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REVISTA DE LA UNION MATEMATICA ARGENTINA
Director: R. Panzone Redactores: A. Diego, E. Gentile, H. Porta. E. Ok lander, C. Trejo, O. Villamayor.
VOLUMEN, 24 NUMERO 4 1969
BAHIA BLANCA
1969
UNION MATEMATICA ARGENTINA oB, protecLa U. M . A. recono cecuatr o categor ias de miembros: honorari anuald e cuota una paga r protecto o mi,mbr EI tores titulare sy adheren tes. te (es., 400'0, por 10 menos; el titular una 'cuota anual de $ 2000 y el adheren rse efectua deberan pagos Los 1000. $ de anual cuota una te) tudiante solamen A'l'ICA MATEM UNION de orden la .a por cheque, giro u otro JIledio de gasto!!, ARGENTINA, Casilla de· Correo 3588, BueT.os Aires. Review& Por" ser la U. M. A .miemb ro del patrona to de la Mathem atical a susCribirse a (sponsoring member ), los socios de la U.M.A. tienen derecho rebaja sobre el esaimp ortante revista: de' bibliograUa: y cr1tica con 50 % de· de la U.M.A . socios Los ano. por d61ares precio-d e -suscripci6n que es de 50 . '. pagaran por tanto s610 25 d61ares por ano. de 50 aparte tirada una mente gratuita reciben Los autores de trabajos por cuenta de ejempla res. Las correcciones extraord inarias de pruebas son . los autores. JUNTA DIREClWA EduarPresidente: Dr. Alberto Gonzaie z .Domingue'Z; Vicepresidentes: Ing. s· (h)i Toranzo Fausto Dr. rio: S"ecreta yor; Villama Orlando lng. do Gaspar e Direc; Platzeck lnes .Marla. Lic. era: Protesor Tesorera: Lic. Susana Gastam inza; Bahia Blanca, tor de PUblicaciones: Dr. Rafael Parizone; Secreta rios Locales: a, lng. Arcadio Lic. Luisa !turrioz; Bue'!?o.os Aires, Lic. Angel Larotonda; C6rdob M.a:rangunic; Niell; Mendoza, Dr. Eduardo Zarantonello; Nordeste, Ing. Marcos Salta, lng. Cabral; Gordon o Armand Lic. Rosario, Porta; Horaci::> Dr. La Plata, lId,a de Prol. n, Tucuma z; Gonzale Modesto Roberto Ovejero; San Luis, Prof: D'Angelo
I
WEMBROS
REPRESENTANTE'S EN EL EXTRANJERO y). Dr. Ing. Rdlae'i Laguard ia (Uruguay). lng. Jos€! Luis Masser a (Urugua Frucht .' Roberto Dr. (Brasil). Nachbin Q Leopold Dr. (Peru) GarOfa . Godolredo a (Mexico). (Chile). Dr. Mario Gonzalez (Cuba) Dr. Alfonso Nap6les Gandar 12 dollars Abonne ment a l'etranlger (compre nant un vol~ complet) : . (Etats-Unis). trative at PriE!re d'adress er toute la correspondence' scientifique, adminis us: ci-desso e lea echange s a l'adress ~VIST'A
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HONO~OS
George Tulio LSvi':'Civita (t}; Beppo Levi (t)) Alejand ro Terracin i (t); Zygm'l1ncl; D. Birkhoff (t); Marsha ll H. Stone; George s Valiron (t); Antoni Ct].artes EhresGodofredo Garcia; Wilhelm. Blasch ke(t); Lauren t SChwartz; Brelot. Marcel Babini; Jose ki; Ostrows re Alexand mann; Jean Dieudonne;
I
. ...
DE LA UNION MATEMATICA ARGENT.INA Casilla: de Correo 3588 Buenos Aires. (Argent ina)
REVISTA SEMESTRAL
>
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Revists de 1s Union Matematica Argentina Vo1umen 24, Numero 4, 1969.
SUR L'ALGEBRE DES PUISSANCES DIVISEES D'UN MODULE MONOGENE Norbert Roby Soit A un anne au commutatif. Nous nous proposons d'etudier en detail la structure de l'alg~bre des puissances divisees de tout A module monog~ne; pour cette notion, on pourra se reporter a {1}. L'etude du cas oh A = Z a ete faite en {2}. Cette etude sera faite dans la seconde partie du present article; dans la premiere partie, nous etudions la construction de certains ideaux de A qui seront importants par la suite. PREMIERE PARTIE 1)
LES IDEAUX DnCI).
Soit I un ideal de A. Nous lui associons une suite DnCI) Cn d' ideaux de A, definis de la maniere suivante:
~
0)
DEFINITION. Pour tout entier n ~ O. DnCI) est L'ideaL de A engendre par Lea eLements du type: Cca,n-a»i a o~ 1 ~ a ~ n , i £ I. COn rappelle qu'on pose: (Cp,q»=Cp+q)!/~!q!). Autrement dit: DnCI) est L'ideaL de A engendre par Lea aoeffiaients des poLynomes CX + i) n _ Xn
Ci
I) .
£
Par exemple:
DoCI)
0
D1 CI)
I
Dn CO )
0
!ln CA)
A pour
Dn (I) c:::
On a :
n
>
I.
PROPOSITION 1. Soit F un aystame de generateurs de L'ideaL I. ALors. DnCI) est engendre par Les eLements de La forme: CCa,n-a»i a o~
1
~
a
~ n
et i
E
F.
En effet, soit In l'ideal de A engendre par les elements de la forme precedente. On a: In c::: DnCI).· PourmontrerqueDnCI) c::: In' i1
128
suffit de montrer queles 6lEments a E A tels que ((a,n-a))aa pour 1 < a. ~ n constituent un id6~1 de A.
E
In
Or, si a ~ A poss~de eette propri6t6, il est elair que ba (bEA) l'a aussi. Et si a et bont cette propri6t~, on a: fa kba-k « a,n-a)) (a+b) a • 'k_O((a,n-a))((k,a-k))a
Si k
1, on 6crit:
~
(a,n-a)iC(k,a-k))akb a - k • «(n-a,a-k)) «k,n_k))akb a - k (ear «k,n-k))a k
E
E
In
In)'
Pour k • 0, ona le terme: «a,n-a))b a
E
In •
Done, a + b a aussi la propriete indiquee, C.q.f.d. Z.
SUR UNE AUTRE MANIERE D'ENGENDRER LES IDEAUX Dn(I).
PROPOSITION 2. Soit F un sY8t~me de g~n~~ateu~s de l'id~al I. Pou~ n > O.l'ideal Dn(I) est engend~~ pa~ les ~Z~ments de la fo~me: dill ou: i
E
F, d et 0 Bont d.es entie1'8
>
0 tela que do = n.
La demonstration qui suit a ete elabor6e par A. BATBEDAT. On suppose n
> 1 ,
ear la proposition est triviale pour n
Soit I n l'ideal de A engendre par les dill eonsideres. -: On montre que Dn (I) c: I n : Considerons un generateur x de Dn(I): ~n-a+1)
x = n~n-1)
Posons:
n
u
1\
a
a!
ia
(a~ 1
,
hF)
(p.g.e.d.
Ai u
£
J ). n
-: On montre que I n c: Dn (I). Soit un g6n6rateur y de I n : y .. di 6 , i .£ F , d6 poser 6 > 1 , car on sai t que ni £. Dn (1) • Soi t
n.
On peut suI!.
(r. > 0) J
6
la d6composition de 6 en facteurs premiers.
Posons: p~j
On a:
J
6 ((q.,n-q.)) = d(--q )((q.-1,n-q.)). J J j J J
Au second membre, Ie facteur 6/qj est premier avec Pj' coefficient binomial ((q.-1 , n-q.)), il s'6crit:
Quant au
J
J
Soit II l'exposant de p. dans la d6composition de k en facteurs preJ II r· Miers (II ~ 0) ; on a II ~ i . Alors, p. divise p.J , donc c5, J J J donc n, et aussi k: il divise n - qj + k ; ~_ ~nntre, p~+l divise J
r·
encore p.J , n , mais pas k: i1 ne divise pas n - qj J
+ k.
Ainsi, f3
est l'exposant de p. dans 1a d6composition en facteurs premiers de J
n - qj + k. On pourra donc simplifier 1a fraction (n - qj + k)/k par PjII , en sorte que Pj ne divise plus ni Ie num6rateur ni Ie denominateur.
II en resuite que ((q. - 1 , n - q.)) est premier avec J
J
On peut donc ecrire ((qJ' , n - q.)) J
=
dA. , ou A. est premier avec PJ" J J
Le p.g.c.d. de (c5,A l .... '\l) est 1. car aucun facteur premier de t5 ne divise tous les Aj
.
Donc, en muItip1iant par d: Ie p.g.c.d. de
(n • ((ql • n - ql))' . . . . ((qa • n - qa))) est d. qu'il existe des entiers m et m. teis que: J
d = mn + L~=lmj ((qj
, n - qj))
Ceia entra1ne
130
Alors:
3., SUR LA COMPOSITION DES APPLICATIONS Dn
On peut di§finir une application Dn: I di§aux de s A dans lui -meme • PROPOSITION 3.
m et n
Pou~ deu~ entie~8
On peut supposer m et n _0 On montre que Dm
0
~
Dn(l) de l'ensemble des i"
--+
~
0 at tout
idea~
I. on a:
2.
Dn(I)
Dmn(l).
c:
D' apres la prop'os i tion 2, Dm de la forme:
Dn (I) est engendri§ par les Ui§ments
0
(i
I , d' 6'
£
n).
d"6"
m ,
Or: (car d'd"6'6" • mn). -: On montre que Dmn (I)
c:
Dm
0
Dn (I).
Remarquons, en raisonnant par ri§currence sur Ie nombre des facteurs premiers de m, qu'on peut se limiter di§montrer la proposition 3 lorsque m est un nombre premier p. 11 reste donc voir que:
a
a
Or, Dpn-_ (I) est engendri§ par les i§li§ments y de la forme (i
-ou bien p divise d, auquel cas d y
d1 i 6
=P
Dp
£
0
Dn (I)
-ou bien p ne divise pas d d P- 1 d = dP
-
1 (p)
+ kpd.
,
£
=P
I
, d6 = pn).
d 1 et
(car d 1 6
=n
=>
d 1 106
Dn (I)) .
dans ce cas, on a:
ce qui entraine 1 'existence d'un entier k tel que:
En outre, p divise 6 et on i§crit: 6
y = u + v , avec:
£
= p6 1 •
Alors
131
et On a: IS
di1&D(I)).
u •
n
6
v •
(car di 1 & D (I) - > it
Finalement, dans tous lescas, on a: y & Dp COROLLAIRE 1.
Pour deu:J: entiers m et n
~
0
Dn(!) , C.q.f.d.
0 on a:
En effet:
Ce corolla ire resulte aussi du fait suivant: Ie polynome (X
+
i)mn -' Xmn
COROLLAIRE 2.
est multiple du llo1ynome (X Pour deu:J: entiers m et n
m Dn(l)
~
+
i)n - Xn.
0 on a:
Dmn(I).
c::
En effet:
COROLLAIRE 3. Si Z'entier positi! m est inversibZe dans Z'anneau A/I (i.e. si rnA + I = A) on a, pour tout n ~ 0:
On peut supposer n
>
O.
Si rnA + I = A , on a aUssi rnA + Dmn (I) = A ; sinon, en effet , i l existerait dans A un ideal maximal qui eontiendrait rnA et Dmn (I) , done aussi i mn pour tout i £ I , done aussi i : i l eontiendrait rnA + I , ee qui est absurde. 11 existe done imn
£
Dmn (I) et a
-rna
+
imn
=
1.
£
A tels que:'
132
Alors:
C.q.f.d. 4.
LE TREILLIS DES IDEAUX Dn(I):
PROPOSITION 4. (0
0 = 0).
A
Po sons d
=
Soient m et n AZors, on a:
deu~
entieps
>
0 , mAn Zeup p.g.c.d.
mAn.
La propriete etant triviale si m ou n = 0 , on suppose m et n Du corollaire 1 la propriete 3, decoule:
~
1 •
a
Reste
a montrer
l'inclusion inverse.
II existe deux entiers p et q tels que: pn
d
+
qm .
Si P = 0 , c'est que q et d = m alors, m divise n et la rela tion Dm(I) + DneI) Dm(I) est vraie, car Dn(I) c Dm(I) (corollaire 1
a
m~me
On peut donc supposer p # 0 et de
la proposition 3).
q #
o.
Alors, des deux entiers p et q , l'un est positif et l'autre est negatif ; supposons, par exemple, p > 0 et q < O. D'apres la definition, Dd(I) est l'ideal de A engendre par les coefficients des polynomes Pi(X)
=
(X
+
i)d - Xd
(i E I)
Un petit calcul montre qu'on a: (X
+
i) -qm P. (X) 1.
=
[(X
+
i)pn - Xpn ] - Xd [eX
Les coefficients du polyn5me(X donc
a Dn(I)
ficients du polyn5me Xd[(X donc
a
Dm (1)
a la
(corolla ire 1 +
+
+
i) -qm - X·qmJ
i)pn - Xpn appartiennent proposition 3).
a Dpn (I) ,
De meme, les coef-
i)-qm - X-qm] appartiennent
a D_qm(I)·,
II en resulte que les coefficients du pOlynome
(X + i) -qm P.1. (X)
son t d ans
Dm (I) + Dn (I) '
133
Si l'on peut dMuire de 18 que Pi(X) a aussi ses coefficients dans Dm(I) + Dn(I) ,on aura montr~ que Dd(I) c Dm(I) + Dn(I) , C.q.f.d. 11 suffit donc de
d~montrer
1e1emme suivant:
LEMME. Soient P E: A[X] , a E: A , J un id6a1 de A , hun entier ~ 1. Si 1e P91ynome (X + a)hp a ses coefficients dans J, a10rs P a aussi ses coefficients dans J. Par r~currence sur h, on se ramene au cas tration du 1emme est imm~diate. COROLLAIRE 1.
nl
Si
Dn (I)
+
I
,
...
COROLLAIRE 2. Si n l Z.euzo ensembZ.e. on a:
... , +
....
