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Prof. Dr. Rainer Dahlhaus Wahrscheinlichkeitstheorie 1

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Prof. Dr. Rainer Dahlhaus Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Sommersemester 2016 10. Übungsblatt Aufgabe 37 (Reproduktionsregeln für (Sub-)Martingale, 4 = 1 + 1 + 2 Punkte). Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Fn )n∈N eine Filtration auf (Ω, A). Beweisen Sie die folgenden Eigenschaft von (Sub-)Martingalen: (a) Sind (Xn )n∈N0 und (Yn )n∈N (Fn )n∈N -Martingale und a, b ∈ R, so ist auch (aXn + bYn )n∈N ein (Fn )n∈N -Martingal. (b) Falls (Xn )n∈N ein Submartingal bzgl. (Fn )n∈N ist, φ : R → R eine konvexe nicht-fallende Funktion, so ist (φ(Xn ))n∈N ein Submartingal bzgl. (Fn )n∈N . Setzen Sie dabei E|φ(Xn )| < ∞ für alle n ∈ N voraus. (c) Sind (Xn )n∈N und (Yn )n∈N (Fn )n∈N -Martingale und τ eine (Fn )n∈N -Stoppzeit mit Xτ = Yτ P-f.s. Zeigen Sie, dass dann auch (Zn )n∈N gegeben durch Zn := Xn 1{τ ≥n} + Yn 1{τ