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Physik für Oberstufenlehrpersonen Frühjahrssemester 2016
Schwingungen und Wellen
Zum Einstieg in das neue Semester
Schwingungen
Schwingungen spielen bei natürlichen Prozessen bedeutende Rolle: -Hören und Sehen -Radiowellen -Schwingungen in Atomen -Vibrationen in Molekülen - usw.
Schwingung: Physikalische Grösse ändert sich um Ruhewert Breiten sich Schwingungen räumlich aus, dann sprechen wir von Wellen
Schwingungsfähige Systeme – harmonische Schwingungen Harmonische Funktion der Zeit:
Amplitude
Im allgemeinen Fall: Periode
Funktionen sind Lösung der Differentialgleichung:
Es ist nämlich:
Beispiel – linearer (eindimensionaler) Oszillator Bewegungsgleichung für die horizontale Feder:
Lösung mit Eigenfrequenz:
Totale Energie:
Kinetische Energie
Potentielle Energie
Beispiel – linearer (eindimensionaler) Oszillator Bewegungsgleichung für die „physikalischehorizontale Feder: Form“ Newton II
„mathematische Form“
Lösung mit Eigenfrequenz:
Totale Energie:
Kinetische Energie
Potentielle Energie
Beispiel – linearer (eindimensionaler) Oszillator Holklotz (Breite B, Länge L, Höhe H) im Wasser
In Ruhelage:
Eintauchtiefe: Nach unten ausgelenkt:
BewegungsGleichung:
Differentialgleichung und die Eigenfrequenz der Lösung:
Beispiel – linearer (eindimensionaler) Oszillator Bewegungsgleichung für das Fadenpendel:
Lösung mit Eigenfrequenz:
Totale Energie:
Beispiel – linearer (eindimensionaler) Oszillator Bewegungsgleichung für das physikalische Pendel:
Lösung mit Eigenfrequenz:
Totale Energie:
Kinetische (Rotation) Energie
Potentielle Energie
………… siehe Torsionspendel!
Beispiel – linearer (eindimensionaler) Oszillator Bewegungsgleichung für das physikalische Pendel:
Lösung mit Eigenfrequenz:
Totale Energie:
Kinetische (Rotation) Energie
Potentielle Energie
Kraft proportional zur Auslenkung – harmonische Funktionen
Horizontale Feder
Vertikale Feder
Mathematisches Pendel
Kraft proportional zur Auslenkung – harmonische Funktionen
Allgemeine Form der Differentialgleichung:
Lösung:
Kraft proportional zur Auslenkung – Lösungsschema für die Beispiele
Gedämpfte Schwingung Bewegungsgleichung für die gedämpfte Schwingung: Allgemeine Form:
Viskose Reibungskraft:
Lösung mit Eigenfrequenz:
Abklingzeit:
Dämpfungskonstante:
Gedämpfte Schwingung
Bewegungsgleichung (Differentialgleichung):
oder
Zusätzlicher Term (viskose Reibung)!
Lösung für schwache Dämpfung:
Gedämpfte Schwingung Zeitlicher Verlauf der Amplitude für ein Pendel mit verschieden starker Dämpfung:
Ungedämpfte Schwingung
Erzwungene Schwingung - Resonanz Erzwungene Schwingung :
Systeme die schwingen sollen: - Resonatoren z.B. Radiosender, usw
Systeme die nicht Schwingen sollen: - Schwingen muss verhindert werden z.B. Brücke, Auto, usw
Reaktion eines Systems auf einen periodischen Antrieb
Zur Erinnerung -
Bremsen, Schubumkehr und Anfahren eines Schiffes
Was passiert, wenn ich das ganze periodisch mache?
Beispiel – Erzwungene Schwingung eines viskos gebremsten Körpers Bewegungsgleichung für die erzwungene Schwingung eines viskos gebremsten Körpers:
Mit:
Lösung nach Einschwingvorgang: Amplitude:
Phase:
Amplitude wie Phase sind frequenzabhängig
Beispiel – Erzwungene Schwingung eines schwingungsfähigen Systems Bewegungsgleichung für die erzwungene Schwingung eines schwingungsfähigen Systems:
Motor
Newton II viskose Reibung
SpiralFeder
Lösung nach Einschwingvorgang: Amplitude:
Phase:
Amplitude wie Phase sind frequenzabhängig
Beispiel – Erzwungene Schwingung eines schwingungsfähigen Systems Frequenzabhängigkeit der Amplitude für ein schwingungsfähiges System in der Nähe der Resonanz:
Für verschieden starke Dämpfung!
Siehe: Praktikumsversuch Resonanz
Zusammenfassung Schwingungen (1)
Zusammenfassung Schwingungen (2)
Zusammenfassung Schwingungen (3)
Zusammenfassung Schwingungen (4)
Zusammenfassung Schwingungen (5)
Gekoppelte Schwingungen Zwei identische ungedämpfte lineare Oszillatoren im ungekoppelten Fall:
Kopplung durch Verbindungsfeder mit
Bewegungsgleichung für das gekoppelte System:
Kopplungsfeder
Gekoppelte Schwingungen Mit den Substitutionen:
Koordinate des Schwerpunktes
Abstand oder relative Position der beiden Massen
Entkoppelte Gleichungen:
Eigenfrequenzen oder die Normalfrequenzen des Systems:
Gekoppelte Schwingungen Für relativ schwache Kopplung
Es ist:
Normalschwingungen: 1. Normalschwingung (in Phase)
a1 , a 2 2. Normalschwingung (180° phasenverschoben)
a 3 ,a 4 Merke: Zwei Massen – zwei Normalschwingungen ….
Gekoppelte Schwingungen Schwingungszustand aus Superposition der beiden Normalschwingungen mit z.B. Masse 2 in Ruhe und Masse 1 in ihrer Extremalposition am Anfang
Normalschwingungen:
Auslenkung der Massen 1 und 2:
Langsame Modulation Schwebung
Gekoppelte Schwingungen Energie wird von einem Oszillator auf den andern übertragen Zeit umso länger, je schwächer die Kopplung ist!
Für eine Kette von N gekoppelten Oszillatoren existieren N NormalSchwingungen (z.B. 3 wie in Abb.)
Wird zur Zeit t=1 nur der erste Oszillator der Kette ausgelenkt, so überträgt sich seine Energie auf den zweiten, von diesem auf den dritten und so fort. Die Störung pflanzt sich längs der Kette fort – wir erhalten eine Welle.