,
,
= Dn l "
...
" nP
~ 0
•
d~mons-
on a:
(I) •
sont des entiezos
np
+ ••• +
a10rs 1a
sont des entiezos
np
Dn (I) p
h· 1
~ 0
pzoemi821s dans
Dn (I) • I • p
PROPOSITION S. A z.ozos. on a:
Soient m et n des enti8zos
~
0 • m v n Z.euzo p.p.c.m.
Posons m v n • M. Du corolla ire 1 8 1a proposition 3
r~su1te:
et
D'ou: DM(I)C Dm(I) n Dn(I)·
a prouver
Reste
Posons: M • Am • Si x
E:
l'inc1usion inverse. ~n
Dm (I) , on a
Ax
E:
ADm (I) C DM (I)
(corollaire 2
a 1a
pr.crpo"
si tion 3). Si x
E:
Dn(I) , on a de meme,
~x E:
DK(I).
Comme A et ~ sont premiers entre eux, i1 existe deux entiers p et'q te1s que: pl- + q~ = 1. A1ors, si x E: Dm(I) n Dn(I) ona: x • p.Ax +~q.x E: DM(I)~ c.q.f.d.
134
COROLLAIRE.
Si n 1 ' ... ,np
D
n1
sont des entiers
(I) n ••• n Dn (I) p
>
0, on a:
D
n 1 v ••• v n p (I).
REMARQUE. L'ensemble des proprietes exprimees par Ie corollaire proposition 3, les proprietes 4 et la propriete 5 est resumee dans l'enonce suivant:
a la
Pour tout idea7. I de A, 7. 'appUcation definie pal': k (n
~
0)
es t un homomorphisme du trei His des ideau:C1 de Z dans 7.e trei 7. Us des ideau:c de A.
AUTRES PROPRIETES DES Dn(I).
5)
Soit (Ik)(k E K) une famille d'ideaux de A.
Comme l'ideal
LkEK Ik
est engendre par UfEKlk,il resulte de la proposition 1: PROPOSITION 6. Pour toute fami7.7.e (Ik)(k E K) d'ideau:c de A et tout en tiel' n ~ 0, on a:
On a aussi: PROPOSIT.ION 7. Soit (Ik)(k = 1, .•• ,p) une famiHe finie d'ideau:c st:zoangers .dans 7.eul' ensembLe
A7.0rs, pour tout systeme (nk)(k = 1, ... ,p) d'entiers D "(I k ) sont aussi strangers dans 7.eur ensembLe.
>
0, 7.es ideau:c
nil<,
Cela vient de ce que tout element de lk a une puissance dans Dn (lk); k ou encore: Posons n Dn (Ik) k
= n 1 ... np. =>
Dn(I k ).
Le corollaire
a la
proposition 3 entraine:
Alors: A.
135
DEUXIEHE PARTIE.
Soit M un A-module monogene, engendre par un 6lement e. En notant I l'annulateur de e dans A, on peut identifier les A-inodules M et All, en identifiant e a la classe de 1 modulo I. On notera q la surjectioncanonique A -+M d6finie par 1 -+ e. On sait que la composante homogene du degr6 n de reM) (algebre des puissances divis6es du module M), noUe r (M), est un module monog! ne de g6nerateur ern]. La structure de m~dule de reM) sera enti~re ment explicit6e quand on connaitra l'annulater I de e[n]; on aura-, n en effet:
La structure multiplicative de reM) sera ensuite explicitee par les relations: ern] erm] • ((m,m)) e[n+m} 6.
DETERMINATION DES MODULES rn(M).
L'application lineaire surjective q: A -+ M se prolonge en une application lineaire surjective r(~): rCA) - - + reM) qui, en degre n , donne une surjection
avec: r (q)(1 [n]) = ern] • n
On sait que rn(A) est un module libre ayant pour base 1 [n]; donc rn(A)
~ A.
Si, pour Ie moment, on identifie rn(A)
a A,
1 [nl
a1
,
on a donc: In = Ker rn(q). Or, Ker r(q) est l'idbl de rCA) engendr6 par les Uements i a , i E I et a~l ({O, prop. IV-8, p. 284). Comme rCA) est engendre lineairement par les 1 [p] (p ~ 0) , alors Ker r(q) est engendr6 lineairement par les elements ira] 1 [p] = i a 1 [a] 1 [p J = ((a, p) ) i a 1 [a +p]. ( i E I, a ~ 1. P ~ 0). Enfin, COmme Ker r n (q) = Ker r (q) n r n (A), on voi t que Ker r n (q) est engendr6 lin6airement par les e16ments ((a,n-a)) i a 1 [n1
(a~l , iEI).
lIen resul te queIn est l' idbl de A engendre par les· UemEl~ts
136
«a, n-a)) i a
(a
> 1 ,
PROPOSITION 8.
IZ
e~iste
i
Ainsi:
I).
£
un isomorphisme de moduZes:
r n (M) -'" AIDn (I)
~ui
a Za
permet d'identifier ern]
cZasse de 1 moduZo D (I). n
11 resulte de cette proposition que les proprietes des ideaux Dn(I), etablies dans la premiere partie, vont entrainer des proprietes correspondantes concernant les modules rn(M). Parmi ces proprietes, certaines se retrouvent simplement par des methodes directes; d'autres constituent des resultats essentiellement nouveaux. 7.
INTERPRETATION DES RESULTATS DE LA PREMIERE PARTIE.
a) Nous commen~ons par interpreter la relation Dmn(I) rollaire 1 a la proposition 3). Elle signifie:
C
PROPOSITION 9. Pour tout coupZe te une appZication Zineaire
~
~mn.n : rmn(M)
teZZe que: e[mnl
d'entiers m
--+
~
0 et n
Dn(I)
(c~
0 • iZ
e~i!.
rn(M)
e[n].
--+
Cela signifie aussi qu'il existe, sur Ie couple (M , rn(M)), une loi polynome f homogene de degre mn, dont la restriction a M verifie fCe)
=
ern] .
On retrouve ce resultat comme suit. Soit II la loi identique du module M. Comme M est isomorphe a All, on peut Ie munir d'une structure de A-algebre dans laquelle e est l'element unite. Alors, ({3}, § 4),les lois polyn5mes sur Ie couple CM(M)) constituent aussi une A-alg~bre , et l'on peut donc considerer la loi polynOme 11 m, homog~ne de degre m. La restriction de lier IIm(e) = e. Si
eM n
11 m
a M est
definie par: IIm(X)
= xm
, et en particu-
designe la loi polynome universelle de degre n sur Ie couple
(M , r n (M))
(131 ,
§
5)
,
alors 1a loi po1ynome f = eMn
0
\.1m est defi-.
137
homog~ne
nie sur 1e couple (M , rn(M)), e11e est sa restriction i M v~rifie~ fee)
b)
Nous allons maintenant
de
degr~
mn , et
e [n]
a
interpr~ter
1a proposition 3.
Notons qu'on ales isomorphismes: AID
m
° Dn (I)
.. r (AID (I)) .. r
m
n
m
°
r (I). n
Si l'on note par 1e signe { } 1es puissances divis~es des elements r n (M) , l'isomorphisme AIDm° Dn (I) .. .m r ° r n (I) permet d'identifier 1a c1asse de 1 modulo Dn o.Dn(l) A l'e1~ment (elnl){m}. La propo sition 3 donne donc 1e resu1tat suivant: PROPOSITION 10. un isomopphisme
Poup tout aoupte d'entieps m
~
0 • n ~ 0 • it existe
° r n (M) .. r mn (M) m qui assoaie tes etementes (e[nl){m} et e[mnl. r
L'existence d'une application 1ineaire: rmn(M) que: e [mnJ
--+
{ern] r{m} etai t claire
10i p01yn6me e.!n(M) rm
°
°
a priori;
°
rm
°
rn(M) te11e
elle resu1 te de 1a
e.: ' homogllne de degr~ mn sur 1e couple
(M,
rn(I)).
Par contre, dans l'autre sens, l'app1ication rm
--+
1in~aire
e~ti1
rn(I) -rmn(I) avec (e[n]){m} -
fournit 1e resu1tat
moins trivial suivant: PROPOSItION 11. Poup tout aoupte d'entieps m une appUaation potyname de deg2'e m: gm,n: rn(M) telle que: a e[n]_ ame[mn]
-
~ 0 •
n·~ 0 •
it existe
rmn (M) (a
£
A).
Ce r~su1tat est plus fin que ce que nous pouv~ons obtenir dans 1e cas d'un module que1conque. Dans 1e sens rn(M) --+ rmn(M), nous ~tions
seu1ement capable, pour n
~
1 ,
d'app1iquer 1a 10i Ym de
mi'mepuissance divisee (cf. {4}, §10, Th~or~me 1), de te11e sorte que e [mn1
..
,Ou
Cm,n
138
Lorsque M..est un module.,mOn?gene, i1 est donc possible de chir en outre, du facteur numerique Cm,n . e)
a la
Le corollaire 2
s~affran-
"
proposition 3 fournit Ie resultat suivant:
PROPOSITION 12. Pour ~out couple d'entiers m te une application liniaire rn(M) --+ rmn(M) ern] --+ m e[mnl. telle que:
~
0 • n ~ O. il e~i~
'"
CPROLLAIRE. Pour tout couple d'entiers m une app lication po lynome de'degr~ n: M --+ rmn(M) a ~ --+ m an e [mn1
telle que:
d)
Passons
0 • n
~
a
la proposition 4.
(a
0 • il
~
£
e~is·t.ta,
A).
Notons les isomorphismes:
qui permettent d'identifier la classe de 1 modulo Dm(l) + Dn(l) l'element elm]
Q
ern] .
a
La proposition 4 s'enonce alors:
PROPOSITION 13. Soient m et n des entiers ~ 0 • mAn leur p.g.c.d. (0 A 0 = 0). Alors. il existe un isomorphisme rm(M)
Q
~
rn(M)
qui associe les elements e [m]
Q
rmAn(M)
e [n] et e [m An]
e) En ce qui concerne la proposition S, ou plutot"\la forme plus generale donnee dans son corollaire, on se convainc aisement qu'elle equivaut a l'enonce suivant: PROPOSITION 14. leur p.p.c.m.
~
Soient des entiers
0 : nl, ••• ,n p •
Soit nlv .•• vn p
Alors. il existe un homomorphisme injectif de moduZes
r
n l v ... v np
(M) --+ r
nl
(M)
x
•••
x
r n p (M)
tel que:
e [nlv •.. vnpl --+ ( e [nll ••.• ,e [n p ])
•
On sait que, pour deux ideaux I et J d'un anne au A, il existe une suite exacte de A-modules:
o - - + A/I n J
~
A/I
x
A/J
~
A/I
+
J.--+ 0
139
si 1 I d6signe 1a classe de 1 modulo I, u est dHini par:' 11 nJ --+ (1 1 ;l J ) ; vest d6fini par:
(1 1 ,0)
--+
11+J et (O,l J )
--+
-1 1+J •
En appliquant ce r6sultat auxid6aux Dn(I) et des proposition 4 et 5:
Dm~I)
ort a, en vertu
PROPOSITION 15. $oient m et n des ·entiers ~ O. m An leur p.g.a.d., m V n leur p.p.a.m. Alors. il eziste une suite ezaate de modules: O. --+ rm v n(M)
ou uest defini par: (a e[ml ,b e[nl) f)
r n (M) ~ r m II n (M) , e Tmvn ] --+ (e[m] ,ern]) et
...!!.... rm(M)
--+
x
(a - b) :'[mlln]
(a , b
t
--+ 0 o~
v est dlfini par:
A).
Nous donnons enfin 18 t.raduction du corollaire 3 ti la prop. 3.
PROPOSITION 16. Sil'entier m > 0 est tel qu'il eziste un element X E M verifiant mx = e • alors. pour tout entier n ~ 0 • il eziste~ un isomorphisme rn(M) ~ 7: mn (M)
tel que ern] aorresponde
a e[mnl.
(No tons que l'hypothese faite sur m signifie que m est inversible dans l'anneau A/I). 8)
AUTRES RESULTATS DIVERS.
a) Soit M un module monogene. so ita determiner r n (MP) •.
Pour deux entiers n > 0 et p > 0,
On a:
Ainsi:
--._---
r n (M'?) es tune somme directe finie de modules du type r d (M). ou d est unaivi-se\l.!.. 4e n. . b) Soien.t M et M'deux modulesmonogfmes, de generateurs e ~t. e' • Soit I (resp.' I') l'annulateur de e (re·sp. e') dims A. On sait que (proposition 6): D(I+I') n
(n ~-
OJ.
140
PROPOSITION 17. Si M et M' sont des modules monogenes de gBnBl'qtellZ'S e et e' on a. pOUl' tout n ~ O. un isomol'phisme r n CM Ce
qui associe
(I
M') .. r n CM)
e e'l[n] a
r n CM ' )
(I
e[n]
(I
e,[n]
c) Soient M et M' deux modules monogenes, de g6n6rateurs e et e' dont les annulateurs sont I et I'. On suppose M (I M' • 0 , ce qui signifie que I + I' • A. Pour un entier n
on a:
~
Or, l'annulateur de
rpCM)
(I
rqCM')
est l'id6al
Dp (I)
+
Dq CI') .
Si P et q sont > 0 , il r6sulte de la proposition 7 que A et donc positionde rn(M)
(I
rnCMICM')
A .. rnCM)
et
r p (M)
(I
r q (M')
=0
Dans la d6com-
ilnerestedoncquelesdeux A (I rn(M') .. rnCM') .
l'isomorphisme pr6c6dent, l'6l6ment correspond au g6n6rateur
e[p]
(I
termes
En outre, comme dans e,[q] de rp(M)
(I
Ce,o)[p] (o,e,)[q] de rnCM IC M') ,
rq(M') on
peut 6noncer: PROPOSITION 18. Soient M et M' deu:x: modul.ss mo.nogenes de gBnel'atel.l1'8 e et e'. Si M (I M' • Q. al.Ol'8 il. e:x:iste pour n ~ 1 un isomorphisme rnCM IC M') .. rn(M) IC rn(M') (e,O)[n]
qui associe On a: rpCM)
(I
a
Ce[n] ,0)
et
CO,e,)[n]
a
CO,e,[n]) .
rqCM) si p> O,et q> 0, et aussi Ce,o)[pl(o,e,)[q] .. O.
