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Planetenschleifen
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Planetenschleifen mit Geogebra1 Entstehung der Planetenschleifen Nach dem dritten Kepler’schen Gesetz stehen die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten im gleichen Verh¨ altnis wie die Kuben der großen Halbachsen, oder in einem Formel gefasst P2 = const. . a3
(1)
2π F¨ uhrt man weiterhin die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten ein als ω = , l¨asst sich GleiP chung 1 schreiben als ω = const0 · a−3/2 . (2) Die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten nimmt demnach ab, mit zunehmender großen Halbachse (vgl. Abbildung 1) ω∝
1 a3/2
.
(3)
Winkelgeschwindigkeit der Planeten 27,5 Merkur
25,0
22,5
Winkelgeschwindigkeit ω / a‐1
20,0
17,5
15,0
12,5 Venus 10,0
7,5 Erde
5,0
Mars
2,5
Jupiter
Uranus
Saturn
Neptun
0,0 0
5
10
15
große Halbachse a / AE
20
25
30
Abbildung 1: Winkelgeschwindigkeit der Planeten
Heliozentrisches Weltbild Im Vergleich zu den ¨ außeren Planeten hat die Erde eine h¨ohere Winkelgeschwindigkeit und u berholt diese folglich auf ihrer Bahn um die Sonne. Dabei entstehen die Planetenschleifen. Ab¨ bildung 2 verdeutlicht dies am Beispiel von Jupiter. Zur Vereinfachung des Problem werden die Planetenbahnen als Kreisbahnen (e = 0) angenommen und ihre Inklinationen i vernachl¨assigt. 1
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Planetenschleifen
2 Am Himmel 6 5
7
4
13
13
7
3
6
12
12
8
5
11
4
9 10 3
9 11
2
10 1
2 1
Okt
Jan
8
Jul
Erdbahn Apr Jupiterbahn
Abbildung 2: Entstehung der Planetenschleifen Weiterhin soll die Umlaufperiode P von Jupiter genau 12 Jahre betragen. Tabelle 1 zeigt die wahren Parameter der beiden Planeten. Die Abweichungen der vereinfachenden Annahmen sind nur gering und daher f¨ ur den Einsatz im Unterricht annehmbar. Ein Jupiterumlauf dauert soa / AE
P / Jahre
e
i /◦
Erde
1,00
1,00
0,017
0
Jupiter
5,20
11,86
0,048
1,31
Tabelle 1: Parameter Erde, Jupiter [1] mit 144 Monate. In Abbildung 2 sind sowohl auf der Erd-, als auch auf der Jupiterbahn die einzelnen Monate abgetragen. Im gezeigten Beispiel bewegt sich Jupiter in den Monaten Januar bis Juni (1-6) entgegen des Uhrzeigersinnes durch den Fixsternhimmel. In den Monaten 7-10 verl¨auft seine Bewegung gegenl¨ aufig, im Uhrzeigersinn. Die Monate 11-13 werden wieder im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen. Diesen Verlauf bezeichnet man als Planetenschleife. Die beiden inneren Planeten Merkur und Venus haben hingegen h¨ohere Winkelgeschwindigkeiten als die Erde. Sie u ¨berholen diese auf ihrer Bahn um die Sonne und erzeugen so ebenfalls Planetenschleifen mit der charakteristischen Phase der R¨ uckl¨aufigkeit des Planeten. Sowohl die Planetenschleifen der inneren, als auch der ¨außeren Planeten sind Projektionseffekte und im heliozentrischen Weltbild leicht durch die unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten erkl¨arbar.
Planetenschleifen
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¨ Im geozentrischen Weltbild werden die Planetenschleifen dagegen durch die Uberlagerung zweier Kreisbewegungen erkl¨ art. Geozentrisches Weltbild Im geozentrischen Weltbild bewegt sich ein Planet auf einem Großkreis, dem sogenannten Deferenten um die Erde. Gleichzeitig bewegt sich der Planet auf einer zweiten Kreisbahn, dem Epizykel (vgl. Abbildung 3). F¨ ur die a ¨ußeren Planeten entspricht der Radius des Deferenten der
REpi
Deferent
Epizykel
RDef
Erde Jupiter
Abbildung 3: Planetenschleifen im geozentrischen Weltbild großen Halbachse des Planeten. Ein Umlauf des Epizykels dauert dabei gerade so lange wie die siderische Umlaufperiode des Planeten im heliozentrischen Weltbild. Der Radius des Epizykels entspricht der großen Halbachse der Erde und der Umlauf des Planeten auf dem Epizykel dauert ein Jahr. Bei inneren Planeten betr¨ agt der Radius des Deferenten eine astronomische Einheit und die Umlaufzeit betr¨ agt ein Jahr. Der Planet kreist dann auf dem Epizykel, dessen Radius der großen Halbachse des Planeten im heliozentrischen Weltbild entspricht. Die Umlaufdauer entspricht der siderischen Periode des Planeten. Tabelle 2 fasst die wichtigen Gr¨oßen zusammen. Innere Planeten
¨ Außere Planeten
RDef
1 AE
aP lanet
PDef
1a
Psid,P lanet
REpi
aP lanet
1 AE
PEpi
Psid,P lanet
1a
Tabelle 2: Deferent und Epizykel im geozentrischen Weltbild [2]
Planetenschleifen
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Umsetzung in Geogebra Die Umsetzung wird hier am Beispiel von Jupiter beschrieben. F¨ ur alle anderen Planeten gelten die gleichen Formel. Die Umlaufzeiten und Radien der Bahnen m¨ ussen dann entsprechend angepasst werden. In Geogebra soll ein Skalenteil einer astronomischen Einheit entsprechen.
