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Physikalisches Praktikum II Versuch P2-59/60/61 Transistor und Operationsverstärker Tim IJsselstein Thomas Wielatt
Versuchsvorbereitung Anmerkung In diesem Versuch sollen uns die beiden wichtigsten Grundelemente für Verstärkerschaltungen näher gebracht werden. Dabei geht es im Wesentlichen mehr um die Betrachtung der einzelnen Effekte als um die genauen, halbleiterphysikalischen Hintergründe.
Aufgabe 1. Emitterschaltung 1.1. Einstufige Transistorverstärker In diesem Versuch soll nach der in der Versuchanleitung gegebenen Schaltung der einstufige Transistorverstärker aufgebaut werden. Dabei übernehmen folgende Bauteile bestimmte Funktionen : -
Kondensatoren ( C = 5µF ) : Entkopplung der Wechselspannung gegenüber der Gleichspannung um das zu verstärkende Eingangssignal nicht von den Gleichstromverhältnissen des Transistors abhängig zu machen.
-
Widerstände ( R = 1 kΩ und R = 5,6 kΩ) : Festlegung des Arbeitspunktes über den von den zwei Widerständen bewirkten Spannungsteiler.
-
Emitterkondensator ( CE = 250 µF ) : Verhinderung der Wechselstrom-Gegenkopplung
-
Emitterwiderstand ( R = 100 Ω ) : Eigentlich negativer Effekt, da die Verstärkung verringert wird, aber notwendig zur Stabilisation des Arbeitspunktes.
Über eine kurze Messung soll nun der Arbeitpunkt, welcher über die zwei Widerstände festgelegt wird bestimmt werden. Dabei sollte dieser ungefähr auf der Hälfte des Wertes der angelegten Spannung von 15 Volt liegen um in beide „Richtungen“ gute Arbeitsmöglichkeiten zu haben.
1.2. Verstärkung An die nun aufgebaute Schaltung soll nun als Eingangssignal eine Dreiecksspannung verschiedener Amplituden angelegt werden und über die Betrachtung der Ausgangsspannung an einem Oszilloskop die Verstärkung der Schaltung bestimmt werden. Dabei ist zu beachten, dass der Transistor nicht übersteuert wird. Die Verstärkung ergibt sich dann zu :
v=
Ua Ue
1.3. Verstärkung ohne Emitterkondensator Durch die Entfernung des Emitterkondensators wird die Wechselstrom-Gegenkopplung nicht mehr verhindert. Dies führt zu dem Effekt, dass nicht mehr die Basis-Emitter-Spannung, sondern der Basis-Emitter-Strom einer Verstärkung unterliegt. Für die Verstärkung gilt dann: ( IBasis-Emitter << IKollektor-Emitter )
v=
Ua RC * I CE R = ≈ C U e ( RE * I BE ) + ( RE * I CE ) RE
Dieser Wert für die Verstärkung soll durch die Variation der Amplituden des Einganssignals experimentell überprüft werden.
1.4. Hochpass Die beiden Kondensatoren ( C = 5µF ) haben für kleine Frequenzen; ω des Eingans- bzw. Ausgangssignals eine hohe Impedanz ( R = 1/ ωC ). Dies bedeutet dass sie in diesem Fall einen Hochpass bilden. Dieses Verhalten soll nun durch das Anlegen einer Sinusspannung veränderlicher Frequenz derart nachgewiesen werden, dass die Verstärkung insbesondere im Bereich der geringen Frequenzen ausgemessen und verglichen wird.
Aufgabe 2. Nichtinvertierte Grundschaltung eines Operationsverstärkers Der genaue innere Aufbau eines Operationsverstärkers ist in diesem Falle nicht wichtig. Es interessiert nur seine Wirkungsweise. Diese besteht darin, dass das Eingangssignal verstärkt und, bei Anschluss an den „-“ Eingang invertiert ausgegeben wird. Ein „optimaler“ Operationsverstärker besitzt folgende Eigenschaften: -
unendliche Verstärkung sehr hoher Eingangswiderstand sehr kleiner Ausgangswiderstand es fließen nahezu keine Ströme
2.1 Nichtinvertierter Verstärker In diesem Versuchsteil soll die Schaltung 3 aufgebaut werden. Legt man nun eine positive Eingangsspannung; Ue an, so würde ohne R1 eine Eingangsspannungsdifferenz von Ud = Ue auftreten und die Ausgangsspannung; Ua somit sehr hohe, positive Werte anzeigen. Über den Widerstand R1 gelangt jedoch ein Teil der Ausgangsspannung an den „-“ Eingang und verkleinert dadurch Ud (Gegenkopplung). Für eine endliche Ausgangsspannung Ua wird Ud =Ua/v beim idealen Operationsverstärker gleich Null werden, was gleichbedeutend mit UR2 = Ue. Somit gilt.
