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Script zur Vorlesung : Theoretische Physik IV: Quantenmechanik Vorlesung SS 16 Prof. Dr. Jens Timmer July 21, 2016 Wenn Sie noch Fehler im Skript finden, please, send me e-mail 1 Contents 0 Einleitung 1 Die 1.1 1.2 1.3 4 Schr¨ odinger-Gleichung Die Ausgangslage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schr¨odingers geniale Spekulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motivation u ¨ber Dispersionsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 8 17 2 Formalisierung 22 2.1 Physikalische Formalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Mathematische Formalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Zur¨ uck zur Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 Unsch¨ arferelationen 53 4 Erste Anwendungen 4.1 Freies Teilchen . . . . . . . . . . . 4.2 Potentialbarriere und Tunneleffekt . 4.3 Potentialtopf . . . . . . . . . . . . 4.4 Harmonischer Oszillator . . . . . . 4.5 Periodische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Drehimpuls 5.1 Der quantenmechanische Drehimpuls . ˆz . . . . . . . . 5.2 Eigenfunktionen von L ˆ2 . . . . . . . . 5.3 Eigenfunktionen von L 5.4 Eigenwerte von Drehimpulsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 60 65 70 72 86 . . . . 91 91 96 97 101 6 Wasserstoffatom 104 6.1 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.2 L¨osung der Schr¨odinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7 Bewegung im (elektro)magnetischen Feld 111 7.1 Magnetismus, Zeeman-Effekt & Landau-Niveaus . . . . . . . . . . . 112 7.2 U(1) Eichsymmetrie & minimale Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.3 Aharanov-Bohm Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 8 Spin 120 2 9 N¨ aherungsmethoden f¨ ur station¨ are Zust¨ ande 123 9.1 St¨orungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9.2 Variationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.3 WKB-N¨aherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 10 Vielteilchen Systeme 10.1 Symmetrie der Vielteilchenwellenfunktionen 10.2 Hartree-Fock N¨aherung . . . . . . . . . . . . 10.3 Dichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Verschr¨ankte Zust¨ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 135 138 140 144 11 Einstein-Podolsky-Rosen – Paradoxon 154 11.1 Theorien verborgener Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 11.2 Bell’sche Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3 0 Einleitung Technicalities: ¨ • Skript, Ubungsanmeldung und Kommunikation u ¨ber homepage • Skript ist d¨ unn, ersetzt nicht das Studium von Lehrb¨ uchern ! Hierarchie – Vorlesung: Konzepte – B¨ ucher: Konzepte und Details ¨ – Ubungen: Rechnen & Verst¨andnis Viele Stunden darauf verwenden. Nicht versuchen es mit Google zu l¨osen. Wird zu Katastrophe f¨ uhren. Abgeben in 2er-Gruppen. ¨ Fragen zu den Ubungen an Daniel Kaschek • Kurzklausuren. Klausur, letzter Vorlesungstermin o.k. ? ¨ • Scheinkriterium, 50 % der Ubungspunkte, Bestehen der Klausur • FOLIE Inhaltsverzeichnis • Bemerkung Vektorpfeile und Nomenklatur • Wenn etwas unklar: Fragen ! In der Vorlesung, bitte keine mails. • Zwei Bemerkungen in eigener Sache • M¨ unsteraufgaben, M¨ unsterf¨ uhrung Literatur: • Schwabl. Quantenmechanik • Grawert. Quantenmechanik • Greiner ... • Cohen-Tannoudji ... Unterschiede der B¨ ucher: • Verh¨altnis Text zu Gleichungen 4 1 Die Schr¨ odinger-Gleichung Zeitabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung   ∂ ~2 i~ ψ(~x, t) = − ∆ + V (~x, t) ψ(~x, t), ∂t 2m ∆= ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x21 ∂x22 ∂x23 Eigenschaften: • Partielle Differentialgleichung • Linear • Keine konstanten Koeffizienten • Wesentlich komplex, Kap. 1.3 • Wellenfunktion ψ Zeitunabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung, siehe Original-paper auf hompage   ~2 − ∆ + V (~x) ψ(~x) = Eψ(~x) 2m Betrachte zeitabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung: Was ist der Unterschied zu allem, was wir bisher gesehen haben ? • Bedeutung von ψ vor der Hand unklar • Keine andere fundamentale Gleichung der Physik ist komplex 1.1 Die Ausgangslage • Stabilit¨at von Atomen Klassisches Bild – Elektron rotiert um Atomkern – Beschleunigte Bewegung – Elektrodynamik: Energie wird abgestrahlt – Klassische Mechanik: Elektron spiralisiert in Kern – (Deutlicher) Widerspruch zur Erfahrung 5 • Klassisches Licht: Elekromagnetische Welle – Charakteristische Welleneigenschaft: Interferenz – Doppelspalt-Experiment ZEICHNUNG Aber auch Teilcheneigenschaften: Photonen – Einstein, 1905: Photo-Effekt: Elektromagnetische Wellen verhalten sich wie Teilchen mit Energie E = ~ω Energie E des herausgeschlagenen Elektrons: E = ~ω − A, A : Abl¨osearbeit Energie E nicht abh¨angig von Intensit¨at des Lichtes – Comptom-Effekt, 1922 Stoß von Photonen auf freie Elektronen f¨ uhrt zur Abnahme der Energie, E = ~ω, d.h. Zunahme der Wellenl¨ange ∆λ = h (1 − cos φ), mc Compton-Wellenl¨ange λC = h mc F¨ ur λ  λC gilt klassisches Streuverhalten • Klassische Teilchen: Punktf¨ormig mit (x, p) – Charakteristische Teilcheneigenschaft: Energie¨ ubertrag bei Stoß – Doppelspaltexperiment Billiard-Kugeln ZEICHNUNG Aber auch Welleneigenschaften – de Broglie, 1924: Impuls p~ = ~~k, Wellenzahl |~k| = 2π , λ λ= h p – Doppelspaltexperiment Elektronen ZEICHNUNG – Kein Interferenzmuster, wenn man annimmt, dass Elektron entweder durch Spalt 1 oder Spalt 2 geht 6 – Auf dem Schirm werden immer nur ”ganze” Elektronen beobachtet, Elektron ”teilt” sich nicht – Interferenzmuster verschwindet, wenn durch zus¨atzliche Messung bestimmt wird, durch welchen Spalt das Elektron geflogen ist – Quanteneffekte f¨ ur mirkoskopische Systeme ∗ kleine Massen ∗ niedrige Temperaturen ∗ kleine L¨angen – Quanteneffekte f¨ ur markoskopische Systeme, siehe Vorlesung Statistsche Physik ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Supraleitung Magnetismus Spezifische W¨arme Schwarz-K¨orper Strahlung, Planck 14.12.1900, Geburtstunde der QM Verschr¨ankte Zust¨ande (180 km), Kap. 10.4 • Welle-Teilchen Dualismus – Sowohl klassisches Licht als auch klassische Teilchen zeigen sowohl Wellenals auch Teilcheneigenschaften – Welleneigenschaften, wenn es um Ausbreitung geht – Teilcheneigenschaften, wenn es um Wechselwirkung geht – Dualismus, kein Widerspruch, da nicht in der selben Hinsicht ~ • Elektrisches Feld E ~ 2 ∝ Anzahl der Photonen – Quadrierte Gr¨oße |E| ~ ist physikalisch: Kraft – Nicht-quadrierte Gr¨oße E – Erinnere dies f¨ ur die Interpretation der Wellenfunktion ψ • Quantenmechanik – In Einklang mit allen experimentellen Fakten, teilweise mit Genauigkeit 10−10 , gyromagnetischer Faktor – Grundlage f¨ ur ca. 40% unseres Bruttosozialproduktes 7 – In gewisser Weise bis heute nicht verstanden, Kap. 11 – Alle Gr¨ underv¨ater der Quantenmechanik haben sie am Ende ihres Lebens gehasst 1.2 Schr¨ odingers geniale Spekulation E. Schr¨odinger. Quantisierung als Eigenwertproblem. Annalen der Physik 79, 1926, 490-527 • Erinnere Hamilton’sche Bewegungsgleichungen: q˙i = ∂H , ∂pi p˙i = − ∂H ∂qi • Kanonische Transformation: Koordinatentransformation (q, p) → (Q(q, p, t), P (q, p, t)) und H(q, p, t) → K(Q, P, t), so dass die Hamilton’schen Gleichungen invariant bleiben: ∂K Q˙ i = , ∂Pi ∂K P˙i = − ∂Qi • Erinnere Hamilton’sches Prinzip, Variationsproblem, mit Lagrange-Funktion L(q, q, ˙ t). Bahnkurve so, dass : Z δ L(q, q, ˙ t) dt = 0 Inverse Legendre-Transformation Z δ ! X Z pi q˙i − H(q, p, t) dt = 0, resp. δ i ! X Pi Q˙ i − K(Q, P, t) dt = 0 i Lagrange-Funktion hat eine Eichfreiheit1 : Addition von a¨ndert Variationsproblem nicht, da 1 Erinnere Potentiale in der E-Dynamik 8 d Φ dt zum Integranden Z δ d Φ dt = 0 dt W¨ahle hier Φ(q, Q, t) • Hinreichende Bedingung f¨ ur L¨osung des Variationsproblems X pi q˙i − H(q, p, t) = i X i d Pi Q˙ i − K(Q, P, t) + Φ(q, Q, t) dt • Zeitableitung X ∂Φ ∂Φ ˙ ∂Φ d Φ(q, Q, t) = q˙i + Qi + dt ∂qi ∂Qi ∂t i eingesetzt, Argumente unterdr¨ uckt: X i ∂Φ pi − ∂qi   X ∂Φ ∂Φ Q˙ i + H − K + q˙i = Pi + ∂Qi ∂t i Gleichung erf¨ ullt, wenn ∂Φ(q, Q, t) ∂qi ∂Φ(q, Q, t) Pi = − ∂Qi ∂Φ(q, Q, t) K = H+ ∂t pi = Gleichungen aufgel¨ost ergibt: Qi = Qi (q, p, t) Pi = Pi (q, p, t) H(q, p, t) → K(Q, P, t) Φ heißt Erzeugende der Transformation 9 (1) (2) ¨ • Ubung: Harmonischer Oszillator • Ein Ziel: Finde Transformation, so dass m¨oglichst viele Koordinaten zyklisch sind • H¨angt von Wahl der Koordinaten ab. Erinnere Pendel, keine zyklischen Koordinaten bei q = (x, y, z), aber zyklische Koordinate bei q = (r, ϕ, θ) • Der einfachste Hamiltonian ist der, der identisch verschwindet: ”M¨ unchhausen-Transformation” Die kanonische Transformation, die dies leistet, sei W (q, Q, t) • Mit Gl. (2) gilt ∂W (q, Q, t) + H(q, p, t) = 0 ∂t Mit Gl. (1) und Qi = const, folgt f¨ ur W (q, Q, t) = W (q, t) = W : Hamilton-Jakobische partielle Differentialgleichung f¨ ur W :   ∂W ∂W ∂W + H q1 , . . . , q f , ,..., ,t = 0 ∂t ∂q1 ∂qf • Betrachte zeitunabh¨angigen Hamiltonian: E = H Folge: W linear in t: W (q, t) = S(q) − Et, W wie Wirkung Verk¨ urzte Hamilton-Jacobi-Gleichung:   ∂S ∂S H q1 , . . . , q f , ,..., =E ∂q1 ∂qf • Geometrische Interpretation in kartesischen Koordinaten (x, y, z) W (x, y, z, t) = S(x, y, z) − Et 10 (3) • S = const. bedeutet feste Fl¨ache im Raum, verschiedene Konstanten geben verschiedene Fl¨achen ZEICHNUNG mit S = 0, E, 2E, . . . W = const. bedeutet bewegte Fl¨ache im Raum Fl¨ache W = C = const. wandert u ¨ber Fl¨achen S = E, 2E, . . . Analogie zu Welle Y mit Y (x, t) = Y (z), mit z = x − vt ZEICHNUNG • Wellenph¨anomen: Die Fl¨achen W = const. beschreiben Ausbreitung von Wirkungswellen • Impuls und Geschwindigkeit des Massenpunktes mit Gln. (1, 3) pi = ∂W ∂S = , ∂xi ∂xi vi = 1 ∂S m ∂xi In Vektorform ~ ~ p~ = ∇W = ∇S ZEICHNUNG Bahnkurven sind die orthogonale Trajektorien der Wellenfl¨achen W =const, bzw. S = const. Analog zu Lichtstrahlen als orthogonale Trajektorien der optischen Wellenfl¨achen Geschwindigkeit u der Wirkungswellen: • Zeitpunkt t0 : Fl¨ache W = C f¨allt mit Fl¨ache S = C + Et0 zusammen Zeitpunkt t0 + dt: S + dS = C + E(t0 + dt) • Zunahme von S: – Einerseits: dS = Edt 11 – Andererseits: dS = |∇S|ds, ds: senkrechter Abstand der benachbarten S-Fl¨achen – Zusammen u= ds E = dt |∇S| • Mit verk¨ urzter Hamilton-Jacobi-Gleichung 1 2m " ∂S ∂x 2  + ∂S ∂y 2  + ∂S ∂y 2 # +V =E oder  ~ ∇S 2 = 2m(E − V ) (4) folgt Fortpflanzungsgeschwindigkeit u der Wirkungswellen, anschaulich klar. E u= p 2m(E − V ) u= E mv Geschwindigkeit der Wirkungswellen u ist umgekehrt proportional zur Teilchengeschwindigkeit v Erinnere Elektrodynamik ~ oder B ~ • Elektromagnetische Wellen, Φ = E ∆Φ = 1 ∂2 n2 ∂ 2 Φ = Φ c02 ∂t2 c2 ∂t2 (5) Ist Brechungsindex n konstant, l¨ost ~ Φ = Φ0 ei(nk~x−ωt) die Gleichung 12 (6) • Mit Phase Θ Θ = n~k~x − ωt sind Fl¨achen gleicher Phase – die optischen Wellenfl¨achen – die Ebenen x = const. • Der Fall n 6= const., i.e. inhomogene Medien – Gl. (5) schwer zu l¨osen – Ausweg: Geometrische Optik oder Strahlenoptik – Lichtstrahl: Orthogonale Trajektorie auf Fl¨achen konstanter Phase ¨ – Funktioniert, wenn Wellenl¨ange klein gegen r¨aumliche Anderungen im Medium Ansatz, Verallgemeinerung von Gl. (6) Φ = A(x)ei(kL(~x)−ωt) , Phase Θ : kL(~x) − ωt mit Eikonal L(x) • Berechne Ableitungen, das ist jetzt technisch   ∂Φ ∂A ∂L = + ikA eiΘ ∂x ∂x ∂x 2 ∂ Φ = ∂x2 2 2 ∂ A ∂A ∂L ∂ L + 2ik + ikA 2 − k 2 A 2 ∂x ∂x ∂x ∂x n2 ∂ 2 Φ ω 2 n2 iΘ = − Ae = −k 2 n2 AeiΘ , 2 2 2 c ∂t c Mit entsprechenden Termen f¨ ur setzt: ∂2Φ ∂y 2 und ∂2Φ ∂z 2 k2 =  ∂L ∂x 2 ! ω2 c2 in Wellengleichung, Gl. (5), einge-   2 2 2 ~ ~ ~ ∆A + ik(2∇A∇L + A∆L) − k A (∇L) − n = 0 Teile durch k2A = 13 eiΘ 4π 2 A n2 λ2 Trenne Real- und Imagin¨arteil: n2 λ2 ∆A − ((∇L)2 − n2 ) 2 4π A ∇A∇L 0 = 2 + ∆L A 0 = (7) ¨ • Geometrische Optik: Wellenl¨ange klein gegen r¨aumliche Anderungen =⇒ Vernachl¨assige 1. Term in Gl. (7) • Merke f¨ ur nachher: Dies ist die N¨aherung von der Wellenoptik zur geometrischen Optik • Ergibt Differentialgleichung des Eikonals (∇L)2 = n2 (8) • F¨ ur geometrische Optik gilt das Fermat’sche Prinzip, 1679, Prinzip des k¨ urzesten Lichtweges Z P1 nds = extremal (9) P0 Man kann zeigen: (i) Extremalwert ist das Eikonal Z P1 L(P0 , P1 ) = nds P0 und L gen¨ ugt Gl. (8). (ii) Gl. (8) und Gl. (9) sind ¨aquivalent (iii) Eikonal-Gleichung und Fermat’sches Prinzip beinhalten die gesamte geometrische Optik Wir kamen zu Gl. (8) ausgehend von der Wellenoptik Ergo: Die geometrische Optik ist der Grenzfall der Wellenoptik f¨ ur λ → 0 14 • Beachte: Eikonalgleichung, Gl. (8), hat die selbe Form wie Hamilton-JacobiGleichung, Gl. (4) 2 ~ ∇L(x) = n(x)2  2 ~ ∇S(x) = 2m(E − V (x))  Fl¨achen konstanter Wirkung S = const. fallen mit Eikonalfl¨achen L = const. zusammen, wenn 2m(E − V ) ∝ n2 , oder n ∝ √ E−V • Kein Wunder: Analog zum Fermat’schen Prinzip in der Optik gilt in der Mechanik das Jacobi’sche Prinzip Z P2 √ E − V ds = extremal P1 Bahnkurven und Lichtstrahlen sind orthogonale Trajektorien der entsprechenden Fl¨achen • Zusammenfassung: – Die klassische Mechanik entspricht der geometrischen Optik, d.h. der f¨ ur verschwindene Wellenl¨angen g¨ ultigen N¨aherung der Wellenoptik. – In geometrischer Optik eine Spur von Wellen: Wellenfl¨achen, die die Strahlen ergeben – In klassischer Mechanik eine Spur von Wellen: Wirkungswellen, die die Bahnkurven ergeben – Geometrische Optik und klassische Mechanik k¨onnen keine eigentlichen Wellenph¨anomene beschreiben: Beugung, Interferenz λ, ~ → 0 allgemein E-Dynamik geometrische Optik Wellenoptik Mechanik klassische Mechanik ?? 15 • Schr¨odingers geniale Spekulation: Treibe Analogie zwischen Eikonal- und Hamilton-Jacobi-Gleichung auf die Spitze p W = S − Et, |∇W | = |∇S| = 2m(E − V ) = mv 2π Θ = kL − ωt, |∇Θ| = λ – W ∝ Θ, Dimension des Proportionalit¨atsfaktors: Eine Wirkung, nur eine nat¨ urliche Wahl :-) W = ~Θ – Damit: E = ~ω, λ= h h =p mv 2m(E − V ) Frage: Was f¨ ur eine Mechanik w¨are es, die nicht dem Grenzfall λ → 0 der geometrischen Optik, sondern der Wellenoptik selbst entspr¨ache ? • In dieser Mechanik m¨ ußte eine Gr¨oße Ψ, die die dem Massenpunkt zugeordnete Welle beschreibt, die zu Wellengleichung Gl. (5) analoge Wellengleichung erf¨ ullen: ∆Ψ = 1 ∂ 2Ψ , u2 ∂t2 u2 = E2 2m(E − V ) (10) Ansatz2 : Ψ(x, t) = B(x)ei S 0 (x)−Et ~ Unbekanntes S 0 (x) statt S(x), weil es grade nicht die N¨aherung λ → 0 sein soll. • Eingesetzt in Wellengleichung Gl. (10), ergibt sich f¨ ur Grenzfall λ → 0, 0 d.h. ~ → 0, die Hamilton-Jacobi Gleichung mit S = S 2 Diesen Ansatz werden wir in Kap. 9.3 St¨orungstheorie wieder sehen 16 • Kein Grenzfall: Fasse unbekannte Funktionen S 0 (x) und B(x) in Amplitudenfunktion ψ(x) zusammen. Et Ψ(x, t) = ψ(x)e−i ~ Eingesetzt in Wellengleichung Gl. (10) folgt f¨ ur ψ(x) der Welle die Differentialgleichung: ∆ψ = − 2m (E − V )ψ ~2 oder umsortiert die zeitunabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung   ~2 ∆ + V (x) ψ(x) = Eψ(x) − 2m • Drei wichtige Eigenschaften: – Eigenwertproblem – Bestimmungsgleichung f¨ ur ψ(x) – Energien E lassen sich berechnen, ohne dass man wissen muss, was ψ(x) bedeutet 1.3 Motivation u ¨ ber Dispersionsrelation Zeitabh¨angige Schr¨odiger-Gleichung soll folgende Eigenschaften haben • linear, damit Superpositionsprinzip gilt • Wellenl¨osungen, damit Interferenz m¨oglich ist • Dispersionsrelation f¨ ur Materie erf¨ ullen3 Dispersionsrelationen 3 In vielen B¨ uchern steht auch noch, dass die Gleichung erster Ordnung Zeitableitung haben soll, damit durch den Anfangszustand die Zeitentwicklung festgelegt ist. Das ist Quatsch, wie man an der elektromagnetischen Wellengleichung sieht. 