Satz Von Gauss, Fluss Und Divergenz

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Satz von Gauss, Fluss und Divergenz y 3 −→ F 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 -2 L −→ Das Vektorfeld F beschreibe die Geschwindigkeit in einer Fl¨ ussigkeit, die u ¨ber die Ebene fließt. −→ Der Fluss von F u ¨ ber L ist die in Einheitszeit fließende Menge, die u ¨ ber L fließt. Er wird hier, da die Vektoren senkrecht auf L stehen, mit Z −→ | F | ds −→ F L berechnet, im Allgemeinen mit Z −→ o F · ~n ds bc ~n o L L −→ −→ Hierbei ist F · ~n o der Betrag des Anteils von F in Richtung des Normaleneinheitsvektors, −→ −→ −→ beachte F · ~n o = | F | · | ~n o | · cos α = | F |· cos α. Aufgrund der Orientierung des Normaleneinheitsvektors ist der Fluss vorzeichenbehaftet. Bei geschlossenen Kurven zeigt der Normalenvektor nach außen. Die Kurve wird stets so durchlaufen, dass das Gebiet auf der linken Seite liegt. Statt das Kurvenintegral (1. Art) zu berechnen, Z f (x, y) ds = L Zb a p f (x(t), y(t)) x(t) ˙ 2 + y(t) ˙ 2 dt kann nach dem Gaußschen Integralsatz die Berechnung mit einem Doppelintegral erfolgen. Z L −→ o F · ~n ds = Z Z G ( Px (x, y) + Qy (x, y) ) dx dy | {z Divergenz } c Roolfs 1 −→ T F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y) ) Satz von Gauss in der Ebene Z −→ o F · ~n ds = L ZZ −→ (Px (x, y) + Qy (x, y)) dx dy T F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y) ) G −→ Gegeben ist das Vektorfeld F = (x, y )T und die Kreisfl¨ ache A mit dem Radius 2. y 2 1 -2 -1 1 2 x -1 -2 Die L¨ange der Vektoren wurde halbiert.     p x x 1 ·p = x2 + y 2 F · ~n = y x2 + y 2 y −→ o −→ L¨ angs des Kreises K: x2 + y 2 = 4 besitzt die Normalkomponente von F den konstanten Wert 2. Das Kurvenintegral hat daher den Wert: Z Z −→ o · ~ n ds = 2 ds = 8π F K K Andererseits gilt: ZZ ZZ (Px (x, y) + Qy (x, y)) dx dy = 2 dA = 2 · 4π = 8π A A c Roolfs 2 Fluss durch eine Wu¨rfeloberfl¨ache z y x −→ T Gegeben ist das Vektorfeld F = (4xz, −y 2 , yz ) . ZZ −→ o Es soll der Fluss ache A des W¨ urfels mit der Kantenl¨ ange 1 F · ~n dA durch die Oberfl¨ berechnet werden. Die Oberfl¨ ache des W¨ urfels besteht aus 6 Quadratfl¨ achen.   ZZ ZZ 0 −→ o A1 : ~n o =  1 , y = 1, F · ~n dA1 = 0 ! 4xz −1 z   ZZ ZZ 0 −→ o o   A2 : ~n = 0 , z = 1, F · ~n dA2 = 1 ! 4x −y 2 y   ZZ ZZ 1 −→ o o   A3 : ~n = 0 , x = 1, F · ~n dA3 = 0 · 0 1 0 · 0 0 1 ! 