Transcript
Inhaltsverzeichnis 1 Kartesische Normalkoordinatensysteme
5
2 SchrÄ agrisse
7
3 Zugeordnete Normalrisse
13
3.1 Hauptrisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Grundriss eines Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 Aufriss eines Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4 Kreuzriss eines Punktes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5 Beispiel I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.6 Zugeordnete Normalrisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.7 Ordnerbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.8 Beispiele II
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.9 Rekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.10 Beispiele III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.11 Abbildung von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.11.1 Spezielle Lagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.11.2 1. Hauptgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.11.3 2. Hauptgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.11.4 3. Hauptgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.11.5 Geraden allgemeiner Lage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.11.6 Angittern auf einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.11.7 Beispiele IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.12 Abbildung von Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.12.1 Ebenen spezieller Lage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.12.2 Erstprojizierende Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.12.3 Zweitprojizierende Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.12.4 Drittprojizierende Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
INHALTSVERZEICHNIS
2
3.12.5 Angittern in einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.12.6 Hauptgeraden einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.12.7 Beispiele V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4 Lagenaufgaben
54
5 Ma¼aufgaben
61
5.1 Wahre LÄange einer Strecke (M1): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2 Normalismus (M2): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2.1
Ebenennormale (M2a): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2.2
Normalebene (M2b): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3 Paralleldrehen einer Ebene (M3): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.3.1
Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6 Seitenrisse
80
6.1 Beispiel I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.2 Beispiel II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.3 Seitenriss zum Grundriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.4 Seitenriss zum Aufriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.5 Beispiel II { Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.6 Weitere Bemerkungen zu Seitenrissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7 Kegelschnitte
91
7.1 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.2 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.3 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.4 Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8 Die Parallelprojektion eines Kreises
109
8.1 Die Parallelprojektion eines Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.2 Die Normalprojektion eines Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.3 Kreise in besonderen Lagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.4 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
INHALTSVERZEICHNIS 9 Die Kugel
3 116
9.1 De¯nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 9.2 Ebene Schnitte einer Kugel; Tangentialebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9.3 Umriss einer Kugel bei Normalprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 9.4 Angittern auf der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9.5 3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 9.5.1
Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.5.2
Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.5.3
Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.6 Durchsto¼punkte einer Geraden mit einer Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 10 Der Drehzylinder
132
10.1 De¯nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 10.2 Umriss eines Drehzylinders bei Normalprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 10.3 Beispiel I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 10.4 Ebener Schnitt eines Drehzylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 10.5 Beispiel II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 10.6 Durchsto¼punkte einer Geraden mit einem Drehzylinder . . . . . . . . . . . . . 146 11 Der Drehkegel
147
11.1 De¯nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 11.2 Ebene Schnitte eines Drehkegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 11.3 Umriss eines Drehkegels bei Normalprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 11.4 Durchsto¼punkte einer Geraden mit einem Drehkegel . . . . . . . . . . . . . . . 153 11.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 11.5.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 11.5.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 11.5.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.5.4 Beispiel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 11.5.5 Beispiel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 11.5.6 Beispiel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 12 Normale Axonometrie
171
12.1 Normalprojektion eines rÄaumlichen kartesischen Koordinatensystems . . . . . . . 171 12.2 Das Einschneideverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 12.3 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
INHALTSVERZEICHNIS
4
12.4 Spezielle normale Axonometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 12.5 Darstellung von Kreis, Drehzylinder, Drehkegel und Kugel bei normaler Axonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 12.5.1 Darstellung des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 12.5.2 Darstellung von Drehzylinder und Drehkegel . . . . . . . . . . . . . . . . 184 12.5.3 Darstellung der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 13 Durchdringungen
190
13.1 Konstruktion von Punkten der Durchdringungskurve zweier krummer FlÄachen . 191 13.2 Tangente an die Durchdringungskurve
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
13.3 Durchdringungskurve zweier Drehzylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 13.3.1 Durchdringungskurve von Drehzylindern mit schneidenden Achsen . . . . 195 13.3.2 Durchdringungskurve von Drehzylindern mit windschiefen Achsen . . . . 200 13.4 Durchdringungskurve eines Drehkegels mit einem Drehkegel oder Drehzylinder . 204 13.5 Durchdringungskurven von Kugeln mit Drehzylindern oder Drehkegeln . . . . . 210
Kapitel 1 Kartesische Normalkoordinatensysteme
Um die Gestalt und Lage eines Objektes im Raum beschreiben zu kÄonnen, verwendet man ein (dem Objekt angepasstes) Koordinatensystem, am zweckmÄa¼igsten ein kartesisches Normalkoordinatensystem. Dieses besteht aus drei paarweise orthogonalen, orientierten Geraden x, y und z { auf jeder der drei Geraden wird also ein Durchlaufsinn ausgezeichnet {, die sich in einem Punkt O schneiden. Es gelten die folgenden Bezeichnungen: O : : : U rsprung x; y; z : : : Achsen Ex ; Ey ; Ez : : : Einheitspunkte Die von den Achsen aufgespannten Ebenen werden Koordinatenebenen (xy-Ebene, xz-Ebene und yz-Ebene) genannt. Das kartesische Normalkoordinatensystem hei¼t Rechtskoordinatensystem, wenn gilt: Blickt man entgegen der orientierten z-Achse auf die xy-Ebene und verdreht die orientierte x-Achse um 90 o im Gegenuhrzeigersinn, so geht sie in die orientierte y-Achse Äuber.
KAPITEL 1. KARTESISCHE NORMALKOORDINATENSYSTEME
6
Wir verwenden nur Rechtskoordinatensysteme.
z
Ez
yz
xz
O
Ey
Ex y x
xy
Jedem Punkt P des Raumes ist in bijektiver (eineindeutiger) Weise ein Quader zugeordnet, der O und P als Ecken besitzt und dessen Kanten zu den Achsen parallel sind. Er hei¼t Koordinatenquader. FÄ ur spezielle Punkte kann der Quader auch in ein Rechteck (P liegt in einer Koordinatenebene), eine Strecke (P liegt auf einer Koordinatenachse) oder den Punkt O degenerieren. Die orientierten LÄangen der Kanten des Koordinatenquaders nennen wir Koordinaten xP , yP und zP des Punktes P.
z
Ez P O
Ey
Ex y x
Um die Lage eines Punktes P bzgl. des Koordinatensystems festzulegen, genÄugt es, einen der von O nach P fÄ uhrenden Koordinatenwege zu kennen. Darunter verstehen wir einen aus drei Strecken bestehenden Streckenzug, der von O nach P fÄ uhrt. Die Strecken sind Kanten des zu P gehÄo renden Koordinatenquaders.
Kapitel 2 SchrÄ agrisse
Gegeben sei eine Ebene ¼, genannt Bildebene, ein Gerade s (nicht parallel zu ¼), genannt Sehstrahl. Dadurch ist nun wie folgt eine Parallelprojektion de¯niert: ² Durch jeden Punkt P des Raumes gibt es genau einen zu s parallelen Sehstrahl sP .
² Der Sehstrahl sP schneidet ¼ in einem Punkt P s.
² P s hei¼t Projektion von P auf ¼ oder einfach Bild bzw. Parallelriss von P .
² Ist s ? ¼ : : : Normalprojektion.
² Ist s 6? ¼ : : : schiefe Parallelprojektion.
Ä KAPITEL 2. SCHRAGRISSE
8
R s
P
sP Q Rs
Ps
π
Qs
Einige Eigenschaften von Parallelprojektionen: Abbildung von Punkten: ² Zwei Punkte P und Q besitzen bei einer Parallelprojektion genau dann das selbe Bild P s = Qs, wenn ihre Verbindungsgerade ein Sehstrahl ist. Daraus folgt: Die Raumlage eines Punktes R ist durch sein Bild Rs nicht bestimmt; R kann u Ä berall auf dem durch Rs gehenden Sehstrahl sR liegen. ² Liegt ein Punkt R in der Bildebene ¼, so fÄallt er mit seinem Bild zusammen: R = Rs. s
sR
Qs
R=?
Ps
P s =Qs
Rs
π
Ä KAPITEL 2. SCHRAGRISSE
9
Abbildung von Geraden: ² Ist eine Gerade g ein Sehstrahl, so ist ihr Bild ein Punkt { projizierende Gerade. ² Ist g eine nichtprojizierende Gerade, so erfÄ ullen die Sehstrahlen durch die Punkte von g eine Ebene ¾ (Sehebene), deren Schnittgerade gs mit ¼ das Bild von g bei der Parallelprojektion ist.
s
g
g
σ
gs
π
π
gs
² Parallele Geraden besitzen parallele Bilder.
s
h g
σh
σg hs
gs
π
Anmerkung: Die Umkehrung dieses Sachverhaltes gilt nicht; denn sind die Bilder g s und hs zweier Geraden g und h zueinander parallel, dann folgt fÄ ur die zugehÄorigen Sehebenen ¾g und ¾h nur: ¾g k ¾h. ² Auf einer Geraden g, die mit einer orientierten LÄangenmessung versehen ist, bestimmen ¡! PR: drei Punkte P , Q und R das TeilverhÄaltnis (P; Q; R) := ¡ ! QR
Ä KAPITEL 2. SCHRAGRISSE
10
Aufgrund des Strahlensatzes erhÄa lt eine Parallelproj. das TeilverhÄaltnis dreier Punkte.
g
s
P Q R
π
g
s
P
s
Qs
Rs
Speziell: Bei einer Parallelprojektion geht der Halbierungspunkt einer Strecke in den Halbierungspunkt der Bildstrecke Äuber. ² Liegt eine Gerade parallel zur Bildebene (Hauptlage), so erscheint jede auf g liegende Strecke bei einer Parallelprojektion unverzerrt, d.h. in wahrer LÄange.
Abbildung von Ebenen: ² Liegt eine Ebene " parallel zur Bildebene (Hauptlage), so wird jede in " liegende Figur bei einer Parallelprojektion auf eine dazu kongruente (d.h. deckungsgleiche) Figur abgebildet. ² Eine Ebene parallel zur Sehstrahlrichtung erscheint im Bild als Gerade. Eine solche Ebene hei¼t projizierend bzw. Sehebene.
Wir wollen nun ein Verfahren kennenlernen, schnell Bilder eines Objektes zu erzeugen. Dazu sei ein WÄurfel ABCDEF GH gegeben. Die drei durch die Ecke A gehenden Kanten sollen die Achsen x, y und z eines kartesischen Normalkoordinatensystems bilden. Desweiteren sei eine schiefe Parallelprojektion mit der Sehstrahlrichtung s und der yzEbene als Bildebene gegeben. s ist also weder parallel noch normal zu ¼.