17 1. Woche • Beschreiben Zusammenhang zwischen r¨aumlichem und zeitlichen Verhalten • Erinnere E = ~ω, In ω = 2π T p~ = ~~k steckt die Zeit, in Wellenvektor |~k| = 2π λ steckt der Raum • Dispersionsrelation beschreibt Beziehung zwischen Impuls und Energie oder entsprechend Wellenvektor und Frequenz4 • Beispiele – Elektromagnetische Wellen, Photonen E = cp, lineare Abh¨angigkeit – Nicht-relativistische Materie 1 2 p , quadratische Abh¨angigkeit 2m – Relativistische Materie, Ruhemasse m0 p E 2 = (m0 c2 )2 + c2 p2 , oder E = (m0 c2 )2 + c2 p2 E= ¨ Ubung – Phononen im Festk¨orper ¨ Ubung Erinnere Elektrodynamik • Aus Maxwell-Gleichungen folgte Wellengleichung f¨ urs elektromagnetische Feld, hier mal B, weil E grade benutzt :-) ∂2 1 ∂2 B = B ∂x2 c2 ∂t2 L¨osung B(x, t) = Bo e−i(ωt−kx) • Intuition: 4 Die meisten w¨ urden die Reihenfolge dieser Aussagen mit obiger umdrehen 18 – In ω steckt Energie E, in k Impuls p – Ableiten nach der Zeit holt ω und damit E aus dem Exponenten Ableiten nach dem Ort holt k und damit p aus dem Exponenten – Dispersionsrelation: E = cp =⇒ Es muss gleich h¨aufig nach t und nach x abgeleitet werden – Einfachste M¨oglichkeit: 1∂ ∂ B=− B ∂x c ∂t Beweis durch einsetzen ikB0 e−i(ωt−kx) = iω B0 e−i(ωt−kx) , c ~k = ~ω c pc = E – Dass in der elektromagnetischen Wellengleichung zweimal und nicht nur einmal abgeleitet wird, sagen die Maxwell’schen Gleichungen Betrachte nun nicht-relativistische Materie: E= 1 2 p 2m • Ansatz  ψ(x, t) = A exp(−i(ωt − kx)) = A exp     ∂ −iE E p  ψ = A exp −i t + i x ∂t ~ ~ ~     ip E p  ∂ ψ = A exp −i t + i x ∂x ~ ~ ~ Der Energie E wird der Energie-Operator Eˆ E ∂ Eˆ = i~ ∂t dem Impuls p der Impuls-Operator pˆ p pˆ = 19 ~ ∂ i ∂x    E p  −i t + i x ~ ~ =⇒ =⇒   ∂ i~ ψ = Eψ ∂t   ~ ∂ ψ = pψ i ∂x zugeordnet: Korrespondenz-Prinzip: Den klassischen physikalischen Gr¨oßen werden in der Quantemechanik Operatoren zugeordnet • Da die Dispersionsrelation quadratisch ist, muss Energie-Operator einmal, der 1 Impuls-Operator zweimal angewendet werden, erg¨anze noch 2m     ∂ ~2 ∂ 2 i~ ψ= − ψ ∂t 2m ∂x2 die freie zeitabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung • Merke i unumg¨anglich auf Grund der Dispersionsrelation f¨ ur nicht-relativistische Materie Aber: Dies ist nur die einfachste M¨oglichkeit. Erinnere elektromagnetische Wellengleichung: Dort wurde die einfachste M¨oglichkeit nicht genutzt. ¨ Ubung: Wie sieht das im relativistischen Falle aus ? • Hamiltonfunktion allgemein H(x, p, t) = 1 2 p + V (x, t) 2m Potential V taucht in Argument der Wellenfunktion nicht auf, ergibt einfach addititven Beitrag  ∂ i~ ∂t    ~2 ∂ 2 ψ(x, t) = − + V (x, t) ψ(x, t) 2m ∂x2 die zeitabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung • Mit Hamilton-Operator 2 2 ˆ = − ~ ∂ + V (x, t) H 2m ∂x2 20 • H¨angt Potential V (x) nicht von der Zeit ab, w¨ahle Separationsansatz E ψ(x, t) = ψu (x) e−i ~ t Eingesetzt: E ˆ u (x) e−i E~ t Eψu (x) e−i ~ t = Hψ E Teile durch e−i ~ t , ergibt zeitunabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung ˆ Hψ(x) = Eψ(x) eine gew¨ohnliche Differentialgleichung L¨osungen sind die station¨aren Zust¨ande des Systems Beachte: ˆ Hψ(x) = Eψ(x) ist die nat¨ urliche Formulierung, nicht ˆ Eψ(x) = Hψ(x) Interpretation von ψ • |ψ(x, t)|2 dx = ψ ∗ (x, t)ψ(x, t)dx ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zum Zeitpunkt t am Orte (x, x + dx) zu detektieren • Es gilt Z dx|ψ(x, t)|2 = 1 • Beachte: Die Wellenfunktion fasst Welleneigenschaften (bei Ausbreitung) und Teilcheneigenschaften (bei Detektion) von Quantenobjekten zusammen. Vergleich klassischer Physik und Quantenmechanik f¨ ur Punktteilchen 21 Beschreibung des Zustands durch (Kinematik) Zeitentwicklung (Dynamik) klassisch (~x, p~), Element eines 6-dimensionalen Raumes Bewegungsgleichung, gew¨ohnliche, i.a. nicht-lineare Differentialgleichung Ergebnis einer Messung v¨ollig bestimmt bei bekanntem Zustand quantenmechanisch Wellenfunktion ψ(~x, t), Element eines unendlichdimensionalen Vektorraums u ¨ber C Schr¨odinger-Gleichung, lineare partielle Differentialgleichung nur Wahrscheinlichkeitsaussagen Lessons learned: • Schr¨odinger: Verh¨altnis von Wellenoptik zu geometrischer Optik auf die Mechanik u ¨bertragen. Geometrische Optik entspricht Klassischer Mechanik. • Geniale physikalische Spekulation, keine streng mathematische Herleitung • Korrespondenz-Prinzip: Klassischen Gr¨oßen werden (Differential-)Operatoren zugeordnet • i in zeitabh¨angiger Schr¨odinger-Gleichung ”folgt” aus (nicht-relativistischer) Dispersionsrelation f¨ ur Materie 2 Formalisierung 2.1 Physikalische Formalisierung • Keine physikalische Theorie ist beweisbar, am Ende entscheidet das Experiment • Physikalische Theorien sind motivierbar5 , siehe letztes Kapitel • Formuliere sie durch Axiome, um sie auf den Punkt zu bringen Die Axiome der klassischen Mechanik 1. Der Zustand ist durch einen Punkt (x, p) im Phasenraum P gegeben 5 F¨ ur Genießer: Maxwell-Gleichungen durch Newton’sches Argumentieren motiviert, aber am Ende Lorentz- nicht Galilei-invariant. 22 2. Eine Observable ist eine reellwertige Funktion f : P → R auf dem Phasenraum 3. Die Zeitentwicklung im Phasenraum ist durch die Hamilton’schen Gleichungen gegeben ∂H ∂H , p˙ = − x˙ = ∂p ∂x Daraus folgt Zeitentwicklung der Observable f˙(x, p) = {f (x, p), H(x, p)}, {., .} Poisson-Klammer Die Axiome der Quantenmechanik6 1. Der Zustand ist durch einen Vektor |ψi in einem (unendlich-dimensionalen) Hilbertraum H gegeben. 2. Eine Observable A entspricht einem hermiteschen/selbstadjungierten linearen Operator Aˆ : H → H mit Eigenfunktionen |ni und Eigenwerten an . P 3. Sei |ψi = n cn |ni. Die Wahrscheinlichkeit P der Messung von an ist P (Messung von Aˆ an |ψi ergibt an ) = |cn |2 = hψ|Pˆ|ni |ψi mit Pˆ|ni = |nihn| dem Projektor auf |ni Daraus folgt: Der Erwartungswert von A ist ˆ hAi = hψ|A|ψi 4. Die Messung von an f¨ uhrt zu einem Kollaps der Wellenfunktion |ψi → |ni 5. Zeitentwicklung von |ψi f¨ ur geschlossene Systeme ist gegeben durch Schr¨odinger-Gleichung ∂ ˆ i~ |ψi = H|ψi ∂t Zentral: • Zufall des Messausgangs liegt nicht an Unkenntnis des Zustands 6 Unterstrichen ist, was wir im Folgenden lernen werden 23 • Im Unterschied zur Statistischen Physik • Der Kollaps der Wellenfunktion kann nicht durch eine Schr¨odinger-Gleichung beschrieben werden. Schon allein deshalb, weil er zuf¨allig ist, nicht wie Schr¨odinger-Gleichung deterministisch Betrachte zeitunabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung ˆ Hψ(x) = Eψ(x) Zwei Aufbaust¨ ucke: ˆ • Operator H – ”Frißt” ψ(x) und gibt Eψ(x) aus – Eigenwert-Problem, der Eigenwert E muss reell sein – Frage: Welche Eigenschaften m¨ ussen Operatoren in der Quantenmechanik erf¨ ullen ? – Wie wird eine Messung mathematisch abgebildet ? • Wellenfunktion ψ(x) – In welchen Raum leben die Wellenfunktionen ψ(x) ? 2.1.1 Zust¨ ande • Schr¨odinger-Gleichung ist linear =⇒ Wellenfunktionen bilden Vektorraum • F¨ ur Wellenfunktion ψ(x) muss gelten Z dx|ψ(x)|2 = 1 D.h., sie liegen im Raum der quadratintegrablen Funktionen L2 R • dx|ψ(x)|2 stellt ein Skalarprodukt dar • Wir brauchen Vektorraum mit Skalarprodukt: Einen Hilbertraum 24 2.1.2 Operatoren Zeit-abh¨angige Schr¨odinger-Gleichung ˆ ˆ Eψ(x, t) = Hψ(x, t)     2 ∂ ~ ∂2 i~ ψ(x, t) = − + V (x, t) ψ(x, t) ∂t 2m ∂x2 • Verallgemeinertes Eigenwert-Problem Operator1 ψ = Operator2 ψ • Beispiel: Harmonischer Oszillator:     ~2 ∂ 2 mω 2 2 ∂ ψ(x, t) = − + x ψ(x, t) i~ ∂t 2m ∂x2 2 ˆ ˆ kin ψ(x, t) + H ˆ pot ψ(x, t) Eψ(x, t) = H mit – Energie-Operator Eˆ   ∂ ψ(x, t) ψ(x, t) nach i~ ∂t Zeitableitung ˆ kin – Kinetischer Energie Operator H ψ(x, t) nach − ~2 ∂ 2 ψ(x, t) 2m ∂x2 Ortsableitung ˆ pot – Potentieller7 Energie Operator H ψ(x, t) nach const. x2 ψ(x, t) Multiplikation mit x2 – Alle diese Operatoren O sind linear im Sinne von: O(αψ1 + βψ2 ) = αO(ψ1 ) + βO(ψ2 ) • Wir m¨ ussen u ¨ber lineare Operatoren mit reellen Eigenwerten nachdenken, die in Hilbertr¨aumen wirken 7 :-) 25 2.1.3 Observable Ausflug: Klassische Statistik • Definition Zufallsvariable X – Etwas, das eine Wahrscheinlichkeitsdichte pX (x) hat – Wahrscheinlichkeit, eine Realisierung x in (x, x + dx) zu beobachten, ist pX (x)dx R – pX (x) ≥ 0, pX (x) dx = 1 ZEICHNUNG dazu • Prominentes Beispiel: Gaußverteilung oder Normalverteilung: p(x) = √ (x−µ)2 1 e− 2σ2 2πσ Bezeichnung: N (µ, σ 2 ) • Physikalisch entsteht Zufall entweder durch – Chaos, bei W¨ urfel und in der Statistischen Physik realisiert – viele Einfl¨ usse a´ la Brownian Motion – Quantenmechanik • Erwartungswert hf (x)i Z hf (x)i = dx f (x) p(x) Beachte: Erwartungswert ist eine Zahl • Beispiele: Momente Z k µk = hx i = 26 xk p(x) dx (11) 1. Moment: Mittelwert Z µ1 = x¯ = µ = hxi = 2. Moment Z 2 µ2 = hx i = x p(x) dx x2 p(x) dx Varianz σ 2 σ 2 = h(x − hxi)2 i = hx2 i − hxi2 = µ2 − µ21 • Wie Erwartungswert in der Quantenmechanik definieren ? Wir haben: – Wellenfunktion ψ(x) – Wahrscheinlichkeit Teilchen in (x, x+dx) zu finden: p(x)dx = |ψ(x)|2 dx = ψ(x)∗ ψ(x)dx ˆ die Wellenfunktionen fressen – Zu Observablen A geh¨oren Operatoren A, wollen – Naive Analogie zu Gl. (11): Z ∞ Z 2 ˆ hAi = dx A|ψ(x)| = −∞ ∞ ∗ ˆ dx Aψ(x) ψ(x) −∞ geht nicht – Einzige vern¨ unftige M¨oglichkeit Z ∞ hAi = ˆ dx ψ ∗ (x)Aψ(x) −∞ Da hAi reell sein muss, m¨ ussen Eigenwerte von Aˆ reell sein. – Wir m¨ ussen u ¨ber hermitesche/selbstadjungierte Operatoren nachdenken 2.1.4 Messungen • ψ(x) ist ”irgendwie” • Messung gibt zuf¨alligen Wert f¨ ur Observable 27 • ”Sofortige” zweite Messung ergibt denselben Wert • Messung muss ψ(x) ver¨andert haben • Wir m¨ ussen u ¨ber die mathematische Formulierung einer Messung nachdenken Quantenmechanik hat die Mathematik sehr befruchtet, Funktionalanalysis. • Delta-Distribution • 1930 von Physiker Dirac lax eingef¨ uhrt ¨ • 1945 von Mathematiker Schwartz rigoros behandelt, Ubung 2.2 2.2.1 Mathematische Formalisierung Hilbert-Raum Wellenfunktionen leben im Hilbert-Raum H 1. H ist ein Vektorraum u ¨ber C • Kommutativ-Gesetz • Assoziativ-Gesetz • Existenz des Null-Vektors • Die u ¨blichen Vektor-Gesetze 2. Es existiert ein Skalarprodukt: ha|bi c Dirac • Bra- und Ket-Vektoren, von bra-ket: Klammer, • Ket-Vektoren: ”normale” Vektoren Im endlich-dimensionalen:   b1   |bi :=  ...  bn 28 • Bra-Vektoren leben im Dualraum: Lineare Funktionale: Werfen Vektor auf Zahlen Im endlich-dimensionalen: ha| := (a∗1 , . . . , a∗n ) Bilden auch einen Vektorraum • Es gelten die u ¨blichen Gesetze f¨ ur das Skalarprodukt • Die Norm ist durch | |ai | := p ha|ai gegeben. Es gilt die Cauchy-Schwarze Ungleichung |ha|bi| ≤ | |ai | · | |bi | oder |ha|bi|2 ≤ ha|aihb|bi • Hier besonders wichtig: Der abz¨ahlbar unendlich-dimensionale L2 -Raum der quadratintegrablen Funktionen Z hψ|ψi = dx ψ ∗ (x)ψ(x) Bra-Vektoren: R dx ψ ∗ , warten auf ein ψ 3. Es gibt eine abz¨ahlbare Menge von paarweise orthogonalen Vektoren, deren lineare H¨ ulle dicht in H ist. Diese bilden eine Basis 4. Hilbert-Raum ist vollst¨andig: Zu jeder Cauchy-Folge in H existiert ein Grenzelement in H Bemerkungen • F¨ ur endlich-dimensionale Hilbert-R¨aume folgen 3. und 4. aus 1. und 2. F¨ ur Quantenmechanik aber (abz¨ahlbar-)unendlich dimensionale Vektorr¨aume von besonderem Interesse • F¨ ur Genießer: Jeder Hilbertraum ist ein Banachraum, aber nicht umgekehrt Wichtige Definitionen: 29 • Orthogonalit¨at von Vektoren Zwei Vektoren |ai und |bi heißen orthogonal, wenn gilt: ha|bi = 0 • Orthonormalsystem Menge {|an i} von Vektoren heißt Orthonormalsystem, wenn gilt han |am i = δnm • Vollst¨andiges Orthonormalsystem Orthonormalsystem {|an i} heißt vollst¨andig, wenn jeder Vektor |bi darin ausgedr¨ uckt werden kann: |bi = X cn |an i n mit cm = ham |bi = ham | X cn |an i n Vollst¨andiges System von Basisvektoren kann stets in ein orthonormiertes System u ¨berf¨ uhrt werden Bras und Kets revisited • Mit X |φi = ci |ψi i i folgt f¨ ur normierte Zust¨ande 1 = hφ|φi = X hψj |c∗j ci |ψi i = ij X |ci |2 i also X |ci |2 = 1 i F¨ ur sp¨ater: Interpretation: |ci |2 ist Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Messuung von |φi der Basiszustand |ψi i gemessen wird 30 • Vollst¨andigkeitsrelation und Projektoren Betrachte |φi = X = X hψi |φi|ψi i i |ψi ihψi |φi i ! X = |ψi ihψi | |φi i → X |ψi ihψi | = 1 Vollst¨andigkeitsrelation i utzlich Einschieben der Eins oft sehr n¨ Betrachte einen Summanden ergibt Projektionsoperator Pj Pj = |ψj ihψj | Warum ? Pj |φi = X |ψj ihψj |hψi |φi|ψi i = hψj |φi|ψj i = cj |ψj i i Das j-te Element wird herausprojeziert |ψj ihψj | ist aus der linearen Algebra als dyadisches Produkt bekannt     a1 a1 b 1 . . . a 1 b n  ..   . ..   .  · (b1 , . . . , bn ) =  .. .  an an b1 . . . an bn Es gilt Pj2 = |ψj ihψj |ψj ihψj | = Pj Projektsoperator ist idempotent Eigenwerte des Projektionsoperators sind 0 und 1 Sei 31 Pj ψ = λψ dann Pj2 ψ = λ2 ψ = Pj ψ = λψ, λ2 = λ λ = 0, 1 Interpretation klar. Summen von Projektionsoperatoren projezieren auf Teilr¨aume • Basistransformationen Zustand |φi sei in Basis {|ψi i} gegeben X |φi = ci |ψi i, mit ci = hψi |φi i Um in eine andere Basis {|an i}zu gelangen, Eins einschieben X X |an ihan |ψi i |φi = hψi |φi n i = XX n |i hψi |φihan |ψi i |an i = X kn |an i n {z =kn } • Kontinuierliche Basen Bisher: Diskrete Basiszust¨ande |ψi i mit (¨ uber)abz¨ahlbarer Dimension Betrachte freie zeitunabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung − ~2 d2 ψ(x) = Eψ(x) 2m dx L¨osung: ψ(x) = √ 1 eipx/~ := |pi, 2π~ p∈R Sicher nicht normierbar, uneigentlicher Zustandsvektor Gesamtheit der ebenen Wellen definieren auch eine Basis: Z |φi = 32 dp c(p)|pi Basis ist u ¨berabz¨ahlbar unendlich dimensional Normierung 1 hp|p i = 2π~ 0 Z 0 dp ei(p−p )x/~ = δ(p − p0 ) Von diskreter Basis zu kontinuierlicher Basis: i → x Z X → dx i δij → δ(x − x0 ) 2. Woche 2.2.2 Lineare Operatoren im Hilbert-Raum Definition • Ein Operator fˆ bildet einen Zustand |ψi auf einen Zustand |φi ab: |φi = fˆ(|ψi) In der Quantenmechanik sind lineare Operatoren A von Interesse. • Definition: F¨ ur lineare Operatoren Aˆ gilt: ˆ 1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i) = c1 A|ψ ˆ 1 i + c2 A|ψ ˆ 2i A(c Beispiel: Der Impuls-Operator pˆ = ~ d i dx ist linear Darstellung von Operatoren • Endlich-dimensionaler Fall Stellen wir Bras hψ| und Kets |ψi in einer Basis |ii dar 33 hψ| = (ψ1∗ , . . . , ψn∗ ) = X ψi∗ hi| i   ψ1  ..  X |ψi =  .  = ψi |ii i ψn so ist Operator A eine Matrix mit Elementen Aij = hi|A|ji Es folgt A= X Aij |iihj| ij • Ist |ii Eigenbasis von A A|ii = λi |ii so folgt der Spektralsatz A= X λi |iihi| i ¨ Spektralsatz auch im unendlich-dimensionalen formulierbar, siehe Ubung. Hermitesche/selbstadjungierte Operatoren • Der zu Operator A adjungierte Operator A† ist definiert durch hA† φ|ψi = hφ|Aψi Adjungierter Operator A† w¨alzt Wirkung von A auf Ket-Vektor auf Bra-Vektor um • Wegen hφ|ψi = hψ|φi∗ gilt hφ|Aψi = hA† φ|ψi = hψ|A† φi∗ In Dirac-Notation hφ|A|ψi = hψ|A† |φi∗ 34 • Endlich dimensionaler Vektorraum Sei A eine n × n Matrix, dargestellt in Basis |ii, so gilt hi|A|ji∗ = A∗ij = hj|A|ii†ji Adjungierte Matrix durch Transposition und komplexe Konjugation • Definition: Ein Operator ist hermitesch, wenn gilt A = A† • Sind ferner Definitionsbereiche von A und A† selbstadjungiert8 . identisch, heißt A • Beispiele: – Endlich dimensionaler Vektorraum Eine n × n Matrix ist selbstadjungiert, wenn sie reell und symmetrisch ist – Der Ortsoperator ist (trivial )hermitesch Z ∞ Z ∞ ∗ dx ψ (xψ) = dx (xψ ∗ )ψ −∞ −∞ d – Der Impulsoperator pˆ = ~i dx ist hermitesch   Z Z ∞ ~ ∞ dψ ~ d ∗ dx ψ ∗ ψ = dx ψ i dx i −∞ dx −∞ Z ~ ∗ ∞ ~ ∞ dψ ∗ = dx ψ ψ|−∞ − ψ i i −∞ dx  ∗ Z ∞ ~ d = dx ψ ψ i dx −∞ – Damit folgt: Hamilton-Operator H=− ~2 ∂ 2 + V (x) 2m ∂x2 ist auch hermitesch 8 Nur im unendlich-dimensionalen relevant. Wir werden die Begriffe synonym verwenden 35 • Es gilt (A† )† (λA)† (A + B)† (AB)† = = = = A λ∗ A† A† + B † B † A† ¨ Ubersetzung in die Physik • (Fast) alle Operatoren der Quantenmechanik sind hermitesch, wichtige Ausnahme siehe Kap. 4.4 • Schr¨odinger-Gleichung ist Eigenwert-Problem, betrachte zeitunabh¨angigen Fall ˆ = Eψ Hψ (12) Im endlich-dimensionalen Falle f¨ uhrt dies auf den bekannten Fall aus der linearen Algebra      h11 . . . h1n ψ1 ψ1  .   .. . . .  .   . . ..   ..  = E  ..  hn1 . . . hnn ψn ψn Im allgemeinen hat Gl. (12) unendlich viele L¨osungen n = 1, 2, . . . ˆ n = En ψn Hψ • Wir m¨ ussen u ¨ber Eigenwerte und Eigenfunktionen hermitescher Operatoren nachdenken Wichtige Eigenschaften hermitescher Operatoren (i) Die Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell Beweis: – Sei a Eigenwert von Aˆ ˆ = aψ Aψ 36 – Dann gilt a= hψ|Aψi hAψ|ψi = = a∗ hψ|ψi hψ|ψi (ii) Die Eigenfunktionen hermitescher Operatoren sind orthogonal Beweis: – Multipliziere ˆ n = an ψn Aψ ∗ mit ψm , ergibt ∗ ˆ ∗ ψm Aψn = an ψm ψn (13) Entsprechend ˆ m = am ψm Aψ mit ψn∗ , ergibt ˆ m = am ψ ∗ ψ m ψn∗ Aψ n – Subtrahiere Gl. (14) komplex konjugiert von Gl. (13) und integriere Z ∞ dx  ∗ ˆ ψm Aψn ˆ† ∗  Z ∞ − (A ψm ) ψn = ∗ ∗ dx (an ψm ψn − a∗m ψm ψn ) −∞ −∞ Aˆ hermitesch =⇒ linke Seite = 0, damit Z ∞ ∗ ∗ (an − am ) dx ψm ψn = 0 −∞ – Drei F¨alle : 1. n = m ∗ Eigenwerte sind reell. ∗ Gleichung trivial erf¨ ullt 2. n 6= m, nicht entartete Eigenwerte an 6= am 37 (14) ∗ Es folgt Z ∞ ∗ dx ψm ψn = 0 −∞ ∗ Mit der richtigen Normierung Z hψm |ψn i = ∞ ∗ ψn = δij dx ψm −∞ ∗ Eigenfunktionen eines hermitschen Operators zu verschiedenen nicht-entarteten Eigenwerten sind orthogonal 3. Betrachte n 6= m, entartete Eigenwerte an = am ∗ Zugeh¨orige Eigenfunktionen nicht notwendiger Weise orthogonal ∗ Orthogonalisierung durch Bildung von Linearkombinationen ∗ Entartung physikalisch relevant, da mit Symmetrien des Problems verbunden (iii) Die Eigenfunktionen hermitescher Operatoren sind vollst¨andig Beweis: – Eigenfuntionen {ψn } vollst¨andig bedeutet f¨ ur beliebige Wellenfunktion φ: φ(x) = ∞ X cn ψn (x) n=1 φ l¨aßt sich nach ψn entwickeln ∗ – Zur Berechnung der cn , multipliziere mit ψm und integriere Z ∞ dx ∗ ψm φ X = −∞ n Z cn ∞ ∗ dx ψm ψ n = cm −∞ | {z } =δnm ergo ∞ Z ∗ (x)φ(x) dx ψm cm = −∞ – φ sei normiert, so folgt Z ∞ Z ∗ 1= dx φ φ = −∞ ∞ dx −∞ 38 X nm c∗n cm ψn∗ ψm = X nm c∗n cm δnm und damit 1= ∞ X |cn |2 n=1 {cn } ist unendlich-dimensionaler Vektor der L¨ange 1. – Es besteht ein-eindeutiger Zusammenhang zwischen φ(x) und cn Berechnung von Erwartungswerten • Betrachte beliebige Wellenfunktion φ(x) und Operator Aˆ mit seinem orthogonalen, vollst¨andigen und normierten System von Eigenfunktionen ψn (x) ˆ n (x) = an ψn (x) Aψ • Frage: Wie lautet Erwartungswert von A ? Z ∞ ˆ dx φ∗ (x)Aφ(x) hAi = −∞ Mit {ψn } Eigenfunktionen von Aˆ φ(x) = ∞ X cn ψn (x), cn = hψn |φi n=1 folgt Z ∞ X ∗ ˆ c∗m cn ψm Aψn |{z} −∞ nm =an ψn Z ∞ X ∗ ∗ = cm cn an dx ψm ψn −∞ nm | {z } =δnm X = c∗m cn an hAi = dx n Ergo hAi = ∞ X n=1 39 |cn |2 an (15) • Interpretation – Erwartungswert von A ist Summe u ¨ber Eigenwerte von Aˆ gewichtet mit ¨ |cn |2 , dem quadrierten Uberlapp |hψn |φi|2 von ψn und φ ˆ d.h. φ = ψk , so gilt ck = 1 und cl = 0 f¨ – Ist φ Eigenfunktion von A, ur l 6= k Dann ˆ = ak hAi eine scharfe Messung Korrespondenz-Prinzip revisited: • Observablen werden hermitesche Operatoren zugeordnet A(x, p) ˆ x, pˆ) A(ˆ Das ist nicht eindeutig: – Trivial nicht eindeutig:  2 2  pˆ xˆ 1 2 2 (ˆ p xˆ + xˆ2 pˆ2 ) p 2 x2  12 (ˆ pxˆ + xˆpˆ)2 4 nicht hermitesch hermitesch hermitesch – Tiefsinnig nicht eindeutig Groenewald-van-Hove Theorem, 1946, 1951 Quantisierung ist nicht konsistent f¨ ur Potenzen > 2 • FAPP (For all practical purposes), Ort, Impuls, Energie, Drehimpuls, geht alles gut. 3. Halbwoche Inverser Operator • Definition: Wenn f¨ ur |φi = A|ψi ein Operator A−1 mit A−1 |φi = |ψi existiert, so heißt dieser inverser Operator • Es gilt A−1 A = AA−1 = 1 Unit¨are Operatoren 40 • Definition: Ein Operator U ist unit¨ar, wenn gilt U † = U −1 und damit U †U = U U † = 1 • Betrachte unit¨are Transformation U eines – Zustandes: |ψ 0 i = U |ψi – Operators: A0 = U AU † so bleiben experimentell messbare Gr¨oßen invariant: – Skalarprodukte hφ|ψi = hφ|U † U |ψi = hφ0 |ψ 0 i – Erwartungswerte: hψ|A|ψi = hψ|U † U AU † U |ψi = hψ 0 |A0 |ψ 0 i – Eigenwerte: Sei U ψ = λψ dann gilt hψ|ψi = hψ|U † U ψi = hU ψ|U ψi = |λ|2 hψ|ψi =⇒ |λ|2 = 1 Alle Eigenwerte eines unit¨aren Operators sind vom Betrage eins. Beispiel: Zeitentwicklungsoperator – Betrachte zeitabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung, zeitunabh¨angiges Potential i~ ∂ ˆ |ψi = Hψ ∂t 41 Formale L¨osung: |ψ(t)i = U (t − t0 )|ψ(t0 )i i ˆ U (t, t0 ) = e− ~ H(t−t0 ) i ˆ e− ~ H(t−t0 ) definiert u ¨ber Potenzreihe9 e ˆ At = ∞ ˆn n X A t n=0 ˆ + 1 Aˆ2 t2 + . . . = 1 + At n! 2 – Zeitentwicklungsoperator U (t, t0 ) ist unit¨ar: i U † (t, t0 ) = e ~ H(t−t0 ) = U (t0 , t) = U −1 (t, t0 ) und erh¨alt somit die Norm der Wellenfunktion hψ(t)|ψ(t)i = hψ(t0 )|U † (t, t0 )U (t, t0 )|ψ(t0 )i = hψ(t0 )|ψ(t0 )i = 1 2.2.3 Kommutatoren • Betrachte zwei Operatoren A und B. Der Kommutator [., .] ist definiert als [A, B] := AB − BA Kommutator misst, ob zwei Operatoren vertauschen • Erinnere endlich-dimensionalen Fall: F¨ ur Matrizen A und B gilt in der Regel: [A, B] = AB − BA 6= 0 • Betrachte Kommutator von Orts- und Impulsoperator     ~ d d ~ d [ˆ x, pˆ] = x, = x − x i dx i dx dx Beachte: Operatoren wollen auf Zust¨ande angewandt werden 9 Wundersch¨ oner Artikel: Moler & van Loan. Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later, SIAM Review, 2003, 45(1), 3-49. 42 Daher d d xψ = 1ψ + x ψ = dx dx Somit ~ [ˆ x, pˆ] = i   d 1+x dx d d x −1−x dx dx   =− ψ ~ i oder [ˆ x, pˆ] = i~ • Beachte: Orts- und Impulsoperator bez¨ uglich verschiedener Komponenten vertauschen     ∂ ∂ ~ ~ ∂ − xi , i 6= j = xi [ˆ xi , pˆj ] = xi , i ∂xj i ∂xj ∂xj Wegen: ∂ ∂ xi ψ = xi ψ ∂xj ∂xj folgt [ˆ xi , pˆj ] = 0 ¨ • Ubung: Berechne diverse Kommutatoren • Definition: Antikommutator [A, B]+ := AB + BA • Frage: Wann ergibt das Produkt zweier hermitescher Operatoren wieder einen hermiteschen Operator ? ¨ Ubung: Verschwindet der Kommutator, [A, B] = 0, ist das Produkt AB hermitesch Wichtiger Satz: ˆ kommutieren genau dann, wenn ein Satz von gemein• Zwei Operatoren Aˆ und B samen Eigenfunktionen beider Operatoren existiert. 43 ˆ kommutieren • Gemeinsame Eigenfunktionen =⇒ Aˆ und B Beweis: ˆ dann folgt: Sei ψn Eigenfunktion von Aˆ und B, ABψn = Abn ψn = an bn ψn = bn an ψn = Ban ψn = BAψn , ∀ψn =⇒ [A, B] = 0 ˆ kommutieren =⇒ Es existiert gemeinsames Eigensystem • Aˆ und B Annahme: Eigenwerte seien nicht entartet, Satz gilt aber auch sonst. Beweis: Sei ˆ n = an ψn Aψ Dann gilt ˆ Aψ ˆ n = an Bψ ˆ n B Mit Kommutativit¨at: ˆ Aψ ˆ n = AˆBψ ˆ n B Damit zusammen ˆ Bψ ˆ n ) = an (Bψ ˆ n) A( ˆ n ist auch Eigenfunktion von Aˆ mit Eigenwert an =⇒ φn = Bψ • Da Eigenwerte nicht-entartet sind, sind Eigenfunktionen eindeutig =⇒ φn ∝ ψn ˆ n = bn ψ n Bψ ˆ zum Eigenwert bn . ψn ist Eigenfunktion von B • Dieses wird sp¨ater, Kap. 6, wichtig zur Definition von Quantenzahlen. 44 2.3 2.3.1 Zur¨ uck zur Physik Die Messung Der Ablauf, Axiome der Quantenmechanik revisited • Zeitentwicklung von ψ(x, t) durch Schr¨odinger-Gleichung gegeben • Observable A durch Operator Aˆ gegeben • Bestimme Eigenfunktionen |ni mit Eigenwerten an von Aˆ • Messung zum Zeitpunkt t: Projeziere ψ(x, t) auf |ni cn = hn|ψ(x, t)i • |cn |2 gibt Wahrscheinlichkeit, dass an gemessen wird. Beachte: |cn |2 = hn|ψ(x, t)i∗ hn|ψ(x, t)i, mit hn|ψ(x, t)i∗ = hψ(x, t)|ni = hψ(x, t) |nihn| ψ(x, t)i | {z } Projektor • Wird an gemessen, geht Zustand |ψ(x, t)i in Zustand |ni u ¨ber • Wird mehrfach an identisch pr¨apariertem Zustand |ψ(x, t)i gemessen, erinnere Gl. (15), so gilt: hAi = ∞ X |cn |2 an n=1 Interpretation • Erwartungswert von A ist Summe u ¨ber Eigenwerte von Aˆ gewichtet mit |cn |2 , der Wahrscheinlichkeit, dass an auftritt ¨ |cn |2 ergibt sich aus Uberlapp von |ψ(x, t)i und |ni ˆ d.h. ψ = |ki, so gilt ck = 1 und cl = 0 f¨ • Ist ψ Eigenfunktion von A, ur l 6= k Dann ˆ = ak hAi eine scharfe Messung 45 ˆ so wird eine einzelne Messung einen der • Ist ψ nicht Eigenfunktion von A, Eigenwerte an liefern und zwar mit Wahrscheinlichkeit |cn |2 . • Ergebnis einer einzelnen Messung ist also unbestimmt10 . • Merke: Die Zeitentwicklung des Zustandes ist deterministisch. Zustand bestimmt aber nicht deterministisch Ergebnis einer Messung FOLIE Zentral: • Zufall des Messausgangs liegt nicht an Unkenntnis des Zustands • Im Unterschied zur Statistischen Physik • Der Kollaps der Wellenfunktion kann nicht durch eine Schr¨odinger-Gleichung beschrieben werden. 2.3.2 Impulsdarstellung • Bisher Ortsdarstellung: ψ(x, t) • Jetzt Impulsdarstellung: φ(p, t) Fourier-Transformation • Betrachte Fourier-Transformation 1 f (y) = √ 2π ∞ Z dx g(x)e−ixy −∞ Dann gilt inverse Fourier-Transformation 1 g(x) = √ 2π Z ∞ dy f (y)eixy −∞ Informationserhaltende Transformation ¨ Fourier-Transformation ist unit¨ar, Beweis als Ubung 10 und zwar in einem sehr tiefen Sinne, siehe Kap. 11 46 Kurzklausur • F¨ ur Wellenfunktionen ψ(x, t) 1 φ(p, t) = √ 2π~ Z ∞ dx ψ(x, t)e−ixp/~ −∞ und Z 1 ψ(x, t) = √ 2π~ ∞ dp φ(p, t)eixp/~ −∞ φ(p, t): Impulsdarstellung • Betrachte ebene Welle mit Impuls p0 im Ortsraum: 1 eip0 x/~ ψ(x) = √ 2π~ Im Impulsraum: 1 φ(p) = √ 2π~ Z −ipx/~ dx ψ(x)e Wie transformieren sich die Operatoren ? 1 = 2π~ √1 2π~ Z dx e−i(p−p0 )x/~ = δ(p − p0 ) Vorfaktoren unterdr¨ uckt • Ortsoperator in Ortsdarstellung xˆx ψ(x) = xψ(x): Z xψ(x) = x dp φ(p)eixp/~ Z Z ∞ 0 P.I.: dp uv = uv|−∞ − dp u0 v Z ∂ ~ xψ(x) = −x dp φ(p) eixp/~ ∂p ix Z ∂ ~ dp φ(p) eixp/~ xψ(x) = − i ∂p R 0 Fourier-Transformation mit dx e−ixp /~ Z Z Z ∂ 0 −ixp0 /~ dx xψ(x)e = dp φ(p) dx eix(p−p ) ∂p R 0 ¨ Ausnutzen von dx eix(p−p ) = δ(p − p0 ) ergibt (Beweis als Ubung): 47 Z 0 dx xψ(x)e−ixp /~ = − ~ ∂ φ(p) i ∂p Damit Ortsoperator in Impulsdarstellung xˆp φ(p) = − ~ ∂ φ(p) i ∂p ¨ • Impulsoperator, analoge Rechnung als Ubung pˆp φ(p) = pφ(p) • Hamiltonoperator in Impulsdarstellung   ~ ∂ − i ∂p ˆ = 1 pˆ2 + V H 2m • Kommutator [ˆ xp , pˆp ] in Impulsdarstellung     ~ ∂ ~ ∂ ∂ [ˆ x, pˆ] = − ,p = − p−p i ∂p i ∂p ∂p Analog zu oben: Operatoren wollen auf Zust¨ande wirken ∂ ∂ pφ(p) = 1φ(p) + p φ(p) = ∂p ∂p   ∂ 1+p φ(p) ∂p Damit [ˆ xp , pˆp ] = − ~ = i~ i Es gilt allgemein: Kommutatoren sind darstellungsunabh¨angig • Erwartungswerte von Observablen sind darstellungsunabh¨angig hAi = hψ(x)|Aˆx |ψ(x)i = hφ(p)|Aˆp |φ(p)i ¨ Beweis als Ubung Energiedarstellung: Darstellung in Eigenfunktionen des Hamilton-Operators 48 2.3.3 Ehrenfest Theorem Die klassische Mechanik muß als Grenzfall in der Quantenmechanik enthalten sein. • Betrachte Schr¨odinger-Gleichung und ihr konjugiert komplexes ∂ ψ(x, t) = Hψ(x, t) ∂t ∂ −i~ ψ ∗ (x, t) = Hψ ∗ (x, t) ∂t i~ F¨ ur Operator A ist der Mittelwert Z hAi(t) = d3 xψ ∗ (x, t)A(t)ψ(x, t) • Zeitliche Ableitung, alle Argumente unterdr¨ uckt  d hAi = dt Z   ∂ψ ∗ ∂ψ    ∗ ∂A ∗ dx  Aψ + ψ ψ+ψ A  ∂t ∂t ∂t   |{z} |{z} = i Hψ ∗ =− i Hψ ~  ~   Z i ∂A  = dx   Hψ ∗ Aψ − ψ ∗ AHψ  + ψ ∗ ψ ~ |{z} ∂t =ψ ∗ H   Z i ∗ ∗ ∂A (ψ (HA − AH)ψ) + ψ ψ = dx ~ ∂t Ergibt d i hAi = h[H, A]i + dt ~  ∂A ∂t  • Vergleich mit klassischer Mechanik d ∂f f (q, p, t) = {H, f } + dt ∂t mit Poisson-Klammer {f, g} = ∂f ∂g ∂g ∂f − ∂p ∂q ∂p ∂q 49 (16) Andere Formulierung des Korrespondenz-Prinzips: Klassische Poisson-Klammer entspricht quantenmechanischem Kommutator multipliziert mit ~i ¨ • Zwei wichtige Kommutatoren, Beweise als Ubung " # X p2j −i~pi [H, xi ] = , xi = 2m m j   ~ ∂ ∂V [H, pi ] = V (x), = i~ i ∂xi ∂xi • Anwendung von Gl. (16) auf x und p, mit Kraft: F (x) = −∇V (x) 1 d hxi = hpi dt m d hpi = −h∇V (x)i = hF (x)i dt Fasse zusammmen: m d2 hxi = hF (x)i erscheint bekannt dt2 • Ehrenfest Theorem: Die klassischen Gleichungen gelten f¨ ur die Mittelwerte • ABER: Das bedeutet nicht, dass die Mittelwerte hxi und hpi den klassischen Bewegungsgleichungen gen¨ ugen. • Dazu muss man Mittelwert der Kraft Z hF (x)i = dxψ ∗ (x, t)F (x)ψ(x, t) durch ihren Wert F (hxi) an der Stelle hxi ersetzen d¨ urfen • Wann gilt dies ? Betrachte Taylor-Entwicklung 1 F (x) = F (hxi) + F 0 (hxi)(x − hxi) + F 00 (hxi)(x − hxi)2 + . . . 2 50 Wegen h(x − hxi)i = 0 entf¨allt 2. Term 1 F (x) = F (hxi) + F 00 (hxi)(x − hxi)2 + . . . 2 Ersetzen von hF (x)i durch F (hxi) ist exakt, wenn zweite und h¨ohere Ableitungen verschwinden. N¨aherungsweise gut, wenn Wellenfunktion so gut lokalisiert ist, dass sich F (x) im Bereich ihrer Ausdehnung nur langsam ¨andert (∆x)2 F 00 (hxi) 1 F (hxi) • Erinnere Schr¨odinger-Kapitel, Ableitung der Eikonal-Gleichung, Gl. (7) 2.3.4 Heisenberg- & Wechselwirkungsbild • Bisher Schr¨odinger-Bild: Operatoren zeitunabh¨angig, Zustand zeitabh¨angig |ψ(t)i = U (t0 , t)|ψ(t0 )i U (t0 , t) = e−iH(t−t0 )/~ • Heisenberg-Bild: Operatoren zeitabh¨angig, Zustand zeitunabh¨angig, t0 = 0 hA(t)i = hψ(t)|A|ψ(t)i = hU (t)ψ(0)|A|U (t)ψ(0)i W¨alze U (t) auf A um hA(t)i = hψ(0)|U † (t)AU (t)|ψ(0)i Ergibt zeitabh¨angigen Heisenberg-Operator AH (t) = U † (t)AU (t) • Bewegungsgleichung f¨ ur Heisenberg-Operatoren AH i A˙ H = [H, AH ] ~ 51 • Wechselwirkungsbild – Betrachte Hamilton-Operator mit zeitunabh¨angigem Teil H0 und eventuell zeitabh¨angiger St¨orung V (t) H = H0 + V (t) – Wechselwirkungsbild liegt zwischen Schr¨odinger- und Heisenberg-Bild: Zust¨ande und Operatoren sind zeitabh¨angig – Geeignet, wenn man H0 nach Eigenenergien und Eigenzust¨anden ”gut kennt” – Man interessiert sich f¨ ur Modifikationen durch V – Idee: W¨alze H0 -Dynamik auf Observablen ab, Transformation auf das durch die H0 -Dynamik bewegte Basissystem – Relativ-Bewegungsgleichung f¨ ur ψ durch V erzeugt. 52 Lessons learned • Die Axiome der Quantenmechanik: – Zust¨ande leben im Hilbertraum – Observable durch selbstadjungierte Operatoren repr¨asentiert – Projektion der Wellenfunktion auf Eigenzust¨ande des selbstadjungierten Operators – Eigenwert als zuf¨alliges Messergebnis ¨ – Wahrscheinlichkeit durch Uberlapp von Wellenfunktion mit Eigenzust¨anden gegeben – Kollaps der Wellenfunktion auf zugeh¨origen Eigenzustand • Drei wichtige Eigenschaften selbstadjungierter Operatoren: – Eigenwerte sind reell – Eigenzust¨ande sind orthogonal – Eigenzust¨ande sind vollst¨andig • Groenewald-van-Hove Theorem: Korrespondenz-Prinzip nicht konsistent • Kommutatoren messen Vertauschbarkeit von Operatoren • Impulsdarstellung • Ehrenfest-Theorem: Klassische Mechanik als Grenzfall der Quantenmechanik • Heisenberg- und Wechselwirkungsbild 4. Woche 3 Unsch¨ arferelationen • Erinnere Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung: hφ|φihψ|ψi ≥ |hφ|ψi|2 ˆ und Zustand ψ • Betrachte zwei hermitesche Operatoren Aˆ und B 53 Definiere Operatoren A und B durch Abziehen des Mittelwertes im Zustand ψ ˆ = Aˆ − h|ψ|A|ψi ˆ A = Aˆ − hAi B entsprechend • Setze Aψ und Bψ in Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung ein hAψ|AψihBψ|Bψi ≥ |hAψ|Bψi|2 Hermitezit¨at ausnutzen hψ|A2 |ψihψ|B 2 |ψi ≥ |hψ|AB|ψi|2 (17) • Mit Antikommutator [A, B]+ = AB + BA zerlege AB in hermiteschen und einen anti-hermiteschen Anteil 1 1 AB = [A, B]+ + [A, B] 2 2 mit [A, B]†+ = [A, B]+ hψ|[A, B]+ |ψi ∈ R hermitesch und [A, B]† = −[A, B] antihermitesch hψ|[A, B]|ψi rein imagin¨ar • Zerlegung eines Operators in einen hermiteschen und einen antihermiteschen bedeutet f¨ ur Erwartungswert Zerlegung in Real- und Imagin¨arteil Damit gilt f¨ ur Betragsquadrat: 1 1 |hψ|AB|ψi|2 = hψ|[A, B]+ |ψi2 + |hψ|[A, B]|ψi|2 4 4 54 (18) ˆ und hBi ˆ sind Zahlen, kommutieren mit allem. • Die Mittelwerte hAi Daher gilt ˆ B] ˆ = [A, B] [A, Damit folgt bei Vernachl¨assigung des ersten Terms in Gl. (18) 1 2 ˆ B]|ψi| ˆ |hψ|AB|ψi|2 ≥ |hψ|[A, 4 (19) Warum der erste und nicht der zweite Term vernachl¨assig wird, wird unten klar. ˆ Wurzel aus der Varianz • Die Unsch¨arfe ∆A ist die Standardabweichung von A, ˆ 2 |ψi (∆A)2 = hψ|(Aˆ − hAi) ∆B entsprechend • Somit folgt f¨ ur das Produkt der Unsch¨arfen mit Gl. (17) 1 ˆ ˆ B]i| ∆A∆B ≥ |h[A, 2 die Heisenberg’sche Unsch¨arfe-Relation: Nicht-kommutierende Operatoren sind nicht simultan scharf messbar ˆ = pˆj • Betrachte : Aˆ = xˆi und B Erinnere: [ˆ xi , pˆj ] = i~δij Es folgt der wichtige Spezialfall der Orts-Impulsunsch¨arfe: ∆xi ∆pj ≥ ~ δij 2 Physikalisch/mathematische Interpretation • Kommutierende Operatoren – Erinnere: Kommutieren zwei Operatoren A und B, so haben sie die gleichen Eigenfunktionen |ni 55 – Messung von A ergibt Eigenwert an und u ¨berf¨ uhrt Wellenfunktion |ψi in Eigenfunktion |ni – Unmittelbar anschließende Messung von B ergibt bn und l¨asst Eigenfunktion |ni unver¨andert – Messung von A ergibt wieder an und |ni – Dieses l¨asst beliebig h¨aufig wiederholen – Ergo: Man kann von scharfen Messwerten sprechen • Nicht-kommutierende Operatoren – Messung von A ergibt Eigenwert an u ¨berf¨ uhrt Wellenfunktion |ψi in Eigenfunktion |ni – Diese ist nicht Eigenfunktion von B – Messung von B ergibt bm und l¨asst |ni kollabieren in Eigenfunktion |mi von B – |mi ist keine Eigenfunktion von A – Messung von A ergibt Eigenwert an0 und Kollaps in Eigenfunktion |n0 i – Diese wechselseitigen Zerst¨orung der Eigenfunktionen iteriert – Die Messwerte ¨andern sich st¨andig – Ergo: Man kann nicht von scharfen Messwerten sprechen Unsch¨arferelation ist eine Ungleichung Unter welchen Bedingungen an die Wellenfunktion wird das Gleichheitszeichen angenommen ? • Gleichheitszeichen bei Cauchy-Schwarz’scher Ungleichung wird angenommen f¨ ur Bψ = zAψ, z ∈ C (20) Gleichheitszeichen in Gl. (19) wird angenommen, wenn Erwartungswert des Antikommutators verschwindet hψ|AB|ψi + hψ|BA|ψi = hAψ|Bψi + hBψ|Aψi = 0 Gl. (20) eingesetzt 0 = hAψ|zAψi + hzAψ|Aψi = hAψ|zAψi + hAψ|zAψi∗ = (z + z ∗ )hAψ|Aψi Ergo: z muss rein imagin¨ar sein 56 • Eingesetzt in Gl. (20) Bψ = iλAψ, λ reell • F¨ ur A = xˆ und B = pˆ ergibt sich die Differentialgleichung   ~ ∂ − hpi ψ = iλ(x − hxi)ψ i ∂x ¨ L¨osung: Gauß’sches Wellenpaket, siehe Kap. 4.1. Beweis als Ubung Beweis der Orts-Impuls Unsch¨arfe auf Grund der Fourier-Transformation • Sei ψ(x) eine quadrat-integrable Funktion • Dann ist11 1 ˜ ψ(k) =√ 2π Z ∞ dx ψ(x)e−ikx −∞ die Fourier-Transformierte von ψ(x) • Sei ferner 2 (∆x) (∆k)2 Z ∞ 1 = √ dx ψ ∗ (x)(x − hxi)2 ψ(x) 2π −∞ Z ∞ 1 ˜ = √ dk ψ˜∗ (k)(k − hki)2 ψ(k) 2π −∞ dann gilt ∆x∆k ≥ 1 2 ¨ • Beweis als Ubung • Mit de Broglie-Beziehung p = ~k folgt ∆x∆p ≥ 11 mal wieder nomenklatorisch flexibel bleiben :-) 57 ~ 2 Energie-Zeit Unsch¨arfe • Betrachte ψ(t) und Fourier-Transformierte 1 ˜ ψ(ω) =√ 2π Z ∞ dt ψ(t)e−iωt −∞ und 2 (∆t) (∆ω)2 Z ∞ 1 = √ dt ψ ∗ (t)(t − hti)2 ψ(t) 2π −∞ Z ∞ 1 ˜ dω ψ˜∗ (ω)(ω − hωi)2 ψ(ω) = √ 2π −∞ Es folgt analog ∆ω∆t ≥ 1 2 ∆E∆t ≥ ~ 2 und mit E = ~ω folgt • Aber: Die Zeit t ist in der Quantenmechanik keine Observable, nur ein Parameter. Es gibt keinen Zeit-Operator • Daher l¨asst Zeit-Energie Unsch¨arfe sich nicht aus Kommutator-Relation ableiten • Bedeutung von ∆t: Zeitdauer, keine Standardabweichung in obigem Sinne • Anwendungsbeispiele – Durchgangsdauer und Energieunsch¨arfe Energieunsch¨arfe eines freien Wellenpaketes mit p0 und ∆p ∆E ≈ p0 ∆p m Zeitunsch¨arfe ∆t: Zeit, die das Teilchen an Stelle x gefunden werden kann, d.h. die Zeit, die das Wellenpaket mit Ausdehnung ∆x f¨ ur Durchgang durch Ort x ben¨otigt ∆x m∆x ∆t ≈ = v0 p0 58 Somit ~ 2 – Energie-Zeit-Unsch¨arfe hat praktische Konsequenzen in der Spektroskopie: ∆E∆t ≈ ∆x∆p ≥ ∗ Hat ein angeregter Zustand die Lebensdauer ∆t, dann ist die Frequenz, resp. die Energie nur bis auf ∆ω, resp. die Energie ∆E bestimmt. ∗ Endliche Lebensdauern f¨ uhren zu verbreiterten Emissionslinien im Spektrum Lessons learned • Observable, die zu nicht kommutierenden Operatoren geh¨oren, sind nicht simultan scharf messbar • Die Zeit ist in der Quantenmechanik keine Observable, es gibt keinen ”ZeitOperator” • Energie-Zeit Unsch¨arfe in besonderem Sinne 5. Halbwoche 4 Erste Anwendungen ¨ Uberblick • Zentral ist der Hamilton-Operator, in Ortsdarstellung: 2 2 ˆ = − ~ ∂ + V (x) H 2m ∂x2 • Bewegungsgleichung: Zeitabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung   ∂ ~2 ∂ 2 i~ φ(x, t) = − + V (x) φ(x, t) ∂t 2m ∂x2 • Im zeitunabh¨angigen Falle: Separationsansatz: φ(x, t) = ψ(x)e− 59 iEt ~ • Ergibt zeitunabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung   ~2 ∂ 2 − + V (x) ψ(x) = Eψ(x) 2m ∂x2 • Das heißt, die Fragestellungen klassifizieren sich nach dem Potential V (x) – Freies Teilchen – Potentialbarriere – Kastenpotential – Harmonischer Oszillator – Periodische Potentiale ˆ • Bestimme Eigenfunktionen und Eigenwerte, das Energiespektrum, von H 4.1 Freies Teilchen • Mit V (x) = 0 folgt f¨ ur zeitunabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung − ~2 d2 ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 L¨osung: trigonometische Funktionen Ansatz: ψ(x) = Ae±ikx • Es folgt − ~2 A(−k 2 )e±ikx = EAe±ikx 2m mit Energie E E= bzw. k= ~2 k 2 2m 1√ 2mE ~ 60 • F¨ ur jede Energie E existieren zwei L¨osungen, jeder Eigenwerte ist zweifach entartet ψ± (x) = Ae±ikx Jeder Wert E ≥ 0 ist Eigenwert, keine Quantisierung, sondern kontinuierliches Spektrum • Energie kann scharf gemessen werden ∆E = 0 • Zeitabh¨angige L¨osung ψ± (x, t) = Ae±ikx e−i/~Et ergibt mit ω = E/~ ψ+ (x, t) = Aei(kx−ωt) rechtslaufende Welle ψ− (x, t) = Aei(−kx−ωt) linkslaufende Welle Allgemeine L¨osung: Linearkombination
