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Elektrodynamik Elektrodynamik Zusammenfassung ¨ Marius Priebe und Christian Kohler Inhaltsverzeichnis 1 Mathematischer Rahmen 1.1 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Gradient (Steigung) . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 1.1.2 Rotation (Wirbelstarke) . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 1.1.3 Divergenz (Quellstarke) . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Richtungsableitung (Steigung in einer Richtung) ¨ 1.1.5 Laplace-Operator (Potentialfeldquellstarke) . . 1.2 Produktregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Aufstellen einer Produktregel . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 1.3 Integralsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Beziehungen zwischen den Operatoren . . . . . 1.3.3 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Delta-Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Ein wichtiges Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Green’sche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Sonstiges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 1.5.1 Flachenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Parametrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 3 . 3 . 4 . 5 . 5 . 5 . 6 . 6 . 6 . 7 . 7 . 7 . 8 . 8 . 8 . 8 . 9 . 9 . 9 . 10 2 Transporttheorie 11 2.1 Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ¨ 2.2 Kontinuitatsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Statik 3.1 Einfache Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Quellenverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Felder kontinuierlicher Quellverteilungen . . . . . . . ¨ 3.3 Satze uber ¨ den Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 3.4 Krafte auf Ladungen im Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Ladung im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Bewegte Ladung in der magnetischen Flussdichte . 3.5 Dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Elektrische Dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Magnetische Dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Felder in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Ausrichtung von Dipolen . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Umdefinition fur ¨ externe Quellen . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 14 15 16 16 17 4 Dynamik 4.1 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 4.2 Potential in zeitabhangigen Situationen . . . 4.3 Maxwell’sche Korrektur . . . . . . . . . . . . . 4.4 Maxwell Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Einfache Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . 4.7.1 Betrachtung der Felder ohne Quellen 4.7.2 Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 inhomogene Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 18 18 18 19 19 19 20 20 21 21 22 22 5 Anwendungen 5.1 Elektrischer Widerstand . . . . . . . . . 5.2 Wechselstromkreise . . . . . . . . . . . . 5.3 Induktion zwischen zwei Leiterschleifen 5.4 Wechselspannung am Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 23 24 24 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mathematischer Rahmen 1.1 Ableitungen Fur ¨ die Definiton mehrdimensionaler Ableitungen verwendet man den Nabla-Operator  ∂  ~ :=  ∇ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z  Damit kann man unter Verwendung von Skalar- und Kreuzprodukt die in der Elektrodynamik ¨ benotigten Rechnungen bequem aufschreiben.1 1.1.1 Gradient (Steigung) Ist f (~r) eine skalare Funktion, so ist  ~ f := ∇f ~ = grad  ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z    der Gradient von f . Er hat u.A. diese beiden Eigenschaften: ~ ist orthogonal zu den H¨ • ∇f ohenlinien von f , das sind Kurven ~r(t) mit f (~r(t)) = const. fur ¨ jeden Wert von t, denn d 2 ˙ ~ 0 = dt f (~r(t)) = (∇f ) · ~r(t). ~ zeigt in Richtung des großten ¨ • Der Vektor ∇f Anstiegs von Abbildung 1: Darstellung einer Beif . Um dies einzusehen, schauen wir uns an, wie sich f am spielfunktion mit Pfeilen als Gradiend ~ ) · ~e = ten ¨ Ort s + t · ~e)|t=0 = (∇f dt f (~ ~s in Richtung ~e andert: ~ ~ ; ~e)) Dieser Wert ist, wenn ~e in Richtung des ∇f · cos(∠(∇f 1 Achtung: Man kann mit dem ∇ ~ rechnen wie mit herk¨ommlichen Vektoren, muss jedoch beachten, auf welchen Vektor er sich bezieht und nach welchen Variablen er die Ableitung bezeichnet. 2 Damit ist ∇f ~ auch orthogonal zu den Aquipotentialfl¨ ¨ achen von f . Diese sind durch die gleiche Eigenschaft wie die H¨ohenlinien ~ r (t) defniniert, nur halt als Fl¨achen. Der Grund ist, dass jede Kurve innerhalb einer solchen Fl¨ache eine H¨ohenlinie ist. 3 ¨ Gradienten zeigt, (a) am großten (b) der Betrag des Gradienten. Einige Bemerkungen: ~ einen Index mit • Um anzudeuten, nach welcher Variablen abgeleitet wird, kann man dem ∇ ~ ~r f |~r=~s , um die ¨ ¨ dem entsprechenden Vektor geben, z.B. hatten wir gerade schreiben konnen ∇ Stelle, an der die Ableitung genommen wird, mit zu notieren. • Bei beiden Rechnungen wurde die Kettenregel ausgenutzt. Diese ist im mehrdimensionalen i.A. ¨ jedoch nicht kommutativ, d.h. von links gesehen kommt erst die außere und dann die innere Ableitung. • Der Gradient ist ein Spezialfall der Jacobi-Matrix der ersten Ableitungen und muss, wenn man in ¨ komplizierteren Fallen das Matrizenkalkul ¨ verwenden will, als Zeilenvektor geschrieben werden.3 ∂f ~ · dx + ∂f r , auf, so erhalten ∂y · dy + ∂z · dz = (∇f ) · d~ ~ wir zum einen die lineare mehrdimensionale Taylor-N¨ aherung f (~r) ≈ f (~r0 )+(∇f |~r=~r0 )·(~r −~r0 ), zum anderen zeigt die Form des totalen Differentials (lauter Summanden aus jeweils zwei Faktoren, ¨ das sieht sehr nach Matrizenmultiplikation aus) die oben bereits erwahnte mehrdimensionale Kettenregel.4 • Schreibt man das totale Differential von f , df = 1.1.2 ∂f ∂x Rotation (Wirbelst¨ arke)  ~ × ~a =  ~ ~a := ∇ rot  bezeichnet die Rotation von ~a. ∂az ∂y ∂ax ∂z ∂ay ∂x − − − ∂ay ∂z ∂az ∂x ∂ax ∂y    • Ihre anschauliche Bedeutung ist die Wirbelst¨ arke von ~a, denn jede Komponente misst grob gesagt die Differenz zwischen den Differenzen der in den zur jeweiligen Richtung senkrecht liegenden Randstrecken verlaufenden Anteile des Vektorfelds. (Dies werden wir mit dem Begriff von einer Zirkulation konkretisieren.) Abbildung 2: Darstellung eines Vektorfelds mit um den Nullpunkt kon• Nimmt der zu einer Richtung orthogonale Anteil genauso stark zentrierter Rotation (Man sieht hier zu wie der zur orthogonalen Richtung orthogonale Anteil, so die rechte Hand-Regel: Der Dau¨ verschwindet die zugehorige Komponente. men zeigt in Richtung der Rotation, • Stimmt dies fur ¨ alle Richtungen, dann verschwindet die Rotati- die anderen Finger in Richtung des Vektorfelds.) on insgesamt und man nennt ~a wirbelfrei. ~ × (∇f ~ ) ≡ ~0, d.h. Gradientenfelder sind wirbelfrei.5 • Es gilt stets ∇ Der Satz von Stokes hilft der Anschauung indirekt weiter. 