Probeklausur Zu Mathematik 3 Für Informatik

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Gunter Ochs 29. Juni 2015 Probeklausur zu Mathematik 3 für Informatik Zu bearbeiten sind 8 der 10 Aufgaben. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten. Alle Aufgaben werden gleich gewichtet (10 Punkte ereichbar). Bei mehr bearbeiteten Aufgaben werden die 8 besten gewertet. Zm Bestehen der Klausur sind 40 Punkte (50 % der erreichbaren Punktzahl) erforderlich. √ 1. Sei f (x) = x3 −1 x−1 . (a) Bestimmen Sie den Grenzwert limx→1 f (x). f 0 (x). (c) Berechnen Sie die Ableitungsfunktion x0 = 4. (d) Bestimmen Sie die Gleichung für die Tangente an der Stelle 2. Sei f (x, y) = (x2 + 2) · ey−1 + 2x − 3y (a) Berechnen Sie den Gradienten und die HesseMatrix von (b) Prüfen Sie, ob an der Stelle (x1 ; y1 ) = (−1; 1) f. ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegt. (c) Geben Sie die Gleichung für die Tangentialebene im Punkt 3. Gemessen werden zwei Gröÿen x = 2 ± 0, 1 und (x0 ; y0 ) = (0; 1) an. y = 1 ± 0, 2. Bestimmen Sie mittels einer linearen Approximation des Fehlers, mit welcher Genauigkeit sich daraus die Gröÿen (a) z= x2 y und (b) w =x· √ x + 2y berechnen lassen. 4. Gegeben seien folgende Dierentialgleichungen 1. Ordnung für die Funktion (i) x0 = tx − x , t x(t): (ii) x0 = t3 · e−x (a) Handelt es es um lineare Dierentialgleichungen? Wenn ja, homogen oder inhomogen? (b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dierentialgleichungen (i) und (ii). (c) Finden Sie jeweils eine spezielle Lösung mit 5. x(1) = 1. (a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dierentialgleichung x00 + 4x0 + 8x = 0. (b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dierentialgleichung x00 + 4x0 + 8x = t. 60 %, wenn jemand eine Frage falsch beantwortet. Gleichzeitig zeigt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % auch dann eine Lüge an, wenn 6. Ein Lügendetektor erkennt mit einer Wahrscheinlichkeit von die Frage wahrheitsgemäÿ beantwortet wird. Eine befragte Person lügt mit einer Wahrscheinlichkeit von 30 %. (a) Beschreiben Sie die angegebenen Wahrscheinlichkeiten als (ggf. bedingte) Wahrscheinlichkeiten mit den Ereignissen A: Lügendektor zeigt Lüge an und B: Befragte Person lügt. (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt der Lügendetektor eine Lüge an? (c) Angenommen, der Lügendetektor zeigt eine Lüge an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die befragte Person gelogen? Probeklausur zu Mathematik 3 für Informatik Seite 2 7. Bei einem Glücksspiel wird ein fairer Würfel geworfen. Bei einer 5 beträgt der Gewinn 1 beträgt er 1 5 Euro, bei einer Euro und bei einer gewürfelten 2, 3, 4 oder 6 gibt es keinen Gewinn. (a) Geben Sie die Verteilung des Gewinns Frage kommenden Werte X an. (d. h. die Wahrscheinlichkeiten P (X = k) für alle in k) X. (b) Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns (c) Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gesamtgewinns bei 30 Spielen. (d) Bestimmen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass bei 30maligem Würfeln der Gewinn mindestens 35 Euro beträgt. 8. Von 32 Karten eines Kartenspiels haben 8 die Farbe Karo. (a) Es werden 6 Karten (ohne Zurücklegen) gezogen. Wie kann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass sich unter den gezogenen Karten mindestens 2 KaroKarten benden ? (Angabe der Formel genügt) (b) Für die Aufgabenteile (b) bis (d) werden die Karten mit Zurücklegen gezogen, d. h. bei jedem Zug beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine KaroKarte Anzahl der gezogenen KaroKarten bei Welcher Verteilung genügt (c) Berechnen Sie P (X2 = 2), Xn n 1 4 . Die Zufallsvariable Xn bezeichne die Zügen. ? also die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 4 gezogenen Karten genau 2 KaroKarten benden. (d) Geben Sie Erwartungswert und Varianz von X16 , also der Zahl der gezogenen KaroKarten bei 16 Zügen, an. 9. Gegeben sei die Stichprobe vom Umfang n = 10 mit den Werten 1, 3, 6, 8, 1, 5, 2, 3, 6 und 5. (a) Geben Sie eine geordnete Urliste an. (b) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, den Median und die Quartile der Stichprobe. (c) Geben Sie die pQuantile x ˜p für p= 1 3 und p = 0, 8 an. (d) Berechnen Sie die empirische Varianz, die Standardabweichung, die Spannweite und den Interquartilsabstand. (e) Welche der in (b), (c) und (d) berechneten Gröÿen ändern sich nicht, wenn stattdessen die Stichprobe 1, 3, 6, 10, 1, 5, 2, 3, 6 und 5 (unterscheidet sich nur beim vierten Wert x4 = 10 von der ursprünglichen Stichprobe) betrachtet wird ? (kurze Antwort ohne Rechnung genügt) 10. Bei einem normalverteilten Merkmal mit unbekannter Varianz ergibt eine Stichprobe vom Umfang n = 11 ein arithmetisches Mittel (a) Testen Sie die Alternative niveau x = 111 und eine empirische Varianz H1 : µ 6= 120 gegen die Nullhypothese s2 = 99. H0 : µ = 120 zum Signikanz- α = 1 %. (b) Würde sich das Ergebnis in (a) ändern, wenn die Varianz σ 2 = 99 als bekannt vorausgesetzt würde? (c) Geben Sie ein einseitiges Kondenzintervall der Form für den Erwartungswert (d) Testen Sie zum Niveau H0 : σ2 = 60. µ (−∞, b] zum Vertrauensniveau 1 − α = 90 % an. α = 10% die Alternative H1 : σ 2 6= 60 gegen die Nullhypothese