4z −y 2 · yz 1 0 0 ! ! ! dA1 = ZZ −1 dA1 = −1 dA2 = ZZ Z1 Z1 dA3 = ZZ −→ 1 o F · ~n dA = −1 + 2 + 2 + 0 + 0 + 0 = 1,5 alternativ mit dem Satz von Gauss: ZZ ZZZ Z1Z1Z1 −→ o −→ div F dV = (4z − y) dxdydz = . . . = 1,5 F · ~n dA = 0 0 0 c Roolfs 3 1 y dxdy = . . . = 2 0 0 4z dA3 = 4 ... ZZ y dA2 = Z1 Z1 0 0 z dydz = . . . = 2 Satz von Gauss im Raum ZZ −→ o F · ~n dA = A ZZZ V ( Px (x, y) + Qy (x, y) + Qy (x, y) ) dx dy dz | {z −→ Divergenz div ( F ) } −→ T F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y), R(x, y) ) −→ Gegeben ist das Vektorfeld F = (x3 , −y, z )T . Es soll der Fluss durch die Oberfl¨ ache A eines Zylinders mit R = 2 und H = 5 berechnet werden. z y x ZZZ −→ div ( F ) dxdy dz = V ZZZ 2 3x dxdy dz Zylinderkoordinaten = V ZZZ f (r · cos ϕ, r · sin ϕ, z) r dz dr dϕ V Z2πZ2 Z5 = 3· (r · cos ϕ)2 r dz dr dϕ 0 0 0 Z2π Z2 Z5 2 = 3 · cos ϕ r 3 dz dr dϕ 0 0 0 = ... Z2π cos 2ϕ + 1 dϕ = 60 · beachte cos 2ϕ = 2 cos2 ϕ − 1 2 0 = 60π c Roolfs 4 Ohne den Satz von Gauss −→ Gegeben ist das Vektorfeld F = (x3 , −y, z )T . ZZ −→ o Es soll der Fluss ache A eines Zylinders mit R = 2 und H = 5 F · ~n dA durch die Oberfl¨ direkt berechnet werden. z y x Die Oberfl¨ ache des Zylinders teilt sich auf in Deckel, Boden und Mantel.   0 Deckel: z = 5, ~n o =  0, 1 ZZ   0 Boden: z = 0, ~n o =  0, −1 ZZ −→ o F · ~n dD = −→ o ZZ F · ~n dB = 5 dD = 20π ZZ 0 dB = 0 Mantel in Zylinderkoordinaten: ~r = o ~n = ! 2 cos ϕ 2 sin ϕ , ϕ ∈ [0; 2π], z ∈ [0; 5] z ! cos ϕ sin ϕ , 0 ZZ −→ o F · ~n dM = ZZ ! 8 cos3 ϕ −2 sin ϕ z · ! ZZ cos ϕ sin ϕ dM = (8 cos4 ϕ − 2 sin2 ϕ)dM 0 Z2πZ5 = (8 cos4 ϕ − 2 sin2 ϕ) · 2 dz dϕ = 40π 0 0 ZZ −→ o F · ~n dA = 60π beachte | c Roolfs 5 ∂~r ∂~r × | = | (2 cos ϕ, 2 sin ϕ, 0 )T | = 2 ∂ϕ ∂z Oberfl¨achenintegral z v 3 2 1 D 1 1 2 3 2 3 x u Sei ~r = (x(u, v), y(u, v), z(u, v) )T eine Parameterdarstellung der Fl¨ ache S. F¨ ur eine Funktion f (x, y, z) lautet das Fl¨ achenintegral: ZZ ∂~r ∂~r × | dudv f (x(u, v), y(u, v), z(u, v) ) · | ∂u ∂v D −→ Der Fluss eines Vektorfeldes F durch die Fl¨ ache ist ZZ S −→ o F · ~n dS = ZZ −→ F· D ∂~r ∂~r × ∂u ∂v · | ∂~r ∂~r ∂u ∂~r | × | ∂v ∂u ± ∂~r × | dudv = ∂v Das Vorzeichen des Vektorprodukts ist so zu w¨ ahlen, dass der Normalenvektor nach außen zeigt. c Roolfs 6 ZZ D −→ F ·[ ± ∂~r ∂~r × ] dudv ∂u ∂v y Satz von Gauss im Raum ZZ −→ o F · ~n dA = A ZZZ V ( Px (x, y) + Qy (x, y) + Qy (x, y) ) dx dy dz | {z } −→ Divergenz div ( F ) −→ T F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y), R(x, y) ) −→ Gegeben ist das Vektorfeld F = (z, y, z + 1 )T . Es soll der Fluss durch die Oberfl¨ ache A eines Kegels mit R = 2 und H = 6 berechnet werden. z 6 5 4 3 2 1 1 2 3 x ZZZ −→ div ( F ) dxdy dz = V ZZZ 2 dxdy dz Kegel = 2 · 8π = 16π V c Roolfs 7 1 2 3 y Ohne den Satz von Gauss −→ Gegeben ist das Vektorfeld F = (z, y, z + 1 )T . ZZ −→ o Es soll der Fluss ache A eines Kegels mit R = 2 und H = 6 F · ~n dA durch die Oberfl¨ direkt berechnet werden. z 6 5 4 3 2 1 1 1 2 3 2 y 3 x Die Oberfl¨ ache des Kegels teilt sich auf in Boden und Mantel.   