3 Denn f ist eine Funktion R3 → R Einzelheiten fuhren ¨ hier jedoch zu weit. 5 Diese und die gleich folgende analoge Aussage fur ¨ Wirbelfelder kann man einfach nachrechnen. Wir werden sp¨ater noch eine anschauliche Erkl¨arung besprechen. 4 Die 4 1.1.3 Divergenz (Quellst¨ arke) Fur ¨ das Vektorfeld ~a bezeichnen wir mit ~ · ~a = ∂ax + ∂ay + ∂az div ~a := ∇ ∂x ∂y ∂z die Divergenz von ~a. • Sie hat anschaulich die Bedeutung der Quellst¨ arke von ~a, denn jeder Term misst grob gesagt die Differenz zwischen den durch die zur jeweiligen Richtung senkrecht liegen¨ den Randflachen tretenden Anteilen des Vektorfelds. (Dies werden wir mit dem Begriff vom einem Fluß konkretisieren.) • Geht auf der einen Seite genau so viel herein wie auf Abbildung 3: Darstellung eines Vektorfels mit Divergenz (Diese ist dort ¨ der anderen Seite heraus, so verschwindet der zugehorige positiv, wo die Pfeile auseinanderTerm. laufen, und negativ, wo sie zusam• Stimmt die Bilanz in der Summe uber ¨ alle Richtungen, menlaufen. In den beiden anderen dann verschwindet die Divergenz insgesamt und man Quadranten verschwindet sie.) nennt f quellenfrei.6 ~ · (∇ ~ ×~a) ≡ 0, d.h. Wirbelfelder sind quellenfrei. • Es gilt stets ∇ Der Satz von Gauß hilft der Anschauung indirekt weiter. Man beachte, dass wir freundlicherweise von einem der beiden zuletzt eingefuhrten ¨ Begriffe zum anderen kommen, indem wir · gegen × und die geometrischen Begriffe, sowie Fluß gegen Zirkulation7 ¨ ¨ austauschen. Ahnliche Schonheiten durchziehen auch den physikalischen Teil. 1.1.4 Richtungsableitung (Steigung in einer Richtung) Wir nennen ~ ~ ) = ex · ∂f + ey · ∂f + ez · ∂f (~e · ∇)f = ~e · (∇f ∂x ∂y ∂z Die Richtungsableitung von f in Richtung von ~e. Ihre Bedeutung haben wir bereits bei der Einfuhrung ¨ ¨ des Gradienten erortert. • Bei der Anwendung auf Vektorfelder ist die Richtungsableitung komponentenweise auszufuhren. ¨ • Damit entspricht sie der Multiplikation der Jacobi-Matrix mit dem Vektor, in dessen Richtung abgeleitet wird. 1.1.5 Laplace-Operator (Potentialfeldquellst¨ arke) In dem Ausdruck ~ f =∇ ~ · ∇f ~ = ∆f := div grad ∂2f ∂2f ∂2f + 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂z ~ ·∇ ~ den Laplace-Operator, einen sog. elliptischen Differentialoperator. bezeichnen wir mit ∆ = ∇ • Seine Bedeutung ist8 analog zur zweiten Ableitung im eindimensionalen Fall aufzufassen. Dies sieht man ein, indem man die Begriffe Gradient und Divergenz nacheinander anwendet: ¨ Zunachst gibt der Gradient die Steigung an und die Divergenz des Gradienten also wie stark die Steigung nach außen zunimmt. Um den Bezug zum eindimensionalen Fall herzustellen: Haben wir z.B. ein lokales Maximum von f , so zeigt der Gradient lokal auf dieses zu (also nach ¨ innen), d.h. die Quellstarke des Gradienten, also der Wert des Laplaceoperators, angewendet auf f , ist negativ. 6 Man beachte die v¨ollig analoge Anschauung zur Rotation. Gauß gegen Stokes) 8 mal abgesehen davon, dass er die Divergenz des Gradienten angibt 7 (und 5 • Auf ein Vektorfeld wird der Laplace-Operator komponentenweise angewendet, so dass Konsistenz mit der Rechenregel fur ¨ das doppelte Kreuzprodukt herrscht: ~ ∇ ~ · ~a) − ∇ ~ × (∇ ~ × ~a) ∆~a = ∇( 1.2 Produktregeln 1.2.1 Aufstellen einer Produktregel Analog zum eindimensionalen Fall gilt stets × ~ b) = ∇( ~ × ~ a b) + ∇(a ∇(a b) ~ und der Klammer, sowie zwischen a und b irgend eine der behandelten • Dabei kann zwischen ∇ Arten von Multiplikation stehen (d.h. Skalarmultiplikation, Skalarprodukt oder Vektorprodukt). a ¨ und b konnen entsprechend Skalar- oder Vektorfelder sein. Das Kreuzchen bezeichnet dabei ~ bezieht. denjenigen Faktor, auf den sich ∇ • Die Aufgabe besteht nun darin, die entstehenden Ausdrucke ¨ so umzuformen, dass hinter dem ~ nur noch das mit dem Kreuzchen markierte Feld steht. Auf diese Weise hat man das Ergebnis ∇ auf eine Form gebracht, in der nur noch die bekannten Arten der Ableitung auftauchen. 1.2.2 Formelsammlung Mit der oben genannten Vorgehensweise und z.T. der Regel fur ¨ das doppelte Kreuzprodukt9 ergeben sich fur ¨ die Skalarfelder f und g und die Vektorfelder a und b die Produktregeln: ~ g) = ∇(f ~ · (f~a) = ∇ ~ × (f~a) = ∇ ~ · (~a × ~b) = ∇ ~ )g + f (∇g) ~ (∇f ~ ) · ~a + f (∇ ~ · ~a) (∇f ~ ) × ~a + f (∇ ~ × ~a) (∇f ~ × ~a) · ~b − ~a · (∇ ~ × ~b) (∇ ~ × (~a × ~b) = (~b · ∇)~ ~ a − (∇ ~ · ~a)~b − (~a · ∇) ~ ~b + (∇ ~ · ~b)~a ∇ ~ a · ~b) = ~b × (∇ ~ × ~a) + (~b · ∇)~ ~ a + ~a × (∇ ~ × ~b) + (~a · ∇) ~ ~b ∇(~ (1) (2) (3) (4) (5) (6) ¨ des Produktes, bei der vierten ForDabei wurde bei den ersten drei Formeln lediglich die Bilinearitat ¨ des Spatproduktes und bei den letzten beiden die Regel fur mel die Zyklizitat ¨ das doppelte Kreuzprodukt verwendet. 9 (zu erkennen daran, dass vier Terme auftauchen) 6 1.3 Integrals¨ atze ¨ Genau wie im eindimensionalen Fall der Hauptsatz ermoglichen es im mehrdimensionalen verschiedene Integrals¨ atze statt der Integration einer Ableitung uber ¨ ein Gebiet nur das Vektorfeld selbst auf dem Rand zu betrachten. Dabei sei im Folgenden stets V ein Volumen, das von der Oberfl¨ ache A berandet wird10 bzw. A eine Fl¨ ache, die von der Randkurve C berandet wird.11 1.3.1 Formelsammlung • Satz von Stokes Z A ~ · (∇ ~ × ~a) = dA I C d~x · ~a Den Ausdruck auf der rechten Seite nennt man die Zirkulation des Vektorfeldes ~a entlang der Kurve C. Der Satz ¨ beschreibt also wie diese durch die Wirbelstarke von ~a im Inneren von C zustande kommt.12 • Satz von Gauß Z V ~ · ~a = dV ∇ I A ~ · ~a dA Den Ausdruck auf der rechten Seite nennt man den Fluß ~ durch die Fl¨ des Vektorfeldes A ache A. Der Satz beschreibt ¨ also wie dieser durch die Quellstarke von ~a im Inneren von A zustande kommt.13 • Noch ein Satz14 Z V ~ × ~a = dV ∇ I A ¨ von Stokes und Abbildung 4: Satz Gauß: Die Rotation zeigt in Rich¨ tung des Flachenvektors, das Vektorfeld selbst in Richtung der Randkurve bzw. die Divergenz ist positiv, das Vektorfeld zeigt in Richtung des ¨ ¨ Flachenvektors der Oberflache. ~ × ~a dA 1.3.2 Beziehungen zwischen den Operatoren ¨ Mit den Integralsatzen kann man ohne weiter auf Koordinaten ¨ zuruckgreifen ¨ zu mussen ¨ ganz anschaulich erklaren, warum die oben getroffenen Aussagen, dass Gradientenfelder wirbelfrei und Wirbelfelder quellenfrei sind, richtig sind. Dazu berechnen wir: I Z von C ~ ) = f |Ende ~ ~ ~ d~x · (∇f dA · (∇ × (∇f )) = Anfang von C ≡ 0 C A Dabei wurde zuerst der Satz von Stokes angewendet und dann der Hauptsatz. Zuletzt wurde ausgenutzt, dass bei einer geschlossenen Kurve Anfang und Ende zusammenfallen. Da A beliebig ist, muss auch der Integrand ganz links verschwinden. Z I I ~ ~ ~ ~ dV ∇ · (∇ × ~a) = dA · (∇ × ~a) = d~x · ~a ≡ 0 V A C Dabei wurde zuerst der Satz von Gauß angewendet und dann der Satz von Stokes. Zuletzt wurde ¨ ausgenutzt, dass bei einer geschlossenen Flache die Randkurve verschwindet. Da V beliebig ist, muss auch der Integrand ganz links verschwinden. ~ stets von V aus gesehen nach außen gerichtet. ist vereinbarungsgem¨aß der Vektor fur ¨ das Fl¨achenelement dA ~ auf den wird vereibarungsgem¨aß die Kurve C stets gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, wenn der Vektor dA Betrachter gerichtet ist. 12 In der Mechanik kommt daher die Aussage, dass man genau dann entlang eines beliebigen geschlossenen Weges keine Arbeit verrichtet, wenn das Kraftfeld uberall ¨ wirbelfrei ist. 13 In der Transporttheorie kommt daher die Aussage, dass die Bilanz hinein- und herausstr¨ omender Ladung uber ¨ ein beliebiges Volumen genau dann ausgeglichen ist, wenn das Str¨omungsfeld uberall ¨ quellenfrei ist. 14 Leider ist mir dazu kein Name bekannt. 