U R2 =
R2 *U a R1 + R2
;
U a = (1 +
R1 ) *U R 2 R2
Daraus resultiert die Verstärkung zu :
v=
Ua R = 1+ 1 Ue R2
;
U a = (1 +
R1 ) *U e R2
2.2 Eingangs und Ausgangswiderstand Durch das einfügen eines Regelbaren Widerstandes; R zwischen Eingangssignal und Operationsverstärker kann der Eingangswiderstand Z bestimmt werden. Dies geschieht am einfachsten, indem man den widerstand R so lange hoch regelt, bis Ua auf die Hälfte abgesunken ist, wobei dann R=Ze gilt. Ebenso verfährt man zur Bestimmung der Ausgangsimpedanz, wobei hier gilt:
Z a = R1 * (1 −
2 * R2 ) R1 + R2
2.3. Abhängigkeit des Verstärkers von der Frequenz Um die Abhängigkeit der Verstärkung von der Frequenz zu zeigen verwendet man am Besten ein Sinussignal veränderlicher Frequenz als Eingangssignal. Bei hohen Frequenzen wird nun das Gegenkopplungssignal zeitlich verzögert was zu einer Verzerrung des Ausgangssignals führt. Dies ist in der Tatsache begründet, dass die Schwingungsdauern im Bereich der Schaltzeit des Operationsverstärkers liegen.
Aufgabe 3 Invertierende Grundschaltung des Operationsverstärkers 3.1. Invertierender Verstärker Die Invertierende Schaltung lässt sich am besten über die Kirchhoffsche Knotenregel darstellen. Angewandt wird diese Regel auf den Knotenpunkt zwischen den zwei Widerständen und dem „-“-Eingang des Operationsverstärkers. Da bei einem idealen Operationsverstärker keine Ströme fließen, kann die Knotenregel ( Summe Eingehende Ströme = Summe Ausgehende Ströme ) nur dann erfüll sein, wenn gilt : Ie = - Ia Über das Ohm’sche Gesetz lässt sich nun einfach folgende Gleichung ermitteln
Ue U =− a R1 R2 Daraus ergibt sich :
−
R2 U a = =v R1 U e
3.2. Addierer Nun soll über die Schaltung 4 ein Addierer realisiert werden. Ein Invertierter Verstärker mit mehreren Eingängen liefert ein Ausgangssignal, welches gleich der Summe der Eingangssignale ist. Dies ist eine einfache Erweiterung der oben angewandten Knotenregel:
∑I
n
= −Ia
− U a = Ra ∑
→
n
n
Un Rn
Setzt man nun zusätzlich noch die vorgeschalteten Widerstände Rn gleich so ergibt sich analog zu oben :
−
Ra Ua = =v R ∑U n n
3.3 Integrierer Auch in diesem Fall muss man wieder nach dem bekannten Schema der Knotenregel vorgehen. In diesem Fall ist jedoch zu beachten, dass bei der Ausgangsseite ein Kondensator mit geschaltet wurde, wodurch die einfache Nutzung des ohmschen Gesetzes nicht möglich ist. Für den Strom beim Aufladen des Kondensators gilt:
Ia = C *
dU A dt
Daraus ergibt sich über die Knotenregel:
Ue dU a = −C * R dt Durch Integration unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung Ua(t = 0)=0 erhält man die gewünschte Beziehung, die zeigt, dass in diesem Fall das Ausgangssignal proportional zum Integral des Eingangssignals ist. t
U a (t ) = −
1 * U e dt R * C ∫0
3.4 Differenzierer Das Prinzip entspricht im Grunde genommen genau dem des Integrierers. Der Grundlegende Unterschied besteht nur darin, dass der Kondensator diesmal auf der Seite der Eingangsspannung geschaltet ist. Somit ergibt sich über die Knotenregel :
Ua dU e = −C * R dt
→
U a = − RC *
dU e dt
Dies entspricht genau der gewünschten Relation, bei der das Ausgangssignal die zeitliche Ableitung des Eingangssignals darstellt.
Aufgabe 4 Komplexere Schaltungen 4.1 Idealer Einweggleichrichter Entsprechend Schaltung 7b soll nun der ideale Einweggleichrichter aufgebaut werden. Die Dioden müssen dabei entgegengesetzt geschaltet sein. Dies hat zur Folge, dass wenn Diode 1 in Durchgangsrichtung geschaltet ist, der gesamte Strom wegen des vernachlässigbaren Widerstandes der Diode, über eben diese fließt. In diesem Fall sperrt dann die zweite Diode und der Ausgangsstrom ist 0 V. Im anderen Fall, wenn die Diode 1 sperrt, ist Diode 2 durchlässig und es ergibt sich die nichtinvertierende Grundschaltung. Durch das Gleichsetzen der Widerstände R1 und R2 ergibt sich genau der gewünschte Ausdruck von –Ue = Ua. Durch diese Formel lässt sich auch der Zusatz „ideal“ gut erklären. Im vergleich zur Einfachen Gleichrichterschaltung ( vgl. Schaltung 7a ) unterliegt in diesem Fall die Ausgangsspannung keinem Verlust im Vergleich zur Eingangsspannung. Die dafür verantwortliche Schwellenspannung der Diode wird komplett kompensiert.
