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Fachbereich SciTec
Theoretische Physik WS 2015/2016 Prof. Dr. Bernd Ploss Peter Haupt Johannes Capraro 27. Januar 2016
Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Hilfsmittel aus der Vektoranalysis 1.1 Skalarfelder, Vektorfelder und deren Veranschaulichung . . . . . . . . 1.1.1 Skalarfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Integralbildung auf Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Linienintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Fl¨ achenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Volumenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Verkn¨ upfung von Feldern u ¨ber Integralbildung . . . . . . . . . . . . . ~ r) . 1.3.1 Verk¨ upfung eines Skalarfeldes Φ(~r) mit einem Vektorfeld A(~ ~ ~ 1.3.2 Verkn¨ upfung zweier Vektorfelder A(~r) und B(~r) . . . . . . . . ~ r) . . . . . 1.3.3 Verkn¨ upfung von Skalarfeld f (~r) mit Vektorfeld B(~ 1.4 Zylinder- und Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
2 Die Maxwell-Gleichungen im Vakuum f¨ ur Ladungen und Str¨ ome 3 Elektrostatik 3.1 Das elektrische Potential f¨ ur vorgegebene Ladungsverteilungen 3.2 Beispiele zur L¨ osung der Laplace- und Poissongleichung . . . . 3.3 Die Dirac’sche Deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ an Begrenzungen -etwas Potentialtheorie- . 3.4 Verhalten von Φ, E 3.5 Das Feld zweier Punktladungen, Multipole . . . . . . . . . . . . 3.6 Multipolentwicklung f¨ ur eine beliebige Ladungsverteilung . . . 3.7 Feld einer Metallkugel in einem angelegtem homogenen Feld . . 3.8 Energie einer Ladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
6 6 6 6 7 7 7 8 8 9 9 9 10 11 11 12 14
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16 16 17 19 20 23 26 27 28
4 Das von station¨ aren Str¨ omen erzeugte magnetische Feld 31 ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1 Vektorpotential (A) 4.2 Beispiele f¨ ur das Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5 Zeitlich ver¨ anderliche elektromagnetische Felder
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6 Quanten 39 6.1 Einordnung der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.2 Beispiele f¨ ur Quanteneffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7 Dualismus Welle-Teilchen 42 7.1 Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7.2 Spektralzerlegung und Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . 42 8 Materiewellen und Schr¨ odingergleichung 8.1 Realisierung des Konzeptes der Materiewellen 8.2 Teilchen als Wellenpakete . . . . . . . . . . . 8.3 Heisenbergsche Unsch¨ arferelation . . . . . . . 8.4 Zustand, Gr¨ oße, Wert einer Gr¨oße . . . . . . 8.5 Zeitunabh¨ angige Schr¨ odingergleichung . . . . 8.6 Stufenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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45 45 46 46 46 49 49
Einf¨ uhrung Grundbegriffe und Maxwell-Gleichungen Teilchen:
Elektron, Positron
magn. Moment µ
∓e
1, 00115966 µB me mn µB
Neutron (n)
0
−1, 91315
Proton (n)
e
2, 79278
me mp µB
±e
1, 00116
me mµ µB
M¨ uonen (µ± ) Pionen (π ± , π 0 )
µB =
Ladung q
±e, 0
0
e} J = 9, 27403 · 10−24 2 me T
Feldkonstanten: ε0 =
2 1 7A · 10 4πc2 N
µ0 = 4π · 10−7
N A2
Coulomb-Gesetz: 1 q1 q2 F~12 = · 2 · ~e12 4 π ε0 r12
• in dieser Form Fernwirkungsgesetz • keine Aussage u ¨ber zeitliche Abh¨angigkeiten (Verz¨ogerung etc.)
4
• Federsystem als Beispiel f¨ ur Nahwirkungsgesetz • zeitliche Abh¨ angigkeit bei Dehnung bzw. Stauchung vorhanden
~ r1 , t) + ~v1 × B(~ ~ r1 , t)] F~1 (t) = q1 [E(~ ~ bzw. B ~ abh¨ • E angig vom gew¨ahlten Bezugssystem Bewegungsgleichung: d m1 ~v1 q F~1 (~r1 , t) = dt v2 1 − c21 ¨ Uberlagerungsprinzip:
~ r1 ) = E ~ 2 (~r1 ) + E ~ 3 (~r1 ) + . . . E(~
~ r1 ) = B ~ 2 (~r1 ) + B ~ 3 (~r1 ) + . . . B(~
Maxwell-Gleichungen im Vakuum: 1 ρ(~r, t) ε0 ~ ~ = − ∂B rot E ∂t
~ = div E
~ =0 div B ~ ~ = ε0 µ0 ∂ E + µ0~j(~r, t) rot B ∂t
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1 Mathematische Hilfsmittel aus der Vektoranalysis 1.1 Skalarfelder, Vektorfelder und deren Veranschaulichung 1.1.1 Skalarfelder • jeder Raumpunkt wird auf eine Zahl abΦ(x,y,z)
gebildet R3 −−−−−−→ R • wenn Φ(x, y) = const →Linien • wenn Φ(x, y, z) = const →Fl¨achen • beliebig viele zur Visualisierung m¨oglich
1.1.2 Vektorfelder • jeder Raumpunkt wird auf einen Vektor abgebildet Φ(x,y,z)
R3 −−−−−−→ R3 • Visualisierung durch Darstellung einzelner Vektoren bezogen auf ein Raumelement • τ k¨ onnte Zeit spezifizieren • c k¨ onnte Nummer“der ” Feldlinie angeben • beliebig viele Feldlinien im Raum denkbar und durch Feldliniengleichnung beschreibbar ~r = ~r(τ, c) τ1 ≤ τ ≤ τ2 ∂ ~ r(τ, c)) ~r(τ, c) = E(~ ∂τ ~ • Einschr¨ ankung: E 6= 0
6
• Dichte bzw. Anzahl der Feldlinien pro Volumenelement als Maß f¨ ur Feldst¨arke • bei Darstellung senken- bzw. quellenfreier Felder Anfang bzw. Ende einer Feldlinie m¨oglich (bedingt durch ganze Anzahlen der Feldlinien)
1.2 Integralbildung auf Feldern 1.2.1 Linienintegral ˆτ2
ˆ
~ r(τ )) · ~r˙ dτ E(~
~ r) d~s = E(~
γ= L
τ1
Bsp.:
