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Analysis f¨ ur Informatiker (Prof. Dr. B¨ urgisser)
Wintersemester 10/11
2. P r ¨ asenzu ¨ bung
Aufgabe 5: (Verneinung von Aussagen) Verneinen Sie folgende Aussagen: (1) Zu jeder Aufgabe gibt es jemanden, der sie l¨osen kann. (2) Es gibt Aufgaben, die unl¨ osbar sind. (3) Ich m¨ ochte Fußball oder Handball spielen. (4) Ich m¨ ochte entweder Fußball oder Handball spielen. (5) Ich kann weder schwimmen noch Klavier spielen. (6) Kein Deutscher kann den 100-Meter-Lauf in unter 10, 00 Sekunden absolvieren. Aufgabe 6: (Verneinung von Aussagen) Eine Funktion f : R → R heißt gleichm¨ aßig stetig, falls gilt: ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ R : |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε. Erkl¨aren Sie, wann eine Funktion nicht gleichm¨aßig stetig ist, indem Sie die obige Bedingung verneinen. Aufgabe 7: (Beweisf¨ uhrung, Aussagenlogik und Kontrapositionsgesetz) Es seien zwei Zahlen m, n ∈ N gegeben, von denen nicht beide durch 3 teilbar sind. Zeigen Sie mit Hilfe des Kontrapositionsgesetzes der Aussagenlogik, dass auch m + n und m − n nicht beide durch 3 teilbar sind. [Hinweis: In der 1. Pr¨ asenz¨ ubung haben wir a|b ∧ a|c ⇒ a|(b + c) gesehen. Wenden Sie diese und die analoge Aussage f¨ ur a − b auf a = m + n und b = m − n an.]
Aufgabe 8: (Beweisf¨ uhrung, Aussagenlogik und Kontrapositionsgesetz) Es seien n eine ungerade nat¨ urliche Zahl und m eine gerade nat¨ urliche Zahl. (a) Zeigen Sie (zum Beispiel durch Verwendung der 1. Binomischen Formel) auf direktem Wege, dass n2 = n · n ungerade ist. Zeigen Sie ebenfalls, dass m2 gerade ist. (b) Es gebe eine nat¨ urliche Zahl p mit p2 = m. Folgern Sie mit Hilfe des Kontrapositionsgesetzes aus dem ersten Aufgabenteil, dass p gerade ist. Aufgabe 9: (Ein indirekter Beweis) √ Beweisen Sie auf indirektem Wege, dass die reelle Zahl 2 > 0 irrational ist.
Aufgabe 10: (Gesetze der Aussagenlogik) Zeigen Sie, dass (1) der Ausdruck (¬(A ⇒ ¬B) ⇒ C) ∧ (¬(C ∨ A)) in den Ausdruck ¬A ∧ ¬C u uhrt werden kann. Benutzen Sie die Gesetze der Aussagenlogik. ¨berf¨ ¨ (2) die Aquivalenz (¬(A ∧ B) ∧ (A ⇒ B)) ⇔ (¬A ∨ ¬B) in den Ausdruck ¬A ∨ B u uhrt werden kann. Benutzen Sie Wahrheitstafeln. ¨berf¨ Aufgabe 11: (Aussagenlogik: Der Henker) Du sitzt in einer Zelle und wurdest zum Tode verurteilt, bekommst aber noch eine letzte Chance. Vor Dir siehst du zwei T¨ uren. Eine f¨ uhrt direkt in die Freiheit, die andere direkt zum Henker. Vor jeder der beiden T¨ uren steht ein W¨achter. Einer der beiden sagt immer die Wahrheit, der ander l¨ ugt immer. Du weißt allerdings nicht, welcher von beiden die Wahrheit sagt. Du darfst einem der W¨ achter eine Frage stellen, um herauszufinden, welche T¨ ur Du nehmen solltest. Wie lautet Deine Frage, damit Du mit Sicherheit die richtige T¨ ur w¨ahlst?