4.2 Rechteck-, Dreiecksspannungsgenerator In diesem Versuchsteil wird nun gezeigt, wie nur mit einer Schaltung aus 2 Operationsverstärkern und einer Gleichspannungsquelle sowohl eine Dreiecks- als auch eine Rechtecksspannung generiert werden kann. Hierzu muss die im Bild 8 gezeigte Schaltung aufgebaut werden.
Dabei ist der im Bild links liegende Operationsverstärker als ein so genannter „ Schmitt-Trigger“ anzusehen während der Zweite ein einfaches Integrierglied darstellt. Die Eigenschaften des Schmitt-Triggers sind nun so, dass ab einer gewissen Schwellenspannung des Eingangssignals eine Kopplung des nichtinvertierend geschalteten Operationsverstärkers ergibt. Dies hat zur Folge, dass eben dieser voll ausgesteuert wird und je nach Ausgangsspannung den maximalen positiven / negativen Wert ausgibt. Diese gleichmäßige Ausgangsspannung wird nun zu dem als Integrierglied geschalteten, zweiten Operationsverstärker als Eingangsspannung geschaltet. Die so integrierte und invertierte Spannung wird nun wiederum über einen Widerstand an den Eingang des Schmitt-Trigger zurückgeführt. Dies bewirkt ab einem gewissen Grenzwert ein „Kippen des Triggers“ was eine Umpolung des Ausgangssignals zur Folge hat. Dies Bewirkt wiederum ein Integrieren mit umgedrehtem Vorzeichen,... Das Rhythmische Kippen des Triggers, der im Betrag immer den Maximalen Wert ausgibt, lässt sich nun als Rechtecksspannung abgreifen. Beim Integrierglied lässt sich nun dementsprechend eine Spannung abgreifen, welche mit einer konstanten Steigung anwächst. Beim Kippen des Triggers wechselt diese Steigung jedoch ihr Vorzeichen, was zu einer Dreiecksspannung führt.
4.3 Differenzialgleichungen In dieser letzen Aufgabe wird nun eine Schaltung vorgestellt, über die es möglich ist die Lösung einer DGL 2. Ordnung auszugeben. Dabei können über die Einstellung verschiedener Parameter die Konstanten der DGL eingestellt werden, um die jeweils gewünschte Lösung zu erhalten. Allgemein lässt sich die DGL 2. Ordnung folgendermaßen darstellen, wobei ω0 die Eigenfrequenz und γ Die Dämpfungskonstante des Systems darstellen.
U&&a + 2γU& a + ω0U a = 0 Die Allgemeine Lösung, eine Sinuskurve mit Abfallender e-Funktion als Einhüllende, lautet dann wie folgt:
U a = Uˆ a * e −γt * sin( ω0 ² − γ ² * t ) Theoretisch könnte man diese Gleichung nun über einige Differenzierer darstellen. Es hat sich jedoch gezeigt, dass die Integration besser durchzuführen ist und so macht es Sinn, die DGL auf eine Integrale Form umzuschreiben.
U a + 2γ * ∫ U a dt + ω0 * ∫ U a dt ² = 0 Um diese DGL in einer Schaltung wiederzugeben, muss die Schaltung aus Bild 9 aufgebaut werden, welche aus zwei Integratoren und einem Verstärker besteht. Dabei entspricht der links liegende Verstärker dem Ausdruck
U1 = −
1 U a dt T∫
wobei T = RC durch den Widerstand und den Kondensator gegeben sind. Der mittlere Operationsverstärker liefert unter Berücksichtigung der Komponenten folgenden Ausdruck:
U2 = −
1 α U1 + U a dt ∫ T 100
Hierbei lässt sich α über die Position des Potentiometers einstellen. Der Wert α =0 für den ungedämpften Fall ist in diesem Beispiel nur theoretisch möglich, da immer eine gewisse Dämpfung besteht. Der letzte Operationsverstärker invertiert das Ganze und gibt Ua = -U2 aus. Setz man die so gegebenen Ausdrücke nun ineinander ein und bringt sie auch gleich wieder in differenzielle Form, so erhält man den Ausdruck:
α & 1 U&&a + 2 Ua + Ua = 0 200T T²
Daraus ergibt sich die Lösung :
U a = Uˆ a * e
−
α 200T
t
1 α * sin( ( )² − ( )² * t ) T 200T