π
z H
E
s F
G
D
y
A C
B x
Ä KAPITEL 2. SCHRAGRISSE
11
Wir suchen nun den Parallelriss des WÄ urfels bei der obigen Parallelprojektion.
π
π
z = zs
zs
H
E F
G
Gs
Gs A= A
s
D
y= y s
As ys
C
B x
Bs
Bs x
π
z =z
s
π
s
zs
H= H s
s
E=E
F
Hs
Es G
Fs
Fs G A = As
Gs
s
D= Ds
y= ys
As
Ds
α C
B Bs
ys
Cs
x
Bs x
s
Cs
Ä KAPITEL 2. SCHRAGRISSE
12
Eine schiefe Parallelprojektion auf eine Koordinatenebene hei¼t gewÄohnlicher SchrÄagriss . ² Wird auf die yz- oder xz-Ebene projiziert : : : Frontalriss ² wird auf die xy-Ebene projiziert : : : Horizontalriss .
FÄ ur den Frontalriss auf die yz-Ebene gilt (analoges gilt fÄ ur den Frontalris auf die xz-Ebene bzw. fÄur den Horizontalriss): ² Bei einem Frontalriss erscheint jede Figur, die in einer Ebene parallel zur yz-Ebene liegt, in wahrer GrÄo¼e. ² Strecken, die parallel zur x-Achse liegen, werden mit einem gewissen festen Faktor vx , dem Verzerrungsfaktor, verzerrt. ² Ein Frontalriss ist bestimmt, d.h. kann gezeichnet werden, wenn man den Verzerrungsfaktor vx und den Winkel ® = 6 xs ys kennt. Da man die Orientierung der Sehstrahlen auf zwei Arten wÄahlen kann, gibt es fÄur die Entscheidung der Sichtbarkeit zwei verschiedene LÄosungen:
Man unterscheidet zwischen Obersicht (Bild links) und Untersicht (Bild rechts), je nachdem, ob beim Bild des EinheitswÄ urfels die Deck°Äa che oder die Grund°Äache sichtbar ist.
Kapitel 3 Zugeordnete Normalrisse
3.1
Hauptrisse
Sehr hÄau¯g, z.B. beim Planen und Entwerfen eines neuen Maschinenteils, arbeitet man nicht mit dem Objekt selbst, sondern nur mit Bildern des selben. Dazu werden zumeist Grund-, Aufund Kreuzriss, kurz die Hauptrisse eines Objektes verwendet.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
14
Wie sind die Hauptrisse nun de¯niert? Wir gehen von einem kartesischen Normalkoordinatensystem aus. Seine Koordinatenebenen bezeichnen wir im folgenden als Grundrissebene (1: Bildebene) ¼1 : : : xy ¡ Ebene Aufrissebene (2: Bildebene) ¼2 : : : yz ¡ Ebene Kreuzrissebene (3: Bildebene) ¼3 : : : xz ¡ Ebene
z
π2 π3 O y x
π1
3.2
Grundriss eines Punktes
Um nun von einem Punkt P des Raumes Grund-, Auf- und Kreuzriss zu erhalten, geht man wie folgt vor:
z
Grundriss von P : ² Man legt durch P eine Parallele zur z-Achse. Sie hei¼t erster Sehstrahl s1 von P .
s1
π3
² Man schneidet diese Gerade mit der Grundrissebene.
P
O
² Dies liefert den Grundriss P 0 von P . Der Grundriss ist also ein Normalriss des Punktes P auf die Bildebene ¼1 .
π2
y x
P'
π1
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
15
Fragen: 1. Gibt es verschiedene Punkte, die denselben Grundriss besitzen? 2. Wenn P die Koordinaten (xP ; yP ; zP ) besitzt, was sind dann die Koordinaten von P 0 ? 3. Unter welchen Bedingungen stimmt ein Punkt P mit seinem Grundriss u Ä berein, d.h. wann genau gilt P = P 0 ?
Antworten: 1. Punkte, die auf demselben ersten Sehstrahl liegen, besitzen denselben Grundriss. 2. Der Grundriss P 0 besitzt die Koordinaten (xP ; yP ; 0). 3. Genau dann, wenn der Punkt P in der Grundrissebene liegt (d.h. seine z-Koordinate ist 0), stimmt er mit seinem Grundriss Äuberein.
z
C
π3
π2
B
s1
B' =C ' A =A '
x
π1
y
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.3
16
Aufriss eines Punktes
Frage: Wie erhÄalt man den Aufriss des Punktes P ?
Antwort: ² Man legt durch P eine Parallele zur x-Achse. Sie hei¼t zweiter Sehstrahl s2 von P . ² Man schneidet diese Gerade mit der Aufrissebene. ² Dies liefert den Aufriss P 00 von P . Der Aufriss ist also ein Normalriss des Punktes P auf die Bildebene ¼2 .
z
P''
π3
π2
P
O s2
y x
π1
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
17
Fragen: 1. Gibt es verschiedene Punkte, die denselben Aufriss besitzen? 2. Wenn P die Koordinaten (xP ; yP ; zP ) besitzt, was sind dann die Koordinaten von P 00 ? 3. Unter welchen Bedingungen stimmt ein Punkt P mit seinem Aufriss Äuberein, d.h. wann genau gilt P = P 00 ?
Antworten: 1. Punkte, die auf demselben zweiten Sehstrahl liegen, besitzen denselben Aufriss. 2. Der Aufriss P 00 besitzt die Koordinaten (0; yP ; zP ). 3. Genau dann, wenn der Punkt P in der Aufrissebene liegt (d.h. seine x-Koordinate ist 0), stimmt er mit seinem Aufriss u Ä berein.
z
π2 B' =C '
π3 B
A =A '
C s2
y
x
π1
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.4
18
Kreuzriss eines Punktes
Frage: Wie erhÄalt man den Kreuzriss des Punktes P ?
Antwort: ² Man legt durch P eine Parallele zur y-Achse. Sie hei¼t dritter Sehstrahl s3 von P . ² Dies liefert den Aufriss P 000 von P . ² Man schneidet diese Gerade mit der Kreuzrissebene. Der Kreuzriss ist also ein Normalriss des Punktes P auf die Bildebene ¼3 .
z
P
π2
'''
π3
P s3
O
y x
π1
FÄ ur den Kreuzriss wird die Orientierung des Sehstrahls bisweilen auch umgedreht, d.h. man blickt in Richtung der positiv orientierten y-Achse. Man spricht dann von einer Ansicht von links, wÄahrend im obigen Bild eine Ansicht von rechts dargestellt ist. Der Kreuzriss P 000 des Punktes P ist natÄurlich in beiden Ansichten derselbe.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
19
Fragen: 1. Gibt es verschiedene Punkte, die den selben Kreuzriss besitzen? 2. Wenn P die Koordinaten (xP ; yP ; zP ) besitzt, was sind dann die Koordinaten von P 000 ? 3. Unter welchen Bedingungen stimmt ein Punkt P mit seinem Kreuzriss Äuberein, d.h. wann genau gilt P = P 000 ?
Antworten: 1. Punkte, die auf dem selben dritten Sehstrahl liegen, besitzen den selben Kreuzriss. 2. Der Kreuzriss P 000 besitzt die Koordinaten (xP ; 0; zP ). 3. Genau dann, wenn der Punkt P in der Kreuzrissebene liegt (d.h. seine y-Koordinate ist 0), stimmt er mit seinem Kreuzriss u Ä berein.
z
π2
B' =C ' B
π3
A =A
C
s3
'
y
x
π1
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.5
20
Beispiel I
x
z
y
Von dem unten gegebenen Objekt sollen Grund-, Auf- und Kreuzriss ermittelt werden.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.6
21
Zugeordnete Normalrisse
Was machen wir nun mit den drei Bildern des Objektes, die ja im Moment noch in drei verschiedenen Ebenen liegen? Da wir i.a. auf nur einem Zeichenblatt arbeiten, wird man die drei Bilder in dieses Zeichenblatt legen. Frage: Welche Anordnungen der drei Bilder auf dem Zeichenblatt kÄonnen sie sich vorstellen?
Antwort: Prinzipiell ist natÄ urlich jede Anordnung mÄoglich.
z '''
y'
x '''
x'
''
z
''
y
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
22
Bei genauerem Hinsehen fÄallt aber auf, dass je zwei Risse immer eine Achse gemeinsam haben: Grund- und Aufriss haben die y-Achse, Auf- und Kreuzriss haben die z-Achse und Grund- und Kreuzriss haben die x-Achse gemeinsam. Es ist daher mÄoglich, die Bilder so in das Zeichenblatt zu legen, dass gemeinsame Achsen zur Deckung kommen. Dies wird als geordnete Lage bezeichnet. In der Praxis haben sich die folgenden Anordnungen durchgesetzt, wobei gemeinsame Achsen Ä aus GrÄ unden der Ubersichtlichkeit oft nicht zur Deckung gebracht, sondern nur parallel zueinander ausgerichtet werden.
z '''
z ''
z '''
y ''
x '''
x '''
y'
x' Diese Anordnung hei¼t EuropÄaische Anordnung. Zumeist wird nur einer der beiden Kreuzrisse { entweder die Ansicht von links oder die Ansicht von rechts { dargestellt. Der Kreuzriss kÄo nnte auch dem Grundriss zugeordnet werden, was in der Praxis aber nicht Äublich ist und uns daher hier nicht weiter interessiert. Bei der Amerikanischen Anordnung wird der Grundriss (Top View) u Ä ber den Aufriss (Front View) gestellt und der Kreuzriss entweder als (Rightside View) oder als (Leftside View) dem Aufriss zugeordnet. In der Praxis werden die Bilder der Achsen sehr oft weggelassen. Wir werden das im folgenden zumeist ebenfalls tun.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.7
23
Ordnerbedingungen
Betrachten wir nun z.B. Grund- und Aufrisse mehrerer Punkte A, B, C und D des Objektes.
z ''
z '''
s '''2
D''' A '''
D
s ''3
''
A ''
B'''
x '''
s ''1
B'' '' C'' y
C''' z D
D
C' y '
'
B' A
B
x
C y
A' x'
s '2
Frage: Was bemerkt man?
Antwort: Die Verbindungen der beiden Risse der Punkte, d.h. die Geraden A0 A00 , B 0 B00 , usf. sind zueinander parallel bzw. stehen normal zur gemeinsamen Koordinatenachse der beiden Risse, d.h. zur y-Achse. Sie hei¼en die (12)-Ordner. Diese Bedingung hei¼t Ordnerbedingung fÄur Grund- und Aufriss in geordneter Lage.