ψ(x, t) = Aeikx + Be−ikx e−iωt • Quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsamplitude f¨ ur freies Teilchen ist eine Welle. Dies erlaubt Effekte wie Interferenz, so war es konstruiert. Betrachte Messung von Ort und Impuls • Eigenwert-Gleichung f¨ ur Impuls-Operator pˆφ(x) = λφ(x) ~ d φ(x) = λφ(x) i dx Ansatz: φ± (x) = Ae±ikx pˆAe±ikx = ~ d ~ Ae±ikx = A(±ik)e±ikx = ±pφ± (x) i dx i 61 Ergo pˆψ± (x) = ±pψ± (x) ψ± (x) ist auch Eigenfunktion von Impuls-Operator und beschreibt damit Teilchen mit scharfem Impuls, ∆p = 0 • Da sowohl ∆E = 0 als auch ∆p = 0 m¨ ussen die entsprechenden Operatoren kommutieren ˆ pˆ] = 0 [H, was trivial richtig ist. Beispiel f¨ ur simultane Eigenfunktionen kommutierender Operatoren • Unsch¨arferelation fordert ∆x = ∞ In der Tat: |ψ± (x)|2 = |A|2 |e±ikx |2 = |A|2 = const. • ψ± (x) ist nicht normierbar. Realistischerer Ansatz: lokalisierte Wellenpakete Wellenpakete • Konstruiere lokalisierte L¨osung durch Superposition 1 ψ(x, t) = √ 2π Z ∞ dk a(k)ei(kx−ω(k)t) −∞ Anfangsbedingung, t = 0 1 ψ(x, 0) = √ 2π Z ∞ dk a(k)eikx −∞ a(k) ist Fouriertransformierte von ψ(x, 0) • Gehe in Impulsdarstellung, immer im Hinterkopf: p = ~k 1 φ(p, t) = √ a(k)e−iω(k)t ~ 62 (21) • F¨ ur geeignetes a(k) sind alle Varianten normierbar Z Z Z 2 2 dp |φ(p, t)| = dk |a(k)| = dx |ψ(x, t)|2 = 1 ˆ • Beachte: Wellenpaket ist keine Eigenfunktion von H Zerfliessen von freien Wellenpakten • Quantenmechanische Dispersion • Betrachte Gauß’sches Wellenpaket 2 a(k) = Ce−α(k−k0 ) α legt Breite fest, C sorgt f¨ ur Normierung • Bisher ganz allgemein, gilt auch f¨ ur elektromagnetische Wellen. • Erinnere unterschiedliche Dispersionsrelationen ~k 2 2m ω = ck ω = Schr¨odinger-Gleichung Maxwell-Gleichung Entwickele ω(k) um k0 dω 1 d2 ω ω(k) = ω(k0 ) + (k − k0 ) + (k − k0 )2 + . . . 2 dk k0 2 dk k0 ω(k) = ω0 + vG (k − k0 ) + β(k − k0 )2 + . . . vG : Gruppengeschwindigkeit, β: Dispersionsparameter • Hier: Entwicklung bricht (sp¨atestens) nach quadratischem Term ab Eingesetzt in Gl. (21) Z C 2 2 ψ(x, t) = √ dke−α(k−k0 ) eikx e−i(ω0 +vG (k−k0 )+β(k−k0 ) )t 2π   C 1 (x − vG t)2 i(k0 x−ω0 t) = √ √ e exp − 4(α + iβt) 2 α + iβt 63 ¨ Beweis als Ubung Damit Wahrscheinlichkeitsdichte |C|2   α(x − vG t)2 |ψ(x, t)| = p exp − 2(α2 + β 2 t2 ) 2 α 2 + β 2 t2 2 Erinnere Varianz von Gauß-Verteilung σ2 = α2 + β 2 t2 = (∆x)2 α ZEICHUNG • Im Impulsraum folgt |φ(p, t)|2 = |C|2 −2α(k−k0 )2 e = |φ(p)|2 , ~ zeitunabh¨angig und damit ~ ∆p = √ 2 α • Damit folgt f¨ ur die Unsch¨arferelation r β 2 t2 ~ ~ 1+ 2 ≥ ∆x∆p = 2 α 2 Beachte: F¨ ur t = 0 gilt minimale Unsch¨arfe. • Quantenmechanischer Fall: ~k0 dω , vG = = dk k0 m β= ~ 2m Dispersion gilt f¨ ur jede Art von freien Wellenpaketen. • Elektrodynamischer Fall, im Vakuum vG = c, β=0 Darum keine Dispersion im Vakuum, aber nat¨ urlich in Materie, wo ω = ck nicht gilt. 64 4.2 Potentialbarriere und Tunneleffekt • Betrachte Teilchen mit Energie E und eine Potentialbarriere V (x)  ur x < −a  0 f¨ V0 f¨ ur − a ≤ x ≤ a 0 < E < V0 V (x) =  0 f¨ ur x > a ZEICHNUNG • Klassisch: Teilchen kann Barriere nicht u ¨berwinden • Quantenmechanisch: Es gibt endliche Tunnelwahrscheinlichkeit T (E), ein von links kommendes Teilchen rechts der Barriere zu finden • Intuition, Faktor e−iωt im Folgenden unterdr¨ uckt: – Rechts und links der Barriere: freies Teilchen ψ(x) ∝ e±ikx , k= 1√ 2mE ~ – In der Barriere, Schr¨odinger-Gleichung   ~2 d2 + V0 ψ(x) = Eψ(x) − 2m dx2 oder − ~ 2 d2 ψ(x) = (E − V0 ) ψ(x) | {z } 2m dx2 <0 L¨osung: Exponentielles Verhalten12 ψ(x) ∝ e±gx , g= 1p 2m(V0 − E) ~ Allgemeine L¨osung  ur x < −a  Aeikx + Be−ikx f¨ −gx gx Ce + De f¨ ur − a ≤ x ≤ a ψ(x) =  ikx −ikx F e + Ge f¨ ur x > a ZEICHNUNG mit A, B und F 12 g statt κ :-) 65 (22) • Bei x = −a und x = a m¨ ussen die Wellenfunktionen f¨ ur endliches Potential V0 stetig und differenzierbar aneinander anschließen Beweise: – Intuitiv ∗ Angenommen ψ(x) oder ψ 0 (x) w¨aren unstetig, dann bewirkt ψ(x) ∝ Θ(x − a) f¨ ur ψ 00 (x) ∝ δ 0 (x − a) ψ 0 (x) ∝ Θ(x − a) f¨ ur ψ 00 (x) ∝ δ(x − a) ∗ ψ 00 (±a) hat aber h¨ochstens endliche Sprungstelle ∗ Widerspruch ∗ Analoge Argumentation: Bei unendlichen Spr¨ ungen von V (x) bleibt 0 ψ(x) stetig, aber ψ (x) wird unstetig – Physikalisch: ψ 0 (x) entspricht Impuls, dieser kann nicht unendlich sein, daher muss ψ(x) stetig sein. – Mathematisch ∗ Integriere Schr¨odinger-Gleichung u ¨ber das Intervall [a − , a + ] ~2 − 2m Z a+ a− d2 dx 2 ψ(x) = dx Z a+ Z a+ dx Eψ(x) − a− ~2 0 (ψ (a + ) − ψ 0 (a − )) = − 2m Z dx V (x)ψ(x) a− a+ Z a+ dx Eψ(x) − a− dx V (x)ψ(x) a− ∗ F¨ ur  → 0 folgt verschwindet 1. Integral auf jeden Fall, zweites, wenn Sprung in V (x) endlich • Anschlußbedingung bei x = −a Stetigkeit Ae−ika + Beika = Cega + De−ga Differenzierbarkeit ik(Ae−ika − Beika ) = −g(Cega − De−ga ) In Matrixschreibweise 66  e−ika eika e−ika −eika  A B   = ega e−ga ig ga e − igk e−ga k  C D  Umgestellt  A B  1 = 2  eika eika −ika e −e−ika  ega e−ga ig ga e − igk e−ga k  C D  Ergibt  mit 1 M (a) = 2   A B  = M (a) 1+ 1− ig ega+ika k
ig ega−ika k
 C D 1− 1+ ig e−ga+ika k
ig e−ga−ika k
 • Anschlußbedingung bei x = a Analoge Rechnung   • Zusammenhang A B F G   und  mit A B  = M (−a) F G = M (a)M (−a) 1− 1  2 1+ C D   :    M (−a)−1 =  ik g ik g  ega+ika  e−ga−ika    −1 F G 1+ 1+  ik g ik g ega−ika  e−ga−ika    Ergibt      iη A (cosh 2ga + i2 sinh 2ga)e2ika sinh 2ga F s = B G − iη2 sinh 2ga (cosh 2ga − i2 sinh 2ga)e−2ika mit g k − k g g k η = + k g  = 67 • Betrachte von links einlaufendes Teilchen, d.h. G = 0. Dann A = F (cosh 2ga + B = −F i sinh 2ga)e2ika 2 iη sinh 2ga 2 • ZEICHNUNG der Wellenfunktion • Definiere Transmissionsamplitude S(E): S(E) := e−2ika F = A cosh 2ga + i2 sinh 2ga Definiere Tunnelwahrscheinlichkeit T (E) = |S(E)|2 , dass Teilchen, das auf Schwelle trifft, diese durchdringt: T (E) := 1 1 + (1 + (2 /4)) sinh2 2ga • Betrachte Grenzfall einer sehr hohen und breiten Barriere: ga  1 Dann gilt 1 1 sinh 2ga = (e2ga − e−2ga ) ≈ e2ga  1 2 2 Damit  −1 2 16(gk)2 −4ga T (E) ≈ 1 + e 4e−4ga = 2 4 (g + k 2 )2 p √ Mit k = ~1 2mE und g = ~1 2m(V0 − E) T (E) ≈  ap  16E(V0 − E) −4 exp 2m(V − E) 0 V02 ~ Ziehe Vorfaktor in den Exponenten  ap T (E) ≈ exp −4 2m(V0 − E) + log ~  16E(V0 − E) V02  Logarithmus w¨achst viel langsamer als Wurzel, vernachl¨assige ihn 68  ap  T (E) ≈ exp −4 2m(V0 − E) ~ Ergebnis: F¨ ur sehr hohe und breite Barriere, ga  0 T (E) ≈ e−β 4a p β = 2m(V0 − E) ~ Tunnelwahrscheinlichkeit nimmt exponentiell ab mit der – Breite der Barriere – Wurzel der Masse – Wurzel aus der Energiedifferenz • Tunneleffekt ist ein Wellenph¨anomen. Geht auch mit elektromagnetischen Wellen: Evaneszente Wellen, lateinisch: evanescere: verschwinden. Z.B. bei Totalreflexion ZEICHNUNG • Technisch: Grundlage des Rastertunnelmikroskopes, Nobelpreis 1986 f¨ ur G. Binnig und H. Rohrer – Halte Metallspitze u ¨ber abzutastender Oberfl¨ache – Zwischenraum entspricht Potentialbarriere – Lege Spannung zwischen Metallspitze und Oberfl¨ache an – Strom misst den Abstand – Quantitative Beziehung zwischen Abstand und Strom schwierig – Praxis: Halte Strom konstant und variiere Abstand durch Piezokristalle – Abstand ∝ Spannung an Piezokristall ¨ Ubung: α-Zerfall 69 4.3 Potentialtopf Unendlich hoher Potentialtopf • Sei  0 ∞ V (x) = f¨ ur 0 < x < L sonst • L¨osung muss im Außenbereich verschwinden, sonst w¨are Erwartungswert der potentiellen Energie Z ∞ dx V (x)|ψ(x)|2 hV i = −∞ unendlich • Schr¨odinger-Gleichung im Innenbereich − ~2 d2 ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 Allgemeine L¨osung ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) • Wellenfunktion muss stetig sein: ψ(0) = ψ(L) = 0 ψn (x) = A sin(kn x), kn = nπ , n = 1, 2, . . . L Richtig normiert: r ψn (x) =  πnx  2 sin L L ZEICHNUNG • Energiespektrum durch Einsetzen in Schr¨odinger-Gleichung En = π 2 ~2 2 n , n = 1, 2, . . . 2mL2 En ∝ n2 mag zun¨achst u ¨berraschen, da Energiel¨ ucken zwischen benachbarten Energie-Eigenwerten damit auch groß werden. 70 Aber relativ werden Abst¨ande kleiner En+1 − En 2n + 1 ∆En 2 = = → 2 En En n n • F¨ unf Beobachtungen – Tiefster Energiewert liegt nicht bei Null – Es gibt nur diskrete Energiewerte. Es gilt allgemein: Lokalisierte L¨osungen f¨ uhren u ¨ber Randbedingungen zu diskreten Energieeigenwerten – F¨ ur große Massen und breite T¨opfe ergibt sich Quasi-Kontinuum, der klassische Grenzfall – F¨ ur große n oszilliert ψn (x) sehr schnell. Teilchen in [x, x + ∆x] zu finden 2 p∆x (x) = L Z x+∆x dx sin2 x Wahrscheinlichkeit p∆x (x)  nπ  ∆x x ≈ , L L f¨ ur L  ∆x n – Verringerung von L erh¨oht die Energie: Es gibt einen Druck ¨ • E1 6= 0 ist in Ubereinstimmung mit der Unsch¨arferelation – W¨are E1 = 0 w¨are p scharf bestimmt. Dann m¨ usste ∆x = ∞ gelten. Geht aber bei beschr¨anktem System nicht ¨ – Uberschlagsrechnung ∆x ≈ L, damit ∆p ≈ ~/L ~2 2 die Grundzustandsenergie Dazu geh¨ort E = 2mL 2 , bis auf Faktor π • Beachte: – Durch Randbedingungen wird aus u ¨berabz¨ahlbar unendlich dimensionaler Schr¨odinger-Gleichung ein abz¨ahlbar unendlicher L¨osungsraum – Die ganze Rechnung geht ohne dass man u ¨ber ψ nachdenken muss ¨ Endlicher Potentialtopf als Ubung • Nichttriviale Anschlussbedingungen analog zur Potential-Barriere 71 • V (x) ist endlich, ψ(x) verschwindet außerhalb des Potentialtopfes nicht • V (x) macht bei x = ±a einen Sprung, also auch V (x)ψ(x) • Also macht d2 ψ(x) dx2 einen endlichen Sprung • Damit hat erste Ableitung einen Knick. • ψ(x) einmal stetig differenzierbar 4.4 Harmonischer Oszillator • Hamilton-Funktion des klassischen harmonischen Oszillators: H= mω 2 2 p2 + x 2m 2 • Zeitunabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung:   ~2 d2 mω 2 2 − + x ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 2 mit charakteristischer L¨ange r x0 = 4.4.1 ~ ωm ”Klassische” L¨ osung • F¨ uhre dimensionslose Gr¨oßen  und y ein = 2E , ~ω y= x , x0 u(y) = ψ(x(y)) (23) ergibt: d2 u(y) + ( − y 2 )u(y) = 0 dy 2 72 (24) • Betrachte u(y) f¨ ur y → ∞ u00 ≈ y 2 u, f¨ ur y 2   L¨osung: u(y) ∝ e±y 2 /2 , f¨ ur y → ±∞ d ±y2 /2 2 e = ±ye±y /2 dy d2 ±y2 /2 2 2 2 e = ±e±y /2 + y 2 e±y /2 ≈ y 2 e±y /2 , 2 dy f¨ ur y → ±∞ Normierbarkeit: Explodierende L¨osung ist raus • Ansatz: u(y) = v(y)e−y 2 /2 (25) Mit u00 = (v 00 − 2yv 0 − v + vy 2 ) e−y 2 /2 eingesetzt in Gl. (24) folgt Differentialgleichung f¨ ur v(y) v 00 − 2yv 0 + ( − 1)v = 0 (26) • Polynomansatz f¨ ur v(y) v(y) = ∞ X am y m (27) m=0 Damit diese Potenzreihe Gl. (26) erf¨ ullen kann muss der Koeffizient jeder Potenz y k verschwinden und es muss gelten: (k + 2)(k + 1)ak+2 − 2kak + ( − 1)ak = 0 oder die Rekursionsgleichung ak+2 = 2k + 1 −  ak (k + 2)(k + 1) 73 (28) Werden a0 , a1 und  festgelegt, ergibt sich Gl. (27) und damit L¨osung von Gl. (25) • Betrachte ak f¨ ur große und gerade k: k  1, k  , k = 2l 1 2 a2l = a2l k l a2l+2 ≈ 1 l! a2l ∝ =⇒ Damit folgt, f¨ ur y → ±∞ dominieren die hohen Potenzen: v(y) ≈ ∞ X 2l a2l y ∝ l=0 ∞ X (y 2 )l l=0 l! = ey 2 F¨ ur ungrade Potenzen, k = 2l + 1 entsprechend Damit wird Ansatz aus Gl. (25) nicht normierbar: u(y) = v(y)e−y 2 /2 2 ∝ ey e−y 2 /2 = ey 2 /2 • Ansatz Gl. (27) gescheitert ? 6. Woche • Einzige Rettung: Rekursion in Gl. (28) muss abbrechen Dies ist genau dann der Fall, wenn  einen der diskreten Werte n = 2n + 1, n = 0, 1, 2, . . . (29) annimmt. Dann bricht je nachdem entweder die gerade oder die ungrade Folge ab. Die jeweils andere wird durch a0 = 0, resp. a1 = 0 zum Schweigen gebracht. • Als L¨osung erhalten wir damit ein endliches Polynom Hn (y), das entweder grade oder ungrade ist und insgesamt u(y) = cn Hn (y)e−y 2 /2 Explizite niedrigste L¨osungen : – F¨ ur n = 0 ist 0 = 1 Aus a1 = 0 folgt a2l+1 = 0 Mit a0 6= 0 folgt a2 = 0+1−1 a0 = 0, a4 = a6 = . . . = 0 2·1 Damit 2 v(y) = H0 (y) = a0 , u(y) = c0 a0 e−y /2 74 – F¨ ur n = 1 ist 1 = 3 Mit a0 = 0 folgt a2l = 0 a1 = 0, a5 = a7 = . . . = 0 Aus a1 6= 0 folgt a3 = 2+1−3 3·1 Damit 2 v(y) = H1 (y) = a1 y, u(y) = c1 a1 ye−y /2 – F¨ ur n = 2 ist 2 = 5 Mit a1 = 0 folgt a2l+1 = 0 Aus a0 6= 0 folgt a2 = 0+1−5 a0 = −2a0 und a4 = 2·1 a6 = a8 = . . . = 0 Damit v(y) = H2 (y) = a0 (1 − 2y 2 ), 4+1−5 a2 4·3 =0 u(y) = c2 a0 (1 − 2y 2 )e−y 2 /2 • Diese endlichen Polynome, die Gl. (26) l¨osen, heissen Hermite-Polynome Richtig normiert: H0 (y) H1 (y) H2 (y) H3 (y) H4 (y) = = = = = 1 2y 4y 2 − 2 8y 3 − 12y 16y 4 − 48y 2 + 12 ¨ Finger¨ ubungen damit als Ubung • In aller Sch¨onheit: Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators     x x2 1 π −1/4 Hn exp − 2 ψn (x) = √ √ x0 2n n! x0 2x0 ZEICHNUNG Energieeigenwerte mit Gln. (23, 29):  En = 75 1 n+ 2  ~ω 4.4.2 Ableitung per Leiteroperatoren, algebraische Methode • Definiere Leiter-Operatoren a und a† , seinen adjungierten Operator ωmx + ip √ 2ωm~ ωmx − ip = √ 2ωm~ a = a† ¨ Beachte: a und a† sind nicht hermitesch, Beweis als Ubung • In Umkehrung r ~ (a + a† ) 2ωm r ~ωm p = −i (a − a† ) 2 (30) [a, a† ] = 1 q (32) x = (31) ¨ • Es gilt, Ubung • Mit charakteristischer L¨ange x0 = ~ ωm   1 x d + x0 a = √ dx 2 x0   1 x d † − x0 a = √ dx 2 x0 ¨ Mit Gln. (30, 31) ergibt sich Hamilton-Operator zu, Ubung 1 H = ~ω(a† a + aa† ) 2 • Addiere a† a − a† a, unter Benutzung des Kommutators, Gl. (32), folgt     1 1 1 † † † † † H = ~ω(a a + a a + aa − a a}) = ~ω a a + = ~ω n ˆ+ | {z 2 2 2 =1 ˆ := a† a mit Besetzungszahloperator n 76 • Aufgabe: Finde Eigenwerte und Eigenfunktionen, Fockzust¨ande, des Besetzungszahloperators. die sogenannten • Es sei ψν Eigenfunktion zum Eigenwert ν von n ˆ n ˆ ψν = νψν • Berechnung von ψ0 Aus νhψν |ψν i = hψν |ˆ nψν i = hψν |a† aψν i = haψν |aψν i ≥ 0 folgt ν≥0 Kleinstm¨oglicher Eigenwert: ν = 0 Um zugeh¨orige Eigenfunktion zu berechnen, beachte, dass Norm von aψ0 muss verschwinden: aψ0 = 0 (33) d.h.  d x + x0 x0 dx  ψ0 = 0 Normierte L¨osung dieser Differentialgleichung  ψ0 (x) = 1 √ πx0 −1/2 e − 12  x x0 2 • Berechnung der u ¨brigen Eigenfunktionen ¨ Es gilt, Ubung [ˆ n, a† ] = a† und [ˆ n, a] = −a Behauptung: a† ψν ist Eigenfunktion von n ˆ zum Eigenwert ν + 1 Beweis: 77 Addiere geschickt eine Null: ˆ + a† )ψν = (ν + 1)a† ψν n ˆ a† ψν = (a† n ˆ + |n ˆ a† {z − a† n ˆ})ψν = (a† n a† Damit a† ψν ∝ ψν+1 Normierung, wieder geschickt Null addieren ha† ψν |a† ψν i = hψν |aa† ψν i = hψν |(aa† − a† a + a† a)ψν i = hψν |(a† a + 1)ψν i = hψν |(ˆ n + 1)ψν i = = (ν + 1)hψν |ψν i > 0 Somit gilt f¨ ur normierte ψν und ψν+1 √ a† ψν = ν + 1 ψν+1 Iteriere 1 1 ψν = √ a† ψν−1 = √ (a† )n ψ0 ν ν! • Behauptung: aψν ist Eigenfunktion von n ˆ zum Eigenwert ν − 1 Beweis: n ˆ aψν = (aˆ n+n − aˆ n})ψν = (aˆ n − a)ψν = (ν − 1)aψν |ˆ a {z −a Damit aψν ∝ ψν−1 Normierung: haψν |aψν i = hψν |a† aψν i = νhψν |ψν i = ν ≥ 0, f¨ ur ν ≥ 0 ν = 0 hatten wir schon oben, Gl. (33) F¨ ur ν ≥ 1 aψν = 78 √ νψν−1 (34) • Behauptung: Mit ψν , ν = 0, 1, 2, . . . sind alle Eigenfunktionen gefunden Beweis durch Widerspruch: Nehme an, es g¨abe einen Eigenwert ν = n + α mit 0 < α < 1 und n ∈ N n ˆ ψν = (n + α)ψν Dann folgt mit Gl. (34) n ˆ (an ψν ) = α(an ψν ) und n ˆ (an+1 ψν ) = (α − 1)(an+1 ψν ) Norm von an+1 ψν existiert, aber α − 1 ist negativ. Widerspruch zur Positivit¨at der Eigenwerte • Zusammengefasst: Zustand Grundzustand ψ0 1. angeregter Zustand ψ1 = a† ψ0 2. angeregter Zustand ψ2 = (a† )2 ψ0 .. . ν 0 1 2 .. . E ~ω/2 3~ω/2 5~ω/2 .. . • a† erh¨oht Energieeigenwert um ~ω =⇒ Erzeugungsoperator eines Energiequantums a erniedrigt Energieeigenwert um ~ω =⇒ Vernichtungsoperator eines Energiequantums – a† und a zentral in der Quantenfeldtheorie – Dort werden auch die Felder quantisiert – Felder haben Moden, das sind im wesentlichen harmonische Oszillatoren – Diese k¨onnen angeregt, erzeugt, und abgeregt, vernichtet werden. – Stichwort: Zweite Quantisierung • Berechnung der Wellenfunktionen, Faktoren unterdr¨ uckt 1 1 ψν = √ a† ψν−1 = √ (a† )n ψ0 ν ν! 79 – Grundzustand: Von oben ψ0 ∝ e−x 2 /2 – Erster angeregter Zustand   d 2 2 2 2 † ψ1 ∝ a ψ0 ∝ x − e−x /2 = xe−x /2 − (−xe−x /2 ) = 2xe−x /2 dx – Zweiter angeregter Zustand   d 2 2 † ψ2 ∝ a ψ1 ∝ x − 2xe−x /2 = (4x2 − 2)e−x /2 dx – Allgemein ψn ∝ Hn (x)e−x 2 /2 ¨ In Ubereinstimmung mit Kap. 4.4 4.4.3 Nullpunktsenergie • Analog zum Potentialtopf: Klassisch ist niedrigste Energie des harmonischen Oszillators: E = 0 Quantenmechanisch: E = ~ω 2 • Berechnung des Unsch¨arfeprodukts ∆x∆p • Mittelwert und Varianz des Ortes hxi = hψn |xψn i ∝ hψn |(a + a† )ψn i ∝ hψn |ψn−1 i + hψn |ψn+1 i = 0 und (∆x)2 = hx2 i = ~ † hψn |(a2 + aa + a† a} +a†2 )ψn i = x20 (n + 1/2) {z | 2ωm =2ˆ n+1 • Analog f¨ ur den Impuls hpi ∝ hψn |(a − a† )ψn i = 0, 80 (∆p)2 = hp2 i = ~2 (n + 1/2) x20 Aus (∆x)2 (∆p)2 = hp2 ihx2 i ≥ ~2 4 folgt Ungleichung f¨ ur Energie E = hHi = hp2 i mω 2 ~2 1 hp2 i mω 2 2 + hx i ≥ + 2m 2 2m 2 4 hp2 i • Ableitung nach hp2 i liefert Bedingung f¨ ur Minimum 1 mω 2 ~2 1 ! − =0 2 2 2m 8 hp imin Somit: hp2 imin = m~ω 2 F¨ ur die Energie gilt E≥ m~ω mω 2 ~2 2 ~ω + = 4m 8 m~ω 2 Ergo: Nullpunktsenergie ist der kleinste Energiewert, der mit der Unsch¨arferelation vereinbar ist. 4.4.4 Vergleich mit klassischem Oszilllator • F¨ ur große Werte von n ist die Wellenfunktion ψn (x) an den R¨andern gr¨oßer als in der Mitte • Das entspricht klassischem Fall • Berechnung der klassischen Aufenthaltswahrscheinlichkeit x(t) = A sin ωt, dx = ωA cos ωt dt Damit dx = ωA cos ωt dt = ω p A2 − A2 sin2 ωt dt = ω 81 p A2 − x(t)2 dt oder dt = dx p 2 ω A − x(t)2 • Mit Periode T = 2π folgt f¨ ur relative Zeitspanne, die das Teilchen im