (x) Tn (x) √ cn = dx , n > 1 . π −1 1 − x2 Ovi se integrali raˇcunaju supstitucijom x = cos t , jer je tada Tn (x) = cos nt . Tako gornje formule prelaze u Z 1 π f (cos t)dt, c0 = π 0 Z 2 π cn = f (cos t) cos ntdt π 0 Zadatci za vjeˇzbu 7.1.
Vrijedi 1 z + 2 = z 2
2 1 −2 z+ z
1 i z4 + z14 u obliku polinoma po z + . z x . 7.2. Neka je Pn (x) = 2Tn 2 Prikaˇzi z3 +
1 z3
7. FOURIEROV
RED PO ORTOGONALNIM SUSTAVIMA
25
1) Odredi rekurzivnu relaciju za ove polinome i pokaˇzi da su im koeficijenti cjelobrojni. 2) Dokaˇzi da vrijedi 1 1 Pn (z + ) = zn + n . z z 7.3.
Neka je Un funkcija definirana formulom sin nt = Un (cos t) sin t.
ˇ sevljev Dokaˇzi da je Un polinom s cjelobrojnim koeficijentima. Un se naziva Cebiˇ polinom druge vrste. 7.4. Dokaˇzi da polinomi (Un ) zadovoljavaju identiˇcnu rekurzivnu relaciju Un (x) = 2xUn−1 (x) − Un−2 (x), uz poˇcetne uvjete U0 (x) = 1 , U1 (x) = 2x . Dokaˇzi sljede´ce relacije A. Un (x) = 2Tn (x) + Un−2 (x) ; B. Tn (x) = Un (x) − xUn−1 (x) ; Pn C. Un (x) = k=0 xk Tn−k (x) ; 7.6. Izvedi eksplicitne prikaze: ⌊n/2⌋ X n−k (2x)n−2k ; A. Un (x) = (−1)k k 7.5.
k=0
⌊n/2⌋
B. Un (x) =
X k=0
(−1)k
n + 1 n−2k 2 x (x − 1)k . 2k + 1
