Smart Sammlung Mathematischer Aufgaben Als Hypertext Mit Tex

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SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX Mechanik (Physik) herausgegeben vom Zentrum zur F¨orderung des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts der Universit¨at Bayreuth∗ 23. Juni 2015 ∗ Die Aufgaben stehen f¨ ur private und unterrichtliche Zwecke zur Verf¨ ugung. Eine kommerzielle Nutzung bedarf der vorherigen Genehmigung. Inhaltsverzeichnis 2 Teil I Statik 3 1 Gewichtskraft 1. (a) Auf der Erde erf¨ahrt Harry Hecht (m = 76kg) eine Gewichtskraft von 760N. uben? Meinst Welche Gewichtskraft w¨ urde der Mond (g = 1, 6 sm2 ) auf Harry aus¨ du, Harry springt auf dem Mond h¨oher? (b) Der Raumanzug von Astronauten ist sehr schwer. Auf der Erde k¨onnte ein Mensch kaum damit herumlaufen. Auf dem Mond aber ist das kein Problem. Welche Masse m¨ ussten ein Raumanzug und Harry Hecht zusammen haben, damit er sich auf dem Mond genauso schwer f¨ uhlt wie auf der Erde? Quelle: Julia P¨ urkner L¨ osung: (a) Gewichtskraft auf dem Mond: 122N. Also w¨ urde er h¨oher springen als auf der Erde. (b) m = 76kg·9,81 m2 s 1,6 m2 = 466kg s 2. Ein chinesischer Astronaut wiegt auf der Erde f¨ ur die Fahrt zu einem unbekannten Planeten einen Reisvorrat von 21kg ab. (a) Welche Gewichtskraft hat der Reis auf der Erde? (b) Der Astronaut landet nun mit seinem Reis auf dem unbekannten Planeten, dessen Fallbeschleunigung gp nicht bekannt ist. Was kann der Astronaut ohne zus¨atzliche Hilfsmittel u ¨ ber Masse und Gewichtskraft seines Reises auf dem Planeten aussagen? Begr¨ undung! (c) Welche(s) Hilfsmittel br¨auchte der Astronaut, um mit Hilfe seines Reises die Fallbeschleunigung gp des unbekannten Planeten feststellen zu k¨onnen? (d) Der Astronaut bekommt Hunger und verzehrt ein Drittel seiner Reisk¨orner. Welche Masse hat der Reis jetzt noch? (e) Zuf¨allig ist jetzt die Gewichtskraft des u ¨briggebliebenen Reises auf dem unbekannten Planeten gerade genau so groß wie die Gewichtskraft der 21kg Reis auf der Erde. Bestimme nun die Fallbeschleunigung gp des unbekannten Planeten Quelle: Julia P¨ urkner L¨ osung: (a) F = 206N ¨ (b) Die ortsunabh¨ angige Masse ist nach wie vor 21 kg. Uber die ortsabh¨angige Gewichtskraft kann er keine Aussage machen, da er den Ortsfaktor nicht kennt. (c) Der Astronaut ben¨ otigt z. B. eine kalibrierte (geeichte) Federwaage, mit der er die Gewichtskraft bestimmen kann. 4 1 Gewichtskraft (d) Wenn er ein Drittel der K¨ orner verzehrt, bleiben noch zwei Drittel der K¨orner u ¨brig. Da die Zahl der K¨ orner proportional zur Masse ist, gilt: m′ = 23 · m = 14kg (e) F ′ = m′ · gP ⇒ gP = 206N 14kg N = 15 kg 3. Form von Flugzeugtragfl¨ achen Ist die Tragfl¨achenform am Boden und im Flug die gleiche? Quelle: Prof. Dr. M¨ uller, Zentrum f¨ ur Lehrerbildung, Campus Landau L¨ osung: Am Boden h¨ angen die Tragfl¨ achen durch das Gewicht des Triebwerks und das Eigengewicht nach unten durch. Im Flug h¨ angt ein Flugzeug sozusagen an den Tragfl¨achen (wird durch den Auftrieb an den Tragfl¨ achen hochgehoben), diese biegen sich also nach oben durch (außen am meisten). Bei der Boeing 707 liegt die Durchbiegung der Tragfl¨achenspitze (gegen¨ uber der Position am Boden) beim Geradeausflug in ruhiger Luft bei einem Meter. Die Grenzdurchbiegung liegt bei 3m aufw¨arts und 0,9m abw¨arts. 4. An der Oberfl¨ache des Planeten Uranus hat die Fallbeschleunigung einen Betrag von 9,0 sm2 . (a) Zun¨achst gehen wir davon aus, dass der Uranus und der Jupiter die gleiche Masse haben. Der Radius des Jupiter ist etwa um den Faktor 2,75 gr¨oßer wie der des Uranus. Welchen Wert erh¨altst du unter dieser Annahme f¨ ur die Fallbeschleunigung an der Oberfl¨ache des Jupiter? (b) Nun gehen wir davon aus, dass der Jupiter und der Uranus den gleichen Radius haben. Aber die Masse des Jupiter ist etwa 22–mal so groß wie die des Uranus. Welchen Wert erh¨altst du nun f¨ ur die Fallbeschleunigung an der Oberfl¨ache des Jupiter? (c) Welcher Wert ergibt sich f¨ ur die Fallbeschleunigung an der Oberfl¨ache des Jupiter, wenn du sowohl das Massenverh¨altnis als auch das Gr¨oßenverh¨altnis der beiden Planeten ber¨ ucksichtigst? L¨ osung: (a) 9,0 sm2 :
11 2 4 = 1,4 sm2 (b) 9,0 sm2 · 22 = 2,0 · 102 sm2
2 (c) 9,0 sm2 : 11 · 22 = 26 sm2 4 5. Im Tabellenteil einer Formelsammlung findet man unter der Rubrik ”Astronomische Daten” f¨ ur die Himmelsk¨orper des Sonnensystems folgenden Auszug: 5 1 Gewichtskraft Himmelsk¨orper ... Mars ... Neptun relative Masse ... 0,107 ... 17,2 relativer Radius ... 0,533 ... 3,80 g in sm2 ... 3,73 ... Dabei sind die Massen bzw. Radien der Planeten in Vielfachen der Erdmasse bzw. des Erdradius angegeben. g bezeichnet die Fallbeschleunigung an der Oberfl¨ache des Planeten. Durch einen Tintenfleck ist leider die Fallbeschleunigung an der Oberfl¨ache des Neptun unleserlich geworden. Berechne diesen Wert unter Verwendung der restlichen in der Tabelle angegebenen Informationen. L¨ osung: 3,73 sm2 · 17,2 0,107 :  3,8 0,533 2 = 11,8 sm2 . 6 2 Kr¨ aftezerlegung 1. Nebenstehend sehen wir ein Segelboot von oben. Wir gehen idealisierend davon aus, dass das Segel ganz eben gestrafft ist. In welche Richtung treibt der Wind das Boot (Begrndung!)? Wind L¨ osung: Wegen der idealisierenden Annahme des ebenen Segels wird der Wind nach dem Reflexionsgesetz reflektiert. Durch die Reflexion erhalten wir eine Impulserung, die eine Kraft bewirkt. Wegen actio gegengleich reactio erhalten wir die angegebene Vortriebrichtung. Die Vortriebrichtung steht somit immer senkrecht auf dem Segel. Segel Vortriebrichtung Wind Segel Reflektierter Wind Impulserung 2. Bei einem Spaziergang wird Toni von seinen beiden Hunden mit den Kr¨aften F1 und F2 ungest¨ um in verschiedene Richtungen gezogen (vgl. Abb.). Konstruiere die wirkende Gesamtkraft 7 2 Kr¨aftezerlegung L¨ osung: 3. Auf ein Motorsegelboot wirkt vom Motor eine Kraft von FM = 4000N und vom Wind auf das Segel eine Kraft von FS = 7000N. Die beiden Kr¨afte schließen einen Winkel von 40◦ ein. Welche Gesamtkraft wirkt auf das Motorsegelboot? L¨ osung: 10, 4kN 4. Bei einem Spaziergang wird Toni von seinen beiden Hunden mit den Kr¨aften F1 = 200N und F2 150N ungest¨ um in verschiedene Richtungen gezogen. Die Leinen der Hunde schließen einen Winkel von 60◦ ein. Wie groß ist wirkende Gesamtkraft? L¨ osung: 304N 5. In der Mitte einer W¨ascheleine h¨angt ein nasses W¨aschest¨ack der Masse 3kg. Die Befestigungspunkte der W¨ascheleine haben einen Abstand von 6m und die W¨ascheleine h¨angt 50cm durch. (a) Ermittle durch Konstruktion die Kr¨afte entlang der W¨ascheleine. (b) Wie ver¨andert sich die Gr¨oße der Kr¨afte entlang der W¨ascheleine, wenn diese st¨arker durchh¨angt? L¨ osung: (a) 90N (b) Kraft wird kleiner 6. Ein Balancierseil nennt man neuerdings slackline. Eine slackline wird mit einer Kraft von 2 kN bis 4 kN mit Hilfe von Ratschen und Flaschenz¨ ugen vorgespannt. 8 2 Kr¨aftezerlegung L b b D b Im folgenden bezeichnen • L die Seil¨ange in Metern, • D den sogenannten Durchhang in Metern und • m die Masse in Kilogramm. Zeige, dass f¨ ur diesen Fall F L m ≈ · kN D 400 gilt. Welche Belastung u ¨bt demzufolge eine Person der Masse 50 kg auf ein Seil der L¨ange 6,0 m und einem Durchhang von D = 30 cm aus? L 2 ϕ b D b b L¨osung: Es gilt tan ϕ = 2D L F~1 ~ ~ = −G H F~1 ϕ F~2 b ~ G Es gilt mit F = F1 = F2 sin ϕ = Nun gilt f¨ ur kleine Winkel ϕ: 2D G = 2F L ⇒ G 2F sin ϕ ≈ tan ϕ, also F = L G L · ≈ · D 4 D N m · 10 kg 4 ⇒ m F L kg = · 1 kN D 400 Weitere interessante Tatsachen: • Durch Wippen auf der slackline vergr¨oßert sich die Belastung um das 1,5– bis 2–fache. 9 2 Kr¨aftezerlegung • Beim Klettern benutzte B¨ ander haben eine Reißfestigkeit von 10 kN bis 20 kN. • Durch einen Knoten im Seil verringert sich die Reißum etwa 50%. 10 3 Reibungskraft 1. Reibung Eine Halskette der Masse 200g und der L¨ange 50cm wird u ¨ber eine Tischkante gelegt. die Kette h¨angt 5cm u ¨ ber die Kante nach unten. Nun zieht man an der Kette so lange, bis die Kette gerade noch nicht von selbst nach unten gezogen wird. Dann h¨angen 10cm der Kette u ¨ ber die Tischkante nach unten. (a) Welcher Teil der Kette ist ein Maß f¨ ur die Zugkraft und welcher Teil ist ein Maß f¨ ur die Reibungskraft. (b) Berechne die Reibungszahl zwischen Kette und Tisch. (c) Wie ver¨andert sich die L¨ange der Kette, die u ¨ber die Tischkante nach unten h¨angt, wenn i. die Reibungszahl gr¨oßer wird? ii. die Kette bei gleicher L¨ange doppelte Masse hat? L¨ osung: (a) Zugkraft: Teil der Kette, der u ¨ber die Tischkante nach unten h¨angt (L¨ange lu ) Reibungskraft: Teil der Kette, der auf dem Tisch liegt (L¨ange lo ) (b) µm llo g = m llu g ⇒ µ = (c) lu lo = 10cm 40cm = 0, 25 i. L¨ ange wird gr¨ oßer ii. keine Ver¨ anderung, da nur das Massenverh¨altnis der beiden Teile eingeht 2. Qualmende Flugzeugreifen Beim Landen von Flugzeugen sieht man oft, wie in den ersten Momenten des Aufsetzens Qualm zwischen Reifen und Landebahn entsteht (in Form einer regelrechten Font¨ane, gegen die Bewegungsrichtung des Flugzeugs); dazu h¨ort man ein deutliches Reifenquietschen. Erkl¨are diesen Vorgang. Was er mit einem Kavalierstart zu tun? Quelle: Prof. Dr. M¨ uller, Zentrum f¨ ur Lehrerbildung, Campus Landau L¨ osung: Die anfangs ruhenden Flugzeugr¨ader m¨ ussen beim Aufsetzen erst in Bewegung versetzt werden, deswegen schlittern sie anfangs u ¨ ber die Landebahn, mit entsprechend großem Abrieb (und Reibungsw¨ arme), den man als Qualm sieht. Beim Aufsetzen bewegt sich der Untergrund gegen das Flugzeug, und die Reifen ruhen anf¨anglich; beim Kavalierstart ruht der Untergrund anf¨ anglich gegen das Auto, und die Reifen bewegen sich; in beiden F¨allen gibt es eine Relativbewegung von Reifen und Untergrund, mit entsprechenden Begleiterscheinungen durch Reibung (Abrieb, Qualmen, Quietschen). 11 3 Reibungskraft 3. Luftwiderstand Zwei Autos haben gleiche Querschnittsfl¨ache A = 2m2 , unterscheiden sich jedoch im cW -Wert. Ein Auto hat cW = 0, 3, das andere cW = 0, 4. Berechne den Luftwiderstand bei 10 km , 20 km , · · · 130 km und stelle das Ergebnis graphisch dar. h h h L¨ osung: . 12 4 Hookesches Gesetz 1. Skizziere ein F-s-Diagramm eines Gummis, f¨ ur den bis zu einer Dehnung von 5cm das Hooksche Gesetz gilt und f¨ ur Dehnungen u ¨ber 5cm die Federh¨arte kleiner wird. L¨ osung: Wenn die Federh¨ arte D kleiner wird, heißt dies, dass D = ∆s ) gr¨oßer. Steigung der Kurve im F-s-Diagramm ( ∆F F s kleiner wird. Damit wird die 2. H¨angt man auf der Erde an einen Federkraftmesser einen Nromk¨orper (1kg), so wird der Kraftmesser um 15cm gedehnt. Dank guter Beziehungen zur NASA nimmt ein Astronaut den Kraftmesser und den Normk¨orper mit zum Mond und stellte dort eine Verl¨angerung von nur mehr 2,5cm fest. (a) Berechne aus den obigen Werten den Ortsfaktor auf dem Mond. (b) Welche H¨arte besitzt die Feder des Kraftmessers? (c) Nun h¨angt der Astronaut einen gefundenen Stein an die Federwaage und stellt eine Federverl¨angerung von 9,0cm fest. Welche Masse hatte dieser Stein? Wenn der Astronaut dem Normk¨orper auf der Erde einen Fußtritt gibt, so tut ihm das ziemlich weh. Wird das am Mond auch so sein? Quelle: Julia P¨ urkner 13 4 Hookesches Gesetz L¨ osung: (a) Die Federdehnung auf dem Mond ist ein Sechstel von der auf der Erde. Damit ist der Ortsfaktor auf dem Mond ein Sechstel von dem auf der Erde: 9, 8 sm2 : 6 = 1, 6 sm2 (b) D = F s = 65, 4 N m (c) FStein = 5, 9N , m = 3, 7kg. Die Masse des Normk¨orpers ist auf dem Mond auch 1kg. Bei einem Fußtritt wird der Normk¨orper beschleunigt und f¨ ur die dazu notwendige Kraft ist entscheidend welche K¨orpermasse vorliegt. Der Fußtritt schmerzt also auf dem Mond genauso wie auf der Erde. 14 5 Kraftwandler 1. Flaschenzug Ein K¨orper der Masse m wird mit einem Flaschenzug mit n losen Rollen um den Weg h hochgehoben. (a) Gib eine Formel an, mit der man aus G die dazu ben¨otigte Zugkraft und aus h den Zugweg berechnen kann. (b) Wie kann man experimentell den Zusammenhang zwischen Anzahl der losen Rollen und Zugkraft beim Flaschenzug untersuchen. (Aufbau, Durchf¨ uhrung) (c) Wie und warum unterscheidet sich die in (a) berechnete Kraft von den experimentellen Werten? L¨ osung: (a) F = (b) 1 2n · G; s = 2n · h (c) experimentell bestimmte Zugkraft ist gr¨oßer, wegen Reibung und Gewicht der Rollen 2. Hebel (a) Auf einer Wippe kommt Clara nicht nach unten, wenn ihr großer Bruder Bernd am anderen Ende sitzt. Clara will wippen und sagt ihrem Bruder, wie er sich verhalten soll, damit das gelingt. Was soll Bernd tun? Begr¨ unden deine Antwort. (b) Zerbrich ein Streichholz in zwei gleich große St¨ ucke. Danach soll jedes der beiden St¨ ucke nochmals in zwei kleinere St¨ ucke zerbrochen werden. Was sp¨ urt man beim Zerbrechen? Beschreibe die Beobachtungen und erkl¨aren diese mit physikalischen Begriffen. Quelle: Bildungsstandards im Fach Physik f¨ ur den Mittleren Schulabschluss, Beschluss vom 16.12.2004 L¨ osung: (a) Bernd soll n¨ aher zum Mittelpunkt der Wippe rutschen, dann kann er mit Clara wippen. Bernd ist schwerer als Clara. Bei geeigneten Abst¨anden der Kinder zum Drehpunkt ist die Wippe dennoch im Gleichgewicht. Durch St¨orung des Gleichgewichtes k¨onnen die Kinder wippen. Das ist m¨oglich durch Abstoßen (zus¨atzliche Kraft) oder durch ¨ Verlagerung der Schwerpunkte (Anderung der Abst¨ande zum Drehpunkt). (b) Beim ersten Mal ist das Zerbrechen ohne großen Kraftaufwand durchzuf¨ uhren. Die zwei entstandenen k¨ urzeren St¨ ucke sind nur mit einem deutlich h¨oheren Kraftaufwand zu zerbrechen. Das Streichholz kann in diesem Fall als ein zweiseitiger Hebel angesehen 15 5 Kraftwandler werden. Beim ersten Bruch sind die beiden Hebelarme noch l¨anger (geringerer Kraftaufwand). Beim Zerbrechen der kurzen St¨ ucke sind die Hebelarme k¨ urzer (gr¨oßerer Kraftaufwand). 3. (a) Der rechte Kraftmesser zeigt F = 450 N an. Welchen Wert zeigt der linke Kraftmesser an? (b) Der Flaschenzug befindet sich im Gleichgewicht. Die lose Rolle hat eine Masse von 1200 g. Welche Gewichtskraft G hat das am Flaschenzug h¨angende Massenst¨ uck? F~ b ~ G L¨ osung: 450 N; 780 N. 16 5 Kraftwandler 4. Die Masse einer losen Rolle betr¨agt 120 g und die des Massenst¨ ucks, dessen Gewichtskraft G ist 5,6 kg. Welchen Betrag hat die Kraft, die n¨otig ist um das Massenst¨ uck auf konstanter H¨ohe zu halten? F~ b ~ G L¨ osung: F = 1 6 (5,6 kg + 3 · 0,120kg) · g = 9,7 N. 5. Potenzflaschenzug (a) Die Gewichtskraft einer losen Rolle betr¨agt 100 N und die des Gewichts G = 800 N. Welchen Betrag F hat die Kraft F~ , mit der du ziehen musst, damit sich der Flaschenzug im Gleichgewicht befindet? F~ (b) Das Massenst¨ uck soll um 2,0 m angehoben werden. Welche Seill¨ange muss du dazu ziehen? (c) Welche Arbeit verrichtest du dabei? b ~ G L¨ osung: 250 N; 8,0 m; 2,0 kJ. 17 6 Dichte 1. Frisch gefallener Schnee hat die Dichte 0, 20 cmg 3 . (a) Welches Gewicht hat eine 30cm dicke Schicht frisch gefallenen Schnees auf einem Flachdach von 20m L¨ange und 10m Breite? (b) Wie viel Liter Wasser entstehen, wenn dieser Schnee schmilzt? (c) Wie viel cm3 Luft sind in 1dm3 Schnee enthalten? Die Masse der Luft ist zu vernachl¨assigen. Quelle: Julia P¨ urkner L¨ osung: (a) m = 12t, G = 0, 12M N (b) Bei der Umwandlung von Schnee in Wasser bleibt die Masse (12t) erhalten. Die Masse der Luft kann vernachl¨ assigt werden. ⇒ 12000l (c) Aus 60m3 Schnee entstehen 12m3 Wasser, also m¨ ussen in Schnee 48m3 Luft enthalten sein. Also sind 45 des Schneevolumens Luft. Damit sind in 1dm3 = 1000cm3 Schnee 800cm3 Luft enthalten. 2. Ein Mann hat die Masse 80,0kg. Er besitzt 5,8l Blut der Dichte 1, 06g/cm3. Wie viel Prozent seiner Gesamtmasse macht das Blut aus? Quelle: Julia P¨ urkner L¨ osung: 7, 6% 3. Wir k¨onnen einen Atomkern vereinfacht als winziges K¨ ugelchen auffassen. Der Radius r eines solchen K¨ ugelchens h¨angt von der Anzahl A der Nukleonen (das sind Protonen √ und Neutronen) im Kern ab. Es gilt r ≈ 1,4 · 10−15 m · 3 A. Ein Nukleon hat etwa eine Masse von mN = 1,67 · 10−27 kg. (a) Sch¨atze die Dichte von Kernmaterie f¨ ur A = 12 ab. (b) Welche Masse h¨atte in etwa ein W¨ urfel der Kantenl¨ange 1,0 cm und der Dichte von Kernmaterie? Wie vielen Mittelkklassewagen einer Masse von jeweils 1,5 t entspricht dies? (c) Welchen Radius h¨atte in etwa eine Kugel der Erdmasse mErde = 5,98 · 1024 kg und der Dichte von Kernmaterie? 18 6 Dichte L¨ osung: (a) ̺ ≈ m V = 4 · 3 A·mN √ 3 (r0 · 3 A) ·π = 3 4π · mN r03 = 1,5 · 1017 (b) 1,5 · 1011 kg; ≈ 97 Mio. q Erde (c) r ≈ 3 3·m 4 π·̺ = 214 m 19 kg , m3 wobei r0 = 1,5 · 10−15 m. 7 Druck 1. W¨ olbung Getr¨ankebecher oder Milchd¨oschen mit abziehbarer Alufolie als Deckel, die im Flugzeug serviert werden, sind immer ein wenig durchgew¨olbt. Warum? Quelle: Prof. Dr. M¨ uller, Zentrum f¨ ur Lehrerbildung, Campus Landau L¨ osung: Der Kabinendruck bei Reiseflugh¨ohe betr¨agt nur ca. 80% des Normaldrucks, die Beh¨ alter werden aber unter Normaldruck bef¨ ullt. Sie stehen also w¨ahrend des Fluges gegen¨ uber der ¨ Kabine unter Uberdruck. 2. Eine Personenwaage kann man sich selbst mit einfachen Mitteln herstellen. In den ¨ St¨opsel einer W¨armflasche bohrt man ein Loch, in das man ein R¨ohrchen klebt. Uber das herausstehende Ende des R¨ohrchen schiebt man das eine Ende eines ca. 2 m langen, d¨ unnen, durchsichtigen Plastikschlauchs. Die Flasche wird vollst¨andig mit Wasser gef¨ ullt, der Schlauch wird vertikal aufgeh¨angt. Als Standfl¨ache ben¨otigt man ein Brett, in unserer Aufgabe soll es 18 cm breit und 20 cm lang sein. 20 7 Druck (a) Im Schlauch steht das Wasser 8 cm hoch. Wie hoch ist der Druck in der W¨armflasche? (b) Jetzt stellt sich ein M¨adchen mit der Masse 45 kg auf das Brettchen. Wie groß ist jetzt der Druck in der W¨armflasche? (c) Wie hoch steigt das Wasser im Schlauch? Quelle: Julia P¨ urkner L¨ osung: (a) 785 mN2 kN (b) 1, 3 cm 2 (c) 1, 3m 3. Ein mit Wasser gef¨ ullter Eimer wird aus einem Brunnen hochgezogen. Wie kommt es, dass man um so mehr Kraft braucht, je weniger sich der zun¨achst ganz untergetauchte Eimer noch im Wasser befindet? 