Intervall ω dx ist, Faktor 2 f¨ ur hin und zur¨ uck dx dt = p T π A2 − x(t)2 ZEICHNUNG 4.4.5 Koh¨ arente Zust¨ ande • F¨ ur die station¨aren Zust¨ande ψn (x) gilt hxi = hpi = 0. Sie haben also nichts mit klassischer Oszillationsbewegung gemeinsam. • Ziel: Bestimme L¨osungen der zeitabh¨angigen Schr¨odinger-Gleichung, die eine periodische Bewegung darstellen • Betrachte normierte Eigenfunktionen φα des Vernichtungsoperators a aφα = αφα , • Mit α ∈ C, da nicht hermitesch 1 αn 1 hψn |φα i = √ h(a† )n ψ0 |φα i = √ hψ0 |an φα i = √ hψ0 |φα i n! n! n! und 1 ψn = √ (a† )n ψ0 n! folgt die Entwicklung von φα nach ψn ∞ ∞ X X αn (αa† )n † √ ψn = C φα = C ψ0 = Ceαa ψ0 n! n! n=0 n=0 Normierungskonstante C ergibt sich aus Orthonormalit¨at der ψn 1 = hφα |φα i = C 2 X |α|2n n 82 n! = C 2 e|α| 2 (35) zu C = e−|α| 2 /2 • F¨ ur die Zeitentwicklung Separationsansatz ψn (x, t) = ψn (x)e−i En t ~ umkehren Mit  1 En = ~ω n + 2 ergibt sich φα (x, t) = e −|α|2 /2  ∞ X (αe−iωt )n √ ψn (x)e−iωt/2 n! n=0 (36) oder φα (x, t) = φα(t) (x)e−iωt/2 , mit α(t) = αe−iωt φα (x, t) ist L¨osung der zeitabh¨angigen Schr¨odinger Gleichung und heißt koh¨arenter Zustand, Schr¨odinger 1926. Warum koh¨arent wird unten klar • Der Erwartungswert des Ortes im Zustand φα (x, t) ist zeitabh¨angig x0 x0 hxi = hφα(t) |x|φα(t) i = √ hφα(t) |(a + a† )φα(t) i = √ (α(t) + α∗ (t)) 2 2 • Mit α = |α|eiδ folgt hxi = √ 2x0 |α| cos(ωt − δ) Genau wie im klassischen Falle • Analog f¨ ur Impuls hpi = √ ~ 2 |α| sin(ωt − δ) x0 • Merke: Koh¨arenter Zustand ist ein Wellenpaket, dessen mittlerer Ort durch den Realteil und dessen mittlerer Impuls durch den Imagin¨arteil von α(t) festgelegt ist. 83 • Koh¨arente Zust¨ande zeigen minimale Unsch¨arfe – Erinnere ~ (a2 + aa† + a† a + a†2 ) 2ωm ~ωm 2 = (a − aa† − a† a + a†2 ) 2 xˆ2 = pˆ2 Berechne (∆x(t))2 = hx(t)2 i − hx(t)i2 (∆p(t))2 entsprechend – hx(t)i und hp(t)i haben wir schon – hx(t)2 i & hp(t)2 i sind sehr einfach zuberechnen Es tauchen Terme, Argumente und Faktoren unterdr¨ uckt, wie hφ|a2 |φi = hφ|aα|φi = hφ|α2 |φi = α2 – Es ergibt sich r ∆x = ~ , 2ωm r ∆p = ~ωm 2 und damit ~ 2 – Minimale Unsch¨arfe. Ergo: Koh¨arente Zustande sind Gauß’sches Wellenpaket ∆x∆p = – Ausgehend von † φα = Ceαa ψ0 unter Verwendung vom Baker-Hausdorff Formel f¨ ur Operatoren eA+B = eA eB e−[A,B] l¨aßt sich Wellenfunktion explizit berechnen. – F¨ ur die Wahrscheinlichkeitsdichte folgt ! √ 2 (x − x 2|α| cos(ωt − δ)) 1 0 exp − |φα (x, t)|2 = √ x20 πx0 Merke: Koh¨arenter Zustand ist ein Gauß’sches Wellenpaket, das mit der Zeit nicht zerfließt. Dies liegt am fine-tuning der Phasen in Gl. (36) 84 • Klassischer Grenzfall: – F¨ ur großes |α| folgt große Oszillationsamplitude, also der klassische Fall – Dann haben die Koeffizienten n0 = |α|2 αn n! in Gl. (35) ein scharfes Maximum bei – Relative Breite der beitragenden n-Werte nimmt ab wie 1 n − n0 ∝√ n0 n0 – Energie des koh¨arenten Zustands ist wegen n0 ≈ |α|2 hφα |H|φα i = ~ω|α|2 = mit A = mω 2 A2 2 √ 2x0 |α| der Amplitude der klassischen Schwingung. – Erinnere Ehrenfest Theorem (∆x)2 F 00 (hxi) 1 F (hxi) F¨ ur harmonischen Oszillator gilt F 00 = 0, daher funktioniert oszillatorisches Verhalten ohne jeden Limes • Koh¨arente Zust¨ande wichtig in der (Quanten-)Optik 4.4.6 Drei-dimensionaler Fall • Hamiltonoperator des drei-dimensionalen harmonischen Oszillators H=− ~2 mω 2 r2 ∆+ 2m 2 zerf¨allt in drei unabh¨angige Operatoren f¨ ur x-, y- und z-Bewegung • Damit ergibt sich Wellenfunktion Ψnx ,ny ,nz (x, y, z) als Produkt der eindimensionalen L¨osungen ψnx , ψny und ψnz . Ψnx ,ny ,nz (x, y, z) = ψnx (x)ψny (y)ψnz (z) 85 und die Energie zu  En = 3 nx + ny + nz + 2    3 ~ω = n + ~ω 2 mit Hauptquantenzahl n = nx + ny + nz • Außer Grundzustand sind alle Eigenwerte entartet n 0 1 2 3 Anzahl Eigenfunktionen 1 3 6 10 Quantenzahlen (0,0,0) (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) (2,0,0) (0,2,0), . . . , (1,1,0) . . . (3,0,0), . . . , (2,1,0) . . . (1,1,1) • Anwendung: Schalenmodell des Atomkerns – Protonen Z und Neutronen N , Pauli-Prinzip – Insgesamt vier Nukleonen pro Zustand – 3-dimensionaler Oszillator als einfachste N¨aherung – Empirisch: Ist eine Schale abgeschlossen, ist sie besonders stabil – Modell erkl¨art die magischen Zahlen Z = N = 2, 8, 20, ... Atomkerne von 4 He, 16 O und 40 Ca sind besonders stabil – Analog zu abgeschlossenen Elektronenschale bei Edelgasen 7. Woche 4.5 Periodische Potentiale Zentral f¨ ur Festk¨orperphysik, Kristall mit Gitterkonstante a zwischen Atomen • Sei V (x) periodisches Potential mit V (x + a) = V (x) H(x + a) = − ~2 d2 + V (x + a) = H(x) 2m dx2 ¨ Definiere Verschiebungsopterator Ta , erinnere Ubung Ta ψ(x) := ψ(x + a) 86 • Berechne Kommutator von H und Ta Ta H(x)ψ(x) = H(x + a)ψ(x + a) = H(x)Ta ψ(x) Damit [Ta , H] = 0 • Explizite Darstellung des Verschiebungsoperators X 1 dn ~ d ψ(x + a) = ψ(x) an , pˆ = n n! dx i dx n   n X 1 iaˆ p ψ(x) = n! ~ n Ta =: Ta ψ(x)   iaˆ p = exp ~ Impulsoperator wirkt als Erzeugende der Translation Damit [Ta , H] = 0 sofort klar, da Ta mit kinetischer Energie vertauscht und potentielle Energie periodisch ist. • Floquet-Bloch Theorem Betrachte Eigenwertgleichung Ta ψ(x) = λa ψ(x) Mit T−a Ta ψ(x) = Ta T−a ψ(x) = ψ(x) folgt λa λ−a = 1 =⇒ λa = eσa Betrachte u(x) := e−σx ψ(x) Es folgt: Ta u(x) = u(x + a) = e−σ(x+a) Ta ψ(x) = e−σ(x+a) eσa ψ(x) = e−σx ψ(x) = u(x) Ergo: u(x) ist Eigenfunktion von Ta : u(x + a) = u(x) und damit periodisch 87 • Wegen Periodizit¨at |ψ(x + a)|2 = |ψ(x)|2 =⇒ eσa = eiqa , q∈R folgt das Floquet-Bloch Theorem: In einem periodischen Potential ist die Wellenfunktion gegeben durch ψ(x) = eiqx u(x), mit u(x + a) = u(x) Beispiel: Kronig-Penney Modell mit periodischem δ-Potential • Betrachte Potential: n=∞ X V (x) = −V0 δ(x + na), V0 > 0 n=−∞ Im Bereich 0 < x < a ist V (x) = 0 ψ(x) = Aeikx + Be−ikx , mit k 2 = 2mE ~2 • Nun gilt mit Floquet-Bloch Theorem mit folgt ψ(x − a) u(x) ψ(x − a) ψ(x) = = = = eiq(x−a) u(x − a) = eiq(x−a) u(x) ψ(x) e−iqx ψ(x) e−iqa eiqa ψ(x − a) Also gilt im Bereich a < x < 2a ψ(x) = eiqa (Aeik(x−a) + Be−ik(x−a) ) 88 • Wellenfunktion in a stetig, aber Ableitung nicht Z a+ 0= dx Eψ(x) + a− ~2 d2 ψ(x) + V0 δ(x − a)ψ(x) 2m dx2 F¨ ur  → 0 folgt d 2m d ψ(a + 0) − ψ(a − 0) = − 2 V0 ψ(a) dx dx ~ • Zwei Anschlussbedingungen bei a Stetigkeit: Aeika + Be−ika = eiqa (A + B) Ableitung: eiqa (ikA − ikB) − (ikAeika − ikBe−ika ) + 2m V0 (Aeika + Be−ika ) = 0 ~2 Matrixschreibweise:    eiqa − eika e−ika − eiqa A =0 ik(eiqa − eika ) + 2m V eika −ik(eiqa − eika ) + 2m V e−ika B ~2 0 ~2 0 Determinante muss verschwinden
2m 0 = −ik 2ei(k+q)a − 2 − 2e2iqa + 2ei(q−k)a + 2 V0 (eika − e−ika )eiqa ~ Multipliziere mit e−iqa , dividiere durch −4ik, ... cos(qa) = cos(ka) − amV0 sin(ka) =: f (ka) ~2 ka • Beachte: Linke Seite hat Werte in [−1, 1] Ergo: Gleichung hat nur eine L¨osung, wenn f (ka) auch im Bereich [−1, 1] liegt. • Erinnere k 2 = 2mE ~2 Betrachte E < 0, gebundene Zust¨ande k = iβ, β = |2mE/~|2 ∈ R+ 89 Mit sin(iγ) = i sinh γ, cos(iγ) = cosh γ, folgt f (iβa) = cosh(βa) − amV0 sinh(βa) ~2 βa monoton wachsende Funktion, die bei β0 a gr¨osser als 1 wird. Damit |E| = β 2 ~2 ~2 < β02 = Emin 2m 2m ZEICHNUNG Es sind keine beliebig tiefen Energien erlaubt • Betrachte E > 0 f (ka), Einsstellen liegen bei ka = x mit cos x − amV0 sin x =1 ~2 x ZEICHNUNG f¨ ur f (ka) Es entstehen Energieb¨ander ZEICHNUNG f¨ ur E(ka) Energieb¨ander spielen zentrale Rolle in der Festk¨orperphysik, Stichworte: Leitungsband, Valenzband ¨ Ubung: Kronig-Penney Modell mit periodischem Kastenpotential 90 Lessons learned: • Quantenmechanische Dispersion: (freie) Wellenpakete zerfliessen • Tunneleffekt als Wellenph¨anomen • Diskrete Energien im Potentialtopf und beim harmonischen Oszillator ¨ • Jeweils Nullpunktsenergien in Ubereinstimmung mit der Unsch¨arferelation • Harmonischer Oszillator: (Nicht-hermitesche) Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren werden wichtig in Quantenfeldtheorie • Harmonischer Oszillator: Koh¨arente Zust¨ande, Ehrenfest-Theorem und klassischer Grenzfall • Periodische Potentiale: Energieb¨ander in der Festk¨orperphysik 5 Drehimpuls • In ≥ 2 Dimensionen zus¨atzlich zu Translation auch Rotation. Speziell wichtig f¨ ur Atomphysik. • Klassischer Drehimpuls ~ = m~r × ~v = ~r × p~ L • Rotation in x-y -Ebene Lz = xpy − ypx 5.1 Der quantenmechanische Drehimpuls Betrachte Lz • Korrespondenz-Prinzip: Ersetze die klassischen Impulse durch die entsprechenden Operatoren 91 pˆx = ~ ∂ , i ∂x ~ ∂ i ∂y pˆy = ˆz • Damit Operator L  ˆz = ~ L i ∂ ∂ x −y ∂y ∂x  ~ˆ = (L ˆ x, L ˆy, L ˆ z )T mit • Rotation um beliebige Achse: L ˆx = ~ L i  ∂ ∂ y −z ∂z ∂y  , ˆy = ~ L i  ∂ ∂ z −x ∂x ∂z  Erinnere Kap. 4.5: Impulsoperator war Erzeugende der Translation • Betrachte Drehung um x-Achse um Winkel α     1 0 0 x0 x  y 0  =  0 cos α − sin α   y  = z0 0 sin α cos α z  F¨ ur infinitesimalen Winkel α =  folgt x0 = x, y 0 = y − z, z 0 = z + y • F¨ ur Funktion ψ(x, y, z) folgt: ψ(x0 , y 0 , z 0 ) = ψ(x, y − z, z + y)   ∂ ∂ = 1 − z + y ψ(x, y, z) ∂y ∂z   i = 1 + Lx ψ(x, y, z) ~ Der Drehimpuls-Operator ist Erzeuger der Drehung • Endliche Drehung R(α)  R(α) = exp 92 iα Lx ~  Kommutatoren ˆ x, L ˆy] = L ˆ xL ˆy − L ˆ xL ˆy • Kommutator [L ˆ xL ˆy L    ∂ ∂ ∂ ∂ −z z −x = −~ y ∂z ∂y ∂x ∂z  2   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    = −~2 y z −y x −z z +z x  ∂z ∂x ∂z ∂z ∂y ∂x ∂y ∂z   |{z} =1+z ∂ ∂z   ∂ ∂ ∂ ∂2 ∂ ∂ 2 2 ∂ ∂ = −~ y + yz − yx 2 − z + zx ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y ∂x ∂y ∂z und ˆyL ˆx L    ∂ ∂ ∂ ∂ −x −z = −~ z y ∂x ∂z ∂z ∂y   ∂2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 ∂ ∂ = −~ zy −z − xy 2 + x + xy ∂x ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y 2 • Damit Kommutator ˆ x, L ˆy] = L ˆ xL ˆy − L ˆ xL ˆy [L     ∂ ∂ ∂ ~ ∂ 2 ˆz −x −y = −~ y = i~ x = i~L ∂x ∂y i ∂y ∂x Wie in der Klassischen Mechanik: Drehungen um verschiedene Achsen vertauschen nicht • Merke: ˆ x, L ˆ y ] = i~L ˆz [L Entsprechend ˆy, L ˆ z ] = i~L ˆx [L ˆz, L ˆ x ] = i~L ˆy [L Dies impliziert Unsch¨arferelationen 93 ˆ i nicht kommutieren, kann immer nur eine Komponente des Drehim• Da die L pulses scharf gemessen werden. ˆ2 Betrachte Quadrat des Drehimpulsoperators L ˆ 2: • L ˆ2 = L ~ˆ · L ~ˆ = L ˆ2 + L ˆ2 + L ˆ2 L x y z • Es gilt ˆ 2, L ˆ x ] = [L ˆ 2, L ˆ y ] = [L ˆ 2, L ˆz] = 0 [L ˆ 2 und L ˆ i kommutieren. Daher k¨onnen L ˆ 2 und einer der L ˆ i s simultan diago• L nalisiert und ohne Unsch¨arfe gemessen werden. • Alle Kommutator-Relationen gelten auch f¨ ur den Spin von Elementarteilchen, siehe Kap. 8 Kugel-(sph¨arische-)Koordinaten und Zylinder-Koordinaten • Azimutwinkel φ: 0 ≤ φ ≤ 2π • Polarwinkel θ : 0 ≤ θ ≤ π p • Radius r: x2 + y 2 + z 2 • ZEICHNUNG • Kugelkoordinaten: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ • Zylinderkoordinaten in x-y-Ebene x = r cos φ y = r sin φ z = z mit r = p x2 + y 2 94 ˆ z in Zylinderkoordinaten Berechnung von L ˆ z in kartesischen Koordinaten • Ausgangspunkt: L   ∂ ∂ ~ ˆ x −y Lz = i ∂y ∂x • F¨ ur Funktion f (x, y) = f (x(φ), y(φ)) gilt df ∂f ∂x ∂f ∂y = + dφ ∂x ∂φ ∂y ∂φ • Mit ∂x = −r sin φ = −y ∂φ ∂y = r cos φ = x ∂φ folgt ∂f ∂f ∂f = −y +x ∂φ ∂x ∂y und damit ∂ ∂ ∂ =x −y ∂φ ∂y ∂x ˆ z in Zylinder- (und Kugel-) Koordinaten: Folglich, L ˆz = ~ ∂ L i ∂φ ¨ • Ubung: Zeige, dass in Kugelkoordinaten gilt:     1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 2 ˆ L = −~ sin θ + sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂φ2 ¨ Ubung: Auf Grund von welchem mathematisch-intuitiven Argument kommu2 ˆ ˆz ? tieren L und L 95 5.2 ˆz Eigenfunktionen von L ˆz Betrachte Eigenwert-Gleichung von L • Beispiel f¨ ur Quantisierung ˆ z ψ(φ) = ~ ∂ ψ(φ) = λψ(φ) L i ∂φ • L¨osung durch Hingucken i ψ(φ) = Ae ~ λφ • Es muss gelten i ψ(φ + 2π) = e ~ λ2π ψ(φ) = ψ(φ) Dies f¨ uhrt zur Quantisierung: i e ~ λ2π = 1 = ei2πm → i λ2π = i2πm, ~ m = 0, ±1, ±2, . . . ˆx • Damit Eigenwerte λ und Eigenfunktionen ψm von L λ = m~, m = 0, ±1, ±2, . . . ψm (φ) = Am eimφ Energie der zweidimensionalen Bewegung • Klassische Formel der Rotationsenergie in der x-y-Ebene H= 1 L2z = L2z , 2 2mr 2I I = mr2 das Tr¨agheitsmoment Siehe Analogie zur freien Bewegung: E = p2 2m • Quantenmechanisch: ˆ = 1L ˆ2 H 2I z 96 • Eigenwertgleichung: 1 ˆ2 L ψ=E ψ 2I z Aus ˆ z ψ = m~ ψ L folgt ˆ 2z ψ = m2 ~2 ψ L ˆ z sind auch Eigenfunktionen von H ˆ mit • Ergo: Die Eigenfunktionen ψ(φ) von L den Eigenwerten Em = ~2 2 m 2I Merke: • Drehimpuls-Eigenfunktionen sind auch Energie-Eigenfunktionen • Zust¨ande mit m 6= 0 sind zweifach entartet, die beiden Eigenfunktionen entsprechen den entgegengesetzen Drehsinnen • Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Drehimpulseigenzustand ist |ψm (φ)|2 = |Am |2 , damit unabh¨anhig von φ =⇒ Kenntnis von Drehimpuls schließt Kenntins des Ortes aus. 5.3 ˆ2 Eigenfunktionen von L ˆ 2 ergibt: • Die Eigenwert-Gleichnung des Operators L ˆ 2 Ylm (θ, φ) = ~2 l(l + 1)Ylm (θ, φ), L l≥0 mit ˆ2 2 L = −~  1 ∂ sin θ ∂θ    ∂ 1 ∂2 sin θ + ∂θ sin2 θ ∂φ2 97 • Ergebnis 1/2 2l + 1 l − |m|! |m| Ylm (θ, φ) = Pl (cos θ) eimφ 4π l + |m|! dm Plm (x) = (1 − x2 )m/2 m Pl (x) dx 1 dl 2 Pl (x) = l (x − 1)l 2 l! dxl  mit l = 0, 1, 2, . . . m = −l, . . . , 0, . . . , l Drehimpulsquantenzahl magnetische Quantenzahl und – Ylm (θ, φ) : Kugelfl¨achenfunktionen – Plm (x) : Legendre-Funktionen – Pl (x) : Legendre-Polynome ¨ Ubung zu Legendre-Polynomen • Es gilt ∗ Yl,−m (θ, φ) = Ylm (θ, φ) und ˆ z Ylm (θ, φ) = m~ Ylm (θ, φ) L ˆ z und L ˆ 2 . Das geht, da L ˆ z und L ˆ 2 kommutieren. Ylm sind Eigenfunktionen von L • Drehimpulseigenfunktionen Ylm bilden orthonormales und vollst¨andiges System von Eigenfunktionen Z 2π Z 1 ∗ (θ, φ)Yl0 m0 (θ, φ) = δll0 δmm0 dφ d cos θ Ylm 0 0 • Quantenmechanischer Drehimpuls wird durch die Quantenzahlen l und m beschrieben: – l legt Betrag des Drehimlupses fest: L2 = l(l + 1)~2 – m legt Projektion auf z-Achse fest: Lz = m~ 98 – Beispiel l = 2 √ L p = 2(2 + 1) = 6, ~ m = −2, −1, 0, 1, 2 ZEICHNUNG Das ergibt folgende Eigenfunktionen √ • l = 0, m = 0 liefert Y00 = 1/ 4π Kugelf¨ormige Wellenfunktion, genannt s-Orbital. Radialabh¨angigkeit n¨achstes Kapitel ZEICHNUNG • l = 1, m = 0 liefert Y10 = p 3/4π cos θ Das pz -Orbital ZEICHNUNG • l = 1, m = ±1 liefert Y1,±1 = − p 3/8π sin θe±iφ Durch Linearkombination zu reellen Orbitalen r 1 3 − √ (Y11 + Y1,−1 ) = sin θ cos φ px − Orbital 4π 2 r 1 3 sin θ sin φ py − Orbital − √ (Y11 − Y1,−1 ) = 4π 2 ZEICHNUNG Energie der drei-dimensionalen Rotation • Klassisch H= 1 1 L2 = L2 2 2mr 2I Ergibt quantenmechanisch ˆ = 1L ˆ2 H 2I 99 • Eigenfunktionen Ylm sind also auch Eigenfunktionen der Schr¨odinger-Gleichung f¨ ur die drei-dimensionale Rotation 2 ˆ lm = ~ l(l + 1)Ylm HY 2I Die Energieeigenwerte El = ~2 l(l + 1) 2I ~ zur h¨angen nicht von m ab, sind damit unabh¨angig von Orientierung von L z-Achse • Wegen m = −l, . . . , 0, . . . l gibt es zu jedem Eigenwert 2l + 1 Eigenfunktionen, El ist 2(l + 1)-fach entartet Rotationsspektroskopie • Durch elektromagnetische Strahlung der Energie ~ω, Bereich Mikrowellen, ¨ k¨onnen Uberg¨ ange zwischen benachbarten Rotationsniveaus induziert werden ~ω = El+1 − El = ~2 (l + 1), I l = 0, 1, 2, . . . Absorptionsspektroskopie: Aus einer Richtung kommend, in alle Richtungen abstrahlen • Rotationsspektrum weist ¨aquidistante Linien bei ~ω = ~2 ~2 ~2 , 2 , 3 ,... I I I auf Damit l¨aßt sich Tr¨agheitsmoment eines Molek¨ uls bestimmen 8. Woche Kurzklausur 100 5.4 Eigenwerte von Drehimpulsoperatoren Die Bedingungen f¨ ur die Quantenzahlen l und m l = 0, 1, 2, . . . , m = 0, ±1, ±2, . . . ergaben sich oben als L¨osung der Eigenwert-Gleichung f¨ ur L2 Hier: Rein algebraische Ermittlung von m¨oglichen Eigenwerten, d.h. vergiss alles außer [Lx , Ly ] = i~Lz und zyklisch, [L2 , Li ] = 0 • Definiere die Operatoren L± = Lx ± iLy Diese haben folgende Eigenschaften (L± )† = L∓ [Lz , L± ] = i~Ly ± ~Lx = ±~L± [L+ , Li ] = −2i[Lx , Ly ] = 2~Lz [L2 , L± ] = 0 L2 = L+ L− − ~Lz + L2z = L− L+ + ~Lz + L2z ¨ Beweise als Ubung • Es sei ψlz Eigenfunktion von Lz Lz ψlz = lz ψlz Mit Gl. (38) folgt Lz L± ψlz = L± Lz ψlz ± ~L± ψlz oder Lz (L± ψlz ) = (lz ± ~)L± ψlz • Interpretation: 101 (37) (38) (39) (40) – Ist ψlz Eigenfunktion zu Lz mit Eigenwert lz , dann ist L± ψlz Eigenfunktion zu Lz mit Eigenwert lz ± ~ – L± erh¨oht/erniedrigt Eigenwert lz um ~ – Beachte Analogie zu Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren a† und a • Bezeichne Eigenfunktionen von L2 und Lz als ψlm und repr¨asentiere Eigenwertgleichungen als L2 ψlm = ~2 l(l + 1) ψlm , l ∈ R+ Lz ψlm = ~m ψlm , m∈R Offensichtlich l¨asst sich jeder der Eigenwerte des positiv semidefiniten Operators L2 und des Operators Lz so darstellen13 . Beachte: Wegen l ∈ R+ und m ∈ R ist dies allgemeinster Ansatz, wir h¨atten auch L2 ψlm = λ1 ψlm , Lz ψlm = λ2 ψlm , λ1 ∈ R+ λ2 ∈ R schreiben k¨onnen • Damit L± ψlm ∝ ψl,m±1 • Mit Gl. (39) folgt L2 (L± ψlm ) = L± L2 ψlm = ~2 l(l + 1)(L± ψlm ) Ergo: L± ψlm ist Eigenfunktion von L2 zum gleichen Eigenwert wie ψlm • Betrachte die Norm von L± ψlm , verwende Gln. (37, 40), ψlm sei normiert hL± ψlm |L± ψlm i = hψlm |L∓ L± ψlm i = hψlm |(L2 − L2z ∓ ~Lz )ψlm i = ~2 (l(l + 1)) − m2 ∓ m) Damit folgt p L± ψlm = ~ (l(l + 1)) − m(m ± 1)ψl,m±1 13 Nachtigall, ick h¨ or Dir trabsen 102 Da Norm nicht negativ hL± ψlm |L± ψlm i = ~2 (l(l + 1)) − m(m ± 1) ≥ 0 (41) Daher gilt: f¨ ur m > 0 : l(l + 1) ≥ m(m + 1) f¨ ur m < 0 : l(l + 1) ≥ m(m − 1) = (−m)(−m + 1) = |m|(|m| + 1) Zusammen l(l + 1) ≥ |m|(|m| + 1) und damit |m| ≤ l • Sie nun l fester Wert und M das maximale zugeh¨orige m ≤ l Damit L+ ψlM nicht Eigenfunktion mit gr¨oßerem Eigenwert M + 1 ist, muss gelten L+ ψlM = 0 Aus Normierungsgleichung (41) folgt sofort l(l + 1) = M (M + 1) und damit M = l • Analog: Sei µ minimales m Damit L− ψlµ nicht Eigenfunktion mit kleinerem Eigenwert µ − 1 sein kann, muss L− ψlµ = 0 gelten und damit µ = −l. • Nun lassen sich rekursiv alle Werte von m gewinnen L− ψll ∝ ψl,l−1 , (L− )2 ψll ∝ L− ψl,l−1 ∝ ψl,l−2 , ... Damit dies am Ende auf −l f¨ uhrt, muss l − k = −l, wobei k eine nat¨ urliche Zahl ist Daraus folgt: l = k2 , k ∈ N • Knaller 1: Allein aus der algebraischen Struktur der Vertauschungsrelationen f¨ ur den Drehimpuls folgt f¨ ur das Eigenwertspektrum, dass es nur zwei M¨oglichkeiten gibt Entweder : l = 0, 1, 2, 3. . . . 