Frage: Wie lautet die Ordnerbedingung fÄur Auf- und Kreuzriss in geordneter Lage?
Antwort: Die Verbindungen der beiden Risse der Punkte, d.h. die Geraden A00 A000 , B 00 B 000, usf. sind zueinander parallel bzw. stehen normal zur gemeinsamen Koordinatenachse der beiden Risse, d.h. zur z-Achse. Sie hei¼en die (23)-Ordner.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.8
24
Beispiele II
1. Gegeben sei der Grundriss P 0 des Punktes P . Was lÄasst sich u Ä ber die Lage seines Aufrisses sagen? Desweiteren seien Q und R Punkte, deren Aufrisse auf dem selben Ordner liegen. Was gilt fÄ ur ihre Grundrisse? KÄonnen diese zusammenfallen? s''1
R ''
Q ''
P'
s'2
2. Von einem Punktes P seien sein Grundriss P 0 und sein Kreuzriss P 000 gegeben. Wo liegt sein Aufriss?. s'''2
s''3
s''1
P'''
P'
s'2
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
25
3. Von den unten dargestellten WÄ urfelobjekten sollen Grund-, Auf- und Kreuzriss ermittelt werden. s''1
s''3
s'''2
s'2
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
26
4. Stellen Sie das Parallelogramm ABCD in Grund-, Auf- und Kreuzriss dar und geben Sie die Koordinaten von D an. A : : : (3j1j4); B : : : (6j4j1); C : : : (4:5j8:5j6)
5. Stellen Sie das Dreieck ABC in Grund-, Auf- und Kreuzriss dar und geben Sie die Koordinaten des Schwerpunktes S an. A : : : (1j0j2); B : : : (7j9j0); C : : : (3j6j6)
6. P Q, P R und P S sind die von der Ecke P ausgehenden Kanten eines Parallelepipeds. Stellen Sie den KÄorper in Grund-, Auf- und Kreuzriss dar. P : : : (2j ¡ 1j1); Q : : : (0j ¡ 6j2); R : : : (7j0j4); S : : : (4j ¡ 3j6). 7. Stellen Sie die in den Aufgaben 4., 5. und 6. gesuchten Objekte direkt im unten angegebenen SchrÄa griss dar.
z
y
x
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.9
27
Rekonstruktion
Es stellt sich nun die Frage, warum man sich nicht mit einem Riss, etwa dem Grundriss, des Objektes begnÄ ugt, sondern drei verschiedene verwendet. Betrachten wir dazu einen WÄ urfel, von dem zwei Seiten°Äa chen zur Grundrissebene parallel sein sollen. Der Grundriss dieses WÄ urfels ist dann ein Quadrat.
z
O y x
π1
Frage: Gibt es neben diesem WÄurfel noch andere Objekte, die den selben Grundriss wie der WÄurfel besitzen?
Antwort: Es gibt unendlich viele Objekte, die den selben Grundriss wie der WÄ urfel besitzen. ² Man kann z.B. den WÄurfel in Richtung der ersten Sehstrahlen beliebig parallel verschieben und erhÄa lt immer den selben Grundriss. Dabei bleibt allerdings das Objekt gleich, nur seine Lage im Raum Äandert sich. ² Ein vom WÄ urfel verschiedenes Objekt mit dem selben Grundriss wÄare z.B. ein gerades quadratisches Prisma, das eine WÄurfelseiten°Äache als Basis°Äa che besitzt (siehe nÄachste Seite).
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
z
28
z
O y x
π1
x
y
π1
Wir lernen also: Durch einen Riss alleine ist das Objekt im Raum nicht eindeutig bestimmt.
Dieses Ergebnis ist deshalb von gro¼er Bedeutung, da man ausgehend vom Entwurf des Objektes, der ja zunÄachst nur auf dem Zeichenblatt vorgenommen wird, irgendwann in eineindeutiger Weise das Objekt selbst (im Raum) herstellen kÄonnen muss.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
29
Mit einem Riss ist die Rekonstruktion im Raum, wie soeben gezeigt wurde, nicht mÄo glich. Es stellt sich nun die Frage, ob zwei Bilder, z.B. Grund- und Aufriss, ausreichen?
Frage: Im folgenden sind Grund- und Aufriss eines Objektes gegeben. Ist dadurch das Objekt (im Raum) eindeutig bestimmt? s''1
s'2
Antwort: Nein; z.B. haben die folgenden Objekte alle den selben Grund- und Aufriss.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
30
Wir lernen also: Durch zwei zugeordnete Normalrisse ist das Objekt im Raum i.a. nicht eindeutig bestimmt.
Die Situation Äandert sich bei eben°Äachig begrenzten Objekten durch Beschriften der Ecken des Objektes. Im folgenden ist dies fÄ ur die beiden LÄo sungen von oben durchgefÄ uhrt. E''
F'' I '' =K ''
G ''
s''1
E''
F''
J '' =L''
K ''
L''
H ''
G '' =I ''
H '' =J ''
A ' =C '
B' =D '
A' =C'
B' = D '
C ' =E'
D ' =F'
C' = E'
D ' =F'
K'
G ' =I ' A'
L'
I ' = K'
H ' =J '
G' B'
s'2
A'
J ' = L'
H' B'
Keine Verbesserung bietet das Beschriften der Ecken allerdings bei krumm°Äa chigen Objekten. Hier kann man nur durch Verwenden aller drei Hauptrisse Abhilfe scha®en.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.10
31
Beispiele III
1. Gegeben seien Grund- und Aufriss eines quaderfÄormigen, nur durch Ebenen begrenzten Objektes. Suchen sie mÄogliche Kreuzrisse s''1
s ''3
s '''2
s'2
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
32
2. Gegeben seien Grund-, Auf- und Kreuzriss eines Objektes. Zeichnen sie einen SchrÄagriss des Objektes. s''1
s''3
s'''2
s'2
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.11
Abbildung von Geraden
3.11.1
Spezielle Lagen
33
Betrachten wir nun die Kanten des in Grund-, Auf- und Kreuzriss gegebenen Objektes ein wenig nÄaher. z '''
z
G '''
z '' H ''
H '''
G ''
H
F '' E x '''
G F
'''
F'''
E
A ''' =B''' C'''=D '''
''
A '' =D''
D' =H '
E
B '' =C ''
y ''
C ' =F'
y'
D x
C
y
A ' =E'
A B
B ' =G '
x'
Frage: Erkennen sie hinsichtlich der Kanten irgendwelche Besonderheiten?
MÄ ogliche Antworten: ² Die Kante BG steht zur Grundrissebene normal, sie ist also Teil eines ersten Sehstrahls. Daher besitzen die im Raum verschiedenen Punkte B und G den selben Grundriss, d.h. B0 = G0 . Der Grundriss der Kante BG ist daher keine Strecke, sondern ein Punkt. Eine Kante, die zur Grundrissebene normal steht, nennen wir erstprojizierend. Ihr Grundriss ist ein Punkt. ² Eine Kante, die zur Aufrisseben normal steht, wird zweitprojizierend genannt (z.B. die Kante BC). Ihr Aufriss ist ein Punkt. ² Eine Kante, die zur Kreuzrissebene normal steht, wird drittprojizierend genannt (z.B. die Kante AB). Ihr Kreuzriss ist ein Punkt.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
34
² Die Kante GH ist zur Grundrissebene parallel (die Punkte G und H besitzen die selbe z-Koordinate). Der Aufriss der Kante GH ist normal zu den (12)-Ordnern. Der Kreuzriss der Kante GH fÄa llt mit den (23)-Ordnern zusammen. Eine Kante, die parallel zur Grundrissebene ist, besitzt 1. Hauptlage. Sie erscheint im Grundriss in wahrer GrÄo ¼e. ² Eine Kante, die parallel zur Aufrissebene ist, besitzt zweite Hauptlage (z.B. die Kante EG). Sie erscheint im Aufriss in wahrer GrÄo¼e. Der Grundriss der Kante EG ist normal zu den (12)-Ordnern. Der Kreuzriss der Kante EG ist normal zu den (23)-Ordnern. ² Eine Kante, die parallel zur Kreuzrissebene ist, besitzt dritte Hauptlage (z.B. die Kante F G). Sie erscheint im Kreuzriss in wahrer GrÄo¼e. Der Grundriss der Kante F G fÄallt mit den (12)-Ordnern zusammen. Der Aufriss der Kante F G ist normal zu den (23)-Ordnern.
Frage: Betrachten wir nochmals die Kante BG. Was lÄasst sich alles u Ä ber sie sagen?
Antwort: Die Kante BG ist nicht nur erstprojizierend, sondern besitzt gleichzeitig auch 2. und 3. Hauptlage. Wir lernen: Eine Kante, die bezÄ uglich einer der drei Hauptrissebenen projizierend ist, besitzt bezÄ uglich der beiden anderen Hauptrissebenen Hauptlage.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.11.2
35
1. Hauptgeraden
Betrachten wir alle Geraden durch einen Punkt P , die 1. Hauptlage besitzen. Wir nennen sie 1. Hauptgeraden. Sie bilden ein StrahlbÄuschel in der zu Grundrissebene ¼1 parallelen Ebene durch P . Die Aufrisse der 1. Hauptgeraden sind i. a. normal zu den (12)-Ordnern, die Kreuzrisse fallen i. a mit den (23)-Ordnern zusammen.
s ''3
s '''2
s ''1
π2 P '' =p ''2
π3
P
'''
h ''1
=p'''3 p2 P
h1
p3
P ''' =p'''3
P '' = p ''2 h '''1
h ''1
h '1
h '''1 P'
P'
h '1
π1
s '2
Unter den 1. Hauptgeraden durch P gibt es zwei spezielle 1. Hauptgeraden: ² Die zweitprojizierende Gerade p2 . Ihr Aufriss ist ein Punkt und sie besitzt gleichzeitig auch 3. Hauptlage. ² Die drittprojizierende Gerade p3 . Ihr Kreuzriss ist ein Punkt und sie besitzt gleichzeitig auch 2. Hauptlage.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.11.3
36
2. Hauptgeraden
Betrachten wir alle Geraden durch einen Punkt P , die 2. Hauptlage besitzen. Wir nennen sie 2. Hauptgeraden. Sie bilden ein StrahlbÄuschel in der zu Aufrissebene ¼2 parallelen Ebene durch P. Die Grundrisse der 2. Hauptgeraden sind i. a. normal zu den (12)-Ordnern, die Kreuzrisse i.a. normal zu den (23)-Ordnern.