10 Dabei 11 Dabei 7 1.3.3 Partielle Integration So, wie man im eindimensionalen Fall die Produktregel mit dem Hauptsatz verbinden kann, um die Formel fur ¨ die partielle Integration zu erhalten, kann man eine mehrdimensionale Produktregel mit einem Integralsatz verbinden, um Formeln fur ¨ die partielle Integration zu erhalten. Die folgenden zwei ¨ ¨ Beispiele werden spater benotigt: • Die zweite Produktregel ergibt in Verbindung mit dem Satz von Gauß Z I Z ~ ~ ~ · ~a) dV (∇f ) · ~a = dA · f~a − dV f (∇ V A V • Die dritte Produktregel ergibt in Verbindung mit dem dritten Integralsatz Z I Z ~ ) × ~a = ~ × f~a − ~ × ~a) dV (∇f dA dV f (∇ V A V 1.4 Delta-Distribution 1.4.1 Definition Die δ-Distribution ist durch die Gleichung Z dxδ(x) = G ( falls 0 ∈ G sonst 1 0 ¨ man definiert. δ(x) verschwindet also fur ¨ x 6= 0 stets. 15 Mit δ(~x) := δ(x)δ(y)δ(z) erhalt ( Z 1 falls ~0 ∈ G dV δ(~x) = 0 sonst G Aus der Definition von δ(~x) folgt, dass δ(~x) ebenfalls fur ¨ ~x 6= ~0 verschwindet. Daraus ergibt sich in Verbindung mit der Definitionsgleichung16: Z dV f (~x)δ(~x) = f (~0) R3 1.4.2 Ein wichtiges Beispiel ¨ ¨ Wir schauen uns zunachst den in der Elektrodynamik standig auftretenden Ausdruck ¨ man: Fur ¨ den Gradienten erhalt ~ 1 = − ~x ∇ 3 |~x| |~x| 1 |~ x| fur ¨ ~x 6= ~0 an. Die Divergenz des Ergebnisses ist17 : 1 ~ 1 ~ · ~x = − ∇ ∆ = −∇ |~x| |~x|3 |~x|3 ! · ~x − 1 |~x|3 ~ · ~x) = 3 (∇ ~x |~x|5 · ~x − 1 |~x|3 ! =0 Aber wie sieht das Ergebnis bei ~x = ~0 aus? Dazu integrieren wir uber ¨ eine Kugel mit dem Volumen V um ~x = ~0 und verwenden den Satz von Gauß: I Z 1 ~·∇ ~ 1 = −4π dA dV ∆ = |~ x | |~x| A V 15 Wenn man will, kann man sich daher den Ausdruck δ(x) z.B. als eine um 0 zentrierte unendlich scharfe Gauß-Kurve vorstellen. 16 Denn da der Integrand fur ¨ ~ x 6= ~0 verschwindet, geht f nur mit dem Wert an der Stelle ~0 ein. 17 unter Verwendung der zweiten Produktregel und ~ x·~ x = |~ x|2 8 An diese Kugel18 kann man beliebige Volumina ansetzen, ohne den Wert des Integrals uber ¨ das ¨ Gesamtvolumen zu andern, denn einerseits entspricht das Integrieren uber ¨ Kugel- und angesetzte ¨ ¨ ¨ Oberflache dem Integrieren uber ¨ die gemeinsame Oberflache, da sich die Flachenelemente an ¨ ¨ der Kontaktflache wegheben, andererseits liefert das zusatzliche Volumen keinen Beitrag, da der Integrand dort, wie oben nachgerechnet wurde, verschwindet. Das Integral liefert also den Wert −4π genau dann, wenn das Integrationsvolumen den Ursprung ¨ und sonst liefert es den Wert 0. Das bedeutet enthalt 1 ∆ = −4πδ(~x) |~x| 1.4.3 Green’sche Funktion Wenn eine inhomogene Differentialgleichung Df = g mit dem linearen Differentialoperator D, der gesuchten Funktion f und der vorgegebenen Funktion g, der Inhomogenit¨ at, gegeben ist und eine Funktion G, die Green’sche Funktion, mit der Eigenschaft DG = δ ¨ bekannt ist19 , so lasst sich mit Z dV 0 g(~x0 )G(~x − ~x0 ) f (~x) = R3 ¨ eine Losung der Differentialgleichung Df = g angeben, denn es ist Z Df (~x) = dV 0 g(~x0 )δ(~x − ~x0 ) = g(~x) R3 1 Wie oben berechnet wurde, ist also z.B. G(~x) := − 4π|~ x| eine Green’sche Funktion fur ¨ den Differentialoperator ∆. Man kann sich das Prinzip der Green’schen Funktion so vor¨ stellen: D hangt von dem betrachteten System ab und be¨ schreibt, wie der Zustand des Systems f mit dem außeren Ein¨ fluss g zusammenhangt. Die Green’sche Funktion G ist nun gerade als dasjenige Verhalten des Systems definiert, die es auf eine auf den Nullpunkt konzentrierte Anregung zeigt. Genau so, wie sich die Anregung selbst aus konzentrierten Anregungen zusammensetzt (im Sinne einer Faltung mit der δ-Distribution), setzt sich die Antwort des Systems aus den Antworten auf diese konzentrierten Anregungen zusammen. Abbildung 5: Green’sche Funkti¨ on des harmonischen gedampften Oszillators: So reagiert er auf einen ¨ δ-Kraftstoß bei t = 0. Uberlagerung ¨ vieler δ-Stoße, hier z.B. eine sin¨ formige Anregung ab t = 0: Der Oszillator schwingt sich ein und bewegt sich dann mit der Anregungsfrequenz. 1.5 Sonstiges 1.5.1 Fl¨ achenberechnung ~ × ~a = ~ez , z.B. Wir betrachten ein Vektorfeld ~a mit ∇   −y 1 x  ~a := 2 0 20 ¨ ¨ und betrachten eine ebene Flache A, die wir in die x,y-Ebene legen. Dann ist der Flacheninhalt 18 Die Gr¨ ~ geht quadratisch, ∇ ~ 1 reziprok-quadratisch mit dem Radius oße der Kugel ist, wie die Rechnung gezeigt hat (dA |~ x| der Kugel) egal. 19 Das bedeutet, dass die Green’sche Funktion G nur von dem Differentialoperator D und nicht von einer konkreten Inhomogenit¨at g abh¨angt. 20 Dabei wird in der Mitte der Satz von Stokes verwendet. 9 Z A ~ · ~ez = dA Z A ~ · (∇ ~ × ~a) = dA I C d~x · ~a = 1 2 I C (~x × d~x) · ~ez Wenn wir dies fur ¨ die anderen beiden Ebenen auch machen und die entstehenden Gleichungen zusammenfassen, dann erhalten wir Z I ~= 1 dA ~x × d~x 2 C A ¨ Anschaulich zeigt diese Gleichung wie die Flache sich aus ¨ schmalen Dreiecken zusammensetzt, die man erhalt, wenn ¨ Abbildung 6: Zur Flachenberech¨ ¨ man den Rand der Flache entlanglauft. nung 1.5.2 Parametrisierung ~ oder dV berechnen zu konnen, ¨ Um ein konkretes Integral mit einem Differential wie d~x, dA fuhrt ¨ man eine Funktion ~x(t), ~x(s, t) bzw. ~x(r, s, t) ein und gibt fur ¨ das/die Argument(e) Grenzen an, so dass ~x ¨ ¨ die Kurve, die Flache bzw. das Volumen durchlauft, wenn die Argumente den so definierten Bereich durchlaufen. Diese Argumente heißen die Parameter und die eingefuhrte ¨ Funktion nennt man die Parametrisierung des Gebildes. Nun kann man die Vektordifferentiale durch die Differentiale der Parameter ausdrucken, ¨ indem man sie aus den Vektordifferentialen fur ¨ die einzelnen Parameter zusammensetzt: • Berechnung eines Kurvenintegrals Es seien t1 und t2 die Grenzen fur ¨ den Parameter t21 , so 22 dass C = {~x(t) | t ∈ [t1 ; t2 ]} ist. Dann ist d~x = ∂~x dt ∂t und das Kurvenintegral kann folgendermaßen berechnet werden:23 Z t2 Z ∂~x · ~a(~x(t)) dt d~x · ~a(~x) = ∂t t1 C • Berechnung eines Fl¨ achenintegrals ¨ Es seien zusatzlich s1 und s2 die Grenzen fur ¨ den Parameter s, so dass A = {~x(s, t) | (s, t) ∈ [s1 ; s2 ] × [t1 ; t2 ]}. Dann ist   ~ = ∂~x × ∂~x dsdt dA ∂s ∂t ~ zu achten ist, z.B. wobei auf die Richtung von dA ¨ zeigt er bei geschlossenen Flachen nach außen.24 Das ¨ Flachenintegral kann dann folgendermaßen berechnet werden:25  Z s2 Z t2  Z ∂~x ∂~x ~ · ~a(~x(s, t)) × dt ds dA · ~a(~x) = ∂s ∂t t1 s1 A Abbildung 7: Tangentialvektor an eine Kurve (Wegelement) und Paar von Tangentialvektoren an eine ¨ ¨ Flache (Flachenelement) 21 Dieser muss, anders als die Schreibweise es andeutet, nicht zwangsweise die Zeit sein, in der die Kurve durchlaufen wird, handelt es sich bei der Kurve aber um eine Trajektorie, kann das durchaus sinnvoll sein. 22 Dabei muss man allerdings beachten, dass die Kurve als solche neben der Menge ihrer Punkte auch noch die Information daruber ¨ enth¨alt, in welcher Richtung sie durchlaufen wird. 23 Dabei kann statt · auch × zwischen dem Differential und dem Integranden stehen. Ist der Integrand eine skalare Funktion, dann kann man zwar genauso rechnen, alternativ kann man das Integral jedoch auch komponentenweise ausfuhren. ¨ 24 Die einleitende Konstruktionsvorschrift k¨ onnte man hier so lesen: Wir berechnen den Fl¨achenvektor des Parallelograms, dessen Kantenvektoren tangential an die Kurven beim Durchlaufen der einzelnen Parameter liegen, dieses Parallelogram liegt dann tangential an der Fl¨ache. 25 Wiederum mit dem Hinweis, ggf. · durch × zu ersetzen. 10 • Berechnung eines Volumenintegrals ¨ Es seien zusatzlich r1 und r2 die Grenzen fur ¨ den Parameter r, so dass V = {~x(r, s, t) | (r, s, t) ∈ [r1 ; r2 ] × [s1 ; s2 ] × [t1 ; t2 ]}. Dann ist    ∂~x ∂~x ∂~x · × dV = drdsdt ∂r ∂s ∂t | {z } =detD~ x(r,s,t) wobei auf das Vorzeichen von dV zu achten ist, es ist positiv.26 Das Volumenintegral kann dann folgendermaßen Abbildung 8: Noch ein Vektor senkberechnet werden: ¨ recht zum Flachenelement ergibt   Z Z r2 Z s2 Z t2  ∂~x ∂~x ∂~x insgesamt ein Volumenelement. · f (r, s, t) × dt ds dr dV f (~x) = ∂r ∂s ∂t t1 s1 r1 V 2 Transporttheorie 2.1 Stromdichte ¨ ¨ Der Ubergang von punktformigen Objekten, die mit einer Art von Ladung, wie z.B. Anzahl, Masse oder allgemein einer ge¨ wissen Große g behaftet sind, zu einer kontinuierlichen Verteidg lung, die durch die entsprechende g-Dichte dV gegeben ist, dg wird fur ¨ den entsprechenden g-Strom dt durch die Definition der g-Stromdichte ~j mit der g-Dichte ρ und der Geschwindigkeit ~v ~j := ρ~v ~ · geleistet. Wir schauen uns ein Volumenelement dV = dA d~ s 27 d~s an, das sich mit der Geschwindigkeit ~v = dt durch das ~ bewegt. ¨ Flachenst uck ¨ dA Abbildung 9: Zur Interpretation der ¨ Stromdichte als Strom pro Flache: ¨ Nur die zur Flache senkrechte Kom¨ zum ¨ Wahrend die g-Dichte also die Bedeutung der g-Ladung pro ponente der Stromdichte tragt Strom bei. ¨ Volumen hat, gibt die g-Stromdichte den g-Strom pro Flache ¨ oder anders gesagt die g-Ladung pro Zeit und Flache an. Die ~ auf der linken Seite mit einem SkalarproSchreibweise mit dA dukt zeigt dabei, dass nur der Teil der Stromdichte, der in Rich¨ ¨ tung des Flachenvektors zeigt, also senkrecht durch die Flache ¨ geht, zum Strom beitragt. ~ = ρ~v · A ~ = dg d~s · dA ~ = dg ~j · dA dV dt dt 2.2 Kontinuit¨ atsgleichung ¨ Die Aussage, dass die Anderung der in einem Volumen enthaltenen g-Ladung durch die g-Strombilanz ¨ durch die Oberflache zustande kommt, lautet, mit dieser Interpretation der Stromdichte formuliert     Z I d dg dg ~ ~ =− =− dA · j = dV ρ dt nach draußen dt im Inneren dt V A und kann mit dem Satz von Gauß, angewendet auf die linke Seite, sowie der Beliebigkeit des Volumens V , in das lokale Gesetz ~ · ~j + ρ˙ = 0 ∇ 26 Diesmal fuhrt ¨ die einleitende Konstruktionsvorschrift auf das Spatprodukt und das ist positiv, wenn die vorkommenden Vektoren in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. 27 Diese Schreibweise haben wir bereits im Abschnitt uber ¨ das Parametrisieren fur ¨ ein Volumenelement verwendet. 11 die Kontinuit¨ atsgleichung, umformuliert werden. Umgangssprachlich kann man mit der Interpreta¨ tion der Divergenz als Quellstarke auch sagen, dass eine g-Ladungsquelle an ihrem Ort g-Ladung verbraucht. 3 Statik • Im Folgenden bezeichnen die mit einem Strich versehenen Vektoren stets den Ort einer Quelle und die Vektoren ohne Strich den Ort, an dem das Feld betrachtet wird, das diese Quellen erzeugen. Die Ableitungen beziehen sich auf letztere. ¨ • Auf der linken Seite werden elektrische Phanomene und auf der rechten Seite die magnetischen Entsprechungen dargestellt. 3.1 Einfache Quellen Eine elektrische Punktladung Q erzeugt das elek~ : trische Feld E ~ = E Eine bewegte Punktladung erzeugt die magneti~ : sche Flussdichte B ~x − ~x0 1 Q 4π0 |~x − ~x0 |3 0 ~ = µ0 Q~v × ~x − ~x B 4π |~x − ~x0 |3 ~ ist wirbelfrei: Das elektrische Feld E ~ ×E ~ = ~0 ∇ Wir haben es ja bereits als Gradienten von kennengelernt. ~ ist quellenfrei: Die magnetische Flussdichte B ~ ·B ~ =0 ∇ Denn mit der vierten Produktregel taucht wieder ~ 1 0 auf. die Rotation von ∇ |~ x−~ x| 1 |~ x−~ x0 | 28 Daher kann man es durch das elektrische Potential φ ausdrucken: ¨ ~ = −∇φ ~ E Fur ¨ eine Punktladung Q ist das elektrische Potential φ 1 1 Q φ= 4π0 |~x − ~x0 | Wegen ~ −∇const. = ~0 ist es nur bis auf eine Konstante festgelegt ~ Daher kann man sie durch das Vektorpotential A ausdrucken: ¨ ~ =∇ ~ ×A ~ B Fur ¨ eine bewegte Punktladung ist das Vektorpo~ tential A 1 ~ = µ0 Q~v A 4π |~x − ~x0 | Wegen ~ × (∇f ~ ) = ~0 ∇ ist es nur bis auf den Gradienten einer skalaren Funktion f festgelegt. ~ nur von der Differenz der Potentiale an den h¨angt deshalb auch ein Kurvenintegral des elektrischen Feldes E Endpunkten der Kurve ab, welche als elektrische Spannung U zwischen diesen Punkten bezeichnet wird. 28 Außerdem 12 3.2 Quellenverteilungen 3.2.1 Potentiale Fur ¨ eine kontinuierliche Ladungsverteilung wer- Fur ¨ eine kontinuierliche Stromverteilung werden Q ¨ s (insgesamt den aus Punktladungen Q Ladungselemente aus Stromen dt und Wegelementen d~ 0 ~ und Wegelemente d~s ρdV , deren Superposition Q~v ) Stromelemente ~j · dA (insgesamt ~jdV 0 ), deren Superposition Z Z µ0 1 1 1 0 ~ A= dV 0~j dV ρ φ= 4π0 |~x − ~x0 | 4π |~x − ~x0 | fur ¨ das elektrische Potential ergibt. fur ¨ das Vektorpotential ergibt. 29 3.2.2 Felder kontinuierlicher Quellverteilungen ~ einer Ladungsdichte ρ ist Die magnetische Flussdichte B ~ einer Stromdichte Das elektrische Feld E ~j ist mit der dritten Produktregel mit der ersten Produktregel Z Z ~x − ~x0 ~x − ~x0 ~ = −∇φ ~ = 1 ~ =∇ ~ ×A ~ = µ0 E B dV 0~j × dV 0 ρ 3 4π0 4π |~x − ~x0 | |~x − ~x0 |3 Coulomb’sches Gesetz Biot-Savart’sches Gesetz Die zweite Produktregel liefert Die funfte ¨ Produktregel liefert ! ! 