103 1 3 5 oder l = , , , . . . 2 2 2 mit den zugeh¨origen Werten f¨ ur m in ganzzahligen Schritten m = l, l − 1, . . . , −l + 1, −l • Knaller II: Ganzzahlige Drehimpulse von Natur bei Bahndrehimpuls genutzt. Frage: Halbzahlige Drehimpulse auch genutzt ? Ja, beim Spin, Kap. 8. Lessons learned: • Drehimpuls-Operator ist infinitesimale Erzeugende der Drehung • [Lx , Ly ] = i~Lz und zyklisch • [Li , L2 ] = 0, simultan diagonalisierbar, gleichzeitig scharf messbar, gleiche Eigenfunktionen • Drehimpulseigenwerte k¨onnen nur ganz- oder halbzahlig sein • Bahndrehimpuls realisiert ganzzahlige Drehimpulseingenwerte 6 Wasserstoffatom 6.1 Hamiltonian • Vom Zweik¨orper-Problem zum Eink¨orper-Problem – Schwerpunkts- und Relativbewegung separieren – Reduzierte Masse, im wesentlichen unver¨andert • Klassischer Hamiltonian H= p2 e2 1 p − 2 2m 4π0 x + y 2 + z 2 Quantenmechanisch: 2 ˆ =−~ H 2m  ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 104  − e2 1 p 4π0 x2 + y 2 + z 2 • Da V nur vom Radius |r| abh¨angt, V ist Zentralfeld, gehe in Kugelkoordinaten: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ Damit V (r) = − e2 1 4π0 r • Operator f¨ ur kinetische Energie Tˆ in Kugelkoordinaten: ~2 Tˆ = − 2m  1 ∂ r r ∂r 2 ~2 − 2mr2  1 ∂ sin θ ∂θ  ∂ sin θ ∂θ  1 ∂2 + sin2 θ ∂φ2  Merke: In Kugelkoordinaten ist Berechnung des Potentials einfacher, Berechnung der kinetischen Energie aber schwieriger. • Mit  1 ∂ sin θ ∂θ ~2 ˆ T =− 2m 1 ∂ r r ∂r ˆ 2 = −~2 L    ∂ 1 ∂2 sin θ + ∂θ sin2 θ ∂φ2 folgt  2 ˆ2 ˆ2 L L ˆ + = Tr + 2mr2 2mr2 Tr : Kinetische Energie der Radialbewegung ˆ2 L : 2mr2 Kinetische Energie der Winkelbewegung • Somit der allgemeine Hamilton-Operator f¨ ur Zentralpotentiale ˆ2 ˆ = Tˆr + V (r) + L H 2mr2 Hier 2 ˆ2 ˆ = Tˆr − e 1 + L H 4π0 r 2mr2 ¨ Ubung: SO(4) - Symmetrie 105 6.2 L¨ osung der Schr¨ odinger-Gleichung • L¨ose ˆ Hψ(r, θ, φ) = Eψ(r, θ, φ) Eigenfunktionen von Term ˆ2 L 2mr2 bekannt: Kugelfl¨achenfunktionen Ylm • Separationsansatz ψ(r, θ, φ) = R(r)Ylm (θ, φ) Damit ˆ2 L Tr + V (r) + 2mr2 • Mit ! R(r)Ylm (θ, φ) = ER(r)Ylm (θ, φ) ˆ2 ~2 l(l + 1) L R(r)Y (θ, φ) = R(r)Ylm (θ, φ) lm 2mr2 2mr2 folgt   ~2 l(l + 1) Tr + V (r) + R(r)Ylm (θ, φ) = ER(r)Ylm (θ, φ) 2mr2 Teile durch Ylm (θ, φ), ergibt Radialgleichung ~2 − 2m  1 ∂ r r ∂r 2 ! ~2 l(l + 1) + + V (r) R(r) = ER(r) 2mr2 eine gew¨ohnliche Differentialgleichung 2. Ordnung • Transformation: R(r) = Mit  1 ∂ r r ∂r 2 u(r) r u(r) 1 ∂2 = u(r) r r ∂r2 folgt 1 r   ~2 ∂ 2 ~2 l(l + 1) e2 1 u(r) − + − u(r) = E 2m ∂r2 2mr2 4π0 r r 106 1 streichen r (42) und damit die u ¨bliche Form der eindimensionalen Schr¨odinger-Gleichung   ~2 d2 − + Veff (r) u(r) = Eu(r) 2m dr2 mit dem effektiven Potential der Radialbewegung e2 1 ~2 l(l + 1) 1 Veff (r) = − + 4π0 r 2mr2 r2 ganz in Analogie zur Klassischen Mechanik mit abstoßendem Zentrifugalterm ZEICHNUNG • Randbedingungen – Fall r → ∞ Aus Normierbarkeit Z 3 2 Z ∞ r2 d x |ψ(x)| = 0 folgt lim |u(r)| ≤ r→∞ u(r) muss st¨arker abfallen als 1 |u(r)|2 < ∞ r2 a r1/2+ mit  > 0 √1 r – Fall r = 0 F¨ ur V (r) 6= δ(x) gilt u(0) = 0, denn sonst ∆ψ(0) = ∆|r=0 u(r) = δ(x)u(0) r Diese f¨ uhren ganz analog zum Harmonischen Oszillator wieder zur Quantisierung, Radial- oder Hauptquantenzahl • Schema der L¨osung – Grenzfall r → 0: Gl. (42) geht u ¨ber in   ~2 ∂ 2 ~2 l(l + 1) − + u(r) = E u(r) 2m ∂r2 2mr2 107 L¨osung u(r) = Arl+1 + Br−l B-Term wegen Randbedingung raus Ansatz u(r) = rl+1 (a0 + a1 r + . . .) – Grenzfall r → ∞: Gl. (42) geht u ¨ber in − ~2 ∂ 2 = E u(r) 2m ∂r2 L¨osung u(r) = Ce−gr – Vereinigter Ansatz u(r) = rl+1 e−gr w(r) (43) Einsetzen in Gl. (42) gibt Differentialgleichung f¨ ur w(r) – Jetzt ganz analog zum harmonischen Oszillator: P – Potenzreihenansatz w(r) = i ai ri – Eingesetzt: Rekursionsgleichung f¨ ur Koeffizienten – Divergierende L¨osung: Reihe muss abbrechen – Quantisierungsbedingung • Energieeigenwerte: En = −Ry 1 , n2 mit Rydberg-Konstante Ry = µe4 = 13.67eV, 32π 2 20 ~2 µ= mp me mp + me Kugelsymmetrie: Energieeigenwerte unabh¨angig von m SO(4) Symmetrie des 1r -Potentials Energieeigenwerte auch unabh¨angig von l ¨ Beweis als Ubung 108 • Eigenfunktionen ψnlm (r, θ, φ) = Anl Rnl (r)Ylm (θ, φ) Normierungsfaktor Anl  Anl = (n − l − 1)! αn3 2n((n + l)!)3  αn = 2 na0 mit Bohr’schem Atomradius a0 a0 = 4π0 ~2 = 5.2917 · 10−11 m ≈ 0.5˚ A me2 Radial-Wellenfunktionen, erinnere Ansatz Gl. (43) 2l+1 Rnl = (αn r)l e−αn r/2 Ln−l (αn r) mit den Laguerre-Polynomen Lsm (x) = m−s X (−1)k+s k=0 (m!)2 xk k!(k + s)(m − k − s) • Struktur der Radial-Wellenfunktionen: Rnl (r) ∝ e−r · Polynom(r) mit n − l − 1 Nullstellen Radiale Wahrscheinlichkeitsdichte: r2 Rnl (r) FOLIE • Man zeigt leicht hri ∝ n2 , f¨ ur große n • Konvention: Eigenfunktionen zu l = 0, 1, 2, 3 werden als s-, p-, d- und f-Orbitale bezeichnet • Aus Normierungsfaktor Anl folgt, beachte: 0! = 1 n − l − 1 ≥ 0, resp. l ≤ n − 1 Damit ergibt sich f¨ ur die Quantenzahlen 109 n l 1 0 2 0 1 0 3 1 2 4 ... m 0 0 0, ±1 0 0, ±1 0, ±1, ±2 ... Entartungsgrad 1 4-fach 9-fach 16-fach F¨ ur den Entartungsgrad gn gilt: n−1 X gn = (2l + 1) = n2 l=0 Spektroskopie am Wasserstoffatom • Spektroskopie misst Energiedifferenzen zwischen Zust¨anden EPhoton = ~ω = ∆EAtom = Ei − Ef folgt ~ω = Ry 1 1 − 2+ 2 ni nf ! • Wichtigste F¨alle nf = 1 ni = 2, 3, . . . Lyman-Serie nf = 2 ni = 3, 4, . . . Balmer-Serie nf = 3 ni = 4, 5, . . . Paschen-Serie im UV im Sichtbaren im Infrarot Abschlußbemerkungen: • Dass es drei Quantenzahlen gibt sollte nicht u ¨berraschen, da es sich um ein drei-dimensionales Problem handelt • Wie gehabt: Grundzustandsenergie vertr¨agliche Energie 110 minimale mit Unsch¨arferelation • Klassischer Grenzfall: Es lassen sich Wellenpakete konstruieren, die lokalisiert sind und dem 3. Kepler’schen Gesetz T 2 ∝ r3 gehorchen • Korrekturen – Feinstrukturkonstante: α= e20 1 ≈ ~c 137 – Relativistische Korrekturen ergeben Feinstruktur, Stichworte: Relativistische kinetische Energie, Darwin-Term und Spin-Bahn-Kopplung. Effektgr¨oße: α2 – Quantenfeldtheorie: Lamb-Verschiebung. Effektgr¨oße: α3 log α – Wechselwirkung Elektron und Kernspin: Hyperfeinstruktur. Effektgr¨oße: me /mK ≈ 1/2000 – Folie ¨ – Theorie und Experiment: Beliebig gute Ubereinstimmung Lessons learned: • Separationsansatz nach Winkeln und Radius ˆ 2 Eigenfunktionen • Winkelanteil aus L • L¨osung Radialgleichung analog zum harmonischen Oszillator. • Quantisierung der Hauptquantenzahl n aus Radialgleichung • Hauptquantenzahlen sind entartet • Entartungen werden durch relativistische, Kernspin-Effekte aufgehoben. 7 quantenfeldtheoretische und Bewegung im (elektro)magnetischen Feld Betrachte Teilchen mit Masse m und Ladung e im elektromagnetischen Feld 111 7.1 Magnetismus, Zeeman-Effekt & Landau-Niveaus • Hamilton-Funktion 1  e 2 p − A + eV 2m c mit Vektorpotential A und skalarem Potential V H= • Erinnere Klassische Mechanik: p ist der kanonische Impuls, mx˙ = p − ec A ist kinetischer Impuls • Es gilt [ˆ xi , pˆj ] = i~δij , [ˆ xi , xˆj ] = [ˆ pi , pˆj ] = 0 e [ˆ xi , mxˆ˙j ] = i~δij , [mˆ˙xi , mˆ˙xj ] = i~ ijk Bk c Das nicht-kommutieren der kinetischen Impulse hat wichtige Konsequenzen • Korrespondenz-Prinzip ergibt Schr¨odinger-Gleichung ∂ i~ ψ = ∂t 1 2m  ! 2 e ~ ∇ − A + eV ψ i c Multipliziere Quadrat aus, verwende Coulomb-Eichung ∇A = 0, ergibt ∂ ~2 2 i~e e2 i~ ψ = − ∇ ψ+ A∇ψ + A2 ψ + eV ψ 2 ∂t 2m mc 2mc • W¨ahle konstantes Magnetfeld B||ez 1 A = − (x × B) 2 Betrachte A abh¨angige Terme: • 2. Term RHS i~e i~e 1 A · ∇ψ = − (x × B) · ∇ψ mc mc 2 i~e e = − (x × ∇) · Bψ = − L · Bψ 2mc 2mc Dies liefert einen14 Beitrag zum Paramagnetismus, verst¨arkt a¨ußeres Magnetfeld 14 Spin fehlt, siehe Kap. 8 112 • 3. Term RHS e2 e2 2 A ψ = (x × B)2 ψ 2mc2 8mc2 e2 ~ 2 − (~x · B) ~ 2 )ψ, (~x2 B = 8mc2 e2 |B|2 2 = (x + y 2 )ψ 8mc2 B||ez Diamagnetismus, schw¨acht ¨außeres Magnetfeld ab. Reinst quantenmechanisches Ph¨anomen. Extremfall: Supraleiter • Meistens : Paramagnetismus gr¨osser als Diamagnetismus Ausnahmen: – Metallelektronen – freie Elektronen – Neutronensterne Normaler Zeeman-Effekt • Betrachte Wasserstoffatom in konstantem Magnetfeld • Mit H0 Hamilton-Operator H-Atom ohne Magnetfeld, A2 Term vernachl¨assigt, H = H0 − e BLz , 2mc B||ez • Wirkung auf ψnlml , ml zur Unterscheidung von der Masse m  Hψnlml =  Ry e~B − 2 − ml ψnlml n 2mc da ψnlml auch Eigenfunktion von Lz mit Eigenwert ~ml • Damit Enlml = − Ry + ~ωL ml n2 mit Larmor-Frequenz ωL = − e~B e0 ~B = 2mc 2mc 113 • Magnetfeld hebt die (2l + 1)-fache Entartung der Energieniveaus auf Die Gr¨oße der Aufspaltung ist unabh¨angig von l • Zur vollst¨andigen Beschreibung muss noch der Spin ber¨ ucksichtigt werden: Anomaler Zeeman-Effekt ¨ • Ubung: Spin & B-Feld Freie Elektronen im Magnetfeld • Sei B||x3 Dann hat Vektorpotential nur Komponenten senkrecht zu B p3 Anteil der kinetischen Energie unver¨andert H = H⊥ + p23 2m In x3 Richtung freie Bewegung • Ausgedr¨ uckt durch kinetischen Impuls H⊥ = Erinnere m 2 (x˙ 1 + x˙ 22 ) 2 e [mx˙ i , mx˙ j ] = i~ B, c • Skala rausnehmen [x˙ 1 , x˙ 1 ] = [x˙ 2 , x˙ 2 ] = 0 mx˙ i πi = p e0 B/c Damit [π1 , π2 ] = i~, wie bei Ort und Impuls, und Hamiltonoperator H⊥ = 1 e0 B 2 (π + π22 ) 2 cm 1 wie der des Harmonischen Oszillators. 114 • Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a= 1 (π2 + iπ1 ), 2~ a† = 1 (π2 − iπ1 ) 2~ Damit   1 † H⊥ = ~ωz a a + 2 mit Zyklotronfrequenz ωz = e0 B cm • Energieeigenwerte:   1 En = ~ωz n + 2 genannt Landau-Niveaus, wichtig in der Festk¨orperphysik 7.2 9. Woche U(1) Eichsymmetrie & minimale Kopplung Im folgenden c = 1 ~ B ~ und Potentiale A, ~ V • Erinnere Elektrodynamik, Felder E, ~ ~ = −∇ V − ∂ A E ∂t ~ =∇ ~ × A, ~ B Es gilt Eichinvarianz: Transformation der Potentiale ~→A ~0 = A ~ + ∇χ, ~ A V →V0 =V − ∂χ ∂t ~ and B ~ nicht mit χ(~x, t) beliebige differenzierbare Funktion a¨ndern E • Phase der Wellenfunktion ψ ist nicht beobachtbar • |ψ(x, t)|2 a¨ndert sich nicht unter ψ(x, t) → eiφ(x,t) ψ(x, t) eiφ(x,t) ist lokale Eichsymmetrie beschrieben durch U (1): 115 (44) – lokal, weil von x und t abh¨angig – Eichsymmetrie, weil sich nicht a¨ndert – Drehung auf dem Kreis: U (1): eindimensionale unit¨are Gruppe – eine Lie-Gruppe • Betrachte freie Schr¨odinger-Gleichung 1 2 pˆ ψ(x, t) 2m  2 1 ∂ ∂ −i~ i~ ψ(x, t) = ψ(x, t) ∂t 2m ∂xi ˆ Eψ(x, t) = und berechne
∂ ∂φ(x, t) iφ(x,t) ∂ iφ(x,t) e ψ(x, t) = eiφ(x,t) ψ(x, t) + i e ψ(x, t) ∂t ∂t ∂t
∂ ∂ ∂φ(x, t) iφ(x,t) eiφ(x,t) ψ(x, t) = eiφ(x,t) ψ(x, t) + i e ψ(x, t) ∂xi ∂xi ∂xi Legt nahe, die ”alten” partiellen Ableitungen kovarianten Ableitungen15 : ∂ ∂t und ∂ ∂xi ∂ ∂φ(x, t) +i ∂t ∂t ∂ ∂φ(x, t) = +i ∂xi ∂xi Dt = Dxi • Ersetze im Impulsoperator nun ∂ ∂xi durch Dxi , so folgt: pˆi = −i~Dxi = −i~ ∂ ∂φ(x, t) +~ ∂xi ∂xi Analog f¨ ur Energie-Operator ∂ ∂φ(x, t) Eˆ = i~Dt = i~ − ~ ∂t ∂t 15 Da steckt viel Differentialgeometrie drin 116 zu ersetzen durch die • Setze dies in freie Schr¨odinger-Gleichung ein    2 ∂ ∂φ(x, t) 1 ∂ ∂φ(x, t) i~ − ~ ψ(x, t) = −i~ +~ ψ(x, t) ∂t ∂t 2m ∂xi ∂xi Identifiziere ~φ(x, t) mit −eχ(x, t), gehe ins 3-dimensionale, sortiere Terme, so folgt mit Gl. (44)   1 ∂ 2 (−i~∇ − eA(x, t)) + eV (x, t) ψ(x, t) i~ ψ(x, t) = ∂t 2m oder ˆ = Eψ  1 (ˆ p − eA)2 + eV 2m  ψ Ersetzen von pˆ durch pˆ − eA und Addition von eV heißt minimale Kopplung • Beachte: Die Forderung nach lokaler Eichinvarianz bringt die elektromagnetische Wechselwirkung, die Photonen, in die Welt • Elementarteilchenphysik, nichtabelsche Eichtheorien mit nichtkommutierenden Gruppen – schwache Wechselwirkung: SU (2)-Gruppe, W & Z-Bosonen – starke Wechselwirkung: SU (3)-Gruppe, Gluonen – Nur die Allgemeine Relativit¨atstheorie str¨aubt sich ... 7.3 Aharanov-Bohm Effekt • Theorie: 1959, 1949, 1939 • Experiment: 1960 ~ and B ~ physikalisch relevant, da sie Lorentz-Kraft festle• Klassische Physik: E ~ und V eher Hilfsgr¨oßen gen, Potentiale A • Betrachte Schr¨odinger-Gleichung mit Vektorpotential A und Einfluss der Eichung A → A0 = A + ∇χ 117 Ungeeicht: ∂ i~ ψ = ∂t   1 2 (−i~∇ − eA) ψ 2m Im Falle der Eichung gilt ie ψ0 = e ~ χψ (45) • Betrachte unendlich lange Spule, außerhalb verschwindet Magnetfeld B = rot A = 0 Dort ist A durch Gradienten eines skalaren Feldes χ darstellbar A = ∇χ Z x ~ s) χ(x) = d~s A(~ x0 • Wellenfunktion entweder aus ∂ i~ ψ = ∂t   1 2 (−i~∇ − eA) ψ 2m oder aus eichtransformierter Gleichung ohne Vektorpotential A0 = A + ∇(−χ) = 0 n¨amlich ∂ i~ ψ 0 = ∂t   1 2 (−i~∇) ψ 0 2m • Zusammenhang der Wellenfunktionen mit Gl. (45), χ durch −χ ersetzen  Z x  ie 0 ie χ 0 ~ ψ = ψ e = ψ exp ds A(s) ~ x0 • Betrachte Doppelspaltexperiment mit unendlich langer Spule zwischen den Spalten ZEICHNUNG 118 • Wellenfunktion ψ1,A , wenn nur Spalt 1 ge¨offnet ist, ergibt sich aus Wellenfunktion ψ1,0 ohne Feld aus  Z  ie ψ1,A = ψ1,0 exp ds A(s) ~ 1 Entsprechend f¨ ur Spalt 2  ψ2,A = ψ2,0 exp ie ~ Z  ds A(s) 2 • Superposition auf dem Schirm  Z   Z  ie ie ψA = ψ1,0 exp ds A(s) + ψ2,0 exp ds A(s) ~ 1 ~ 2 ψ1,0 und ψ2,0 unbekannt, aber relative Phase bekannt Z Z I Z ds A(s) − ds A(s) = ds A(s) = df rot A = ΦB 1 2 mit ΦB dem magnetischen Fluss der unendlichen Spule ¨ • Phasenrelation zwischen ψ1 und ψ2 wird bei Anderung des magnetischen ~ Flusses ΦB , den die Elektronen nicht sehen, der aber das Vektorpotential A, das die Elektronen sehen, ver¨andert und damit Interferenzbild auf dem Schirm verschoben. ~ (und V ) sind fundamental, nicht B ~ (und E) ~ • Ergo: A Physikalische Effekte h¨angen nur von eichinvarianten Gr¨oßen ab, hier dem magnetischen Fluss ΦB Lessons learned: ~ • Para- und Diamagnetismus als lineare und quadratische Effekte von B • Aufhebung der m-Entartung im Wasserstoffatom, normaler Zeeman Effekt • Landau-Niveaus analog zum harmonischen Oszillator bei freien Elektronen • Eichsymmetrien induzieren Wechselwirkungen • Potentiale sind physikalischer als Kr¨afte 119 8 Spin • Stern-Gerlach Versuch: Elektron hat ”inneren Drehimpuls”, genannt Spin, der nur die Werte +~/2 und −~/2 annehmen kann ~ = • Spin ist messbar, es muss also einen selbstadjungierten Spinoperator S (Sx , Sy , Sz ) geben, der ein Drehimpulsoperator ist. Sei ~e Einheitsvektor, so gilt ~ · ~e |~e, ±i = ± ~ |~e, ±i S 2 Sei o.B.d.A: ~e = ~ez . Bezeichungsweise  |~ez , ±i = | ↑i | ↓i • Eigenwertgleichung f¨ ur Sz lautet dann:  Sz | ↑i | ↓i  ~ = 2  +| ↑i −| ↓i  ~ = 2  1 0 0 −1  | ↑i | ↓i  ~ = σz 2  | ↑i | ↓i  mit der Pauli-Spinmatrix σz  σz = 1 0 0 −1  • Da Sz hermitesch, sind die zu verschiedenen Eigenwerten geh¨orenden Zust¨ande | ↑i und | ↓i orthogonal h↑ | ↓i = 0 Normierung auf 1 h↑ | ↑i = h↓ | ↓i = 1 • Bestimmung der Pauli-Spinmatrizen σx und σy Erinnere Kap. 5.4, Vertauschungsrelationen f¨ ur Drehimpulsoperatoren [Si , Sj ] = i~ijk Sk , [Sz , S± ] = ±~S± , 120 [S+ , S− ] = 2~Sz mit S± = Sx ± iSy , F¨ ur Spin S = 1 2 1 1 entsprechend Sx = (S+ + S− ) Sy = (S+ − S− ) 2 2i (46) hat S 2 den Eigenwert 43 ~2 3 3 S 2 | ↑i = ~2 | ↑i, S 2 | ↓i = ~2 | ↓i 4 4 Nach Kap. 5.4, Normargument Gl. (41), folgt mit l = 12 und m = ± 12 S+ | ↑i = 0, S+ | ↓i = ~| ↑i, S− | ↑i = ~| ↓i S− | ↓i = 0 (47) (48) Damit Darstellung der Spinoperatoren in der Basis der Zust¨ande | ↑i und | ↓i  S± = h↑ |S± | ↑i h↑ |S± | ↓i h↓ |S± | ↑i h↓ |S± | ↓i  Mit Gln. (47, 48) folgt  S+ = ~ 0 1 0 0   , S− = ~ 0 0 1 0  ~ = ~ ~σ die Pauli-Spinmatrizen und damit mit Gl. (46) und S 2  σx = 0 1 1 0   , σy = 0 −i i 0   , σz = 1 0 0 −1  Zusammen mit der Einheitsmatrix spannen die Pauli-Matrizen den Raum aller 2 × 2 Matrizen auf • Eigenschaften der Pauli-Spinmatrizen σx2 = σy2 = σz2 = 1 [σx , σy ] = 2iσz und zyklisch [σx , σy ]+ = 0 und zyklisch σx σy = −σy σx = iσz und zyklisch σx σy σz = i1 Sp σx = Sp σy = Sp σz = 0 Det σx Det σy Det σz = −1 121 Spinoren • Allgemeiner Spinzustand | i in Basis {| ↑i, | ↓i} | i = a+ | ↑i + a− | ↓i, a+ , a− ∈ C, mit |a+ |2 + |a− |2 = 1 • Darstellung des allgemeinen Zustandes | i durch Spinor χ, dessen Komponenten sich durch Projektion auf Basissystem ergeben   a+ χ= , a+ = h↑ | i, a− = h↓ | i a− Polarisation von Photonen • Photonen haben Spin 1, Spin 1 ist normaler Weise 3-komponentig • Da Licht transversale Welle, geht ein Freiheitsgrad verloren • Den jeweils zwei mal drei M¨oglichkeiten von Spin 1 2 Teilchen entspricht – Horizontal / vertikal, entspricht Eigenzust¨anden zu σz     1 0 |hi = , |vi = 0 1 – ±45◦ polarisiert, entspricht Eigenzust¨anden zu σx   1 1 1 ◦ | + 45 i = √ = √ (|hi + |vi) 2 1 2   1 1 1 = √ (|hi − |vi) | − 45◦ i = √ −1 2 2 – rechts/links zirkular polarisiert, entspricht Eigenzust¨anden zu σy   1 1 1 |Ri = √ = √ (|hi + i|vi) 2 i 2   1 1 1 |Li = √ = √ (|hi − i|vi) 2 −i 2 Magnetisches Moment µ 122 • Allgemeine Definition µ=− ∂H ∂B F¨ ur paramagnetischen Anteil des Bahndrehimpulses, siehe Kap. 7.1, gilt µBahn = • F¨ ur Spin gilt e L 2mc e S µSpin = g 2mc mit Land´e- oder gyromagnetischem Faktor g fast genau 2 • Gesamtes magnetisches Moment des Elektrons damit µ = µBahn + µSpin = e e (L + 2S) = (L + σ~) 2mc 2mc Gesamt-Wechselwirkungsenergie mit Magnetfeld   e0 ~ L H = −µ · B = µB + σ · B Bohr’sches Magneton: µB = ~ 2mc Lessons learned: • Spin nutzt die M¨oglichkeit auf halbzahligen Drehimpuls aus Kapitel 5.4 • Photonen, obwohl Spin 1, sehr a¨hnlich zu massiven Spin 12 -Teilchen • Spin gibt Beitrag zu magnetischem Moment mit Land´e-Faktor fast genau 2 9 N¨ aherungsmethoden f¨ ur station¨ are Zust¨ ande Exakt l¨osbare Systeme sind selten, hier drei N¨aherungsmethoden • St¨orungstheorie Gut, wenn sich Problem nur wenig von exakt l¨osbarem unterscheidet Ausf¨ uhrlich 123 • Variationsprinzip Gut zur Berechnung der Grundzustandsenergie, wenn qualitative Vorstellung von Form der Wellenfunktion vorhanden Nur das Prinzip • WKB-N¨aherung Gut, wenn nah am klassischen Grenzfall Nur das Prinzip 9.1 St¨ orungstheorie Hamilton-Operator bestehe aus zwei Anteilen H = H0 + H1 Formuliere dies als H = H0 + λH1 • Annahmen – Eigenwerte En0 und Eigenfunktionen |n0 i von H0 seien exakt bekannt H0 |n0 i = En0 |n0 i – ”St¨orterm” λH1 sei klein im Vergleich zu H0 • Gesucht: Die Zust¨ande |ni und Eigenwerte En von H|ni = En |ni • Ansatz: Entwickele Eigenwerte und Eigenfunktionen in λ En = En0 + λEn1 + λ2 En2 + . . . |ni = |n0 i + λ|n1 i + λ2 |n2 i + . . . Nicht entartete St¨orungstheorie, betrachte diskreten Teil des Spektrums 124 • Setze alles in die zeitunabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung ein: (H0 +λH1 )(|n0 i+λ|n1 i+λ2 |n2 i+. . .) = (En0 +λEn1 +λ2 En1 +. . .)