21 7 Druck Quelle: Julia P¨ urkner L¨ osung: Solange der Eimer ganz oder teilweise im Wasser ist, hilft der Auftrieb den Eimer zu heben. 4. Tauchexperiment Auf einer Waage steht ein mit Wasser gef¨ ullter Glaszylinder. An einem Kraftmesser h¨angt ein Metallst¨ uck. Zun¨achst h¨angt das Metallst¨ uck außerhalb des Wassers. Anschließend wird es vollst¨andig eingetaucht. (a) Erl¨autere, wie sich die Messwerte von Kraftmesser und Waage ver¨andern. (b) Wie ¨andern sich die Messwerte, wenn man den Faden, an dem das Metallst¨ uck h¨angt, durchschneidet? Quelle: Bildungsstandards im Fach Physik f¨ ur den Mittleren Schulabschluss, Beschluss vom 16.12.2004 L¨ osung: (a) Der Kraftmesser zeigt die Gewichtskraft auf das Metallst¨ uck (und den Faden) an, die Waage die Masse des gef¨ ullten Zylinders. (b) Nach dem Eintauchen wird die angezeigte Kraft aufgrund der Auftriebskraft verringert. Der Auftrieb bewirkt andererseits eine Erh¨ohung der Anzeige der Waage. 5. Ein Stahlstift wird mit seiner Spitze“ ” der Fl¨ache A = 20 mm2 auf ein Kupferblech aufgesetzt. Mit einem Hammer der Masse m = 400 g wird auf den Stift geschlagen. Der Hammer hat kurz vor dem Aufprall die Geschwindigkeit v = 5,0 ms und wird in der Zeit ∆t = 4,0 · 10−4 s auf null abgebremst. Welchen Druck u ¨bt die Spitze des Stiftes w¨ahrend des Abbremsvogangs des Hammers auf das Kupferblech aus? m v A L¨ osung: a = p= 5,0 ms ∆v m = = 12500 2 −4 ∆t 4,0 · 10 s s =⇒ F = ma = 0,4 kg · 12500 m = 5,0 · 103 N s2 5,0 · 103 N F = = 2,5 · 108 Pa = 2,5 · 102 MPa A 20 · 10−6 m2 6. Ein Langl¨aufer (Skating) gleitet u ¨ber eine Harschdecke, das ist eine harte Schneeschicht u ¨ ber weichem Pulverschnee. Die Harschdecke bricht ein, wenn der Druck auf 22 7 Druck sie gr¨oßer als 90 hPa ist. Wie lang muss ein Ski der Breite b = 6,0 cm mindestens sein, damit der Skater mit der Masse m = 90 kg nicht einbricht? Beachte, dass beim Skaten die meiste Zeit nur ein Ski belastet wird. L¨ osung: 7. Absch¨ atzung der Dichte von Luft Der Luftdruck auf Meeresh¨ohe betr¨agt bei 20 ◦ C im Mittel p0 = 1013 hPa, in Garmisch (700 m u ¨ ber dem Meer) misst man ebenfalls bei 20 ◦C den mittleren Luftdruck p1 = 932 hPa. Sch¨atze mit diesen Daten die Dichte ̺L der Luft bei 20 ◦C ab. Welche Vereinfachungen verwendest du? Ist die tats¨achliche Dichte gr¨oßer oder kleiner als dein berechneter N¨aherungswert? L¨ osung: 8. Eine Wasserpumpe besteht aus einer Luftpumpe P und einer Kammer K. Die Luftpumpe entfernt die Luft aus K, so dass in K idealerweise der Druck p0 = 0 (Vakuum) herrscht. Von K reicht ein Rohr zum tiefer gelegenen Wasser, das heraufgepumpt werden soll. Nicht das Vakuum saugt das Wasser nach oben, sondern der Luftdruck pL an der Oberfl¨ache des unteren Wasserspiegels dr¨ uckt das Wasser hinauf. Welche maximale H¨ohe h kann das Wasser mit dieser Pumpe gehoben werden? K p0 Luft P h pL pL L¨ osung: 9. Quecksilber hat die Dichte ̺ = 13,55 cmg 3 . In welcher Tiefe herrscht in Quecksilber der Druck 1000 hPa? Wie kann man mit Quecksilber und Glasrohren ein Luftdruckmessger¨at (Barometer) bauen? L¨ osung: 10. Das kreisf¨ormige Bullauge einer Tauchglocke hat den Radius r = 15 cm. Welcher Kraft F muss das Bullauge standhalten, wenn die Glocke 11000 m tief taucht (Grund des Marianengrabens)? Welche Masse m hat eine Gewichtskraft, die gleich der Kraft F ist? L¨ osung: 23 7 Druck 11. F¨ ur die Fl¨ ussigkeit in nebenstehend abgebildeter Hydraulik darf angenommen werden, dass sie total inkompressibel ist, sich also nicht zusammendr¨ ucken l¨asst. F1 Stempel 1 A1 (a) Beweise, dass die von der Kraft F1 am Stempel 1 verrichtete Arbeit W1 gleich der vom Stempel 2 verrichteten Arbeit W2 ist. F2 A2 (b) F¨ ur die Hydraulik einer Autopresse gilt: F1 = 8,00 · 103 N Stempel 2 F2 = 4,00 · 106 N A2 = 2500 cm2 . Berechne A1 . Wie weit muss sich der Stempel 1 bewegen, wenn sich Stempel 2 um 1,5 m nach rechts bewegt? Wie kann man das Problem des langen Weges von Stempel 1 technisch l¨osen? L¨ osung: 12. Eis hat die Dichte ̺E = 0,917 cmg 3 . Ein Eisw¨ urfel der Masse mE = 20 g schwimmt in 3 einem Glas mit VW = 200 cm Wasser, die Grundfl¨ache des zylindrischen Glases ist (innen) A = 20 cm2 . Wieviel Prozent des Eisvolumens sind oberhalb des Wassers? Um wieviel steigt der Wasserspiegel, wenn der Eisw¨ urfel ganz schmilzt? L¨ osung: 13. Der F¨ ullstandsanzeiger eines großen Wassertanks besteht aus einem Rohr mit einem gut eingepassten, reibungsfrei beweglichen Stempel der Querschnittsfl¨ache A = 4,00 cm2 und einer Feder mit N der H¨arte D = 196 m . Ohne Wasser (h = 0) schließt der Stempel mit dem linken Ende des Rohrs ab (siehe Abbildung). h=0 A x h h 6= 0 p Der F¨ ullstand des Wassers betr¨agt jetzt h = 5,00 m. Berechne den Druck p am Boden des Tanks, die Kraft F auf den Stempel und die Strecke x, um die die Feder zusammengedr¨ uckt wird. L¨ osung: p = ̺Wasser gh = 1000 F = pA = 49050 N kg · 9,81 · 5 m = 49050 Pa ≈ 491 hPa 3 m kg N · 4 · 10−4 m2 = 19,62 N ≈ 19,6 N m2 24 7 Druck F = Dx =⇒ x= F 19,62 N = 0,100 m = 10,0 cm = N D 196 m 14. Ein Aluquader mit den Kantenl¨angen a = 5,00 cm, b = 7,00 cm und c = 9,00 cm h¨angt an einer Federwaage, die die Kraft F1 = 8,35 N anzeigt. Welche Kraft F2 zeigt die Waage an, wenn der ganze Quader in ein mit Wasser gef¨ ulltes Gef¨aß getaucht wird? F1 F2 L¨ osung: Auftrieb = Gewichtskraft des verdr¨angten Wassers: g N N FA = ̺Wasser V g = 1 · 5 · 7 · 9 cm3 · 9,81 = 0,315 kg · 9,81 = 3,09 N cm3 | {z } kg kg 315 F2 = F1 − FA = 8,35 N − 3,09 N = 5,26 N 25 Teil II Kinematik 26 8 Gleichf¨ ormige Bewegung 1. Grundwissen (a) Ein PKW f¨ahrt mit der konstanten Geschwindigkeit v = 126 km auf der Autoh bahn. Wie lange braucht das Auto f¨ ur eine 200 m lange Strecke? (b) Wird ein geeichtes 50 g-St¨ uck an eine Feder geh¨angt, dann dehnt sich diese um 7,5 cm. H¨angt man statt dessen einen Schl¨ ussel an die gleiche Feder, dann dehnt sie sich um 4,8 cm. Welche Masse hat der Schl¨ ussel? L¨ osung: (a) v = 126 m km = 35,0 , ∆x = v∆t h s =⇒ ∆t = ∆x 200 m = 5,71 s = v 35,0 ms (b) Dx1 = m1 g =⇒ N 0,05 kg · 9,81 kg m1 g N N D= = 0,065 = 6,5 = x1 7,5 cm cm m Dx2 = m2 g =⇒ m2 = Dx2 = g m1 g x1 · x2 g = m 1 x2 = 32 g x1 2. In einem Kursbuch der Bundesbahn wird u unchen-Murnau infor¨ber die Strecke M¨ miert. Links sind die L¨angen der Streckenabschnitte in km und rechts Ankunfts-und Abfahrtszeiten angegeben. km 0 20 50 78 Ort M¨ unchen Hbf ab Tutzing an Tutzing ab Weilheim Weilheim Murnau an Zeit 7.00 7.30 7.35 7.45 7.50 8.05 (a) Erstelle mit den Daten aus der Tabelle ein Zeit-Orts-Diagramm. (b) Lies aus dem Diagramm ab: Zwischen welchen Haltepunkten f¨ahrt der Zug (im Mittel) am schnellsten und zwischen welchen f¨ahrt er am langsamsten? Begr¨ undung mit Hilfe des Diagramms, keine Rechnung! (c) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen M¨ unchen und Murnau in km/h. (d) Welche Zeit (in Minuten) w¨ urde der Zug mit der in Teilaufgabe (c) berechneten Geschwindigkeit f¨ ur eine Strecke von 60km ben¨otigen? 27 8 Gleichf¨ormige Bewegung Quelle: Julia P¨ urkner L¨ osung: (a) Zeit-Orts-Diagramm. (b) Zwischen Tutzing und Weilheim ist der Zug am schnellsten, da dort die Steigung der Geraden am gr¨ oßten ist. Zwischen M¨ unchen und Tutzing ist der Zug am langsamsten, da dort die Steigung der Geraden am kleinsten ist. (c) v = x t = 78km 1,083h (d) t = x v = 60km 72 km h = 72 km h = 50min 3. Untersuche die folgenden Bewegungen auf Gleichf¨ormigkeit: a) L¨ osung: (a) t s x m 0 1 1,5 3 4 -30 -18 -12 8 20 b) t s x m 0 1 1,5 3 4 -30 -18 -12 6 18 −18 − (−30) −12 − (−18) 8 − (−12) 40 20 − 8 = 12, = 12, = 6= 12, = 12 1−0 1,5 − 1 3 − 1,5 3 4−3 =⇒ nicht gleichf¨ ormig! (b) gleichf¨ ormig! km m 4. (a) Rechne v = 1 cm um auf m s , h und d ! h 28 8 Gleichf¨ormige Bewegung (b) Rechne die Lichtgeschwindigkeit um auf km und mm ns ! h (c) Auf dem Planeten Dideldum gilt f¨ ur L¨angen die Beziehung 1 Trara = 250 Trari und f¨ ur Zeiten 1 Truru = 50 Triri. Trari Trara Trari Rechne v1 = 75 Trara Triri auf Truru und v2 = 75 Truru auf Triri um! m 1 km m m cm = = 2,7 = 10−5 = 0,24 h 360 000 s s h d m km mm (b) c = 3 · 108 = 1,08 · 109 = 300 s h ns Trari Trara Trari Trara = 937 500 , v2 = 75 = 375 (c) v1 = 75 Triri Truru Truru Triri L¨ osung: (a) v = 1 5. Ein Auto f¨ahrt mit konstanter Geschwindigkeit v auf der Autobahn. Eine Stoppuhr am Lenkrad zeigt bei km 65 die Zeit 00:11:28 und bei km 82,5 die Zeit 00:19:48 an. km (a) Berechne die Geschwindigkeit des Autos in m s und in h ! (b) Bei welchem Kilometer wurde die Stoppuhr gestartet? (c) Wie lange war das Auto vom Beginn der Autobahn bis zum Starten der Stoppuhr unterwegs? L¨ osung: (a) v = 17,5 km m km (82,5 − 65) km = = 35 = 126 (8 · 60 + 20) s 500 s s h (b) x(t) = x0 + v · t, x0 = x(t) − v t = 65 km − 35 ms · (11 · 60 + 28) s = 40,92 km ≈ 41 km x0 = 1169 s ≈ 1,2 · 103 s (c) t0 = v 6. Bei km 30 auf der Autobahn M¨ unchen-Stuttgart findet ein Raub¨ uberfall statt. Der in T¨ater fl¨ uchtet mit seinem klapprigen Auto mit der Geschwindigkeit v1 = 80 km h Richtung Stuttgart. Zwanzig Minuten sp¨ater nimmt ein Polizeiauto vom Autobahnbeginn aus mit v2 = 150 km die Verfolgung auf. h (a) Zeichne die Weltlinien beider Autos in ein Diagramm! Verwende die Einheiten 10 min = b 1 cm und 20 km = b 1 cm! (b) Wann und wo holt die Polizei den T¨ater ein? Grafische und rechnerische L¨osung! 29 8 Gleichf¨ormige Bewegung L¨ osung: Die Startzeit sei t0 = 0. x km x1 (t) = 30 km + 80 km h ·t km 1 · (t − h) = h 3 km = −50 km + 150 ·t h x2 (t) = 0 km + 150 tT = 8 7 100 =⇒ (t ) (t) x1 x2 : ter Ta¨ Po liz ei: Treffpunkt: x1 (t) = x2 (t) T xT 80 60 h ≈ 1 h 9 min 20 xT = 121 km 60 20 t min tT 7. Zwei Raumstationen S1 und S2 sind 5000 km voneinander entfernt. Zur Zeit t0 = 0 startet eine Rakete R1 mit einem Geschwindigkeitsbetrag von |v1 | = 500 km von S1 h aus in Richtung nach S2 . Eine Stunde sp¨ater startet eine weitere Rakete R2 mit von S2 nach S1 . Wann und wo begegnen sich die beiden Raumschiffe? |v2 | = 2000 km h Rechnung und tx-Diagramm (1 h = b 2 cm, 1000 km = b 1 cm)! L¨ osung: R1 : x1 (t) = 500 km h ·t x km R2 : x2 (t) = 5000 km − 2000 km h · (t − 1 h) = 5000 = 7000 km − 2000 km h ·t x1 (T ) = x2 (T ) =⇒ T = 2,8 h x(T ) = 1400 km 1000 1 2 T 4 t h 8. In Bagdad wird dem Kalifen um 1:00 Uhr nachts (t1 ) ein Pferd gestohlen. Der Dieb ergreift sofort die Flucht und legt dabei pro Stunde die Strecke 11 km 200 m zur¨ uck. Um 7:00 Uhr morgens (t2 ) wird der Diebstahl entdeckt und der Kalif selbst reitet dem Dieb auf der Stelle mit seinem besten Pferd nach. Der Kalif legt dabei in einer Stunde einen Weg von 14 km 400 m zur¨ uck. Wann (T ) und in welcher Entfernung von Bagdad (X) wird der Dieb gestellt? Rechne zun¨achst in allgemeinen Gr¨oßen und setze erst in die fertigen Ergebnisse die angegebenen Zahlenwerte ein. km km · (t − 1 h) = 11,2 · t − 11,2 km h h km km · (t − 7 h) = 14,4 · t − 100,8 km xK (t) = 14,4 h h xD (T ) = xK (T ) =⇒ T = 28 h (4 : 00 am n¨achsten Tag) L¨ osung: xD (t) = 11,2 30 8 Gleichf¨ormige Bewegung X = xD (T ) = 302,4 km ≈ 302 km 9. Kurze Ultraschallimpulse werden in einem zeitlichen Abstand von ∆T = 0,75 s von hinten auf ein durch Garmisch fahrendes Auto gerichtet, dort reflektiert und am Ort des Senders in einem zeitlichen Abstand von ∆t = 0,85 s wieder registriert. Berechne die Geschwindigkeit v des Autos! (Es herrscht Windstille und eine Temperatur von 20 ◦C; die Schallgeschwindigkeit bei 20 ◦C betr¨agt cs = 340 ms .) ¨ Zeichne als Uberlegungsfigur ein u ¨ bersichtliches tx-Diagramm! L¨ osung: δ = 21 (∆t − ∆T ) ∆t1 = ∆T + δ = 21 (∆t + ∆T ) Auto ∆x = c · δ ∆x c(∆t − ∆T ) v= = ∆t1 ∆t + ∆T c m km v= = 21,25 = 76,5 16 s h ∆x ∆T δ ∆T ∆T ∆t 10. Die Autos 1 und 2 fahren mit den konstanten Geschwindigkeiten v1 und v2 (v1 > v2 ) in die gleiche Richtung auf der Landstraße. Auto 1 befindet sich zun¨achst hinter ¨ Auto 2 und setzt zum Uberholen an. ¨ (a) Berechne die L¨ange L des gesamten Uberholweges von Fahrzeug 1 , ausgedr¨ uckt durch die Geschwindigkeiten v1 und v2 , die Fahrzeugl¨angen s1 und s2 sowie durch den Sicherheitsabstand a, der beim Ausscheren wie beim Einscheren eingehalten werden muss. (b) F¨ ur den Sicherheitsabstand gilt die Faustformel a = halber Tachostand, d.h. der . Der Zahlenwert von a in Metern ist gleich dem halben Zahlenwert von v1 in km h Sicherheitsabstand ist also proportional zur Geschwindigkeit, d.h. a = α · v1 . Berechne α in einer m¨oglichst einfachen Einheit. (c) Setze a = α · v1 in den Ausdruck f¨ ur L ein. Im Folgenden sei s1 = s2 = 5 m und . Zeichne den Grafen der Funktion L(v1 ). Berechne dazu L f¨ ur v2 = 100 km h km km km km km km km v1 ∈ 105 h , 110 h , 120 h , 140 h , 160 h , 200 h , 300 h . (d) Jetzt sei v1 = konst. = 100 km . Zeichne L(v2 ) in das gleiche Diagramm wie in Teih laufgabe (c). Berechne dazu L f¨ ur v2 ∈ 10 km , 50 km , 70 km , 80 km , 90 km , 95 km . h h h h h h 31 8 Gleichf¨ormige Bewegung v1 L¨ osung: (a) Wir denken uns die Autos vorne und hinten um je einen halben Sicherheitsabstand verl¨angert. Wenn der Anfang A1 des verl¨angerten Autos 1 auf das Ende E2 des verl¨ angerten Autos 2 trifft ¨ beginnt der Uberholvorgang (Zeit¨ nulpunkt). Der Uberholvorgang endet zur Zeit T , wenn E1 auf A2 trifft. A2 : x2 (t) = g2 + v2 t E1 : x1 (t) = −g1 + v1 t A1 E 2 E1 a 2 a 2 s1 g1 A2 a 2 x s2 g2 a 2 A1 E1 A2 E2 g2 Aus x1 (T ) = x2 (T ) folgt T = v2 L g1 + g2 s1 + s2 + 2a = v1 − v 2 v1 − v 2 T t und damit −g1 v1 (s1 + s2 + 2a) L = v1 T = v1 − v 2 (b) Der Geschwindigkeit v1 = 100 km h entspricht der Sicherheitsabstand a = 50 m, d.h. α= 50 m 50 m · 3600 s a = = 1,8 s = 0,0005 h = km v1 100 000 m 100 h (c) Im Folgenden seien v1′ und v2′ die reinen Zahlenwerte der Geschwindigkeiten, d.h. v1 = ′ km v1′ km h und v2 = v2 h . L= v′ v1 (s1 + s2 + 2αv1 ) = 1 v1 − v2 v1′ L in m 105 2415 km ′ km h (10 m + 0,001 h · v1 h ) km v1′ km h − 100 h 110 1320 120 780 140 525 160 453 = 200 420 v1′ (10 + v1′ ) m v1′ − 100 300 465 L in m 1400 1200 v1 v2 1000 800 Min. bei v1′ ≈ 210 600 400 200 0 v in 0 50 100 150 32 200 250 300 km h 350 400 8 Gleichf¨ormige Bewegung km 100 km v1 (s1 + s2 + 2αv1 ) 11000 h (10 m + 0,001 h · 100 h ) (d) L = m = = km km ′ v1 − v 2 100 − v2′ 100 h − v2 h v2′ L in m 0 110 10 122 50 220 70 367 80 550 90 1100 95 2200 11. Herr Wilhelm geht mit seiner Frau Kathi zum Langlaufen. Beide Sportler starten gleichzeitig und laufen mit der konstanten Geschwindigkeit v1 in der Loipe der Gesamtl¨ange s. Nachdem sie die Strecke x0 gelaufen sind, kehrt Kathi um, l¨auft mit dem konstanten Geschwindigkeitsbetrag v2 = 1,5v1 zur¨ uck zum Startpunkt, holt in nullkommanichts ihre vergessenen Handschuhe aus dem Auto und spurtet ihrem Mann wieder nach. Herr Wilhelm bewegt sich immer mit der konstanten Geschwindigkeit v1 , Kathi ab dem Verlassen ihres Mannes immer mit dem konstanten Geschwindigkeitsbetrag v2 . Die schnelle und schlaue Kathi hat den Umkehrpunkt x0 so gew¨ahlt, dass sie ihren Mann genau am Ende der Loipe einholt. Veranschauliche den ganzen Vorgang in einem qualitativen und ausf¨ uhrlich beschrifteten tx-Diagramm und berechne x0 als Vielfaches von s. L¨ osung: In der Zeit ∆t, in der Herr Wilhelm die Strecke s − x0 mit der Geschwindigkeit v1 zur¨ ucklegt, l¨ auft Kathi mit der Geschwindigkeit v2 die Strecke s + x0 : ∆t = s s + x0 s − x0 = v1 1,5 v1 s − x0 v1 v2 1,5 s − 1,5 x0 = s + x0 x0 = x 0,5 s s = = 0,2 s 2,5 5 x0 ∆t t 12. Der K¨orper K bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v. WL sei die Weltlinie von K in einem tx-Diagramm mit folgenden Einheiten: - 1 cm auf der t-Achse entspricht die Zeit t∗ - 1 cm auf der x-Achse entspricht der Weg x∗ (a) Wie berechnet man den Winkel ϕ, den WL mit der t-Achse einschließt? (b) Berechne ϕ f¨ ur v = 86,4 km , t∗ = 5 s und x∗ = 200 m! h 33 8 Gleichf¨ormige Bewegung L¨ osung: x (a) Da Weltlinien zu gleichen Geschwindigkeiten parallel sind, k¨ onnen wir annehmen, dass unsere Weltlinie durch den Ursprung geht: tan ϕ = (b) v = 24 x x∗ t t∗ cm vt∗ xt∗ = ∗ = ∗ tx x cm m , tan ϕ = 0,6, s ϕ = 31◦ x∗ t t∗ 13. Familie Mittelmaß f¨ahrt mit ihrem Wohnmobil mit der konstanten Geschwindigkeit v1 = 70 km in den sonnigen S¨ uden, die Startzeit sei t0 = 0. Das Wohnmobil wird h von Sohn Willi auf dem Motorrad begleitet. Zur Zeit t1 = 1 h bemerkt Frau Mittelmaß, dass sie ihre neue Designer-Sonnenbrille vergessen hat. Willi rast sofort mit der zur¨ uck zur Wohnung, holt ohne Zeitverz¨ogekonstanten Geschwindigkeit v2 = 105 km h rung die Brille und verfolgt das unbeirrt weiterfahrende Wohnmobil wiederum mit der Geschwindigkeit v2 , das er dann zur Zeit t3 am Ort x3 einholt. Dr¨ ucke t3 und x3 durch t1 , v1 und v2 aus und setze dann die Zahlenwerte ein! Zeichne das tx-Diagramm aller Bewegungen (1 h = b 2 cm, 100 km = b 2 cm)! x km L¨ osung: Wohnmobil: x(t) = v1 t, x1 = x(t1 ) = v1 t1 = 70 km Willi zur¨ uck zur Wohnung: 350 300 xw1 (t) = x1 − v2 (t − t1 ) Willi erreicht die Wohnung zur Zeit 2 v1 t1 = 1 h = 1 h 40 min t2 = t1 + v2 3 Willi verfolgt Wohnmobil: xw2 (t) = v2 (t − t2 ) Treffpunkt zur Zeit t3 am Ort x3 : v1 t3 = v2 (t3 − t2 ) =⇒ t3 = 200 x(t) xw2 (t) 100 x1 xw1 (t) t2 1 t1 v1 )t1 v2 t 2 (v2 + = v2 − v 1 v2 − v 1 2 = 5 h, 3 4 5 t3 t h x3 = v1 t3 = 350 km 14. Der b¨ose Blofield startet zur Zeit t1 = 60 s am Ort x = 0 mit einer Phantom und einer Atombombe an Bord in Richtung Buckingham-Palast, der sich am Ort x20 = 100 km befindet. Blofields Geschwindigkeit ist v1 = 300 ms . James Bond, der alles schon im Voraus weiß, startete bereits zur Zeit Null am Buckinham-Palast und fliegt Blofield mit seinem Minisuperjet entgegen. Bond legt dabei in der Minute 30 km zur¨ uck. Bond hat Abwehrraketen an Bord, die in einer Sekunde 1200 m u ucklegen ¨ ber Grund zur¨ und genau ∆t = 36 s nach dem Abschuss detonieren. 