Transcript
1
Gruppenarbeit Energie, St¨osse und Drehimpuls Abzugeben bis Woche vom 23. November
Der gesch¨ atzte Zeitaufwand wird bei jeder Teilaufgabe mit Sternen ⊛ angegeben. Je mehr Sterne eine Aufgabe besitzt, desto gr¨osser ist der gesch¨atzte Zeitaufwand. Dabei wird angenommen, dass man die fr¨ uheren Aufgaben gel¨ost hat und die dort erhaltenen Programme resp. Methoden beherrscht. Benutzen sie zur Erstellung aller Graphen das Programm gnuplot und erstellt bei jeder Aufgabe, bei welcher ein VBA Programm verlangt wird, ein Nassi-Shneiderman-Diagramm. 1. Stoss und Energie¨ ubertrag(⊛) Betrachten den Stoss eines Teilchens der Masse m1 mit dem eines Teilchens der Masse m2 = k · m. Die Geschwindigkeiten vor dem Stoss seien durch v1 = v und v2 = −4v gegeben. Wieviel Prozent der Gesamtenergie besitzt das Teilchen 1 nach dem Stoss? Skizziere den Graphen dieser Funktion in Abh¨ angigkeit von k. Hat die Funktion ein Maximum oder Minimum (f ′ (k) = 0)? 2. Bahn eines Teilchens beim Fall im Gravitationsfeld Der senkrechte Fall eines K¨ orpers unter dem Einfluss der Schwerkraft wird 23 √ 2 3 3 durch r(r) = 2 beschrieben. Dabei ist r der Abstand C − 2Gmt zum Erdmittelpunkt. Hinweis: Potentielle Energie ist hier durch schwindigkeit ist durch dr dt gegeben.
−Gm1 m2 r
gegeben und die Ge-
(a) Zeige, dass das Newton’sche Axiom F~ = m · ~a erf¨ ullt ist.(⊛)
(b) Berechne zuerst die durchschnittliche Geschwindigkeit. Wo ist diese Maximal und welchen Wert nimmt sie an.(⊛) (c) Berechne die gesamte Energie und zeige dass die Energie erhalten ist.(⊛) 3. St¨ osse (a) Bestimmen des Rollwiderstandes Wir betrachten einen vollkommen elastischen Stoss mit Rollwiderstand.
2 i. Theorie(⊛⊛) Betrachte einen K¨orper der sich auf einem Tisch unter dem Einfluss der Schwerkraft fortbewegt. Berechne als erstes den Energieverlust aufgrund der Reibung, falls der K¨orper eine Strecke L zur¨ ucklegt. Im Experiment lassen wir einen von links einfahrenden Wagen der Masse (m1 ) auf einen stehenden Wagen der Masse (m2 = m1 + ∆m) aufprallen. Wir messen beim Experiment die Geschwindigkeiten des Wagens 1 vor und nach dem Stoss und diejenige des Wagens 2 nach dem Stoss mithilfe von Lichtschranken Die Lichtschranken weisen einen Abstand L auf und wir platzieren den Wagen 2 so, dass der Stoss nach der Strecke L/2 erfolgt (siehe Skizze unten). Berechne nun den Energieverlust bei diesem Stoss welchen wir mithilfe der Lichtschranken messen sollten. ii. Experiment(⊛) Bestimme den Rollwiderstandskoeffizient mithilfe der Energieverlustes, indem du verschiedene Massen auf den Wagen 2 auflegst.