(|n0 i+λ|n1 i+λ2 |n2 i+. . . Koeffizientenvergleich f¨ ur λ0 : H0 |n0 i = En0 |n0 i λ1 : H0 |n1 i + H1 |n0 i = En0 |n1 i + En1 |n0 i λ2 : H0 |n2 i + H1 |n1 i = En0 |n2 i + En1 |n1 i + En2 |n0 i (49) (50) (51) λ damit auf 1 gesetzt und urspr¨ ungliches Problem wieder hergestellt • Bequem: Normierung von |ni durch hn0 |ni = 1 Dann hn0 |ni = hn0 |n0 i + λhn0 |n1 i + λ2 hn0 |n2 i + . . . = 1 Muss ∀λ gelten. Damit folgt hn0 |n1 i = hn0 |n2 i = . . . = 0 (52) • 1. Ordnungs-Korrektur der Energie Multipliziere Gl. (50) mit hn0 | hn0 |H0 |n1 i + hn0 |H1 |n0 i = En0 hn0 |n1 i + En1 hn0 |n0 i und nutze Gl. (49) adjungiert En0 hn0 |n1 i + hn0 |H1 |n0 i = En0 hn0 |n1 i + En1 hn0 |n0 i ergibt En1 = hn0 |H1 |n0 i Merke: 1. Ordnungs-Korrektur der Energie ist Erwartungswert des St¨orHamiltonian bez¨ uglich des ungest¨orten Zustandes 125 • 1. Ordnungs-Korrektur der Zust¨ande Da die ungest¨orten Zust¨ande |m0 i ein vollst¨andiges Orthonormalsystem bilden, gilt wegen Gl. (52) die Entwicklung |n1 i = X cm |m0 i, mit cm = hm0 |n1 i m6=n Multipliziere Gl. (50) mit hm0 |, verschieden von hn0 | hm0 |H0 |n1 i +hm0 |H1 |n0 i = En0 hm0 |n1 i +En1 hm0 |n0 i | {z } | {z } | {z } =cm 0 =cm Em =0 Es folgt 0 cm (En0 − Em ) = hm0 |H1 |n0 i und somit die erste Korrektur zum Zustand |n0 i X hm0 |H1 |n0 i |m0 i |n i = 0 0 En − Em m6=n 1 (53) • Energie in 2. Ordnung Multipliziere Gl. (51) mit hn0 | und nutze Gln. (52, 53) X |hm0 |H1 |n0 i|2 En2 = hn0 |H1 |n1 i = 0 En0 − Em m6=n (54) • Bemerkungen – F¨ ur Grundzustand ist die Verschiebung zweiter Ordnung E02 immer negativ – H¨aufig ist St¨orungsreihe nicht konvergent, asymptotische Reihe Asymptotische Reihe f¨ ur Funktion f (λ) : f (λ) = k X ai λi + Rk (λ), i=0 Rk (λ) = 0, λ→0 λk lim F¨ ur kleine λ ist kurze Entwicklung gut. 126 aber noch lim Rk (λ) = ∞ k→∞ eine – St¨orungstheorie funktioniert, wenn sich Zustand mit kleinem λ nicht qualitativ von ungest¨orten System unterscheidet – Aber: Kleinheit des St¨orterms muss nicht an kleinem λ liegen, kann auch in Struktur von H1 kodiert sein ¨ • Ubung: Oszillator mit kubischer/quartischer St¨orung St¨orungstheorie f¨ ur entartete Zust¨ande • Seien |n01 i, |n02 i, . . . |n0k i entartet, d.h. ∃ k > 1 mit H0 |n0i i = |n0i i, i = 1, . . . , k F¨ uhrt zu Divergenzen in der Entwicklung nach hm0 |H1 |n0 i 0 En0 − Em • Idee: Gehe in entartetem Unterraum in Basissystem {|n0α i}, in dem H1 diagonalisiert wird hn0α |H1 |n0β i = H1α δαβ (55) Dann fallen divergente Terme raus • Die Matrixelemente, 1 der Lesbarkeit wegen wenn n¨otig nach oben Hij1 = hn0i |H1 |n0j i bilden eine hermitesche Matrix • Die gesuchten neuen Zust¨ande |n0α i = X cαi |n0i i i geben die Matrixelemente 1 Hαβ = hn0α |H1 |n0β i = X ij 127 c∗iα Hij1 cjβ (56) • Satz: Jede hermitesche Matrix kann durch unit¨are Trnasformation auf Diagonalgestalt gebracht werden Damit kann man die cαi immer so w¨ahlen, dass Gl. (55) erf¨ ullt ist. • Gl. (55, 56) zusammen X c∗iα Hij1 cjβ = H1α δαβ ij multipliziere mit ciα , nutze Unitarit¨at: X ciα c∗jα = δij α • Ergibt Eigenwert-Gleichung X Hij1 cjβ = H1β ciβ (57) j • L¨osung aus Det(Hij1 − H1β δij ) = 0 Gemeinsam mit Gl. (57) erh¨alt man die gesuchten Zust¨ande ¨ • Ubung : Linearer Stark-Effekt Beispiel: Quadratischer Stark-Effekt • Einfluß von ¨außerem elektrischen Feld auf Wasserstoff-Atom f¨ ur n = 1 • St¨orung H1 = −eEz, ~ z E||e • Berechne Matrixelemente hn, l, m|z|n0 , l0 , m0 i • Auswahlregeln – Aus [Lz , z] = 0 folgt hn, l, m|[Lz , z]|n0 , l0 , m0 i = hn, l, m|Lz z−zLz |n0 , l0 , m0 i = (m−m0 )hn, l, m|z|n0 , l0 , m0 i = 0 und damit die Auswahlregel m0 = m 128 – Absorption oder Abstrahlung eines Photons a¨ndert Bahndrehimpuls um 1, daher gilt Auswahlregel hn, l, m|z|n0 , l0 , m0 i = 6 0, nur, wenn l0 = l ± 1 • St¨orungstheorie 1. Ordnung E11 = −eE h1, 0, 0|z|1, 0, 0i = 0 Kein Effekt 1. Ordnung ! • St¨orungstheorie 2. Ordnung Ben¨otigte Matrixelemente nach Gl. (54) hn, l, m|z|1, 0, 0i Auf Grund der Orthogonalit¨at der Kugelfl¨achenfunktionen und Y00 = const. und z = r cos θ ∝ rY10 folgen die Auswahlregeln: m = 0 und l = 1 E12 = ∞ X n=2 e2 E 2 |hn, 1, 0|z|1, 0, 0i|2 E10 − En0 n = 2 - Term, a0 Bohr’scher Atomradius: Z r2 e−r/2 a0 √ r (2re−r ) dr h2, 1, 0|z|1, 0, 0i = √ 3 2 6 √ Z 7 a0 2 2 dr r4 e−r/2 = a0 = √ 5 3 3 Mit E10 − E20 = − 3 e2 8 a0 folgt E12 ≈ −1.48 a30 E 2 129 Mit allen n - Termen, Trick zum Ausrechnen: Rekursionsgleichungen f¨ ur Laguerre-Polynome E12 = 9 3 2 aE , 4 0 2 9 · 3 4 beachte 1.48 ≈ Quadratischer Stark-Effekt ¨ • Ubung: St¨orungstheorie f¨ ur Stark-Effekt im H-Atom f¨ ur n = 2 Beispiel Heliumatom • N¨aherungsweise Bestimmung des Grundzustandsenergie des Heliumatoms • St¨orung: Wechselwirkung zwischen den Elektronen p2 p2 H = 1 + 2 − 2e2 2m 2m | {z  1 1 + r1 r2  + } =Ho e2 |~r − ~r | | 1 {z 2} =H1 Energie im ungest¨orten Grundzustand E00 ist die Doppelte derjenigen im Grundzustand eines wasserstoff¨ahnlichen Atoms mit Z = 2 E10 = −2 · 4 e2 ≈ −108 eV 2a0 • Zugeh¨origer Eigenvektor |1i ist Produkt der Einteilchen-Eigenvektoren. |1i = 8 − 2(r1a+r2 ) 0 e πa0 1. Ordnung Korrektur zu E10 E11 Z Z = h1|H1 |1i = − 4 (r +r ) 64e2 e a0 1 2 5 e2 dr1 dr2 = πa20 |~r1 − ~r2 | 4 a0 • Somit E1 ≈ E10 + E11 = − 11e2 ≈ −74 eV 4a0 Experimenteller Wert: E0 = −78.96 eV: St¨orungstheorie 1. Ordnung not too bad. 130 • Physikalische Interpretation: Abschirmeffekt des Kernpotentials durch das jeweils andere Elektron 9.2 Variationsprinzip • Ziel: Bestimme N¨aherungsweise Energie E0 und Wellenfunktion ψ0 des Grundzustandes • Ansatz: Test-Wellenfunktion ψT , z.B. parametrisierte Linearkombination von Wellenfunktionen • Ritz’sches Variationsprinzip: Der zu ψT geh¨orende Erwartungswert der Energie ET ist immer gr¨oßer oder gleich der exakten Grundzustandsenergie E0 ET = hψT |H|ψT i ≥ E0 hψT |ψT i Gleichheit wenn ψT = ψ0 • Beweis: Betrachte exakte Eigenfunktionen |ψn i und Eigenwerte En H|ψn i = En |ψn i Entwickle Test-Wellenfunktion bez¨ uglich der Eigenfunktionen |ψT i = X cn |ψn i n Betrachte hψT |H − E0 |ψT i = X = X = X c∗n cm hψn |H − E0 |ψm i nm nm c∗n cm (Em − E0 ) hψn |ψm i | {z } =δnm |cn |2 (En − E0 ) ≥ 0 n Gleichheitszeichen f¨ ur |c0 |2 = 1 und |cn6=0 |2 = 0, d.h. Test-Wellenfunktion ψT ist identisch mit exakter Grundzustands-Wellenfunktion ψ0 . 131 10. Woche • Strategie: – W¨ahle Ansatz f¨ ur Test-Wellenfunktion, der freie Parameter µ ~ enth¨alt – Hier l¨asst sich qualitatives Vorwissen einbringen – Bestimme Parameter so, dass hψT (µ)|H|ψT (µ)i hψT (µ)|ψT (µ)i minimal wird – Variationsprinzip garantiert, dass die so gewonnene Wellenfunktion die Optimale im Rahmen des gew¨ahlten Ansatzes ist • Genauigkeit Sei |0i wahrer Grundzustand, |i der Fehler von |ψT i |ψT i = |0i + |i, mit h0|i = 0 Dann folgt hψT |H|ψT i = E0 + h|H|i = E0 + O(2 ) hψT |ψT i Merke: Energie wird beim Variationsverfahren genauer bestimmt als Wellenfunktion 9.3 WKB-N¨ aherung • WKB: Wentzel-Kramers-Brillouin Semi-klassische N¨aherung • Betrachte Zustand mit hinreichend großer Energie Wellenl¨ange dann klein gegen charakteristischen Distanz, auf der sich Potential a¨ndert Wellenfunktion kann durch ortsabh¨angige Wellenzahl beschrieben werden • Erinnere Schr¨odingers Ansatz: Der Kreis schließt sich • F¨ ur die ein-dimensionale zeitunabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung − ~2 00 ψ (x) = (E − V (x))ψ(x) 2m verwende allgemeinen Ansatz 132 ψ(x) = eiS(x)/~ , S(x) ∈ C (58) mit ψ 0 (x) = und ψ 00 (x) = i 0 S (x)eiS(x)/~ ~ 1 i 00 S (x)eiS(x)/~ − 2 S 0 (x)2 eiS(x)/~ ~ ~ • Ansatz eingesetzt S 0 (x)2 = 2m(E − V (x)) + i~S 00 (x) (59) • Idee: Entwickele S nach Potenzen von ~ • Letzter Term in Gl. (59) klein Nullte N¨aherung: S00 (x)2 = 2m(E − V (x)) ≡ p(x)2 (60) L¨osung: Z S0 (x) = ± dx p(x) + const und damit in Gl. (58) eingesetzt  i ψ(x) = const exp ± ~ Z  dx p(x) • Ansatz f¨ ur systematische Entwicklung in ~ ~ S(x) = S0 (x) + S1 (x) + i  2 ~ S2 (x) + . . . i S0 erf¨ ullt Gl. (59) in Ordnung ~0 Bestimme S1 (x) so, dass Gl. (59) in Ordnung ~1 erf¨ ullt wird, S2 (x) sorgt f¨ ur 2 Ordnung ~ , usw. 133 • Bestimmung von S1 (x) ur Terme Setze S(x) ≈ S0 (x) + ~i S1 (x) in Gl. (59) und nutze Gl. (60), so folgt f¨ der Ordnung ~ 2~ 0 S (x)S10 (x) = i~S000 (x) i 0 Aufgel¨ost nach S1 : S10 (x) = − 1 S000 (x) 2 S00 (x) Integriert: 1 1 S1 (x) = − log |S00 (x)| + const = log |p(x)|− 2 + const 2 L¨osung in erster Ordnug von ~, setze S(x) ≈ S0 (x) + ~i S1 (x) in Gl. (58) ein • Ergibt WKB-N¨aherung   Z const. i ψ(x) = p exp ± dx p(x) ~ |p(x)| • ± entspricht zwei unabh¨angigen L¨osungen. Allgemeine L¨osung  Z    Z i B i ψ(x) = p exp dx p(x) + p exp − dx p(x) ~ ~ |p(x)| |p(x)| A G¨ ultigkeitsbereich der WKB-N¨aherung • Letzter Term in Gl. (59) wird als klein angesehen. Gilt wenn: |i~S000 (x)|  p(x)2 Mit Gl. (60) entspricht dies dV m~  p3 dx F¨ ur konstantes Potential gilt WKB-N¨aherung exakt 134 • Mit Wellenl¨ange λ und kinetischer Energie Ekin λ= 2π~ , p Ekin = p2 2m folgt dV λ  Ekin dx ¨ • Anderung des Potentials im Bereich einer Wellenl¨ange klein gegen kinetische Energie. • WKB-N¨aherung gilt nicht f¨ ur p(x) = 0, z.B. an den Umkehrpunkten des harmonischen Oszillators, dann muss man st¨ uckeln ¨ Ubung: Potentialbarriere in WKB-N¨aherung Lessons learned: • St¨orungstheorie: – Entwicklung nach Parameter λ, der aber de facto wieder rausf¨allt – Oft nur asymptotische Reihe, erste Terme gute N¨aherung – Entartete Zust¨ande: Diagonalisiere H1 gibt ”gute” Basis ~ – Stark-Effekt bei H-Atom f¨ ur n = 1 quadratischer Effekt in E – Helium Atom: 1. Ordnung gute N¨aherung f¨ ur Grundzustandsenergie • Variationsmethode: N¨aherung der Nullpunktsenergie und Eigenfunktion, gut bei qualitativem Vorwissen • WKB N¨aherung. Ausgehend von der Klassik: Entwicklung in ~. Erinnert sehr an Schr¨odinger’s geniale Spekulation aus Kap. 1.2 10 10.1 Vielteilchen Systeme Symmetrie der Vielteilchenwellenfunktionen • Betrachte N nicht wechselwirkende Teilchen mit Hamiltonian 135 H= X hi (xi , pi ) i Eigenwertgleichung f¨ ur Einteilchen Hamiltonian hi hi |ki i = ki |ki i mit Eigenzust¨anden |ki i, ki Quantenzahl • Betrachte zun¨achst unterscheidbare Teilchen Dann Gesamtwellenfunktion Produkt der Ein-Teilchenzust¨ande: |k1 , k2 , . . . , kN i = |k1 i|k2 i . . . |kN i Eigenwertgleichung f¨ ur System: X X H|k1 , . . . , kN i = hi |k1 i . . . |kN i = |k1 i . . . hi |ki i . . . |kN i i = i X ki |k1 , . . . , kN i i In Quantenmechanik Ununterscheidbarkeit fundamental • Betrachte zwei Teilchen mit Gesamtwellenfunktion ψ(r1 , r2 ) und Permutionsoperator Pˆ : Pˆ ψ(r1 , r2 ) = ψ(r2 , r1 ) Nochmalige Anwendung: Pˆ ψ(r2 , r1 ) = ψ(r1 , r2 ) damit ∀ψ : Pˆ 2 ψ(r1 , r2 ) = ψ(r1 , r2 ) =⇒ Pˆ 2 = 1 ˆ =0 Folglich hat Pˆ Eigenwerte λ = ±1. Zudem ist [Pˆ , H] ˆ und Pˆ definieren offensichtlich zwei Arten • Gemeinsame Eigenzust¨ande zu H von Teilchen 136 • Spin-Statistik Theorem16 , Pauli, 1940 – Bosonen, Spin ganz-zahlig, S = 0, 1, . . ., besitzen eine symmetrische Vielteilchenwellenfunktion: ψS = Pˆ ψS Besetzungszahlen k¨onnen alle Werte 0, 1, . . . ∞ annehmen 1 3 – Fermionen, Spin halb-zahlig, S = , , . . ., besitzen 2 2 anti-symmetrische Vielteilchenwellenfunktion: ψA = −Pˆ ψA Besetzungszahlen k¨onnen die Werte 0, 1 annehmen eine Zusammenfassend: Pˆ ψ(r1 , r2 ) = (−1)2S ψ(r2 , r1 ) (61) Folge: Reiner Produktansatz ψ(r1 , r2 ) = φa (r1 )φb (r2 ) geht f¨ ur ununterscheidbare Teilchen nicht durch. • (Anti)symmetrisierung: 1 ψS (r1 , r2 ) = √ (φa (r1 )φb (r2 ) + φa (r2 )φb (r1 )) 2 1 ψA (r1 , r2 ) = √ (φa (r1 )φb (r2 ) − φa (r2 )φb (r1 )) 2 Folge: Pauli-Prinzip: F¨ ur identische Einteilchen-Wellenfunktionen verschwindet die antisymmetrische Gesamtwellenfunktion φa = φb =⇒ ψA = 0 Zwei Elektronen k¨onnen nicht im selben Zustand sein. Hierbei ist der Spin zu ber¨ ucksichtigen. Betrachte N Teilchen • Permutationsoperator: Pˆij ψ(r1 , . . . , ri , . . . , rj , . . . , rN ) = ψ(r1 , . . . , rj , . . . , ri , . . . , rN ) 16 Leseempfehlung: R.F. Streater, A.S. Wightman. PCT, Spin and Statistics, and All That 137 Damit ψS (r1 , . . . , rN ) = A X Pˆ ψ(r1 , . . . , rN ) P 1 X (−1)P Pˆ ψ(r1 , . . . , rN ) ψA (r1 , . . . , rN ) = √ N! P mit P  (−1) = +1 f¨ ur gerade Anzahl von Vertauschungen −1 f¨ ur ungerade Anzahl von Vertauschungen Normierungsfaktor A abh¨angig davon, wie viele der Quantenzahlen gleich sind • Geht man vom Produktansatz von Einteilchen-Wellenfunktionen aus, folgt f¨ ur den antisymmetrischen Fall: 1 X (−1)P Pˆ φa (r1 ) . . . , φl (rN ) ψA (r1 , . . . , rN ) = √ N! P Dieses l¨aßt sich als Determinante schreiben:   1  ψA (r1 , . . . , rN ) = √ det   N! φa (r1 ) . . . φa (rN ) φb (r1 ) . . . φb (rN ) .. .. . . φl (r1 ) . . . φl (rN )      (62) die Slater-Determinante ¨ Diese verschwindet in Ubereinstimmung mit dem Pauli-Prinzip, wenn zwei Zeilen gleich sind. 10.2 Hartree-Fock N¨ aherung Betrachte Atom mit N Elektronen • Hamilton-Operator H= N  X i=1 ~2 2 Ze2 − ∇ − 2m i ri 138  + X i>j e2 |xi − xj | Schr¨odinger-Gleichung HΨ(x1 , . . . , xN ) = EΨ(x1 , . . . , xN ) Exakte L¨osung hoffnungslos • Idee: Jedes Elektron sieht neben dem Kernpotential ein weiteres effektives Potential, das durch die anderen Elektronen verursacht wird. • Hartree-N¨aherung: Produktansatz f¨ ur Wellenfunktion Ψ(x1 , . . . , xN ) = ψ1 (x1 )ψ2 (x2 ) . . . ψN (xN ) (63) Beachte: Keine Anti-Symmetriesierung • Variationsansatz, technische Rechnung • Ergebnis: F¨ ur jedes der ψi (xi ) gilt die Hartree-Gleichung:   −~2 2 Ze2 ∇ − + Vi (xi ) ψi (xi ) = i ψi (xi ) 2m i ri mit Vi (xi ) = XZ d 3 xj j6=i e2 |ψj (xj )|2 |xi − xj | (64) (65) Hartree-Gleichung f¨ ur jedes der ψi (x) enth¨alt im Potential Vi (x) nicht-linear alle u ¨brigen Wellenfunktionen ψj6=i ussen so gew¨ahlt werden, dass sie • Ein Selbstkonsistenz-Problem: Die {ψs } m¨ Potentiale {Vs } ergeben, die mit Gl. (64) die {ψs } reproduzieren. • Iterative L¨osung 1. Setze k = 0, w¨ahle Start-Wellenfunktionen ψi0 , z.B. |n, l, mi vom H-Atom 2. Setze k → k + 1 berechne Vik (xi ) ∀i nach Gl. (65) 3. Berechne ψik (x) ∀i nach Gl. (64) ¨ 4. Uberpr¨ ufe ob Vik (xi ) = Vik−1 (xi ) und ψik (xi ) = ψik−1 (xi ) ∀i Wenn ja: fertig. Wenn nein: Gehe zu 2. • Beispiel f¨ ur eine mean field Theorie oder Molekularfeld-N¨aherung 139 • Hartree-Fock N¨aherung: Verwende statt Produktwellenansatz Gl. (63) SlaterDeterminanten nach Gl. (62) F¨ uhrt auf einen nichtlokalen Austauschterm im Analogon zu Gl. (65) und ist besser als Hartree-N¨aherung 10.3 Dichtematrix Reine Zust¨ande • Bisher haben wir nur reine Zust¨ande |ψi betrachtet. Diese lassen sich durch Wellenfunktionen beschreiben, z.B. ”Elektron befindet sich in Zustand |n, l, mi” • Viele Teilchen mit Zustand |ψi: Reine Gesamtheit oder Reines Ensemble • Beachte: Die Superposition von zwei reinen Zust¨anden gibt wieder einen reinen Zustand, d.h. l¨asst sich wieder durch Wellenfunktion |φi = a|ψ1 i + b|ψ2 i beschreiben. • Definition: Sei |ni ein vollst¨andiges Orthonormalsystem. Dann ist die Spur der Matrix M definiert als X Sp (M ) = hn|M |ni n Spur ist unabh¨angig von der Basis, im Eigenvektorsystem von M besonders anschaulich ur reine Zust¨ande: • Definition Dichtematrix17 ρ f¨ ρ := |ψihψ| • F¨ ur Observable A kann Erwartungswert hAi mit Dichtematrix berechnet werden. Sei |ni Orthonormalsystem. Trick: Einschieben der Eins X hAi = hψ|A|ψi = hψ|A|nihn|ψi n X = hn|ψihψ|A|ni n X = hn|ρA|ni = Sp (ρA) n 17 Eigentlich Dichteoperator, wird in einer Basis zur Matrix 140 Man zeigt leicht: Sp ρ = 1 : X hn|ψihψ|ni = X n hψ|nihn|ψi = hψ|ψi = 1 n ρ2 = ρ : |ψihψ|ψihψ| = |ψihψ| ρ† = ρ : |ψi† = hψ| F¨ ur reine Zust¨ande ist das reine Spielerei Gemischte Zust¨ande oder Gemischte Gesamtheit oder Gemischtes Ensemble • Betrachte Ensemble von N Teilchen, von denen sich Ni im Zustand |ψi i befinden • Wahrscheinlichkeit, das sich ein zuf¨allig herausgegriffenes Teilchen im Zustand |ψi i befindet, ist X Ni , pi = 1 pi = N i • Gemischter Zustand l¨asst sich nicht durch Wellenfunktion beschreiben X @ |φi mit |φi = pi |ψi i i aber durch eine Dichtematrix • Definition Dichtematrix ρ f¨ ur gemischte Zust¨ande: X X ρ := pi |ψi ihψi | := pi ρ i i i Es gilt wieder hAi = Sp (ρA): X XX hAi = pi hψi |A|ψi