34 8 Gleichf¨ormige Bewegung (a) Zeichne in ein tx-Diagramm die Weltlinien von Blofield und Bond ein (20 s = b 1 cm und 20 km = b 1 cm). (b) Stelle die Gleichungen x1 (t) und x2 (t) der Weltlinien von Blofield und Bond auf. Zu welcher Zeit tT und an welchem Ort xT treffen die Beiden aufeinander? (c) Zu welcher Zeit T muss Bond seine Rakete gegen Blofield abfeuern, damit sie genau beim Zusammentreffen mit Blofield explodiert? Zeichne die Weltlinie der richtig abgefeuerten Rakete in das schon vorhandene Diagramm ein. Hilfe: Dr¨ ucke zun¨achst den Startort x30 und die Aufprallzeit T0 der Rakete durch T aus! L¨ osung: (b) Geschw. Bond: v2 = −500 ms Geschw. Rakete: v3 = −1200 ms Blofield: x1 (t) = v1 (t − t1 ) Bond: x2 (t) = x20 + v2 t x1 (tT ) = x2 (tT ) =⇒ 118000 m x20 + v1 t1 = = tT = v1 − v 2 800 ms = 147,5 s, x km T0 = T + ∆t = 116 s 100 X0 = x1 (T0 ) = 16,8 km 80 x30 40 ∆x ∆t 20 X0 xT = 26,25 km 20 60 t1 T 100 T0 tT 160 200 t s (c) Rakete startet zur Zeit T am Ort x30 = x2 (T ) = x20 + v2 T . In der Zeitspanne ∆t = 36 s legt die Rakete ∆x3 = 43200 m und Blofield ∆x1 = 10800 m zur¨ uck. Zur Zeit T sind Blofield und Rakete also ∆x = ∆x1 + ∆x3 = 54000 m voneinander entfernt: x2 (T ) − x1 (T ) = x20 + v2 T − v1 (T − t1 ) = ∆x T = x20 + v1 t1 − ∆x (100000 + 18000 − 54000) m 64000 m = = = 80 s m v1 − v 2 800 s 800 ms 15. Herr Gsundsama l¨auft fr¨ uhmorgens mit der konstanten Geschwindigkeit v von seinem Gartentor (x = 0) zum B¨ uro. Zur Zeit t1 = 10 s startet sein Hund Fiffi ebenfalls am Tor, l¨auft zu seinem Herrchen, kehrt sofort um, erreicht zur Zeit t2 = 50 s das Tor, l¨auft wieder zu seinem Herrchen, kehrt wieder um und und bleibt zur Zeit t3 = 150 s ersch¨opft am Tor stehen. W¨ahrend des gesamten Laufs betrug Fiffi’s Geschwindigkeitsbetrag 7 ms . (a) Zeichne die Weltlinien von Hund und Herrchen in ein tx-Diagramm mit den Einheiten 50 m = b 1 cm und 100 s = b 5 cm. Berechne v in ms und in km ! Schreibe h Herrn Gsundsama’s x(t) in einer m¨oglichst einfachen Form hin! (b) Nach einer kurzen Rast startet Fiffi um t4 = 200 s einen erneuten Lauf zum Herrchen und zur¨ uck. Wie schnell muss er laufen (in km ), damit er zur Zeit h t5 = 500 s wieder am Tor ankommt? 35 8 Gleichf¨ormige Bewegung L¨ osung: (a) Umkehrpunkte Fiffi: t1 + t2 T1 = = 30 s 2 t2 + t3 T2 = = 100 s 2 m X1 = 7 · (T1 − t1 ) = 140 m s m X2 = 7 · (T2 − t2 ) = 350 m s Herr Gsundsama: X2 − X1 m v= =3 T2 − T1 s x m x(t) X2 300 200 X1 100 X0 10 t1 x(t) = X1 + v(t − T1 ) = 50 | {zm} +vt 30 T1 50 t2 100 T2 150 t3 200 t s x0 (b) T3 = t4 + t5 X3 km 22 m = 350 s, X3 = x(T3 ) = 1100 m, vFiffi = = 26,4 = 2 T3 − t4 3 s h 16. Die Geschwindigkeit einer zur Zeit t0 = 0 startenden Rakete ist durch   1 m v(t) = −1800 · lg 1 − 0,01 · t s s gegeben. Berechne den in den ersten 80 s nach dem Start zur¨ uckgelegten Weg der Rakete n¨aherungsweise mit der Mid-Point-Rule“. Zerlege dazu das gesamte Zeitin” tervall in vier Teilintervalle. Zeichne den Grafen der Funktion v(t) (t = 10 s = b 1 cm, v = 200 ms = b 1 cm) und veranschauliche die Berechnung des Weges! Wie groß ist der relative Fehler des berechneten Weges, wenn das exakte Ergebnis 37375 m lautet? v L¨ osung: ∆t = 80 s : 4 = 20 s m s 1400 ∆x ≈ [v(10 s) + v(30 s)+ +v(50 s) + v(70 s)] · 20 s = 1000 +941,18] · 20 m = 36884 m 600 36884 − 37375 = −1,3% 37375 200 = [82,36 + 278,82 + 541,85+ δrel = 0 0 10 30 50 70 t s 17. Wie kannst du w¨ahrend einer Autofahrt auf einer Bundesstraße oder einer Autobahn deine Geschwindigkeit ohne Verwendung des Tachometers bestimmen? Welche Ursachen kann eine Abweichung des von dir ermittelten Werts von dem, den das Tachometer anzeigt haben? 36 8 Gleichf¨ormige Bewegung L¨ osung: F¨ ur die Geschwindigkeit ergibt sich eine individuelle L¨ usung. Im Wesentlichen wird hier die Momentangeschwindigkeit ermittelt. Abweichungen von der Momentangeschwindigkeit, die das Tachometer anzeigt, sind darin begr¨ undet, dass die mittlere Geschwindigkeit auf einer Wegstrecke von 50 m gemessen wird, dass die Zeitmessung ungenau ist und dass ein Tachometer in der Regel ,,vorgeht”. 18. Die Entfernung zwischen Mnchen Hbf und Nrnberg Hbf betr 199 km. (a) Wie lange bentigt ein Zug von Mnchen nach Nrnberg, wenn er mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 150 km ft? h (b) Der ICE 12345 startet um 10.00 Uhr in Mnchen und der ICE 67890 um 10.15 Uhr in Nrnberg. Beide fahren mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 180 km . h Wann begegnen sich die beiden Zge? L¨ osung: (a) v = s t ⇒ t= s 199 km = = 1,33 h = 1 h 20 min v 150 km h (b) t bezeichnet ausgehend von 10.00 Uhr die Fahrzeit nach der sich die beiden Zge begegnen. Damit gilt: v · t + v · (t − 15 min) = 180 km 2 v t − 45 km = 180 km 2 v t = 225 km t= 225 km = 37,5 min 360 km h Die Zge begegnen sich um 10.38 Uhr. 19. Aus dem Fahrplan der eingleisigen Bahnstrecke Garmisch–Partenkirchen–Murnau ist folgender Fahrplanauszug gegeben: km 0 9 14 19 29 Haltestelle Garmisch–Partenkirchen Oberau Eschenlohe Ohlstadt Murnau RB21883 Ankunft Abfahrt 7:16 7:07 7:08 7:01 7:02 6:57 6:57 6:51 RB21892 Ankunft Abfahrt 6:56 7:03 7:09 7:15 7:16 7:20 7:21 7:28 (a) Stelle die Fahrt der beiden Z¨ uge in einem graphischen Fahrplan (= gemeinsames Zeit–Ort–Diagramm, t–s–Diagramm) dar. (DIN A4 quer, Maßstab auf der Zeitachse: 1 cm f¨ ur 2 min, Bereich 6:50 Uhr ≦ 7:40 Uhr, Maßstab auf der Ortsachse: 1 cm f¨ ur 2 km) 37 8 Gleichf¨ormige Bewegung (b) Berechne die Geschwindigkeit der Z¨ uge auf den einzelnen Streckenabschnitten. Wie kann man die daf¨ ur ben¨otigten Daten aus der Tabelle, wie aus dem Diagramm entnehmen? (c) Auf welchem Abschnitt ist welcher Zug am langsamsten, wo welcher am schnellsten? Woran erkennt man dies im Diagramm? (d) Der Zug RB21892 muss gleich nach dem ersten Streckenabschnitt in Oberau 6 min warten, um den Gegenzug passieren zu lassen. Wie erkennt man diese Situa¨ tion im Diagramm? Uberlege dir Optimierungsm¨oglichkeiten f¨ ur den Fahrplan. (e) Der Zug RB21883 hat Versp¨atung. Ab welcher Versp¨atung w¨are es sinnvoll, den Zug RB21892 in Oberau nicht warten zu lassen, um die Z¨ uge in einem anderen Ort passieren zu lassen? Probiere graphisch verschiedene M¨oglichkeiten aus. L¨ osung: (a) t–s–Diagramm: 0 auf der t–Achse entspricht der Uhrzeit 6:50 Uhr. s in km 30 RB21883 RB21892 20 10 0 t in min 0 10 20 (b) RB21883: Garmisch–Partenkirchen–Oberau: 9 km km 9 km − 0 km = = 67,5 7 h 16 min − 7 h 8 min 8 min h Oberau–Eschenlohe: 38 30 8 Gleichf¨ormige Bewegung 14 km − 9 km 5 km km = = 60 7 h 7 min − 7 h 2 min 5 min h Eschenlohe–Ohlstadt: 19 km − 14 km 5 km km = = 75 7 h 1 min − 6 h 57 min 4 min h Ohlstadt–Murnau: 29 km − 19 km 10 km km = = 100 6 h 57 min − 6 h 51 min 6 min h RB21892: Garmisch–Partenkirchen–Oberau: 9 km km 9 km − 0 km = = 77 7 h 3 min − 6 h 56 min 7 min h Oberau–Eschenlohe: 14 km − 9 km 5 km km = = 50 7 h 15 min − 7 h 9 min 6 min h Eschenlohe–Ohlstadt: 5 km km 19 km − 14 km = = 75 7 h 20 min − 7 h 16 min 4 min h Ohlstadt–Murnau: 29 km − 19 km 10 km km = = 86 7 h 28 min − 7 h 21 min 7 min h (c) Beide Z¨ uge sind auf dem Abschnitt von Eschenlohe nach Oberau am schnellsten. Im Diagramm erkennt man das, dass auf diesen Abschnitten die Linien am steilsten sind. (d) Das Warten eines Zuges erkennt man im Diagramm, dass die Linie waagrecht verl¨auft. Die beiden Z¨ uge fahren aneinander vorbei, wenn sich ihre Linien schneiden. Man k¨ onnte die RB21892 4 Minuten sp¨ater losfahren lassen. (e) Die beiden Z¨ uge sollten dann in Eschenlohe aneinander vorbeifahren. Die RB21892 ist um 7:15 Uhr in Eschenlohe, die RB21883 normalerweise um 7:01 Uhr. Das heißt die RB21883 sollte dazu 14 Minuten Versp¨atung haben. 20. Fahrplanauszug 39 8 Gleichf¨ormige Bewegung km Ort 0 18 18 36 55 55 95 Mittenwald ab Garmisch-Partenkirchen an Garmisch-Partenkirchen ab Murnau ab Weilheim an Weilheim ab M¨ unchen Hbf an RB5200 ICE110 6.00 6.20 6.35 7.00 7.15 7.20 7.55 8.00 8.20 8.25 8.50 9.00 9.05 9.25 (a) Erstelle ein t–s–Diagramm und ein t–v–Diagramm; trage f¨ ur jeden Zeitpunkt der Fahrt Ort und Geschwindigkeit f¨ ur jeden der beiden Z¨ uge (mit jeweils unterschiedlicher Farbe) in das zugeh¨orige Diagramm. (b) Vergleiche die Linien der beiden Z¨ uge im t–s–Diagramm zwischen Weilheim ab und M¨ unchen Hbf an. Welche Aussage kannst du u ¨ ber die beiden Geschwindigkeiten aus der Steigung der beiden Linien machen? (c) Ermittle die Geschwindigkeit des ICE110 zwischen je zwei Haltestellen. (d) Ermittle die Durchschnittsgeschwindigkeit der beiden Z¨ uge zwischen Mittenwald und M¨ unchen. L¨ osung: 21. Nach der Reiskornlegende durfte der Erfinder des Schachspiels an den indischen Herrscher Shihram, den das Spiel sehr erfreute, einen Wunsch richten. Er w¨ unschte sich, dass auf das erste Feld ein Reiskorn gelegt wird, auf das zweite doppelt so viele Reisk¨orner wie auf das erste, auf das dritte doppelt so viele wie auf das zweite usw. Zun¨achst l¨achelte der Herrscher u ¨ ber die Bescheidenheit dieses Wunsches, etwas sp¨ater wurde er sehr zornig. (a) Vervollst¨andige die nachstehende Tabelle: Feldnummer 1 2 3 4 5 6 ... 63 64 K¨orner auf Feld als Zahl als 2–er Potenz ... ... 40 als Zahl K¨orner auf Brett mit 2–er Potenz geschrieben ... ... 8 Gleichf¨ormige Bewegung (b) Reis hat eine Dichte von etwa 1,39 cmg 3 . Zwanzig Reisk¨orner haben etwa eine Masse von 1 Gramm. Der vierachsige G¨ uterwaggon UIC 571–2 hat eine L¨ange u ¨ber Puffer von 16,52 m und einen Laderaum vom Volumen 105 m3 . Wie lang m¨ usste ein Zug bestehend aus solchen Waggons sein, damit man den gesamten Reis, der sich auf dem Schachbrett befindet, transportieren kann? Die L¨ange der Lok darfst du vernachl¨assigen (eventuell wird eine Lok zum Ziehen dieser Waggons nicht ausreichen). (c) Wie lange m¨ usstest du an einem beschrankten Bahn¨ ubergang warten, bis der Zug vorbeigefahren ist, wenn du annimmst, dass der Zug mit einer konstanten Geschwindigkeit von 100 km f¨ahrt? h L¨ osung: (a) Vervollst¨ andige die nachstehende Tabelle: Feldnummer 1 2 3 4 5 6 ... 63 64 K¨ orner auf Feld als Zahl als 2–er Potenz 1 2 4 8 16 32 ... 20 21 22 23 24 25 ... 262 263 Zahl K¨orner auf Brett mit einer 2–er Potenz geschrieben 21 − 1 22 − 1 23 − 1 24 − 1 25 − 1 26 − 1 ... 63 2 −1 264 − 1 1 3 7 15 31 63 ... (b) Es befinden sich 264 − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 Reisk¨orner auf dem Schachbrett. Diese haben eine Masse von etwa m = 922 337 203 685 477 kg. Sie nehmen ein Volumen von V = Daf¨ ur brauchen wir 663 551 945 097 m3 105 m3 m ̺ = 922 337 203 685 477 kg 1,39·103 kg3 m ≈ 663 551 945 097 m3 = 6 319 542 334 Waggons. Diese haben eine L¨ ange von 6 319 542 334 · 16,52 m ≈ 104 398 839 km. In Worten: Etwa 104 Millionen Kilometer! (c) Am Bahn¨ ubergang muss man 104 398 839 km 100 km h ≈ 1 043 988 h ≈ 119 a warten. Hinweis: Die Ergebnisse wurden mit einem Computeralgebra–System u ¨ber alle Maßen genau berechnet. Selbstverst¨ andlich k¨onnen die Ergebnisse auch unter Verwendung von 10– er–Potenzen formuliert werden. 41 9 Weg im tv-Diagramm 1. Rennwagen (a) Beschreibe die Fahrt des Rennwagens. (b) Wie weit kommmt der Rennwagen in den ersten vier Minuten, wie weit kommt er u ¨ber den gesamten Zeitraum? (c) Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit u ¨ ber den gesamten Zeitraum ungef¨ahr? (d) Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen der dritten und f¨ unften Minute ungef¨ahr? (e) Wann ¨andert sich die zur¨ uckgelegte Wegl¨ange pro Minute am st¨arksten, wann am wenigsten? (f) Skizziere eine m¨ogliche Strecke, die der Wagen gefahren sein kann. Erkl¨are deine Strecke mit den Ergebnissen aus a)bis e). (g) Skizzieren den dazugeh¨origen Zeit-Geschwindigkeits-Graphen. (h) In welchen Phasen beschleunigt bzw. , bremst das Fahrzeug? Erkl¨are deine Vermutung erst am Zeit-Weg-Graphen, dann am Zeit-Geschwindigkeits-Graphen. Wo ist sie leichte zu erkl¨aren? Quelle: Ver¨anderungen verstehen - aus qualitativer Sicht, Stefan Hußmann, PM Heft 31, Februar 2010, 52.Jg, S. 4-8 42 9 Weg im tv-Diagramm L¨ osung: (a) . (b) 15km, 30km (c) 180km/h (d) 8km 2min = 240km/h ¨ (e) Gr¨ oßte Anderung des zur¨ uckgelegten Weges heißt gr¨oßte Geschwindigkeit. Diese heißt maximale Steigung des Zeit-Orts-Graphe, also bei 0s. Kleinste ¨ anderung nach analogen Argumenten zwischen 1, 5s und 2, 5s, 5s und 6s und ab 9s. 2. Geschwindigkeit Der Graph zeigt einen Geschwindigkeitsverlauf. (a) Erkl¨are, warum die markierten Punkte besondere Punkte im Verlauf sind. (b) Gib den Punkten Namen und erkl¨are, woran man solche Punkte im Graphen erkennen kann. (c) Skizziere den Beschleunigungsgraphen. (d) Erkl¨are die Eigenschaften der beiden Punkte noch einmal, nur dieses Mal alleine mit Hilfe des Beschleunigungsgraphen. (e) Welcher Punkt l¨asst sich einfacher mit dem Geschwindigkeitsgraphen erl¨autern, welcher mit dem Beschleunigungsgraphen? (f) Nun gibt die Hochachse die Schneeh¨ohe in cm und die Rechtsachse die Zeit in Tagen. Wiederhole die Aufgabenstellung a) bis e). Was f¨allt auf? Denke dir andere sinnvolle Beschriftungen f¨ ur die Achsen aus. nach: Ver¨anderungen verstehen - aus qualitativer Sicht, Stefan Hußmann, PM Heft 31, Februar 2010, 52.Jg, S. 4-8 43 9 Weg im tv-Diagramm L¨ osung: (a) maximale Beschleunigung, maximale Geschwindigkeit (b) gr¨ oßte Steigung, Maximum (c) . (d) Maximum, Nullstelle 3. Ein Nahverkehrszug f¨ahrt die 200 km lange Strecke zwischen M¨ unchen und N¨ urnberg m mit einer als konstant angenommenen Geschwindigkeit von 25 s . Trage die zu dieser Bewegung geh¨orende Kurve in ein t–v–Diagramm ein. Als Einheit f¨ ur die Zeitachse soll eine Stunde gew¨ahlt werden. L¨ osung: v km h 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 t in h 0 1 2 ¨ 4. Ein PKW beginnt einen Uberholvorgang mit einer Geschwindigkeit von 72 km . Er h beschleunigt zun¨achst in 12 s auf 90 km . Dann f¨ a hrt er mit dieser Geschwindikeit 8,0 s h m lang. Nun bremst er noch 4,0 s lang mit einer Beschleunigung von −1,5 s2 . ¨ (a) Stelle den Uberholvorgang in einem t–v–Diagramm dar. auf 90 km zu (b) Berechne die Beschleunigung ist um die Geschwindigkeit von 72 km h h steigern. 44 9 Weg im tv-Diagramm ¨ (c) Wie lang ist die Strecke, die der PKW w¨ahrend des ganzen Uberholvorgangs zur¨ ucklegt? Markiere den Weg im t–v–Diagramm. m km m L¨ osung: (a) 72 km h = 20 s , 90 h = 25 s . v ms−1 20 10 t s 0 0 10 20 25 ms − 20 ms m = 0,42 2 . 12 s s 2 1 5 m (c) 2 · 12 2 · (12 s) + 20 ms · 12 s + 25 ms · 8,0 s + s 558 m = 0,60 km (b) 5. Nebenstehende Abbildung zeigt das tvDiagramm eines PKWs, dessen Fahrer zur Zeit t0 = 0 pl¨otzlich ein Hindernis auf der Fahrbahn sieht. (a) Ermittle den Anhalteweg zwischen Erkennen des Hindernisses und Stillstand des Autos. (b) Wie lautet die Funktionsgleichung f¨ ur v im Intervall [1,5 s, 5,5 s]? 