s ''3
s '''2
π2
π3
P ''
h '''2
h '2
P ' = p '1
h ''2 h2
P ''' =p'''3
P ''
p3
P
P ''' =p '''3
h '''2
h ''2
p1
s''1
π1
P' =p '1 h '2 s '2
Unter den 2. Hauptgeraden durch P gibt es zwei spezielle 2. Hauptgeraden: ² Die erstprojizierende Gerade p1 . Ihr Grundriss ist ein Punkt und sie besitzt gleichzeitig auch 3. Hauptlage. ² Die drittprojizierende Gerade p3 . Ihr Kreuzriss ist ein Punkt und sie besitzt gleichzeitig auch 1. Hauptlage.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.11.4
37
3. Hauptgeraden
Betrachten wir alle Geraden durch einen Punkt P , die 3. Hauptlage besitzen. Wir nennen sie 3. Hauptgeraden. Sie bilden ein StrahlbÄ uschel in der zu Kreuzrissebene ¼3 parallelen Ebene durch P . Die Grundrisse der 3. Hauptgeraden fallen i.a. mit den (12)-Ordnern zusammen, die Aufrisse sind i.a. zu den (23)-Ordnern normal (und fallen damit ebenfalls mit den (12)-Ordnern zusammen. 3. Hauptgeraden werden auch (Pro¯lgeraden) genannt.
s ''3
s '''2
h ''3
p1
π3
h ''3
π2 P '''
P'' =p''2 P '''
s''1
P '' = p ''2 h '''3
P p2
h '''3
h '3 h3
P ' = p'1
π1
h '3 P ' =p'1 s'2
Unter den 3. Hauptgeraden durch P gibt es zwei spezielle 3. Hauptgeraden: ² Die erstprojizierende Gerade p1 . Ihr Grundriss ist ein Punkt und sie besitzt gleichzeitig auch 2. Hauptlage. ² Die zweitprojizierende Gerade p2 . Ihr Aufriss ist ein Punkt und sie besitzt gleichzeitig auch 1. Hauptlage.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.11.5
38
Geraden allgemeiner Lage
Ist eine Gerade { hier die TrÄagergerade der Kante BE { weder bezÄ uglich einer Bildebene projizierend, noch besitzt sie bezÄ uglich einer der drei Bildebenen Hauptlage, so sagen wir, sie hat bezÄ uglich Grund-, Auf- und Kreuzriss allgemeine Lage. Alle drei Risse sind Geraden.
z
E '''
s '''2
E''
s''3
s''1
E
C''' = D'''
A ''' = B'''
D C x
B '' =C''
A '' =D''
D' = E'
C'
A'
B'
y
A B
s'2
Frage: Ist P ein Punkt der Geraden g, was lÄasst sich dann Äuber die Risse von P und g sagen?
Antwort: Der Grundriss P 0 von P muss auf dem Grundriss g 0 von g liegen. Entsprechendes gilt fÄ ur die beiden anderen Risse. Au¼erdem mÄ ussen fÄur die Risse des Punktes P die entsprechenden Ordnerbedingungen gelten. z
E'''
s '''2
P
E=E '' =E '''
P
P ''
'''
E ''
'''
P
''
s ''3
s''1
B ''
B '''
P E'
E' B
B x
'''
''
y
P'
P' B=B'
B'
s'2
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.11.6
39
Angittern auf einer Geraden
Damit lÄost man nun die folgende Aufgabe: Gegeben seien Grund- und Aufriss der Gerade g und der Grundriss bzw. Aufriss eines auf ihr liegenden Punktes P bzw. Q. Gesucht ist der Aufriss P 00 von P bzw. der Grundriss Q0 von Q? s ''1
Q '' g ''
g'
P' s '2
LÄ osung: Der Aufriss P 00 von P muss auf dem Aufriss g00 von g liegen und auf dem (12)-Ordner durch P 0 . Damit erhÄalt man P 00 als Schnittpunkt von g 00 mit dem (12)-Ordner durch P 0 . Analoges gilt fÄ ur den Grundriss Q0 von Q. Das hier verwendete Prinzip hei¼t Angittern auf einer Geraden. Es gilt entsprechend auch fÄ ur Auf- und Kreuzriss.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.11.7
40
Beispiele IV
1. Die Bilder der Sehstrahlen Wir betrachten einen 1. Sehstrahl s1 . Frage: Was lÄasst sich u Ä ber seinen Grund- und seinen Aufriss sagen?
Antwort: Jeder erste Sehstrahl ist nach De¯nition eine erstprojizierende Gerade, d.h. s01 ist ein Punkt, s001 eine Gerade in (12)-Ordnerrichtung (Bild links).
Wir betrachten einen 2. Sehstrahl s2 . Frage: Was lÄasst sich u Ä ber seinen Grund- und seinen Aufriss sagen?
Antwort: Jeder zweite Sehstrahl ist nach De¯nition eine zweitprojizierende Gerade, d.h. s002 ist ein Punkt, s02 eine Gerade in (12)-Ordnerrichtung (Bild links). s''1
s ''1 s ''2
s '1
s '2
s'2
Da 1. und 2. Sehstrahlen bei Sichtbarkeitsbestimmungen hilfreich sind (siehe nÄachstes Beispiel), werden wir je einen Vertreter, d.h. seinen Aufriss s001 bzw. seinen Grundriss s02 , stets einzeichnen (Bild rechts).
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
41
2. Gegenseitige Lage zweier Geraden Gegeben seien zwei Geraden g1 und g2 . Wie kÄonnen sie zueinander liegen und was bedeutet das fÄur Grund- und Aufriss der beiden Geraden? Fall A: g1 und g2 sind zueinander parallel, dann gilt dies auch fÄ ur Grund- und Aufrisse der beiden Geraden (Bild links), d.h.: g1 k g2 ) g10 k g02; g100 k g200 Achtung: Die Umkehrung gilt nicht immer! Sind nÄa mlich g1 und g2 3. Hauptgeraden, so liegen ihre Grund- und Aufrisse auf (12)-Ordnern, die Geraden selbst mÄ ussen aber nicht zueinander parallel sein. Dies zeigt sich sofort, wenn man den Kreuzriss miteinbezieht (Bild rechts).
s''1
g ''1
s''3
g '''2
g ''1
g ''2
g '1
g '2
s'''2
g '''1
g ''2
g '2 g '1
s'2
Fall B: g1 und g2 schneiden einander in einem Punkt S. Der Grundriss S 0 von S liegt dann auf g01 und g20 , der Aufriss S 00 auf g100 und g200 und S 0 und S 00 genÄ ugen der Ordnerbedingung. s''1
g ''1 S'' g ''2
g '2
g '1 s'2
S'
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
42
Fall C: g1 und g2 sind windschief oder kreuzend, d.h. sie haben keinen Punkt gemeinsam und liegen nicht in einer Ebene. Abgesehen vom Fall, dass es sich bei g1 und g2 um 3. Hauptgeraden handelt (ihn haben wir bereits oben behandelt), schneiden sich die Bilder zumindest in Grund- oder Aufriss. Und tun sie das in beiden Rissen, so dÄ urfen die Schnittpunkte nicht der Ordnerbedingung genÄ ugen.
g ''2
2
s ''1
''
g ''1
g ''2
3 '' =4''
1''
g ''1 g '2 4'
g '2 1' =2'
3'
g '1
g '1
s '2
Ä Der Schnittpunkt der Grundrisse der beiden windschiefen Geraden { er hei¼t 1. Uberdeckungspunkt { ist Grundriss eines Punktes 1 von g1 und eines Punktes 2 von g2. Es sind dies die Schnittpunkte jenes 1. Sehstrahles s1 , der g1 und g2 schneidet. Ä Der 1. Uberdeckungspunkt von g1 und g2 erlaubt es, die SichtbarkeitsverhÄa ltnisse im Grundriss zu klÄaren. Dazu prÄ uft man im Aufriss, welcher der beiden Punkte bzgl. ¼1 hÄoher liegt (im Beispiel links der Punkt 2). Seine TrÄagergerade u Ä berdeckt dann dort die andere Gerade.
g ''2
'' g1
s1 g2
g1 s2 g '2 g '1
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
43
Ä Der Schnittpunkt der Aufrisse der beiden windschiefen Geraden { er hei¼t 2. Uberdeckungspunkt { ist Aufriss eines Punktes 3 von g1 und eines Punktes 4 von g2 . Es sind dies die Schnittpunkte jenes 2. Sehstrahles s2 , der g1 und g2 schneidet. Ä Der 2. Uberdeckungspunkt von g1 und g2 erlaubt es, die SichtbarkeitsverhÄaltnisse im Aufriss zu klÄaren. Dazu prÄ uft man im Grundriss, welcher der beiden Punkte bzgl. ¼2 weiter vorne liegt (im Beispiel links der Punkt 3). Seine TrÄagergerade Äuberdeckt dann dort die andere Gerade.
3. Eine regelmÄa¼ige 6-seitige Pyramide wird in der HÄohe h = 3cm parallel zur Grundrissebene abgeschnitten. Stellen Sie den Pyramidenstumpf in Grund- und Aufriss dar und konstruieren Sie die Verebnung des Objektes. Pyramide: Basissechseck ABCDEF mit Mitte M und Spitze S: A : : : (5j5j0); M : : : (5j0j0); S : : : (5j0j11).
4. Die Hauptgeraden h1 und h2 sind die TrÄagergeraden der 8cm langen Diagonalen eines Rechtecks. Zeichnen Sie Grund- und Aufriss des Rechteckes. h1 : : : M (5j0j5); P (9j4j5) h2 : : : M; Q(5j ¡ 3j1). ¹ = 7cm und AD ¹ = 5cm besitzt die Seite AB erste, 5. Von dem Parallelogramm ABCD mit AB die Seite AD dritte Hauptlage. Zeichnen Sie Grund- und Aufriss des Parallelogramms. A(5j1j1); P (2:5j5j1); Q(7j1j4) mit P 2 AB und Q 2 AD. 6. Stellen Sie die Pro¯lgeraden p und q in Grund- und Aufriss dar und konstruieren Sie von den auf p liegenden Punkten R und S den jeweils fehlenden Riss! Sind p und q parallel? p : : : A(0j4j1); B(4j4j4) q : : : C(6j2j4); D(3j2j1) R : : : (xj4j6); S : : : (2:5j4jz)
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.12
Abbildung von Ebenen
3.12.1
Ebenen spezieller Lage
44
Wir wollen uns nun den Seiten°Äachen (d.h. den TrÄagerebenen der Seiten°Äachen) eines Objektes zuwenden. s '''2
D
s ''3
''
'''
D
A '''
A ''
z
C'''
B'''
s ''1
C ''
B''
D
A C B
y
D'
C' A'
x
B'
s '2
Frage: Erkennen sie hinsichtlich der Seiten°Äachen irgendwelche Besonderheiten?