y ~ = Kurve L : −x Vektorfeld: E 2 2 x +y −z ˆ1 ˆ 1 y ~ −x · 2 dτ E(~r) d~s = 2 2 3 x + y − z 0 L
1 ~r = τ 2 3
ˆ1 (2τ − 2τ + 3τ 2 + 12τ 2 − 9τ ) dτ
= 0
ˆ1 (15τ 2 − 9τ ) dτ =
= 0
1 15 3 9 2 τ − τ = 0, 5 3 2 0
1.2.2 Zirkulation ˛ ~ r) d~s Γ = E(~ L
• unabh¨ angig von Anfangspunkt • abh¨ angig vom Durchlaufsinn
7
0≤τ ≤1
1.2.3 Fl¨ achenintegral ˆv2 ˆu2
¨
~ r(u, v)) · E(~
~ dA ~= E
Φ=
∂~r ∂~r × ∂u ∂v
dudv
v1 u1
• von der Spitze des Vektors d~a aus gesehen wird die Randkurve im mathematisch positiven Sinn durchlaufen • bei geschlossener Fl¨ache (Volumenbereich) Orientierung von d~a nach außen Bsp.: y 1 0 0 x≥0 ~ = x Vektorfeld: E Ebene E : 0 ; 1 ; 0 y ≥ 0 z 0 0 1 z≥0 1 −1 −1 1−s−t s E : ~r = 0 + s 1 + t 0 = 0 0 1 t 1 1−s 1 1−s ˆ ˆ ˆ ˆ 1−s−t 1 · 1 dsdt = s (1 − s − t + s + t) dsdt = 0, 5 t 1 0 0 0 0
1.2.4 Volumenintegral ˚
ˆx2
yˆ (x,y) 2 (x) z2ˆ
Φ(~r) dV =
Φ(~r(x, y, z)) dzdydx x1
ˆx2 =
yˆ 2 (x)
dx x1
z2ˆ(x,y)
dy y1 (x)
˚
y1 (x) z1 (x,y)
dz
Φ(~r(x, y, z))
z1 (x,y)
˚ Φ(~r) dV =
∂x ∂(x, y, z) ∂u ∂x ∂(u, v, w) = ∂v ∂x
∂w
∂~r ∂~r ∂~r · × dudvdw Φ(~r(u, v, w)) ∂u ∂v ∂w | {z } ∂(x,y,z) | ∂(u,v,w) | ∂y ∂z Funktional- bzw. ∂u ∂u ∂y ∂z Jacobi-Determinante, ∂v ∂v ∂y ∂z kartesischer Fall ∂w ∂w
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1.3 Verkn¨ upfung von Feldern u ¨ber Integralbildung ~ r) 1.3.1 Verk¨ upfung eines Skalarfeldes Φ(~r) mit einem Vektorfeld A(~ ~ r) = grad Φ(~r) A(~ F¨ ur jeden Weg L von ~r1 nach ~r2 gilt: ˆ ~ r) d~s Φ(~r2 ) − Φ(~r1 ) = A(~
Bedingung:
L
Φx ~ r) = grad Φ(~r) = Φy = ∇Φ ~ A(~ Φz Eigenschaften: ~ eindeutig • Φ bestimmt A ~ bestimmt • umgekehrt ist Φ bis auf Konstante durch A • notwendige und hinreichende Bedingung: ˛ ~ r) d~s A(~ f¨ ur jede geschlossene Kurve L = 0 L
~ r) enth¨ • A(~ alt keine geschlossenen Feldlinien
~ r) und B(~ ~ r) 1.3.2 Verkn¨ upfung zweier Vektorfelder A(~ ~ r) = rot A(~ ~ r) B(~ Bedingung:
~ r) = curl A(~ ~ r) engl.: B(~
F¨ ur alle Fl¨ achen F, die von geschlossener Kurve L berandet werden gilt: ¨
˛ ~ r) d~s = A(~ L
~ r) dF~ B(~
Stokescher Satz
F (L)
P (~r) Ry − Qz ~ r) = rot A ~=∇ ~ × Q(~r) = Pz − Rx B(~ R(~r) Qx − Py Eigenschaften:
9
~ bestimmt B ~ eindeutig, umgekehrt nicht • A ~ = grad Φ → B ~ = rot A ~ = rot grad Φ = 0 • falls A ! ~ r) dF~ = 0 • B(~
~ r) 1.3.3 Verkn¨ upfung von Skalarfeld f (~r) mit Vektorfeld B(~ ~ r) f (~r) = div B(~ Bedingung: F¨ ur jedes Volumen V gilt: " ˚ ~ ~ B(~r) dA = f (~r) dV F
V(F )
P (~r) ~ r) = ∇ ~ · Q(~r) = (Px + Qy + Rz ) f (~r) = div B(~ R(~r) Eigenschaften: ~ bestimmt f eindeutig • B ~ als Rotation darstellbar B ~ = rot A ~ • falls B ~ = div rot A ~=0 ,→ f = div B Voraussetzung:
keine Singularit¨aten
a) Punktladung eines Coulombfeldes bei ~r = ~0 ~ r) ∼ 1 ~er E(~ r2
~ = 0 f¨ div E ur ~r 6= ~0
geschlossene Kugelfl¨ ache um ~r = ~0 mit Radius R "
" ~ dF~ = E
1 ~ 1 dF = 2 4πR2 = 4π R2 R "
" ~ dF~ − E
F (RA )
~ dF~ = 0 E
F (RI )
10
b) Potentialwirbel ~v = ω ~ × ~r
Γ0 mit ω ~ (ρ) = ~ez 2πρ2
wobei ρ =
p
x2 + y 2
x ~r = y z
−y Γ0 Γ0 x = ~eϕ ~v = 2 2πρ 2πρ 0 ˛ ˛ Γ0 ~v d~s = dϕ = Γ0 (unabh¨angig vom Radius R des Weges) 2π
~v (~r) hat geschlossene Feldlinien ~ ,→ ~v (~r) = rot A
~ = − Γ0 ln A 2π
ρ ρ0
~ez
f¨ ur ρ > 0: ~v (~r) besitzt Potential
1.4 Zylinder- und Kugelkoordinaten 1.4.1 Zylinderkoordinaten
ρ ~r = ϕ z
kartesisch → zylindrisch
zylindrisch → kartesisch
p 2 x + y 2 ρ y ϕ = arctan x z z x ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z z
∂~r = cos ϕ ~ex + sin ϕ ~ey ∂ρ 1 ∂~r ~eϕ = = − sin ϕ ~ex + cos ϕ ~ey ρ ∂ϕ ~ez = ~ez ~eρ =
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d~s = dρ ~eρ + ρ dϕ ~eϕ + dz ~ez ∂(x, y, z) ∂(ρ, ϕ, z) = ρ → dV = ρ dρdϕdz ∂ 1 ∂ ∂ + ~eϕ + ~ez ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z 1 ∂f ∂f ∂f ~eρ + ~eϕ + ~ez grad f = ∇f = ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ~ =∇·B ~ = 1 ∂ (ρBρ ) + 1 ∂Bϕ + ∂Bz div B ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ~ =∇×B ~ = 1 ∂Bz − ∂Bϕ ~eρ + ∂Bρ − ∂Bz ~eϕ + 1 ∂ (ρBϕ ) − ∂Bρ ~ez rot B ρ ∂ϕ ∂z ∂z ∂ρ ρ ∂ρ ∂ϕ 2 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ + 2 ∆ = ∇2 = ρ + 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2 ∂z 1 ∂ ∂f 1 ∂2f ∂2f ∆f = + ρ + 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2 ∂z 2 ∇ = ~eρ
1.4.2 Kugelkoordinaten
r ~r = ϑ ϕ
kartesisch → kugelig
kugelig → kartesisch
p x2 + y 2 + z 2 ! r z ϑ = arccos p 2 + y2 + z2 x ϕ y arctan x x r sin ϑ cos ϕ y = r sin ϑ sin ϕ z r cos ϑ
12
∂~r = sin ϑ cos ϕ ~ex + sin ϑ sin ϕ ~ey + cos ϑ ~ez ∂r 1 ∂~r = cos ϑ cos ϕ ~ex + cos ϑ sin ϕ ~ey − sin ϑ ~ez ~eϑ = r ∂ϑ 1 ∂~r ~eϕ = = − sin ϕ ~ex + cos ϕ ~ey r sin ϑ ∂ϕ ~er =
d~s = dr ~er + r dϑ ~eϑ + r sin ϑ dϕ ~eϕ ∂(x, y, z) 2 2 ∂(r, ϑ, ϕ) = r sin ϑ → dV = r sin ϑ drdϑdϕ ∂ 1 ∂ 1 ∂ + ~eϑ + ~eϕ ∂r r ∂ϑ r sin θ ∂ϕ ∂f 1 ∂f 1 ∂f grad f = ∇f = ~er + ~eϑ + ~eϕ ∂r r ∂ϑ r sin θ ∂ϕ ∂ 1 ∂ ~ =∇·B ~ = 1 ∂ (r2 Br ) + 1 div B (sin ϑBϑ ) + Bϕ 2 r ∂r r sin ϑ ∂ϑ r sin θ ∂ϕ ~ =∇×B ~ rot B ∂Bϑ ∂ 1 ∂ ∂Br ∂ 1 1 ∂Br 1 (Bϕ sin ϑ) − − (rBϕ ) ~eϑ + (rBϑ ) − ~er + ~eϕ = r sin ϑ ∂ϑ ∂ϕ r sin ϑ ∂ϕ ∂r r ∂r ∂ϑ ∂ ∂2 1 ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∆ = ∇2 = 2 r2 + 2 sin ϑ + 2 2 r ∂r ∂r r sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ2 2 2 ∂ 2 ∂ 1 ∂ 1 cos ϑ ∂ 1 ∂2 = 2+ + 2 2+ 2 + 2 2 ∂r r ∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ2 ∂ 1 ∂ 1 ∂f 1 ∂2f 2 ∂f ∆f = 2 r + 2 sin ϑ + 2 2 r ∂r ∂r r sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ2 ∇ = ~er
