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Probeklausur: Lo ¨sung Aufgabe 6 Hinweis: Fertigen Sie sich Skizzen f¨ ur die L¨osung an! Aufgabe Gegeben sei eine Ebene, in der alle Inzidenz-, Anordnungs- und Kongruenzaxiome gelten. a) Formulieren Sie den Kongruenzsatz [SsW]. b) Sei ein Winkel ∠(h, k) gegeben. Beweisen Sie, dass ein Punkt im Inneren des Winkels genau dann auf der Winkelhalbierenden dieses Winkels liegt, wenn die Lote auf die Schenkel gleich lang sind. c) Gegeben seien zwei nicht parallele Geraden, deren auf einem Blatt Papier sichtbaren Teile sich dort nicht schneiden. Leiten Sie eine Konstruktion mit einem Lineal, das nur eine Zentimeter-Einteilung besitzt, der Winkelhalbierenden auf dem Papier her. Diskutieren Sie die Korrektheit und Durchf¨ uhrbarkeit der Konstruktion. L¨ osung: Zu (a) Zwei Dreiecke ∆(A, B, C) und ∆(A0 , B 0 , C 0 ) mit AB > AC sind kongruent, genau dann, wenn AB ∼ = A0 B 0 , AC ∼ = A0 C 0 sowie ∠(ACB) ∼ = ∠(A0 C 0 B 0 ). (1 Punkt) ¯ bzw. K ∈ k¯ Zu (b) Sei P ein Punkt im Inneren des Winkels, O der Schenkel des Winkels und H ∈ h ¯ ¯ die Lotfußpunkte des Punktes P auf die Geraden h und k, die die jeweiligen Strahlen enthalten. (⇒) Liege P auf der Winkelhalbierenden. Angenommen einer der beiden Lotfußpunkte liegt außerhalb des Strahls, also z.B. H 6∈ h. Dann w¨are ∠(OP, h) der Außenwinkel des Dreiecks ∆(O, H, P und damit gr¨ oßer als der rechte Winkel ∠(P OH), also ein stumpfer Winkel. Halbe Winkel sind aber immer spitz. Also liegen beide Fußpunkte auf den Strahlen. Dann gilt ∠(P OH) ∼ = ∠(P OK) (P liegt auf Winkelhalbierender), P O = P O sowie ∠(P HO) ∼ = ∠(P KO) (rechte Winkel). Also sind nach [WSW] die Dreiecke ∆(O, P, H) ∼ = ∆(O, P, K) kongruent und insbesondere P H ∼ = P K. ∼ (⇐) Seien die Lote P H = P K kongruent. Außerdem ist wider OP = OP und ∠(P HO) ∼ = ∠(P KO) (rechte Winkel). Rechte Winkel sind immer die gr¨oßten Winkel und da einem solchen die gr¨oßte Seite gegen¨ uberliegt, k¨ onnen wir [SsW] anwenden, so das gilt: ∆(O, P, H) ∼ = ∆(O, P, K). Insbesondere isind die Winkel ∠(P OH) ∼ = ∠(P OK). Die Lote der Punkte im Inneren eines spitzen Winkels auf dessen Schenkel liegen immer auf denselben. Der Punkt P liegt entweder auf der Winkelhalbierenden w (was zu zeigen ist) oder im Inneren von eines der beiden Winkel die diese mit h und k formt. Angenomen, Sie liege im Inneren von ∠(h, w). Dann leigt H ∈ h auf dem Schenkel, da halbe Winkel spitz sind. Ware K 6∈ k, dann l¨age H im Inneren von ∠(KOP im Widerspruch zur Kongruenz. Also liegen H ∈ h und K ∈ k und somit P ∈ w auf der Winkelhalbierenden. (4 Punkte: 2 Punkte f¨ ur jede Richtung. Die fehlende Diskussion der Lage der Fußpunkte f¨ uhrt zu einem Abzug von 0.5 Punkten. Die Nichterw¨ahnung der Voraussetzung OP > OH f¨ uhrt zum Abzug von einem Punkt.)