MÄ ogliche Antworten: ² Die von den Punkten ABC aufgespannte Ebene " steht zur Grundrissebene ¼1 normal, d.h. ihr Grundriss "0 ist eine Gerade. Wir nennen eine solche Ebene erstprojizierend. " enthÄalt erste Sehstrahlen und da umgekehrt jede Ebene, die erste Sehstrahlen enthÄalt, normal zu ¼1 steht, gilt: Eine Ebene ist genau dann erstprojizierend, wenn sie erste Sehstrahlen enthÄalt. ² Eine Ebene, die zur Aufrissebene normal steht (z.B. die von den Punkten AC D aufgespannte Ebene), hei¼t zweitprojizierend. Ihr Aufriss ist eine Gerade. Sie enthÄalt zweite Sehstrahlen. ² Eine Ebene, die zur Kreuzrissebene normal steht (z.B. die von den Punkten ABD aufgespannte Ebene), hei¼t drittprojizierend. Ihr Kreuzriss ist eine Gerade. Sie enthÄalt dritte Sehstrahlen.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.12.2
45
Erstprojizierende Ebenen
Betrachten wir die erstprojizierenden Ebenen durch einen ersten Sehstrahl s1 , so erkennen wir zwei Besonderheiten. s ''3
s'''2
π2
s1 η '' 3 ''' π3 η 2
ε
η3
s'1
s ''1
ε
'
η2
s'''1 = η '''2
s''1 = η ''3
ε'
s'1
η' 2
π1 η '3
s 2'
² Es gibt durch s1 eine zur Aufrissebene ¼2 parallele Ebene ´2 . Sie besitzt 2. Hauptlage. Figuren in ´2 werden im Aufriss unverzerrt abgebildet, d.h. alle LÄangen und Winkel erscheinen im Aufriss in wahrer GrÄo¼e. Eine 2. Hauptebene ist nicht nur erst-, sondern auch drittprojizierend. ² Es gibt durch s1 eine zur Kreuzrissebene ¼3 parallele Ebene ´3 . Sie besitzt 3. Hauptlage. Figuren in ´3 werden im Kreuzriss unverzerrt abgebildet, d.h. alle LÄangen und Winkel erscheinen im Kreuzriss in wahrer GrÄo¼e. Eine 3. Hauptebene ist nicht nur erst-, sondern auch zweitprojizierend.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.12.3
46
Zweitprojizierende Ebenen
Betrachten wir die zweitprojizierenden Ebenen durch einen zweiten Sehstrahl s2 , so erkennen wir zwei Besonderheiten. s '''2
π2
ε ''
s''3
ε '' s''2
s'''2 = η '''1
π3
η3
ε
η'''1
s ''1
η''1
η ''3
s''2
η1 s2
η '3
π1
s'2 = η '3 s '2
² Es gibt durch s2 eine zur Grundrissebene ¼1 parallele Ebene ´1 . Sie besitzt 1. Hauptlage. Figuren in ´1 werden im Grundriss unverzerrt abgebildet, d.h. alle LÄangen und Winkel erscheinen im Grundriss in wahrer GrÄo¼e. Eine 1. Hauptebene ist nicht nur zweit-, sondern auch drittprojizierend. ² Es gibt durch s2 eine zur Kreuzrissebene ¼3 parallele Ebene ´3 . Sie besitzt 3. Hauptlage. Figuren in ´3 werden im Kreuzriss unverzerrt abgebildet, d.h. alle LÄangen und Winkel erscheinen im Kreuzriss in wahrer GrÄo¼e. Eine 3. Hauptebene ist nicht nur erst-, sondern auch zweitprojizierend.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.12.4
47
Drittprojizierende Ebenen
Betrachten wir die drittprojizierenden Ebenen durch einen dritten Sehstrahl s3 , so erkennen wir zwei Besonderheiten. s''3
s'''2
s ''1
π2 η2 π3
η''1 s3
s '''3
ε'''
η1 ε
s '''3
η '''1 ε'''
s ''3 = η ''1
η'''2
η '2
s '3 = η '2
π1
s '2
² Es gibt durch s3 eine zur Grundrissebene ¼1 parallele Ebene ´1 . Sie besitzt 1. Hauptlage. Figuren in ´1 werden im Aufriss unverzerrt abgebildet, d.h. alle LÄangen und Winkel erscheinen im Grundriss in wahrer GrÄo¼e. Eine 1. Hauptebene ist nicht nur zweit-, sondern auch drittprojizierend. ² Es gibt durch s3 eine zur Aufrissebene ¼2 parallele Ebene ´2 . Sie besitzt 2. Hauptlage. Figuren in ´2 werden im Grundriss unverzerrt abgebildet, d.h. alle LÄangen und Winkel erscheinen im Aufriss in wahrer GrÄo¼e. Eine 2. Hauptebene ist nicht nur erst-, sondern auch drittprojizierend.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.12.5
48
Angittern in einer Ebene
A) Angittern einer Gerade von ": Betrachten wir ein Dreieck ABC, das in keiner erst- oder zweitprojizierenden Ebene liegt, d.h. Grund- und Aufriss von ABC sind wieder Dreiecke. Wir sagen, die TrÄagerebene " des Dreiecks besitzt bezÄ uglich Grund- und Aufriss allgemeine Lage. Desweiteren sei g eine Gerade in ", von der ein Riss, etwa der Grundriss, bekannt ist. Wie ¯ndet man nun den Aufriss? B''
B''
''
s1
C ''
C ''
A
''
B'
g ''
A '' B'
g'
A'
C'
A'
C' s '2
² EnthÄalt g einen Eckpunkt des Dreiecks, etwa den Eckpunkt A, dann schneidet g die Seite BC in einem von B und C verschiedenen Punkt 1. Sein Grundriss kann als Schnittpunkt von g0 mit B 0C 0 leicht gefunden werden. Der Aufriss 100 von 1 muss dann auf einem (12)-Ordner und auf B 00 C 00 liegen. Die Verbindung von A00 mit 100 ist dann der Aufriss g00 der Geraden g. ² EnthÄalt g keine Ecke des Dreiecks, so schneidet g jede der drei Seiten des Dreiecks in einem von den Ecken verschiedenen Punkt (nicht immer liegen alle Schnittpunkte am Zeichenblatt). Zwei dieser Punkte kann man wie vorhin den Punkt 1 als Punkte der Dreiecksseiten in den Aufriss angittern. Ihre Verbindung liefert dann den Aufriss von g.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
49
B) Angittern eines Punktes von ": Betrachten wir ein Dreieck ABC, das in keiner erst- oder zweitprojizierenden Ebene liegt, d.h. Grund- und Aufriss von ABC sind wieder ein Dreieck. Desweiteren sei P ein Punkt in der TrÄagerebene " des Dreiecks, von dem ein Riss, etwa der Aufriss, bekannt ist. Wie ¯ndet man nun den Grundriss?
B''
C
B''
s ''1
''
C
''
P ''
A ''
A ''
B'
B'
P' A'
C'
A'
s '2
C'
² Liegt P auf einer Seite des Dreiecks, etwa der Seite AB, dann gittern wir P als Punkt dieser Geraden mit Hilfe eines (12)-Ordners an. ² Liegt P auf keiner Seite des Dreiecks, dann legen wir durch P eine (beliebige) Gerade g, von der wir nur verlangen wollen, dass sie in der TrÄa gerebene " des Dreiecks ABC liegt. Sie schneidet die Dreiecksseiten nach je einem Punkt, wobei zwei der Punkte zusammenfallen kÄonnen, wenn g durch eine Ecke des Dreiecks gewÄahlt wird. { Nun gittern wir zunÄachst die Gerade g mit Hilfe der Schnittpunkte mit den Dreiecksseiten an (siehe oben) { und dann den Punkt P als Punkt der Geraden g. Dieses Verfahren wird Angittern eines Punktes in einer Ebene genannt.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.12.6
50
Hauptgeraden einer Ebene
Wir haben bereits oben von Hauptgeraden gehÄo rt, also von Geraden, die parallel zu einer Bildebene liegen. Wir wollen nun untersuchen, ob es in einer Ebene auch Hauptgeraden gibt. Fall 1: Ebene allgemeiner Lage Sei " eine Ebene allgemeiner Lage bezÄ uglich ¼1 und ¼2 (gegeben durch ein Dreieck ABC) und P ein Punkt in ". Wir wollen nun die 1. Hauptgerade h1 und die 2. Hauptgerade h2 von " durch P konstruieren.
B''
π2
B
P '' C
''
h ''1
h ''2
P h1
h2
C B'
A h '1 P C'
'
h '2 A'
π1
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
51
² 1. Hauptgerade von " durch P : Ihr Aufriss steht normal zu den (12)-Ordnern und kann damit gezeichnet werden. Da sie in " liegt, kann sie, wie oben gezeigt, u Äber ihre Schnittpunkte 1 und 2 mit den Dreiecksseiten in den Grundriss angegittert werden. ² 2. Hauptgerade von " durch P : Ihr Grundriss steht normal zu den (12)-Ordnern und kann damit gezeichnet werden. Da sie in " liegt, kann sie, wie oben gezeigt, u Äber ihre Schnittpunkte 3 und 4 mit den Dreiecksseiten in den Aufriss angegittert werden.
B
C
''
''
''
s ''1
P ''
B
C''
A ''
A '' B'
B'
P' A'
A'
C'
s '2
C'
Wir sehen: Durch jeden Punkt einer Ebene gibt es genau eine erste und genau eine zweite Hauptgerade. FÄ ur die 1. und 2. Hauptgeraden einer Ebene " gilt desweiteren: Die 1. Hauptgeraden von " sind untereinander parallel. Die 2. Hauptgeraden von " sind untereinander parallel.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
52
Fall 2: Erstprojizierende Ebene Sei " eine erstprojizierende Ebene, d.h. ihr Grundriss ist eine Gerade.