0 ~ x − ~ x 0 ~ × ~j × ∇ ~ · ρ ~x − ~x ∇ |~x − ~x0 |3 3 0 |~x − ~x |   0 0 0 ~ ~x − ~x ~ · ~x − ~x ~j · ∇) ~j ∇ ~ x − ~ x − ( = 3 ~ · = ρ∇ |~x − ~x0 | |~x − ~x0 | 3 |~x − ~x0 | ~x − ~x0 ~ ~ (a) = 4π~jδ(~x − ~x0 ) + = 4πρδ(~x − ~x0 ) (∇ · j) |~x − ~x0 |3 | {z } (b) =−ρ˙ =~0 30 Damit kann die Divergenz des elektrischen Feldes ~ berechnet werden: E Z ρ ~ ·E ~ = 1 ∇ dV 0 ρδ(~x − ~x0 ) = 0 0 Dies ist das Gauß’sche Gesetz in differentieller Form. Damit kann die Rotation der magnetischen Fluss~ berechnet werden: dichte B Z ~ ×B ~ = µ0 dV 0~jδ(~x − ~x0 ) = µ0~j ∇ ` Dies ist das Ampere’sche Gesetz in differentieller Form. 3.3 S¨ atze u ¨ ber den Rand Mit dem Satz von Gauß ergibt sich Z I ~·E ~ = 1 dV 0 ρ dA 0 V A das Gauß’sche Gesetz in integraler Form. Mit dem Satz von Stokes ergibt sich I Z ~ = µ0 ~ 0 · ~j d~x · B dA C A ` Das Ampere’sche Gesetz in integraler Form. 29 Hier wurde dA ~ · d~s = dV 0 zusammengefasst. Fließen die Ladungen aber mit einem konstanten Strom I in einem Draht, ~ = I zusammenzufassen. Statt ~jdV 0 hat man dann also Id~s und muss ein Kurvenintegral so ist es sinnvoller, den Teil ~j · dA (n¨amlich entlang des Drahtes) ausfuhren. ¨ 30 Hier wurde (a) fur ¨ jede Komponente des zweiten Terms partielle Integration im Sinne der zweiten Produktregel und des Satzes von Gauß verwendet, wobei der Randterm genau wie die Stromdichte im Unendlichen verschwindet und (b) die Kontinuit¨atsgleichung ausgenutzt, sowie der Umstand, dass die Ladungsdichte ρ bei statischen Situationen erhalten ist. 13 3.4 Kr¨ afte auf Ladungen im Feld 3.4.1 Ladung im elektrischen Feld Das elektrische Feld dient als Abstraktion der Kraftwirkung zwischen elektrischen Ladungen, fur ¨ eine ~ fur ~ Probepunktladung Q gilt mit dem elektrischen Feld E ¨ die Coulombkraft F~ auf die Ladung F~ = QE. Dem elektrischen Potential φ entspricht fur ¨ eine Probepunktladung Q also auch das Energiepotential V = Qφ. Elektrische Potentialdifferenzen zwischen zwei Punkten bezeichnet man auch als elektrische Spannung zwischen diesen Punkten. 3.4.2 Bewegte Ladung in der magnetischen Flussdichte ~ so wirkt Bewegt sich die Probeladung Q mit der Geschwindigkeit ~v in der magnetischen Flussdichte B, ~ ~ auf die Ladung die Lorentzkraft F = Q~v × B. Diese Kraft kann keine Arbeit an der Ladung verrichten, denn fur ¨ die Leistung gilt P = F~ · ~v = 0, die Ladung wird stets senkrecht zu ihrer Geschwindigkeit beschleunigt. 3.5 Dipole 3.5.1 Elektrische Dipole Eine Anordnung aus zwei entgegengesetzen Punktladungen ±Q im Abstand d~ nennt man einen elek~ trischen Dipol mit dem Dipolmoment p~ := Qd. Potential Fur ¨ das elektrische Potential erhalten wir, wobei ~x0 den Ort des Dipols, also die Mitte zwischen den beiden Ladungen bezeichnet   1 1 1 1 1 1 1 ~ ~ −  ≈ − Q  Q(d~ · ∇) (~ p · ∇) =− φ= 0 ~ ~ 4π0 4π0 |~x − ~x | 4π0 |~x − ~x0 | ~x − (~x0 + d ) ~x − (~x0 − d ) 2 Feld 2 ¨ Die Naherung der Richtungsableitung des Potentials einer Punktladung als Differenz der Potentiale zweier benachbarter Punktladungen wird exakt fur ¨ d~ → ~0 (Idealer Dipol) oder fur ¨ 0 ~ |~x − ~x |  d (Fernfeld). ~ des idealen Dipols p~ ist dann: Das elektrische Feld E ~ = −∇φ ~ = E 1 ~ 1 ~ ∇(~ p · ∇) 4π0 |~x − ~x0 | Drehmoment Das Drehmoment T~ auf einen elektrischen Dipol p~ setzt sich zusammen aus den Drehmomenten auf die Punktladungen an den Enden.     1~ ~ + − 1 d~ × (−QE) ~ = d~ × (QE) ~ = p~ × E ~ T~ = d × (QE) 2 2 ~ dreht. Es ist also so gerichtet, dass es den Dipol p~ in Richtung des elektrischen Feldes E potentielle Energie ¨ Wir denken uns einen Stab der Lange r an den Dipol angebracht, an dessen Ende man he~ beln kann, um den Dipol gegen das Feld zu verdrehen. Die Kraft F , die man an seinem Ende ~ ~ aufbringen muss, ist senkrecht zum Stab gerichtet und es gilt r F = T . Um den Dipol um den Winkel ϕ zu verdrehen, legt man mit dem Stabende den Weg s = rϕ zuruck. ¨ Mit einem rechten ~ als Referenzposition, wobei die Kraft auf das Stabende in Winkel zwischen Dipol p~ und Feld E 14 Richtung ϕ = 0 wirkt, weshalb d~s und F~ in entgegengesetzte Richtungen zeigen, gilt dann fur ¨ die potentielle Energie: Z rϕ Z rϕ Z ϕ Z ϕ ~ ~ ~ ~ ~ d~s · F = |d~s| F = dϕ T~ = dϕ |~ p| E p| E p·E V =− sin ϕ = − |~ cos ϕ = −~ rπ 2 rπ 2 π 2 π 2 Kraft ~ ×E ~ = ~0 gilt mit der sechsten Produktregel fur Wegen ∇ ¨ die Kraft F~ auf den Dipol ~ = ∇(~ ~ p · E) ~ = p~ × (∇ ~ × E) ~ +(~ ~ E ~ = (~ ~ E ~ F~ = −∇V p · ∇) p · ∇) | {z } ~0 ¨ ¨ Wir konnen sie auch direkt uber ¨ die Krafte auf die beiden Ladungen berechnen: ! !! ~ ~ d d ~ ~x − ~ E ~ = (~ ~ E ~ ~ ~x + −E ≈ Q(d~ · ∇) p · ∇) F~ = Q E 2 2 3.5.2 Magnetische Dipole ~ 31 nennt man einen magnetischen Dipol ¨ Einen vom Strom I durchflossenen Draht mit der Kreisflache A ~ mit dem Dipolmoment m ~ := I A. Potential Parametrisiert man die Stromschleife mit ~x032 und den Ort ~x33 so, dass       cos ϕ x − sin ϕ p ~x0 = r  sin ϕ  , ~x =  0  , woraus d~x0 = r  cos ϕ  , |~x − ~x0 | = r2 + x2 + z 2 − 2rx cos ϕ 0 z 0 ~ mit der Naherung ¨ ¨ folgt, gilt, so konnen wir das Vektorpotential A r → 0 (idealer Dipol) oder |~x|  r (Fernfeld) berechnen:   I Z 2π Z − sin ϕ 0 ~ d~x 1 µ0 µ0 j ~ = µ0  cos ϕ  dϕ p = I = Ir dV 0 A 4π |~x − ~x0 | 4π |~x − ~x0 | 4π r2 + x2 + z 2 − 2rx cos ϕ 0 0 ! 2 Z 2π Z 2π rx cos2 ϕ − r2 cos ϕ (b) µ0 Ir~ey cos ϕ µ0 Ir~ey (a) √ √ + ... dϕ q dϕ cos ϕ + ≈ = 2 4π x2 + z 2 0 4π x2 + z 2 0 x2 + z 2 cos ϕ 1 + r −2rx x2 +z 2 = µ0 µ0 µ0 Iπr2 x~ey ~x ~x = Iπr2~ez × 3 = m ~ × 3 √ 4π x2 + z 2 3 4π 4π |~x| |~x| Verallgemeinert auf eine beliebige Ausrichtung des magnetischen Dipols m ~ und Position ~x0 ~ in der Fernfeldnaherung ¨ desselben ist das Vektorpotential A am Ort ~x   ~x − ~x0 µ0 1 ~ = µ0 m ~ A ~ × = − m ~ × ∇ 4π |~x − ~x0 | 4π |~x − ~x0 | 34 Feld ~ des idealen magnetischen Dipols m Die magnetische Flussdichte B ~ ist dann mit der 31 Der Fl¨ ~ zeigt dem Betrachter entgegen, wenn der Strom von ihm aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn achenvektor A fließt. 32 Dabei durfen ¨ wir diese ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit mit Normalenvektor ~ ez um ~0 legen. 33 Wegen der Zylindersymmetrie des Problems darf fur ¨ diesen y = 0 angenommen werden. 34 Dabei wurde ausgenutzt: (a) Die erste Komponente des Integrals verschwindet mit Integration durch Substitution, denn 1 ≈ 1 − 12 x + 38 x2 , wobei der einzige in r noch quadratische Term im dritten die Stammfunktion ist periodisch. (b) Es gilt √1+x Term dieser Entwicklung beim Integrieren verschwindet. 