Pour une fois, c'est de cette propri6t6 d~s modules de puissances di qu'on va d~duire une propri~t~ des id~aux Dn(I) .
vis~es
En gardant nos notations, on sait que le module M IC M' est isomorphe AlInI' ,en sorte que l'annulateur de rnCM IC M') est l' id~al
a
141
Comme l' annulateur. Dn (I) n Dn (I') , on peut
~ire
d,~'
.rIn eM)
x
r n (M')
est l'id6al
(meme' pour n • 0) :
PROPOSITION 19. Pour deu: ide au: strangers I et I' de A et tout entier n ~O • on a
Cette relation se g6n6ralise au cas d'une famille finie d'ideaux deu: deu: etrangers :
a
REFERENCES, O}
ROBY Norbert. Lois polyn&mes et lois formelles en theorie des modules, Ann. Scient. Norm. Sup., Serie 3, t. 80, 1963, p. 213-348.
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ROBY Norbert. L'anneau des puissances divisees d'un groupe monogene, Bol. Soc. Matem. Silo Paulo, t. 18, 1963-1966, p. 39-47.
{3}
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"
Faculte des Sciences Universite de Montpellier 34 Montpellier France
Revista de 1a Uni6n Matemitica Argentina Vo1umen 24. NGmero 4. 1969.
A POLYGENIC EXT~NSION of THE POLYNOMIALS OF BERNOULLI AND EULER by
John DeCicco and Arun
Walvekar
SUMMARY. The polygenic. - polynomials, 8 - polynomials, Bernoull.1 ·polynomlals. " - polynomials and Euler polynomials a're defined. S,!. veral results concerning these polynomials are obtained. The anal~ gues of complementary argument theorem and Euler-Maclaurin theorem for polynlomla1s are derived. 10( ItTllE POLYGENIC. - POLYNOMIALS. '
,
Consider the folloWing equation:.
~.1 (.11 r fp. q (t. t) ~azt+b (zt+zt)+czt+g (t. t)
•
r
O~m+n~.
(at + bt)7 ~bt + ct)n .P.q{(a+b)z ; (b+c)i} m.n. m,n
where z, i, t and iare four independent complex variables; a. b. c are thre·e complex constants such that b 2 .~ ac ~ 0 ; g (t, i) is an analytic polygenic function in the two, independent complex variables t and i. It is remarked that m
~O
, P
~
0 , iff a
~
0 , or b
~
0 , and n
~
0,
q ~. 0 , iff b ~ 0 , or c ~ O.
Let f p,q (t,t) be an analytic function, with region of convergence given»y It - tol polynomial and a B - polynomial , the following results are readily obtained.
14.,21
,q {( a+ b) z;, (b +c )-} BPm,n z = (BP,q + z)m, (BP"q + -z)n
where BP,q m,n are Be~noulli numbe~8 obtained by letting z
14.11
=
z
=0
in
148
14.31
2.. BP,q {(a+b)z 3z m,n
(b+c) z} • m BP,q m-l,n {(a+b)z
(b+c)z}
14.41
2... BP,q { (a+b)z 3z m,n
(b+c)z}
n BP,q m,n-l {(a+b)z
(b+c) z}
14.51
V 2 BP ,q
14.61
zlI BP,q {(a+b) z m,n
14.71
-zlI
14.81
zlIzlIBP,q{(a~b)z;(b+c)z}
14.91
(BP,q) {(BP,q + l)m O,n
14.101
(BP,q) m,o
m,n
{(a+b)z
(b+c)z}
= 4 m'n BP,q m-l,n-l {(a+b)z'(b+c)z} ' ,
(b+c)z} .. m BP-1,q m-l,n {(a+b)z
(b+c)z}
BP,q {(a+b)z ; (b+c)z} .. n BP,q-l {(a+b)z m,n m,n-l
(b+c)z}
m'n BP-l,q-l{(a+b)z'(b+c)z} m-l,n-l '
m,n
-
(BP,q)) m,o
(B P ,q + l)n _ (BP,q) o,n
=m
(BP-1,q) m-l,n
= n (BP,q-l) m,n-l
A Bernoulli polynomial of total order zero and total degree m+n is defined by 14.111
BOm,n {(a+b)z; (b+c)z}
m-n Z
Z
•
By repeated application of 14.61 ,14.71 ing result is established. THEOREM 4.1. 14.121
If m
>
p and n
zlI P BP,q {(a+b)z m,n
-zlI q
BP,q {(a+b)z m,n
q , then
(b+c)z}
Bo,q m-p,n {(a+b)z 14.131
~
,and 14.91 , the follow"
= m(m-1) .•. (m-p+1)
(b+c)z} (b+c)z}
BP,q m,n-q { (a+b)z
= n(n-1) ... (n-q+1)
(b+c)z}
and 14.141
-
zlI P zllq BP,q {(a+b)z m,n
(b+c)z}
m!n!
(m-p) ! (n-q)!
zm-pzn-q
149
Consider now the integral
BP,q {(a+b)z m,n
(b+c)z} dz
m!l {B~~i,n{(a+b)(z+l);(b+c)z} - B~~i,n{(a+b)z;(b+c)z}l 1 zA BP,q {(a+b)z;(b+c)z} m+l m+l,n BP-l,q {(a+b)z;(b+c)z} m,n In particular let
14.151
z
=z
o • then
BP,q {(a+b)z m,n
(b+c)z}
BP,q {(a+b)z
(b+c)z} dz
BP-l,q m,n
dz
Similarly, l
fo
14.161
5.
TilE COMPLEMENTARY ARGUMENT THEOREMS.
Consider
15.1
BP,q-l m,n
I
BP,q m,n {(a+b)z ; (b+c)z} upv q
,then
ea(p-z)t+b{(p-z)t+zt}+czt
(e u -1)P (e v -l)q
(b+c) z} .
Or, (b+c)z}
(-u)Pv q
e-azt+b(-zt+ztl+czt
(e -u_1)P (e v -l)q
(_u)m v n BP,q [(a+b)z m!n!
m,n
(b+c)z}
150
Thus the following. result has been established. THEOREM 5.1. Fi~6t CompLement4~Y BepnouZZi polynomial obeys, 15.21 The
B!:: {(a+b) (p-z)
fol~owing
A~gument Theo~em.
A potygenic
; (b+c)z} • (_1)m B!:: {(a+b)z
(b+c)z} •
two theorems are obtained similarly.
THEOREM 5.2. Second CompLement4~Y A~gument Theo~em. The following identity is obeyed by a polygenic BepnoulH polynomial. 15.31
BP,q m,n {(a+b)z ; (b+c)(q-z)} - (_1)n BP,q m,n {(a+b)z ; (b+c)z} •
And, THEOREM 5.3. Thi~d CompLement4~Y nic BepnoulZi polynomial. we have 15.41
A~gument Theo~em.
Fop a polyge-
B:;:{(a+b)(p"z);(b+c)(q-z)}" (-1)m+n B!::{(a+b)Z;(b+C.)Z}
In the next ·sectidn polygenic 6.
THE POLYGENIC
16.1
I
11
-
11
-
POLYNOMIALS.
polynomials are considered. In 11.41 , let
fP,q
m",n
then 11.41 becomes 16.21
2 P+ q .
(e u +1)P(ev +1)q _ -
where
'"
L
O~m+n~"
11 P ,q
m,n
umv n m!n!
e 8zt+ b (zt+zt)+czt+g(t,t)
P ',.nq 11 m
{(a+b)z ; (b+c)z}
{(a+b)z ; (h+c)z} , is defined to be the polygenic .
poZynomiaZ of totaZ
oFde~
11 -
p+q and totaZ degree m+n.
By methods similar to those in section 3, the following equations are readily obtained;
151
P,q{(a+b)z V1l m,n
(b+c)z}
p-l,q { (a+b)'z . 1lm,n
(b+c)z}
p.q-l = 1lm,n
(b+c)z}
16.3[
II
16.41
zV1lp,q{(a+b)z ; (b+c)z} m,n
16. SI
(1l p ,q) {(1lP,q+1)·m + 1l p ,q} o,n m,o
21l P- 1 ,q m,n
16.61
P ' q) {(1lP,q+1)n + .1l p ,q} (1l m,o o,n
21lP,q-l m,n
{(a+b)z
.,
and 16.71 where
p ,q 1lm,n
is, the poZygenic 1l - numbeps of totaZ opdep p+q and
=Z = 0
totaZ degpee m+n , obtained by letting
z
7.
THE POLYGENIC EULER - POLYNOMIALS.
In 16.21 let get) - 0 , then
17.1
I
2P+ q eazt~~~_~+;t)+czt (e u +1)P(e v +1)Q I;'
L
O~m+n~~
where
in 16.21 .
m n
u,V, EP,q {(a+b)z m.n. m,n
(b+c)z}
EP,~ {(a+b)z ; (b+c)z} , is defined to be a poZygenic EuZep
m,n poZynomtaZ of totaZ opdep p+q and totaZ degpee m+n. The polygenic Euler number
EP,q m,n , of total order p+q , and total
degree m+n is defined by 17.21 PoZygenic C - numbep8
17.11 •
cP,q m,n
are obtained by letting
Thus
The following results are readily obtained,
z
= z =
0
in
152
17.41
EP,q {(a+b) z a,n
17. 5Iv2E!:: 17.61
{(a+b) z; (b+c) i} =4mnE!~l,n_l {(a+b) z ;,(b+c) i}
VzViE!:-:-
[0,1]
[x 2]
-
such that
F
f [il
= [ 0]
= [1]
REMARKS. We denote the axiom of normality by N3 • The axiom R1a has been defined in {2}*. R3 -axiom denotes N3+ Ro .R2a is complete
*
A topological space is said to satisfy the Rl -axiom iff [Xl] ; [x 2] implies [xl]_C [x 2] . a
156 regularity. Also, none of the normality axioms defined above implies Ro • This follows from the fact that N3 does not imply Ro. (,5', p. 1 DO} 3. THEOREM 3.1. 8pace.
The
foZZo~ing
pe8uZt8 hoZd fop any topoZogicaZ
(i)
N - > N - > N2- > N =-=> ·2a 18 3
(U)
R.~>
1
,
Ni
(iU) N.+ TI 1
.
i
Ti + l
,
N~
I
N0
O,l,la,2,2a,3 i=l,2,3 ; Nla + Tl .. T2a , N2a + TI
. T3a
, i=l,la,2,2a,3
(iv)
N.+ R0 = R.1 1
(v)
No -=+> NI=r> Nla ==+> N2=-=+> N2a ===/-> N3
(vi)
R3====f> To·
ppoof: (i) The proofs are obvious except for NI=-=> No. Suppose the space (X,]) is not No Then for some x £ X , [x]' contains two nonempty disjoint closed sets PI and P2 . Let xl £ PI ,x 2 £ P2 then [Xl] n [X 2] = is but [Xl] is not strongly separated from [x 2]
(ii) R0 =-=> N If the space is not N then for some x £ X, [x], 0 0 contains two nonempty disjoint closed sets PI and P2 • Now x £ ",PI but [i] "'F I • Hence the space is not Ro. The proofs for the other statements in this section are trivial.
'*
(iii) Obvious. (iv)
Obvious.
(v)
Obvious in view of (iii) and the fact that
(vi) Any indiscrete space containing more than one point is R3 but not To REMARK 3.2. Y.C.Wu and S.M.Robinson {3} have given two axioms, which they ca11 Strong To and Strong Tn ' both of which are weaker then TI axiom and give the Tl-axiom in presence of N3 . We give here an axiom, which we shall call the Tc -axiom, which is o
weaker
than both the Strong To and the Strong Tn-axiom, is indepen-
Revista de 1a Union Matemitica Argentina Vo1umen 24, Numero 4, 1969.
NOR MAL I T Y A X 10M S by Y.K.Choudhary and B.C.Singhai Here we define and study some new separation axioms, which we call normality axioms. These are weaker than the correspondingr~ gulari ty axioms, defined by Davis {1} and are connected with these and other separation axioms in a natural way. We also define and study a map which we shall call a~ aZmost homeomorphism • under which some of the normality and regularity axioms are preserved.
'1.
2. In the following definitions G , Gl ,G 2 etc. always d~ote nonempty open subsets; F , Fl ' F2 etc. denote nonempty c 1 0 ~e d subsets; A , Al ,A2 etc. denote arbi trary n~nempty subsets, an d x , Xl ' x 2 etc. denote arbitrary points of a given topological space eX,]). By Al ~ A2 ' we mean that there exist Gl and G2 such that Al c: Gl ' A2 c: G2 and Al n G2 = P , A2 n Gl • P. By Al ~ A2 we mean that there exist Gl and G2 such that Al c: G10 we mean that there
DEFINITIONS.
The space eX,]) will be said to satisfy the ....darn does not contain two nonempty disjoint clos
2.1
iff No ed sets.
2.2
Nl
iff
[xll n [x21
2.3
Nla
iff
[xll n[i 2]
r/
implies
[ill -C[i 2]
2.4
N2
iff
[i 1 n F
P
implies
Ii I
2.5
N2a
iff
til
n F
=•
[xl'
nuous function and f [F]
= r/ implies
f: eX,])
[xll -
[x 2]
-
F
implies that there exists a conti -+
[o,lJ
such that
f[i]
= [ 0]
= [1]
REMARKS. We denote the axiom of normality by N3 . The axiom RIa has been defined in {2}*. R3 -axiom denotes N3+ Ro .R2a is complete A topological space is said to satisfy the RIa-axiom iff [Xl] + [x 2] implies [xl]_C [ x 21 .
156 regularity. Also, none of the normality axioms defined above implies Ro . This follows from the fact that N3 does not imply Ro. (,5, p. 1 OO} 3. THEOREM 3.1. space.
The foHobJing 1'esuZts hoZa fo1' any topotogicaZ
i = 0,1,la,2,2a,3
(iv)
Ni + Ro = Ri ' i=1,la,2,2a,3 .