π2 h ''1
ε
h1
h2
h *'' 1
h2
h 2*
''
''
h *2
h '2
*
h1 h *2'
ε'
π1
ε ' = h '1 = h *1'
² 1. Hauptgeraden von ": Ihr Aufriss steht normal zu den (12)-Ordnern, ihr Grundriss fÄallt mit "0 zusammen. ² 2. Hauptgeraden von ": Sie sind die erstprojizierenden Geraden in ", d.h. ihr Grundriss ist ein Punkt, ihr Aufriss fÄallt in einen (12)-Ordner. Fall 3: Zweitprojizierende Ebene Sei " eine zweitprojizierende Ebene, d.h. ihr Aufriss ist eine Gerade.
π2
''
h *1
''
ε
h1
h *1
h2
ε '' =h ''2 =h *''2
ε ''
h *2
h 2'
h1 h *1'
h '1
h *2'
π1
² 1. Hauptgeraden von ": Sie sind die zweitprojizierenden Geraden in ", d.h. ihr Aufriss ist ein Punkt, ihr Grundriss fÄallt in einen (12)-Ordner. ² 2. Hauptgeraden von ": Ihr Grundriss steht normal zu den (12)-Ordnern, ihr Aufriss fÄallt mit "00 zusammen.
KAPITEL 3. ZUGEORDNETE NORMALRISSE
3.12.7
53
Beispiele V
1. Das gleichseitige Dreieck ABC (Mitte M) liegt in einer 1. Hauptebene und ist Seiten°Äache eines regelmÄa¼igen Tetraeders ABCD. Stellen Sie das Tetraeder in Grund- und Aufriss dar. A : : : (4j2j1); M : : : (0j4jz). 2. Die Basis ABCDEF eines 3cm hohen regelmÄa¼igen Prismas hat zweite Hauptlage. Zeichnen Sie Grund- und Aufriss des vor der yz-Ebene liegenden Prismas. A : : : (2j ¡ 4j3); D : : : (xj4j6). 3. Das Quadrat ABCD liegt in einer zweiten Hauptebene und ist Symmetrieschnitt eines regelmÄa¼igen Oktaeders ABCDEF . Stellen Sie den KÄorper in Grund- und Aufriss dar. A : : : (4j3j3); C : : : (4j ¡ 3j5). 4. Das Quadrat ABCD mit der Diagonale AC hat dritte Hauptlage und ist Basis einer Pyramide mit der Spitze S. Die Pyramide wird in halber HÄohe parallel zur Basis abgeschnitten. Stellen Sie den Pyramidenstumpf in Grund-, Auf- und Kreuzriss dar. A(2j7j3); C(8jyj9); S(5j1j0). 5. Zeichnen Sie Grund- und Aufriss des ebenen FÄ unfeckes ABC DE. A : : : (8j ¡ 1j1); B : : : (8j3j2); C : : : (5j4jz); D : : : (3j0j7); E : : : (xj ¡ 2j4). 6. Konstruieren Sie den fehlenden Riss des Punktes P und der Geraden g, die in der Ebene " = ab liegen. Bestimmen Sie weiters die durch P gehenden Hauptgeraden. a : : : A1(1j4j3); A2 (7j ¡ 2j5) b : : : B1 (2j0j6); B2 (7j2:5j1) P (xj ¡ 1j3:5), g : : : G1 (1j0jz); G2 (3j6jz) oder
a : : : A1(4j ¡ 4j2); A2 (5j0j5) b : : : B1 (2j0j1); bjja P (1j4jz), g : : : G1 (4j2jz); gjja 7. Die Ebene " enthÄalt den Punkt P und die Gerade g. Konstruieren Sie Auf- und Kreuzriss der durch P gehenden zweiten und dritten Hauptgeraden von ". Ermitteln Sie weiters die fehlenden Risse der Punkte A; B und C. P : : : (6j4j ¡ 1) g : : : Q(2j1j ¡ 3); R(4j7j6) A(xj6j0); B(8jyj6); C(xj5j8).
Kapitel 4 Lagenaufgaben
KAPITEL 4. LAGENAUFGABEN
55
Wir wollen uns in diesem Abschnitt mit der Frage beschÄaftigen, wie man den Durchsto¼punkt einer Geraden g mit einer Ebene " konstruieren kann (Lagenaufgabe (L1)). Dabei sei natÄurlich vorausgesetzt, dass g weder parallel zu " ist noch in " liegt.
s ''1
A '' g '' B''
C'
C'' g'
B'
s '2
A'
KAPITEL 4. LAGENAUFGABEN
s ''1
56
A ''
1
''
g '' d ''
B''
D'' 2 ''
C'
C''
g '= d ' 2' D' 1'
s '2
B'
A'
Wie wir wissen, kÄonnen verschiedene Geraden den selben Grundriss besitzen. Es gibt daher eine Gerade d in ", deren Grundriss mit dem Grundriss von g zusammenfÄallt, d.h. es gilt: d0 = g0 . Frage: Wie ¯ndet man nun den Aufriss von d?
Antwort: Da d in " liegt, kÄonnen wir d in " angittern, was d00 liefert. Da g und d in einer erstprojizierenden Ebene liegen und, wie der Aufriss zeigt, nicht zueinander parallel sind, mÄussen sie sich in einem Punkt D schneiden. Sein Aufriss lÄa sst sich problemlos ermitteln und den Grundriss ¯ndet man durch Angittern auf g. Da D auf g und d und damit auf g und in " liegt, ist D der gesuchte Durchsto¼punkt.
KAPITEL 4. LAGENAUFGABEN
57
Der Durchsto¼punkt kann natÄ urlich auch mit Hilfe jener Geraden d von " gefunden werden, deren Aufriss mit dem Aufriss von g u Ä bereinstimmt, d.h. es gilt: d00 = g00 . s ''1
A '' g '' B''
C
'
C'' g'
B'
s '2
A'
Frage: Wie ¯ndet man nun den Grundriss von d?
Antwort: Da d in " liegt, kÄonnen wir d in " angittern, was d0 liefert. Da g und d in einer zweitprojizierenden Ebene liegen und, wie der Grundriss zeigt, nicht zueinander parallel sind, mÄussen sie sich in einem Punkt D schneiden. Sein Grundriss lÄasst sich problemlos ermitteln und den Aufriss ¯ndet man durch Angittern auf g. Da D auf g und d und damit auf g und in " liegt, ist D der gesuchte Durchsto¼punkt.
KAPITEL 4. LAGENAUFGABEN
s ''1
58
A '' 2 1
''
g '' =d '' B''
D''
C
''
'
C'' g'
1' D'
d' 2
s '2
A'
'
B'
KAPITEL 4. LAGENAUFGABEN
59
Beispiel Trichter Ein Trichter (regelmÄa¼ige sechseitige Pyramide mit erstprojizierender Achse) ist mit einer Ebene " allgemeiner Lage zu schneiden. Durch mehrmaliges Anwenden der Lagenaufgabe (L1) kÄonnen die Schnittgeraden der Pyramidenseiten°Äachen mit der Ebene " bestimmt werden. A'''
F''
B''
E''
C''
D''
E' F'
D'
A'
C' B'
KAPITEL 4. LAGENAUFGABEN
60
Ein mÄoglicher LÄosungsweg wÄare die Bestimmung der sechs Durchsto¼punkte der Pyramidenkanten mit der Ebene ". Zwei nebeneinanderliegende Durchsto¼punkte bestimmen dabei jeweils eine Schnittgerade einer Seiten°Äache mit der Ebene ".
A'''
F''
B''
E''
C''
D''
3'' 5''
1''
6''
4'' 2''
5'
E' 3'
F'
D'
A'
4'
1'
C' B' 6'
2'
Kapitel 5 Ma¼aufgaben
5.1
Wahre LÄ ange einer Strecke (M1):
Sehr oft ist es notwendig, die wahre LÄange einer Strecke, die durch Grund- und Aufriss gegeben ist, zu ermitteln. Bisher ist uns das nur mÄoglich, wenn die Strecke Hauptlage bezÄ uglich einer der beiden Bildebenen besitzt.
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
62
Gegeben sei also eine Strecke AB durch Grund- und Aufriss. Wir betrachten nun das 1. StÄutzdreieck der Strecke AB. Es besitzt die Seite AB und die anderen beiden Seiten liegen auf dem 1. Sehstrahl durch den Punkt A und der 1. Hauptgeraden durch den Punkt B oder umgekehrt. Der fehlende Eckpunkt hei¼e 1.
A ''
π2
A ''
s''1
A B
1''
B ''
1''
''
1 B
A ' =1 '
π1
B'
A ' =1'
B' s'2
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
63
Frage: Was lÄasst sich u Ä ber dieses Dreieck sagen?
Antworten: ² Das 1. StÄ utzdreieck liegt in der erstprojizierenden Ebene durch AB. ² Es ist ein rechtwinkeliges Dreieck mit dem rechten Winkel in 1. ² Die LÄangen der Seiten 1B und 1A sind bekannt. Die erste erscheint im Grundriss in wahrer GrÄo¼e, die zweite im Aufriss.
Mit diesen Informationen lÄasst sich aber das Dreieck zeichnen und damit die wahre GrÄo¼e der Strecke AB { sie ist die Hypothenuse { ermitteln. Am einfachsten geschieht dies, indem man ² gleich den Grundriss A0 B 0 verwendet, ² dort durch 10 (= A0 ) eine normale Gerade zu A0 B 0 zeichnet, ² darauf dann die LÄange von 1A abtrÄagt, die man dem Aufriss entnimmt. ² Der so erhaltene Punkt { wir nennen ihn Ao { ist dann der fehlende Eckpunkt des 1. StÄutzdreiecks und es gilt: AB = Ao B0 . s''1
A ''
1''
B''
A ' =1 '
B' s '2
Ao
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
64
NatÄurlich kann man die Konstruktion der wahren LÄa nge einer Strecke auch mit Hilfe des 2. StÄutzdreicks AB2 der Strecke AB durchfÄ uhren. Es besitzt die Seite AB und die anderen beiden Seiten liegen auf dem 2. Sehstrahl durch den Punkt A und der 2. Hauptgeraden durch den Punkt B oder umgekehrt. Der fehlende Eckpunkt hei¼e 2.
π2
A '' = 2''
A '' =2''
s ''1
A B ''
2 B''
A'
π1
2'
B B'
A' B' 2'
s '2
Frage: Was lÄasst sich u Ä ber dieses Dreieck sagen?
Antworten: ² Das 2. StÄ utzdreieck liegt in der zweitprojizierenden Ebene durch AB. ² Es ist ein rechtwinkeliges Dreieck mit dem rechten Winkel in 2. ² Die LÄangen der Seiten 2A und 2B bekannt sind. Die erste erscheint im Grundriss in wahrer GrÄo¼e, die zweite im Aufriss.