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2 Die Maxwell-Gleichungen im Vakuum f¨ ur Ladungen und Str¨ ome a) Gaußsches Gesetz " ˚ ~ dF~ = 1 E ρ(~r, t) dV ε0 F
V
m ~ = 1 ρ(~r, t) div E ε0 b) Induktionsgesetz ˛ ¨ d ~ ~ dF~ E d~s = − B dt L
F
m ~ ~ = − ∂B rot E ∂t c) Ampere’sches Gesetz ¨ ¨ ˛ d ~ ~ ~ ~j dF~ E dF + µ0 B d~s = ε0 µ0 dt F
F
L
m ~ ~ = ε0 µ0 ∂ E + µ0~j rot B ∂t d) " ~ dF~ = 0 B F
m ~ =0 div B
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jetzt div auf (c): ~ = µ0 div ~j + ε0 µ0 ∂ div E ~ div rot B | {z } ∂t | {z } ρ 0 (a) 0 ∂ div ~j + ρ = 0 ∂t ˚ ↓ dQ d = dt dt
dV ˚
˚ V
" ~j dF~
div ~j dV = −
ρ dV = − V
F
,→ Gesetz der Ladungserhaltung somit in Maxwell-Gleichungen enthalten
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3 Elektrostatik 3.1 Das elektrische Potential f¨ ur vorgegebene Ladungsverteilungen d ρ ~ = ~0 dt ~j = ~0 ~ = ~0 B
Voraussetzung:
~ = ρ div E ε0 → ~ = ~0 rot E
~ als Gradient eines Potentials darstellbar: E ~ = −grad Φ ,→ E
~ = −div grad Φ = ρ Poisson-Gleichung: div E ε0
⇔
∆Φ = −
• Punktladung q bei ~r = ~0 Φ=
1 q 4πε0 r
~ = E
1 q ~er 4πε0 r2
• Punktladungsverteilung Φ=
N 1 X qn 4πε0 n=1 |~r − ~rn |
~ = E
N 1 X qn ~r − ~rn 4πε0 n=1 |~r − ~rn |2 |~r − ~rn |
• kontinuierliche Ladungsverteilung ˚ 1 ρ(~r0 ) Φ= dV 0 4πε0 |~r − ~r0 | V
• Fl¨ achenladungsverteilung ¨ 1 σ(~r0 ) Φ= |dF 0 | 4πε0 |~r − ~r0 | F
• Linienladungsverteilung ˆ 1 λ(~r0 ) Φ= |ds0 | 4πε0 |~r − ~r0 | L
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ρ ε0
3.2 Beispiele zur L¨ osung der Laplace- und Poissongleichung a) homogen geladene Platte in x-z-Ebene Φ(x, y, z) = Φ(y)
σ = const
f¨ ur y 6= 0 : →
∆Φ = Φyy = 0
Φ = ay + b
y>0:
Φ+ = ay + b
y<0:
Φ− = ay + b
spiegelsymmetrisches Problem
→
a = −a b = b
~ E(y) = −a sgn y ~ey betrachten Fl¨ achenst¨ uck auf Platte, da σ = const kann dF → ∆F ; jetzt Anwendung des Gaußschen Gesetzes: " ~ dF~ = −a∆F − a∆F = −2a∆F E 1 ε0
F ˚
ρ dV =
1 σ∆F ε0
V
σ 2ε0 b unbestimmt
,→ a = −
Bsp. Plattenkondensator σ f¨ ur zwei Platten mit +σ bzw. −σ ε0 Felder u ¨berlagern (Superpositionsprinzip) E =
b) homogen geladene Kugel mit Radius R Gesamtladung: 4 Q = ρ πR3 3 Potential:
Φ(~r) = Φ(| ~r |)
1 ∂ ∆Φ(r) = 2 r ∂r
17
r
2 ∂Φ
∂r
=
ρ − ε
,r ≤ R
,r > R
0
0
r ≤ R: 1 ∂ ρ 2 ∂Φ r =− 2 r ∂r ∂r ε0 ´ 3 dr ρ r ∂Φ =− + C1 −−−→ r2 ∂r ε0 3 ´ dr ρ 2 C1 + C2 −−−→ Φ = − r − 6ε0 r
→ →
∂ ρ 2 ∂Φ r = − r2 ∂r ∂r ε0 ∂Φ ρ r 1 =− + C1 2 ∂r ε0 3 r
r > R:
→
´
1 ∂ 2 ∂Φ r =0 r2 ∂r ∂r ∂Φ D1 = 2 ∂r r
∂Φ = D1 ∂r ´ dr D1 −−−→ Φ = − + D2 r dr
−−−→ r2
Konstantenbestimmung: w¨ ahlen Φ = 0 f¨ ur r → ∞
→
Φ = D2 = 0
f¨ ur r = 0 muß Φ endlich sein, da keine Punktladung
!
→
C1 = 0
3 1 r 2 − 2 2 R
f¨ ur r = R muß Φ stetig sein →
−
ρ 2 D1 R + C2 = − 6ε0 R
~ stetig sein f¨ ur r = R muß E → →
ρ D1 R=− 2 3ε0 R 1 ρ 2 C2 = R 2 ε0
→
D1 =
−ρ 3 −Q R = 3ε0 4πε0
r ≤ R: Φ=−
1 ρ ρ 2 1 ρ 2 r + R = 6ε0 2 ε0 2 ε0
−
r > R: Φ=
Q 4πε0 r
18
r2 + R2 3
=
1 Q 4πε0 R
3.3 Die Dirac’sche Deltafunktion betrachten Punktladung q bei ~r = ~0 → ρ(~r) = q δ(~r) 6 0 ˚ 0 ,| r |= δ(~r) = δ(~r) dV = 1 ∞ ,| r | = 0 R3 δ(~r) = δ(x) δ(y) δ(z) formal
1 r
∆
bei r = 0 differenzierbar
1 = −4πδ(~r) r
betrachten ˚ V
"
1 r
bei Radius R ˚ 1 1 ∆ dV = div grad dV = r r V
1 1 grad dF = − 2 4πR2 = −4π r R
F
jetzt bei Radius → 0 ˚ ˚ ˚ 1 ∆ dV = −4πδ(~r) dV = −4π δ(~r) dV r V V V | {z } 1
Eigenschaften der Deltafunktion:
19
a) δik =
1
fi =
, f¨ ur i = k
0
, sonst
∞ X
δik fk
k=−∞ ˆ∞
ˆ∞ 0
0
0
δ(x − x0 )f (x) dx
δ(x − x )f (x ) dx =
f (x) = −∞
−∞
b) δ(~r) = δ(x) δ(y) δ(z) c) ˆ∞ 0
f (y)δ 0 (x − y) dy = f 0 (x)
δ (x) : −∞
~ an Begrenzungen -etwas Potentialtheorie3.4 Verhalten von Φ, E 1 Φ(~r) = 4πε0
˚
ρ(~r0 ) dV 0 | ~r − ~r0 |
V
Problem: oft ρ nicht vorgegeben, sondern z.B: • Φ auf Begrenzungen ~ • Normalkomponente von E Bsp. Kondensator, im Inneren ladungsfrei Potentialtheorie: Durch Vorgabe von Φ oder der Normalableitung von Φ auf der Oberfl¨ache eines Volumens, ist Φ im gesamten Volumen eindeutig definiert. Wenn Ladung im Volumen vorhanden ist, dann ist das Gesamtpotential gleich der Summe der Einzelpotentiale: ˚ ρ(~r0 ) ˜+ 1 Φ =Φ dV 0 | ~r − ~r0 | ↑ 4πε0 V
∆Φ = 0
20
~ oder Φ: Einfluß von Begrenzungen auf E
~ 2n − E ~ 1n = σ E ε0 a) Beweis: "
~ dF~ = 1 E ε0
˚ ρ dV =
Q ε0
V
F
~ 2n ∆F~ − E ~ 1n ∆F~ = σ ∆F~ E ε0 ↑ nur Normalkomponente, da ~ 2t · ∆F~ = 0 E ~ im Inneren von Metall: b) E
~ = ~0 E ¨ ,→ Oberfl¨ ache eines Metalls ist Aquipotentialfl¨ ache Beweis: ~ ~j = σ · E ↑ elektr. Leitf¨ ahigkeit ~ t im Inneren ~0 → E ~ t außen auch ~0 ,→ E
,→ Feldlinien treffen senkrecht auf Metalloberfl¨ache c) Ladungen sitzen auf der Oberfl¨ache eines Metalls ρ ~ div | {zE} = ε0
~ ~ 0 f¨ ur E= 0
d) hohler Metallk¨ orper, im Inneren ladungsfrei:
~ = ~0 im Inneren E
21
Beweis: ˛
˛ ~ d~s = 0 E
1
2
~ d~s = 0 E ↓
da keine Potentialdifferenz auf Oberfl¨ache
Feldfrei
Potentialtheorie:
∆Φ = 0
?