i = pi hψi |A|nihn|ψi i i = i = i XX X n hn|pi ψi ihψi |A|ni n hn|ρA|ni = Sp (ρA) n Es gilt immer noch Sp ρ = 1, 141 ρ† = ρ aber nun ρ2 6= ρ und Sp ρ2 < 1, falls pi 6= 0 f¨ ur mehr als ein i Beweis der 2. Aussage: Sp ρ2 = XX hn|pi |ψi ihψi |pj |ψj ihψj |ni n = ij XX n = pi pj hψi |ψj ihψj |nihn|ψi i ij X pi pj |hψi |ψj i|2 < ij X pi p j = 1 ij Zeitentwicklung der Dichtematrix ρ • Betrachte ein ρi ∂ ∂ ρi = (|ψi ihψi |) = ∂t ∂t     ∂ ∂ |ψi i hψi | + |ψi i hψi | ∂t ∂t Mit Schr¨odingergleichung i ∂ |ψi i = − H|ψi i, ∂t ~ ∂ i hψi | = hψi |H dt ~ folgt ∂ i i i i ρi = − H|ψi ihψi | + |ψi ihψi |H = − Hρi + ρi H ∂t ~ ~ ~ ~ P und mit ρ = i pi ρi folgt die von-Neumann-Gleichung ∂ i ρ = − [H, ρ] ∂t ~ Beachte: Klassische Bewegungsgleichung f¨ ur Phasenraumdichte ρk (q, p, t) ∂ ρk = {H, ρk }, ∂t Liouville-Gleichung (66) • Zusammenhang: Ersetze (klassische) Poisson-Klammer durch (quantenmechanischen) Kommutator i {H, ρk } → − [H, ρ] ~ 142 • Es gilt: Sp ρ2 ist im Schr¨odingerbild zeitunabh¨angig Beweis: Zyklische Invarianz   der Spur, erinnere Zeitentwicklungsoperator i ˆ U (t, t0 ) = exp − ~ H(t − t0 ) und Unitarit¨at U † U = 1 Sp ρ2 (t) = Sp U ρ(t0 )U † U ρ(t0 )U † = Sp ρ2 (t0 ) Damit folgt: Einmal rein, immer rein. Einmal gemischt, immer gemischt Merke: = = • Unterscheidung reiner und gemischter Zustand an Hand von ρ2 6=ρ und Sp ρ2 <1 • Auch f¨ ur Dichtematrix Dynamik • Dichtematrix-Formalismus allgemeiner als Wellenfunktion, da sich gemischte Zust¨ande nicht durch Wellenfunktionen, wohl aber durch Dichtematrizen beschreiben lassen. Beispiel • Betrachte Zwei-Niveau-System, z.B. Spin, mit | ↑i und | ↓i • Befindet sich System in einem der Zust¨ande, gilt f¨ ur Wellenfunktion und Dichtematrix  oder 1 |ψi = | ↑i → ρ = | ↑ih↑ | =  0 0 |ψi = | ↓i → ρ = | ↓ih↓ | = 0  0 0  0 1 • Koh¨arente Superposition der Zust¨ande, z.B.: 1 |ψi = √ (| ↑i + | ↓i) → ρ = 2  1/2 1/2 1/2 1/2  (67) ergibt wieder einen reinen Zustand, da ρ2 = ρ und Sp ρ2 = 1. • Gemisch der Zust¨ande mit p1 = p2 = 0.5 ergibt   1 1 1/2 0 ρ = | ↑ih↑ | + | ↓ih↓ | = 0 1/2 2 2 143 (68) 1 (| ↑ih↑ | ↑ih↑ | + | ↓ih↓ | ↓ih↓ | + | ↑ih↑ | ↓ih↓ | + | ↓ih↓ | ↑ih↑ |) 4 1 1 1 | ↑ih↑ | + | ↓ih↓ | = ρ 6= ρ = 4 4 2 ρ2 = • Off-Diagonalelemente des reinen Zustands in Gl. (67) beschreiben die Koh¨arenz zwischen | ↑i und | ↓i, die im Gemisch nicht existiert. • Last not least: Es gibt keine Wellenfunktion, die die Dichtematrix des gemischten Zustands ergeben w¨ urde. ¨ • Erinnere Ubungsblatt 10: Blochvektor Bloch-Kugel Bloch-Vektor Betrag = 1: Reiner Zustand Bloch-Vektor Betrag < 1: Gemischter Zustand 10.4 Verschr¨ ankte Zust¨ ande ¨ Ubergang von Ein-Teilchen zu N -Teilchen Fall • Klassische Mechanik: Zustandsraum ist Phasenraum (q, p) Phasenraum von N Teilchen ist das kartesische Produkt der Einteilchen Phasenr¨aume Dimensionen addieren sich • Quantenmechanik: Zustandsraum ist Hilbertraum, ein Vektorraum. F¨ ur Vektorr¨aume ist Produktraum f¨ ur N Teilchen das Tensorprodukt der Ausgangsvektorr¨aume Dimensionen multiplizieren sich Betrachte 2-Teilchen System • Seien HA und HB zwei Hilbertr¨aume mit Basisvektoren {|ei i} und {|fj i} Definition Tensorprodukt 144 • Das Tensorprodukt H = HA ⊗ HB ist der Vektorraum, der durch die Paare von Basisvektoren {|ei , fj i} aufgespannt wird • Nomenklatur |ei , fj i ≡ |ei i ⊗ |fj i • Das Tensorprodukt ist wieder ein Hilbertraum, Vektorgesetze gelten und Skalarprodukt existiert • Dimension des Hilbertraums H dimH = dimHA · dimHB • Sei |ai = P P ai |ei i ∈ HA und |bi = j bj |fj i ∈ HB , dann ist ! ! X X X |ai ⊗ |bi = ai |ei i ⊗ bj |fj i = ai bj |ei i ⊗ |fj i i i j ij das Tensorprodukt der beiden Vektoren Skalarprodukt • F¨ ur Skalarprodukt von zwei Vektoren |xi, |yi des Tensorproduktraum H |xi = X xij |ei i ⊗ |fj i, |yi = i,j X ykl |ei i ⊗ |fj i k,l gilt: hy|xi = X ∗ ylk xij hei |ek ihfj |fl i i,j,k,l • Im Falle von Orthonormalbasen |ei i und |fj i : X ∗ hy|xi yji xij i,j Anders formuliert: Seien |ψi, |φi aus H mit |ψi = |αi ⊗ |βi und |φi = |γi ⊗ |δi dann gilt hψ|φi = hα|γihβ|δi 145 (69) 11. Woche Operatoren • Sei A linearer Operator und |ψi Vektor in HA und B linearer Operator und |φi Vektor in HB , so gilt (A ⊗ B)(|ψi ⊗ |φi) = A|ψi ⊗ B|φi • Mit den Erweiterungen der Operatoren A → A ⊗ 1 und B → 1 ⊗ B auf H folgt, dass Operatoren, die auf verschiedene Hilbertr¨aume wirken, immer kommutieren (A ⊗ 1)(1 ⊗ B) = (1 ⊗ B)(A ⊗ 1) • Allgemein l¨asst sich Operator C auf H immer als Linearkombination der Form C= X Ai ⊗ Bi i schreiben Analog ist der allgemeinste Vektor |ψi in H von der Form X |ψi = cij |ai i ⊗ |bj i (70) i,j • Beachte: In diesem Sinne ist H ”gr¨oßer” als die Menge der Produkte von Zust¨anden aus HA und HB mit Gl. (69): cij 00 >00 ai bj . • Frage: L¨asst sich jedem Vektor aus H ein Zustand aus HA und HB zuordnen ? Separable und verschr¨ankte Zust¨ande • Definition: Ein Vektor |ψi ∈ H heißt separabel, wenn es Vektoren |ai ∈ H1 und |bi ∈ H2 gibt, so dass gilt |ψi = |ai ⊗ |bi 146 • Andernfalls heißt der Vektor verschr¨ankt Der ber¨ uhmteste verschr¨ankte (Spin-, Polarisations-)Zustand 1 |ψi = √ (| ↑i ⊗ | ↓i + | ↓i ⊗ | ↑i) 2 siehe Kap. 11 • Theorem: Schmidt-Zerlegung: Jeder Zustand |ψi ∈ H = HA ⊗ HB l¨asst sich darstellen als |ψi = X λi |jA i ⊗ |jB i, λi ∈ R+ , X i λ2i = 1 (71) i mit {|jA i} Orthonormalbasis auf HA und {|jB i} ONB auf HB Dieses ist eine Aussage u ¨ber die Existenz dieser ONBs Wesentlich einfacher als Gl. (70), da nur u ¨ber einen Index summiert wird. • Bez¨ uglich der Frage nach Zuordnung von Zust¨anden aus HA und HB , betrachte Projektor |ψihψ| in Basis |jA i, |jB i |ψihψ| = X λj λj 0 |jA ihjA0 | ⊗ |jB ihjB0 | j,j 0 Annahme: Schmidt-Zerlegung, Gl. (71), habe nur einen nicht verschwindenden Koeffizienten, λj = δjk , Zustand ist separabel. • Es folgt: |ψihψ| = |kA ihkA | ⊗ |kB ihkB | ¨ber vollst¨andige Basis {|mi} von HB Bilde die partielle Spur u SpB |ψihψ| = X |kA ihkA |hm|kB ihkB |mi m = X m |kA ihkA |hkB |mihm| kB i | {z } =1 = |kA ihkA |hkB |kB i = |kA ihkA | 147 • Damit ist eindeutige Zuordnung zwischen |ψi ∈ H und |kA i ∈ HA gelungen. Analog f¨ ur HB SpA |ψihψ| = |kB ihkB | • Interpretation: Partielle Spurbildung bedeutet, auf alle Information des entsprechenden Unterraums zu verzichten Das Resultat sagt, dass unter der Annahme λj = δjk der Verzicht auf die Information u ¨ber einen Teilraum die Identifikation von |ψi ∈ H mit einem Zustand im anderen Teilraum nicht beeintr¨achtigt. Annahme: Schmidt-Zerlegung habe mehr als einen nicht-verschindenden Term, verschr¨anktes System • Partielle Spurbildung f¨ ur HB SpB |ψihψ| = XX m = X j,j 0 λj λj 0 |jA ihjA0 | hm|jB i hjB0 i|mi | {z } | {z } =δmj =δj 0 m λm |mA ihmA | (72) m f¨ uhrt auf einen diagonalen Operator mit Eigenwerten λ2m < 1 auf HA • Interpretation: SpB |ψihψ| l¨asst sich nicht mit einem Zustand in HA identifizieren, sondern nur mit einem Gemisch. • Merke: Partielle Spurbildung f¨ uhrt im Allgemeinen auf operator-wertige Ausdr¨ ucke wie Gl. (72) • Nur f¨ ur separable Zust¨ande gilt dies nicht. Dichtematrizen • Die Dichtematrix des Gesamtzustandes ist ρ = |ψihψ| 148 • Durch partielle Spurbildung ρA = SpB |ψihψ| ρB = SpA |ψihψ| ergeben sich die auf HA , resp. HB reduzierten Dichtematrizen • F¨ ur ρA (ρB ) gilt Spρ2A ≤ 1 Spρ2A = 1 ⇐⇒ ρA = |φihφ| (73) Gilt Gl. (73), so ist der durch ρA beschriebene Zustand ein reiner Zustand, der durch |φi ∈ HA dargestellt wird. • Anderenfalls repr¨asentiert ρA einen gemischten Zustand Beispiele • Sei ρA = |φihφ| Dann gilt ! ρA = X ci |ii i = X ! X c∗j hj| j ci c∗j |iihj| i,j    =   |c1 |2 c1 c∗2 c1 c∗3 c2 c∗1 |c2 |2 c2 c∗3 c3 c∗1 c3 c∗2 |c2 3|2 .. . ... ... ... .. .      (74) Diagonalisieren f¨ uhrt auf   1 0 ...  0 0    .. .. . . (75) da |φi Eigenvektor von ρA zum Eigenwert 1 ist und der zu |φi orthogonale Unterraum zum entarteten Eigenwert 0 geh¨ort. 149 • Ein gemischter Zustand hat wegen Gl. (72) die Form   |c1 |2 0  0 |c2 |2  ...   und kann nicht in die Form von Gl. (75) gebracht werden. • Die Nicht-Diagonal Terme in Gl. (74) beschreiben die ¨ koh¨arenten Uberlagerungen der Basiszust¨ande |ji. Diese beschreiben Interferenzen. Partielle Spurbildung bewirkt im Allgemeinen ihr Verschwinden: Dekoh¨arenz • Merke: Ein Zustand ist genau dann verschr¨ankt, wenn die Dichtematrizen der ausreduzierten Teilr¨aume gemischte Zust¨ande beschreiben Beispiele • Betrachte Zwei-Zustandssysteme: Spin tonen 1 2 Systeme oder Polarisation von Pho- • | ↓i = |0i, | ↑i = |1i • W¨ahle Basis {|00i, |10i, |01i, |11i} mit |iji = |ii ⊗ |ji Beispiel a • |ψa i = |0i ⊗ |1i • Spin von Teilchen 1 up, Spin von Teilchen 2 down oder Polarisation von Photon 1 horizontal, Polarisation von Photon 2 vertikal. • Dichtematrix ρ = |ψa ihψa |  0  0 ρ=  0 0 0 0 0 0 0 0 1 0  0 0   0  0 Seien |ni und |mi die Basisvektoren. Martixelement ρmn gegeben durch ρmn = hm|ρ|ni = hm|ψa ihψa |ni = hm|(|0i ⊗ |1i)(h0| ⊗ h1|)|ni 150 Beispiele: ρ13 = = = = h00|ρ|01i (h0| ⊗ h0|)(|0i ⊗ |1i)(h0| ⊗ h1|)(|0i| ⊗ |1i) h0|0i · h0|1i · h0|0i · h1|1i 1·0·1·1=0 ρ33 = = = = h01|ρ|01i (h0| ⊗ h1|)(|0i ⊗ |1i)(h0| ⊗ h1|)(|0i| ⊗ |1i) h0|0i · h1|1i · h0|0i · h1|1i 1·1·1·1=1 • Partielle Spurbildung bez¨ uglich Teilchen 2 mit (1 ⊗ |ji), j = 0, 1 Sp2 ρ = ρ1 1 X = hj|ρ|ji j=0 = (1 ⊗ h0|)(|0i ⊗ |1i)(h0| ⊗ h1|)(1 ⊗ |0i) + (1 ⊗ h1|)|(|0i ⊗ |1i)(h0| ⊗ h1|)(1 ⊗ |1i) = 0 + |0ih|0| Dies ist Darstellung von ρ1 in der HA Basis {|0i, |1i} • Damit reduzierte Dichtematrix:  ρ1 = 1 0 0 0  , ρ2 = ρ Sp ρ21 = 1 Demnach ist |ψa i separabel Beispiel b • |ψb i = √1 (|0i 2 + |1i) ⊗ |1i • Teilchen 1: Superposition von Spin up und spin down, Teilchen 2: Spin up • Dichtematrix  0 1 0 ρ=  2 0 0 151 0 0 0 0 0 0 1 1  0 0   1  1 • Reduzierte Dichtematrizen: 1 ρ1 = Sp2 ρ = 2   ρ2 = Sp1 ρ = 1 1 1 1 1 0 0 0   = ρ21 = ρ22 Damit |ψb i separabel Beispiel c • |ψc i = √1 (|0i 2 ⊗ |1i) + √1 (|1i 2 ⊗ |0i) • Beide Teilchen in Superposition zweier Zust¨ande • Beachte: Dies ist ein reiner Zustand • Dichtematrix  0 1 0 ρ=   0 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0  0 0  , 0  0 ρ2 = ρ, Sp ρ21 = 1 • Reduzierte Dichtematrix: 1 ρ1 = 2  1 0 0 1  Beachte: Diagonalelemente sind verschwunden: Dekoh¨arenz   1 1 0 2 ρ1 = 6= ρ1 , Sp ρ21 < 1 4 0 1 Gilt entsprechend f¨ ur ρ2 Damit ist |ψc i nicht separabel • Nach partieller Spurbildung ergibt sich ein Gemisch von Zust¨anden • Das Gesamtsystem l¨asst sich nicht mit der ”reduzierten” Information u ¨ber die beiden Untersysteme beschreiben 152 • Merke: Handelt es sich bei den Dichtematrizen der ausreduzierten Teilr¨aume um reine Zust¨ande, ist der Zustand separabel, sind es Dichtematrizen zu gemischten Zust¨anden, ist der Zustand verschr¨ankt Verschr¨ankheit/Separabilit¨at, resp. Gemischheit/Reinheit l¨asst sich messen P • Seien pi Wahrscheinlichkeiten, pi ≤ 1, i pi = 1, definiere Entropie S X S=− pi log pi , erinnere: 0 log 0 = 0 i ¨ Mass f¨ ur Unwissenheit/Uberraschung • von Neumann Entropie f¨ ur Dichtematrizen ρ S = − Sp ρ log ρ – F¨ ur reine Zust¨ande ist sie Null – F¨ ur Gemische positiv mit S ≤ log dim H – Gleichheit bei Gleichverteilung der Zust¨ande im Gemisch Lessons learned • Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen hat Konsequenzen:: – Bosonen: symmetrische Wellenfunktionen – Fermionen: anti-symmetrische Wellenfunktionen • Hartree-Fock als Selbstkonsistenzmethode f¨ ur Viel-Elektronen Atome • Dichtematrix als allgemeine Beschreibung quantenmechanischer Zust¨ande • Verschr¨ankte Zust¨ande auf Grund des Tensorproduktes • Ausreduzierte Dichtematrizen (reiner) verschr¨ankter Zust¨ande beschreiben ein Gemisch 153 11 Einstein-Podolsky-Rosen – Paradoxon ¨ Ubung: Fassen Sie EPR paper stichwortartig zusammen 11.1 Theorien verborgener Parameter Nat¨ urliche Erwartung an eine physikalische Theorie • Lokal, die 1.: keine Informations¨ ubertragung schneller als Lichtgeschwindigkeit • Lokal, die 2.: Messung am Orte A sollte Messung am Orte B in keiner Weise beeinflussen • Deterministisch: Zustand gibt eindeutiges Messergebnis • Real: Theorie und Realit¨at in 1 zu 1 Verh¨altnis Klassische Physik: • Alles im gr¨ unen Bereich Quantenmechanik: • Lokal, die 1.: O.K. • Lokal, die 2.: Nein • Deterministisch: Nein • Real: Nein Theorien verborgener Parameter • Klassische Statistische Physik von 1023 Teilchen – Im Prinzip alle (deterministischen) Trajektorien ermittelbar – Aber: Praktisch nicht machbar und inhaltlich nicht relevant ¨ • Ubertragung auf die Quantenmechanik – Es gibt eine zu Grunde liegende lokale, deterministische, reale Theorie, die individuelle Messergebnisse festlegt – Nur kennen wir sie nicht 154 – Beispiel: Spin-Messung Quantenmechanik: Bei Messung von Sx im Eigenzustand Sz : F¨ ur jedes Teilchen 50 % Wahrscheinlichkeit f¨ ur ±~/2 Theorie verborgener Parameter legt f¨ ur jedes Teilchen fest, ob +~/2 oder −~/2 resultiert, so dass in je 50 % der F¨alle ±~/2 vorkommt Einstein, Podolsky, Rosen. Can18 Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete ? 1935, modernisiert von Bohm, 1951 • Betrachte 2 Spin 1/2 Teilchen im (verschr¨ankten) Singulett-Zustand 1 |0, 0i = √ (| ↑i| ↓i − | ↓i| ↑i) 2 Pr¨aparation: – Spin 1/2 Teilchen: Zweiatomigen Molek¨ ul mit Gesamtspin 0 mit Laser in 2 Spin 1/2 Teilchen zerschießen – Polarisierte Photonen: Parametrische Fluoreszenz von nichtlinear optischen Kristallen. Aus einem Photon der Energie E werden zwei verschr¨ankte der Energie E/2 • Teilchen bewegen sich von einander weg. • Misst man die z-Komponenten der Spins und findet bei Teilchen 1 Spin up, so ergibt sich f¨ ur Teilchen 2 spin down. • Misst man stattdessen die x-Komponenten, so impliziert +~/2 bei Teilchen 1 −~/2 bei Teilchen 2 • Messung an einem Teilchen legt Ergebnis f¨ ur das andere fest, auch wenn dieses raum-zeitlich getrennt ist, d.h. keine Information mit Lichtgeschwindigkeit ausgetauscht werden konnte. Nicht-lokal, die 2. • Aber: Kein Widerspruch zur speziellen Relativit¨atstheorie, lokal, die 1., da keine Information u ¨bermittelt werden kann • EPR: Da Teilchen separiert, kann es keine Beeinflussung der Teilchen geben. Deshalb m¨ ussen die Werte von Sx , Sz , usw. schon vor der Messung festgelegen haben. 18 Fehlender Artikel wird auf schlechstes English des Russen Podolsky zur¨ uckgef¨ uhrt 155 • Forderung nach einer vollst¨andigeren (more complete) Theorie mit verborgenen Parameter 11.2 Bell’sche Ungleichungen Kausale Inferenz • Beobachtbar sind nur Korrelationen • Von Korrelationen auf Kausalit¨aten schließen geht nicht • Aber man kann auf Grund von Korrelationen bestimmte Kausalstrukturen ausschließen: Kausale Inferenz Zwei widerstreitende Theorien • Einigt Euch auf ein Experiment • Berechnet Vorhersagen basierend auf den beiden Theorien • Am Ende entscheidet das Experiment :-) Quantenmechanische Vorhersage: • Messung Spinkomponente Sz1 des ersten Teilchens in z-Richtung Messung Spinkomponente Sφ2 des zweiten Teilchen in Winkel φ zur z-Achse • Falls erste Messung + ~2 ergibt, ist Sz2 notwendiger Weise − ~2 , Spinor:   0 χ− = 1 Koplanarer Spinoperator Sˆφ ist gegeben durch, erinnere Pauli-Spinmatrizen   ~ cos φ sin φ Sˆφ = Sˆz cos φ + Sˆx sin φ = 2 sin φ − cos φ • Eigenvektoren von Sˆφ  | ↑i = cos φ2 sin φ2   , 156 | ↓i = − sin φ2 cos φ2  Entwicklung der Wellenfunktion χ− nach Eigenvektoren       φ cos φ2 φ − sin φ2 0 = sin + cos 1 sin φ2 cos φ2 2 2 • Damit Wahrscheinlichkeit, dass Messung an Teilchen 2 Spin up ergibt: P++ (φ) = sin2 φ 2 Die anderen m¨oglichen Ergebnisse φ P+− (φ) = cos2 , 2 φ P−+ (φ) = cos2 , 2 P−− (φ) = sin2 φ 2 • Mittelwert des Produktes Sz1 Sφ2 : Kovarianzkoeffizient C(φ) ~2 (P++ (φ) − P+− (φ) − P−+ (φ) + P−− (φ)) 8   ~2 2 φ 2 φ − cos = sin 4 2 2 2 ~ CQM (φ) = − cos(φ) 4 CQM (φ) = (76) Vorhersage von Theorien verborgener Parameter • Parameter λ legt Werte von Sz1 und Sφ2 fest • Jedes Teilchenpaar hat bestimmten Wert von λ, das einzige, was wir dar¨ uber wissen: Z dλ p(λ) = 1 • Kovarianzkoeffizient: Z Chv (φ) = dλ p(λ)Sz1 (λ)Sφ2 (λ) • Betrachte weiteres Experiment mit Winkel θ zur z-Achse Z C(φ) − C(θ) = dλ p(λ)(Sz1 (λ)Sφ2 (λ) − Sz1 (λ)Sθ2 (λ)) 157 Es muss gelten Sφ1 (λ) = −Sφ2 (λ), Sθ1 (λ) = −Sθ2 (λ) Damit Z C(φ) − C(θ) = − ~2 4Z mit (Sφ1 (λ))2 = C(φ) − C(θ) = − dλ p(λ)Sz1 (λ)(Sφ1 (λ) − Sθ1 (λ))   4 dλ p(λ)Sz1 (λ)Sφ1 (λ) 1 − 2 Sφ1 (λ)Sθ1 (λ) ~ • Betragsm¨assige Absch¨atzung   Z 4 |C(φ) − C(θ)| ≤ dλ p(λ)|Sz1 (λ)Sφ1 (λ)| 1 − 2 Sφ1 (λ)Sθ1 (λ) ~ • Mit |Sz1 (λ)Sφ1 (λ)| = ~2 4 und Sθ1 (λ) = −Sθ2 (λ)   2 Z ~ − Sφ1 (λ)Sθ1 (λ) |C(φ) − C(θ)| ≤ dλ p(λ) 4 Z ~2 = + dλ p(λ)Sφ1 (λ)Sθ2 (λ) 4 Damit |Chv (φ) − Chv (θ)| − Chv (θ − φ) ≤ ~2 4 (77) die Bell’sche Ungleichung • Folgt notwendig aus jeder lokalen, deterministischen, realen Theorie verborgener Parameter Vergleich mit Vorhersage der Quantenmechanik. Betrachte Fall: θ = 2φ • Gl. (76) ergibt: CQM (φ) = − ~2 cos φ, 4 CQM (θ) = − ~2 cos 2φ 4 In Gl. (77) eingesetzt ~2 ~2 (| cos φ − cos 2φ| + cos φ) ≤ 4 4 158 • F¨ ur 0 ≤ φ ≤ π ist die Ungleichung verletzt, maximale Verletzung bei φ = π/3, Cosinus-Terme ergeben dort 3/2. • Ergo: Quantenmechanik im Widerspruch zu verborgenen Parametern Vergleich mit dem Experiment • Freedman, Clauser, 1972: Erster Bericht u ¨ber Verletzung der Bell’schen Ungleichung • Aspect, 1982: Deutlicher Hinweis auf Verletzung • Kritik an den Experimenten: Loopholes – Effizienz der Detektoren – wirkliche raum-zeitliche Trennung der Detektoren • Final ausger¨aumt Dezember 2015 FOLIEN der PRLs, Physik Journal Lessons learned: • Quantenmechanische Messungen stellen Eigenschaften nicht fest, sondern her • Wir stehen selbst entt¨auscht und sehn betroffen den Vorhang zu und alle Fragen offen Bertolt Brecht: Der gute Mensch von Sezuan 159