15 funften ¨ Produktregel:    1  1 1  µ0 ~ ~ ∇ ~ ~ =∇ ~ ×A ~ = µ0  ~ ~ · ∇) B ∇(m ~ · ∇) − m ~ ∆ = (m 0 0 4π  |~x − ~x | |~x − ~x |  4π |~x − ~x0 | | {z } =0 fur ¨ ~ x6=~ x0 Drehmoment Das Drehmoment T~ auf einen magnetischen Dipol m ~ setzt sich zusammen aus den Drehmomenten auf die einzelnen Abschnitte der Stromschleife. I  I Z I 1 ~ − d~x × (~x × B) ~ ~ = I ~x × (d~x × B) ~ (a) ~x × (d~x × B) T~ = ~x × (dV ρ~v × B) = I 2  I  I 1 (b) ~ = I 1 d~x × ~x ×B ~ =m ~ I (~x × d~x) × B ~ ×B = 2 2 | {z } ~ =A 35 ~ dreht. Es ist also so gerichtet, dass es den Dipol m ~ in Richtung der magnetischen Flussdichte B pontentielle Energie Analog wie im elektrischen Fall ergibt sich fur ¨ die potentielle Energie V ~ V = −m ~ ·B Kraft ~ ×B ~ = µ0~j = ~0 gilt, d.h. am Ort der Stromschleife Entsprechend ist die Kraft F~ auf den Dipol, falls ∇ keine Quellen der magnetischen Flussdichte sind36 ~ B ~ F~ = (m ~ · ∇) ~ so verhalt ¨ Zusammenfassend stellen wir fest, dass sich ein elektrischer Dipol ~p im elektrischen Feld E ~ wie ein magnetischer Dipol m ~ in der magnetischen Flussdichte B. 3.6 Felder in Materie 3.6.1 Ausrichtung von Dipolen In einem Dielektrikum befinden sich (ggf. durch Influenz) elektrische Dipole ~ p, deren Dichte P~ die Polarisation genannt wird. In einem magnetisierbaren Material befinden sich magnetische Dipole m, ~ deren Dichte J~ die Magnetisierung genannt wird. d~ p dm ~ P~ := J~ := dV dV ~ der Magnetisierung M ~ ist Das Vektorpotential A Das elektrische Potential φ der Polarisation P~ ist   Z Z 1 1 1 0~ ~ ~ ~ = − µ0 dV J × φ=− ∇ dV 0 (P~ · ∇) A 4π0 V |~x − ~x0 | 4π V |~x − ~x0 | Mit der ersten Formel fur ¨ die partielle Integration Mit der zweiten Formel fur ¨ die partielle Integration wird daraus wird daraus Z I ~ ~ P~ 1 µ0 0 ∇×J 0 ~ ~ dV dA · φ = A = 4π0 A |~x − ~x0 | 4π V |~x − ~x0 | I Z ~ · P~ 1 µ0 J~ ∇ ~× − − dA dV 0 0 4π0 V |~x − ~x | 4π A |~x − ~x0 | 35 Dabei wurde ausgenutzt: (a) Partielle Integration und (b) die Jacobi-Identit¨ at: ~a × (~b × ~c) + ~c × (~a × ~b) + ~b × (~c × ~a) = ~0, die man mit der Formel fur ¨ das doppelte Kreuzprodukt beweisen kann. 36 Die direkte Rechnung ist etwas l¨ anger und kann unter http://itp1.uni-stuttgart.de/arbeitsgruppen/wunner/edyn.ps.gz im Abschnitt 9.4 auf Seite 102 gefunden werden. 16 37 ¨ ¨ Der erste Term beschreibt eine OberflachenlaDer zweite Term beschreibt eine Oberflachen¨ ¨ dungsdichte, die der zur Oberflache senkrechten stromdichte (also Stromdichte mal Lange, das ~ Komponente der Polarisation P entspricht. entspricht einem Strom pro Breite), die der durch die Richtung der Magnetisierung J~ gegebenen ¨ an die Oberflache tangentialen Komponente derselben entspricht. Der zweite Term beschreibt eine Ladungsdichte Der erste Term beschreibt eine Stromdichte ~ · P~ ρpol := −∇ Diese Polarisationsladungsdichte ist also neben der externen Ladungsdichte ρext eine weitere Quelle des elektrischen Potentials. Die Bilanz der Ladungsdichten lautet damit ρ = ρext + ρpol ~ × J~ ~jmag := ∇ Diese Magnetisierungsstromdichte ist also neben der externen Stromdichte ~jext eine weitere Quelle des Vektorpotentials. Die Bilanz der Stromdichten lautet damit ~j = ~jext + ~jmag 3.6.2 Umdefinition f¨ ur externe Quellen Fur ¨ die externe Ladungsdichte ρext gilt also Fur ¨ die externe Stromdichte ~jext gilt also   ρext ~ · E ~ + 1 P~ ~ ~ × (B ~ − µ0 J) =∇ µ0~jext = ∇ 0 0 arke Mit der Definition der dielektrischen Verschie- Mit der Definition der magnetischen Feldst¨ bung ~ + P~ ~ := 0 E ~ := 1 B ~ − J~ D H µ0 ergibt sich ergibt sich ~ ·D ~ = ρext ~ ×H ~ = ~jext ∇ ∇ ¨ Dieses Feld kann also anhand der externen La- Dieses Feld kann also anhand der externen Strome dungen bestimmt werden. bestimmt werden. Abbildung 10: Beispiel: Die dielektrische Verschiebung (rot) wird nur durch die a ¨ ußeren Ladungen bestimmt, aber die Dipole (blau) im Material schw¨ achen das elektrische Feld (grau). Die physikalische Annahme ~ P~ = 0 χE Die physikalische Annahme mit der Suszeptibilit¨ at χ ergibt mit der Definition ~ J~ = χmag H mit der magnetischen Suszeptibilit¨ at χmag ergibt mit der Definition r := 1 + χ der Dielektrizit¨ atskonstante der Permeabilit¨ at µr := 1 + χmag ~ ~ = µ0 µr H B ~ ~ = 0 r E D 37 Vorzeichenumkehrungen ergeben sich hier daraus, dass mal nach den Variablen ohne und mal nach denen mit Strich abgeleitet wird. 17 4 Dynamik 4.1 Induktion Wir beschreiben einen Draht durch die Kurve C. Dieser werde mit der Geschwindigkeit ~v = ~ bewegt. Aufgrund der Lorentzkraft fuhrt ¨ zunachst statischen Magnetfeld B ¨ dies zu: Z I I ~ = − (~v × d~x) · B ~ =−d ~ (d~s × d~x) ·B Uind = d~x · (~v × B) dt A | {z } C C d~ s dt in einem ~ =dA | {z =:Φ } Diese Induktionsspannung Uind , tritt auch dann auf, wenn sich nicht die Kurve bewegt und damit ¨ ¨ der magnetische Fluss Φ, andert, sondern auch dann, wenn der Fluß nur durch Anderung der ma¨ ist - beeinflusst wird, wobei die Spannung nun in gnetischen Flussdichte - deren Name nun geklart ¨ Ermangelung einer Bewegung der Ladungstrager durch die elektrische Feldkraft statt der Lorentzkraft zustande kommt: I ~ = −Φ ˙ d~x · E Uind = C ¨ Die Flussdichte wird ubrigens ¨ großer, wenn in dem Draht ein Strom in der durch die Kurve C gegebenen Richtung zu fließen beginnt. Das negative Vorzeichen bewirkt daher, dass die Induktionsspannung in die umgedrehte Richtung zeigt. Dieser Umstand wird als Lenz’sche Regel bezeichnet und kann umgangssprachlich auch so formuliert werden: Die magnetische Induktion wirkt ihrer Ursache entgegen. Wir wenden den Satz von Stokes an und finden, dass in dynamischen Situationen das elektrische Feld nicht mehr wirbelfrei ist, genauer gesagt gilt wegen der Beliebigkeit des Drahtes ~ ×E ~ = −B ~˙ ∇ 4.2 Potential in zeitabh¨ angigen Situationen ~ ist nun, da es nicht mehr wirbelfrei ist, nicht mehr Gradient eines skalaren Das elektrische Feld E Potentials, aber wegen ~ × (E ~ + A) ~˙ = ∇ ~ ×E ~ +B ~˙ = ~0 ∇ ¨ kann das Potential φ nun so gewahlt werden, dass ~ = −∇φ ~ −A ~˙ E Damit die Freiheiten, die man bei der Wahl der Potentiale hat, hiermit konsistent sind, muss man, wenn ~ einen Gradienten ∇f ~ addiert, zu φ auch −f˙ addieren, damit E ~ unverandert ¨ man zu A bleibt. 4.3 Maxwell’sche Korrektur ~ ×H ~ = ~jext ist mit ∇ ~ · (∇ ~ × ~a) = 0 fur Fur ¨ die statische Gleichung ∇ ¨ beliebige Vektorfelder ~a und der ~ · ~jext = −ρ˙ ext wegen ¨ Kontinuitatsgleichung fur ¨ die externen Ladungen ∇ ~ · (∇ ~ × H) ~ =∇ ~ · ~jext = −ρ˙ ext 0=∇ die Konstanz der externen Ladungsdichte ρ˙ ext = 0 eine notwendige Bedingung. Im Allgemeinen, d.h. ~ ×H ~ noch ein Term hinzu, dessen Divergenz ρ˙ ext ist. ¨ auch in zeitabhangigen Situationen, kommt zu ∇ ~ ~ Es ist ∇ · D = ρext und damit ~ ×H ~ = ~jext + D ~˙ ∇ 18 ~˙ Eine Sa¨ stets konsistent. Der zusatzliche Term ist die dielektrische Verschiebungsstromdichte D. ¨ noch buchstablich ¨ che gehort ans Licht gebracht: Zusammen mit der Gleichung fur ¨ die Induktion ˙ ~ ×E ~ = −B ~ konnen ¨ ∇ sich elektrische und magnetische Felder also gegenseitig erzeugen. 