Proof: (i) The proofs are obvious except for NI===> No. Suppose the space (X,J) is not No Then for some x € X , [x], contains two nonempty disjoint closed sets PI and P2 . Let Xl € P I ,x 2 € P2 then [xl] n[x 2] = 0 but [xl] is not strongly separated from [x 2]
(ii) R0 ===> N If the space is not N then for some x € X, [x], 0 0 contains two nonempty disjoint closed sets PI and P2 . Now x € ",PI but [x] 4= "'PI . Hence the space is not Ro . The proofs for the other statements in this section are trivial. (iii) Obvious. (iv)
Obvious.
(v)
Obvious in view of (iii) and the fact that
(vi) Any indiscrete space containing more than one point is R3 but not To REMARK 3.2. Y.C.Wu and S.H.Robinson {3} have given two axioms, which they call Strong To and Strong Tn ' both of which are weaker then TI axiom and give the Tl-axiom in presence of N3 " We give here an axiom, which we shall call the Tc -axiom, which is o
weaker
than both the Strong To and the Strong Tn-axiom, is indepen-
157
dent of theT 0 -axiom and implies the Tl-axiom in presence 'of any me of the normality axioms (including the No-axiom). DEFINITION 3.3. A topologic/1l space (X,J) is said to satisfy the Te-axiom iff for every x e X, either [x]' • , or [x], contains two nonempty disjoint closed set.s. The proof of the above assertions, which strengthen (iii), are easyc!:-4. We now "give some theorems in which the Nl and the N2-axioms re·. place respectively the T2-axiom and the axiom of regularity. THEOREM 4.1.
A pazoaoompaot spaos is N2 iff it is Nl'
r;]
[i1 nF . " where F is closed. For y e F , n [i) Hence there exist open sets Uy and UyIt such that [;] c:; u'y , [i) C
pzooof: Let
It
and Uy n Uy
.. ,.
The family {-I.F} U {U y : yeF} is an open cover of
the space X and has a locally finite open refinement. the proof is similar to that of Lemma 2 in {6, p.JS4} THEOREM 4.2.
• ,. u.,lt
The rest of
A pazoaoompaot spaoe is N3 iff it is H2 •
pzooof: Similar to that of Theorem 4.1.
THEOREM 4.3.
A LindeZ,af spaoe is N3 iff it is \
~2' .
pzooof: Similar to the proof of the Theorem 7 in {6,p.139}
THEOREM 4.4. A spaoe having a- z,ooaz, z,y finite base is N3 iff it is N2' pzooof: Similar to the proof of Lemma 1 in {6, p.168}
5. It is well known that the N3-axiom is preserved unde~ closed and continuoUs mappings. We generalize this result partially. DEFINITION 5.1. A closed and continuous mapping f df(X,J) onto' (Y,U) is said to be an az,most homeomozophism iff the inverse images of point closures are point closures. An almost homeomorphism becomes a homeomorphism if the domain space is Tl " THEOREM 5.2. Ths nozomal.i.ty a:x:iome: No • Nl and N2 azoe pzoeBBzoved undezo az,most homeomozophisms.
158
Pr'oof:
For the No -axiom is trlvial.
Now suppose (X,l) is NI • Let xl ' x 2 E: Y be such that [xil n [x z]-' then f-l[xIJ and f-I[Xzl are disjoint point closures in (X,l) and are therefore strongly separated by open sets U and V such that f- 1 [xl]
c::
U , f- 1 [Xz] c: V.
Then "'f ["'U] and "'f [",V] are disjoint
open neighborhoods of [ill and [xz] respectively. The proof for the Nz-axiom is similar. THEOREM 5.3.
The reguZarity axiom Ro is preserved under aZmost ho-
meomorphisms. Proof:
Let f: (X,l)
pose (X,l) is Ro.
--+
If
Xl
(Y,U) be an almost homeomorphism and sup' Xz
E:
Y then f- 1 [x 1] and f-1lxzl are point
closures in (X,l) and so either f-I[X1]=f-I[X21 or C 1 [X11 n C I (x2]"P This gives either [x1l
=
[x2l or [x1l n [x z] = P
COROLLARY.
The reguZarity axioms R1 • Rz and RJ are preserved under aZmost homeomorphisms.
REFERENCES {l}
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15'7
dent of the To-axiom and implies the Tl-axiom in presence of any me of the normality axioms, (including the No-adom). DEFINITION 3.3. A topologic/!l s'pace (X,3) is said to satisfy the Tc-axiom iff for every x e X, either [xl' • 'I or [x]' contains two nonempty .disjoint closed set.s. The proof of the above assertions, which strengthen (iii), are
ea~y,~ •.
4. We now 'give some theorems in which the Nl and the Nz-axioms replace respectively the Tz-axiom and the axiom of regularity. THEOREM 4.1.
A papaoompaotJ spaoai.a Nz i.ff it i.s HI'
ppoof: Let [xl n F • 'I , where P is closed. For y e F. ; Hence there exist open sets Uy and Uy K such that [y]. c;;
and Uy
n
Uy
K
.;.
The family ('IoF) U
{Uy :
'11] n [xl • O,y'
'I.
[x] C U,K
yeF} is an open cover of i
the space X and has a locally finite open refinement. The'rest of the proof is similar to that of Lemma 2 in {6, p.J 54} • THEOREM 4.2.
A papaqompaot 8paoa i.s N3i.ff it i.s Nz ;
ppoof: Similar to that of Theorem 4.1.
THEOREM 4.3.
A Linddof ,!paoa i.s N3 i.ff i.t i.8
~z'
I,;, .\'
ppoof: Similar to the proof of the Theorem 7 in {6,p.139} •
THEOREM 4.4. A 8paoa haui.ng a- 7.ooa Uy fi.nita, ban i.s H3 i.f! rf;t i.e H2' ppoof: Similar to the proof of Lemma
1 in {6, p.168} •
S. It ill well known that the N3-axiom is pre.served undelr clos.d and' continuous mappings. We generalize this result partially. DEFINITION 5.1. A closed and continuous mapping f of (x,3) onto. (Y,U) is said to be an c:zZmo8t homsomozophi.sm iff the inverse images of point closures are point closures. An almost homeomorphism becomes a homeomorphism if the domain space is Tl • THEOREM 5.2. Ths nozomaUty a:x:i.om8 ~o • HI and N2 aI's pzos88pusd undszo a7.most hom8omopphi.sm8.
158
Pl'oof:
For the No -axiom is trivial.
Now suppose (X ,1) is Nl'
Let xl '
Xz £
Y be such that [xl]
n [Xz] -.0-
then f-l[xll and f-l[Xzl are disjoint point closures in (X,l) and are therefore strongly separated by open sets U and Y such that r l [xl]
C
U , r l [Xzl
Y.
C
Then "'f ["'U] and "'f [",Y] are disjoint
[xz]
open neighborhoods of [xll and
respectively.
The proof for the Nz-axiom is similar. THEOREM 5.3.
The reguLarity
a~iom
Ro is preserved under aLmost ho-
meomorphisms. Proof:
Let f: (X,l) ---. (Y,U) be an almost homeomorphism and sup-
pose (X,l) is Ro'
If xl '
Xz
£
Y then f-l[xlJ and f-1 lxz ] are point
closures in (X,l) and so either f-1[x1]=rl[xz1 or r1[x11nr1[i zJ=JIl' This gives either rid =
[x2l
COROLLARY. The reguLarity aLmost homeomorphisms.
or [x11 n [xz] = JIl'
a~ioms
R1 • Rz and R3 are preserved under
REFERENCES {l}
Davis, A. S., Indexed systems of neighborhoods for general top.5!. logical spaces, Amer. Math.Monthly. 68(1961), 886-893.
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Revista de la Union Matematica Argentina Volumen 24, Numero 4, 1969.
SOME FORMULAE FOR G-FUNCTION by B.L. Sharma
1. INTRODUCTION. In a recent paper {S} the author has defined the generalized function of two variables as follow
[
m1 ' 0 ] P1- m 1
(1 )
S
,
q1
[
m2 ' n 2 q2- n 2 P2- m2
[
m3 ' n3 q3- n 3 P3- m3
I
a 1 , ... ,a
P1
b 1 ,· .. ,b
q1
x,
j
c 1 , .. ·,c
1
e 1 , ... ,e
P2
d 1 , .. ·,d q2
P3
f 1 ,· .. ,f q3
y
where c
1
and c
2
are two suitable contours.
In other two papers {6,7} the author has discussed the simpie prope~ ties and particular cases of the generalized functioq of tw,Q varia bles. The object of this paper is to evaluate integrals involving Meijers' G-function in terms of generalized function of two variables. The formulae obtained are of general character and in particular we obtain some interesting integrals. The results are believed to be new. In the investigation we require the formula {S}
160 . (2)
[ n,o ]
+1" • '+n
o~o
m2 ,n2
1(1-n) A_1 Cn). 2 (2.) 2
S
P2 -m2 ' q2 -n2
pA
-----
n n
111(-) p C1 ,
1
[ ",. n, P'3:m:3,q:3- n 3
J
,Cp2 i d 1
, •• ,dq2 b(!!.) P
e 1 , .. ,e
P3
n
i f 1 , .. ,f
q3
~
A+k
-:n- '
, where t k+ I -
••
k-O,1, ••• ,n- I , n is a positive integer. 2 (~+n2) >
t q2- t P2) ~
P2+ q 2' 2(ril 3+n,) > P3+ Q3 ' larg 1111 < (m 2+n 2 (m 3 +n 3 -
1 '1,
'! P3- '! Q3)
11
11
,
larg bl <
R(p) > 0 • RCA +ndy+nf h ) > 0 • y'!"1,2 •••• ,n 2 i
•
h .. ·1.2 ..... n 3• We write. as usual + (p)
(3)
h(t) when
f
+ (p) - p
I:
e- pt h(t) dt •
INTEG,RALS.
The first formula to be'pro~ed is
2.
\ (4)
•
n2
J'
·1IIz
t- p (t+c)A-1 G P2 .Q~
o
, [ n.o ] 0.0
III
"'1i c •
!(1-n) •
(211)2
In (c:;)P-A
S
161 where n is a positive integer. 5 k + 1 •
p-A+k A+k n • +It+l • n-
.•k+l
..
Proof: In the proof we use· the Parsevd-Goldstien (3} theorem of operational calculus; that is +(p) • h(t)· and
.(p) • g(t.)
then ( S ) I - t - 1 t(t) g(t)dt·
I-t- 1 h(t)
~(t) dt
0 0 .
wi1Ct'e the integrals are convergents. Now
we
take (4,. p •. 402 equ. 11) n 2 ·m 2
(6)
h(t) • t- A e-et
Cl l
[
. a·t ll G (n)1l P2· q2+ n
, ...
,CI
1'2
b1.···.b qz ,
"":"',; 1 .+(p) •
n-'
. A+k where n 'is a positive integer.t k+1 • -n2 (m 2+n 2)> P2+q2+n • larg al
'i • 1.Z ••••• nz ; R(p+c)
>
<
(m Z+n 2-
i
Pz -
t q2- t n),r.R(1-.A+nb y)
0 •
By using the ~ormula (1. p.Z09. Equ. 9} Equ. 11}
(7)g(t) .' t- P
k • ·0.1 •••••.
• we have from {4,p.40Z
>
0
162 !O-n)
+ (2v)2
en)
t-
p
c 1 ' •••• c pP
P3
1/Il,···,1/In'
= l-~+k
where n is a positive integer, 1/Ik+l
k
0,1, .•• ,n:T,R{p)
>
= 1,2, •.. ,m 3 •
j
Using (6) and (7) in (S), we get
J~t-P{t+C)l-l
(8)
o
J~
t
p-l-l
e
-ct
o
(4) follows immediately on evaluating the integral on the right of (8) with the help of (2). PARTICULAR CASES. We shall mention below some interesting particular cases of our general result (4) (a) m3
Taking n
=
, P3
[10,0 ,0] (9) S
[10,0 ,2)
[10,0,2)
, m2 2
q3
2
, n 2 = 2 , P2 = 2 , q 2 = 2 , n3
2
,
2 and using" the formula (7)
1;
x,
1-a; cS, - cS l-e;p,-p
y
=
L
I
cS,-cS p ,-p
r{1+p+cS)r(a+cS)r(e+p)r(-2p)r(-2cS)
0,
1.63
a+o , lI+p
1+20 , 1+2p
x ,
y
1
in (4), we get
(10)
..
f..o
bY r(l+y-p) r(y±a)
r
I
valid for R(y-p+l)
(b)
•
r(p->.+a+o)r(lI+o)r(y+a)r(-2a)r(-20)a ob a c>.-p-a-o
0.-0 a.-a
F2 [ p -).+a+o ; a+o ,y+a
larg el
J. dt
t G22[t+C 1 1 - 0 ,1+0 t Y - p (t+c) >'-1 2F1(a+y,y-a;1+y-p;-ti) 22 a 1->., II
>
2-,
1+20,1+2a;
0 , R(>'-p±a±o)
~l
0 , R(c)
<
>
R(a) , R(e)
R(b) ,
>
< 11
Taking n .. 1 , m2 .. 1 , n 2 • 2 , q2 .. 2 , P2 .. 1 , n3 .. 2 , m3 .. 0, 2 , using the formulae {1, p.216 Equ.6. iqu.8} [1 ,0] 0,0
(11) S
p;
x,
[0,2) 0,0
;a,-a
[0,2) 0,0
; a,-a
.2 [ p+a+a
and (7)
.. I
I
xa ya
r(p+a,~:~(-~~)r(-2a)
a,-a a,-a
y
; 1+2~,1+2a; x,y]
in (4),we get
(12)
1:
tOp (t+c). exp
I
r (1 ± 2a) a,-a 13,-13
[~- -it]
(a)a+t (b) a+t - - (c)p->.+a+13
W).,a [
t~c]
Wp,a
[¥]
dt ..
r(p->.+a+a) r(-2a) r(-2a)
.2 [p-).+a+l3; 1+2a,1+213; 2-'~] valid for R(b) (e) n
3
>
0 , R(e)
>
R(a) , R(p-uaUl
>
0
Taking n • 2 , m2 • 2 , n 2 • 1 , P2 .. 2 , q2 • 2 , m3 .. 0 ,
=
and using the formula (7)
164
[Z.O] .0.