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
65
Mit diesen Informationen lÄasst sich nun aber das Dreieck zeichnen und damit die wahre GrÄo¼e der Strecke AB { sie ist die Hypothenuse { ermitteln. Am einfachsten geschieht dies, indem man ² gleich den Aufriss A00 B 00 verwendet, ² dort durch 200 (= A00 ) eine normale Gerade zu A00 B00 zeichnet, ² darauf dann die LÄange von 2A abtrÄagt, die man dem Grundriss entnimmt. ² Der so erhaltene Punkt { wir nennen ihn Ao { ist dann der fehlende Eckpunkt des 2. StÄutzdreiecks und es gilt: AB = Ao B00 . s ''1
Ao
A '' =2 ''
B ''
A'
s '2
2'
B'
Da in einem rechtwinkeligen Dreieck die Hypothenuse immer grÄo¼er ist als die beiden Katheten, Ä folgt aus den obigen Uberlegungen: Die LÄange des Grundrisses einer Strecke ist i. a. immer kleiner als die Strecke selbst. Nur wenn 1. Hauptlage vor liegt, ist die LÄange des Grundrisses gleich der LÄange der Strecke. Analoges gilt fÄ ur den Aufriss: Die LÄange des Aufrisses einer Strecke ist i. a. immer kleiner als die Strecke selbst. Nur wenn 2. Hauptlage vor liegt, ist die LÄange des Aufrisses gleich der LÄange der Strecke.
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
5.2
66
Normalismus (M2):
Wir haben schon bei den Quader- und Pyramidenbeispielen gesehen, dass es sehr oft notwendig ist, eine Gerade normal zu einer Ebene (Ebenennormale) bzw. eine Ebene normal zu einer Geraden (Normalebene) zu ermitteln. Dies wollen wir uns nun in Grund- und Aufriss nÄa her anschauen. Die zentrale Rolle dabei spielt der folgende Satz: Ein rechter Winkel erscheint bei Normalprojektion wieder als rechter Winkel, wenn zumindest einer der beiden Winkelschenkel Hauptlage besitzt.
b
π2
''
b
S''
s ''1
b '' S''
a ''
a'' a'
a S b' a'
b'
π1
S'
S'
s '2
π2
a
''
b
''
s ''1
a ''
b''
a b
S''
S ''
S a' a'
π1
b'
b' S
S'
'
s'2
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
67
Betrachten wir nun eine Ebene " und eine auf sie normale Gerade n. Da n die Ebenennormale von " ist, schlie¼t n mit jeder Geraden von " einen rechten Winkel ein, insbesondere also auch mit den 1. und mit den 2. Hauptgeraden von ". Sei nun h1 eine beliebige 1. Hauptgerade von ". Frage: Was lÄasst sich aufgrund des obigen Satzes dann u Ä ber n0 h01 sagen?
Antwort: Da die Gerade h1 1. Hauptlage besitzt, erscheint der rechte Winkel zwischen n und h1 im Grundriss wieder als rechter Winkel, d.h. es gilt: n0 ? h01.
n
h ''2
n
''
π2
n ''
s ''1
h ''2 h2 h1 h '1
π1
h '1
n'
s '2
n'
Sei nun h2 eine beliebige 2. Hauptgerade von ". Frage: Was lÄasst sich aufgrund des obigen Satzes dann u Ä ber n00h002 sagen?
Antwort: Da die Gerade h2 2. Hauptlage besitzt, erscheint der rechte Winkel zwischen n und h2 im Aufriss wieder als rechter Winkel, d.h. es gilt: n00 ? h001 . Symbolisch kÄonnen wir die obigen Ergebnisse wie folgt notieren: n ? h1 ; h2 ) n0 ? h01 n00 ? h002
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
5.2.1
68
Ebenennormale (M2a):
Gegeben sei eine Ebene " und ein beliebiger Punkt P (in oder nicht in "). Gesucht ist die Ebenennormale n von " durch P .
B''
s ''1
C ''
P''
A ''
P' A'
C'
s '2
B'
Betrachten wir nochmals die erste Zeile oben gefundenen Formel n ? h1 ; h2 so erkennen wir, dass die rechte Seite bekannt ist, da wir uns ja jederzeit 1. Hauptgeraden und 2. Hauptgeraden der Ebene " konstruieren kÄo nnen. Mit Hilfe der zweiten und dritten Zeile der Formel, die ja aus der ersten folgen n ? h1 ; h2 ) 0 n ? h01 n00 ? h002 lassen sich dann Grundriss n0 und Aufriss n00 von n sofort zeichnen.
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
5.2.2
69
Normalebene (M2b):
Gegeben sei eine Gerade n und ein beliebiger Punkt P (auf oder nicht auf n). Gesucht ist die Normalebene " zu g durch P . s ''1
n ''
P''
P'
n' s '2
Betrachten wir nochmals die erste Zeile oben gefundenen Formel n ? h1 ; h2 so erkennen wir, dass die linke Seite bekannt ist, da ja die gegebene Gerade n die Ebenennormale der gesuchten Ebene ist. Mit Hilfe der zweiten und dritten Zeile der Formel, die ja aus der ersten folgen n ? h1 ; h2 ) 0 n ? h01 n00 ? h002 lassen sich dann sofort Grund- und Aufriss der 1. Hauptgeraden h1 und der 2. Hauptgeraden h2 von " durch den Punkt P zeichnen.
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
5.3
70
Paralleldrehen einer Ebene (M3):
Wir wollen nun versuchen, die wahre GrÄo ¼e einer ebenen Figur zu ermitteln, indem wir die TrÄagerebene " der Figur um eine Gerade (die Drehachse) in 1. Hauptlage "0 drehen. Der Grundriss von "0 erscheint dann in wahrer GrÄo ¼e. Was kÄonnen wir zunÄachst einmal sagen? ² Die Drehachse bleibt bei der Drehung punktweise fest. ² Da sie nach der Drehung 1. Hauptlage besitzt, muss sie als Fixgerade bereits 1. Hauptlage besitzen, d.h. wir mÄ ussen " um eine ihrer 1. Hauptgeraden h1 paralleldrehen. ² Jeder nicht auf der Drehachse h1 liegende Punkt P der Ebene " beschreibt bei der Drehung einen Kreis kP . ² kP liegt in einer Ebene normal zur Drehachse, d.h. in einer erstprojizierenden Ebene. Sein Mittelpunkt MP ist der Durchsto¼punkt der Drehachse mit der TrÄagerebene des Kreises. ² " kann auf zwei Arten parallelgedreht werden.
P
ε kP Q MP
kQ h1
MQ
Qo h '1
M 'Q '
Q
Po
εο π 1 k 'Q
Q o'
π1
k 'P
P 'o
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
71
Was bedeutet das nun fÄur das Zeichnen in zugeordneten Normalrissen? ² Man konstruiert zunÄa chst eine 1. Hauptgerade h1 von " (im Beispiel bereits gegeben). ² Liegt der Punkt A auf h1 , so ist er Fixpunkt der Drehung und stimmt mit seiner Drehlage Äuberein, d.h. A0 = A0o . 0
² Liegt der Punkt B nicht auf h1 , dann ist der Grundriss kB seines Drehkreises kB als 00 Element einer erstprojizierenden Ebene eine Strecke (der Aufriss kB ist eine Ellipse, die im Beispiel eingetragen ist, i.a. aber nicht benÄotigt wird). ² Der Mittelpunkt MB von kB kann u Ä ber den Grundriss leicht ermittelt werden. ² In der parallelgedrehten Lage besitzt die Strecke BMB 1. Hauptlage, der Grundriss des 0 Punktes Bo fÄallt also in einen der beiden Endpunkte von kB . ² Somit muss die wahre LÄange der Strecke BMB , also der Radius von kB , ermittelt wer0 den (Ma¼aufgabe (M1)), mit dessen Hilfe dann der Grundriss Bo des parallelgedrehten Punktes Bo konstruiert werden kann (2 MÄoglichkeiten).
B ''
s''1
k ''B A '' B''o
M ''B
h ''1
B'o
A ' = A 'o
'
M 'B k 'B h '1 s'2
B' B'o
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
72
B ''
s''1
A '' h ''1
A' '
h '1 s'2
B'
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
73
NatÄurlich kann die Ebene " auch in 2. Hauptlage gedreht werden. Dann gilt: ² Die Drehachse ist eine 2. Hauptgerade h2 von ". ² Die Punkte bewegen sich auf einem Kreis in einer Ebene normal zu h2 , also in einer zweitprojizierenden Ebene. ² Der Mittelpunkt des Drehkreises ist der Durchsto¼punkt der Drehachse mit seiner TrÄagerebene. Was bedeutet das nun fÄur das Zeichnen in zugeordneten Normalrissen?
B''o
s ''1
k ''B B ''
h ''2 M''B
A '' =A ''o
B''o '
'
MB B'o
A'
h2
k 'B s '2
B'
² Man konstruiert zunÄa chst eine 2. Hauptgerade h2 von " (im Beispiel bereits gegeben). ² Liegt der Punkt A auf h2 , so ist er Fixpunkt der Drehung und stimmt mit seiner Drehlage Äuberein, d.h. A00 = A00o . 00
² Liegt der Punkt B nicht auf h2 , dann ist der Aufriss kB seines Drehkreises als Element 0 einer zweitprojizierenden Ebene eine Strecke (der Grundriss kB ist eine Ellipse, die im Beispiel eingetragen ist, i.a. aber nicht benÄotigt wird).
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
74
s ''1
B ''
h ''2
A ''
'
A
s '2
h2
'
B'
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
75
² Der Mittelpunkt MB von kB kann u Ä ber den Aufriss leicht ermittelt werden. ² In der parallelgedrehten Lage besitzt die Strecke BMB 2. Hauptlage, der Aufriss des 00 Punktes Bo fÄallt also in einen der beiden Endpunkte von kB . ² Somit muss die wahre LÄange der Strecke BMB , also der Radius von kB , ermittelt werden 00 (Ma¼aufgabe (M1)), mit dessen Hilfe dann der Aufriss Bo des parallelgedrehten Punktes Bo konstruiert werden kann (2 MÄoglichkeiten).