−−−−→
Φ(~r)
a) Methode der Spiegelladung
Metallplatte darf eingelegt werden, ohne dass sich das Feld ¨andert
Trick
−−−→
rotationssym. um z-Achse b) Versuch durch Superposition von L¨osungen Φn (~r) X Φ= cn Φn (~r) : ∆Φ = 0 n
Bsp. Ladung in Metallkugel
∆Φ = 0
C +D r Q2 = 4πR2 2 σ2 Φ=
Q1 = 4πR1 2 σ1
0 < r ≤ R1 : Q C1 + D1 C1 = r 4πε0 Q 1 1 Φ1 = − + Φ0 4πε0 r R1
Φ1 (R1) = Φ0 =
Φ1 =
~1 = E
22
Q 1 ~er 4πε0 r2
C1 + D1 R1
R1 < r < R2 : Φ2 = Φ0 r ≥ R2 : Φ3 =
C3 + D3 r
Φ3 = (Φ0 − D3 )
!
C3 = R2 (Φ0 − D3 )
Φ3 (R2 ) = Φ0 R2 + D3 r
E3 = (Φ0 − D3 )
R2 ~er r2
Q2 = 4πε0 R2 Φ0 Metallkugel geerdet: Φ0 = 0 Q2 = 0
Φ3 = 0 f¨ ur r > R2 E3 = 0
Metallkugel isoliert: Q1 + Q2 = 0 Q Φ0 = 4πε0 R2
Q2 = −Q1 = Q Q Φ3 = 4πε0 r
3.5 Das Feld zweier Punktladungen, Multipole
q1 = ±q2 p r = x2 + y 2 + z 2 1 q1 q2 Φ= + 4πε0 r1 r2
p p x2 + y 2 + (z − d)2 = r2 + d2 − 2zd p p r2 = x2 + y 2 + (z + d)2 = r2 + d2 + 2zd r1 =
jetzt Φ f¨ ur r d: r r1,2 =
p
r2 + d2 ∓ 2zd = r
1+
d2 d ∓ 2 cos ϑ r2 r ..................... | {z } 1
23
r→∞
D3 = 0
betrachten: √
1 1 3 15 = 1 − x + x2 − x3 . . . 2 8 48 1+x
setzen: ξ = cos ϑ
d r
η=
r 1 =p r1 1 ................. − 2ξη + η 2 | {z } x
3 2 15 3 1 =1− −2ξη + η 2 + −2ξη + η 2 − −2ξη + η 2 . . . 2 8 48 ∞ X 1 3 2 2 n = η Pn (ξ) = |{z} 1 + ξ η + − + ξ η + ... |{z} 2 2 n=0 P0 {z } | P1 P2
P0 = 1 P1 = ξ
P2 =
3 2 1 ξ − 2 2
P3 =
5 3 3 ξ − ξ 2 2
Pn - Legendre - Polynome Eigenschaften: Pn (1) = 1
Pn (ξ) =
1 2n n!
n dn ξ2 − 1 n dξ
Pn (−ξ) = (−1)n P (ξ) betrachten q1 = q; q2 = ±q: Φ=
n ∞ n −d 1 q X d Pn ± Pn 4πε0 r n=0 r r
jetzt q2 = −q: Φ=
∞ 2n−1 1 2q X d P2n−1 4πε0 r n=1 r
jetzt q2 = +q: ∞ 2n 1 2q X d Φ= P2n 4πε0 r n=0 r
24
allgemein: 1 Qn Pn 4πε0 rn+1 ∞ X Φ= Φn Φ=
- Potential eines Multipols - gesamtes Potential
n=0
1 4πε0 1 Φ1 = 4πε0 1 Φ2 = 4πε0
Q0 r Q1 cos ϑ r2 Q2 3 1 2 cos ϑ − r3 2 2
Φ0 =
- Monopol - Dipol
- Quadrupol
Φ3 =
...
- Oktopol
Φn =
...
- 2n − pol
Dipolanordnung:
(∗)
(∗)
z.B. CO2
Oktopolanordnung:
Quadrupolanordnungen:
1 Φ= 4πε0
Q1 = 2qd = p~
2qd2 2qd3 P + P3 + . . . 2 r3 r5
25
3.6 Multipolentwicklung f¨ ur eine beliebige Ladungsverteilung
Φ=
1 4πε0
˚
ρ(~r0 ) dV 0 | ~r − ~r0 |
V
p p ~r2 + ~r02 − 2 ~r ~r0 = r2 + r02 − 2 ~r ~r0 s 0 0 2 ~r ~r r −2 =r 1+ r r r ( " ) 0 # 2 1 1 3 1 r0 ~r ~r 2 1− + [. . .] . . . = −2 | ~r − ~r0 | r 2 r r r 8 | ~r − ~r0 | =
1 = r
(
" # ) 2 ~r0 1 r0 3 (~er · ~r0 )2 1 + ~er + − ... + r 2 r 2 r2
˚ ˚ ˚ 1 1 1 1 2 ρ(~r0 )dV 0 + 2 ρ(~r0 )(~er · ~r0 )dV 0 + 3 ρ(~r0 ) 3(~er · ~r0 )2 − r02 dV 0 . . . Φ= 4πε0 r r 2r V V |V {z } Q0 =Q(0)
Φ=
3 P
Q0 1 + 4πε0 r
i=1
(1)
xi Qi r3
+
3 1 2 r5
3 X
(2)
Qik xi xk + . . .
i=1 k=1
wenn: x1 ~r = x2 x3 dann:
und
0 x1 ~r0 = x02 x03
˚ (1) Qi
ρ(~r0 )x0i dV 0
= V
˚ (2)
Qik =
1 02 2 2 x1 + x02 + x03 δik dV 0 ρ(~r0 ) x0i x0k − 3
V
Eigenschaften des Quadrupolmomentes:
26
• Tensor 2. Stufe (2) (2) • symmetrisch Qik = Qki • Spur Q(2) = 0 • Q(2) hat 5 unabh¨ angige Elemente F¨ ur jeden Tensor 2. Stufe existiert ein besonders angepasstes Koordinatensystem. Eines in den der Tensor nur noch Diagonalelemente enth¨alt. Dieses kann durch entsprechende Rotationen (3 Freiheitsgrade) erzeugt werden: 000 x x y → y 000 z z 000 ,→
Q11 Q12 Q13
Q12 Q22 Q23
Q13 Q23 0 − Q11 − Q22
→
Q11 0 0
0 Q22 0
0 0
0 − Q11 − Q22
3.7 Feld einer Metallkugel in einem angelegtem homogenen Feld Ohne Metallkugel: ~ r) = E0~ez E(~
Φ(~r) = −E0 z
Kugel mit Radius R0 und Mittelpunkt ~r = ~0
• Kugelpotential wird sich einstellen Φ(r ≤ R0 ) = 0 • E-Feld wird verbogen, Feldlinien treffen senkrecht auf Kugel • Kugel ungeladen Q = 0 • Monopolmoment nicht vorhanden
27
W¨ ahlen Dipolansatz, da Ladungsschwerpunkte auf Kugeloberfl¨ache verschoben werden: 0 1 p~ · ~r 0 p ~ = Φ1 = 4πε0 r3 pz pz z 1 p~ · ~r = −E0 z + Φ = −E0 z + 4πε0 r3 4πε0 r3 pz 1 KK −−→ Φ = −E0 r cos ϑ + cos ϑ 4πε0 r2 pz 1 = −E0 r + cos ϑ 4πε0 r2 Randbedingung Φ = 0 f¨ ur r = R0 pz 1 ! Φ(R0 ) = −E0 R0 + cos ϑ = 0 4πε0 R0 2 | {z } !
,→
pz = 4πε0 E0 R0
=0 3
Erzeugung eines pr¨ azisen Dipolfeldes, da Randbedingung exakt erf¨ ullt
3.8 Energie einer Ladungsverteilung ˆ F~ d~r
W =
q1 bei ~r1 = ~0 dann q2 nach ~r2
L ˆ
~ 1 (~r0 ) d~r0 q2 E 2 2
W = L
L : ∞ → ~r2
ˆ
W =− L
q2 grad Φ1 (~r20 ) d~r20 = −q2 [Φ1 (∞) − Φ1 (~r2 )] = q2 Φ1 (~r2 ) ↑ Φ1 (∞) = 0
28
Ladung
von ∞ nach erforderliche Arbeit
1
~r1
2
~r2
3
~r3
.. .
.. .