1 2  m · −1,5 2 · (4,0 s)2 + 25 ms · 4,0 s = s v km h 100 50 0 1 5 m 1 m L¨ osung: (a) ∆x = Fl¨ ache unter tv-Diagramm“ = 25 · 1,5 s + · 25 · 4 s = 87,5 m ” s 2 s m m m 25 m · (t − 1,5 s) = 34,375 − 6,25 2 · t (b) v(t) = 25 − s 4 s2 s s 45 t s 9 Weg im tv-Diagramm 6. Fahrtenschreiber v in m s 60 50 40 30 20 10 0 10 30 20 40 50 t min Die Abbildung zeigt das Ergebnis eines Fahrtenschreibers zwischen zwei Tankstops eines PKW’s. Beim zweiten Halt wird der anf¨anglich volle Tank mit 12,3 Litern Benzin wieder ganz aufgef¨ ullt. Gesucht ist der m¨oglichst genaue Benzinverbrauch des Autos auf 100 km. (a) W¨ahle f¨ ur die Berechnung der Fahrstrecke in den ersten 50 min ∆t1 = 10 min und f¨ ur den Rest ∆t2 = 3 min. (b) Rechne jetzt durchgehend mit ∆t = 1 min. Um wieviel Prozent weicht das ungenauere Ergebnis vom genaueren Ergebnis ab? 46 9 Weg im tv-Diagramm L¨ osung: (a) v in m s 60 50 40 30 20 10 10 0 20 30 40 50 t min m m · 600 s + 22 · 180 s = 101,76 km s s 12,3 l l Verbrauch: = 12,1 101,76 km 100 km ∆x = (6 + 29 + 27 + 54 + 47) (b) v in m s 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 t min ∆x = (1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 12 + 16 + 22 + 28 + 29 + 29 + 29 + 28 + 25 + 23 + 23 + 22 + 22 + 22 + 23 + 24 + 26 + 29 + 32 + 35 + 41 + 48 + 54 + 57 + 58 + 58 + 55 + 53 + 51 + 51 + 50 + 50 + 50 + 49 + 48 + 47 + 47 + 45 + 43 + 41 + 38 + 31 + 22 + 9) ms · 60 s = 101,82 km 47 9 Weg im tv-Diagramm 12,3 l l = 12,1 101,82 km 100 km 101, 76 − 101,82 = −0,06 % Abweichung: δrel = 101,82 Verbrauch: 7. Ein Auto startet zur Zeit Null und seine Geschwindigkeit ¨andert sich nach dem Gesetz: m v(t) = 0,5 3 · t2 s Berechne mit Hilfe der Midpoint-Rule einen N¨aherungswert xn f¨ ur den Weg, den das Auto in der Zeit von Null bis 4,8 s zur¨ ucklegt. Teile dazu das Zeitintervall in vier gleich große Teilintervalle. Wie groß ist der relative Fehler des berechneten N¨aherungswertes, wenn das exakte Ergebnis xe = 18,432 m lautet? v L¨ osung: t1 = 0,6 s, t2 = 1,8 s, t3 = 3,0 s, t4 = 4,2 s, ∆t = 1,2 s m s 10 ∆x = (v(t1 ) + v(t2 ) + v(t3 ) + v(t4 )) · ∆t = m = (0,18 + 1,62 + 4,5 + 8,82) · 1,2 s = s = 18,144 m δrel = 5 18,144 − 18,432 = −1,56 % 18,432 1 0 t1 1 t2 2 3 t3 4 t4 5 t s 8. Die Geschwindigkeit eines beschleunigten Mopeds ist gegeben durch v(t) = 0,01 m 3 ·t s4 (a) Zeichne den Grafen der Funktion im Intervall [0 s, 10 s]. (b) Berechne n¨aherungsweise den Weg ∆x, den das Moped im Zeitintervall [2 s, 10 s] zur¨ ucklegt. Zerlege dazu das Intervall in vier Teilintervalle. Veranschauliche deine Vorgehensweise im schon gezeichneten Diagramm. (c) Wie groß ist der relative Fehler deines Ergebnisses, wenn der exakte Wert des Weges ∆xexakt = 24,96 m ist? L¨ osung: (a) t in s v in ms 0 0 1 0,01 2 0,08 3 0,27 4 0,64 48 5 1,25 6 2,16 7 3,43 8 5,12 9 7,29 10 10 9 Weg im tv-Diagramm v m s 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t s (b) ∆t = 10 s − 2 s = 2s 4 h m m mi m = ∆x = ∆t [v(3 s) + v(5 s) + v(7 s) + v(9 s)] = 2 s· 0,27 + 1,25 + 3,43 + 7,29 s s {z s s} | 12,24 24,48 m ∆x − ∆xexakt 24,48 − 24,96 (c) δrel = = = −0,019 = −1,9% ∆xexakt 24,96 49 m s 10 Beschleunigte Bewegung 1. Ein Projektil wird in einem s = 50 cm langen Gewehrlauf auf v = 400 ms beschleunigt. Berechne die Beschleunigung a und die Zeitdauer t des Beschleunigungsvorgangs. a 2 t und v = at 2 v t = = 2,5 · 10−3 s a L¨ osung: s = =⇒ s= a v2 v2 · 2 = 2 a 2a =⇒ a= v2 m = 1,6 · 105 2 2s s . Berechne die Be2. Ein Auto beschleunigt in t = 10,8 s von v0 = 0 auf v = 100 km h schleunigung a und die Beschleunigungsstrecke s. L¨ osung: a = v m 100 m = = 2,57 2 , 2 t 3,6 · 10,8 s s s= a 2 vt t = = 150 m 2 2 . Wie lange dauert 3. Ein Zug beschleunigt mit a = 0,10 sm2 aus dem Stand auf v = 72 km h der Beschleunigungsvorgang und wie weit f¨ahrt der Zug dabei? L¨ osung: t = 72 v = s = 200 s, a 3,6 · 0,1 s= a 2 t = 2000 m 2 dahin. Pl¨otzlich taucht 125 m vor dem Wagen ein 4. Ein Auto f¨ahrt mit v0 = 100 km h Reh auf. Nach einer Schrecksekunde bremst der Fahrer und erteilt somit seinem Auto die Beschleunigung a = −4,00 sm2 . Gibt es einen Rehbraten oder nicht? Zeichne das tx-Diagramm. L¨ osung: Der Anhalteweg ist s = v0 · 1 s + x m v02 = 2|a| 100 80 100 m 1002 m2 = 124 m = · 1s + 3,6 s 2 · 3,62 s2 · 4 sm2 60 40 20 Das Reh hat noch einmal Gl¨ uck gehabt. ( v0 t f¨ ur t ≦ 1 s x(t) = a 2 v0 t + 2 (t − 1 s) f¨ ur t > 1 s 0 0 1 2 3 4 5 6 7 t s ¨ 5. Die Luftaufnahme einer Uberwachungskamera zeigt einen Radfahrer (R) und einen Marathonl¨aufer (M) zu drei verschiedenen Zeiten. Der Radfahrer startet zur Zeit t0 = 0 mit der konstanten Beschleunigung a. 50 10 Beschleunigte Bewegung 10 0 x m 20 t0 = 0,00 s t1 = 2,00 s t2 = 4,00 s M R ¨ (a) Ermittle a und die Geschwindigkeit vM des L¨aufers aus den Daten des Uberwachungsfotos. (b) Stelle die Funktionsgleichungen f¨ ur die Geschwindigkeiten (vM (t), vR (t)) und die Orte (xM (t), xR (t)) der beiden Sportler auf. (c) Wann (t3 ) und wo (x3 ) holt der Radfahrer den L¨aufer ein? Welche Geschwindigkeit hat der Radfahrer zu diesem Zeitpunkt? (d) Genau zur Zeit t3 beginnt der Radfahrer einen Bremsvorgang und erteilt sich und dem Fahrrad die Beschleunigung a′ = −1,25 sm2 . Wann (t4 ) kommt der Radler zum Stillstand? Zeichne das tv-Diagramm des Radlers und berechne b 5 cm). xR (t4 ) (t = 10 s = b 5 cm, v = 10 ms = (e) Stelle die Funktionsgleichung f¨ ur den Ort xR (t) des Radlers zwischen t3 und t4 auf und zeichne die Grafen der Funktionen xM (t) und xR (t) im Intervall [0 ; 30 s] in ein Diagramm (t = 10 s = b 5 cm, x = 10 m = b 1 cm). Wann (t5 ) holt der L¨aufer den ruhenden Radler ein? a m 2 L¨ osung: (a) 2 · (2 s) = 1 m =⇒ a = 0,5 s2 m 9m = 4,5 vM = 2s s m (b) vM (t) = 4,5 , vR (t) = at s a xM (t) = 10 m + vM t, xR (t) = t2 2 2 a 2 (c) t = 10 m + vM t · 2 a 2 2 t − 18 s · t + (9 s) = 40 s2 + 81 s2 x m 140 100 50 + t = t3 = 9 s (−) 11 s = 20 s x3 = 10 m + 90 m = 100 m m v3 = vR (t3 ) = at3 = 10 m s 10 s = 8 s, t = 28 s (d) ∆t = 4 |a′ | 1 xR (t4 ) = x3 + v3 ∆t = 140 m 2 a′ (e) xR (t) = x3 + v3 (t − t3 ) + (t − t3 )2 2 m m xR (t) = −350 m + 35 · t − 0,625 2 · t2 s s 51 0 10 20 30 t s v 10 m s 0 20 t3 t4 30 t s 10 Beschleunigte Bewegung t in s xR in m 5 6,25 10 25 24 130 xL (t5 ) = 140 m 26 137,5 =⇒ t5 = 28,89 s 6. Ein Radfahrer startet zur Zeit t0 = 0 am Ort xR0 = 0 mit der Anfangsgeschwindigkeit vR0 = 0 und mit der konstanten Beschleunigung a = 2,50 sm2 . Ein L¨aufer (L), der sich zur Zeit t0 am Ort xL0 = 90,0 m befindet, bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit vL = −7,50 ms . v0 = 0 vL a R t0 = 0 L 90 0 x m (a) Stelle die Funktionsgleichungen f¨ ur die Orte (xL (t) und xR (t)) der beiden Sportler auf und berechne die Zeit t1 und die Ortskoordinate x1 ihres Treffpunkts. Welche Geschwindigkeit v1 hat der Radfahrer zu diesem Zeitpunkt? (b) Zur Zeit t2 erreicht der Radfahrer die Geschwindigkeit v2 = 20,0 ms und beginnt einen Bremsvorgang mit der konstanten Beschleunigung a′ = −5,00 sm2 . Berechne xR (4 s) und xR (10 s) und zeichne das tx-Diagramm der beiden Sportler im Intervall [0; t3 ] (t = 1 s = b 1 cm, x = 10 m = b 1 cm). a 2 L¨ osung: (a) xL (t) = 90 m + vL t, xR (t) = 2 t a 2 2 t = 90 m + vL t · 2 a t2 + 6 s · t + (3 s)2 = 72 s2 + 9 s2 x m 120 90 + t = t1 = −3 s (−) 9 s = 6,00 s x1 = 90 m − 45 m = 45,0 m m v1 = at1 = 15,0 s v2 v2 (b) t2 = = 8,00 s, ∆t = ′ = 4,00 s a |a | x2 = xR (t2 ) = a2 t22 = 80 m t3 = t2 + ∆t = 12,0s 0 10 xR (4 s) = 20 m. F¨ ur t > t2 gilt: a′ m m xR (t) = x2 + v2 (t − t2 ) + (t − t2 )2 = 80 m + 20 · (t − 8 s) − 2,5 2 (t − 8 s)2 = 2 s s m 2 m = −2,5 2 · t + 60 · t − 240 m s s xR (10 s) = (80 + 40 − 10) m = 110 m, xR (12 s) = (80 + 80 − 40) m = 120 m 52 t s 10 Beschleunigte Bewegung 7. Aus einem Zeitungsartikel: ,,Die schnellste und h¨ochste Achterbahn der Welt soll ab dem kommenden Fr¨ uhjahr auf halber Strecke zwischen New York und Philadelphia f¨ ur Nervenkitzel sorgen. Die Wagen werden aus dem Stand in 3,5 Sekunden auf 206 km/h beschleunigt, k¨ undigte ein Sprecher des Vergn¨ ugungsparks ,,Six Flags” im US-Bundesstaat New Jersey an. Der h¨ochste Punkt der Berg– und Talstrecke mit 270–Grad–Spiralen werde 139 Meter u ¨ber dem Boden liegen.” Berechne die Beschleunigung der Wagen beim Start in Vielfachen der Fallbeschleunigung g = 9,8 sm2 . L¨ osung: 1,7 8. In einem James-Bond-Film wird eine Fallschirm-Szene sehr dramatisch dargestellt. Beurteile, ob die Darstellung realistisch ist. (a) Ein Flugzeug, in dem sich James Bond und ein B¨osewicht befinden, droht abzust¨ urzen. Der B¨osewicht springt mit dem einzigen Fallschirm aus dem Flugzeug. James Bond springt hinterher und holt ihn im freien Fall ein. Was sagst du dazu? (b) Beide nehmen stabile Freifallhaltungen ein, bewegen sich aufeinander zu, k¨ampfen in der Luft. (c) In einem Luftkampf entreißt James Bond dem B¨osewicht den Fallschirm und zieht die Reißleine. Der B¨osewicht schafft es, sich noch einem Moment an Bonds Bein festzuhalten, doch Bond kann ihn absch¨ utteln. (d) Dann zieht es Bond am Fallschirm nach oben, w¨ahrend der B¨osewicht in die Tiefe f¨allt. (e) Die gesamte Szene dauert etwa 2 Minuten. Quelle: Sinus-Transfer L¨ osung: (a) Es ist m¨ oglich, einer Person hinterherzuspringen und sie im freien Fall einzuholen. Man braucht aber hohe Athletik oder eine gute Ausbildung, um den freien Fall derart als Skysurfing zu steuern. (b) Eine saubere und stabile Freifallhaltung kann man in der Regel nicht ohne umfangreiches Training erlangen. K¨ampfe in der Luft, Freifallformationen und zielgerichtetes Skysurfing sind ohne Training nicht m¨oglich. (c) Wird der Schirm ge¨ offnet, so tritt eine Bremsbeschleunigung in H¨ohe von durchschnittlich 20 sm2 auf, was fast dem Dreifachen bei einer Vollbremsung im Auto entspricht. Bereits im Auto kann man nur durch einen Sicherheitsgurt gehalten werden. Deshalb ist ein Festhalten mit reiner Muskelkraft unm¨oglich. ¨ (d) Ein Fallschirmspringer wird durch das Offnen des Schirms nicht wieder nach oben gezogen. In der Filmaufnahme entsteht der Eindruck dadurch, dass der gefilmte Springer (James Bond) stark abgebremst wird, w¨ahrend der Kameramann mit gleich bleibender allt. Geschwindigkeit v = 200 km h weiter f¨ 53 10 Beschleunigte Bewegung (e) Bei einem Sprung aus 4.000m H¨ohe dauert der freie Fall etwas mehr als 60 Sekunden. Die Filmsezene ist somit aus Aufnahmen mehrerer Spr¨ unge zusammengeschnitten worden. Ein mehrmin¨ utiger Fall w¨are nur aus einer derart großen Absprungh¨ ohe m¨ oglich, dass die Springer einen aufwendigen K¨alteschutz und eine Sauerstoffversorgung ben¨ otigten. 9. Beschleunigungsmesser im Postkartenformat Sie k¨onnen ein “Postkartengoniometer” als Beschleunigungsmesser verwenden: Auf einer Postkarte markiert man eine Vertikale und davon ausgehend eine Winkelskala. Man w¨ahlt eine feste Ausrichtung bez¨ uglich des Fahrzeugs oder Flugzeugs in dem man sich befinden (z. B. durch Anlegen an der Armlehne). Zun¨achst bestimmt man mit einem Testpendel (z. B. Schl¨ ussel an Faden) die Richtung des Lotes auf der Postkarte im Stand, dann liest man in einem Moment besonders starker Beschleunigung (z. B. Start oder Bremsen) die Richtung des Testpendels ab und bestimmt den Winkel α gegen¨ uber der Lotrichtung. (a) Zeige: Die gesuchte Beschleunigung a ist gegeben durch a = g · tan α (g: Erdbeschleunigung) (b) Berechne a f¨ ur α = 10◦ . Gib das Ergebnis in Stundenkilometer/Sekunde an. Sch¨atzen einen Fehler f¨ ur die Messung ab. (c) Stelle eine Tabelle und eine Grafik f¨ ur Beschleunigung (a in km ) gegen Winkel hs ◦ ◦ (α in Grad) im Bereich von 0 bis 25 auf. Warum stimmt die erhaltene Kurve so gut mit einer Geraden u ¨berein? (d) Die Abhebgeschwindigkeit eines Verkehrsflugzeugs betr¨agt ca. 300 km . Benutze h das Ergebnis aus (b) um die Abhebezeit und L¨ange einer Startbahn zu sch¨atzen. Quelle: Prof. Dr. M¨ uller, Zentrum f¨ ur Lehrerbildung, Campus Landau L¨ osung: (a) Die Beschleunigungen g senkrecht zur Erdoberfl¨ache und a parallel zur Erdoberfl¨ache werden vektoriell zur Gesamtbeschleunigung addiert. In dem entstehenden rechtwinkligen Dreieck gilt tan α = ag . Hieraus folgt die Behauptung. ◦ (b) a ≈ 1, 7 sm2 bzw. a ≈ 6, 2 km hs . Der Ablesefehler beim Goniometer kann auf ±30% (±3 ) gesch¨ atzt werden, der des resultierenden Beschleunigungswertes dann ebenso. (c) F¨ ur kleine Winkel gilt: tan α ≈ α. α in ◦ a in km hs 0 0 5 3,09 10 6,23 15 9,46 20 12,85 54 25 16,47 10 Beschleunigte Bewegung km ¨ (d) Es gilt t = av ≈ 300 km h /6 hs = 50s (in Ubereinstimmung mit der Beobachtung). Die Startbahn muß mindestens so lang sein wie die Strecke s = 21 a · t2 die das Flugzeug in dieser Zeit zur¨ ucklegt. Mit den erhaltenen Werten gilt s = 12 · 1, 7 sm2 · (50s)2 ≈ 2000m. Aus Sicherheitsgr¨ unden (insbesondere f¨ ur Startabbruch und Notbremsung) sind wirkliche Startbahnen l¨ unger (z. B. Frankfurt a.M.: 3600m). 10. Ein Auto der Masse 1, 2 t beschleunigt am Ortsende in 5s von 12 ms auf 22 ms . (a) Beschreibe was man in der Physik unter Beschleunigung versteht. (b) Gib die Anfangsgeschwindigkeiten in km/h an. (c) Wie groß ist die Beschleunigung des Autos? (d) Stelle in einer Skizze dar, welche Kr¨afte auf das Auto wirken. L¨ osung: (a) Die Beschleunigung ist ein Maß daf¨ ur, wie sich die Geschwindigkeit im Laufe der ¨ Zeit a ndert; Beschleunigung ist die Anderung der Geschwindigkeit dividiert durch die ¨ zugeh¨ orige Zeit km (b) 43 km h , 79 h (c) a = 22 m −12 m s s 5s = 2 sm2 (d) . 11. Ein Fallschirmspringer springt aus einem Flugzeug. 55 10 Beschleunigte Bewegung (a) Welche Beschleunigung erf¨ahrt der Fallschirmspringer zum Zeitpunkt t1 = 0s? (b) Welche Geschwindigkeit w¨ urde der Fallschirmspringer nach 5s erreichen, wenn er in den ersten 5 Sekunden ohne Luftwiderstand fallen w¨ ude? Der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit ist in folgendem Diagramm dargestellt: (c) Welche Kr¨afte wirken in den Zeitabschnitten 0s bis 15s, 20s bis 25s und 28s bis 31s? L¨ osung: (a) Es wirkt die Gewichtskraft, also g = 9, 81 sm2 km (b) v = 49 m s = 177 h (c) 0s bis 15s: Es wirken Gewichtskraft und Luftwiderstand. Der Luftwiderstand ist kleiner als die Gewichtskraft und nimmt mit zunehmender Geschwindigkeit zu. Damit nimmt die Gesamtkraft (d. h. auch die Beschleunigung) und damit die Steigung der Kurve im t-v-Diagramm ab. 20s bis 25s: konstante Geschwindigkeit, d. h. Gesamtkraft ist Null, d. h. Luftwiderstand ist genausogroß wie Gewichtskraft. 18s bis 31s: Geschwindigkeit nimmt deutlich ab, d. h. Luftwiderstandskraft muss deutlich erh¨ oht werden: Fallschirms wird ge¨offnet. 12. Beim Start eines Space Shuttle im Raumfahrtzentrum Cape Canaveral wirkt auf die Raumf¨ahre der Masse 2055t von den Triebwerken eine Kraft von 32600kN. (a) Welche Gewichtskraft wirkt auf die Raumf¨ahre? (b) Welche Beschleunigung erf¨ahrt die Raumf¨ahre beim Start? (c) Welche Geschwindigkeit erreicht die Raumf¨ahre nach 10s in L¨ osung: (a) G = mg = 2055000kg · 9, 81 sm2 = 201595500N = 20 160kN (b) Fges = F − G = 32 600kN − 20 160kN = 12 440kN a= Fges m = 12 440 000N 2055 000kg = 6, 1 sm2 km (c) v = at = 6, 1 sm2 · 10s = 61 m s = 219 h 56 km ? h 10 Beschleunigte Bewegung 13. Ein Fallschirmspringer springt aus einem Flugzeug. Der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit ist in folgendem Diagramm dargestellt: (a) Nach 28s wird der Fallschirm ge¨offnet. Wie stark bremst er durchschnittlich ab? (b) Vergleiche die Bremsbeschleunigung des Fallschirms mit der eines PKW, der auf trockener Fahrbahn 4,1 s braucht, um von 110 km/h zum Stehen zu kommen. (c) In einer H¨ohe von 800m u ¨ber dem Boden ist der Fallschirm ge¨offnet und sinkt mit konstanter Geschwindigkeit. i. In welcher H¨ohe befindet sich der Fallschirm weitere 20s sp¨ater? ii. Nach wie viel Sekunden ist der Fallschirm in eine H¨ohe von 100m u ¨ber dem Boden? iii. Nach wie viel Sekunden erreicht der Fallschirm den Boden? Quelle: http://www.standardsicherung.nrw.de/materialdatenbank/ L¨ osung: (a) a = −46 m s 2s = −23 sm2 = −2, 3 · g (b) a = −7, 4 sm2 = −0, 76 · g (c) i. h(20s) = 800m − 5 m s · 20s = 700m ii. h(t) = 800m − 5 m s · t = 100m ⇒ 140s iii. t = 160s 14. In einem James-Bond-Film wird eine Fallschirm-Szene sehr dramatisch dargestellt. Beurteile, ob die Darstellung realistisch ist. (a) Ein Flugzeug, in dem sich James Bond und ein B¨osewicht befinden, droht abzust¨ urzen. Der B¨osewicht springt mit dem einzigen Fallschirm aus dem Flugzeug. James Bond springt hinterher und holt ihn im freien Fall ein. 57 10 Beschleunigte Bewegung (b) Beide nehmen stabile Freifallhaltungen ein, bewegen sich aufeinander zu, k¨ampfen in der Luft. (c) In einem Luftkampf entreißt James Bond dem B¨osewicht den Fallschirm und zieht die Reißleine. Der B¨osewicht schafft es, sich noch einem Moment an Bonds Bein festzuhalten, doch Bond kann ihn absch¨ utteln. (d) Dann zieht es Bond am Fallschirm nach oben, w¨ahrend der B¨osewicht in die Tiefe f¨allt. (e) Die gesamte Szene dauert etwa 2 Minuten. Quelle: http://www.standardsicherung.nrw.de/materialdatenbank/ L¨ osung: (a) Es ist m¨ oglich, einer Person hinterherzuspringen und sie im freien Fall einzuholen. Eine gr¨ oßere Beschleunigung erh¨alt man, z. B. durch einen deutlich geringeren Luftwiderstand. Man braucht aber hohe Athletik oder eine gute Ausbildung, um den freien Fall derart als Skysurfing zu steuern. (b) Eine saubere und stabile Freifallhaltung kann man in der Regel nicht ohne umfangreiches Training erlangen. K¨ampfe in der Luft, Freifallformationen und zielgerichtetes Skysurfing sind ohne Training nicht m¨oglich. (c) Wird der Schirm ge¨ offnet, so tritt eine Bremsbeschleunigung in H¨ohe von durchschnittlich 20 sm2 auf, was fast dem Dreifachen bei einer Vollbremsung im Auto entspricht. Bereits im Auto kann man nur durch einen Sicherheitsgurt gehalten werden. Deshalb ist ein Festhalten mit reiner Muskelkraft schlichtweg unm¨oglich. ¨ (d) Ein Fallschirmspringer wird durch das Offnen des Schirms nicht wieder nach oben gezogen. In der Filmaufnahme entsteht der Eindruck dadurch, dass der gefilmte Springer (James Bond) stark abgebremst wird, w¨ahrend der Kameramann mit gleich bleibender allt. Geschwindigkeit v = 200 km h weiter f¨ (e) Bei einem Sprung aus 4.000 m H¨ohe dauert der freie Fall etwas mehr als 60 Sekunden. Die Filmsezene ist somit aus Aufnahmen mehrerer Spr¨ unge zusammengeschnitten worden. Ein mehrmin¨ utiger Fall w¨are nur aus einer derart großen Absprungh¨ ohe m¨ oglich, dass die Springer einen aufwendigen K¨alteschutz und eine Sauerstoffversorgung ben¨ otigten. 15. Ein Motorradfahrer steht wegen eines kurzen aber kr¨aftigen Regenschauers unter einer Autobahnbr¨ ucke. Nach Beendigung des Schauers startet der Motorradfahrer seine Maschine und bereitet sich vor loszufahren. Ein letzter Blick u ¨ ber die Schulter und der Motorradfahrer gibt Vollgas. Er beschleunigt mit a = 4 sm2 . Im Moment seines Anfahrens f¨ahrt ein LKW mit einer konstanten Geschwindigkeit v = 72 km an ihm h vorbei. (a) Beschreibe die Situation aus der Sicht des LKW-Fahrers. (b) Beschreibe die Situation aus der Sicht des Motorradfahrers. 