(13)
°
~.\I
(0.1) 0.1 (0.1) 0.1
s
0.1 -a0.1-11 -x. -y
x.
=
Y
n~~ ~ f%~
"
]
in (4).we get
01 G
22
[~
2
111 ·~ z{l+p)._ zP
valid for R{p -).) >
3.
1dt
°.
= (c».-p r(p-)'/2) r (p-?,+l/2)
z ).)
1411 r (lIlr (l- 1 1 r (z1 -z).)
R{c) > R(la) • R{c) > R(lb) • R(c) >
°.
The second formula to be proved is
). -p
1 a
a 1 ' • • ,a
P2
valid by analytic continuation. for Z(m 2 +n 2 ) > P2+ Q 2 • R(l-).) > 0,. R().-Zp+Zb.+l) > . J
° . R(e) ° . RCb) ° . RCa) >
>
> 0. j=1.Z ..... n 2 ",.
165
In the proof, we use the theorem recently proved by the author {9} •
pzeoof:
If
+(p) I h(t) >. I ( 1· 1 1 . b 2 t and '(>',P,re) I t - E 1--Z>',Z--Z>':: ""'4C)
b2
h(t)
then
fo
~)
,
provided that the integrals are absolutely convergent, R(a)
>
(16)
t->' (a+bt+ct 2 ) -I +Ca+bt+ct 2 )at • _b=->._-_I-:->. 1/1(>. ,a, a/1l2
la?~I. I
We
<.Ji '
h(t) is independent of a.
•
take {2,p •. 222. Equ.
(17)
34.}
n 2 ,m 2
h(t) • t- P G
P2,q2+ 1 n 2 ,m 2 + pP
G
P2,Q2 valid for R(p) 2(P2+q2)
>
0 ,
>
0,
[
t
I.,...... bl, ... ,b:: P a 1 ,··,·,a
r
l
1 P 1 b i
R(l-p+b y )
' ... , b
P2 q2
I
I
0 , y • 1,2, •••
>
+(p) ,n~
m2+n 2+1.
Also from (2), we have A-p
1. p
By'using (17) and (18) in (16), we g~t (15). \
PARTICULAR CASES.
We shall mention some---jnteresting particular cases
of the general result (15).
J6(/
(a)
r
Taking n 2 - 1 , q2 - 1 , m2 -0-- " P2 - 0 ,in (1S); ,we get
a+bt+ct 2 (a)p->,-Ir(>.-p+t) 2 (.c)i->'
r(t->')
r(l-p)
'1
1 1, b 2 1 ,] [ l-p+ 21 ' 2 - >.; 2,l-p;4ac'-ii -
f
b(a)p->.-l r(>.-p+l) T(l->.) 2(c)1->' r(l-p) 1 valid for R('2 - >.)
In case b
+
0 , R(i1 + >. - p)
>
>
~1
0 , R(a)
0 , R(ac)
>
>
] 2
b R('4" ).
' see {1,p.225. Equ. 23}
(b) Taking n 2-1, m2-1, P2=1, q2-1 , simplification
r
~
,l-p
0 , (20) reduces to a known result {l,p.225. Equ. 2} .
For the definition of
(20)
] dt
in (15), we get after a little
t-2>.(a+bt+ct 2 )p+a-l (a+l+bt+ct2),:,a
dt
o
r('"-p+,,l.) ( a ) p-A_12 r(1 ! - ,) ~
l...
2(c)~->' r(l-p)
-A
·l-p '
1._!..).;] -
'2' a' .. aC
_ b(a)p->.-l r(A-p+l) r(l-A) 2(c)1-A r(l~p) Valid for R( '21 - A) In case b
+
>
0 , R(>.-p+ 21 )
>
0 , R(a)
>
1 , R(ac)
0 , we get a known result {1, p.60 • Equ. 12} •
>
2
b R('4").
167
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I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I II
Revista de 1a Uni6n Matemitica ArBentina Vo1umen 24, NGmero 4, 1969.
ON QUASI-GALOIS EXTENSIONS OF COMMUTATIVE RINGS by
Yasuji Takeuchi
In the ordinary Galois theory of fields the notion of quasi-Galois extension (in the other words, normal extension) plays an important role. Auslander,Goldmli:n, Chase, Harrison, Rosenberg and others have developed Galois theory of commutative rings. On the one hand,, Villarnayor and Zelinsky studied weakly Galois theory of commutative rings. However the author thinks that in their theory there is no explicit notion corresponding to quasi-Galois extension of fields. Recently he studied on a characterization of the notion of Galois extension of commutative rings {S}. It suggests a possibility for extending the notion of quasi-Galois extension of fields to the case\ of commutative rings. In this paper we shall try to do it. In our first section we shall introduce a notion of quasi-Galois extension of commutative rings. In our second section we shall extend to our c.ase theorems concerning to filted rings in theory of fields. In our final third section we shall study on relations between Ga lois extensions and quasi-Galois extensions. In this paper we shall assume that all rings have the are commutative. If R is a commutative ring and if S Aut R (S) will denote the group of all automorphisms of T is an integral domain, will denote the quotient
identity. and is a R-algebra S over R. If field of T.
DEFINITION. We begin with introducing a notion of quasi-Galois extension of commutative rings. DEFINITION 1.1. Let R be a commutative rift{j and S a commutative Ra'lgebra that is integra'l over R. Let G be! th,e group of aZZ automorp'hisms of S over R. Then S bJiZZ be caZZei a Iquasi-Ga'lois extension of R if. for any prime idea'l p of R. the foZZObJing conditions hoZd: /
I
1)
If Pis a prime ideaZ of S 'lying over P. the is a quasi-GaZois extension of
2)
G operates transitiveZy on the famity of an pri(ne idea'ls of S
quot~ent
fieZd
Zying over p. i.e. if P and pI are tbJO prime ideaZs of S Zying over P. there is 0 & G such that o(P) = pl. 3)
Any automorphism of SIP over RIp is canonicaZZy induced by an eZement of G.
In particular bJe shaZZ caZZ S a PUreZy inseparabZe extension of R if. for any prime ideaZp of R. there existsonZy one prime ideaZ P
170
of 5 ~ying over p and is a pUl'e~lI inseparab~e eilltension of '. REMARK. Let 5 be a commutative ring and G a finite group of automorphisms of S. If R is the fixed ring of 5 under G, then 5 is a quasi-Gal?is extension of R {c.f. 1, n° 2, theorem 2} • Let R be a commutative ring. R,denotesthe afine scheme induced by R. Then there exists a canonical bij ective correspond~nce between the geometric points of R~ith value in a field K and th~ homomorph isms of R into K. If p is a geometric point of It with value in K, we shall de,note ,with the samep the corresponding homomor phism; R K and call it a geometric point of R with value in K (or simply, a geometric point of R). If 5 is a R-algebra, the afine scheme S forms ,canonically a Rscheme. Let p be any geometric ~oint of R. Then E! (5) will -denote the set of geometric points ofS over p with value in an algebt,aie, closure 0 of , is a quasi-Galois extension field of . Let Q be any other prime ideal of S ~ying over p. Since is, an alg,ebra1e extension of , there exists a R/p-isomo!, phism ~': SIQ .......... O. Then~' induces a geometric point Q' of S over p with value in 0, so that there is T & G s'uch that PT • Q'. This implies T (P) • 12.. It ~ollows similarly as above that any R/p-automorph1smof SIP is canonically induced by an a,lement of G. This cc:!l pletes the pr~ofL COROLLARY 1.3. Let S be a commutative ring, G a group of automor phisms of Sand R the fized ring of Sunder G. IfG is compact in the finite topoZogy. then S is a quasi-GaZois ezte~sion of R.
Proof:
Let {x 1 ,x 2 , ••• ,xn } be any finite subset of S.
The hy~othe
sis implies that the family U~"l GX i of the orbits GX i forms a fiIf we put Sex) L;.~ -"hring RIU!.l Gxil of S generated by
nite set.
the U~=l GX i o~er R, we obtain a(S(x»
=:
"(X)
~-.,. all a
&
G.
Let
N(x') be the set of elements of G which fix every element ot ;'(x)' ,
N(x) is a normal subgroup of finite index in G and so the factor
"-
.
group G/N(x)1 can be regarded canonically as a group of automorphisms of Sex)'
Then
R is the fixed ring of Sex) underG/N(x)' so that Sex)
is a quasi-Galois extension of R {c.f. the remark of Definition lo1.}. We consider the family {S(x)}(x) cpnsisting of such Sex) f'or'all fi nite subset
(x) .. (x 1 ,x 2 , ••• ,x n ) of S.
The family {S(x)}(x) forms
canonically an injective set by the inclusion mappings. obtain that S is canonically isomorphism to fu Sex)'
Then we
Let p be ,any geo,etric point of Rand P, Q two ge,ometric points of )
ov~r p.
If g(~) is the canonical homomorphism: Sex) -
S , Pg(x)
and Qg(x) are also geometric points of Sex) over p. We consider the I 2 N n(x)N. i G sets G(x) = { a(x)N(x) ; a(x) :(x)'···' a(x) (x)' a(x) & ,
pg(x)a~x)
= Qg(x)}'
G(x) is not empty and n(x) is finite.
The fa-
mily {G(x)}(x) forms natllrally a projective set, Le: ,if Sex)
'=
S(y)'
172 the morphism A(x),(y):G(y) ~ G(x) is defined by A(x).(y)(a~y)N(y»). i
• a(y)N(x)'
Then we have lim G(x)
r 'so
We obtain easily that any
element of lim G(x) induces canonically an automorphism
T
of Sand
so PT '" Q. COROLLARY 1.4 • Lilt R bll a COJllllfutc:i-tivll .1'ing. If S is a quasi-'Ga1.ois .:tsnsion of R and if T is a pups1.y insspa1'ab1.s s:tsnsion of R. thsn S eaT is a-quasi-Ga1.ois s:tsnsion of R. Proof: Letp be any geometric point of Rand P, Q two geometric \points of S eRT lring over p. If we denote with f the natural homo
morphism: T
~
S eRT , we have Pf • Qf since they are geometric
points of T over p. On the other hand if g is the natural homomorphism : S ~ S eRT , then Pg and Qg are geometric points of S over p, so that Pga .. Qg for some a e:AutR(S).This implies Pea e R1) .. Q where a e R1 is the R-automorphism of S eRT induced by a and the
ide~
tity automorphism of T. 2.
FIXED RINGS.
We begin with an extension of a well-known theorems in theory of fields. PROPOSITION 2.1. Let S be an OVeP1'ing of R that is a finite1.y gen~ 1'ated separab1.e R-a1.gebra. If S is a pure1.y inseparab1.e e:tension of R. then ~e have S = R. Proof:
Since, for any maximal ideal m of R, Sm/mSm is a separable
extension field of Rm/mRm and is purely inseparable over Rm/mRm' we have Sm/mSm
= Rm/mRm
and so Sm
= Rm
+
mSm'
Hence we obtain S
= R.
PROPOSITION 2.2. Let R be a commutative ring and S a R-a1.gebra. If S is a quasi-Ga1.ois e:tension of R. then the fi:ed ring of Sunder the group G of aU R-automorphisms of S is a pure1.y inseparab1.e e:tension of R. Proof: Let p be any geometric point of Rand P, Q two geometric points of SG over p. Then P and Q can be, extended to geometric points P' and Q' of S, respectively. Since S is a quasi-Galois extension of
173
R. we have P'a .. Q' for a sition.
£
G and so P .. Q.
'T-his proves our propo-
LEMMA 2.3. Let R be a commutative ring t.iithout propel' idempotent and S a R-a~gebra. A88ume that S i8 a direct"8um of finite number of indecomp08ab~e R-a~gebra8 ",hich are i80morphic to each other a8 R-a~gebra8. If S i8 a finite~y generated 8eparab~e R-a~gebra. then the fireed ring SG i8 finite~y generated a8 a R-modu~e ",here G .. .. AutR(S). Proof:
Let S .. S1 • S2 • • • . • Sn be a decomposition as the assum-
ption.
Then each Si is a Galois extension of the fixed ring Ti of
Si under the group Gi .. AutR(Si)'
Now we take any R-isomorphisms a~:
rated as a R-module. for i
= a1. S.].
= 2.3 •.••• n and the identity mapping of S1 as a~. (a~)-1 for i.j = 1.2, ..... n. Then af is a R-isomorphism: SJ.•
--+
aflsi
Hence each Ti is finitely gene-
=
We shall consider R-automorphisms a~]. of S such that
a{ • nllSj
for i.j
a
af
1.2 ..... n.
and aflsk .. identity mapping of Sk (k~i.j)
LeL:- ,",,,
Ii
subgroup of G generated by the
Then G is a semi-direct product of H ana
t
T1l
£
•
.. .
~~"'ect
product of the
T )H = {t + a~ (t) + n so that SG is finitely generated as.a R-module.
Hence we have SG
Gis.
~.-
= (T 1 •
aI's.
61
...
.
cr~(t);
THEOREM 2.4. Let R be a commutative ring and S a commutative oVerring of R ",hich i8 a 8eparab~e R-algebra and i8 projective a8 a Rmodu~e. If S i8 a qua8i-Gatoi8 ereten8ion of R. then R i8 the fireed ring o~. S under the groupG of aU R-automorphi8m8 of S. Proof: First we assume that R ,has .no proper idempotent. S is a direct sum of finite numb,er of indecomposable R- subalgebras. Hence n1 n2 nr we can write with a form S .. S1 61 S2 61 ••• 61 Sr where Si ar~in-
decomposable R-algebras such thatS i and Sf (i;j) are not isomorphic n.
over R, and Si]. denotes a direct sum· of n i copies of Si'
G.].
n.
= AutR(Si].)·
Gis. T1
61
then G is isomorphic to the direct product of the n.
Let T.]. be the fixed ring of Si]. under Gi • T2
61 ... 61
dule. SG is so.
If we put
T. r
Then we have
G
S
..
Since each T. is finitely generatedlas a R-mo~ '].
Ther~fore
it follows from (2.3) that SG \ R.