1 q1 q2 4πε0 | ~r1 − ~r2 | 1 q1 q2 W3 = q3 + q3 4πε0 | ~r1 − ~r3 | | ~r2 − ~r3 | .. .
N
~rN
WN =
0 W2 =
−1 1 NP qn qN 4πε0 n=1 | ~rn − ~rN |
gesamte Arbeit: W =
N X
Wm =
m=1
N m−1 X X m=1 n=1
qm qn 1 4πε0 | ~rm − ~rn |
N N 1 X X 1 qm qn W = 2 m=1 n=1 4πε0 | ~rm − ~rn | m6=n
Potential von Punktladungen, die momentan betrachtete aber ausgenommen: ˜ rm ) = Φ(~
N X n=1 m6=n
1 qn 4πε0 | ~rm − ~rn |
→ W =
jetzt kontinuierliche Ladungsverteilung: ˚ 1 ρ(~r0 ) ˜ Φ(~rm ) = dV 0 = Φ(~r) 4πε0 | ~r − ~r0 |
N X 1 ˜ rm ) qm Φ(~ 2 m=1
1 W = 2
˚
(~ r 6=~ r0 )
1 W = − ε0 2
~ = −ε0 ∆Φ(~r) ρ(~r) = ε0 div E
2 ~ ~ − E Φ(~r) ∆Φ(~r) = div (Φgrad Φ) − (grad Φ)2 = −div (ΦE) ˚ ˚ 2 ε0 ~ ~ dV + ε0 ,→ W = div (ΦE) E dV 2 2 betrachten Kugel mit Radius R: ˚ " ~ ~ dF~ div (ΦE) dV = ΦE VK
FK
29
Φ(~r) ρ(~r) dV ˚ Φ(~r) ∆Φ(~r) dV
wenn R Ausdehnung der Ladungsverteilung: Φ∼
,→
W =
ε0 2
2 1 ~ E ∼ 2 r
1 r
˚ 2 ~ E dV
Gesamtenergie
R3
w= ,→
ε0 ~ 2 E 2 ˚
lokale Energiedichte
w dV ≥ 0
W = R3
30
4 Das von station¨ aren Str¨ omen erzeugte magnetische Feld ~ 4.1 Vektorpotential (A) •
" ~ = 0; div B
~ F~ = 0 Bd
~ ~ = µ0~j + µ0 0 ∂ E ; rot B ∂t
~ ∂E statisch: =0 ∂t ¨ ˛ ~ r = µ0 ~jdF~ = µ0 I Bd~
~ = µ0~j; ⇒ rot B • I=Strom • j=Stromdichte • Einfache F¨ alle: ˛ ˆ ~ Bd~r = Bt (~r) |d~r| = µ0 I L
L
– Wahl von L so, dass Integrant konstant – t=Tangentialkomponente • Beispiel: unendlich langer, d¨ unner, stromdurchflossener Draht
B(~r) = B(ρ, ϕ) = Bρ e~ϕ ˛ ~ r = Bϕ 2πρ = µ0 I Bd~ B(ρ, ϕ) =
µ0 I e~ϕ 2πρ
~ = 0; B ~ = rot A ~ A) div B ~ = µ0~j; rot rot A ~ = µ0~j B) rot B ~ = grad (div A) ~ − ∆A ~ rot rot A rot grad Φ = 0; (Φ = beliebiges Skalarfeld) ~ 0 := A ~ + grad Φ A ~ 0 = rot A ~ rot A
31
• Coulombeichung: div grad Φ = ∆Φ = 0 ~ = −rot rot A ~ = −µ0~j ⇒ ∆A ∆Ax = −µ0 jx ;
(∆Φ = − 1 (Φ(~r) = 4π0
∆Ay = −µ0 jy ;
˚
ρ ) 0
ρ(~r0 ) dV 0 ) |~r − ~r0 |
∆Az = −µ0 jz ˚ µ0 jx (~r0 ) Ax (~r) = dV 0 (analog zu x und y) 4π |~r − ~r0 | ˚ j(~r0 ) ~ r) = µ0 dV 0 A(~ 4π |~r − ~r0 | • Bei langen Dr¨ ahten: ˆ Id~r0 ~ r) = µ0 A(~ 4π |~r − ~r0 | L ˚ µ0 j(~r0 ) 0 ~ ~ B = rot A = rot )dV 4π |~r − ~r0 | • x-Komponente: rot
j(~r0 ) |~r − ~r0 |
jz (~r0 ) ∂ jy (~r0 ) − |~r − ~r0 | ∂z |~r − ~r0 | x ∂ 1 1 0 ∂ = jz (~r0 ) − j (~ r ) y ∂y |~r − ~r0 | ∂z |~r − ~r0 | − 1 ∂ 1 ∂ = (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 + (x − x0 )2 2 0 ∂y |~r − ~r | ∂y jz (~r0 )(~r0 − ~r)y − jy (~r0 )(~r0 − ~r)z = 3 |~r − ~r0 | (~r0 − ~r) × ~j(~r0 ) = 3 |~r − ~r0 | ∂ = ∂y
x
• Biot-Savart’sches Gesetz: ˚ (~r0 − ~r) × ~j(~r0 ) 0 ~ = µ0 B dV 3 4π |~r0 − ~r|
32
• Spezialfall: d¨ unner Leiter ˆ (~r0 − ~r) × Id~r0 ~ → µ0 B 3 4π |~r0 − ~r| L
4.2 Beispiele f¨ ur das Vektorpotential a) homogenes B-Feld in z-Richtung ~ = (0; 0; B) B ~ = (0, xB; 0) I) A ~ = (−yB; 0; 0) II) A
~=0 div A
~ = (−y B ; x B ; 0) III) A 2 2
b) langer, stromdurchflossener Draht – z-Achse l¨ angs des Drahtes 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 ρ + 2 + )Aρ (ρ, ϕ, z) = 0 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2 ∂z 2 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 II) ∆Aϕ (ρ, ϕ, z) = ( ρ + 2 + )Aϕ (ρ, ϕ, z) = 0 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2 ∂z 2 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 III) ∆Az (ρ, ϕ, z) = ( ρ + 2 + )Az (ρ, ϕ, z) = 0 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2 ∂z 2 I) ∆Aρ (ρ, ϕ, z) = (
⇒ I, II, III g¨ ultig f¨ ur ρ = 0 ~ kann keine z-Komponente haben; B ~ = rot A; ~ Az 6= 0 – B ~ ist rotationssymmetrisch um die z-Achse – B ~=0 – div A – Ansatz:
33
~ = (0; 0; Az ) A 1 ∂ ∂Az ρ = 0; Az = α ln ρ + β ρ ∂ρ ∂ρ ~ = rot A ~ = −α 1 ~eϕ B ρ ˛ α ~ r = − 2πρ = µ0 I ⇒ α = − µ0 I Bd~ ρ 2π L
~ = µ0 I 1 ~eϕ ~ = − µ0 I ln ρ~ez ; B A 2π 2π ρ c) stromdurchflossene rechteckige Schleife
~ = −µ0~j ∆A
∆Ax = −µ0~jx
– Dipolmoment: (elektrostatisch) px = pz = 0 py = −bQ+ + bQ− = −2bQ+ = −2a2bλ+ – Dipolmoment der x-Komponente des Vektorpotentials: mx,y = −2a2bI (magnetisches Drehmoment)
34
∆Ay = −µ0 jy
