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Aufgabe 1
18 Punkte
20 Studenten werden gefragt, wie viele Stunden sie durchschnittlich pro Tag ihr Smartphone eingeschaltet haben und Nachrichten empfangen sowie senden (Merkmal X ). Es ergibt sich folgende Urliste: Aufgabe 1 18 Punkte 2; 1; 3; 7; 10; 2; 5; 10; 2; 11; 9; 4; 14; 9; 0; 5; 3; 3; 5; 3
20 Studenten werden gefragt, wie viele Stunden sie durchschnittlich pro Tag ihr Smartphone eingeschaltet a) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, den Median sowie die Standardabweichung von X. haben und Nachrichten empfangen sowie senden (Merkmal X ). Es ergibt sich folgende Urliste: b) R : Geben Sie R-Befehle an, um die Daten in einer Variable x zu speichern und die gesuchten Größen aus 2;(Sie 1; 3;dürfen 7; 10;die 2; 5; 10;der 2; 11; 9; 4; 14; 9; 0; 5; 3; 3; 5; 3 Teilaufgabe a) zu berechnen Liste Daten abkürzen). c) Erstellen Sie eine Tabelle der kumulierten relativen Häufigkeiten zu allen in der Umfrage genannten Aus-
a) Bestimmen prägungen. Sie das arithmetische Mittel, den Median sowie die Standardabweichung von X.
b)d) RR: :Geben Sie R-Befehle umman dieTeilaufgabe Daten in einer Variable x zu speichern und die gesuchten Größen aus Mit welchem R-Befehlan, kann c) realisieren? Teilaufgabe a) zu berechnen (Sie dürfen die Liste der Daten abkürzen). e) R : Geben Sie in R zur empirischen Verteilungsfunktion F die Werte F .3;9/ und F .11/ an.
Probeklausur Statistik Sommer 2015
c) Erstellen Sie eine Tabelle der kumulierten relativen Häufigkeiten zu allen in der Umfrage genannten Ausf)prägungen. R : Die erhobenen Werte sollen den Klassen d) R : Mit welchem R-Befehl kann manKTeilaufgabe c) Klasse K2 K3realisieren? K4 1 Intervall
K5 Œ0; 4/ Œ4; 8/ Œ8; 10/ Œ10; 12/ Œ12; 24
e) R : Geben Sie in R zur empirischen Verteilungsfunktion F die Werte F .3;9/ und F .11/ an. f)
werden. Geben einen passenden Rzugeordnet : Die erhobenen Werte Sie sollen den KlassenR-Befehl an, so dass ein Histogramm der Daten mit dieser Klassenaufteilung gezeichnet würde.
Klasse Intervall
Aufgabe 2
K1 K2 K3 K4 K5 Œ0; 4/ Œ4; 8/ Œ8; 10/ Œ10; 12/ Œ12; 24
17 Punkte
In einem Restaurant wird bei 7 Gästen die Rechnungshöhe R zusammen mit dem gegebenen Trinkgeld T zugeordnet werden. Sie einen passenden R-Befehl an, so dass ein Histogramm der Daten mit dieser erfasst. Es ergeben sichGeben folgende Werte:
Klassenaufteilung gezeichnet würde. i 1 2 Ri Ti
3
4
5
6
7
218,92 63,56 11,74 285,72 181,66 28,33 392,99 19,08 8,44 2,26 22,28 17,34 4,67 25,01
a) Berechnen Sie einen geeigneten Korrelationskoeffizienten zwischen Rechnungshöhe und Trinkgeld. Interpretieren Sie das Ergebnis. b) R : Geben Sie R-Befehle an, um die Lösung von a) zu berechnen (Die Eingabe der Daten dürfen Sie abkürzen). c) Bestimmen Sie die Regressionsparameter eines linearen Modells, in dem die Höhe des Trinkgeldes in Abhängigkeit von der Rechnungshöhe beschrieben wird. Wieviel Trinkgeld würden Sie nach diesem Modell bei einer Rechnung von 200 € erwarten? d) R : Geben Sie R-Befehle an, um das Regressionsmodell zu bestimmen, den Determinationskoeffizienten des Modells zu berechnen, einen geeigneten Streuplot auszugeben und die Regressionsgerade in den Streuplot einzuzeichnen. e) Zeichnen Sie die Werte zusammen mit der Regressionsgerade in ein geeignetes Koordinatensystem ein.