In
174
general R~ the same conditions as our theorem are inherited under the fibres sz and Rz for any point x of' the Boolean spectrum of R. Moreover the group of all Rz,-automorphisms of sz is equal to the group Gz of automorphismsof sz induced by the elements of G. Then ,.
G
we have Rz • (5:1:) x , since Rx has no proper idempotent. obtain R • sG {c.f., 7} • 3.
Hence, we
RELATIONS BETWEEN QUASI-GALOIS EXTENSIONS AND GALOIS EXTENSIONS.
Let R be a commutative ring, 5 a R-algebra and G the group of all R-automorphisms of S. For any maximal ideal M of 5, as usual,PT(M) and Gz(M) (or simply, GT and GZ),will denote the inertia group and the decomposition group of M" respectively., THEOREM 3.1.
Let R, Sand G be as above. Then 5: i; a Ga;Zois e:x: -' tension of R with a GaZois group G if land onZy, if 5 is a! faithfu Z, projective, separab~e R-aZgebra and is a quasii-GaZoi;s e:X:f;ension of R such that the inertia group 'G T (M) of a ma:x:imaZ ,ideaZ M of; S Zying over any ma:x:imaZ ideaZ m of R reduces to the identity.
The "only if" part follows from {2}, so that it is sufficient to show the "if" part. It follows from (2.4) that R is the fixed ring of Sunder G. Let M be any maximal ideal of S. If we put m - Rn M , then SImS is a finitely,generated separable RIm-algebra so that the number of R/m-automorphisms of SImS is at most finite. Now each element (; 1) of G induces ~ non-trivial RIm-automorphism of SImS. Hence G is finite. Furthermore the inertia group of any maxi mal ideal of S reduces to the identity, since all inertia groups of maximal ideals of S lying over a maximal ideal of R are conjugate to each other. This completes the proof. Proof:
COROLLARY 3.2. Let'S be a GaZois e:x:tension of R with the group of aZZ R-automorphisms of S ~s a GaZois group. If R is a fieZd, then so is S.
THEOREM 3.3. Let S be a GaZois e:x:tension of a ring R with a GaZois group G and T an intermediate ring of Sand R. Then there e:x:ists a normaZsubgroup N of G with T - SN if ana onZy if T i~ quasi-GaZois and separabZe over R. Proof: The "only if" part is trivial. It is sufficient for proving the "if" part to show a(T)- T for all a e G. Let p and P be the n!
tural homomorphisms: R -
S/M
anI! T -
S/M,
respectively, for
any~.
175
maximal ideal M of S. Then p is a geometric ,point of Rand P is also a geometric point of S over p. On {he other hand. i f f is the natural homomorphism: a(T) --+ S/M. then fa is also a geometric point of T over p. Since T is a quasi-Galois extension of R. we obtain PT • fa for some T E. Aut R(T) . Then P (T) = PdT) = f (a (T)) and so T + M = a(T) + M. Now let m be a maximal ideal of Rand {M 1 .M 2 ••••• Mn } the set of all maximal ideals of S lying over m.Then SIMI. S/M 2 • . . . • S/Mn is a Galois extension of Rim with a Galois group G. Hence there exists a canonical bijective correspondence between the separable R/m-subalgebra of SIMI. S/M 2 ••.•• S/Mn and the separable R-subalgebra of S. This implies that T and GeT) coincide. since the natural images of T and a(T) in SimS coincide •. PROPOSITION 3.4. Let R be a commutative ring ani S a commutative R-algebra. If S is ~eakly Galois over R {c.f; ?} , then S is a quasi-Galois e~tension of R. Conversely if S is a faithful, proje~ tive, separable R-al,ebra and is a quasi-Galois ~eakly Galois over R.
e~tension
of R,the.
S is
The first statement is trivial {c.f. 7} and the remark of Definition 1.1. Assume that S is a faithful. projective. separable R-algebra and is a quasi-Galois extension of R. Then it is clear that. for any point x of the Boolean spectrum of R. the'properties are inherited under the fibre Sx {c. f,. 7}. Hence the fibre Rx is the fixed ring of Sx under the group of all Rx -automorphisms of Sx • , Then we have p(Sx)G x = HomR x (Sx,Sx) and so p(S)G = HomR(S.S) where p: S --+ HomR(S.S) denotes the usual regular representation of S and G = AutR(S). This completes the proof.
Proof:
REFERENCES {I} {2} {3} {4} {5} {6} {7}
{8}
N.Bourbaki. Algebre commutative. Chap. 5-6. Hermann Paris 1~64. S.U •. Chase. D.K.Harrison and·A.Rosenberg. Galois theory and Galois cohomology of commutative rings.Mem.Amer.Math.Soc. N°52 (1965) 15-33. D.K.Harrison. Abelian extension of commutative rings. ibid. N.Jacobson. Lecture in abstract algebra. Vol. III, Nostrand New York 1964. Y.Takeuchi. A note on Galois coverings (to appear). O.Villamayor and D.Zelinsky. Galois theory for rings with finitely many idempatents, Nagoya Math. J.,Vol.27 (1966) 721-731. ~----------. Galois theory for rings with infinitely many idempotents. O.Zariski and P.Samuel. Commutative algebra I, II. Nostrand. New York (1960). de Buenos Aires.\ Kyoiku Univeraity.
Univ~rsidad Osak~
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
REUNION ANUAL DE LA U.M.A. La Reuni6n Anual 1969 de la U.M.A., 'organizada en forma conjunta con la Sociedad Matemttica Paraguaya, se llev6 a cabo en Asunci6n del P~ raguay entre el 10 y el 13 de Julio. La decisi6n de realizar, p6r primera vez en los treinta y cinco afios de existencia de la U.M.A. la reuni6n anual fuera del pais se bas6 en la conveniencia de implemental' efectivamente el Acuerdo de Reciprocidad propuesto a la Soci~ dad Matematica Paraguaya y posteriormente ratificado pOI' Asamblea. ACTO DE APERTURA. La ceremonia de apertura se realiz6 el 10 de julio a las 17 horas, en el sa16n de actos del Colegio internacional de Asunci6n, y cont6 con la presencia del Sr. Ministro de Educaci6n del Paraguay, autoridades de la Universidad de Asunci6n y numeroso pablico. En la oportunidad pron~nciaron discursos el Sr. Subsecretario de Educaci6n del Paraguay, Dr. Fabio Rivas, el Vicepresidente ~e la U.M.A., lng. Orlando Villamayor, y el presid~te de la S.M.P., licenciado Jos6 Luis Benza. A continuaci6n el lng. Villamayor disert6 sobre el tema "K-teoria algebraica y K-teoria topo16gica". Esta exposici6n fue seguida con evidente inter6s y preocupaci6n pOI' el pablico espBcializado. SESlONES DE COMUNlCAClONES. El viernes 11 porIa mafiana se realiz6 la primera sesi6n de comunicaciones sobre temas de Geometria, de acuer do al siguiente programa: 1.
SANTALO, L.A. (U.N.B.A.):
ler-Poincare de gruentes en E4.
~a
Valor medio de la caracter-tstica de Euinterseccion de dos hipersuperficies convea:as con-
Sean SI ' S2 dos hipersuperficies' convexas congruentes del espacio euclideano 4-dimensional y sea G el grupo de las isometrias de dicho espacio. Siendo 9 & G, se calcula el valor medio de la caracteristica de Euler-Poincar6 de la superficie intersecci6n SI n 9S2 para todo 9 para el cual la intersecci6n no sea vacia. Se conjetura que dicha caracteristica es siempre igual 0 menor que 2 y se prueba este hecho para paralelepipedos rectos. 2.
CONTOU CARRERE, C. (U.N.B.A.):
tr~agin
3.
TORANZOS, F.A. (U.N.B.A.):
mado.
Relacion entre las clase5de Pon-
y las curvaturas medias de una hipersuperficie de dimension 4k.
EZ cono de tension de un espacio nor-
178
Decimos que e1 par (x;y) depuntos de un espacio normaclo est' en te! si6n si 1a banda m6trica t>or ellos definida. coincide conel selaent.o, lineal. T (x) lied e1 conjunto de puntos que esU en ten~i6n con x .• Damos una caracterizaci6n de T(O) en Urminos de 1a estructllra extr.mal de 1a bola unitaria del espacio. 4.
DAUB. W. E. (U. N. S. )
El.emsnto ds hipsrtsupsrtf1.o1.s ort1.sn'tado,."
UII
En.
Las ecuaeiones xa - x'a(u1.u2 ••••• U I1 - 1) en que a var1a de 1 a. n definen un Rn_1 • subespacio que se llama hipersuperficie. Para c1efin.h' un elemento orientado de la misma. se recurre generalmente a 1a form.a tensoria1 de 1a teoria de extensi6n. En este trabajo se lol'Ta e1 JIIismo resultado en_forma de extrema simple, generalizando eleoneep" to de producto vectorial. S.
DAUB, W. E. (U •N. S. ): Fortmaa1.on ds
oampos so l.eno1.dd sn R".
En R3 existen dos m6todos bisic::os para formar campos vectoriales 50-\ 1enoida1, 1) 5 - rot A siendo un campo vectorial abso1uto arbitrario'de clase 1 y 2) ~. v+ II v, siendo + y ." tens ores absolutos de orden cero y de c1ase 2. Como no es posib1e extender e1 concepto del rotor Han dimensiones, manteniendo e1 caracter de c-.po vectorial ab~oluto para e1 resu1 tado, segeneraliz6 en cambio ~ 2°m6todo. 6.
BRUNO, S.R. (en col. con TALLINI, G.) (U.N.Rosario):
Dis'ta,,01.as
proyectivas en un Pn [GF(qJ]
Se trata de nociones mHricas en un PI1[GF(q)] (n-1,2;q imparl. Se i! troducen en dichos cuerpos de Galois las funciones logaritmo y arl eh. De paso se obtienen resultados a1gebraicos para dichos c~erpos •. 7. TORANZOS, F.A. (en col. con UNGURIANO, C.) (t1.N.B.A.) Espaq;'o. metriaos auyos subconjuntos tisnsn iguat. diame't.ro qus su oapsut.a 0011.. vea:a. En un espacio E, M-convexo, externamente convexo y completo para tOdo. ACE. diam A - diam KCA) s i i toda bola de M es convexa. La deaostr! ci6n de 1a condici6n suficiente es £tcil yen ella no se usa 1a convexidad externa, que en cambio se usa esencia1mente en la condicicS.n necesaria. Se conjetura que la caracterizaci6n es vAlida sin la convexidad externa.
179
El 11 porIa tarde se realiz6 la segunda sesi6n con comunicaciones de AnUisis, segfin indica el siguiente programas 1. MARGOLIS, B. eU.N.La Plata): sionaZ.
DesiguaZdad de CronwaZZ
Se da una f6rmula de Crowall para
i~tegrales
muZtidime~
mfiltiples; mas completa
y computable que la conocida hasta ahora. Z.,
DAMKOHLER, W. eU.N. de Cuyo):
Sistemas oompZementarios de intefundamentaZes para eouaoiones diferenoiaZes lineaZes autoadtiu~ 'ttlsde ,egundo 4rden. gf~es
\
Cuando se resuelve pOl' el mlStodo de variaci6n de las constantes un sistema homoglSneo, lineal autoadjunto de. e.d. de 2° orden aparecen ci,rtos determinantes que resultan formar un sistema fundamental de iategrales del sistema homoglSneo correspondiente. 3.
SPINADEL, V.W. de eU.N.B.A.):
Sobre Za oontroZabilidad de aZgu-
no. juegos difersnoiaZes linea les.
Se estudia la controlabilidad del juego diferencial lineal: x' .. Ax + Bu + Cv. POl' analogia con el sistema de control: x'-Ax+Bu'. 4..
TREJO, C.A. eU.N.B.A.): 'Apro:J:imaoion por transformadas de Weier-
strass •.
nil. el estudio de la aproximaci6n uniforme de funciones continuas. pOl' t.J'lI;nsformadas de Weierstrass se usan dos hechos fundamentales ei) que esta t~ansformada es de convoluci6n;(ii) que las 'n son reproductivas. PaTa ciertas clases de funciones se obtienenacotaciones sobre el gr!. do de aproximaci6n en tErminos de n, y resultados cualitativos. 5. SANZ, A. CU. N. Rosario): pZaoe.
Genera liaaoion de Za transformada de La-
Partiendo de la convergencia de la integral
feD e- xn dx o
se generaliza .,la transformada de Laplace. y se usa tal generali zaci6n' paratransformar funciones que no admiten la transformada ordinaria.
180
6. BENEDEK, A. (en col. con PANZONE, R.) (U.N.S.): continuidad de Za transformada de HiZbert.
Propiedades de
Se demuestra bajo condiciones adecuadas sobre p Y \I, que 1a transfor mada de Hilbert es un operador continuo en LP(\I)' La clave de esto es obtener desigua1dades de 1a forma \Ie IHf(x) I
>
A)
~
g(A) \I(E)
donde g(A} • O(A- P) ~ p > 1 Y f es 1a funcion caracter!stica de E. Este trabajo genera1iza un teorema de Okikio1u. 7.
PORTA, H. (U.N.La Plata): IdeaZes biZateros de operadores.
Existe un espacio de Banach real X con las siguientes propiedades: (i) X es separable, isomStrico con su dual y ref1exivo; (ii) es posible asignar a cada conjunto finito F de niimeros natura1e~ un ideal bilatero cerrado a(F) de operadores sobre X de tal manera que 1a correspondencia F --+ a(F) sea inyectiva y conserve 1a re1aci6n de inclusion en ambas direcciones. 8. CALDERON, C. (U.N.B.A.): Convergencia puntuaZ de operadorss sin guZares. Se fijan condiciones para asegurar 1a convergencia puntua1 (p.p.) de los operadores singu1ares de A.Benedek, A.Ca1deron y R.Panzone, inc1uyendo e1 caso de medidas de variacion total finita en Rm. 9.
SEGOVIA, C. (U.N.B.A.):Sobre ciertas integraZes singuZares.