4.4 Maxwell Gleichungen ¨ Wir fassen die Gleichungen, die die Felder unter Berucksichtigung ¨ von Ladungen und Stromen, pola¨ risierbarem und magnetisierbarem Material sowie zeitlichen Anderungen beschreiben, zusammen: ~ ·D ~ ∇ ~ ×E ~ ∇ = = ~ ·B ~ ∇ ~ ×H ~ ∇ ρext ~˙ −B = 0 ~˙ = ~jext + D Links stehen wie ublich ¨ elektrische, rechts magnetische Felder. Umgekehrt dazu tauschen ihre Ablei¨ ¨ tungen auf, und zwar in der unteren Zeile, der mit den Wirbelstarken. Bei den Quellstarken gibt es keine solche Welchselwirkung. Auf der Hauptdiagonalen tauchen die externen Quellen der Felder auf, daher sind die Felder dort die dielektrische Verschiebung und das magnetische Feld statt des elektrischen Feldes bzw. der magnetischen Flussdichte. Die Kraftwirkung des elektrischen Feldes und der magnetischen Flussdichte auf eine Ladung Q ist ¨ gemaß ~ + ~v × B) ~ F~ = Q(E durch die Coulumb- und die Lorentzkraft gegeben. 4.5 Einfache Bauteile 4.5.1 Kondensator ¨ In einem Kondensator mit der Flache A, der mit der elektrischen Ladung Q geladen wurde, ist das elektrische Feld im Inneren dem Betrage nach E und außen sehr klein, daher ergibt sich ¨ mit dem Gauß’schen Gesetz fur ¨ eine Flache, die um die positiv geladene Platte gelegt wird DA = Q oder EA = Q 0 r Ist die an den Kondensator angelegte Spannung U und der Plattenabstand d, so gilt E= U d Abbildung 11: Schematische Darstellung des Kondensators und es gilt A Q = 0 r U d fur ¨ die Kapazit¨ at C des Kondensators. Sie kann also durch Einsetzen eines Dielektrikums in den Kon¨ werden. Fur ¨ C , indem densator erhoht ¨ andere Kondensatorgeometrien ermittelt man die Kapazitat man aus der Ladung Q auf dem Kondensator durch ein Wegintegral uber ¨ das elektrische Feld dieser ¨ Ladung - gegeben durch das Coulomb’sche Gesetz - vom einen Pol zum anderen die zugehorige Spannung U bestimmt. Die in dem elektrischen Feld im Kondensator gespeicherte Energie ist Z Q Z 1 1 Q Q2 = CU 2 W = dq U = dq q = C 2C 2 0 0 C := Mit dem Volumen V = Ad des Kondensators folgt fur ¨ die Energiedichte wel = Feldes E W CU 2 0 r AE 2 d2 1 1 1 1 wel := D2 = = = 0 r E 2 = ED = V 2V 2V d 2 2 2 0 r 19 W V des elektrischen 4.5.2 Spule ¨ In einer Spule mit der Lange l, die vom Strom I durchflossen wird, ist die magnetische Flussdichte im Inneren dem Betrage nach B und außen sehr klein, daher ergibt sich mit dem ` Ampere’schen Gesetz fur ¨ eine Kurve, die um die Windungen so gelegt wird, dass der Strom auf den Betrachter zufließt, wenn die Kurve von ihm aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn ¨ verlauft Hl = nI oder Bl = µ0 µr nI Dabei ist n die Zahl der Windungen der Spule. Ist die Quer¨ schnittsflache der Spule A, so gilt Uind = −nAB˙ Abbildung 12: Schematische Darstellung der Spule und es gilt Uind A = µ0 µr n2 ˙ l I ¨ fur ¨ die Induktivit¨ at L der Spule. Sie kann also durch Einsetzen eines Materials mit hoher Permeabilitat ¨ werden. Fur ¨ L, indem in die Spule erhoht ¨ andere Spulengeometrien ermittelt man die Induktivitat ¨ ¨ ¨ man aus der Stromanderung I˙ durch die Spule durch ein Flachenintegral uber ¨ die Anderung der ¨ magnetischen Flussdichte - gegeben durch das Biot-Savart’sche Gesetz - uber ¨ die Querschnittsflache ¨ die zugehorige Induktionsspannung Uind bestimmt. Die in der magnetischen Flussdichte in der Spule gespeicherte Energie ist L := − W =− Z t dt Uind I = 0 Z t dt LI I˙ = 0 Z I 0 dI LI = 1 2 LI 2 Mit dem Volumen V = Al der Spule folgt fur ¨ die Energiedichte wmag = W V der magnetischen Flussdichte B W 1 LI 2 µ0 µr n2 AH 2 l2 1 1 1 wmag := = µ0 µr H 2 = BH = B2 = = V 2V 2V ln2 2 2 2 µ0 µr 4.6 Energieerhaltung Wir betrachten die gesamte im elektromagnetischen Feld gespeicherte Energiedichte w= 1~ ~ 1~ ~ D·E+ H ·B 2 2 ~ und E ~ bzw. B ~ und H ~ einander proportional sind, erhalten wir Unter der Annahme, dass die Felder D mit den Maxwell’schen Gleichungen sowie der vierten Produktregel ~˙ · E ~ +H ~ ·B ~˙ = (∇ ~ × H) ~ ·E ~ −H ~ · (∇ ~ × E) ~ − ~jext · E ~ = −∇ ~ · (E ~ × H) ~ − ~jext · E ~ w˙ = D ~ := E ~ ×H ~ erhalten wir die Gleichung fur Mit der Definition des Poynting-Vektors S ¨ die Energieerhaltung ~ ·S ~ + ~jext · E ~ =0 w˙ + ∇ ~ (wie mit der Anzahldichte n und der Ladung Q der Ladungstrager ¨ Dabei ist ~jext · E die Rechnung ~ ~ = n~v · F~ zeigt) die Dichte der Leistung der Ladungstrager ~jext · E = Qn~v · E ¨ und durch Vergleich mit ~ die Bedeutung der Energie-Stromdichte hat. ¨ der Kontinuitatsgleichung finden wir, dass S 20 4.7 elektromagnetische Wellen 4.7.1 Betrachtung der Felder ohne Quellen Wir betrachten die Maxwell Gleichungen mit Material, welches den Annahmen fur ¨ lineare Polarisa~ voraus. Außerdem ~ sowie B ~ = µ0 µr H ~ = 0 r E tion bzw. Magnetisierung gehorcht, d.h. wir setzen D nehmen wir an, dass keine Ladungen oder Stromdichten vorliegen, d.h. ρext = 0 und ~jext = ~0. Dann folgt ~ ∆E = ~ ∇ ~ ·E ~ )−∇ ~ ×H ~˙ = 0 r µ0 µr E ~¨ ~ × (∇ ~ × E) ~ = µ0 µr ∇ ∇( | {z } ρ 0 =  ext r =0 ~ ∆H = ~ ∇ ~ ·H ~)−∇ ~ ×E ~˙ = 0 r µ0 µr H ~¨ ~ × (∇ ~ × H) ~ = −0 r ∇ ∇( | {z } =0 Mit der Definition des Wellenoperators ( Quabla“) ”  := 1 ∂2 −∆ c2 ∂t2 ¨ sich wobei c = √0 r1µ0 µr die Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle ist,38 lasst jede der beiden Gleichungen umschreiben in eine Wellengleichung: ~ = ~0 E ~ = ~0 H Die Wellengleichung nennt man - genau wie in der linearen Algebra ein Gleichungssystem - homo¨ durch die Wellenfunktion gen, wenn die rechte Seite verschwindet. Sie wird gelost ~ =E ~ 0 ei(ωt−~k·~x) E ~ =H ~ 0 ei(ωt−~k·~x) H wobei die Dispersionsrelation ω = c ~k erfullt ¨ sein muss. ϕ = ωt − ~k · ~x ist die Phase. Als ϕ(t) aufgefasst beschreibt sie eine Schwingung mit der Kreisfrequenz ω. Gilt ϕ = const., so haben wir in ~x eine Ebenengleichung vorliegen. Diese Ebenen konstanter Phase heißen auch Wellenfronten und sind nutzlich ¨ fur ¨ geometrische Betrachtungen. Sie bewegen sich mit der Geschwindigkeit c in Richtung von ~k. Dieser Typ Welle wird daher auch ebene Welle genannt. Wir fassen symbolisch die Wirkung der in den Maxwellgleichungen vorkommenden Ableitungen auf die Wellenfunktion zusammen, die hier alle als Multiplikationen wirken: ~ ∇· ~ ∇× ∂ ∂t = −i~k · = −i~k × = iω Die Maxwell Gleichungen ergeben ~k · E ~ ~k × E ~ ~k · H ~ ~k × H ~ = 0 ~ = µ0 µr ω H = = 0 ~ −0 r ω E ~ und H ~ ein orthogonales Rechtssystem bilden. ~k zeigt also in die gleiche Das bedeutet, dass ~k, E ~ Richtung wie die uns schon bekannte Energiestromdichte S. 38 Ohne polarisier- und magnetisierbares Material wird daraus c = 21 √ 1 , 0 µ0 die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit. ~ (rot), dem magnetischen Feld H ~ Abbildung 13: Beziehungen zwischen dem elektrischen Feld E ~ (blau) sowie dem Wellenzahlvektor k (grau) 4.7.2 Kugelwellen ~ = ~0 ist durch ¨ Eine weitere Losung der Wellengleichung E ~ =E ~ 0 1 ei(ωt−kr) E r ¨ gegeben. Da der Energiestrom durch jede Kugeloberflache um den Ursprung gleich ist und eine sol~=E ~ ×H ~ entsprechend wie r−2 ab. Dies ist ¨ ¨ die Energiestromdichte S