0 Boden: z = 0, ~n o =  0, −1 ZZ −→ o F · ~n dB = ZZ −1 dB = −4π Mantel in Zylinderkoordinaten: ! ~r = 2r cos ϕ 2r sin ϕ , ϕ ∈ [0; 2π], r ∈ [0; 1] 6(1 − r) ∂~r ∂~r × = ∂ϕ ∂r ZZ ZZ ZZ o F · ~n dM = 4r −→ M ! −2r sin ϕ 2r cos ϕ × 0 ! 2 cos ϕ 2 sin ϕ −6 ! ! 3 cos ϕ = −4r 3 sin ϕ 1 6(1 − r) 2r sin ϕ · 7 − 6r ! ZZ 3 cos ϕ 3 sin ϕ dM = 4r (18 cos ϕ − 18r cos ϕ − 6r cos2 ϕ + 7)dM 1 2π 1 Z Z = 4r ( 0 0 −→ o F · ~n dA = 16π A c Roolfs 8 ··· ) dr dϕ = 20π Anschauung y −→ F x −→ Nehmen wir an, das Vektorfeld F beschreibt die Str¨ omung einer Fl¨ ussigkeit in einem Volumen V −→ mit durchl¨ assiger Oberfl¨ ache. Die Divergenz von F erfasst die St¨ arke von allen Quellen und Senken in einzelnen Punkten. Um zu erfassen, wie viel Fl¨ ussigkeit aus V herausfließt, kann ermittelt werden, wie viel Fl¨ ussigkeit durch die Oberfl¨ ache von V aus- und eintritt. Dies entspricht dem Durchfluss von senkrechten Komponenten auf der Oberfl¨ ache (Oberfl¨ achenintegral). Alternativ kann nach dem Satz von Gauss f¨ ur das Innere von V untersucht werden, wie viel Fl¨ ussigkeit in Senken versickert und aus Quellen sprudelt (Volumenintegral u ¨ ber die Divergenz). c Roolfs 9 Fluss und Divergenz −→ Das Vektorfeld F beschreibe wieder die Geschwindigkeit in einer Fl¨ ussigkeit, die u ¨ber die Ebene fließt. −→ Der Fluss von F u ¨ber L ist die in Einheitszeit fließende Menge, die u aufig geschlossen) fließt, er wird mit ¨ber L (h¨ Z −→ o F · ~n ds bc L −→ bc berechnet. Aufgrund der Orientierung des Normaleneinheitsvektors ist der Fluss vorzeichenbehaftet. Bei geschlossenen Kurven zeigt der Normalenvektor nach außen. Die Kurve wird stets so durchlaufen, dass das Gebiet auf der linken Seite liegt. F ~n o L Nach dem Gaußschen Integralsatz kann die Berechnung mit einem Doppelintegral erfolgen. Z Z Z −→ o · ~ n ds = ( Px (x, y) + Qy (x, y) ) dx dy F | {z } L G Divergenz Q(C) y ~n3o y   P F = Q −→ C bc D ~n4o bc bc M B bc ~n2o P (B) bc L A ~n1o x x Wir untersuchen den Fluss f¨ ur ein kleines Quadrat (ds = a): Z −→ o F · ~n ds = L P (A) ! Q(A) · ~n1o + ! P (B) Q(B) · ~n2o + ! P (C) Q(C) · ~n3o = −Q(A)a + P (B)a + Q(C)a − P (D)a = ( P (B) − P (D)) a = ( Px (M ) + Qy (M )) a2 + + ! P (D) Q(D) · ~n4o beachte |P (D)| = −P (D) ( Q(C) − Q(A)) a −→ = div F a2 Die Divergenz gibt den lokalen Fluss pro Einheitsfl¨ ache an, der von M wegfließt (divergiert). c Roolfs 10 Singularit¨at im Ursprung y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4 Das Vektorfeld einer typischen ebenen Quelle hat die Form (nicht im Ursprung definiert) ! ! x x 1 1 1 p = 2 ~v (x, y) = p . x + y2 y x2 + y 2 x2 + y 2 y | {z } | {z } 1/r L¨ ange 1 Potential (leicht zu verifizieren) 1 V (x, y) = 2 ln(x2 + y 2 ) Fluss f¨ ur einen Kreis um den Ursprung mit dem Radius r 1 ~v · ~n o = p x2 + y 2 | {z } 1/r beachte: ~n o · ~n o = 1 Das Kurvenintegral hat daher den Wert Z 1 ~v · ~n o ds = r 2πr = 2π und ist unabh¨ angig von r. K Mit gr¨ oßer werdendem Radius wird der Fluss/L¨ angeneinheit schw¨ acher, der Umfang w¨ achst jedoch. c Roolfs 11 Singularit¨at im Ursprung y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4 Die Divergenz f¨ ur einen Bereich, der den Ursprung nicht enth¨ alt, betr¨ agt null. ! x 1 ~v (x, y) = 2 . x + y2 y div ~v (x, y) = y 2 − x2 x2 − y 2 + =0 (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 Nach dem Satz von Gauss ist der Fluss f¨ ur solche Bereiche dann null. In unserem Fall kann dies direkt eingesehen werden, da der Fluss der Kreisabschnitte jeweils der gleiche Anteil von 2π ist, f¨ ur eine Randkurve jedoch mit unterschiedlichem Vorzeichen. ¨ Diese Uberlegungen k¨ onnen auf den R3 erweitert werden. An die Stelle des Faktors 1/r tritt 1/r 2 .   x x 1 1 1 y = y p ~v (x, y, z) = 2 3/2 2 2 2 x + y2 + z 2 (x2 + y 2 + z 2 ) | {z } x +y +z z z | {z } 1/r 2 L¨ ange 1 ¨ Der Fluss f¨ ur eine Kugel um den Ursprung betr¨ agt dann 4π (gleiche einfache Uberlegung). c Roolfs 12 Elektrische und magnetische Felder y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4 Die Grafik veranschaulicht, dass der Fluss f¨ ur einen beliebigen Rand im R2 3 oder R jeweils 2π bzw. 4π betr¨ agt, sofern der Ursprung (die Quelle) umschlossen wird. Daraus folgern wir, dass der Fluss mehrerer radialsymmetrischer Felder, die mit dem Faktor 1/r 2 abklingen und sich additiv u ¨ berlagern (wir bleiben im R3 ), nur von der Anzahl der Quellen innerhalb der umschließenden Oberfl¨ ache abh¨ angt und nicht von deren Form. F¨ ur ein elektrisches Feld erscheint es nun naheliegend, dass der Fluss durch eine geschlossene Oberfl¨ ache S eines Volumens V direkt proportional zur elektrischen Ladung Q in seinem Inneren ist (Maxwell). Z Z X −→ o −→ X E · ~n dS = 4πQ E = qi~v (x − xi , y − yi , z − zi ), Q = qi S Magnetfelder sind quellenfrei, ihre Feldlinien stets geschlossen. Der magnetische Fluss durch eine geschlossene Oberfl¨ ache eines Volumens ist null (Maxwell). ZZ −→ o B · ~n dS = 0 S c Roolfs 13 Magnetische Induktion −→ ∂B ∂t −→ E ◦ ◦ −→ −→ Ein sich zeitlich ver¨ anderndes Magnetfeld B erzeugt ein elektrisches Feld E. Dies f¨ uhrt z. B. an einer Drahtschleife C zu einer Induktionspannung. Es gelten die Beziehungen: −→ ∂ −→ −→ B rot E = − ∂t Uind = Φ= Z B (x, y, z, t) −→ E d~s Wegintegral C ZZ −→ B · ~n o dA magnetischer Fluss, Oberfl¨ achenintegral, A Fl¨ ache der Leiterschleife A ∂Φ Uind = − ∂t c Roolfs 14 Elektrische Induktion −→ B −→ ∂E ∂t −→ B Ist eine Leiterschleife durch einen Kondensator unterbrochen und fließt ein Strom, dann l¨ adt sich −→ achst linear mit der Zeit an.−→ der Kondensator auf. Das elektrische Feld E im Kondensator w¨ Um dieses sich zeitlich ¨ andernde elektrisches Feld herum wird ein magnetisches Wirbelfeld B erzeugt. Die Maxwell-Gleichungen sind nicht v¨ ollig symmetrisch aufgebaut, denn w¨ ahrend ein elektrisches ¨ Wirbelfeld ausschließlich durch die zeitliche Anderung des magnetischen Flusses entsteht (Faraday), kann ein magnetisches Wirbelfeld zwei Ursachen haben: den u ¨blichen Leitungsstrom (Oersted) oder ¨ die zeitliche Anderung des elektrischen Flusses (Maxwell). Es gilt die Beziehung: −→ ∂E rot B = µ0~j + µ0 ǫ0 ∂t −→ ~j Stromdichte, Richtung des Stromflusses, Einheit: Stromst¨ arke/Leiterquerschnitt µ0 , ǫ0 physikalische Konstanten Mit der Integralform wird eine andere Blickrichtung eingenommen. F¨ ur eine in den Raum gelegte Fl¨ ache S bilden wir das Fl¨ achenintegral. ZZ ZZ Z Z −→ −→ ∂E ~j · ~n o dS + µ0 ǫ0 rot B · ~n o dS = µ0 n o dS ∂t · ~ S S I −→ S d ZZ B d~x = µ0 IS + µ0 ǫ0 dt ∂S −→ E · ~n o dS S Die linke Seite wurde mit Hilfe des Stokesschen Integralsatzes in ein Wegintegral (magnetische Zirkulation) u ¨ ber die Randkurve ∂S umgewandelt. Der erste Summand auf der rechten Seite ist gleich µ0 mal dem durch die Fl¨ ache S fließenden elektrischen Strom. Im zweiten Summanden ziehen wir die partielle Zeitableitung (die dadurch zu einer einfachen Zeitableitung wird) heraus. c Roolfs 15 Punktladung Die Punktladung q erzeugt das elektrische Feld   x −→ q y = q ~x. E= 3/2 | ~x | 3 (x2 + y 2 + z 2 ) z F¨ ur jede umschließende Oberfl¨ ache S gilt ZZ −→ o E · ~n dS = 4πq. S Nach dem Satz von Gauss ZZ ZZZ −→ o −→ E · ~n dS = div E dV S V −→ ist mit div E = 0 die rechte Seite jedoch null. Bei n¨ aherem Hinsehen erkennen