58 10 Beschleunigte Bewegung (c) Ordne die passenden Grafen den Bewegungen des LKW- und Motorradfahrers zu. (d) Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle ein Weg-Zeit-Diagramm von der Begegnung ¨ unter der Br¨ ucke bis zum Augenblick des Uberholens. Ermittle den Zeitpunkt, wann der Motorradfahrer den LKW u ¨berholt. Gib auch an, welchen Weg der Motorradfahrer bis zu diesem Augenblick zur¨ uckgelegt hat. Folgende angefangene Tabelle und das Informationsblatt k¨onnen dir dabei behilflich sein. (e) Versuche einem mathematischen Term aufzustellen, mit dem du f¨ ur beliebige ¨ Geschwindigkeiten sowie Beschleunigungen den Zeitpunkt des Uberholens berechnen kannst. Quelle: http://www.standardsicherung.nrw.de/materialdatenbank/ L¨ osung: (a) Z.B. unter der Autobahnbr¨ ucke f¨ahrt er am Motarradfahrer vorbei, der ihn sp¨ ater wieder u ¨berholt (b) Z.B. der LKW f¨ ahrt beim Start an ihm vorbei und wird sp¨ater wieder von ihm u ¨ berholt (c) gleichf¨ ormige Bewegung des LKW entspricht Abb. (a) beschleunigte Bewegung des Motorradfahrers entspricht Abb. (c) 59 10 Beschleunigte Bewegung (d) (e) v · t = 1 2 · a · t2 ⇒ t = 2v a , hier: t = 10s 16. Der Saab 95 2.0 mit 110 kW hat laut Hersteller eine sogenante Elastizit¨at f¨ ur 80– m 120 km/h von 15,8 s. Berechne die zugeh¨orige Beschleunigung in der Einheit 1 s2 . L¨ osung: a = 120 km/h−80 km/h 15,8 s = 0,70 sm2 17. Eine S–Bahn hat eine Beschleunigung von a = 0,25 sm2 . Welche Geschwindigkeit erreicht die S–Bahn, wenn sie aus dem Stand heraus 2,0 Minuten mit dieser Beschleunigung f¨ahrt? L¨ osung: v = a t = 0,25 sm2 · 120 s = 30 ms = 108 km h 18. Ein Großraumflugzeug braucht zum Abheben etwa eine Geschwindigkeit von 300 km . h Wie lange dauert der Startvorgang, wenn das Flugzeug eine konstante Beschleunigung von 1,8 sm2 hat? L¨ osung: 46 s . Wie lange 19. Der BMW 645 Ci beschleunigt laut Hersteller in 6,1 s von 0 auf 100 km h km dauert es bis das Fahrzeug seine H¨ochstgeschwindigkeit von 240 h erreicht, wenn wir unterstellen, dass diese Beschleunigung auch f¨ ur gr¨oßere Geschwindigkeiten als km ultigkeit hat. Wieso ist die Annahme der konstanten Beschleunigung bis zur 100 h G¨ H¨ochstgeschwindigkeit des Fahrzeugs falsch? L¨ osung: 2,4 · 6,1 s = 15 s; wegen der Rollreibung und dem mit der Geschwindigkeit zunehmenden Luftwiderstand nimmt die Beschleunigung (bei maximaler und somit konstanter Leistung) stetig ab. Nach Erreichen der H¨ ochstgeschwindigkeit ist sie sogar 0. 20. F¨ ur die Fahrt einer U–Bahn zwischen zwei Haltestellen ergaben sich folgende Meßwerte: t in s v in m s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 6 12 18 24 24 18 12 6 0 Die U–Bahn f¨ahrt aus Gr¨ unden des Fahrkomforts stets mit konstanter Beschleunigung (dies ist eine idealisierte Annahme). (a) Zeichne das zur Bewegung geh¨orige v–t– und das a–t–Diagramm. 60 10 Beschleunigte Bewegung (b) Ermittle grafisch und rechnerisch welche Geschwindigkeit die U–Bahn zur Zeit 15 s hat. (c) Zu welchen Zeitpunkten betr¨agt die Geschwindigkeit der U–Bahn 64,8 km ? h (d) Welche durchschnittliche Geschwindigkeit hat die U–Bahn w¨ahrend der Zeitdauer von 0 bis 40 s? (e) Wie weit sind die beiden Haltestellen voneinander entfernt? L¨ osung: (a) t–v–Diagramm v in m/s 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0 t in s 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 30 40 50 60 70 80 90 t–a–Diagramm a in m/s2 0.5 0 t in s 10 20 −0.5 (b) 9 ms m (c) 64,8 km h = 18 s ; t1 = v a = 30 s, t2 = 60 s (d) 12 m/s (e) 2 · 12 ms · 40 s + 24 ms · 10 s = 1,2 km 21. F¨ ur die Durchfahrt eines PKW’s durch eine geschlossene Ortschaft ist folgendes t– v–Diagramm gegeben: 61 10 Beschleunigte Bewegung v in m s 30 25 20 15 10 5 0 t in min 0 1 2 3 4 5 Dabei erreicht der PKW den Ortseingang zur Zeit 1,0 min und ist zur Zeit 4,0 min am Ortsausgang. (a) H¨alt der Fahrer die innerorts vorgeschriebene H¨ochstgeschwindigkeit von 50 km h ein? (Begr¨ undung durch Rechnung). (b) Mit welcher (negativen) Beschleunigung f¨ahrt das Auto in den Ort und mit welcher Beschleunigung verl¨asst das Auto den Ort? (c) Welchen Weg legt das Fahrzeug innerorts zur¨ uck und wie weit f¨ahrt es w¨ahrend der gesamten 5 Minuten? km L¨ osung: (a) 15 ms · 3,6 = 54 km h > 50 h (b) −0,33 sm2 , 0,50 sm2 (c) 2,7 km; 5,6 km 22. Vervollst¨andige die folgende Tabelle unter Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms. 62 10 Beschleunigte Bewegung Zeit t in s Weg x in m 0 1,50 3,00 4,50 6,00 7,50 9,00 10,5 12,0 13,5 15,0 0 0,680 2,71 6,12 10,9 17,0 24,4 33,1 43,1 54,4 67,1 Geschwindigkeit v in m s Beschleunigung a in m s2 Stelle die Daten auch in einem t–x–, einem t–v– und einem t–a–Diagramm dar. L¨ osung: Zeit t in s Weg x in m 0 1,50 3,00 4,50 6,00 7,50 9,00 10,5 12,0 13,5 15,0 0 0,680 2,71 6,12 10,9 17,0 24,4 33,1 43,1 54,4 67,1 Geschwindigkeit v in m s 0,453 1,35 2,27 3,19 4,07 4,93 5,80 6,67 7,53 8,37 Beschleunigung a in m s2 0,600 0,613 0,609 0,587 0,578 0,578 0,578 0,578 0,622 ¨ 23. Ein PKW beginnt einen Uberholvorgang bei einer Geschwindigkeit von 72 km . An h km ¨ Ende des Vorgangs hat er eine Geschwindigkeit von 108 h . Der Uberholvorgang dauert 16 s und die Beschleunigung sei als konstant angenommen. (a) Berechne die Beschleunigung. ¨ (b) Zeichne die zum Uberholvorgang geh¨orige Ortskurve in ein t–x–Diagramm. ¨ (c) Kennzeichne den w¨ahrend des Uberholvorgangs vom PKW zur¨ uckgelegten Weg im t–x–Diagramm und berechne diesen. (d) Gib allgemein einen Term f¨ ur die Berechnung des w¨ahrend einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung zur¨ uckgelegten Wegs bei einer Anfangsgeschwindigkeit v0 an. L¨ osung: 63 11 Freier Fall 1. Der franz¨osische Fallschirmspringer Michel Fournier (geb. 14.05.1944) verfolgt seit mehr als 10 Jahren das Ziel in ca. 40 000 m H¨ohe mit einem Stratosph¨arenballon aufzusteigen und von dort abzuspringen. Dabei will er vier Weltrekorde auf einmal brechen. Ein Versuch am 25.08.2003 endete kurz vor dem Ballonstart als die Ballonh¨ ulle riss. Am 27.05.2008 scheitert ein weiterer Versuch des wagemutigen Franzosen, als ihm der Heliumballon, der ihn in die L¨ ufte tragen sollte, entwischte. (a) Welchen H¨ohenunterschied m¨ usste man ohne Luftwiderstand durchfallen, damit man die Schallgeschwindigkeit von 344 ms erreicht? (b) Wie groß darf die Luftdichte h¨ochstens sein, dass ein K¨orper der Masse 100kg, der Querschnittsfl¨ache A = 1, 0m2 und dem Widerstandsbeiwert cW = 0, 35 (Halbkugel) die Schallgeschwindigkeit vS = 344 ms erreicht, wenn die Luftwiderstandskraft sich aus FL = 12 · cW · A · ̺Luf t · v 2 errechnet. In welcher H¨ohe ist diese Dichte etwa erreicht? (c) Welche Gr¨oße (Volumen und Radius) m¨ usste der mit Helium gef¨ ullte Stratosph¨arenballon mindestens haben, damit er die Last von Ausr¨ ustung und Ballonh¨ ulle von ca. 1000kg in 40 000m H¨ohe hebt? Wie viel Kilogramm Helium muss man am Boden einf¨ ullen? 64 11 Freier Fall Quelle: http://leifi.physik.uni-muenchen.de L¨ osung: (a) 1 2 2 mv = mgh ⇒ h = (b) m · g = ̺L = 1 2 v2 2g = (344 m )2 s 2·9,81 m2 s = 6, 03 · 103 m · cW · A · ̺Luf t · v 2 ⇒ 2mg cW Av2 = 2·100kg·9,81 m2 s 0,35·1,0m2 ·(344 m )2 s = 47 mg3 Dies ist in der nat¨ urlichen Atmosph¨are etwa in 24000m H¨ohe erreicht. (c) Im Kr¨ aftegleichgewicht ist die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft. Die Auftriebskraft ist genau so groß wie die Gewichtskraft der verdr¨angten Luft. Die Formelsammlung ergibt: kg Dichte von Helium unter Normalbedingungen: ̺He = 0, 179 m 3 kg Dichte von Luft unter Normalbedingungen: ̺Luf t = 1, 293 m 3 Dichte von Luft 40 000m H¨ ohe: ̺Luf t = 4 mg3 Das Dichteverh¨ altnis ̺He ̺Luf t = 0, 138 ist von der H¨ohe unabh¨angig. mBallon · g + mHe · g = mLuf t · g ⇒ VBallon = mBallon (1−0,138)·̺Luf t = 290 · 103 m3 ⇒ r = 41m ⇒ mHe = 121kg 65 11 Freier Fall 2. Wie lange braucht ein Stein f¨ ur den Fall von einem 60 m hohen Turm? Mit welcher Geschwindigkeit prallt er auf den Boden? g L¨ osung: h = t2 2 =⇒ t= s 2h = 3,50 s g =⇒ v = gt = p 2gh = 34,3 km m = 124 s h 3. Ein Auto st¨ urzt von einer Br¨ ucke in einen Fluss und hat beim Aufprall die Geschwindigkeit 20 ms . Wie hoch ist die Br¨ ucke? L¨ osung: h = v2 = 20,4 m 2g 4. Eine Kanonenkugel wird mit v0 = 200 ms senkrecht nach oben geschossen. Berechne die maximale H¨ohe h, ihre Aufprallgeschwindigkeit va auf den Boden und die gesamte Flugdauer ta . Zeichne ein tx- und ein tv-Diagramm der gesamten Bewegung. L¨ osung: h = v02 = 2,04 km, 2g va = −v0 Zeit bis zur maximalen H¨ ohe: th = v0 = 20,4 s g =⇒ ta = 2th = 40,8 s v x km m s 200 2 0 40 10 20 30 t s 1 −200 0 10 20 30 40 t s 5. Eine Sylvesterrakete wird senkrecht nach oben geschossen; dabei wird ihr t0 = 3,00 s lang die Beschleunigung a = 17,44 sm2 erteilt. Berechne die maximale H¨ohe h und die gesamte Flugdauer. Zeichne ein tv- und ein tx-Diagramm des Fluges. a m L¨ osung: x0 = x(t0 ) = t20 = 78,48 m, v0 = at0 = 52,32 2 s ( a 2 t = 8,72 sm2 · t2 x(t) = 2 x0 + v0 (t − t0 ) − g2 (t − t0 )2 = −4,905 sm2 · t2 + 81,75 ms · t − 122,625 m ( at = 8,72 sm2 · t f¨ u r x ≦ t0 v(t) = m m v0 − g(t − t0 ) = 81,75 s − 9,81 s2 · t f¨ u r x > t0 66 f¨ u r x ≦ t0 f¨ u r x > t0 11 Freier Fall Maximale H¨ ohe h zur Zeit t1 =⇒ v(t1 ) = 0 =⇒ t1 = 8,33 s h = x(t1 ) = 218 m Aufprall am Boden zur Zeit t2 : Entweder die quadratische Gleichung l¨osen oder einfacher s 2h die Fallzeit aus der H¨ ohe h zu t1 addieren: t2 = t1 + = 15,0 s g Aufprallgeschwindigkeit: v2 = v(t2 ) = −65,4 ms v x m m s 200 40 150 20 100 0 50 −20 0 0 2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 12 14 t s −40 t s −60 x 6. Das Hochhaus dieser Aufgabe steht auf einem Planeten mit der Fallbeschleunigung t0 = 0 h g = 10,0 sm2 . Ein Aufzug f¨ahrt an der Außenwand mit der konstanten Geschwindigkeit vA nach oben, zur Zeit t0 = 0 ist das Kabinendach bei x0 = 0. Ebenfalls zur Zeit h t0 = 0 l¨asst ein Lausbub vom Dach des Hochhauses (x = h = 90,0 m) eine Stahlkugel x1 H t1 fallen, die das Aufzugdach zur Zeit t1 am Ort x1 = 45,0 m trifft. Eine Dame im Aufzug, die ihr Handy H l¨assig aus dem Fenster vA Boden h¨alt, l¨asst es beim Aufprall der Stahlkugel 0 Keller t0 = 0 vor Schreck fallen. Zu diesem Zeitpunkt befindet sich das Handy genau einen Meter unter dem Aufzugdach. (a) Berechne t1 und dann vA . Mit welcher Geschwindigkeit v1 prallt die Kugel auf das Dach des Aufzugs? (b) Welche Geschwindigkeit vH1 hat das Handy zur Zeit t1 ? Zu welcher Zeit t2 ist die Geschwindigkeit des Handies null? Welche maximale H¨ohe xH2 erreicht das Handy und mit welcher Geschwindigkeit vH3 prallt es auf den Boden? g L¨ osung: (a) xk (t) = h − t21 = x1 2 vA = =⇒ x1 m km = 15,0 = 54,0 , t1 s h t1 = s 2(h − x1 ) = 3,00 s g v1 = −gt1 = −30,0 ms = −108 km h 67 11 Freier Fall m s vA t2 = t1 + = 4,50 s g Relativ zum Aufzug ist die Aufprallgeschwindigkeit v1 − vA = −45,0 (b) vH1 = vA , vH (t) = vA − g(t − t1 ), vH (t2 ) = 0 =⇒ g xH2 = xH (t2 ) = x1 − 1 m + vA (t2 − t1 ) − (t2 − t1 )2 = 55,25 m | {z } | {z } 2 | {z } 44m m 2 v = mgxH2 2 H3 =⇒ 22,5 m 11,25 m √ p m m km vH3 = − 2gxH2 = − 1105 = −33,2 = −120 s s h 7. Luftwiderstand Zwei Autos haben gleiche Querschnittsfl¨ache A = 2m2 , unterscheiden sich jedoch im cW -Wert. Ein Auto hat cW = 0, 3, das andere cW = 0, 4. Berechne den Luftwiderstand , 20 km , · · · 130 km und stelle das Ergebnis graphisch dar. bei 10 km h h h L¨ osung: . 68 11 Freier Fall 8. In dem nebenstehenden Bild bewegt sich James Bond mit seinem Aston–Martin auf eine 70,0 m hohe Klippe zu. Er verl¨asst die Klippe am Punkt A und kommt 100 m vom Fußpunkt F der Klippe entfernt am Punkt B auf. A bC (a) Welche Horizontalgeschwindigkeit hatte James Bond? (b) Unter welchem Winkel schl¨agt der Aston–Martin bei B auf? bC F L¨ osung: 69 90 m bC B 12 Bezugssysteme Galileitransformation 1. L¨ osung: - 70 Teil III Dynamik 71 13 Newtonsche Gesetze 1. Der ICE–3 hat laut Hersteller eine maximale Anzugkraft von 300 kN und ein ,,Leergewicht” von 405 t. Der Zug hat 415 Sitzpl¨atze. Wir unterstellen f¨ ur die Masse eines Passagiers eine Masse von 75 kg. Welche maximale Beschleunigung erreicht der vollbesetzte Zug? L¨ osung: a = F m = 3,0·105 N 4,05·105 kg+415·75 kg = 0,69 sm2 2. Zur Bedeutung der Anschnallpflicht in Autos f¨ uhrte der Bayerische Rundfunk am 21.02.2011 eine Umfrage durch. Auf die Frage zur Bedeutung der Anschnallpflicht meinte eine befragte Person, dass beim Aufprall eines Autos auf die Insassen Kr¨afte wirken, die sie nach vorn durch die Windschutzscheibe schleudern. Nimm aus physikalischer Sicht Stellung zu dieser Aussage. L¨ osung: Auf die Insassen wirken beim Aufprall gerade keine Kr¨afte. Aufgrund des Tr¨agheitsgesetzes behalten die Insassen zun¨ achst ihre Geschwindigkeit in Fahrtrichtung bei. Wenn das Auto zum Stillstand gekommen ist ,,bewegen” sie sich durch die Windschutzscheibe, sofern sie nicht etwa vorher durch einen Gurt gezwungen werden ihren Zustand der gleichf¨ormigen Bewegung zu ¨ andern. 72 13 Newtonsche Gesetze 3. Der nebenstehende Aufzug ist u ¨ber zwei Umlenkrollen mit einer Masse m verbunden. Die Masse des leeren Aufzugs betr¨agt 1,4 t. Er darf maximal 16 Personen mit einer Masse von jeweils 75 kg aufnehmen. (a) Welche Aufgabe hat die Masse m und wieso f¨ uhrt man die Konstruktion eines Aufzugs in dieser Form aus? Aufzug 4. OG (b) Welchen Wert muss m haben, damit der vollbesetzte Aufzug eine Beschleunigung von 1,2 sm2 erf¨ahrt? (c) Der Boden des Aufzugs befindet sich nun im vierten Stock und ist dabei 16 m u ¨ ber seinem Ziel im ersten Untergeschoß. Wie groß musst du die Bremsbeschleunigung w¨ahlen, wenn der Bremsvorgang 4,0 m u ¨ ber dem Kellerboden beginnt? 16 m m UG L¨ osung: (a) (mA − m) g = (m + mA ) a g−a m = mA g+a
9,8 − 1,2 · 1,4 · 103 + 16 · 75 kg = 2,0 t m= 9,8 + 1,2 (b) v ist die Geschwindigkeit bei der der Bremsvorgang beginnt. Dann gilt mit der 3. Bewegungsgleichung: v 2 = 2 a (h − 4,0 m) v2 = 2 a ˜ 4,0m und ⇒ a ˜ = 3 · a = 3,6 m s2 4. F¨ ur die Reibungskraft zwischen Luft und einem K¨orper (Luftwiderstand) gilt folgender Zusammenhang: R = C · v 2 . C h¨angt von der Form des K¨orpers ab. F¨ ur einen kg bei geschlossenem und C = 16 bei Fallschirmspringer (m = 80 kg) ist C = 0,20 kg m m ge¨offnetem Schirm. Welche konstante Endgeschwindigkeit erreicht der Springer bei geschlossenem (ge¨offnetem) Schirm? 73 13 Newtonsche Gesetze L¨ osung: Die Geschwindigkeit ist konstant, wenn die Gesamtkraft auf den K¨orper null ist: ( r −63 ms = −226 km (Schirm geschlossen) mg 2 h −mg + Cv = 0 =⇒ v = = m km C −7,0 s = −25 h (Schirm offen) 5. Ein recht gut trainierter Sprinter schafft es seine Geschwindigkeit beim Start von 0 in etwa 5 Sekunden auf 10 ms zu steigern. Das bedeutet, dass er eine durchschnittliche Beschleunigung von 2 sm2 erreicht. Wenn wir eine Masse des Sprinters von 75 kg unterstellen, ben¨otigt er nach dem zweiten Newtonschen Gesetz dazu eine Kraft von F = m a = 75 kg · 2 sm2 = 150 N. Dies entspricht in etwa einer Gewichtskraft von 15 kg. Ist der Sprinter so schwach oder woran liegt es, dass er so langsam beschleunigt? L¨ osung: Der Sprinter kann nur dann eine beschleunigende Kraft erfahren, wenn er Kontakt mit dem Boden hat. Damit die mittlere beschleunigende Kraft dann 150 N ist, muss die beschleunigende Kraft w¨ ahrend dieser Zeit bedeutend gr¨oßer sein. m1 m2 6. Nebenstehende Abbildung zeigt eine Strobox skopaufnahme von zwei 0 10 30 40 20 cm zun¨achst ruhenden und dann auseinanderschnellenden K¨orpern. Die Zeit zwischen zwei Lichtblitzen ist ∆t = 0,20 s. Die Masse der Kugel ist m1 = 36 g. Berechne die Masse m2 des W¨ urfels. L¨ osung: |v1 | = cm 9 cm cm |v1 | 30 6 cm = 30 , |v2 | = = 45 , m2 = · m1 = · 36 g = 24 g 0,20 s s 0,20 s s |v2 | 45 N ) ist gerade 7. Die Feder einer Spielzeugkanone (D = 5,4 m dann entspannt, wenn die Kugel der Masse m = 10 g die M¨ undung (y1 = d = 20 cm) erreicht. Welche maximale H¨ohe y2 = h erreicht die Kugel, wenn sie bei y0 = 0 mit v0 = 0 startet? Zeichne in ein yW -Diagramm die Grafen aller auftretenden Energieformen! Berechne die Geschwindigkeit der Kugel in Abh¨angigkeit von y und zeichne das yv-Diagramm. Wo ist die Geschwindigkeit maximal und wie groß ist vmax ? y y2 = h m h−d y1 = d d 0 x L¨ osung: Als Nullpunkt der potentiellen Energie der Gravitation w¨ahlen wir y0 = 0, d.h. Wp (y) = mgy 74 13 Newtonsche Gesetze Da die Kugel nicht an der Feder befestigt ist, ist die Spannenergie der Feder in Abh¨angigkeit von y: ( D (d − y)2 f¨ ur y ≦ d WF (y) = 2 0 f¨ ur y > d Da die Gesamtenergie Wges konstant ist (Energiesatz), gilt Wp (y) + WF (y) + Wkin (y) = Wges = konstant Im tiefsten Punkt (y = 0) ruht die Kugel, d.h. ihre kinetische Energie ist null. Da dort auch die potentielle Energie null ist, lautet der Energiesatz f¨ ur y = 0: Wp (0) + WF (0) + Wkin (0) = Wges | {z } | {z } | {z } 0 oder 0 D 2 d 2 N D 2 d = 2,7 · 0,22 m2 = 0,108 J 2 m Im h¨ ochsten Punkt (y = y2 ) sind die kinetische und die Federenergie null: Wges = 2 mg(y2 − y0 ) = Wges =⇒ 0,108 kgsm Wges 2 y2 = = 1,20 m + y0 = mg 0,01 kg · 9,81 sm2 Wkin (y) = Wges − Wp (y) − WF (y) = ( Wkin,1 Wkin,2 f¨ ur y ≦ y1 f¨ ur y > y1 D D D 2 d − mgy − (y − d)2 = − y 2 + (Dd − mg)y = 2 2 2 J 2 J = −2,7 2 y + 0,9819 y m m J D 2 Wkin,2 (y) = d − mgy = 0,108 J − 0,0981 y 2 m Wkin,1 (y) = Die Kugel wird schneller, wenn die Gesamtkraft F (y) auf sie positiv ist, d.h. wenn die Federkraft FD gr¨ oßer als die Gewichtskraft ist. Wenn die Gesamtkraft auf die Kugel negativ ist (FD < mg), dann wird die Kugel wieder langsamer. Ihre maximale Geschwindigkeit erreicht die Kugel also am Ort y3 mit F (y3 ) = 0 bzw. FD (y3 ) = D(d − y3 ) = mg =⇒ y3 = d − mg = 18,2 cm D Die maximale kinetische Energie ist Wkin,max = Wkin,1 (y3 ) = m 2 v = Wkin,max 2 max =⇒ 75 D mg 2 d− = 0,0893 J 2 D r 2Wkin,max m vmax = = 4,23 m s 13 Newtonsche Gesetze W J Wges 0,1 0,08 Wp Wkin 0,06 0,04 WF 0,02 0 0,1 0,2 0 0,3 0,5 v(y) = v 0,7 r 0,9 1,1 y m 2Wkin m m s 4 3 2 1 0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 y m Die Steigung des Grafen von v(y) ist bei y0 = 0,1 m und bei y2 = 1,2 m unendlich. Das bedeutet aber nicht, dass die Beschleunigung a(y) an diesen Stellen unendlich ist, da es sich ja um ein yv- und nicht um ein tv-Diagramm handelt. Die Beschleunigung erh¨alt man am einfachsten u ¨ ber die Kraft: ( D(d−y) − g f¨ ur y ≦ d F (y) m a(y) = = m −g f¨ ur y > d 8. Berechne die Beschleunigung der Masse m2 sowie die Fadenspannung FS unter Vernachl¨assigung der Masse und der Reibung der Rolle sowie der Fadenmasse! Die Reibungszahl zwischen dem Klotz mit der Masse m2 und seiner Unterlage sei µ. F¨ ur welches m1 bewegt sich die Anordnung mit konstanter Geschwindigkeit? 