che Flache wie r2 ansteigt, fallt −1 ~ ~ erfullt, ¨ wenn die Felder E und H jeweils wie r abfallen. Mit dem Laplace-Operator in Kugelkoordinaten     1 ∂f 1 ∂ ∂2f 1 ∂ 2 ∂f r + 2 sin ϑ + 2 2 ∆f = 2 r ∂r ∂r r sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ2 und der Anwendung auf die Kugelwelle   1 ∂ 2 ∂ 1 i(ωt−kr) ~ 0 1 ∂ (1 + ikr)ei(ωt−kr) = −k 2 E ~ ~ ~ ∆E = E0 2 r = −E e r ∂r ∂r r r2 ∂r erhalten wir mit 4.7.3 1 ∂ ~ c2 ∂t2 E 2 ~ dass die Wellengleichung erfullt = − ωc2 E, ¨ ist. inhomogene Wellengleichung ~ an, so ergibt sich unter Verwendung Wenden wir den Wellenoperator  auf die Potentiale φ und A der Definitionen der Potentiale und der Maxwell Gleichungen:    1 ˙ ~ ~ ∂ ρext 1 ¨ ~ ~˙ ~ ~ 1 ∂2 − ∆ φ = 2φ + ∇ ·A + ∇ ·E = φ+∇·A + φ = c2 ∂t2 c ∂t c2 0 r   1 ∂2 ~= 1A ~ ~¨ − ∇( ~ ∇ ~ · A) ~ +∇ ~ × (∇ ~ × A) ~ A = −∆ A c2 ∂t2 c2   1 ~˙ ~ ~ ~ 1 ˙ ~ ~ 1 ~ ˙ ˙ ~ ~ ~ = − 2 ∇φ − 2 E − ∇(∇ · A) + µ0 µr j + 0 r µ0 µr E = −∇ 2 φ + ∇ · A + µ0 µr~jext c c c  ¨ Wahlen wir die Lorentz-Eichung 1 ˙ ~ ~ φ+∇·A= 0 c2 so nehmen die inhomogenen Wellengleichungen die folgende Form an: φ = ρext 0 r ~ = A µ0 µr~jext 22 5 Anwendungen 5.1 Elektrischer Widerstand ¨ Wirkt eine Kraft F~ auf die Ladungstrager in einem Material, so stellt sich ein Gleichgewicht zur Rei¨ bungskraft ein und fur ¨ die Geschwindigkeit ~v der Ladungstrager gilt ~v = β F~ ¨ wobei β die Beweglichkeit ist. Wenn Q die Ladung eines Ladungstragers ist und n die Anzahldichte ~ ¨ der Ladungstrager, so gilt fur ¨ die Ladungsdichte ρ = Qn und fur ¨ die Stromdichte folgt mit F~ = QE, ~ wobei E das an das Material angelegte elektrische Feld ist ~ = σE ~ ~j = ρ~v = Qnβ F~ = Q2 nβ E Dabei ist σ = Q2 nβ die spezifische Leitf¨ ahigkeit. Dies ist das Ohm’sche Gesetz in mikroskopischer Form. ~ ¨ ¨ In einem Leiter mit der Querschnittsflache A und der Lange l fließt also, wenn die Spannung U = E l ~ angelegt wird, der Strom I = j A und es folgt ~ j l ~ l= I = RI U = E l = σ σA l Dabei ist R = σA der elektrische Widerstand. Dies ist das Ohm’sche Gesetz in makroskopischer Form. ¨ ist Die Leistung, die am Widerstand abfallt, 2 ˙ = dW Q˙ = U I = U = RI 2 P =W dQ R 5.2 Wechselstromkreise ¨ Fließt durch eine Reihenschaltung aus einem Wiederstand R, einem Kondensator mit der Kapazitat ¨ L der Wechselstrom C und eine Spule mit der Induktivitat I = I0 eiωt so setzt sich die Gesamtspanung U folgendermaßen zusammen:    1 Q I = ZI = R + i ωL − U = RI + LI˙ + C ωC
1 1 Dabei ist Z = R + i ωL − ωC die Impedanz. <(Z) = R heißt Wirkwiderstand und =(Z) = ωL − ωC q
1 2 ¨ als Scheinwiderstand bezeichnet wird. Die SpanBlindwiderstand, wahrend |Z| = R2 + ωL − ωC nungsbilanz ¨ + RQ˙ + Q = U LQ C ¨ ¨ wie ein zeigt, dass dieser Schwingkreis sich beim Anlegen einer außeren Spannung so verhalt ¨ getriebener, gedampfter, mechanischer Oszillator mit m¨ x + ρx˙ + Dx = F . Dabei treten folgende Analogien auf: Schwingkreis Ladung auf dem Kondensator Strom durch den Widerstand Ableitung des Stroms fur ¨ die Spule ¨ der Spule Induktivitat Widerstand ¨ des Kondensators Kapazitat angelegte Spannung Q I = Q˙ ¨ I˙ = Q L R C U mechanischer Oszillator Dehnung der Feder Geschwindigkeit fur ¨ die Luftreibung ¨ Beschleunigung der tragen Masse ¨ Trage Masse Reibungskoeffizient Federkonstante ¨ außere Kraft 23 s v = s˙ a = v˙ = s¨ m ρ D F 5.3 Induktion zwischen zwei Leiterschleifen Wir betrachten zwei Stromschleifen, die durch die Kurven C1 und C2 dargestellt werden. Wir berech~ der ersten Stromschleife am Ort ~x2 . Die Orte ~x1 liegen auf der ersten Stromnen das Magnetfeld B schleife. I d~x1 µ0 ~ ~ I B =∇× 4π C1 |~x2 − ~x1 | Der Fluss Φ durch die zweite Stromschleife ist Φ= Z A2 ~ ·B ~ dA Daraus ergibt sich mit dem Satz von Stokes der Induktionskoeffizient zwischen den beiden Stromschleifen I I −Uind Φ˙ µ0 d~x2 · d~x1 L12 = = = ˙ ˙ 4π C2 C1 |~x2 − ~x1 | I I Hierbei kann man ubrigens ¨ die Stromschleifen vertauschen, ohne das Ergebnis zu beeinflussen. 5.4 Wechselspannung am Transformator ¨ ¨ Im Primarkreis des Transformators ist die Spannungsquelle Uext an die n1 Primarwindungen des Transformators angeschlossen. Der gesamte Ohm’sche Widerstand des Primarkreises ist im Widerstand R1 ¨ zusammengefasst. An die n2 Sekundarwindungen des Transformators ist der Verbraucherwiderstand ¨ und des Sekundarkreises ¨ R2 angeschlossen. Die Spulen des Primarsind uber ¨ einen Weicheisenkern ¨ ¨ bzw. der Sekundarspule ¨ verbunden. Seien L11 und L22 die Selbstinduktivitaten der Primarund L12 Abbildung 14: Zur Schaltung des Transformators ¨ ¨ auf die Primarspule ¨ bzw. L21 die Induktivitaten der Sekundarund umgekehrt. ¨ und den Sekundarstromkreis ¨ Dann ergeben sich fur ¨ den Primardie beiden Differentialgleichungen: Uext 0 = L11 · I˙1 + L12 · I˙2 + R1 · I1 = L21 · I˙1 + L22 · I˙2 + R2 · I2 Gehen wir bei Uext von einer Wechselspannung mit der Amplitude U0 und der Frequenz ω - also Uext = ¨ ¨ bzw. Sekundarkreis ¨ ¨ ¨ U0 · ei·ωt aus, so bieten sich fur ¨ die Strome I1 und I2 im Primardie Losungsans atze I1 = I1 0 · ei·ω·t bzw. I2 = I2 0 · ei·ω·t an. Diese liefern beim Einsetzen (analog zum Aufstellen des Ausdrucks fur ¨ die Impedanz einer Schaltung): U0 0 = (R1 + i · ω · L11 ) · I1 0 + i · ω · L12 · I2 0 = i · ω · L21 · I10 + (R2 + i · ω · L22 ) · I20 ¨ Diese beiden Gleichungen konnen verwendet werden, um Beziehungen zwischen der angelegten ¨ ¨ Spannung und der Spannung im Sekundarkreis bzw. zwischen den entsprechenden Stromen zu erhalten. 24 • Eliminieren von I1 0 liefert: U0 · i · ω · L21 = ⇒ I2 0 =
−ω 2 · L12 · L21 − (R1 + i · ω · L11 ) · (R2 + i · ω · L22 ) · I2 0 L21 · U0 − (R1 · L22 + R2 · L11 ) − i · R1ω·R2 (Hierbei wurde ausgenutzt, dass Lij ∝ ni · nj .) n2 21 Fur ¨ R1 klein genug finden wir also (mit L L11 = n1 ): R2 · I2 0 = − n2 · U0 n1 Die Spannung am Verbraucher ist also π-phasenverschoben gegenuber ¨ der Versorgungsspan¨ ¨ nung am Transformator und das Verhaltnis der Spannungen entspricht dem Verhaltnis der Windungszahlen. • Betrachten wir dagegen nur die erste der beiden gefundenen Gleichungen, so erhalten wir: I1 0 = U0 − i · ω · L12 · I20 R1 + i · ω · L11 Ohne eingeschalteten Verbraucher R2 (⇒ I20 = 0) besteht I10 nur aus dem ersten Term, den wir ¨ Dann erhalten wir fur ¨ I1 0 : daher als den Leerlaufstrom I1 0L bezeichnen konnen. I10 = = i · ω · L12 · I20 · (R1 − i · ω · L11 ) R12 + ω 2 · L211  2  ω · L12 · L11 i · ω · L12 · R1 I10 L − · I20 + 2 R12 + ω 2 · L211 R1 + ω 2 · L211 I10 L − ¨ ¨ Fur ¨ R1 klein genug ergibt sich nun (wieder mit der direkten Abhangigkeit der Induktivitaten von den Windungszahlen): n2 I1 0 = I1 0L − · I2 0 n1 ¨ ¨ Bei Belastung des Transformators fließt also ein zusatzlicher Strom im Primarkreis, der in Phase ¨ mit der angelegten Spannung U0 ist. Das Verhaltnis zwischen diesem und dem Strom im Se¨ kundarkreis ist umgedreht zu dem der entsprechenden Windungszahlen. 25