wir, dass der Satz von Gauss nicht anwendbar ist. −→ E und div E sind im Ursprung nicht definiert. −→ Die physikalische Vorstellung des Satzes w¨ are bestechend. Der Fluss durch die Oberfl¨ ache w¨ are proportional zur umschlossenen Ladung, die hier im Ursprung konzentriert ist und als Quelle wirken −→ w¨ urde. Außerhalb des Ursprungs liegen mit div E = 0 keine Quellen vor. Physiker wissen sich zu helfen. Sie f¨ uhren ein Objekt δ3 ein mit den Eigenschaften ZZZ q4πδ3 (~x) dV = 4πq, δ3 (~x) = 0 f¨ ur ~x 6= ~0, δ3 (~0) = ∞ V und nennen es (dreidimensionale) Delta-Funktion (obwohl es keine Funktion ist, δ3 = δ(x)δ(y)δ(z), siehe Diracsche Delta-Funktion). c Roolfs 16 Elektromagnetische Wellen Ein sich zeitlich ¨ anderndes magnetisches Feld ist seinerseits von einem sich zeitlich ¨ andernden elektrischen Wirbelfeld umschlossen. Dieses wiederum wird von einem sich zeitlich ¨ andernden Magnetfeld umschlossen, das von einem elektrischen Wirbelfeld umschlossen wird, usw. Dies f¨ uhrte Maxwell 1868 zu der Voraussage: Ein sich zeitlich ¨ anderndes elektromagnetisches Feld breitet sich im Raum als elektromagnetische Welle aus. −→ E (t) −→ B (t) c Roolfs 17 Wellengleichung Betrachtet man die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum, also im quellenfreien Raum und vernachl¨ assigt somit Ladungen und Str¨ ome, so lassen sich die Gleichungen wie folgt schreiben: −→ a) ∇· E = 0 b) ∇· B = 0 c) ∇× E = − ∂t B d) ∇× B = −µ0 ǫ0 ∂t E −→ ∂ −→ −→ ∂ −→ −→ Nochmaliges Anwenden der Rotation auf c) ergibt ∂ −→ e) −→ ∇ ×(∇× E ) = ∇ ×(− ∂t B ) F¨ ur beliebige Vektorfelder gilt: −→ −→ −→ ∇ ×(∇× H ) = ∇(∇· H ) − ∇2 H ∇2 = ∇ · ∇ Damit erhalten wir aus e) unter Ber¨ ucksichtigung von a): f) ∂ −→ ∂ −→ −→ ∇ ×(− ∂t B ) = − ∂t (∇× B ) = −∇2 E und mit d) folgt µ 0 ǫ0 −→ ∂ 2 −→ E = ∇2 E 2 ∂t ¨ Beschr¨ ankt man sich auf Anderungen in einer Dimension, so kann man den Laplace-Operator ∇2 (= ∆) durch ∂2 ersetzen und erh¨ alt damit die Wellengleichung einer ebenen elektromagnetischen Welle. ∂x2 ∂ 2 −→ ∂ 2 −→ E = µ ǫ E 0 0 ∂x2 ∂t2 Wendet man die Rotation auf d) an, erh¨ alt man analog ∂ 2 −→ ∂ 2 −→ B = µ ǫ B 0 0 ∂x2 ∂t2 c Roolfs 18 Elektromagnetische Wellen Elektromagnetische Wellen wurden 1886 von H. Hertz erstmals mit Hilfe von elektrischen Schwingkreisen erzeugt. −→ E (t) −→ B (t) Eine m¨ ogliche L¨ osung f¨ ur ∂ 2 −→ ∂ 2 −→ E = µ 0 ǫ0 2 E 2 ∂x ∂t lautet −→ E (x, t) = Emax sin(ωt − kx) ∂ 2 −→ E (x, t) = −Emax sin(ωt − kx)k2 ∂x2 ∂ 2 −→ E (x, t) = −Emax sin(ωt − kx)ω 2 ∂t2 mit k2 = µ 0 ǫ0 . ω2 c Roolfs 19