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Mathematik Q1
Winkel zwischen Vektoren
Der Winkel zwischen Vektoren weiter
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Winkel zwischen Vektoren
Bei Windflaute wurden stromaufwärts fahrende Schiffe früher oft an langen Seilen von Menschen oder von Tieren geschleppt: Bei diesem „Treideln“ bringt z.B. ein Pferdegespann ständig eine bestimmte Kraft auf. Die Arbeit, die am Schiff verrichtet wird, hängt aber ganz stark von dem Winkel ab, den das Seil und die Flussrichtung bilden. Auf den folgenden Seiten wollen wir uns anschauen wie man solche Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kann.
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Winkel zwischen Vektoren
Durch einige Überlegungen, die wir hier nicht betrachten wollen, erhält man für den Winkel zwischen zwei Vektoren die folgende Gleichung:
a1 b1 a2 b2 a3 b3 cos ab a1 b1 wobei a a2 und b b2 und a a1 ² a2 ² a3 ² a b 3 3
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Winkel zwischen Vektoren
Berechne die Winkel zwischen den Vektoren
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Winkel zwischen Vektoren
Lösungen: (1) 73,125°
(6) 45°
(2) 68,332°
(7) 90°
(3) 70,893°
(8) 87,118°
(4) 75,504° (104,496°)
(9) 90°
(5) 73,937°
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Das Skalarprodukt Wir wollen uns nun den Zähler auf der rechten Seite der Gleichung ein wenig genauer anschauen. cos
a1 b1 a2 b2 a3 b3 ab
Es handelt sich um eine Verknüpfung (Multiplikation) der beiden Vektoren a und b. Bei dieser Multiplikation erhält man als Ergebnis immer eine Zahl (Skalar) und keinen Vektor. Man spricht deswegen von der Skalarmultiplikation. Man schreibt kurz:
a b a1 b1 a2 b2 a3 b3
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Das Skalarprodukt Was bedeutet das denn geometrisch? Wenn wir unsere gegebene Gleichung umstellen, dann erhalten wir: a b cos cos a b a b ab
ba a b a b a ba a b b
Klicke nun auf das grüne Fragezeichen und bearbeite die Aufgaben schriftlich. weiter
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Berechne das Skalarprodukt der Vektoren
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Lösungen 1) 15
6) 3
2) 40
7) 0
3) 3
8) 5
4) -5
9) 0
5) 20
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