10. ~UERSCHMAN, R. (U.N.La Plata): GeneraZizaci~n de Zos conceptos de determinante y traza de Zos operadores diferenciaZes de 2° orden. Se estudia una posib1e definicion del determinante y 1a traza para 0peradores diferencia1es de tipo Sturm-Liouville (d 2 /dx2)-V(x) en un intervalo finito, con ayuda de 1a integral de Wiener. Se obtienen e~ presiones anal!ticas para varios operadores y analiza el ejemplo de potencial constante. 11. LASS FERNANDEZ, D. (U.N.S.): Hardy-LittZebJOo d.
GeneraZizacion de un teorema de
Sea un sistema ortonormal de funciones sobre, se trata de caracteriiar los conjuntos:
181
'io(s~t) - { a 1.(s.t) -
{ a
Obtuvimos los sigl1ientes l'eSu~iado~ pal'ciales: sea 1 < P < II II < q < • • 1 ! P ! -. (i) si ..,. - elllp(HnIllJ. entonces' ,l q (p.p) ,. I,{p'.p) • ioo(q.p) -
I,{q'.p) •
io(ll.p) -
(ii) Si,Wn es cua1quiel'a entonces:i (P.p)
io(ll.p)
I.(ll.~)
11
i .. (ll.q)
I.(ll.p) 1Ilo(1l~q) -
I,{ll.q).
I.(p'.p). " .. (q.p)-Hq'.p).
I.(ll.q).
E~ mismo dla 11 a las 19 hOl'as. en e1 sa16n del Co1egio SupeTiol' de Nifias de 'Asunci6n. tuvo efecto un acto,que comenz6 con uria manifestaci6n al't1stica constitulda pOl' mt1sica. canciones y poesla paraguaya interpl'etadas pOl' agraciadas j6venes &'suncefias. La segunda parte de e'ste evento fue una mesa redonda sobl'e e1 tema: uLa Nueva Matemitica en 1a escue1a, secundal'ia". Intervinieron en e1 panel e1 Dl'. Santa16. e1 Dr. 'Trejo y e1 Ing. CEsal' Acevedo. directol' del Departamento de M~ temitica del Instituto de Ciencias de 'Asunci6n. DespuEs de las exposiciones sigui6 un extenso y an~mado debate en e1 que in t er_'v i it i~ . Ton numel'OSOS concurren,tes. Actu6 como moder.ado.r e1' Lic. BtlDza.
E1 sibado 12 pOl' 1a mafiana comunicaciones:
"C
""'alizaron dos sesiones simult4neas de
Sesion III - Comunicaciomisd-e Topo10gia. 1. SCARPARO. R. (U.N.La Plata): SeZe(Jaion~ aontinllas. palla pozotadozoeB aZasiaos 11 palla pontadozoes simuZtaneoB.
Se estudia una generalizaci6n de algunos teoremas de se1ecciones continuas para port~doressimu1tineos con dominio no metrizab1.e. 2.
CONTOU CARRERE. C. (en col. con IZRAELEWICZ. R.) (U.N.B.A.)
Faatolliaaaion de vazoi,edades.
Si una var,iedad Vn • n-dimensiones. compacta. conexa y sin borde es producto de n-espacios topCi16gicos no trivia1es. cada uno 'de estos es homeomorfo a 1a circunferencia y Vn es un taro n-dimensional'; 3.
RUIZ. C.A. (U.N.B.A.),:
CohomoZogf,~ de ZaB vazoiedades StiefeZ pzo!Z.
yeativaB aompZejas.
Estas variedades se obtienen como cociente de 1asvariedades de 'Stie-
182
fel pOl' laacciiii d~ los complejosde modulo uno. POl' 10 tanto gen~ ralizan los .grupos proyectivosunitarios. Son clasificantes de una familia de fibrados vectoriale·s. Se calcula primero la cohomologia a coeficientes en un cuerpo usando la sucesion espectralde -Serre de una fibracion. A continuacion se calcula la cohomologia entera usando la sucesi6n espectral de Bockstein. Topo~og£a8de a~gebl'a8
4.•• BRESSAN,. J .C. (U.N.B.A.):
de
Boo~e.
Sea (B,d) un algebra de Boole autometrizada mediante la diferencia si m6trica. Sea RC B; R base de filtro qm ini"ill}o cero. La familia formada pOl' los U { (x ,y) I d(x ,y) ~ r} para r I: R, .es base de una uniformidad de Bcuya topologia es T3 , no discreta yno conexa. Las bolas cerradas B[x,rJ ,. {y I: B I d(x,y} <- r} con x I: B, r I: R, forman base de -dicha top,?lo~Qon conjuntos abiertos y ce.rrados a la vez. Si R* es el£i1tl'o gener~do POl' R, R* Y R generan la mismauniformidad. EI fiJ.t-ro R*, generado POl' R, tiene base numerable si y s~ .1o-sr·1~ormidad generada pOl' R es metriZable. Dicha metrizaci6n ~acerse mediante un~ distancia que satisfaga la desigualdad ultram6tl'ica, resu-l-tando un espacio uniforme completo siempre que el iilgebra d~Boole sea a-compacta.
.
Sesi6n IV - Comuriicaciones de Matematica Aplicada: '1.
BORGHI, J. (U.N.de
~uyo):
SOb1'6 aonjunto8 "fuzay".
Se construye una algebrizaci6n para conjuntos difusos, introducidos pOl' L. Zadeh en 1965. Se determinan limites de sucesiones de tales conjuntos y se estudian conjuntos difusos introducidos pOl' ap~icaci~ nes. 2.
CAPRI~ O.N~
integl'a~e8
de
(U.N.B.A. Y U.N. La Plata):Ap~iaaai5n de eauaaiones a ~a teol'ta matematiaa de Za pobZaai5n.
Vo~tel'l'a
Seaplica un teorema de Blackwell s9bre comportamiento asint6tico de la soluci6n de la ecuaci6n .integral de tipo. convoluci6n: t
f(t)
= g{t)
+
Jo
.
f(t - 5) g(s) ds
a la d'emostraci6n de un resul tado de Lotka sobre estabilidad de la distribuci6n porcelJtual de edades, en una poblaci6n cerrada de tasas de mortalidad y fertil idad invariables.
3. DI MARCO,L.E. 'CU.N.C6rdoba): cienttlicos.sociaz.es.
Ent:renamiento matematico pa:ra t.os
Este trabajo fundament a lanecesidad de la f,rmaci6n matem4tica del cie~tifico social. Constituye tambien una breve diagnosis de la realidad universitaria'argentina en la materia. Se sefialan las causas que han, llevado a un divorcio entre lj( formaci6n social y 10 matemitico estadistico. Se apuntan las posibles-soluciones y las ventajas que implicari una mayor comunicaci6n entre matemAticos ycientificos sociales. Hay, finalmente, una propuest'a sobre los cursos posibles que deberian -incluirse el]. un programa universitario, con una rApida cita a la situaci6n universitaria cordobesa. 4. GERMANI DE POUSA, A.V. Cen col. con DIEGO A.) CU.N.S.) e=t:remaz.es ~n un producto linito.
Medidas
Si F es una parte de X x Y (finito) consideremos el grafo F' que se obtiene uniendo puntos de F en la misma secci6n. F es soporte de una medida extremal ssi F' es un'irbol. En tal caso la unica medida Q con aQ S F Y marginales p, q es tal que V f e: F X' c. X, Y' c Y: Q(f) -
Ip(X') - q(Y')1
Se pone el problema de determinar las medidas extremales que tienen marginalesp, q da:das y se 10. traduce en un problema geom6trico,. 10 que ~te emplear m6todos de topologia combinatoria. 5. ROFMAN, E.(U.N.Rosario): Sob:re z.a conve:rgencia del. metodo de c£ z.ocacion en ecuacioneB dile:renciaz.eB o:rdina:rias l.i.neaz.eB y no l.i.neaz.es. I
Con referencia al metoda de colocaci6n (ver L.Collatz, "The numerical Treatment 0~differe~tia1 equations, Springer) se sefialan.particulares distribuciones de puntos para los cuales se puede afirmar la convergencia del ml!todo y la acotac16n del error sobre ecuacio.nes diferenciales en condiciones homogl!neas de 'contorno. El mismo dia 12 por la tarde se llevaron a cabo simult4neamente las dos iil timassesiones de comunicaciones: TAKEUCHI, Y. (U.N.B.A.): aniz.z.o conmutativo. 1.
Sob:re z.aB
e=tenBione~
de
caBi~Gaz.ois
de
Se extiende 1a'noci6n de la'extensi6n de casi-Ga10is '(en otro t6rmino, normal) de cuerpos en e1 caso de anillos conmutativos.,
184
2.
FERRERO, M.A. ·(U'.N.Rosario):
Teozota de GaZois de aniz.z.os gzoadll!!
dos.
Se resuelve el problenra fundamental de la teorta de Galois para un ! nillo graduado A, con grupo G homogEneo y Ao contenido en el ~entro de A, para los siguientes casos: i)
A nO tiene idempotentes.
ii)
A tiene
.fini tos idempotentes.
Resul tan generali zaciones de las teorias de Chase.-Harrison- Rosemberg y de Villamayor-Zelinsky, r~spectivamente. 3.
HARADA, M. (U.N.B.A.):
Categozotas abe Hanas .1J semisimpZ.es.
Se define el radical de Jacobson de una categorta aditiva A. A "es \ semisimple si su radical es nulo. Se estudia una categoria abeliana, semisimple artiniana y noetheriana. Luego estudiamos una categoria abeliana con generador proyectivo U. Por fin definimos otro radical de Jacobson de una categoria C3 -abeliana A con generador U tal que [ U ,U ] sea semiprimario. 4.
LAROTONDA, A.R. (U.N.B.A.): Espectzoo primo de aniz.z.os topoZogtlJos •
~e
.
-I
.
estudia el espectro primo de anil10s topo16gicos y se establec.n algunos resultados con vistas a comparar con la K-.teorh de Karoubi-V! llamayor. 5. PICCO, D.J. (U.N.S;): 50bzoe eZ gzoupo de Bzoauezo de un dominio no!. thezoiano int~gzoaLmente cezozoado.
Se demuestra que si R es un dominic notheriano iniegralmente cerrado del cuerpo de fracciones K, entonces el homomorfismo can6nico de gr!!, pos ~ie Brauer de R en el de K es inyectivo. 6. FIDEL, M. M. (U . N. S. ) : aLgebzoa finita.
De tezominaci-on" _de La8 8uba Zgebzoa8 de una n'"
Un reticulado distributivo A con primer (0) y iiI time elemeI'lto (1), s$. bre el cual est~ definida una negaci6n (~) tal que .1) ~ 0 • 1 , 2) ~1 " 0 , 3) ~(x " y) " ~x V ~y 4) ~(x V y) ·~x "~y sedice una n-&lgebra. En este trabajo se indica una construcci6n que faci1ita 1a determinaci6n de las sub&lgebras propias de una n-Ugebra finita.
185
7.
SEVE SO de· LAROTONDA, J. (en col. con PLATZECK, M.I.) (U.N.B.A.): de Xl para una variedad aftn.
Representaci~n
Dada una variedad afin V, de ani110 de funciones A, definimos Kl(V)= • Kl(A). Se representa a Kl(V) como c1ases de homotopia de ap1icaci£ nes de V, en una variedad afin Gt(~) convenientemente e1egida. 8. GORDON CABRAL, A. (U.N.Rosario): Subgrupos maximalesysemigrupos cocientes en unsemigrupo con identidad a derecha. estab1ecen isomorfismos entre subgrupos maxima1es de S cuyas identidades tienen 1a misma imagen por e1 homomorfismo Ae ' tras1aci6n ig terna izquierda correspondiente a e. Se estudian los semigrupos cocientes por las congruencias Ae 0 A-I y. 0 .-1 donde. es 1a repree sentaci6n de S en e1 semigrupo de ttas1aciones internas a derecha Po definida por s. = pS , los que resu1tan ambos isomorfos a Po. De paso se ana1izan a1gunas particu1aridades de tales semigrupos. ~
9. MICALI, A. (en col. con Villamayor O.R.) (U.N.B.A.) de algebras de Clifford.
Clasificacion
Por una re1aci6n de equiva1encia ana10ga a 1a del grupo de Brauer, se define e1 grupo Ho (.'.) de c1ases de isomorfismos de algebras de C1if ford, donde A es un anillu '-~ · .. ~tivo con e1emento unidad. Se deduce asi una sucesi6n exacta de grupos au~~
o ---+- N(A) - - Ho(A) - - Q(A) - - 0 donde Q(A) es e1 grupo cit; ;::z tensiones cuadraticas de A y N(A) es un subgrupo del grupo de Brauer B2 (A) de orden 2. Sesi6n VI - Comunicaciones de varias variables comp1ejas y geometria ana1itica. 1.
LIEBERMANN, D. (U.N.La Plata):
Module of intermediate Jacobians.
The Picard variety J' (M) of A proj ective complex manifold M which plays a central role in the study of subvarieties of codimension 1, has two vital properties: (i) J'(M) is an algebraic torus;(ii) the complex structure (modulus) of J' (m) depends ho10morphically on that of M. The cons~ruction of intermediate Jacobians J'(m) due to Wei1 lacks property (ii) while that of, Griffiths lacks (i). We construct a different algebraic torus and describe the variations of its complex structure.
186
2. HERRERA, M. (U.N.La Plata): cas.
Interseccion de cadenas semianaHti-
Se trata de exponer una definicion satisfactoria de cicIo analitico real que extienda la definicion cUsica de cicIo anaHtico complejo. Se relacionan las propiedades geometricas de tales ciclos con teoria de la medida. 3. FERNHOLZ, R. (U.N.La PLata): transformati'ons.
Diffeioential. operators and monoidal.
~
Let X be a complex analytic space, f: X --+ X a monoidal tranformation We investigate the relation between the differential operators on X and those on X when X and f satisfy various restrictive conditions. 4. SAGASTUME, M. (en col. con BOSCH, J.) (U.N.ta Plata): abstractas.
Variedades
Se construye una categoria de variedades abstractas, que sirva de mar co a una generalizacion deteoremas clasicos de la topologia diferen~ cial. Se prueba que toda variedad diferenciable ordinaria es una va~ riedad abstracta y que toda variedad abstracta que satisfaga ciertas condiciones da origen a una variedad diferenciable. Se dan condicio~ nes abstractas correspondientes de atlas maximal.
