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& '( ) * + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!,& Gegeben seien die Ereignisse A und B. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass sie eintreten betragen 0,4 bzw. 0,5. Falls die beiden Ereignisse disjunkt sind, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A und B gleichzeitig eintreten: - 0,0
- 0,9
.- 0,2
& '( ) * + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!,& Gegeben seien die Ereignisse A und B. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass sie eintreten betragen 0,4 bzw. 0,5. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A und B gleichzeitig eintreten, beträgt 0,1. Somit kann man folgern, .-
dass A und B unabhängig voneinander sind. dass A und B disjunkt sind. dass A und B nicht unabhängig voneinander sind. dass A und B nicht disjunkt sind.
& '( ) * + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!,& Für welche der folgenden Zufallsvariablen wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch die Binomial-Verteilung beschrieben? .-
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Lebensdauer eines zufällig ausgewählten Bauteils aus einer Serienproduktion. Anzahl defekter Teile eines Produkts, das zufällig aus der Serienproduktion ausgewählt wurde. Anzahl von Bauteilen, deren Lebensdauer weniger als 950 Stunden beträgt, in einer Stichprobe mit 5 Bauteilen aus einer Serienproduktion. keiner der obigen Aussagen
& '( ) * + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!,& Welche der folgenden Angaben ist richtig? .-
Var [ a X + b ] = a · Var [ X ] Var[ X – Y ] = Var [ X ] + Var [ Y ] σ X–Y = σ X + σ Y
σ
x−y
=
( Var [ X 2 ] + Var [Y 2 ] ) 1
1$
& '( ) * + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!,& Sei X eine geometrischverteilte Zufallsvariable. Folgende 3 Bedingungen für X sind unten angegeben: - Die einzelnen Versuche im n-stufigem Zufallsexperiment sind unabhängig voneinander. - Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg (bzw. Misserfolg) ist in jedem Versuch gleich und konstant. )- Die Wahrscheinlichkeiten für alle Ausgänge (Ergebnisse) im n-stufigem Zufallsexperiment sind gleich. Welche der obigen Bedingungen muss die Zufallsvariable X erfüllen? -
- nur a) .- alle drei Bedingungen
nur a) und b) - nur a) und c)
2$ + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%/& Folgende geordnete Datenreihe gibt die Anzahl der Beschwerden von Passagieren auf einer bestimmten Flugstrecke bei 50 verschiedenen Flügen einer Airline an. 0
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- Geben Sie das Merkmal an, welches hier untersucht wird. - Welche der folgenden Angaben gibt den Merkmalstypen und das Skalenniveau für das Merkmal richtig an. quantitativ, stetig und kardinalskaliert (metrisch) quantitativ, diskret und kardinalskaliert (metrisch) )- - Bestimmen Sie den Median xMed , das 25%-Quantil x0,25 , das 75%-Quantil x0,75 und die Spannweite R. Tragen Sie die Linie für den Median in den folgenden Boxplot ein. Beschriften Sie den Boxplot und tragen Sie die Werte dafür auf die Zahlengerade ein.
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- Erstellen Sie aus der Datenreihe eine Häufigkeitstabelle. - Berechnen Sie den Mittelwert (das arithmetische Mittel) und die Standardabweichung. - Beschriften Sie die leeren Kästen in den beiden Diagrammen. -
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3$ + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Das elektronische System in der Abb. besteht aus 3 Komponenten, die unabhängig voneinander arbeiten. Es seien P(A) = 0,9 ; P(B) = 0,8 bzw. P(C) = 0,6 die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten A ; B ; bzw. C (zuverlässig) funktionieren. Das System funktioniert dann zuverlässig, wenn die Komponenten „A und B „ oder „C „ oder „alle 3 Komponenten“ zuverlässig funktionieren.