76 m2 m1 13 Newtonsche Gesetze L¨ osung: Die Gewichtskraft von m1 muss beide Massen beschleunigen und die Reibung von m2 u ¨ berwinden: m1 − µm2 m1 g = (m1 + m2 )a + µm2 g =⇒ a = g m1 + m2 Die Fadenspannung ist gleich der Kraft auf die Masse m2 : FS = am2 + µm2 g = m1 m2 (1 + µ) g m1 + m2 Oder: Die Fadenspannung ist gleich der Kraft, die von der Gewichtskraft von m1 u ¨ brig bleibt, wenn die zur Beschleunigung von m1 n¨otige Kraft subtrahiert wird (das ist die Gewichtskraft im beschleunigten Bezugssystem): FS = m1 g − m1 a = m1 (g − a) = m1 m2 (1 + µ) g m1 + m2 Konstante Geschwindigkeit, wenn a = 0, d.h. wenn m1 = µm2 . 9. Berechne die Beschleunigung, die m2 erf¨ahrt, wenn m1 = 98,0 g und m2 = 102 g ist. m2 m1 L¨ osung: (m2 + m1 ) a = (m2 − m1 ) g ⇒ a= m2 − m1 g = 0,0200 g = 0,196 m s−2 m2 + m2 77 14 Kr¨ afte 1. Wie groß ist die Antriebskraft einer Lokomotive, die dem Zug mit der Gesamtmasse m = 700 t die Beschleunigung a = 0,200 sm2 erteilt? L¨ osung: F = ma = 1,40 · 105 N 2. Auf einen Golf-GTI der Masse m = 900 kg wirkt die Antriebskraft F = 1530 N. In ? welcher Zeit beschleunigt das Auto von Null auf 100 km h L¨ osung: a = F m = 1,70 2 , m s t= v 100 m = 16,3 s = a 3,6 s · 1,70 sm2 3. Welche Beschleunigung erf¨ahrt der Block der Masse 4,0 kg? Die Reibungskr¨afte sind zu vernachl¨assigen. 4,0 kg 3,0 kg L¨ osung: 3 7 g 4. Ein Auto f¨ahrt mit v0 = 108 km gegen eine Wand. Welcher Kraft m¨ ussen die Sih cherheitsgurte des Fahrers der Masse m = 70,0 kg standhalten, wenn der Wagen auf einer Strecke von ∆x = 1,5 m (Knautschzone) zum stehen kommt und eine konstante Beschleunigung mit dem Betrag a angenommen wird? L¨ osung: v0 = 30 a= m , s ∆x = a 2 t und v0 = at 2 v02 m = 300 2 = 30,6g 2∆x s =⇒ =⇒ ∆x = v02 2a F = ma = 21,0 kN 78 =⇒ 14 Kr¨afte Es wirkt die 30,6-fache Gewichtskraft, allerdings nur f¨ ur die Zeitspanne ∆t = 5. Ein Bob mit ,,Passagier” der Gesamtmasse 75 kg befindet sich ruhend auf einem schneebedeckten Hang der Neigung ϕ = 30◦ . Die Haftreibungszahl zwischen Bob und Schnee ist 0,20. Wie groß muss die Masse m sein, damit der Bob in Bewegung versetzt wird? kg 75 v0 a = 0,10 s. ϕ m L¨ osung: 50 kg 6. Wie verhalten sich die Bremswege bei sonst gleichen Bedingungen auf dem Mond und auf der Erde? (gMond ≈ 61 · gErde ) L¨ osung: Bei gleichen Reibungszahlen µ, gleichen Geschwindigkeiten v und gleichen Masse m sind die Reibungskr¨ afte FE = µmgErde und FM = µmgMond ≈ 1 · FE 6 uns damit die Betr¨ age der Beschleunigungen aE = µgErde und aM = µgMond ≈ 1 · aE . 6 Die Bremswege sind also sE = v2 2aE und sM = v2 v2 ≈ = 6sE 2aM 2 · 16 aE 7. Ein Eisstock der Masse 5,0 kg gleitet mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 10 ms 50 m weit. Wie groß ist die Reibungszahl zwischen Eis und Eisstock? L¨ osung: s = v02 2|a| =⇒ |a| = v02 m = 1,0 2 , 2s s F = µmg = m|a| 79 =⇒ µ= |a| = 0,10 g 14 Kr¨afte 8. F¨ ur die Reibungskraft zwischen Luft und einem K¨orper (Luftwiderstand) gilt folgender Zusammenhang: R = C · v 2 . C h¨angt von der Form des K¨orpers ab. F¨ ur einen kg Fallschirmspringer (m = 80 kg) ist C = 0,20 m bei geschlossenem und C = 16 kg bei m ge¨offnetem Schirm. Welche konstante Endgeschwindigkeit erreicht der Springer bei geschlossenem (ge¨offnetem) Schirm? L¨ osung: Die Geschwindigkeit ist konstant, wenn die Gesamtkraft auf den K¨orper null ist: ( r −63 ms = −226 km (Schirm geschlossen) mg 2 h = −mg + Cv = 0 =⇒ v = m km C −7,0 s = −25 h (Schirm offen) 9. Wir betrachten die Gewichtskraft eines Apfels an der Oberfl¨ache eines Himmelsk¨orpers. Verdoppelt (verdreifacht, . . .) man die Masse des Himmelsk¨orpers (bei konstant gehaltenem Radius) so verdoppelt (verdreifacht, . . .) sich die Gewichtskraft des Apfels. Halbiert (drittelt, . . .) man den Abstand des Schwerpunkts des Apfels vom Schwerpunkt des Himmelsk¨orpers (bei konstant gehaltener Masse des Himmelsk¨opers, so vervierfacht (verneunfacht, . . .) sich die Gewichtskraft des Apfels. Nun ist die Masse der Erde etwa 81–mal so groß wie die des Mondes und ihr Radius ist etwa 3, 7–mal so groß wie der des Mondes. Zeige, dass die Gewichtskraft des Apfels auf der Erde dann etwa 6–mal so groß ist wie auf dem Mond. L¨ osung: GErde = 81 3,72 · GMond ≈ 6 · GMond 10. Die Masse der Sonne ist etwa 330 000–mal so groß wie die der Erde und ihr Radius etwa 110–mal so groß wie der der Erde. Um welchen Faktor ist die Gewichtskraft eines K¨orpers an der Sonnenoberfl¨ache gr¨oßer als an der Erdoberfl¨ache? L¨ osung: 330 000 1102 ≈ 27 11. Wenn man die Masse eines Himmelsk¨orpers verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, . . .), dann erf¨ahrt ein Mensch, der sich an der Oberfl¨ache dieses Himmelsk¨orpers befindet die doppelte (dreifache, vierfache, . . .) Anziehungskraft, die ihn auf die Oberfl¨ache des Himmelsk¨orpers presst. Nun hat aber die Erde eine etwa 81–mal so große Masse wie der Mond. Aber die Gewichtskraft, die ein Mensch an der Erdoberfl¨ache erf¨ahrt, ist nur sechsmal so groß wie auf dem Mond. Woran liegt das? L¨ osung: Der Erdradius ist etwa 3,7–mal so groß wie der Mondradius. Also vergr¨oßert sich die Gewichtskraft nicht nur um den Faktor 81, sondern sie verringert sich auch um den Faktor 3,72 . Dies ergibt eine Vergr¨ oßerung der Gewichtskraft eines K¨orpers auf der Erde im Vergleich zum Mond um etwa den Faktor sechs. 12. Ein ICE hat mit der Lok die Gesamtmasse M = 327 t, die Lok allein hat die Masse m = 72,0 t. Die Haft- und Gleitreibungszahlen zwischen den R¨adern des Zuges und den Gleisen sind µH = 0,150 und µ = 9,00 · 10−2 , die Rollreibung darf vernachl¨assigt werden. 80 14 Kr¨afte (a) Welche maximale Beschleunigung a kann der Zug auf waagrechten Schienen erreichen, wenn die Motorkraft beliebig groß ist? (b) Der Zug beginnt zur Zeit t0 = 0 bei x0 = 0 eine Bewegung mit eben dieser maximalen Beschleunigung, bis zur Zeit t1 = 150 s die Notbremse gezogen wird. Dabei blockieren alle R¨ader des Zuges. Berechne den Bremsweg s und zeichne ein tv- und ein tx-Diagramm der ganzen Bewegung in geeignet gew¨ahlten Einheiten. (c) Untersuche, ob unser Zug f¨ ur die Befahrung der Strecke Garmisch-Klais (220 H¨ohenmeter auf 11 km Streckenl¨ange) geeignet ist. Je mehr Aspekte dein Gutachten enth¨alt, um so besser! L¨ osung: (a) Die maximale Antriebskraft ist die Haftreibungskraft der Lok: m m M a = µH mg =⇒ a = µH g = 0,324 2 M s m km = 175 s h Die Bremsverz¨ ogerung (Betrag der Beschleunigung beim Bremsen) ist (b) v1 = v(t1 ) = at1 = 48,6 a′ = m µM g = µg = 0,883 2 M s v m s 30 10 00 v1 Mit der Bremszeit ∆t = ′ = 55,0 s ist a der Bremsweg 0 0 100 1620 150 3645 170 4440 180 t s 100 180 t s x m v2 a′ s = ∆t2 = 1′ = 1,34 km 2 2a ( a 2 t x(t) = 2 ′ x1 + v1 (t − t1 ) − a2 (t − t1 )2 t s x m 100 4000 3000 f¨ u r t ≦ t1 f¨ u r t > t1 2000 1000 00 205 4983 0,22 km = 0,02, d.h. ϕ = 1,15◦ . 11 km Mit dem Hangabtrieb FH = M g sin ϕ und der Normalkraft der Lok FN = mg cos ϕ ist die maximale Antriebskraft beim Bergauffahren (c) Die Steigung der Strecke ist tan ϕ = F = µH mg cos ϕ − M g sin ϕ = M a Der Zug schafft also noch die Beschleunigung   m m a = µH cos ϕ − sin ϕ g = 0,128 2 M s Maximale Steigung: µH m tan ϕmax = = 0,033 =⇒ ϕmax = 1,89◦ M 81 15 Numerische L¨ osung der Bewegungsgleichung 1. Ein Fallschirmspringer (m = 80kg) verl¨asst ein Flugzeug und springt ab. (a) Stelle die zeitliche Entwicklung der wirkenden Gesamtkraft und der Geschwindigkeit in einem Diagramm qualitativ dar und erkl¨are diese physikalisch. (b) Berechnen die wirkende Gesamtkraft und die Beschleunigung bei einer Geschwindigkeit von 50km/h in einer H¨ohe von 5,0km. (c) Verwende Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung aus Teilaufgabe (b) als Startwerte einer Iteration und berechne den Ort 1s sp¨ater. kg Dichte der Luft: 1, 3 m 3 , cW,M ensch = 0, 78 L¨ osung: (a) Beim Absprung gilt Fges = G und damit Beschleunigung, also Geschwindigkeitszunahme; mit zunehmender Geschwindigkeit steigt Luftwiderstand und Fges = G − FL sinkt, bis sich gg. ein Kr¨ aftegleichgewicht einstellt; dann bleibt v konstant (b) 775N , 9, 7 sm2 (c) 4981m 2. Luftwiderstand Zwei Autos haben gleiche Querschnittsfl¨ache A = 2m2 , unterscheiden sich jedoch im cW -Wert. Ein Auto hat cW = 0, 3, das andere cW = 0, 4. Berechne den Luftwiderstand bei 10 km , 20 km , · · · 130 km und stelle das Ergebnis graphisch dar. h h h L¨ osung: . 82 15 Numerische L¨osung der Bewegungsgleichung 3. Wir untersuchen den freien Fall eines K¨orpers ohne Luftwiderstand unter Verwendung einer Tabellenkalkulation. Dabei ist die Fallbeschleunigung g = 9,81 sm2 . (a) Vervollst¨andig den nachstehenden Auszug aus einem Tabellenblatt. 83 15 Numerische L¨osung der Bewegungsgleichung A t in s 0,00 0,20 0,40 0,60 ... 2,00 1 2 3 4 5 ... 12 B v in m/s 0 ... ... ... ... (b) Berechne den Wert v (2,00 s) und vergleiche ihn mit dem Ergebnis, das du in der vorigen Teilaufgabe erhalten hast. L¨ osung: (a) Tabellenblatt: 1 2 3 4 5 ... 12 A t in s 0,00 0,20 0,40 0,60 ... 2,00 B v in m/s 0 =B2+9,81*(A3-A2) =B3+9,81*(A4-A3) =B4+9,81*(A5-A4) ... 19,62 sm2 (b) Best¨ atigung mit der zugeh¨ origen Bewegungsgleichung: v (t) = g · t ⇒ v (2,00 s) = 9,81 sm2 · 2,00 s = 19 (,62) m s. 4. Skydiving Der Pilot der US Air Force Joseph Kittinger nahm 1959 am Projekt Excelsior teil, welches ein Fallschirmsystem f¨ ur den Notausstieg in großen H¨ohen entwickelte. Bei seinem letzten Sprung im Rahmen von Excelsior am 16. August 1960 aus einer H¨ohe von 31.332 Metern stellte er drei Weltrekorde auf, die bisher (Stand 2010) nicht u ¨bertroffen wurden: H¨ochste Ballonfahrt mit offener Gondel, h¨ochste Geschwindigkeit eines Menschen ohne besondere Schutzh¨ ulle und l¨angster Fallschirmsprung. Der Fallschirm ¨offnete sich dabei nach 4,5min in einer H¨ohe von 5500m. Die gesamte Flugdauer betrug 13min 45s und er erreichte eine maximale Geschwindigkeit von 988km/h. (a) Welche Kr¨afte wirken auf Kittinger und wie ist deren zeitliche Entwicklung? ¨ (b) Wie ist die zeitliche Entwicklung der Geschwindigkeit bis zum Offnen des Fallschirms? ¨ (c) Welche Geschwindigkeit w¨ urde Kittinger bis zum Offnen des Fallschirms erreichen, wenn kein Luftwiderstand wirken w¨ urde. Nach welcher Zeit w¨ urde er kg unter diese Annahme seine Endgeschwindigkeit erreichen? (ρ5000m = 0, 5 m 3, cW (Mensch stehend) = 0, 78) 84 15 Numerische L¨osung der Bewegungsgleichung ¨ (d) Man kann annehmen, dass die maximale Geschwindigkeit kurz vor Offnen des Fallschirms erreicht wurde. Welcher Luftwiderstand wirkte zu diesem Zeitpunkt? Welche Gesamtmsse ergibt sich darauf f¨ ur Kittinger mit seiner Ausr¨ ustung? (e) Wie kann man den zeitlichen Verlauf des Fallschirmsprungs von Kittinger berechnen? L¨ osung: (a) Gesichtskraft G = mg = konstant; Luftwiderstandskraft FK = 12 cW ρv 2 A; Luftwiderstandskraft steigt an, bis diese den Wert der Gewischtskraft erreicht (b) Geschwindigkeit nimmt zu solange Luftwiderstand kleiner als Gewichtskraft; Zunahme verlangsamt sich (c) v = gt = 9, 81 sm2 · 4, 5 · 60s = 2649 m s t= vmax g = 988m 3,6s 9,81 m2 = 28s s (d) Sch¨ atzung: A = 0, 5m · 0, 2m = 0, 1m2 , kg 2 FL = 12 cW ρv 2 A = 21 · 0, 78 · 0, 5 m 3 · 0, 1m = 1m5kN FL = G = mg ⇒ m = 150kg (e) Iteration 5. Ein Auto bewegt sich 4 s lang nach dem Gesetz x(t) = 1 m 3 ·t . 10 s3 Berechne n¨aherungsweise die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Autos zur Zeit t1 = 3,0000 s. L¨ osung: Mit ∆t = 0,001 s folgt v(t1 ) ≈ Mit t2 = t1 − ∆t 2 x t1 + ∆t 2
− x t1 − ∆t ∆t 2
= 2,9995 s und t3 = t1 +
3,00053 − 2,99953 m m = = 2,700 10 · 0,001 s s ∆t 2 = 3,0005 s folgt
3,0003 − 2,9993 m m v(t2 ) ≈ = = 2,6991 10 · 0,001 s s


∆t x t3 + ∆t 3,0013 − 3,0003 m m 2 − x t3 − 2 v(t3 ) ≈ = = 2,7009 ∆t 10 · 0,001 s s x t2 + ∆t 2
− x t2 − ∆t a(t1 ) ≈ ∆t 2
m v (t3 ) − v (t2 ) = 1,800 2 ∆t s 85 15 Numerische L¨osung der Bewegungsgleichung 6. Die Ortsfunktion x(t) eines K¨orpers ist bekannt. Wie groß muss man das ∆t zur n¨aherungsweisen Berechnung der Geschwindigkeit v(t1 ) ungef¨ahr w¨ahlen, um ein m¨oglichst genaues Ergebnis zu erhalten? Beachte die Genauigkeit des Taschenrechners! F¨ uhre deine Untersuchungen am Beispiel   1 x(t) = 1 m · sin ·t mit t1 = 1 s s durch. Das auf zehn geltende Ziffern gerundete Ergebnis lautet u ¨ brigens v(t1 ) = 0,5403023059 m . s L¨ osung: Theoretisch wird durch v(t) ≈ x(t + ∆t) − x(t) ∆t oder das genauere
− x t − ∆t 2 v(t) ≈ ∆t v(t) umso genauer berechnet, je kleiner ∆t gew¨ahlt wird. Die begrenzte Stellenzahl des Taschenrechners setzt der Genauigkeit aber eine Grenze, da im Z¨ahler des Bruches zwei fast gleiche Terme voneinander subtrahiert werden: x t+ ∆t (in s) x(t + ∆t) (in m) ∆t 2 x(t) (in m)
x(t + ∆t) − x(t) v(t) ≈ x(t+∆t)−x(t) ∆t
in ms (in m) exakt: 0,5403023059 0,000 000 0054 0,54 10−8 0,841 470 9902 0,841 470 9848 10−6 0,841 471 5251 0,841 470 9848 0,000 000 5403 0,5403 10−4 0,841 525 0108 0,841 470 9848 0,000 054 0260 10−3 0,842 010 8663 0,841 470 9848 0,000 539 8814 0,540260 ≈ 0,5403 0,5398814 ≈ 0,54 Fazit: ∆t ungf¨ ahr halbe Taschenrechnergenauigkeit“, d.h. bei einem zehnstelligen Rechner ” w¨ahlt man ∆t = 10−5 . 7. Ein Auto beschleunigt im Zeitintervall [T1 , T2 ] mit T1 = 0 und T2 = 20 s nach dem Gesetz m m v(t) = −1,875 · 10−4 5 t4 + 0,15 3 t2 s s (a) Zeichne den Grafen der Funktion v(t) im angegebenen Intervall. W¨ahle die Einheiten t = 2 s = b 1 cm und v = 5 ms = b 1 cm (b) Berechne n¨aherungsweise den Weg ∆x, den das Fahrzeug w¨ahrend des Beschleunigens zur¨ ucklegt und veranschauliche deinen Rechenweg im gezeichneten Diagramm. Zerlege in 5 Teilintervalle. 86 15 Numerische L¨osung der Bewegungsgleichung (c) Berechne n¨aherungsweise die Beschleunigung a1 = a(6 s) des Autos. (d) Welche geometrischen Gr¨oßen im Grafen von v(t) entsprechen ∆x bzw. a1 ? L¨ osung: (a) t s 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 v v m s m s 30 0 0,597 2,352 5,157 8,832 13,125 17,712 22,197 26,112 28,917 30,0 25 20 15 10 5 2 (b) ∆t = 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t s 20 s = 4s 5 ∆x = [v(2 s) + v(6 s) + v(10 s) + v(14 s) + v(18 s)] ∆t = m · 4s = = [0, 597 + 5, 157 + 13, 125 + 22, 197 + 28, 917] s m = 69,993 · 4 s = 279,972 m ≈ 280 m s (c) Mit ∆t = 0,001 s folgt: 5,157819027 ms − 5,156181027 v(6,0005 s) − v(5,9995 s) = 0,001 s 0,001 s 0,001638 ms m = = 1,638 2 0,001 s s a1 = a(6 s) ≈ m s = (d) ∆x entspricht der Fl¨ ache unter dem Grafen und a1 der Steigung der Kurve im Punkt (6 s | v(6 s)). 8. Fallschirmspringen (a) Zuerst m¨ ussen wir eine Formel f¨ ur die Luftreibungskraft (den Luftwiderstand) FL finden. Bewegt sich ein K¨orper mit der Stirnfl¨ache A (sie steht senkrecht auf der Geschwindigkeit) und der Geschwindigkeit v um die Strecke ∆x, dann muss das Luft- 87 v A ∆x 15 Numerische L¨osung der Bewegungsgleichung volumen ∆V = A∆x aus dem Weg ger¨aumt“ werden. Dabei wird ein Bruchteil ” cw der Luftmasse (abh¨angig von der Stromlinienform des K¨orpers) tats¨achlich auf die Geschwindigkeit v beschleunigt. Beweise mit dem Energiesatz, dass f¨ ur den Luftwiderstand die Formel ̺ FL = cw · Av 2 2 git, wobei ̺ = 1,29 mkg3 die Dichte der Luft bezeichnet. cw nennt man auch den Luftwiderstandsbeiwert. (b) Ein Fallschirmspringer l¨asst sich zur Zeit t0 = 0 in der H¨ohe h = 1000 m u ¨ ber dem Boden aus einem Flugzeug fallen. In der ersten Flugphase (ohne Schirm) betr¨agt seine Stirnfl¨ache A1 = 1,0 m2 und der Widerstandsbeiwert ist cw1 = 0,84. Zur Zeit t1 = 26 s zieht er die Reissleine seines Schirms und ab jetzt gilt A2 = 40 m2 und cw2 = 1,33. Stelle die Bewegungsgleichung f¨ ur den Fallschirmspringer auf und l¨ose sie mit einem CAS. Verwende ein Koordinatensystem mit der x-Achse nach oben und dem Nullpunkt am Boden. Erstelle grafische Darstellungen der Funktionen x(t) und v(t). Hinweis zur Umsetzung: Bei den meisten Computeralgebrasystemen gibt es den Befehl piecewise f¨ ur abschnittsweise definierte Funktionen. Mache dich auch mit der Vorzeichenfunktion sgn(x) (Signum) vertraut (Internet), um dem Luftwiderstand das richtige Vorzeichen zu geben. (c) Berechne die konstanten Endgeschwindigkeiten v1 (ohne Schirm) und v2 (mit Schirm) ohne auf die numerische L¨osung zur¨ uckzugreifen. (d) Beantworte mit Hilfe der numerischen L¨osung folgende Fragen: i. Wann erreicht der Springer im freien Fall 99 % seiner Endgeschwindigkeit? ii. Wann erreicht der Springer den Boden? iii. Welche maximale Beschleunigung amax erf¨ahrt der Springer? Warum ist amax in der Realit¨at sicher kleiner? L¨ osung: (a) Die Masse der beschleunigten Luft ist mL = ̺cw A∆x Vom K¨ orper wird an der Luft die Arbeit W = FL ∆x verrichtet, die in kinetische Energie der Luft verwandelt wird: 1 1 FL ∆x = mL v 2 = ̺cw A∆xv 2 2 2 88 =⇒ FL = 1 ̺cw Av 2 2 15 Numerische L¨osung der Bewegungsgleichung 1 (b) F = −g − sgn(v) · ̺cw Av 2 2 =⇒ ( −g − sgn(v)C1 v 2 a(x, v, t) = −g − sgn(v)C2 v 2 f¨ u r t ≦ t1 f¨ u r t > t1 ̺ 1 ̺ 1 cw1 A1 = 0,00774 und C2 = cw2 A2 = 0,4902 2m m 2m m Es folgt eine Umsetzung der numerischen L¨osung mit MuPAD. Verwendet wird ein Halbschrittverfahren: mit C1 = reset (): DIGITS := 2 0 ; m := 7 0 ; cw1 := 0 . 8 4 ; cw2 := 1 . 3 3 ; rho := 1 . 2 9 ; A1 := 1 ; A2 := 4 0 ; C1 := rho /2/m∗cw1∗A1 ; C2 := rho /2/m∗cw2∗A2 ; g := 9 . 8 1 ; a1 := ( x , v , t ) −> −g−s i g n ( v ) ∗C1∗v ˆ 2 ; a2 := ( x , v , t ) −> −g−s i g n ( v ) ∗C2∗v ˆ 2 ; t1 := 2 6 ; a := ( x , v , t ) −> p i e c e w i s e ( [ t<=t1 , a1 ( x , v , t ) ] , [ t>t1 , a2 ( x , v , t ) ] ) ; x [ 0 ] := 1 0 0 0 ; v [ 0 ] := 0 ; t [ 0 ] := 0 ; dt := 0 . 0 1 ; n := 6 2 0 0 ; for i from 1 to n do t [ i ] := i ∗ dt ; vs := v [ i −1]+a ( x [ i − 1] , v [ i − 1] , t [ i −1])∗ dt / 2 ; xs := x [ i −1]+v [ i −1]∗ dt / 2 ; v [ i ] := v [ i −1]+a ( xs , vs , t [ i −1]+ dt /2)∗ dt ; x [ i ] := x [ i −1]+ vs ∗ dt ; end for ; Kv := [ t [ i ] , v [ i ] ] $ i=0 . . n : Kx := [ t [ i ] , x [ i ] ] $ i=0 . . n : Px := p l o t : : P o i n t L i s t 2 d ( [ Kx ] , ViewingBoxYRange=0 . . x [ 0 ] , P o i n t S i z e = 0 . 5 ) : p l o t ( Px , Pxx ) 89 15 Numerische L¨osung der Bewegungsgleichung x m 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 10 20 30 40 50 60 t s Pv := p l o t : : P o i n t L i s t 2 d ( [ Kv ] , P o i n t S i z e = 0 . 