ACUERDO DE RECIPROCIDAD. Una vez terminadas las sesiones de comunicaciones se realizo una Asa~ blea Conjunta de la U.M.A. y la S.M.P., en la que se ratifico por un~ nimidad el Acuerdo de Reciprocidad suscripto por las respectivas Comi siones Directivas y redactado en estos terminos: Entre la Sociedad Matematica Paraguaya y la Union Matematica na se conviene el siguiente Acuerdo Reciproco:
Argenti~
1.
Las entidades firmantes se proponen colaborar estrechamente para el progreso de la Matematica en Latinoamerica y en el Mundo.
2.
Los miembros de cada una de las entidades firmantes podran asocia!: se a la otra entidad con todos los derechos de un miembro titular y ahonando 1a mitad de la cuota correspondiente.
3.
Las entidades firmantes consideraran la posihilidad de realizar
187
reuniones cientHJcas anuales
0
extraordinarias en forma conjunta.
4. So prcmoved e1 in~.erc. .bio de laspubiic:,Cione~ otf,inalu cle c:adauna de las enUd.des firaantes. asl C.GaO aepub)iicllc:iones duplica~as 0 excedentes de las respectivas ~ib~i9t,cas. De.pub de haber sido aprobado por aclamaci6n "ste-acuerdo. 81 Lic. Benza y el Ing. Villamayor. en representaci6n de las respectivas C~ .isiones Directivas. pronunciaron breve,s'palabras, destacando la importanci, de este primer paso haciala integraci6n de laMatemltic:a LatinQamericana. Posteriormante tuvo lugar una recepci6n en la Embajada Argentina en Paraguay. oportunidad en que dirigi6un bre~e mensaje de salutaci6n el Sr·. Bncargado de Negocios. Dr. G6mez Carrillo. Bl domingo 13. despuEs de varias excursiones turisticas y otras actividades recreativas. los distintoscontingentes emprendieron el r~ grHo a 1a Argentina. La Com1si6n Directiva de'la Uni6n Matemlti~a Argentina desea expresar aqui su agradecim1 .... ~" ~ los amigos y colegas _paraguayos. y muy especialmente a los integrantes u~ _, ~~~iedad Matemltica Paraguaya. por 1a cordialidad., benevolenciay amabilidaa :... nos recibieron.
Delegaciones argentinas en Paraguay:, Buenos Aires: O.Villamayor-L.Santa16-M.Balanzat-M.Harada-Y.TakeuchiF.Toranzos- A..Larotonda-A.Micali-C.Segovia-C.Trejo-C.Contou-Carr~re~ O.Capri-J.S.de Larotbnda-M.I.Platzeck-S.Gastaminza-C.Unguriano:"L.Turrin-R.lzraelewicz. La Plata: M.Herrera-D.Liebermann-R.Fernholz-B.Margolis-M.SagastumeR.Guerschman. San Luis: Chaco: .·have.
W.Damkohler-O.Borghi-J.L;Moreschi.
M.Marangunic-H.T"amburirti-H.Giraudo-R.Martinez-H.Acevedo-A.Ma----~---. / /
Co:rrientes: C6rdoba:
J.Rodriguez-F;Zibelman.
H.de Luciano-J.Smith-L.Di Marco.
188
Tucuman:
M.C.Preti-C.Sastre-R.O¥ejero.
Rosario: E.Gaspar-S.Bruno-E.Rofman-M.Ferrero-C.Meritano-B.Abdo-R. Carbajo-E.Sastre-M.Fascella-H.Masia-M.Guzman-E.Cisneros-M.de Lopez. Bahia Blanca: A.Diego-W.Daub-D.Picco-E.F.Stacco-M.L.Gastaminza-D.B. de Martin-N.R.Winzer-O.E.Rueda-A.G.de Pousa.
COIIBRTAllIOS BIBLIOGltAPICOS IIAT.uTIlAI S'UT!sZTI~ IfARI A~u.uui'oUAL. "ISTADISTICA MATI_ MATICA COR APLICACIORISA 'l.A IIDUST~~A". ,or, htun Vincae (en hul!. lal'o) 352 palin... Iclitor:l.(d, M_II.aU. J:8n),vk1ad6. Budape.t. 1968. 11 pl'e.ente libro del .at ••atico hunlal'o Istvan Vincae. es una c~1ecci6n co.pleta de los .&codos eatadhticoa q~e 'P0aibilitan la,r.!, soluci6n de problemas de Indole estadtstica que surlen en la indu~ tria. la investilaciSn )' muchos otros tetrenos de la pr'~tica. Los tres primeros capltulos contienen recapitulaci6n de los conoc! mientos necesarios del calculo de probabilidades. explicando en f~ ma relatiye.ente amplia las nociones basicas. In los capltulos s! luientes el autor trata los fundamentos del muestreo. las teorlas de astimaci6n estad!,tica. dEl vElrificaci6,n de hip6tEIBis. el analisis de varian.a y covarianaa:y el calculo de correlaciSn , relre siSn. El ultimo capitulo trata los fundamentos dill control estadlstico de calidad. una de las aplicaciones mas importantes de la estadlstica matematica a la industria. La obra expone con detalle los 'procedimientos mas importantlls y d!fundidos. pero se ocupa tambi'n de numerosos m'todos nuevos. menos conocidos. El autoromite demostraciones detalladas haciendo hinc.!, pi' en la linea de pensamiento propia del calculo de probabilidadea y en la delimitaci6n exacta de los s\Lpuestos te6ricos de las aplicaciones. ~resenta allunos procedimientos y alude a la~pos'bilid~es de utilizaci6n mediante eje.mplos practicos cuidadosamentedesarrol.!a dos. Contiene ademas un ap'ndice completo de tab las y bibliografla que incluye obras publicadas en diversos palses de Europa Oriental. ad.!, mas de la·s que son .de uso corriente en Europa Occidental y Am'rica. Ademas trae una lista de equivalencia de los t'rminos t'c~icos en hangaro. ingl's. ruso y aleman. su estructura. el libro puede usarse como texto mismo tiempo que como manual practico. POI'
d.t .Elstudio
al
Esta destinado a matematicos. ftsicos. qutmicos, economistas e ing.!, nieros. ast como a estudiantes de estas especiali,dades que ya posean un buen conocimie~to de algebra y analisis mat'ematico. Silvia Hartman.
190
ELEMENTE DE TEORIE SPECTRALA.
de I.Colojoara.Editura Academiei,
Republicii Socialiste Romania, Bucarest, 1968. Sea X un espacio vectorial de di •• n.10n finita sobre un cuerpo algegrai.cament.cer:rado. .-
. Entonee.
todo operador liue.l
T:X-X puede
descompoDersecomo T-S+N donde S •• un operador diagonalizable y N .s un op·.rador Dilpotente, de maDe,.. que ademls SN-NII.
Como dice el
pu~in,
autor en _I Prefacio: "S-ar putea spuDe, exagertud
ca scopul
principal acestei monografii este studiul operatorilor liniari marg.!. ni~i
care admit .descompuneri analoague".
Los cap!tulos III, IV Y V
contienen una presentacion muy original que responde a 10 prometido. El capitulo I es una excelente
intro~ucci6n
ria de espacios localmente convexos.
de 120 ,Iginas a la teoc~
Despues de las definiciones
rrespondi;~tes y los teoremas tradicionales (Hahn-Banch, grlfico cerrado) se introducen conceptos especiales (espacios de Schwartz,
di~
tribuciones vectoriales) y se dan ejemplos de espacios de funciones y distribuciones tratados con algun detalle (por ejemplo, en las plginas 106-108 se demuestra que e1 espacio de funciones indefinidame.!!, te diferenciables con soporte compacto, con la topologia habitual,es un espacio bornologico. semicompleto, tonelado, de Montel
y
d e
Schwartz). El capItulo II esta dedicado a
l~s
algebras topologicas localmente
convexas segun el tratamiento Waelbroeck y Zelasco. En el capitulo III se e.studian operadores descomponibles; en el cap! tulo IV el autor
util~za
su definicion de operador espectral genera-
lizado para desarrollar una teoria a la Dunford.
La generalizacion
consiste en reemplazar la resolucion de la identidad ordinaria por una resolucion de la identidad con valores distribuciones.
En el
c~
pitulo Vse estudia el caso particular de los operadores espectrales en el sentido de Dunford.
La siguiente lista de autores puede evocar
los temas considerados en los tres 6ltimos capitulos:
Dunford, Foia!,
F.Y.Maeda, Fixman, C.I.Tulcea, Foguel, Dowson, Bada y Berkson. La obra termina con 133 referencias bibliograficas y un indice.
La
edicion es muy cuidada. Horacio Porta. NUMERISCHE MATHEMATI -DIFFERENTIALGLEICHUNGEN-APPROXIMATIONSTHEORIE1968, Birkhauser Verlag, Basel un Stuttgart. El presente volumen contiene los trabajos presentados en la reunion sobre tratamiento numerico de ecuaciones diferenciaies entre e1 20 y el 25 de junio de 1966 y en las sesiones sobre ana1isis numerico, en
partieul.ar teort.. cle aproximaei6n, reali.aclaa entre el 13 y el 19 cle noviambre cle 1966 en e1 Inatituto cle Inv,atiBaeionea Ma.temStieaa cie Oberwolfaeh, bajo la clirecei6n cia L.Collatz, G.Meinarcius y B. ·UnBar. No hay uniformiclacl an la .preaentacion cle loa trabajoa, puea mien traa qu. alBunoa aon aimplea enuneiacloa conclenaacloa en pocaa ltneaa, hay otroa mia' elabor.acloa, euyo cleaarrollo lleBa a inaulRir 20 hoj aa. Dacia la cliveraiclacl cle autores y temaa, y la imposibiliclacl cle 'incl'h:ar un eomGn clenominaclor, ereemoa que 10 mSa acleeuaclo es aimplemente haeer una liata cle autor~a y ~emas.' Tratamiento numirieo cle eeuaeionea cliferenciales: Amann,H.: metodos cle Monte-Carlo para la solution deprobl_as cle torno eltpticos. AnsorBe, R.: Sobre el problema de la Beneralizacion del teorema cle quivalencia de P.D.Lax.
co~
~
Babuska, I.: Problemas cle optimizacion en metoclos numerieos. Bruhn,G.: Un proeedimiento caraetertstico para corri.ntes no estacionarias a 10 largo de paredes moviles. Dejon,B.: Criterioa de estabiliclacl para los valores inieTaleaen relac ion con las normas. Filip,pi, 'S.: Nuevos metodos cle series cle Lie. KrUckeberg, F.: Det,eccion de errores en ecuaeionea difeteneiales ordinarias y parciales. Nickel,K.-Rieder, P.: Un nuevo proceclimiento anilogo'al Runge-Kutta. Nitsche,J.: Convergencia del metodo de Ritz y del metodo de aproximac ion euadratica I. Opitz, G.: Derivacion unitaria de una clase ampl!a de formulas de interpolacion y ·aplicacion a la integracion aproximada de ecuaeiones di ferenciales ordinarias. Rozsa.P.: Un metodo recurrente para la solucion cle sistemas de ecuaciones direrenciales lineales con matrices singulares de coeficientes. Schmidt,J.W.-Schonheinz,H.: Cotas de error para la solucion ap]:'oximada de problemas de contorno y autovalores en ecu·aciones diferenciales ordinarias por diferencias finitas. Schwermer,H.: Estimacion de errores por integracian numirica de sist~ mas de ecuaciones diferenciales orclinarias de primer orden con metodos especiales en dos puntos.
192
St.tte~,H.J.:
Do.inio de e.t~bilid.d pOE .'todo. d. dicreti •• ci6~
p.r • • i.t •••• d. ecu.cion •• dif'erenci.l •• ordin.ri ••• Tornil,
ll'li6n de con.erl~nci.p.r • • proxi.'ciO'ne.: 'por dUe-
W.:
rencia. en problema. de •• 10re. 'inici.le. hiperb6lico.'c~ •• i
linea-
le •• Conducciiin d.l c.lor en .• i.te•• ~ con vari •• componentes.
Walter, V.:
Tr~iamiento nu_'rico ele problem •• de contorno para si!,
Wendl.nd, W.:
t.ma. eliptico •• Wett.rlil1l, W.:
Cotas par. 1 •• solucione • • n m'todos de di:f.erenci ••
finitas para ,la ecuacion del potencial. Analisis numerico
en particular teoria d. 1 • • proximacion:
Blatter, J.: Dependencia continua del conjunto de las mejore. aproximaeiones a un elemento en un espacio vectorial normado real. Brosowski, B.:
Ap.roximacion de Tchebycheff racional de funciones di-
ferenciables. Cheney~
E •• W.-Goldstein, A.A.:
Una nota Bobre la ,teorla de aproxima-
cion no lineal. Grebner, E.:
Aproximaciones por reordenamieuto de series de Lie.
Henze, D.:
Sobreaproximacion no lineal en espacios normados lineales.
Krabs, W.:
Sobre un criterio de;_J(olmoloroff para la aproximacion de
funciones. Meinluet, J.:
Aproximacion optima y cotas de error en e.pacios nor-
mados. Nickel, K.:
Aplicaciones de una aritmetica de acotacion de errores.
,
Nicolovius, R.:
Extrapolacion par descomposicion monotona de opera-
dorea. Powel M.J.D.:
Sobre la mejor aproximacion spline en L 2 •
Schrider, J.:
Propiedades de mon~tonla en ecuaciones diferenciales
elipticas cuasi lineales y otros problemas. Schbrer,r.-Steutel, r.w.:
Aproximaci~n
par intelrales sinlulares del
tipo Jackson. Sikkema, p.c.:
Sobre potencias de operadores de Bernstein leneraliza-
dos. Sopka,J.J.:
Sobre integracion numerica generalizada.
Werner, H.:
Discretizacion par aproximacion de Tchebycheff can fun-
ciones racionales generales.
Wetterling, W.:
Acotaci6n de soluciones de ecuaciones diferencia-
les el{pticlu; Beatriz Margolis. A.Halanay-D.Wexler:
Teoria calitativa a sistemelor cu implusuri;
Editura Academiei Republicii Socialiste Rominia, Bucuretti 1968.