A
2&
B C
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das System zuverlässig funktioniert? 4$ + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4& Ein Computerhersteller bestellt bei einem Vertrieb Speicherchips. In der Warenlieferung befinden sich 1000 Speicherchips aus Japan, 2000 aus Korea und 2000 aus Taiwan. Aus Testergebnissen ist bekannt, dass 1% der Chips aus Japan, 3% der Chips aus Korea und 4% der Chips aus Taiwan defekt sind. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein aus der Lieferung zufällig entnommener Chip defekt ist? - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein defekter Chip, der aus der Lieferung zufällig entnommenen wurde, aus Japan stammt? 5$ +
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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- Sei X die Zufallsvariable für die Montagezeit (in Stunden) eines bestimmten Bauteil einer Serienproduktion mit der folgenden Dichtefunktion.
0 f (x
)=
m⋅ x − 0
für 0 , 16
für für
x < 2 2≤ x ≤ 7 7< x
Zeigen Sie, dass m = 0,08 ist. - Die Verteilungsfunktion für die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X lautet:
0 F(x
)=
0 , 04 x 2 − 1
für 0 , 16 x + 0 , 16
für für
x < 2 2≤ x ≤ 7 7< x
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Montagezeit mehr als 3 Stunden dauert? - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Montagezeit zwischen 3 und 5 Stunden dauert? )- Bestimmen Sie den Median (die 50-te Perzentile, das 50%-Qunatil) für die Montagezeit. -
Die Bauteile werden unabhängig voneinander produziert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 20 hergestellten Bauteilen bei mindestens 2 Bauteilen die Monatgezeit weniger als 3 Stunden dauert?
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%6$
+ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ,& In einem Produktionsprozess ist bekannt, dass im Mittel ein Artikel pro 100 hergestellte Artikel defekt ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe vom Umfang 5 aus der Serienproduktion der 5-te entnommne Artikel der erste defekte Artikel ist?
%%$ + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! %6& Ein Elektrokonzern stellt Halogenlampen mit einer durchschnittlichen Lebensdauer von 800 Stunden und einer Standardabweichung von 40 Stunden her. Die Lebensdauer sei eine normalverteilte Zufallsvariable. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Halogenlampe eine Lebensdauer zwischen 750 und 850 Stunden hat? - Wie groß ist die 90-te Perzentille für die Lebensdauer der Halogenlampen? %/$ + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ,& Die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der verkauften Hybridfahrzeuge eines Händlers innerhalb einer Woche sei durch folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben. j Anzahl der Autos X = x j Wahrscheinlichkeitsfunktion P ( X = x j) = f (x j)
1 0
2 1
3 2
4 3
5 4
6 5
0,28
0,15
0,11
0,08
0,06
Der Händler erwirbt jedes Fahrzeug für einen Preis von 21000 € und verkauft es dann für 24500 €. - Tragen Sie in die obige Tabelle den Wert für P ( X = 0 ) ein. - Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn des Händlers in einer Woche? + +
( 9:(
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8 +
9 )( 9
9
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%0$ 7( + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! %,& Eine Fluggesellschaft weiß aus Erfahrung, dass für Flüge auf einer bestimmten Kurzstrecke im Durchschnitt nur 70% aller Passagiere den von ihnen gebuchten Flug antreten. Die Airline möchte für diese Strecke ein Flugzeug mit 50 Plätzen einsetzen. Wie viele Tickets können maximal verkauft werden, wenn das Risiko, Passagiere nicht mitnehmen zu können, höchstens 1% (1% oder weniger als 1%) bleiben soll? %,$ 7( + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! %,& Zwischen zwei bestimmten physikalischen Messgrößen u und v besteht folgender Zusammenhang: 1 v = α − β ⋅ ; wobei α und β zwei Konstanten sind. u Die folgende Tabelle gibt die Messwerte von v für verschiedene Werte von u an. u v
1 4,2
2 2,4
3 2,1
4 1,8
5 1,5
- Bestimmen Sie die Schätzwerte für die Konstanten α und β . - Schätzen Sie v, wenn u = 0,5 ist. 4
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# - Also sind insgesamt 3% der Chips in der Warenlieferung defekt. - Von den defekten Chips sind 6% aus Japan. 8
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# Die Aufgabe muss durch eine Ungleichung gelöst werden. Sie können aber diese Aufgabe mit Hilfe einer Gleichung lösen und dann anschließend anhand des Aufgabentextes entscheiden, ob Sie die Endlösung aufrunden oder abrunden müssen. 13
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