px = aQ+ − aQ− = 2a2bλ+ – Dipolmoment der y-Komponente des Vektorpotentials: my,x = 2a2bI ∆Az = −µ0 jz = 0 – W¨ ahle Az = 0, sonst konstant und linear abh¨angig – Dipoln¨ aherung: µ0 −4abIy 4π r3 µ0 4abIx Ay = 4π r3 Az = 0 ~ × ~r ~ = µ0 m ⇒ A ; m ~ = 4abI~ez 4π r3 ~ = rot A ~ B ∂Az ∂Ay µ0 3mz zx ⇒ Bx = − = ∂y ∂z 4π r5 ∂Ax ∂Az µ0 3mz zy ⇒ By = − = 5 ∂z ∂x 4π r 3z 2 ∂Ax µ0 ∂Ay 1 − = mz − 3 + 5 ⇒ Bz = ∂x ∂y 4π r r ~ · ~r)~r − r2 m ~ ~ = µ0 3(m B 5 4π r Ax =
35
5 Zeitlich ver¨ anderliche elektromagnetische Felder • Beschr¨ ankung auf Raumbereiche mit ρ(~r) = 0; ~j(~r) = 0 ~ =0 div E
~ =0 div B
~ ~ = − ∂B rot E ∂t
~ ~ = 0 µ0 ∂ E rot B ∂t
2~ ~ + grad div E ~ = −∆E ~ ~ = − ∂ rot B ~ = −0 µ0 ∂ E = −∆E ⇒ rot rot E ∂t ∂t2 2~ 2~ ~ = 0 µ0 ∂ E = 1 ∂ E ; c = √ 1 ⇒ ∆E ∂t2 c2 ∂t2 0 µ0 2~ ~ = 1 ∂ B ⇒ ∆B 2 c ∂t2
∂ 2 Ψ(z, t) 1 ∂ 2 Ψ(z, t) 1 ∂ 2 Ψ(z, t) =⇒ = c2 ∂t2 ∂z 2 c2 ∂t2 • allgemeine L¨ osung: ∆Ψ(z, t) =
Ψ(z, t) = f + (z − ct) + f − (z + ct); f (u) = f (z ∓ ct) • Spezialfall: monochromatische, ebene Welle, die sich in positiver z-Richtung ausbreitet: n o Ψ(z, t) = f + (z − ct) = cos(kz − ωt) = Re ei(kz−ωt) 2π ω = = k (Wellenzahl) λ c • dreidimensionale, ebene harmonische Welle, die sich in Richtung des Wellenzahlvektors ~k ausbreitet: n o ~ Ψ(r, t) = cos(~k~r − ωt) = Re ei(k~r−ωt) • Ebene harmonische Welle, die sich in z-Richtung ausbreitet: ~ r, t) = E(z ~ − ct) E(~
~ r, t) = B(z ~ − ct) B(~
~ = ∂Ex + ∂Ey + ∂Ez = ∂Ez (z − ct) = 0 div E ∂x ∂y ∂z ∂z 0 ⇒ Ez (~r, t) = const. = Ez ~ =0 div B ⇒ Bz (~r, t) = const. = Bz0
36
• In Ausbreitungsrichtung besitzt weder das E-Feld noch das B-Feld eine zeitlich variierende Komponente ~ ~ = − ∂B rot E ∂t ∂Ez ∂Ey ∂Bx − =− ∂y ∂z ∂t
∂Ey ∂Bx = ∂z ∂t
⇒
∂Ex ∂Ez ∂By − =− ∂z ∂x ∂t ∂Ey ∂Ex ∂Bz − =− ∂x ∂y ∂t
∂Ex ∂By =− ∂z ∂t ∂Ey ∂Ex − = 0 (uninteressant) ∂x ∂y
⇒ ⇒
~ ~ = 1 ∂E rot B 2 c ∂t ∂By 1 ∂Ex =− 2 ∂z c ∂t ∂Bx 1 ∂Ey = 2 ∂z c ∂t 0 = 0 (uninteressant) ∂Ey ∂z ∂Ex ∂z ∂By ∂z ∂Bx ∂z
∂Bx ∂t ∂By =− ∂t 1 ∂Ex =− 2 c ∂t 1 ∂Ey = 2 c ∂t
=
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
∂Ey (u) ∂u ∂Ex (u) ∂u ∂By (u) ∂u ∂Bx (u) ∂u
∂Bx ∂u ∂By =c ∂u 1 ∂Ex = c ∂u 1 ∂Ey =− c ∂u
= −c
u = z − ct
(¨ uberfl¨ ussig) (¨ uberfl¨ ussig)
∂Ey ∂Bx = −c ∂u ∂u ∂By ∂Ex =c ∂u ∂u kEy (u) = −cBx (u) + const.
(const. = Ey0 )
kEx (u) = cBy (u) + const.
(const. = Ex0 )
37
~ • z.B.: Ekx-Achse ⇒ Ey = 0 = Ez ; Bx = 0 = Bz ; Ex (z − ct) = cBy (z − ct) ~ B) ~ • ⇒ Elektromagnetische Wellen sind Transversalwellen (E⊥ • ebene, monochromatische Wellen, die sich in z-Richtung ausbreiten: 0 = Ex = Ez = Bz = By o n Ey (~r, t) = E0 cos(kz − ωt) = E0 Re ei(kz−ωt) 1 Bx (~r, t) = − E0 cos(kz − ωt) c 1 ~ = µ0 H ~ (im Vakuum) c= √ ; B 0 µ0 • Energiedichte: 1 1 0 E 2 + µ0 H 2 2 2 1 1 µ0 H 2 = E2 B2 = µ0 µ0 c2 = 0 E 2
w(~r, t) =
⇒ µ0 H 2 = 0 E 2 1 1 ⇒ w(~r, t) = 0 E 2 + µ0 H 2 = 0 E 2 2 2 1 w(~r, t) = 0 E02 cos2 (kz − ωt) = 0 E02 [cos(0) + cos(2(kz − ωt))] 2 1 • zeitlicher Mittelwert: < w(~r, t) >= 0 E 2 2 ~ • Energiestromdichte: S 2 ~=E ~ ×H ~ = E0 cos2 (kz − ωt)~ez S cµ0 1 c 0 µ0 = cw(~r, t)~ez ; = 2 =c = 0 c cµ0 c µ0 µ0
1 1 ~ S = w(~r, t)~ez c2 c p2 – klassisches Teilchen: Ekin = 2m – relativistisches Teilchen: p E = (m0 c2 )2 + (cp)2 ;
• Impulsdichte: p~(~r, t) =
f¨ ur m0 → 0 : E → cp
38
6 Quanten 6.1 Einordnung der Quantenmechanik • c → Relativit¨ atstheorie • Energie in Portionen“ → Quantenmechanik ” h • Planck-Konstante: h, beziehungsweise ~ = 2π (~ω = hν) klassische Mechanik ~ → 0; c → ∞
Quantenmechanik
klassische Elektrodynamik relativistische Mechanik ~ → 0; c 6= ∞
~ 6= 0; c → ∞
relativistische Quantenmechanik Quantenfeldtheorie ~ 6= 0; c 6= ∞
6.2 Beispiele f¨ ur Quanteneffekte 1. Strahlung schwarzer K¨ orper 2. der photoelektrische Effekt 3. Compton Effekt 4. Emissionsspektrum von Atomen
1. Strahlung schwarzer K¨ orper • Spektrales Emissionsverm¨ogen: Es (ω, T ) (von Einheitsfl¨ache abgestrahlte Energie in Frequenzintervall [ω, ω + dω]) • klassische Theorie: Es (ω, T ) = tastrophe!
