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Fachrichtung Physik Institut f¨ ur Theoretische Physik Vorlesung Theoretische Mechanik (Lehramt)
Sommersemester ???? Beispiel fu ¨ r Klausur
1. Aufgabe: Betrachten Sie das Kraftfeld F⃗ (⃗r) = (αy 2 z 3 − 6βxz 2 )⃗ex + 2αxyz 3⃗ey + (3αxy 2 z 2 − 6βx2 z)⃗ez mit den Konstanten α und β. (a) Pr¨ ufen Sie, ob F⃗ konservativ ist. (b) Ein Massenpunkt werde vom Ursprung entlang der x-Achse zum Punkt ⃗r1 = x0⃗ex verschoben, anschließend parallel zur y-Achse vom Punkt ⃗r1 zum Punkt ⃗r2 = x0⃗ex +y0⃗ey und schließlich parallel zur z-Achse vom Punkt ⃗r2 zum Punkt ⃗r0 = x0⃗ex + y0⃗ey + z0⃗ez . Berechnen Sie die Arbeit W , die dabei verrichtet werden muss. (c) Existiert f¨ ur das Kraftfeld F⃗ ein Potential? Wenn ja, wie lautet es? 2. Aufgabe: Ein K¨orper der Masse m bewege sich im Schwerefeld der Erde unter dem Einfluss Newtonscher Reibung (F⃗R = −αv 2 ⃗vv ). (a) Stellen Sie die Newtonsche Bewegungsgleichung auf. (b) Beschr¨anken Sie sich auf eine vertikale Bewegung in z-Richtung und betrachten sie den Fall, dass der K¨orper zur Zeit t = 0 mit der Geschwindigkeit z(t ˙ = 0) = 0 zu fallen beginnt (“Freier Fall mit Newtonscher Reibung”). Berechnen Sie die Zeitabh¨angigkeit der Fallgeschwindigkeit z(t). ˙ (Hinweis: M¨ogliche L¨osung durch Variablentrennung!)
(c) Berechnen Sie f¨ ur die Anfangsbedingung z(t = 0) = h den Fallweg z(t). (d) Welche N¨aherungen gelten f¨ ur z(t) ˙ und z(t) im Grenzfall kleiner Zeiten t? Hinweise: ∫ Es k¨onnten Integrale vom Typ
du c2 −u2
= 1c artanh uc und
∫
Außerdem gelten die Reihenentwicklungen: sinh u = u + 2 ln(1 + u) = u − u2 + . . . .
du tanh(cu) = u3 3!
1 c
ln | cosh(cu)| auftreten.
+ . . . , cosh u = 1 +
u2 2!
+
u4 4!
+ ... ,
3. Aufgabe: Betrachtet werde ein Bezugssystem Σ′ , das mit ω ⃗ = konstant rotiert und dessen Ursprung mit dem des Inertialsystems Σ zusammenf¨allt. Welche Kraft F⃗ ist erforderlich, damit ein Teilchen mit der Masse m in dem Bezugssystem Σ′ am Ort ⃗r0 ′ ruht? Geben Sie explizit Betrag und Richtung dieser Kraft an und interpretieren Sie das Ergebnis. 4. Aufgabe: Berechnen Sie das Tr¨agheitsmoment einer Kugel (Masse m, Radius R) mit homogener Massenverteilung. W¨ahlen Sie zur Berechnung die z-Achse des Koordinatensystems so, dass sie mit der Rotationsachse zusammenf¨allt.
Ru ¨ ckseite beachten!!!
5. Aufgabe: Zwei Massen m1 und m2 befinden sich im Schwerefeld der Erde und sind durch ein u ¨ber eine Rolle (Radius R) laufendes Seil (L¨ange L) miteinander verbunden (siehe Abbildung). Rolle und Seil werden als masselos angenommen.
z
m1
m2
(a) Formulieren Sie die (holonomen) Zwangsbedingungen. (b) Stellen Sie die Lagrange-Gleichung erster Art auf. (Betrachten Sie dabei nur die Bewegung in z-Richtung) (c) Bestimmen Sie die Beschleunigung z¨1 (t). ⃗ 1 und Z ⃗2. (d) Berechnen Sie die Zwangskr¨afte Z 6. Aufgabe: Gegeben sei ein ebenes mathematisches Pendel (Pendell¨ange L, Masse m), dessen Aufh¨angepunkt von außen gem¨aß der Funktion f (t) in horizontaler Richtung bewegt wird (in der Pendelebene). (a) Wie lauten kinetische und potentielle Energie f¨ ur das Pendel in kartesischen Koordinaten? (b) W¨ahlen Sie den Auslenkwinkel φ des Pendels als generalisierte Koordinate und stellen Sie die Lagrange-Funktion L = L(φ, φ, ˙ t) auf. (c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Gleichungen zweiter Art die Bewegungsgleichung f¨ ur das Pendel. (d) Betrachten Sie den Fall kleiner Auslenkungen φ und diskutieren Sie qualitativ die Bewegung des Pendels f¨ ur die beiden F¨alle: (i) Aufh¨angepunkt des Pendels f¨ uhrt eine gleichf¨ormige horizontale Bewegung aus, (ii) Aufh¨angepunkt des Pendels f¨ uhrt eine harmonische horizontale Bewegung f (t) = f0 cos(Ωt) aus.