Aufgabe 3
14 Punkte
Johann wohnt bei seinen Eltern. Sein Studium und insbesondere die Begleiterscheinungen durch soziale Aktivitäten haben ihn in letzter Zeit ziemlich gefordert, so dass er eines Tages nach dem Aufwachen überhaupt nicht weiß, welcher Wochentag gerade ist. Allerdings hat er folgendes beobachtet: Wenn er die Küche seiner Eltern an Sonntagen betritt erklingt mit 20 % Wahrscheinlichkeit Blasmusik aus dem Radio, an anderen Wochentagen nur mit 2 % Wahrscheinlichkeit. Johanns Vater ist am Montag, Dienstag und Mittwoch immer schlecht gelaunt. a) Johann öffnet die Küchentüre. Es erklingt Blasmusik. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist gerade Sonntag? b) Johann stellt nach einer Minute am Küchentisch fest, dass sein Vater blendender Laune ist. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass Sonntag ist?
Aufgabe 1 Aufgabe 4
18 Punkte
15 Punkte
20 Studenten werden gefragt, wie viele Stunden sie durchschnittlich pro Tag ihr Smartphone eingeschaltet haben sowie senden (Merkmal XX).. Es ergibt sich folgende Urliste: Gegeben istund eineNachrichten im Intervallempfangen Œ2I b gleichverteilte Zufallsvariable
2; 1; 3; 7; 10; 2; 5; 10; 2; 11; 9; 4; 14; 9; 0; 5; 3; 3; 5; 3 a) Bestimmen Sie b so, dass für die Verteilungsfunktion F .x/ gilt: F b2 D 0;4. Bestimmen das arithmetische Mittel, den Median sowie die Standardabweichung von X. b)a)Berechnen SieSie F .4/. GebenSie Sie einen R-Befehle an, um Daten einer Variable x zu b) speichern die gesuchten Größen R-Befehl an,dieder den in gesuchten Wert von mit derund Verteilungsfunktion der aus c)b) RR: :Geben Teilaufgabe a) zu berechnen (Sie dürfen die Liste der Daten abkürzen). Gleichverteilung ausgibt. c) Erstellen Sie eine Tabelle der kumulierten relativen Häufigkeiten zu allen in der Umfrage genannten AusJetzt ist eine poissonverteilte Zufallsvariable Y gegeben, für die P .Y = 5/ D 0;3 gilt. prägungen.
d)d)Bestimmen Sie für YR-Befehl den Wertkann von man F .4/.Teilaufgabe c) realisieren? R : Mit welchem e) R :istGeben Sie in R zur empirischen Verteilungsfunktion F D die3/ Werte F .3;9/ und F .11/ an. Schließlich eine poissonverteilte Zufallsvariable Z mit Z P . gegeben. : Die erhobenen Wertemit sollen den Klassen Sie eine Zeile R-Befehlen an, die das Ergebnis von P .2 5 Z < 5/ berechnet. e)f) RR: Geben Klasse Intervall
K1 K2 K3 K4 K5 Œ0; 4/ Œ4; 8/ Œ8; 10/ Œ10; 12/ Œ12; 24
Aufgabe 5
14 Punkte
zugeordnet werden. Geben Sie einen passenden R-Befehl an, so dass ein Histogramm der Daten mit dieser Klassenaufteilung gezeichnet würde. Es sei .X1 ; : : : ; Xn / eine einfache Stichprobe, wobei für die Stichprobenvariablen gelte:
E .Xi / D 1;
Var .Xi / D 2
für i D 1; : : : ; n
a) Berechnen Sie E Xi2 . (Hinweis: Benutzen Sie den Verschiebungssatz der Varianz). b) Nun soll die Varianz 2 der Grundgesamtheit geschätzt werden. Ist die Funktion 1 O D X12 C X22 C C Xn2 n
1
ein erwartungstreuer Schätzer für 2 ?
Aufgabe 6
12 Punkte
Ein Getränkehersteller füllt Limonade in 700 ml Flaschen ab. Die Anlage ist auf ein Abfüllvolumen von 702 ml eingestellt. Dem Hersteller ist daran gelegen, dass das Abfüllvolumen in den Flaschen dem eingestellten Volumen entspricht. Bei einer einfachen Stichprobe von 17 Flaschen betrug das Stichprobenmittel des Abfüllvolumens 701,2 ml bei einer Stichprobenstandardabweichung von 1 ml. Das Abfüllvolumen in der Grundgesamtheit kann als normalverteilt angesehen werden. a) Testen Sie zu einem Signifikanzniveau von 1%, ob das durchschnittliche Abfüllvolumen in der Grundgesamtheit dem eingestellten Volumen entspricht. b) R : Angenommen, die Stichprobe ist in der R-Variablen x gespeichert. Geben Sie einen R-Befehl an, mit dem man ein Konfidenzintervall für den Mittelwert des abgefüllten Volumens in der Grundgesamtheit zum Konfidenzniveau 95 % sowie das Ergebnis des Tests aus Teilaufgabe a) ablesen kann.