Heliozentrisches Weltbild Die Erd- und Jupiterbahn sind konzentrische Kreise mit den Radien RE = 1 und RJup = 5, 2 um den gemeinsamen Mittelpunkt (0, 0) in welchem die Sonne sitzt. Der Fixsternhimmel wird als Kreis mit dem Radius RFix = 25, ebenfalls zentriert um die Sonne gew¨ahlt. Die Position der Erde wird durch den Vektor ~rE und die von Jupiter durch ~rJup beschrieben (vgl. Abbildung 4)
Sic
ht
y/AE lin
ie
5 4
Jupiter
yJup,helio
3 2
rJup
1
Erde rE
1
2
3
4
5
x /AE
xJup,helio
Sonne
Abbildung 4: Positionen der Planeten im heliozentrischen Weltbild ~rE =
xE yE
=1·
cos(ϕE ) sin(ϕE )
, ~rJup =
xJup yJup
= 5, 2 ·
cos(ϕJup ) sin(ϕJup )
.
(4)
Die Winkel ϕE und ϕJup h¨ angen von der Zeit ab und ergeben sich aus der Umlaufperiode der Planeten zu 2·π 2·π · M und ϕJup = ·M, (5) 12 144 M steht f¨ ur die Anzahl der vergangenen Monate. F¨ ur die Erde ergibt sich ein voller Umlauf nach 12 Monaten und f¨ ur Jupiter nach 144. F¨ ur die Anzahl der vergangenen Monate M wird ein Schieberegler im Bereich 0 ≤ M ≤ 144 hinzugef¨ ugt. F¨ ur die Projektion von Jupiter an den Fixsternhimmel f¨ ugt man einen Strahl durch zwei Punk” te“, beginnend im Punkt der Erde, weiter u ur Jupiter ein. Mit Hilfe des Werk¨ber den Punkt f¨ zeugs Schneide zwei Objekte“ wird die Projektion, der Schnittpunkt zwischen Strahl und Fix” sternhimmel durch einen Punkt markiert. Zur Veranschaulichung wird in Geogebra eine Animation gestartet, welche die Anzahl der Monate in Schritten von 0,05 Monaten zwischen 0 Monaten und 144 Monaten variiert. Die Schleifenbewegung wird dann deutlich sichtbar. ϕE =
Planetenschleifen
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Geozentrisches Weltbild Im geozentrischen Weltbild setzt man zuerst einen Punkt f¨ ur die Erde in den Koordinatenursprung, f¨ ugt einen Kreis f¨ ur den Deferenten mit dem Radius RDef = RJup und einen mit dem Radius RFix = 25 hinzu; beide um den Mittelpunkt (0, 0). Der Mittelpunkt des Epizykelkreises l¨auft mit der siderischen Umlaufperiode von Jupiter auf dem Deferenten um. Dieser Punkt hat demnach dieselben Koordinaten wir Jupiter im heliozentrischen Weltbild. Man f¨ uge diesen Mittelpunkt und einen zugeh¨ origen Kreis mit dem Radius REpi = 1 ein. F¨ ur den Planeten Jupiter f¨ ugt man nun einen Punkt auf dem Epizykel hinzu, dessen Koordinaten (xJup,geo , yJup,geo ) aus der Summe der beiden Kreisbewegungen bestehen 2·π 2·π xJup,geo = RDef · cos ·M + REpi · cos ·M 144 12 und
ie
2·π 2·π yJup,geo = RDef · sin ·M + REpi · sin ·M . 144 12
yEpi
Sic
ht
lin
y/AE 5 yJup,geo 4
Jupiter Epizykel
3 yDef
Deferent
2 1 1
2
3
4 xJup,geo
Erde xDef
5
x /AE
xEpi
Abbildung 5: Positionen der Planeten im geozentrischen Weltbild Der Umlauf auf dem Epizykelkreis hat die Periodendauer PEpi = 12 Monate. Abschließend f¨ ugt man auch hier einen Strahl durch zwei Punkte zwischen Erde und Jupiter ein sowie den Schnittpunkt, welcher die Projektion an den Fixsternhimmel anzeigt. Nach Rechtsklick auf den Planeten kann die Eigenschaft Spur ein“ ausgew¨ahlt werden. ”
Literatur [1] H. Karttunen: Astronomie - Eine Einf¨ uhrung; Springer-Verlag; 1990 [2] A. Uns¨ old, B. Baschek: Der neue Kosmos; 7. Auflage; Springer-Verlag; 2005