ω2 4πc2 kT
39
J (k = 1.38 · 10−23 K ), Ultraviolettka-
• Planck: Strahlungsenergie bei einer bestimmten Frequenz ω kann nur in Paketen (Quanten) ausgetauscht werden: E = n~ω; ~ = 1.054 · 10−34 Js 1 ~ω 3 ~ω 4πc2 e kT −1 ~ω =1+ + ··· kT ~ω ≈1+ (einsetzen → klassische Beziehung) kT
Es (~, ω) = ~ω
e kT
~ω
e kT
2. der photoelektrische Effekt • 1887, Hertz (Karlsruhe)
1) F¨ ur ω < ω0 : I = 0; ω0 (kathodenmetall) 2) Gegenspannung U f¨ ur die I = 0 wird: – Us =
~(ω−ω0 ) e
– I > 0 f¨ ur eUs < Ekin 3) Licht mit bestimmten ω; I ∝ Intensit¨at des Lichtes • E = ~ω p~ = ~~k p |~ p| c = E 2 − (mc2 )2 → relativistische Energie-Impulsbeziehung ⇒ f¨ ur m → 0 : E = ~ω = |~ p| c ~ ⇒ |~ p| = ω = ~ ~k c ω ~ ⇒ = k c 3. Compton Effekt
40
• Streuung von Licht an Elektronen • ωs (gestreutes Licht) < ω (einfallendes Licht) 4. Emissionsspektrum von Atomen • scharfe Linie im Emissionsspektrum • Wasserstoff:
1 λ
= const.; ( n12 − 1
1 ); n22
n1 , n2 ∈ N; n1 < n2
• Bohrsches Atommodell: – nur Elektronenbahnen mit Drehimpuls n~; n ∈ N0 – Kreisbahnen: mvr = n~; v = Bahngeschwindigkeit – auf diesen Bahnen Bewegung strahlungsfrei – Elektron kann von Bahn der Energie E auf Bahn mit Energie E 0 wechseln (E − E 0 = ~ω) – Kreisbahnen im Coulomb-Zentralfeld mv 2 1 1 1 1 ze2 + = 0; Iω 2 = r2 mω 2 = mv 2 4π0 r2 r 2 2 2 2 ze 1 ⇒ v2 = mr 4π0 ⇒ mvr = n~ −
n2 ~2 4π0 ze2 m 1 ze2 1 ⇒ E = mv 2 − 2 r 4π0 2 1 ze 1 ze2 1 1 ze2 1 E= m − =− 2 r m4π0 r 4π0 2 r 4π0 2 2 4 2 1 ze ze m 1 1 1z e m E=− =− 2 4π0 n2 ~2 4π0 2 n2 ~2 (4π0 )2 1 (ze2 )2 m 1 E(n = 1) = − 2 ~2 (4π0 )2 1 (ze2 )2 m 1 1 1 ⇒ ∆E = − − 2 ~2 n21 n22 (4π0 )2 ⇒r=
41
7 Dualismus Welle-Teilchen 7.1 Doppelspalt
2
2
2
• Interferenz: I (Intensit¨ at) ∝ |Φ| 6= |Φ1 | + |Φ2 | ; (Φ = Φ1 + Φ2 ) • kleine Lichtintensit¨ aten (immer nur ein Photon im Experiment) – f¨ ur kurze Belichtungszeiten: ein lokaler Fleck auf dem Schirm (Teilchenspalt) – f¨ ur lange Belichtungszeiten: Interferenzmuster (Wellenspalt)
7.2 Spektralzerlegung und Fouriertransformation ~ r, t) = E0~ep ei(~k~r−ωt) ; ~ep : Einheitsvektor der linearen Polarisation • E(~ • ~e2p = 1; ~ep~k = 0
• Energiestromdichte: I = I0 cos2 Θ • Einzelnes Photon: – Photon passiert den Analysator, oder – Photon wird absorbiert – ⇒ Durchgangswahrscheinlichkeit: cos2 Θ • Interpretation:
42
– eine Messung ergibt nur bestimmte Resultate (Durchgang oder Absorption): Eigenwerte – zu den Messresultaten geh¨oren zwei Eigenvektoren ~ep = ~ex und ~ep = ~ey – ein beliebiger Vektor ~ep = ~ex cos Θ + ~ey sin Θ – Quadrat der Koeffizienten gibt die Wahrscheinlichkeit f¨ ur Durchgang (cos2 Θ) 2 oder Absorption (sin Θ) – Polarisationsrichtung nach Messung: ~ex • Fouriertransformation 1 f (x, t = 0) = 2π
ˆ∞ F (k)eikx dk −∞
wenn f (x, t = 0) gegeben: ˆ∞ 0
0
f (x, t = 0)e−ik x dx
F (k ) = −∞
ˆ∞ 0 1 F (k)eikx dk e−ik x dx = 2π −∞ −∞ ∞ ∞ ˆ ˆ 0 1 = F (k)ei(k−k )x dx dk 2π −∞ −∞ ∞ ˆ∞ ˆ 0 1 F (k) = ei(k−k )x dx dk 2π −∞ −∞ {z } | ˆ∞
=2πδ(k−k0 )
ˆ∞ F (k 0 ) =
F (k)δ(k − k 0 )dk −∞
• f (x) ◦—–• F (k)
– Ausdehnung im Ortsraum: ∆x =
43
2π a
– Breite der Verteilung: ∆k = 2a – ∆x∆k =
2π a 2a
= 4π
44
8 Materiewellen und Schr¨ odingergleichung • 1923 de Broglie: Hypothese der Materiewelle • 1927 Darvisson, Germer: Interferenz von Elektronenstrahlen
8.1 Realisierung des Konzeptes der Materiewellen 1. Das Teilchen wird durch Wellenfunktion Ψ(~r, t) beschrieben 2
2. |Ψ(~r, t)| wird als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert 2
• ρ(~r, t) = |Ψ(~r, t)| ; ρ(~r, t)dxdydz → Wahrscheinlichkeit, dass Teilchen in Volumen dxdydz um den Ort ~r zu Zeitpunkt t zu finden ´∞ ´∞ ´∞ • ρ(~r, t)dxdydz = 1 −∞ −∞ −∞
3. Messung einer beliebigen Gr¨oße; es soll Spektralzerlegung“ gelten ” • Eigenfunktion Ψn (~r) mit Eigenwert an • wenn Ψ(~r, t0 ) = Ψn (~r) dann liefert Messung den Eigenwert an P • Ψ(~r, t0 ) = cn Ψn (~r) (Spektralzerlegung) n 2
→ Messung liefert bestimmten Wert aj mit Wahrscheinlichkeit |cj |
• Nach der Messung: Wenn Messergebnis aj dann Wellenfunktion nach Messung: Ψj (~r) (Reduktion der Wellenfunktion) 4.
• Zeitliche Entwicklung des Systems wird durch Schr¨odingergleichung beschrieben ~
Ψ(~r, t) = Ψ0 ei(k~r−ωt) ;
p~2 = E = ~ω; p~ = ~~k 2m
∂ Ψ(~r, t) = −iωΨ(~r, t) ∂t ∂ p~2 ~2~k 2 → i~ Ψ(~r, t) = ~ωΨ(~r, t) = Ψ(~r, t) = Ψ(~r, t) ∂t 2m 2m ∂ ~2 → i~ Ψ(~r, t) = − ∆Ψ(~r, t) ∂t 2m ⇒ Schr¨ odingergleichung f¨ ur ein freies Teilchen
45
• Verallgemeinerung: Teilchen in Potential V (~r) p~2 + V (~r) = ~ω 2m ∂ ~2 → i~ Ψ(~r, t) = − ∆ + V (~r) Ψ(~r, t) ∂t 2m {z } | → E=
ˆ Hamilton-Operator H:
∂ ˆ r, t) → i~ Ψ(~r, t) = HΨ(~ ∂t
8.2 Teilchen als Wellenpakete ~
• Ebene Welle: Ψ(~r, t) = Ψ0 ei(k~r−ωt) ; ω = • Superpositionsprinzip: Φ(~r, t) =
´
~k2 2m ; ~
~k =
p ~ ~
~
dk f (~k)ei(k~r−ωt) (2π) 3
• Phasen- und Gruppengeschwindigkeit: ~vp =
ω(~k) 2
k2 =
~~k 2m
|k| p~ = 2m ∂ ∂ ∂ ~ ~~k ~vg = ( ; ; )ω(~k) = ∇~k ω(~k) = (kx , ky , kz ) = ∂kx ∂ky ∂kz m m p~ = m
8.3 Heisenbergsche Unsch¨ arferelation • Ebene Welle: keinerlei r¨ aumliche Lokalisierung aber sehr starke Lokalisierung des Impulses (~ p = ~~k) • ∆k∆x > 1 • ∆p∆x > ~≥
~ 2
8.4 Zustand, Gr¨ oße, Wert einer Gr¨ oße • Physikalische Gr¨ oße G“ (Observable) dr¨ uckt quantitative Beziehung zwischen ” verschiedenen physikalischen Systemen aus → Beispiel: Energie, Impuls, Drehimpuls ¨ • Naturvorg¨ ange sind Uberg¨ ange zwischen Zust¨anden → stetig ablaufende Vorg¨ ange (unendliche Folge inkrementaler Schritte): Prozesse
46
