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P21 Statistischen Physik
WS 15/16
Prof. Jan Plefka
¨ Ubungsblatt 3 Abgabe Donnerstag 5.11 vor der Vorlesung – Besprechung am 6.11 bzw. 9.11 H6 - Ungekoppelte klassische harmonische Oszillatoren im mikrokanonischen Ensemble [2P] Wir betrachten ein System von N ungekoppelten eindimensionalen harmonischen Oszillatoren beschrieben durch die Hamiltonfunktion H=
N X p2i 1 + mω 2 qi2 2m 2 i=1
a) Klassischer Fall: Berechnen Sie die Phasenraumoberfl¨ache Ω(E), die Entropie S und die Temperatur T f¨ ur dieses System im mikrokanonischen Ensemble f¨ ur große N . Bestimmen Sie E(T,N ). b) Quantenmechanischer Fall: Bestimmen Sie den statistischen Operator im mikrokanonischen Ensemble und bestimmen Sie ebenso die Entropie S = k ln Ω(E) und die Temperatur T f¨ ur dieses System f¨ ur große N . Bestimmen Sie ebenfalls E(T,N ). Vergleichen Sie diese Ergebnisse im Grenzfall ~ω kT . H7 -Unbestimmtheitsmaß nach Shannon [1P] Es sei bekannt, dass in Adlershof am 1. Juni 2016 die Wahrscheinlichkeit f¨ ur Regen 0.4 und f¨ ur keinen Niederschlag 0.6 ist. Am 1. Januar 2016 hingegen betr¨agt die Wahrscheinlichkeit f¨ ur Regen 0.65, f¨ ur Schneefall 0.15 und f¨ ur keinen Niederschlag 0.2. An welchem der beiden Tage ist eine Wetterprognose unbestimmter (im Sinne des Shannon’schen Unbestimmtheitsmaß (auch bekannt als Entropie), wenn man unter einer Wetterprognose die Angabe versteht a) ob es an den fraglichen Tagen regnet, schneit oder keinen Niederschlag gibt? b) ob es an den fraglichen Tagen Niederschlag gibt oder nicht. Diskutieren Sie Ihr Ergebnis! H8 - Entropieerhaltung und Extremaleigenschaft [1P] In der Vorlesung haben wir die Definition der Entropie durch den statistischen Operator ρ eines Ensembles mittels S = −k Sp(ρ log ρ) kennengelernt. a) Zeigen Sie, dass die Entropie zeitlich konstant ist. Hier ist die Bewegungsgleichung von ρ, die von-Neumann Gleichung, zu benutzen. b) Zeigen Sie weiterhin, dass von allen Ensembles deren Energie im Intervall [E,E + ∆] liegt, die Entropie des mikrokanonischen Ensembles maximal ist. Interpretieren Sie dies! 1