Wir wollen nun einige Eigenschaften von Drehungen anfÄ uhren, die die AusfÄuhrung der Ma¼aufgabe (M3) erleichtern kÄonnen: ² Schneidet eine Gerade g von " die Drehachse h1 in einem Punkt G, so gilt G = Go , d.h. G liegt auch auf der gedrehten Lage go von g. ² Sind zwei Geraden g und g¤ von " zueinander parallel, so gilt dies auch fÄur go und go¤ (Parallelentreue).
P
ε g g*
Q
h1 g *o G =G o
go
Qo h '1
Po
εο π 1
G' = G o'
g *o' g 'o
Q o'
π1
P'o
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
76
Das kÄonnen wir in Grund- und Aufriss auf verschiedene Art und Weise verwenden: ² Ist eine Gerade g parallelzudrehen und ihr Schnittpunkt 1 mit der Drehachse am Blatt, so genÄ ugt es einen von 1 verschiedenen Punkt A von g parallelzudrehen, da 1 ja auch auf go liegt. ² Nun wollen wir die Drehlage Bo des Punktes B von " konstruieren. Er liegt auf der Geraden g, weshalb Bo auf go, also Bo0 auf go0 liegt. Bo0 muss aber auch am Bild des Drehkreises von B liegen, der im Grundriss als Strecke auf der zu h01 normalen Geraden liegt. Bo0 ist damit als Schnittpunkt zweier Geraden leicht konstruierbar. Dieses Verfahren wird Angittern genannt. Das Angittern ist allerdings nur dann sinnvoll, wenn der Schnittpunkt 1 der Gittergeraden g mit der Drehachse h1 am Blatt liegt. Ist dies nicht der Fall, versucht man entweder B an einen anderen Punkt anzugittern, oder dreht B einfach wie oben gezeigt, parallel. ² Sind g und g ¤ zwei parallele Geraden von ", dann genÄ ugt es wegen der Parallelentreue eine ¤ Gerade, etwa g, parallelzudrehen und von g einen Punkt parallelzudrehen. Idealerweise versucht man, den Fixpunkt von g¤ auf h1 zu verwenden.
A ''
s''1
g *'' h ''1
1''
C''
g '' B'' B 'o
g 'o B' g'
g *'
C' g *'o
1' =1'o
A' s'2
h '1
A 'o
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
77
A ''
s''1
g *'' C''
g '' B''
g *'
C' B' g'
A' s'2
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
5.3.1
78
Beispiel:
Bestimmen Sie die wahre GrÄo¼e der Dach°Äa che ABC .
C''
A''
B''
C'
B'
A'
KAPITEL 5. MASSAUFGABEN
79
A''0
C'' M''A
A''
C'
M''C
M'A
C''0
B''
B'
A'0
M'C C'0
A'
Die wahre GrÄo¼e des Dreieckes ABC wurde auf zwei Arten bestimmt. ABC wurde in 1. und in 2. Hauptlage gedreht.
Kapitel 6 Seitenrisse 6.1
Beispiel I
Betrachten wir zunÄachst das folgende Beispiel: Gegeben sei eine auf ¼1 ruhende, regelmÄa¼ige, vierseitige Pyramide und eine zweitprojizierende Ebene ". Gesucht ist das Schnittpolygon von Ebene und Pyramide. Das Schnittpolygon entsteht, indem man die einzelnen Kanten der Pyramide mit " zum Schnitt bringt. Da die Ebene " zweitprojizierend ist, lassen sich diese Schnittpunkte im Aufriss problemlos konstruieren und dann durch Angittern an den entsprechenden Pyramidenkanten in den Grundriss uhren. ÄuberfÄ
s''1
s'2
ε ''
KAPITEL 6. SEITENRISSE
6.2
81
Beispiel II
Der Konstruktionsaufwand wird sofort grÄo¼er, wenn die Ebene nicht projizierend ist, da dann jede einzelne Kante gemÄa ¼ der Lagenaufgabe (L1) mit der Ebene " zu schneiden ist. s '1'
B' '
C' '
A''
C'
B'
A'
s '2
Es wÄare daher schÄon, ein Verfahren zu kennen, mit Hilfe dessen eine projizierende Lage der Ebene ", also die obige Situation, erzeugt werden kann.
KAPITEL 6. SEITENRISSE
6.3
82
Seitenriss zum Grundriss
Wie wir bei der Besprechung der Ebenen in zugeordneten Normalrissen gesehen haben, sind ² in erstprojizierenden Ebenen die 2. Hauptgeraden erstprojizierend und ² in zweitprojizierenden Ebenen die 1. Hauptgeraden zweitprojizierend. Die oben gestellte Aufgabe, nÄamlich " projizierend zu machen, wollen wir nun so lÄo sen, indem wir eine dritte Bildebene ¼3 einfÄuhren bzgl. der " projizierend ist und ¼3 entweder der Bildebene ¼1 oder ¼2 zuordnen. Ist ¼3 der Grundrissebene ¼1 zugeordnet, so muss ² ¼3 zur Grundrissebene ¼1 normalstehen und ² die 1. Hauptgeraden von " mÄ ussen drittprojizierend sein, d.h. zu ¼3 normal stehen. Da die 1. Hauptgeraden zu ¼1 parallel sind und damit jede Ebene, die zu den 1. Hauptgeraden normal steht, automatisch auch zu ¼1 normal steht, kÄonnen beide Bedingungen gleichzeitig erfÄ ullt werden.
π2
s1
P
''
P '''
P s3
s2
η1 P'
π1
π3
KAPITEL 6. SEITENRISSE
83
Frage: Wie kriegt man nun den dritten Riss P 000 eines Punktes P in den Gri®?
Antwort: ² ZunÄachst benÄotigt man die (13)-Ordner (Ordnerbedingung!). Da aufgrund der Wahl von ¼3 die 1. Hauptgeraden von " drittprojizierend sind, fallen die Grundrisse der 1. Hauptgeraden mit den (13)-Ordnern zusammen. ² Ist nun ´1 eine beliebige 1. Hauptebene, dann sehen wir, dass der Abstand P ´1 auf einer erstprojizierenden Geraden gemessen wird und daher sowohl im Aufriss als auch im dritten Riss { er wird auch Seitenriss (zum Grundriss) genannt { in wahrer GrÄo¼e erscheint. ² Nach beliebiger Wahl von ´100 normal zu den (12)-Ordnern und ´1000 normal zu den (13)Ordnern kann dann der dritte Riss jedes Punktes gezeichnet werden, von dem Grundund Aufriss bekannt sind.
P ''
s ''1
h ''1
R'
η1 ''
1''
Q '' R ''' Q'
s '3
R '' P
Q '''
'
h '1
η'''1 s '2
1
'
P ''' =h '''1 s'''1
KAPITEL 6. SEITENRISSE
s''1
84
h''1
P''
1''
Q''
R'' R'
Q'
P' s'2
h'1 1'
KAPITEL 6. SEITENRISSE
6.4
85
Seitenriss zum Aufriss
Ist ¼3 der Aufrissebene ¼2 zugeordnet, so muss ² ¼3 zur Aufrissebene ¼2 normalstehen und ² die 2. Hauptgeraden von " mÄ ussen drittprojizierend sein, d.h. zu ¼3 normal stehen. Da die 2. Hauptgeraden zu ¼2 parallel sind und damit jede Ebene, die zu den 2. Hauptgeraden normal steht automatisch auch zu ¼2 normal steht, kÄonnen beide Bedingungen gleichzeitig erfÄ ullt werden.
π2 P ''
η2
π3
s1
P
s3
s2
P'
π1
P '''
KAPITEL 6. SEITENRISSE
86
Frage: Wie kriegt man nun den dritten Riss P 000 eines Punktes P in den Gri®?
Antwort: ² ZunÄachst benÄotigt man die (23)-Ordner (Ordnerbedingung!). Da aufgrund der Wahl von ¼3 die 2. Hauptgeraden von " drittprojizierend sind, fallen die Aufrisse der 2. Hauptgeraden mit den (23)-Ordnern zusammen. ² Ist nun ´2 eine beliebige 2. Hauptebene, dann sehen wir, dass der Abstand P ´2 auf einer zweitprojizierenden Geraden gemessen wird und daher sowohl im Grundriss als auch im dritten Riss { er wird auch Seitenriss (zum Aufriss) genannt { in wahrer GrÄo¼e erscheint. ² Nach beliebiger Wahl von ´20 normal zu den (12)-Ordnern und ´2000 normal zu den (23)Ordnern kann dann der dritte Riss jedes Punktes gezeichnet werden, von dem Grundund Aufriss bekannt sind.
s ''1
s ''3
P ''
h ''2 2'' Q '' P ''' =h '''2 R '' R'
Q ''' R '''
η '2 s '2
P'
η '''2
Q' h '2
2'
s '''2
KAPITEL 6. SEITENRISSE
87
P ''
s ''1
h ''2 2'' Q ''
R '' R'
Q' s '2
P'
h '2
2'
KAPITEL 6. SEITENRISSE
6.5
88
Beispiel II { Fortsetzung
Durch EinfÄ uhrung eines Seitenrisses, in dem die Schnittebene " projizierend erscheint, lÄasst sich also die eingangs gestellte Aufgabe, " mit einer Pyramide zu schneiden, e±zienter lÄosen als durch sukzessives Anwenden der Lagenaufgabe (L1). s ''1
B''
C''
C'
A '' s '3
B'
A'
s '2
B ''' =C''' A '''
ε''' s '''1
KAPITEL 6. SEITENRISSE
89
s '1'
B' '
C' '
A''
C'
B'
A'
s '2
KAPITEL 6. SEITENRISSE
6.6
90
Weitere Bemerkungen zu Seitenrissen
² Die Kreuzrissebene liefert einen Seitenriss und zwar den einzigen, der sowohl ¼1 als auch ¼2 zugeordnet werden kann, denn sie steht sowohl auf ¼1 als auch auf ¼2 normal.
'''
''
s2
s3
G '''
D'''
D''
G ''
s''1
F '' E '''
F '''
E''
A ''' =B'''
C '''
A ''
B'' =C ''
G'
C ' =F '
η 2'''
A ' =E '
η 2'
B' =D'
s '2
² Die Ermittlung der wahren LÄange einer Strecke (Ma¼aufgabe (M1)) kann auch mit Hilfe eines Seitenrisses erklÄa rt werden. Dabei wird die Bildebene ¼3 so gewÄa hlt, dass die Strecke 3. Hauptlage besitzt. ² NatÄ urlich kann man einem Seitenriss wieder einen Seitenriss zuordnen, was vor allem zur Erzeugung von anschaulichen Bildern verwendet werden kann. DafÄ ur werden aber andere Methoden verwendet (normale Axonometrie).