Zu (c) W¨ahle zwei Punkte A und B auf den gegebenen Geraden g und h . Konstruiere mit dem Lineal die Winkelhalbierenden der folgenden Winkel: die g und G(A, B) in A auf der Seite, in der B liegt, bzw. h und G(A, B) in B auf der Seite, in der A liegt, bilden (Beschreibung und Begr¨ undung dieser Konstruktion sp¨ ater). Behauptung: Die Winkelhalbierenden die jeweils auf derselben Seite von AB liegen schneiden sich in U bzw. V . Da U auf einer Winkelhalbierenden in A liegt, sind die Lotstrecken von U auf g bzw. G(A, B) kongruent. Da U auch auf einer Winkelhalbierenden in B liegt, sind die Lotstrecken von U auf h und G(A, B) kongruent. Also sind die Lotstrecken von U auf g und h kongruent. Wegen der eingangs gemachten Auswahl der Seiten der Winkel, die halbiert wurden, liegt U im Inneren des gegebenen Winkels. Aus (b) folgt, dass U auf der Winkelhalbierenden liegt. das Gleiche gilt f¨ ur V . U und V sind also zwei Punkte auf der gesuchten Winkelhalbierenden und diese ist folglich durch die Gerade G(U, V ) bestimmt. Durchf¨ uhrbarkeit der Konstruktion von U und V : Da die Strahlen Winkelhalbiernde sind, formen sie mit AB jeweils spitze Winkel. Zwei Strahlen in A bzw. B auf derselben Seite von AB, die mit AB spitze Winkel formen, schneiden sich: die zugeh¨origen Geraden m¨ ussen sich schneiden, da die Gegenwinkel keine nebenwinkel voneinander sein k¨onnen. Die ”Gegenstrahlen” bilden mit AB zwei stumpfe Winkel und k¨ onnen sich daher nicht schneiden, da es in einem Dreieck h¨ochstens einen stumpfen Winkel geben kann. Also schneiden sich die Strahlen selbst. Zur Konstruktion der Winkelhalbierenden in A bzw. B. Gegeben sei ein Winkel ∠(k, l) in O. Trage Punkte C, D ∈ k und E, F in l ab, so dass OC ∼ = OE (z.B. 1cm) und OD ∼ = OF (z.B. 2cm). G sei der Schnittpunkt von CF und DE. Behauptung: der Strahl in O durch G ist die gesuchte Winkelhalbierende. Durchf¨ uhrbarkeit und Korrektheit dieses Teils der Konstruktion: Der Schnittpunkt G existiert wegen Pasch. OC ∼ = OE, OD ∼ = OF sowie ∠(COF ) ∼ = ∠(EOD) implizieren nach [SWS] die Kongruenz der Dreiecke ∆(C, O, F ) ∼ = ∆(E, O, D) und insbesondere ∠(OF C) ∼ = ∠(ODE) und ∠(F CD) ∼ = ∠(DEF ) (letztere sind kongruente Außenwinkel). Weiterhin ist CD ∼ = EF (im Beispiel 2 − 1 = 1cm) und wegen [WSW] ∆(C, D, G) ∼ = ∆(E, F, G) und damit CG ∼ = EG. Da weiterhin ∼ OC = OE nach Konstruktion und OG = OG ist nach [SSS] ∆(O, C, G) ∼ = ∆(O, E, G),insbeondere ∠(COG) ∼ = ∠(EOG) w.z.b.w. (5 Punkte: f¨ ur die Idee, Winkelhalbierende der Winkel, die a bzw. b mit AB formen und die Begr¨ undung 2 Punkte, f¨ ur die Idee der Konstruktion dieser Winkelhalbierenden mit Begr¨ undung 2 Punkte, f¨ ur die Begr¨ undung der Durchf¨ uhrbarkeit (Existenz der Schnittpunkte) 1 Punkt)