5 ) : p l o t ( Pv ) ; v m s 0 10 20 30 40 50 60 t s 0 −10 −20 −30 KF := [ t [ i ] , F( x [ i ] , v [ i ] , t [ i ] ) ] $ i=0 . . n : PF := p l o t : : P o i n t L i s t 2 d ( [KF] , P o i n t S i z e = 0 . 5 ) : p l o t (PF ) ; (c) Die Geschwindigkeit ist konstant, wenn die Gesamtkraft auf den K¨orper null ist: r m km mg = −128 = −35,6 −mg + C1 ∗ v12 = 0 =⇒ v1 = C1 s h r m km mg 2 −mg + C2 ∗ v2 = 0 =⇒ v2 = = −4,47 = −16,1 C2 s h 90 15 Numerische L¨osung der Bewegungsgleichung (d) i. v1 := −s q r t ( g /C1 ) ; −35.601149707068678867 0 . 9 9 ∗ v1 ; −35.2451 v[960]; −35.2442 v[961]; −35.2461 Er erreicht 99 % von v1 zur Zeit 9,6 s. ii. x [ 6 1 9 6 ] ; 0.018012 x[6197]; −0.026723 Er landet zur Zeit 62,0 s. iii. aa ( 2 6 0 0 ) ; −0.0000234886 aa ( 2 6 0 1 ) ; 416.388 ¨ Direkt nach dem Offnen des Fallschirms ist die Beschleunigung maximal: amax = 416 m = 42,4 g s2 In der Realitat tritt diese hohe Beschleunigung nicht auf, da sich der Fallschirm nicht schlagartig ¨ offnet. 91 16 Schwingungen 1. Was versteht man unter einer harmonischen Schwingung? L¨ osung: periodische Bewegung mit R¨ uckstellkraft proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage ) h¨angt eine Masse von 100g, die um 5cm in positive 2. An einer Feder (D = 10 N m x-Richtung aus der Ruhelage ausgelenkt und zur Zeit t = 0s losgelassen wird. (a) Berechne die Periodendauer der Federschwingung. (b) Berechne die maximale Geschwindigkeit der Masse bei der Schwingung. (c) Zeichne die zeitliche Entwicklung der Geschwindigkeit in ein Diagramm. L¨ osung: (a) T = 0, 63s (b) v = 0, 5 m s 3. Die physikalische Beschreibung von Federpendeln l¨asst sich auf andere Schwingun¨ gen u die Periodendauer des ¨bertragen. Erl¨autere, wie man durch diese Ubertragung Fadenpendels erh¨alt. L¨ osung: F = −mg sin α ≈ −mgαBogenmaß = −mg sl Bewegungsgleichung f¨ ur Fadenpendel: a = − gl s ⇒ T = 2π 92 q l g 17 Krummlinige Bewegungen 1. Markus steht am Gipfel eines Berges. Er tritt mit dem Fuß auf einen Stein (m=75g), der daraufhin u ¨ ber die Gipfelfl¨ache schlittert und mit einer Horizontalgeschwindigkeit m von 1, 5 s u ¨ber eine fast vertikale, 250m hohe Felswand hinausfliegt. (a) In welchem Abstand kommt der Stein am Fuß der Nordwand auf? (b) Wie groß ist seine Auftreffgeschwindigkeit? Skizziere die Bahnkurve des Steins. (c) F¨ ur eine genauere Untersuchung der Bewegung muss man den Luftwiderstand ber¨ ucksichtigen. i. Trage bei einer H¨ohe von 125m die Richtung der Geschwindigkeit und der Luftwiderstandkraft ein. ii. Wie ver¨andert sich die Luftwiderstandkraft vom wegkicken bis zur Landung des Steins. iii. Wie ver¨andert sich die Bahnkurve, wenn man den Luftwiderstand ber¨ ucksichtigt. L¨ osung: (a) 11m (b) 70 m s (c) − → − i. FL und → v tangential zur Bahnkurve ii. FL steigt, da v steigt, Richtung a¨ndert sich (wird vertikaler) iii. Abweichung von Parabelform; Flugweiter verk¨ urzt sich 93 17 Krummlinige Bewegungen 2. Nebenstehend ist der waagrechte Wurf einer Kugel durch ¨ Uberlagerung von Momentaufnahmen dargestellt. Die Bilder je zweier benachbarter Kugeln wurden jeweils in einem zeitlichen Abstand von 0,50 s aufgenommen. (a) Welche Geschwindigkeit hat die Kugel in x– Richtung? (b) Welche Geschwindigkeit in y–Richtung hat die a¨ußerst rechts unten dargestellte Kugel? y m 4,0 8,0 12 16 20 x m −5,0 −10 −15 −20 −25 −30 L¨ osung: (a) 8,0 ms (b) −25 ms 3. Ein K¨orper der Masse 0,50 kg bewegt sich auf einer kreisf¨ormigen Bahn mit einer Geschwindigkeit vom konstanten Betrag 4,0 ms entgegen dem Uhrzeigersinn. Die Zeichnung ist im Maßtab von 1 : 100 angefertigt. Trage in die nebenstehende Zeichnung sowohl die Richtung als auch den Betrag der Geschwindigkeit, der Zentripetalbeschleunigung und der Zentripetalkraft maßtabsgetreu im Punkt P der Kreisbahn ein. Beschrifte die Gr¨oßen entsprechend. W¨ahle dabei 1 cm f¨ ur 1 ss , 2 ss2 bzw. 2 N. bC M L¨ osung: 94 bC P 17 Krummlinige Bewegungen ~v bC M ~a bC P F~ 4. In dem James Bond–Film ,,Moonraker — Streng Geheim” ,,testet” 007 den Schwerkraftsimulator des B¨osewichts Sir Hugo Drax. Bei einer Belastung von 15 g, d.h. dass James Bond mit dem 15–fachen seines K¨orpergewichts gegen die Wand des Simulators gedr¨ uckt wird, zieht er die ,,Notbremse” und stoppt die Rotation des Simulators durch einen Pfeilschuss. Mit welcher Frequenz und mit welcher Bahngeschwindigkeit bewegt sich 007? Sch¨atze dabei den Radius der Kreisbahn auf der sich der Geheimagent bewegt ab. L¨ osung: Mit der Absch¨ atzung 20 m f¨ ur den Radius der Kreisbahn folgt √ m v2 ⇒ v = 15 r g = 54,2494239601 ms = 54 ms ≈ 195 km r = 15 m g h v = 2π rf ⇒ f= v 2πr = 1,4 Hz 5. Ein K¨orper beschreibt eine kreisf¨ormige Bahn, bei der er in gleichen Zeitabschnitten jeweils gleiche Wegabschnitte zur¨ ucklegt. In dieser Hinsicht k¨onnte man die Bewegung als gleichf¨ormig bezeichnen. Wieso spricht man bei einer solchen Bewegung trotzdem von einer beschleunigten Bewegung? L¨ osung: Der Betrag der Geschwindigkeit ist zwar konstant, aber die ihre Richtung ¨andert sich fortw¨ahrend. 6. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Punkt ¨ (a) am Aquator, ′ ′′ (b) an der Wetterstation auf der Zugspitze (geografische Breite 47◦ 25 20 Nord) 95 17 Krummlinige Bewegungen um die Rotationsachse der Erde, wenn wir davon ausgehen, dass die Erde eine Kugel vom Radius r = 6378 km ist. 2 π rE km = 1,7 · 103 24 h h ′ ′′ ◦ km 2 π rE cos 47 25 20 = 1,5 · 103 (b) 24 h h L¨ osung: (a) rE cos ϕ bC bC Zugspitze rE ϕ bC rE bC 7. Ein K¨orper beschreibt eine kreisf¨ormige Bahn, bei der er in gleichen Zeitabschnitten jeweils gleiche Wegabschnitte zur¨ ucklegt. In dieser Hinsicht k¨onnte man die Bewegung als gleichf¨ormig bezeichnen. Wieso spricht man bei einer solchen Bewegung trotzdem von einer beschleunigten Bewegung? L¨ osung: Der Betrag der Geschwindigkeit ist zwar konstant, aber die ihre Richtung ¨andert sich fortw¨ahrend. 8. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Punkt ¨ (a) am Aquator, ′ ′′ (b) an der Wetterstation auf der Zugspitze (geografische Breite 47◦ 25 20 Nord) um die Rotationsachse der Erde, wenn wir davon ausgehen, dass die Erde eine Kugel vom Radius r = 6378 km ist. 96 17 Krummlinige Bewegungen L¨ osung: 2 π rE km = 1,7 · 103 24 h h ′ ′′ 2 π rE cos 47◦ 25 20 = 1,5 · (b) 24 h km 103 h (a) rE cos ϕ bC Zugspitze bC rE ϕ rE bC 9. Seit 1989 ist der Olympia-Looping eine Attraktion auf der Wiesn. Der Durchmesser der Bahn betr¨agt 20 m. Der Zug durchf¨ahrt die Punkte A, B, C, D, E, F, B und G in der angegebenen Reihenfolge. bC bC F bC E D bC (a) Welche Geschwindigkeit muss der Zug in B besitzen, damit er den h¨ochsten Punkt F erreicht? Der Konstrukteur gibt an, dass Spitzengeschwindigkeiten von nahezu 100 km h−1 erreicht werden. Wieso ist dieser Wert gr¨oßer als der in dieser Aufgabe berechnete? M C bC bC bC bC bC A B G (b) Welche Richtung und welchen Betrag hat die Geschwindigkeit des Zuges, wenn die im Punkt F n¨otige Zentripetalkraft vollst¨andig von der Gravitationskraft aufgebracht wird? Vergleiche dein Ergebnis mit dem aus der vorangegangen Aufgabe. Welche Schlussfolgerung kannst du daraus ziehen? (c) Berechne den Betrag der Beschleunigung, die im Punkt B beim Verlassen des Kreises auf den Fahrgast wirkt in Vielfachen der Fallbeschleunigung. Vergleiche den von dir errechneten Wert mit dem vom Konstrukteur angegebenen Wert 97 17 Krummlinige Bewegungen von circa 5,2 g f¨ ur die maximale Beschleungigung, die der Fahrgast erf¨ahrt. (d) Wie ¨andert sich der Anteil der Graviationskraft an der Zentripetalkraft bei der Bewegung von B u ¨ber C und D nach E? L¨ osung: (a) v = √ 2 g d = 20 ms Aufgrund von Reibung und Luftwiderstand entstehen Energieverluste, so dass der Zug den h¨ ochsten Punkt nicht erreichen und abst¨ urzen w¨ urde. q (b) v = g2d = 20 ms = 9,9 ms Die Geschwindigkeit ist stets tangential bez¨ uglich der Kreisbahn. Das ist die H¨ alfte der in vorigen Teilaufgabe errechneten Geschwindigkeit. Also ist es nicht m¨ oglich, dass die gesamte Zentripetalkraft nur von der Gravitationskraft aufgebracht wird. 2 (c) aZ = mrv + m g = m 2r g d + m g = 5 g. Dieser Wert stimmt ,,recht” gut mit dem angegeben Wert u ¨ berein. (d) Durch eine Zerlegung der Gravitationskraft in die Tangential– und Radialkomponente findet man, dass der Anteil fortw¨ahrend zunimmt. Von B nach D dr¨ uckt die Radialkompontente der Gravitationskraft auf die Fahrbahn und von D nach F wird die Kraft mit der der Zug auf die Fahrbahn gedr¨ uckt wird durch die Radialkomponente vermindert. 10. Woher weiß man welche Masse die Erde hat und welche die Sonne? L¨ osung: Erdmasse M : m g = G mM 2 rE ⇒ M= 2 g rE , G dabei ist m der Wert einer beliebigen Masse, und rE der Erdradius, sowie wie G die Gravitationskonstante und g die Fallbeschleunigung an der Erdoberfl¨ache. Sonnenmasse M⊙ : Die Gravitationskraft zwischen Erde und Sonne liefert die f¨ ur die (n¨ aherungsweise) Kreisbewegung der Erde um die Sonne n¨otige Zentripetalkraft. ME M⊙ Somit l¨ asst sich aus G = ME ω 2 r der Wert M⊙ f¨ ur die Masse der Sonne berechnen, r2 wobei die Gravitationskonstante G, die Masse der Erde ME und der Abstand Erde–Sonne r bekannt sein m¨ ussen (ω ist die Winkelgeschwindigkeit f¨ ur die Bewegung der Erde um die Sonne). 11. Ein auf einem Hochhausdach in Bedr¨angnis geratener Spion versucht sich durch einen Sprung u ¨ber die s = 12,0 m breite Straßenflucht auf das um h = 5,00 m tiefer gelegene Dach des Nachbarhauses zu retten. Gehe davon aus, dass es sich bei dem Verfolgten um einen guten Sprinter 98 h s 17 Krummlinige Bewegungen handelt (100 m in 10,0 s) und untersuche die Erfolgsaussichten seines Vorhabens. Deine Ergebnisse sind durch Zeichnungen und Rechnungen zu belegen, der Luftwiderstand darf vernachl¨assigt werden. L¨ osung: Mit v0 = 10 ms , vx0 = v0 cos ϕ und vy0 = v0 sin ϕ folgt f¨ ur die Sprungdauer t: ~ v0 y ϕ h g y(t) = h + (v0 sin ϕ) · t − t2 = 0 2 mit der L¨ osung 1h t= v0 sin ϕ g + (−) p 2gh + (v0 sin ϕ)2 s i w x Die Weite des Sprungs ist w = (v0 cos ϕ) · t = ϕ w m 0 10,1 i p v0 cos ϕ h v0 sin ϕ + 2gh + (v0 sin ϕ)2 g 10◦ 11,8 11◦ 12,0 12. Ein Zirkusartist ( lebende Kanonen” kugel“) der Masse m = 68,0 kg l¨asst sich von einer Federkanone in die H¨ohe schießen. Die Feder der N H¨arte D = 1600 m wird dabei um d = 2,50 m zusammengedr¨ uckt (siehe Abb.). Berechne die M¨ undungsgeschwindigkeit v0 und die maximale H¨ohe h des Artisten u ¨ber der M¨ undung der Kanone f¨ ur 20◦ 13,3 30◦ 14,2 40◦ 14,2 45◦ 13,9 v0 v0 d d ϕ (a) (b) (a) eine senkrecht stehende Kanone (b) eine um ϕ = 60◦ gegen die Horizontale geneigte Kanone. ¨ Versuche auch (b) mit dem Energiesatz zu l¨osen. Uberlege dir zuerst, welche Geschwindigkeit ~v1 der Artist im h¨ochsten Punkt seiner Flugbahn hat. Du kannst auch (a) als Spezialfall von (b) behandeln! r D 2 m 2 m Dd2 L¨ osung: (a) d = v0 + mgd =⇒ v0 = − 2gd = 9,90 2 2 m s Dd2 D 2 d = mg(h + d) =⇒ h = − d = 7,50 m − 2,50 m = 5,00 m 2 2mg 99 17 Krummlinige Bewegungen (b) ~v0 =  vx0 vy0  =     v0 cos ϕ v , ~v1 = x0 v0 sin ϕ 0 D 2 m 2 d = v0 + mgd sin ϕ =⇒ 2 2 r Dd2 m v0 = − 2gd sin ϕ = 10,2 m s m 2 m 2 v = mgh + vx0 =⇒ 2 0 2 2 2 v − vx0 v 2 (1 − cos2 ϕ) v 2 sin2 ϕ h= 0 = 0 = 0 2g 2g 2g h = 4,00 m ~ v1 ~ v0 vy h vx ~ v0 d d sin ϕ ϕ Die Ergebnisse von (a) erh¨ alt man mit ϕ = 90◦ . 13. Die linke untere Abbildung zeigt eine rotierende Scheibe von oben. Dabei steht die Rotationsachse senkrecht auf der Scheibe und geht durch den Punkt D. Die Drehfrequenz wird so eingestellt, dass sich ein zylindrischer K¨orper K gerade noch auf der gestrichelten Linie bewegt. Bei einer Erh¨ohung der Frequenz wird K nach außen getragen. Nun wird die Scheibe, wie rechts unten abgebildet, um den Winkel α gegen die horizontale geneigt. Der K¨orper K beginnt gerade dann zu rutschen, wenn der Neigungswinkel α der Scheibe 35◦ betr¨agt. Berechne die Frequenz mit der sich die Scheibe gedreht hat. K D bC D bC K α 10 cm Blick von der Seite Blick von oben L¨ osung: Haftreibungskoeffizient µH = tan 35◦ = 0,70; Drehfrequenz f = 100 1 2π q mH g r = 1,3 Hz. 17 Krummlinige Bewegungen 14. Vom Punkt A springt ein Stuntman mit einer (Horizontal–)Geschwindigkeit von 30 km von einem 50 m hohen Hochhaus ab. h A 30 km h bC (a) In einer Entfernung von 100 m vom Punkt B befindet sich ein Lastwagen im Punkt C, dessen L¨ange und H¨ohe vernachl¨assigt werden d¨ urfen. Der Lastwagen f¨ahrt in Richtung des Punktes B mit einer Geschwindigkeit von 60 km . Begr¨ unde durch eine Rechh nung, dass der Stuntman nicht auf dem Lastwagen landen wird. 50 m bC Straße B 60 km C h bC 100 m (b) Welche Beschleunigung muss der Lastwagen haben, damit der Stuntman auf dem LKW landet? L¨ osung: (a) ,,Fallzeit” des Stuntman: h= 1 2 g t2 ⇒ t= r 2h = 3,2 s. g Stuntman und Lkw begegnen sich mit einer Relativgeschwindigkeit vom Betrag 90 km h = 25 ms . Beim Auftreffen auf dem Boden ist der Stuntman 100 m − 25 ms · 3,2 s = 80 m vom Lastwagen entfernt. (b) Damit der Stuntman auf dem Lastwagen landen kann muss dieser die fehlenden 20 m durch eine Beschleunigung ,,kompensieren”. 1 a · (3,2 s)2 = 20 m 2 . 101 ⇒ a= m 40 m 2 = 4,0 s2 (3,2 s) 18 Energie und Leistung 1. Die nebenstehend abgebildete Font¨ane ist das Wahrzeichen der Stadt Genf. (a) Sch¨atze die H¨ohe der Font¨ane ab. ¨ (b) Das Wasser verl¨asst die Offnung am unteren Ende der S¨aule mit einer Geschwindigkeit von etwa 150 km . Wie hoch steigt das Wash ser, wenn du den Luftwiderstand vernachl¨assigst? L¨ osung: 140 m, 150 m 2. Am 24.03.2011 war auf BR1 von einem Mitglied einer Interessenvertretung zu h¨oren, dass Deutschland 15 GW Strom exportiert. Nimm aus physikalischer Sicht Stellung zu dieser Aussage. L¨ osung: Die Basiseinheit der Stromst¨ arke ist das Ampere und GW ist eine Einheit der Leistung. Wir exportieren weder Strom noch Leistung, sondern Energie. Eine Einheit der Energie ist¨ ubrigens die Kilowattstunde (kWh). Diese Einheit solltest du auch auf der Rechnung des Energieversorgers deiner Eltern finden. 3. Das Walchenseekraftwerk 102 18 Energie und Leistung (a) Die Wasseroberfl¨ache (Fl¨acheninhalt 16 km2 ) des gef¨ ullten Walchensees befindet sich 200 m u ¨ber der Wasseroberfl¨ache des Kochelsees. Die tiefste Absenkung des Wasserspiegels des Walchensees betr¨agt 6,60 m. Wie viel Energie kann man demzufolge im Walchensee bezogen auf den Kochelsee speichern? (b) Wir groß ist die Geschwindigkeit des Wassers maximal beim Eintritt in eine Turbine, wenn wir eine H¨ohendifferenz von 200 m unterstellen? (c) Durch die vier Pelton und vier Francisturbinen fließen maximal 84 m3 Wasser in einer Sekunde. Welche theoretische Maximalleistung ergibt sich f¨ ur diesen Fall. (d) Wie groß ist der Wirkungsgrad des Kraftwerks, wenn wir wissen, dass die vom Kraftwerk gelieferte Leisung 124 MW betr¨agt? Druckrohre des Walchenseekraftwerks L¨ osung: (a) 2,0 · 1014 J = 5,8 · 107 kWh (b) 63 ms (c) 165 MW (d) 75% 4. Der Dachdecker und die Tonne I ¨ Uber ein Rolle sind der Dackdecker (75kg) mit einer Tonne (25kg) mit Ziegel (250kg) verbunden. Zu Beginn befindet sich die Tonne im 6. Stock (3m pro Stockwerk) und der Dachdecker am Boden. (a) Fertige eine Skizze mit den wirkenden Kr¨aften an. Welche Beschleunigung erf¨ahrt der Dachdecker? (b) Welche H¨ohenenergie hat die Tonne mit den Ziegeln zu Beginn? (c) Welche Energieumwandlungen findet statt, wenn der Dachdecker bis zum 6. Stock nach oben gezogen wird? (d) Welche H¨ohenenergie hat der Dachdecker im 6. Stock? (e) Mit welcher Geschwindigkeit kommt der Dachdecker im 6. Stock an? L¨ osung: (a) Fges = 2, 0kN ; a = 5, 7 sm2 103 18 Energie und Leistung (b) Epot1 = 48kJ (c) Epot,T onne ↓, Epot,Dachdecker ↑,Ekin,T onne ↑, Ekin,Dachdecker ↑, (d) Epot2 = 13kJ (e) v = 14 m s 5. Der Dachdecker und die Tonne II ¨ Uber ein Rolle sind der Dackdecker (75kg) mit einer Tonne (25kg) mit Ziegel (250kg) verbunden. Der Dachdecker wird von der Tonne nach oben gezogen; die Tonne bewegt sich nach unten. Beim Aufprall der Tonne auf dem Boden f¨allt der Boden aus der Tonne und die Ziegel fallen heraus. Nun bewegt sich der Dachdecker wieder nach unten. (a) Fertige eine Skizze mit den wirkenden Kr¨aften an. Welche Kraft und Beschleunigung erf¨ahrt der Dachdecker? (b) Welche H¨ohenenergie hat die Tonne bzw. der Dachecker im 6. Stock (3m pro Stockwerk)? (c) Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Dachdecker am Boden auf? (d) Nun reißt das Seil. Mit welcher Geschwindigkeit trifft die Tonne am Boden auf? L¨ osung: (a) Fges = 0, 49kN ; a = 4, 9 sm2 (b) Epot,T onne = 4, 4kJ, Epot,Dachdecker = 13kJ (c) Ekin1 = 13kJ − 4, 4kJ = 8, 6kJ; v = 13 m s (d) Ekin2 = 19 m s 6. Arbeit und Leistung F¨ uhre die folgenden Aufgaben zusammen mit anderen Sch¨ ulern aus. (a) Leistung beim Treppensteigen • Bestimme im Treppenhaus die senkrechte H¨ohe der Treppe vom Erdgeschoss bin in den zweiten Stock. • Ein Sch¨ uler l¨auft schnell die Treppe hinauf, die anderen stoppen die daf¨ ur ben¨otigte Zeit. • Bestimme f¨ ur jeden Sch¨ uler die Masse. • Stelle f¨ ur die verschiedenen Sch¨ uler die Masse, die Gewichtskraft, die verrichtete Arbeit, die ben¨otigte Zeit und die Leistung in einer Tabelle da. • Wer hat am meisten geleistet? (b) Leistung beim Gewichtheben 104 18 Energie und Leistung • Ein Sch¨ uler stemmt eine Handel n-mal, die anderen stoppen die daf¨ ur ben¨otigte Zeit. • Bestimme die Masse und die Hubh¨ohe der Hantel. • Stelle f¨ ur die verschiedenen Sch¨ uler die Masse, die Gewichtskraft, die verrichtete Arbeit, die ben¨otigte Zeit und die Leistung in einer Tabelle da. • Wer hat am meisten geleistet? (c) Leistung bei Liegest¨ utzen • Bestimme mit einer Personenwaage die Kraft, mit der sich ein Sch¨ uler bei der Liegest¨ utze abst¨ utzt. • Bestimmt an der Schulter die Hubh¨ohe bei der Liegest¨ utze. • Ein Sch¨ uler macht n Liegest¨ utzen, die anderen stoppen die daf¨ ur ben¨otigte Zeit. • Stelle f¨ ur die verschiedenen Sch¨ uler die Kraft, die Hubh¨ohe, die verrichtete Arbeit, die ben¨otigte Zeit und die Leistung in einer Tabelle da. • Wer hat am meisten geleistet? L¨ osung: 7. Trampolinspringer Im Diagramm unten siehst du in Abh¨angigkeit von der H¨ohe die Energieformen eines Trampolinspringers, der sich in unterschiedlichen H¨ohen bewegt. Dabei werden H¨ohenenergie, Spannenergie und kinetische Energie ann¨ahernd vollst¨andig und verlustfrei ineinander umgewandelt, so dass die Gesamtenergie als konstant angenommen werden kann. Der tiefste Punkt des Springers wird dabei als Punkt mit der H¨ohenenergie 0 definiert. 