• Zust¨ ande: im allgemeinen nicht direkt beobachtbar • der einer Observablen G“ zugeordnete Messwert W (G, Z) =< G > ist eine Zahl; ” (Z=Zustand) • in einem Zustand hat jede Observable einen festen Wert • Prozessgr¨ oße: nicht dem Zustand zugeordnet, sondern einem Prozess als Ganzem (Beispiel: W¨ arme, Arbeit) • Rolle der Zeit: – Observablen haben in jedem Zustand einen bestimmten Wert – Umgekehrt: das System befindet sich zu jedem Zeitpunkt in einem Zustand – Zeit dient der Anordnung von Zust¨anden • Messung physikalischer Gr¨oßen: – Einzelmessung: Ablesen eines Zahlenwerts von einem Messinstrument f¨ ur die Gr¨ oße G“ ” – Eigenwert von G“: m¨ ogliche Zahlenwerte bei einer Einzelmessung (an einem ” bestimmten System) – Spektrum von G“: Menge aller Einzelwerte ” – Messung: Wiederholung von Einzelmessungen an einem Ensemble (von gleichen und im gleichen Zustand befindlichen) Systemen) – nur eine Einzelmessung pro System • Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion w(G, Z)
• Observable und deren Werte – ~r-Wahrscheinlichkeitsdichte: w(~r, t) = |Ψ(~r, t)| – Funktion G(~r):
2
´ ∗ Wert G(~r): W (G, Ψ) = w(~r, t)G(~r)d~r ´ von = Ψ∗ (~r, t)G(~r)Ψ(~r, t)d~r (W=Mittelwert) ´ 2 ∗ |Ψ(~r, t)| d~r = 1
47
– Erhaltung der Wahrscheinlichkeit: ∗ ∂ w(~r, t) + div ~jw (~r, t) = 0 (~jw =Wahrscheinlichkeitsstromdichte) ∂t
– Impulsabh¨ angige Gr¨ oßen (zum Beispiel: p~ selbst): ~ ~k = −i∇ ~ p~ = ~~k; i~k = ∇; ˆ ~ W (~ p, Ψ) = Ψ∗ (~r, t)(−i~∇)Ψ(~ r, t)d~r G(~ p, ~r, . . . ) = Funktion des Impulses ˆ ˆ p = −i~∇, ~ ~r)Ψ(~r, t)d~r W (G(~ p, ~r), Ψ) = Ψ∗ (~r, t)G(~ ~ p ~=−i~∇
ˆ p, ~r)) (G(~ p, ~r) −−−−−→ G(~ Gr¨ oße Ort Impuls – Drehimpuls Energie
klassische Mechanik ~r p~ ~ = ~r × p~ L p~2 H= + V (~r) 2m | {z } |{z}
Wellenmechanik ~r = ~rˆ = (ˆ x, yˆ, zˆ) ~ = (ˆ p~ˆ = −i~∇ px , pˆy , pˆz ) ˆ ˆ ˆ ~ L = ~r × p~ = −i~(~r × ∇)
G(~ p, ~r, t)
ˆ p~ˆ, ~rˆ, t) = G(−i~ ˆ ~ ~r, t) G( ∇,
Ekin
beliebige Gr¨ oße
~2 ˆ = − ~2 ∇ H r) 2m + V (~
Epot
• Reihenfolge von Operatoren im allgemeinem nicht vertauschbar h i ˆ −B ˆ Aˆ = A, ˆ B ˆ • AˆB h i ˆ B ˆ = Kommutator • A, ˆ = kurze Schreibweise f¨ • AˆB ur:
´
ˆ r Ψ∗ AˆBΨd~
[ˆ x, yˆ] = x ˆyˆ − yˆx ˆ = xy − yx = 0 ∂ ∂ ∂ ∂ [ˆ px , pˆy ] = pˆx pˆy − pˆy pˆx = −i~ (−i~ ) − (−i~) (−i~) =0 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂ ∂ [ˆ x, pˆy ] = x ˆpˆy − pˆy x ˆ = x(−i~ ) − (−i~ )x = 0 ∂y ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ [ˆ x, pˆx ] = x ˆpˆx − pˆx x ˆ = x(−i~ ) − (−i~ )x = −i~x + i~(1 + x ) ∂x ∂x ∂x ∂x = i~
48
8.5 Zeitunabh¨ angige Schr¨ odingergleichung • Beschreibung station¨ arer Zust¨ande – Werte aller Observablen zeitlich konstant – Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(~r, t) = ρ(~r) = |Ψ(~r, t)|
2
– nur Phase von Ψ(~r, t) zeitabh¨angig – Ψn (~r, t) = Ψn (~r)e−iωn t = Ψn (~r)e−i
En ~
t
• Schr¨ odingergleichung: ∂ ~2 ∆ + V (~r) Ψn (~r, t) = i~ Ψn (~r, t) − 2m ∂t ~2 ∂ − ∆ + V (~r) Ψn (~r)e−iωn t = i~ Ψn (~r)e−iωn t 2m ∂t = i~Ψn (~r)(−iωn )eiωn t = En Ψn (~r)e−iωn t ~2 − ∆ + V (~r) Ψn (~r) = En Ψn (~r) 2m ˆ n (~r) = En Ψn (~r) HΨ
8.6 Stufenpotential
• V (x) = V0 Θ(x − x0 ) 2
−
~ ∂2 Ψ = [E − V0 Θ(x − x0 )] Ψ 2m |∂x{z2 } Ψ00
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Integration der Schr¨ odingergleichung xˆ0 +ε
~2 − 2m
Ψ00 (x)dx = −
~2 [Ψ0 (x0 + ε) − Ψ0 (x0 − ε)] 2m
x0 −ε xˆ0 +ε
[E − V0 Θ(x − x0 )] Ψ(x)dx
= x0 −ε
xˆ0 +ε
xˆ0 +ε
Ψ(x)dx −
=E x0 −ε
V0 Θ(x − x0 )Ψ(x)dx x0 −ε
Quadratintegrabilit¨ at: |Ψ(x)| < K,
K ∈ reelle Zahlen
x +ε ˆ0 ε→0 Ψ(x)dx ≤ |E| K2ε → 0 0 ≤ E x0 −ε x +ε x +ε ˆ0 ˆ0 ε→0 0 ≤ V0 ur V0 endlich Θ(x − x0 )Ψ(x)dx = V0 Ψ(x)dx < |V0 | Kε → 0 f¨ x0 −ε
0
x0
0
ε→0
Ψ (x0 + ε) − Ψ (x0 − ε) → 0 ⇒ Ψ0 (x0 ) ist stetig ⇒ Ψ(x0 ) ist stetig und differenzierbar (aus weiterer Integration) • station¨ are ebene Welle, die in positiver x-Richtung l¨auft, konstantes Potential V0 Ψ(x) = Ψ0 eikx ~2 ∂ 2 − + V 0 Ψ(x) = EΨ(x) 2m ∂x2 ~2 ~2 ∂ 2 2 ikx ikx + V (ik) + V Ψ e = − = EΨ0 eikx − 0 0 Ψ0 e 0 2m ∂x2 2m 1p ~2 2 k = E − V0 ; k = 2m(E − Vo ); E − V0 = Ekin 2m ~ E > V0 : k ist reell E < V0 : k ist rein imagin¨ar 1p 2m(V0 − E) k = iχ; χ = ~ • allgemein Ψ(x) = Ψ0+ eikx + Ψ0− e−ikx (1-dimensional: V0 konstant)
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• Annahme – Teilchen l¨ auft von links kommend auf Potentialstufe zu; Wahl von x0 = 0
• Ansatz 1√ −x 2mE x < 0 : Ψ− (x) = e|ik{z− x} + |Re−ik ; k = − {z } ~ einfallend
x > 0 : Ψ+ (x) =
reflektiert
1p T e ; k = 2m(E − V0 ) + | {z } ~ ik+ x
transmittiert
Ψ(x) = Ψ− (x)Θ(−x) + Ψ+ (x)Θ(x) ( 0 f¨ ur x < 0, Θ(x) = 1 f¨ ur x ≥ 0 Ψ0− (x) = ik− eik− x − ik− Re−ik− x Ψ0+ (x) = ik+ T eik+ x • Stetigkeitsbedingungen Ψ− (0) = Ψ+ (0); 1 + R = T Ψ0− (0) = Ψ0+ (0); k− (1 − R) = k+ T k− (1 − R) = k+ T = k+ (1 + R) k− − k− R = k+ + k+ R k− − k+ = k− R + k+ R k− − k+ R= k− + k+ 2k− T =1+R= k− + k+ • Reflexionswahrscheinlichkeit k− − k+ 2 2 PR = |R| = k− + k+ • Transmissionswahrscheinlichkeit P T = 1 − PR
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−iχ+ 2 a) E < V0 : k+ = iχ+ ; PR = kk− = 1; PT = 0 − +iχ+ Ψ+ (x) = T ei(iχ+ )x = T e−χ+ x b) E > V0 : k− , k+ : reell; PR > 0 f¨ ur V0 6= 0 k− − k+ 2 k− + k+ 2 k− − k+ 2 = − PT = 1 − PR = 1 − k− + k+ k− + k+ k− + k+ 2k− 2 k+ 4k− k+ 2 k+ = = 2 k− + k+ k− = T k− |k− + k+ |
Tunneleffekt
• f¨ ur χ2a >> 1; Vereinfachung: B = 0 √ 2a • T = e−χ2a = e− ~ 2m(V0 −E) √ 4a 2 • PT = |T | = e− ~ 2m(V0 −E) • optisches Analogon:
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