Abbildung 1: Anordnung des Experiments (b) Inelastischer Stoss Betrachte 2 Massen m1 und m2 mit den den Geschwindigkeiten v1 und v2 . Diese stossen zusammen, bleiben dabei aneinander kleben und bewegen sich so weiter fort. i. Theoretische Betrachtung (⊛) Berechne nun einmal die Geschwindigkeit nach dem Stoss, falls (a) die Energie erhalten ist und (b) falls der Impuls erhalten ist. Schliessen sie durch Wahl des Spezialfalles m1 = m2 und v1 = −v2 darauf, welchen Fall den inelastischen Stoss beschreibt. ii. Experiment (⊛⊛) Benutze die Luftkissenbahn um zu zeigen, dass die oben gefundene Relation f¨ ur inelastische St¨osse bei v2 = 0 g¨ ultig ist. Benutze dazu verschiedene Geschwindigkeiten von Wagen 1 und h¨ange eine bestimmte Masse an Wagen 2. 4. Energie(⊛⊛) Betrachte einen Keil aus Holz (H¨ohe = 0.3m, Breite m = 0.8kg, L¨ange L und Dichte ρ = 900kg/m3 ) den man mit der Spitze nach unten ins Wasser
3 (ρW = 1000kg/m3 ) wirft. Aus welcher H¨ohe muss man ihn loslassen, dass er ganz eintaucht? Tipp: Man muss alles u ¨ber die Energieerhaltung rechnen. 5. Bewegung einer Masse auf einer Bahn Wir betrachten hier die Bewegung einer Massenpunktes auf einer Bahn unter der Wirkung der Gravitation. (a) Energieerhaltung(⊛) Ein Masseteilchen bewege sich auf einer Bahn die durch die Funktion y(x) = x3 − x gegeben ist unter dem Einfluss der Schwerkraft. Es sollte klar sein, dass die Geschwindigkeit in y−Richtung abh¨angig von der Geschwindigkeit in x−Richtung ist. Berechne in einem ersten Schritt den Betrag der Geschwindigkeit und benutze in einem 2. ¨ Schritt dieses Resultat und die Energieerhaltung um die Anderungsrate der Position (x) ˙ in Abh¨angigkeit der Position und der Energie zu berechnen. (b) Berechnen der Bahn(⊛) Die Beschleunigung der Masse m in x−Richtung ist durch x ¨(t) = g−3·gx2 +6·x·x˙ 2 −18x3 x˙ 2 gegeben. Berechne mithilfe eines VBA Program2−6x2 +9x4 mes die Bahn eines Teilchens auf dieser Parabel mit den Anfangsbedingungen x0 = 1.1 und x˙ 0 = 0.63. Verifiziere mithilfe des Programmes die Energieerhaltung. 6. Kreisbewegung Betrachte ein Teilchen mit der Geschwindigkeit ~v . (a) Zeige, dass eine Kraft F~ , welche senkrecht zur Geschwindigkeit wirkt, die Energie eines Teilchens nicht ¨andert.(⊛) ~ ohne (b) Schliesse daraus, dass ein Elektron im homogenen Magnetfeld B aussere Krafteinwirkung sich auf einer Kreisbahn bewegt. Die Kraft, ¨ welche das Elektron mit der Ladung q erf¨ahrt ist durch die Lorentz~ gegeben.(⊛⊛) kraft F~ = q~v × B 7. Rotationsbewegung (a) Das Tr¨ agheitsmoment I wird, wie im Skript gezeigt, folgendermassen berechnet. N P mi ri2 I= i=1
F¨ ur eine kontinuierliche Massenverteilung wird die Summe durch ein Integral ersetzt.
4 I=
Rr1
m(r)r2 dr
r0
Berechne das Tr¨agheitsmoment eines Hohlzylinders mit Innenradius R4 und Aussenradius R und H¨ohe h, bei welchem die Dichte in ur die Abh¨ angigkeit des Radius durch ρ(r) = ρ0 rR5 gegeben ist, f¨ Rotation um die Symmetrieachse mithilfe der Integrale.(⊛⊛) 8. Bestimmung des Tr¨ agheitsmomemtes Wir bestimmen das Tr¨agheitsmoment des K¨orpers (Zylinder oder Kugel) indem wir diesen K¨orper eine schiefe Ebene herunterrollen lassen. (a) Bestimmung der Bewegungsgleichung (⊛) Bestimme die Geschwindigkeit des Zylinders resp. der Kugel unter der Annahme, dass sich das Tr¨agheitsmoment des K¨orpers als I = βmr2 schreiben kann. Betrachte dazu die Energieerhaltung. Leite anschliessend die erhaltene Geschwindigkeit nach der Zeit ab, um die Beschleunigung zu erhalten. Damit l¨asst sich einen Ausdruck f¨ ur s(t) berechnen. (b) Bestimmung der Koeffizienten (⊛) Bestimme mithilfe einer schiefen Ebene den Koeffizient β von 2 verschiedenen Zylindern, einem Hohlzylinder und einer Kugel. 9. SO2 Molek¨ ul (a) Betrachte ein SO2 Molek¨ ul, bei welchem der Abstand des S-Atoms von den O-Atomen 143 · 10−12 m betr¨agt. Der Bindungswinkel zwischen den Sauerstoffatomen betrage 119◦ . Zur Vereinfachung gebe ich euch die Positionen der Atome an. − cos(119) 143 0 10−12 m 10−12 m, ~rO2 = 143 , ~rO1 = sin(119) 0 0 Berechne die Tr¨agheitsmomente dieses Molek¨ uls.(⊛)
~rN =
(b) Quantenmechanisch ist die Energie bei einer Rotation ungef¨ahr durch 2 E = 8πh2 I J(J + 1) gegeben, wobei J die Rotationsquantenzahl ist. Quantenmechanisch gilt die Auswahlregel ∆J = ±1. Berechne bei ¨ welchen Wellenl¨angen Absorption auftritt, f¨ ur die Uberg¨ ange von J = 1 nach J = 2 und von J = 2 nach J = 3. (⊛)