105 18 Energie und Leistung (a) Beschreibe mit Hilfe des Diagramms, welche Energieformen beim Trampolinspringen in welcher Sprungphase vorliegen. Beschreibe auch mit Worten den Verlauf der kinetischen Energie. (b) Zeichne in das Diagramm den Verlauf der kinetischen Energie ein, wobei in der H¨ohe 2,8 m ausschließlich H¨ohenenergie vorliegen soll. (c) Entnimm deinem Diagramm, in welcher H¨ohe in etwa die kinetische Energie maximal ist! Wie groß ist diese ungef¨ahr, wie groß ist ihr Anteil an der Gesamtenergie? Quelle: Staatsinstitut f¨ ur Schulqualit¨at und Bildungsforschung L¨ osung: In ca. 35 cm H¨ ohe ist Ekin maximal, sie betr¨agt etwa 1, 2kJ. Das sind ca. 84% der Gesamtenergie. 8. Inlineskater Die Bildsequenz einen Inlineskater auf einer Halfpipe. Die Bilder haben einen zeitlichen Abstand von 0,50 s. 106 18 Energie und Leistung (a) Treffe zu jedem der sechs Bilder eine Aussage u ¨ ber die jeweils vorhandenen Energieformen. Gib an wie sich die jeweiligen Energieformen gegen¨ uber dem vorangegangenen Bild ver¨andert haben und wann Maximalwerte erreicht sind. (b) Bestimme an Hand der Bilder 3 und 4, wie schnell der Inlineskater in der Ebene in etwa ist. Die Halfpipe ist etwa 3 m hoch. (c) Berechne die Gesamtenergie des Inlineskater. Er hat eine Masse von 35 kg. Quelle: Staatsinstitut f¨ ur Schulqualit¨at und Bildungsforschung agt in etwa 1, 1kJ L¨ osung: Die Geschwindigkeit betr¨ agt in etwa 8 m s . Die kinetische Energie betr¨ 9. Bungeespringer Untersucht das Verhalten eines Bungeespringers unter dem Gesichtspunkt der Energieumwandlung! • Welche Formen mechanischer Energie treten auf? • An welcher Stelle hat der Bungeespringer die gr¨oßte Geschwindigkeit? • Baut dazu ein Modell eines Bungeespringers mit einfachen Mitteln aus der Physiksammlung! Pr¨asentiert eure Ergebnisse auf einem Poster mit Zeichnungen und Illustrationen und findet mit Hilfe des Internets etwas u unge und die Gefahren des ¨ber die Urspr¨ Bungeespringens heraus! Quelle: Staatsinstitut f¨ ur Schulqualit¨at und Bildungsforschung L¨ osung: 107 18 Energie und Leistung 10. Reißen beim Gewichtheben Beim Gewichtheben muss man eine Langhantel vom Boden aus zur Lage u ¨ ber dem Kopf bei ausgestreckten Armen (sogenannte Hochstrecke!) bringen. Bei der Disziplin Reißen“ wird die Hantel in einem Zug zur Hochstrecke gebracht. Dabei greift der ” Gewichtheber die Hantel so nahe an den Gewichtsscheiben, dass sie in der Hochstrecke nur wenig u ¨ber dem Kopf liegt. Der amtierende iranische Weltrekordler im Reißen Hossein Rezazadeh brachte es am 14.09.2003 auf 213 kg. Berechne unter der Annahme eines H¨ohenunterschiedes von 1,80 m zwischen Boden und Hochstrecke (a) die vom Gewichtheber an der Hantel verrichtete Arbeit. (b) den Zuwachs an H¨ohenenergie, den die Hantel dabei erh¨alt. Quelle: Staatsinstitut f¨ ur Schulqualit¨at und Bildungsforschung L¨ osung: (a) Die verrichtete Arbeit ist 3, 8kJ. (b) Der Zuwachs an H¨ ohenenergie ist ebenfalls 3, 8kJ. 11. Ein Hybridauto wird von einem Benzin- und von einem Elektromotor angetrieben. Beim Bremsen des Autos wird die kinetische Energie mit Hilfe eines Dynamos in einem Akku gespeichert. Der Akku treibt bei Bedarf den Elektromotor an (Wirkungsgrad η = 80%). Der Verbrennungsmotor des Autos bringt mit einem Liter Benzin die Energie 9,0 MJ auf die Straße. Das Auto der Masse m = 800 kg bremst bei einer Fahrt durch die Stadt 50 mal von der Geschwindigkeit v1 = 54 km auf v2 = 18 km ab. Wie viele Liter Benzin spart die h h dadurch im Akku gespeicherte Energie ein? L¨ osung: Der Elektromotor bringt die Energie W = 0,8 · 50 · m 2 v12 −
m2 m 2 v2 = 0,8 · 25 · 800 kg · 152 − 52 = 3,2 MJ 2 s2 auf die Straße. Das ergibt eine Einsparung von 3,2 l = 0,36 l. 9 12. Bungee-Springen mit der Feder N h¨angt ein Massest¨ uck mit 20g. Die Feder An einer Feder mit der Federh¨arte D = 1 m hat dann eine L¨ange von l1 = 30cm. (a) Wie lange w¨are die Feder, wenn man das Massest¨ uck wegnehmen w¨ urde? 108 18 Energie und Leistung (b) Wie kann man die Federh¨arte D experimentell bestimmen? Nun wird die Feder auf eine L¨ange von l2 = 100cm gedehnt und anschließend losgelassen. Das Massest¨ uck bewegt sich nach oben und springt u ¨ber den Aufg¨angepunkt der Feder hoch. (c) Beschreibe die Energieumwandlungen die auftreten vom Loslassen des Massest¨ ucks bis zum Erreichen des H¨ochsten Punkts. (d) Berechne die Spannenergie der Feder im gedehnten Zustand. (e) Berechne die Sprungh¨ohe des Massest¨ ucks. (f) Nach Erreichen des h¨ochsten Punkts f¨allt das Massest¨ uck auch den Boden. Mit welcher Geschwindigkeit trifft es dort auf? L¨ osung: (a) G = 0, 2N , ∆s = G D = 0,2N N 1m = 0, 2m, l0 = l1 − ∆s = 10cm (b) Z. B.: verschiedene Massest¨ ucke (Masse mi ) an die Feder h¨angen und die zugeh¨ orige mi ·g Dehnung ∆si messen; jeweils Federh¨arte D = ∆si berechnen und Mittelwert bilden ODER s-F-Diagramm zeichnen und Steigung der Ausgleichsgerade bestimmen (c) (d) Esp = 21 Ds2 = 1 2 2 · 1N m · 1, 9m = 1, 8J (e) Epot = Esp = mgh ⇒ h = 1,8J 0,02kg·9,81 m2 = 9, 2m s (f) Auftreffgeschwindigkeit h¨ angt davon ab, wie weit u uck zu ¨ ber dem Boden das Massest¨ Beginn ist; Annahme: Massest¨ uck ist zu Beginn 1m u ¨ber dem Boden ⇒ Ekin = Esp + Epot,1m = 1, 8J + 0, 02kg · 9, 81 sm2 · 1m = 2, 0J, v2 = 2Ekin m ⇒ v = 14 m s 13. Ein Kletterer der Masse m = 70 kg erklimmt einen Felsturm der H¨ohe h = 27,0 m und st¨ urzt sich dann mit einem Hechtsprung ins Meer. (a) Welche Hubarbeit WH verrichtet er beim Aufstieg? h (b) Erl¨autere genau, welche Arbeit w¨ahrend des Sprungs am Kletterer verrichtet wird und in was diese Arbeit verwandelt wird. (c) Mit welcher Geschwindigkeit v trifft der Wagemutige auf die Wasseroberfl¨ache? Ergebnis in ms und in km . h 109 v Meer 18 Energie und Leistung N · 27 m = 1,85 · 104 J kg (b) W¨ ahrend des Sprungs wirkt immer die Gewichtskraft FG = mg auf den Kletterer und zwar u ¨ ber die ganze Strecke h. Deshalb wird am Kletterer die Arbeit ∆W = mgh verrichtet und diese wird in kinetische Energie verwandelt. p m m 2 m2 km (c) mgh = v =⇒ v 2 = 2gh = 530 2 =⇒ v = 2gh = 23,0 = 82,9 2 s s h L¨ osung: (a) WH = mgh = 70 kg · 9,81 14. Ein Eisenbahnwaggon der Masse m = 1,50 · 104 kg v prallt mit der Geschwindigkeit v = 0,52 ms auf eim ne starke Feder mit der Federkonstanten D. Der Waggon kommt zum Stillstand, wenn die Feder um ∆x = 65 cm zusammengedr¨ uckt ist. (a) Welche Energieumwandlung tritt w¨ahrend des Bremsvorgangs auf? D (b) Berechne D. L¨ osung: (a) Die kinetische Energie des Waggons wandelt sich in die Spannenergie der Feder um. m 2 D (b) v = ∆x2 2 2 =⇒ 1,5 · 104 kg · 0,522 mv 2 D= = ∆x2 0,652 m2 m2 s2 = 9,6 · 103 N m 15. Bei einem Wasserkraftwerk fallen in ∆t = 1,50 min 200 m3 Wasser auf die h = 150 m tiefer liegenden Turbinen (ein Liter Wasser hat die Masse 1 kg). Der Wirkungsgrad der Anlage betr¨agt 80%. Berechne die Leistung PW des fallenden Wassers und die von den Generatoren abgegebene elektrische Leistung Pe . L¨ osung: 1 m3 = 1000 dm3 =⇒ m = 200 · 1000 kg = 200 000 kg ∆W = mgh = 294,3 MJ mgh 294,3 MJ ∆W = = = 3,27 MW PW = ∆t ∆t 90 s Pe = 0,8 · PW = 2,62 MW 16. Ein Elektromotor nimmt die elektrische Leistung Pe = 60,0 W auf und setzt sie mit dem Wirkungsgrad η = 65,0% in mechanische Leistung um. Wie lange dauert es, bis N um ∆x = 5,00 cm gedehnt hat? dieser Motor eine Feder mit D = 3900 cm L¨ osung: Die mechanische Leistung des Motors ist Pm = ηPe = 39 W. D ∆W = Pm ∆t = ∆x2 2 ∆t = N 3900 cm · 25 cm2 2500 N cm s 25 N m s D∆x2 = = = 12,5 s = 2Pm 2 · 39 W 2J 2Nm 110 18 Energie und Leistung 17. Ein Auto der Masse m = 900 kg f¨ahrt auf einer Straße ohne Steigung. Der Motor erteilt dem Fahrzeug die Antriebskraft FA = 2,5 kN, die Rollreibungskraft betr¨agt FR = 400 N. Vom Luftwiderstand kann abgesehen werden, da das Auto noch langsam f¨ahrt. Berechne die Beschleunigung a des Autos und die Reibungszahl µ. kg m 2100 s2 F m = = 2,3 2 m 900 kg s FR 400 N µ= = = 0,045 N mg 900 kg · 9,81 kg L¨ osung: F = FA − FR = 2100 N FR = µmg =⇒ =⇒ a= 18. Nebenstehende Abbildung zeigt den Sturz eines Kletterers der Masse m in ein Seil. Bei x0 = 0 beginnt der Sturz mit der Geschwindigkeit v0 = 0, bei x1 = 6,0 m ist das Seil gerade gespannt und beginnt sich zu dehnen, bei x2 = 9,0 m erreicht der Kletterer den tiefsten Punkt, der als Nullpunkt der potentiellen Energie verwendet wird. In der ganzen Aufgabe ist der Luftwiderstand zu vernachl¨assigen und mit dem Wert g = 10 sm2 f¨ ur die Fallbeschleunigung zu rechnen! 0 1 2 3 4 5 6 7 (a) Schreibe einen kurzen aber vollst¨andigen Zeitungsbericht“ ” 8 u ¨ber den Sturz, in dem es nur um die beteiligten Energie9 formen und um ihre Umwandlungen ineinander geht. Der x Bericht soll so beginnen: Am Ort x0 ist nur ...“. m ” (b) Begr¨ unde genau, warum der Graf der Funktion Wp (x) (potentielle Energie des Kletterers, x ist der Ort des Kletterers) eine Gerade ist und zeichne sie in das unten angegebene Diagramm ein. (c) Im Diagramm sind schon zwei Werte der Funktion WS (x) (Spannenergie des Seils in Abh¨angigkeit vom Ort x des Kletterers) eingezeichnet; ermittle durch ¨ Uberlegen (nat¨ urlich mit Protokoll deiner Gedanken) oder durch Rechnung noch weitere Werte von WS und zeichne auch den Grafen von WS ein. (d) Zeichne den Grafen der Gesamtenergie Wges ein. Beschreibe kurz, wie man aus den vorhandenen Grafen den der kinetischen Energie Wk finden kann. F¨ ulle nebenstehende Wertetabelle aus und zeichne dann den Grafen von Wk in das Diagramm ein. Welche Geschwindigkeit in km hat h der Kletterer bei x = 6,0 m? 111 x m 0 6 7 8 9 Wges (x) J Wp (x) J WS (x) J Wk (x) J 18 Energie und Leistung Verwende verschiedene Farben (nicht rot!) f¨ ur die Grafen und beschrifte sie! W J Wp (0) 9000 WS (8 m) 5000 WS (7 m) 2000 Wp (9 m) 2 1 0 3 4 6 5 9 8 7 x m (e) Wie groß sind die Masse m des Gest¨ urzten und die Federkonstante D des Seils? Am Ort x3 , an dem der Kletterer seine gr¨oßte Geschwindigkeit hat, ist die Gesamtkraft F auf ihn null, d.h. F (x3 ) = 0; warum? Berechne x3 . L¨ osung: (a) Am Ort x0 ist nur die potentielle Energie des Kletterers gr¨oßer als null. Zwischen x0 und x1 wird Wp immer kleiner und verwandelt sich in kinetische Energie; die Spannenergie des Seils ist immer noch null. Zwischen x0 und x1 verwandelt sich die restliche potentielle und die kinetische Energie in Spannenergie, bis zum Schluss bei x2 die ganze anf¨ angliche potentielle Energie in Spannenergie umgewandelt wurde. (b) Die H¨ ohe h des Kletterers u ¨ ber dem tiefsten Punkt ist h = 9 m − x, d.h. Wp = mgh = mg(9 m − x) = mg · 9 m − mgx Das ist eine lineare Funktion von x. (c) WS (x) = 0 f¨ ur 0 ≦ x ≦ x1 . W S(x2 ) = 9000 J. Aus dem Energiesatz Wp + Wk + WS = Wges folgt Wk (x) = Wges (x) − Wp (x) − WS (x) m 2 v = mgx1 2 Wges (x) J Wp (x) J WS (x) J 0 9000 9000 0 0 6 9000 3000 0 6000 7 9000 2000 1000 6000 8 9000 1000 4000 4000 9 9000 0 9000 0 x m (d) Wges = 9000 J. =⇒ v 2 = 2gx1 = 120 112 m2 s2 =⇒ v = 11 m km = 39 s h Wk (x) J 18 Energie und Leistung W J Wges 9000 Wp Wk WS 5000 2000 0 1 2 4 3 5 6 7 8 9 x m (e) Die maximale Seildehnung ist ∆x = 3 m. Wges = mgx2 =⇒ m= Wges 9000 J = 100 kg = N gx2 10 kg · 9m 2mgx2 2 · 9000 J N D ∆x2 = Wges = mgx2 =⇒ D = = = 2000 2 2 2 ∆x 9m m Die Geschwindigkeit wird gr¨oßer, solange die Beschleunigung nach unten (in Richtung der x-Achse) zeigt, d.h. a(x) > 0 f¨ ur x < x3 und a(x) < 0 f¨ ur x > x3 . Es gilt also a(x3 ) = 0 und damit F (x3 ) = 0. F (x3 ) = mg − D · ∆x3 = 0 =⇒ ∆x3 = N 100 kg · 10 kg mg = = 0,5 m N D 2000 m Es gilt also x3 = x1 + ∆x3 = 6,5 m 19. Der Prellbock am Ende eines Gleises enth¨alt zwei starke Federn der H¨arte N D = 2,5 · 106 m (je Feder). Ein Waggon der Masse m = 18 t prallt mit der Geschwindigkeit v = 18 km auf den Prellh bock. Berechne die kinetische Energie des Waggons vor dem Aufprall und die Strecke x, um die die Federn zusammengedr¨ uckt werden. Federn  m 2 m 2 D = 225000 J = 2 · x2 = Dx2 v = 9000 kg · 5 2 s 2 W k = 0,09 m, x = 0,3 m x2 = D L¨ osung: Wk = 113 18 Energie und Leistung 20. (a) Welche Hubarbeit verrichtet ein Bauarbeiter der Masse m = 75 kg, der einen Zementsack der Masse m1 = 40 kg vom Garten in den zweiten Stock tr¨agt (h = 7,2 m)? (b) Welche Reibungsarbeit wird von K¨aptn Hook verrichtet, der eine Schatzkiste mit der konstanten Kraft F = 120 N 80 m u ¨ ber den Boden schleift? (c) Welche Beschleunigungsarbeit wird an einer Gewehrkugel der Masse m = 25 g verrichtet, die von null auf v = 410 ms beschleunigt wird? N (d) Welche Spannarbeit wird an einer Feder der H¨arte D = 4500 m verrichtet, die vom entspannten Zustand aus um 6,4 cm zusammengedr¨ uckt wird? N · 7,2 m = 8,1 kJ kg (b) W = 120 N · 80 m = 9600 J = 9,6 kJ L¨ osung: (a) Wh = (m + m1 )gh = 115 kg · 9,81 m2 m 2 0,025 kg v = · 4102 2 = 2,1 · 103 J = 2,1 kJ 2 2 s N 4500 m D · 0,0642 m2 = 9,2 J (d) W = ∆x2 = 2 2 (c) W = 21. (a) Mit welcher Geschwindigkeit prallt ein Stein auf den Boden, der von einem . 24,0 m hohen Turm f¨allt? Ergebnis in ms und km h (b) Ein Eisenbahnwaggon der Masse m prallt mit der Geschwindigkeit v = 0,52 ms N auf eine starke Feder mit der Federkonstanten D = 9,6 · 103 m . Der Waggon kommt zum Stillstand, wenn die Feder um ∆x = 65 cm zusammengedr¨ uckt ist. Berechne m. L¨ osung: (a) m 2 v = mgh 2 m 2 D v = ∆x2 (b) 2 2 =⇒ =⇒ v 2 = 2gh = 470,88 m2 s2 =⇒ v = 21,7 m km = 78,1 s h 9,6 · 103 kg · 0,652 m2 D∆x2 s2 = 1,50 · 104 kg m= = 2 v2 0,522 m2 s 22. Hans und Eva spielen mit W¨ urfeln der Kantenl¨ange a = 12 cm und der Masse m = 400 g. Hans stapelt acht der W¨ urfel, die alle auf dem Boden liegen, der Reihe nach aufeinander zu einem Turm. Eva schiebt ebenfalls acht W¨ urfel auf dem Boden zu einem Turm zusammen und stellt dann den ganzen Turm auf einmal senkrecht. (a) Welche Gesamtarbeit WH verrichtet Hans an den W¨ urfeln? (b) Welche Arbeit WE verrichtet Eva beim Aufstellen des Turms? Tipp: Du darfst dir die ganze Masse des Turms in seinem Mittelpunkt (Schwerpunkt) vereint denken. 114 18 Energie und Leistung L¨ osung: (a) Der erste W¨ urfel bleibt liegen, also h1 = 0, der zweite W¨ urfel wird um h2 = a gehoben, der dritte um h3 = 2a usw.: W = mgh1 + mgh2 + ... + mgh8 = mg(a + 2a + ... + 7a) = = mga(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 28mga = 13,2 J (b) Wenn der Turm am Boden liegt, ist der Schwerpunkt in der H¨ ohe h1 = a2 , beim senkrecht stehenden Turm in der H¨ohe h2 = 4a. Der Schwerpunkt wird um h2 − h1 gehoben:  7a a = 8mg · = 28mga W = 8mg 4a − 2 2 S S 4a a 2 23. Mit drei quaderf¨ormigen, am Boden liegenden Betonbl¨ocken wird ein Modell eines Teils von Stonehenge (rechte Figur in der Abbildung) errichtet. a1 = 7,00 m a2 = 5,00 m b = 1,60 m m1 = 45,0 t m2 = 32,0 t a1 a1 m1 b a2 m1 m2 (a) Welche Gesamtarbeit Wges wird beim Aufrichten der Bl¨ocke verrichtet? Du darfst dir die ganze Masse der Betonbl¨ocke in ihren Mittelpunkten (Schwerpunkten) vereint denken. (b) Der obere Block wird von einem Kran vom Boden aus in seine Endlage gebracht. Der Kran wird von einem Elektromotor mit der elektrische Leistung Pe = 10,0 kW und dem Wirkungsgrad 80 % angetrieben. Wie lange dauert das Anheben des Blocks? (c) Durch eine Unvorsichtigkeit f¨allt der obere Block wieder herunter. Mit welcher Geschwindigkeit v prallt er auf den Boden? L¨ osung: (a) W1 = 2 · m1 g  a1 b − 2 2  = 90 000 kg · 9,81 W2 = m2 ga1 = 32 000 kg · 9,81 N · 7 m = 2,20 · 106 J kg Wges = W1 + W2 = 4,58 · 106 J (b) 80 % · Pe · ∆t = W2 =⇒ N · 2,7 m = 2,38 · 106 J kg ∆t = W2 2,20 · 106 J = = 275 s 0,8 Pe 8000 Js 115 18 Energie und Leistung (c) m 2 v = mga1 2 =⇒ =⇒ km m = 42 s h v = 11,7 v 2 = 2ga1 = 2 · 9,81 m m2 · 7 m = 137,34 s2 s2 24. Ein Auto f¨ahrt mit der konstanten Geschwindigkeit v = 126 km auf der Autobahn h dahin und wird dabei von der Kraft FA = 400 N angetrieben. (a) Beschreibe ganz genau, warum das Auto trotz der Antriebskraft nicht beschleunigt wird! (b) Wie ist die physikalische Gr¨oße Leistung definiert? Ausgehend von dieser Definition ist die Leistung zu berechnen, die der Automotor w¨ahrend der Fahrt aufbringt. L¨ osung: (a) Die Reibungskraft (Rollreibung und Luftwiderstand) wirkt der Antriebskraft entgegen, die Gesamtkraft auf das Auto ist null. Fges = FA − FR = ma = 0 (b) P = =⇒ a=0 =⇒ v = konstant FA · ∆x m ∆W = = FA · v = 400 N · 35 = 14 kW ∆t ∆t s 25. Schreibe in die K¨astchen entweder w f¨ ur wahr oder f f¨ ur falsch: Energie ... ... ist Leistung pro Zeit ... ist gespeicherte Arbeit J2 Nm ... hat die Einheit Ws ... hat die Einheit ... ist Zeit mal Leistung ... ist Kraft durch Weg ... ist in einem abgeschlossenen System konstant Raum f¨ ur erforderliche Nebenrechnungen: ... hat die Einheit N · cm L¨ osung: Energie ... w ... ist Leistung pro Zeit f J2 Nm w ... ist Zeit mal Leistung w ... hat die Einheit Ws w ... ist Kraft durch Weg f ... hat die Einheit N · cm w ... ist in einem abgeschlossenen System konstant w ... ist gespeicherte Arbeit ... hat die Einheit 116 18 Energie und Leistung Raum f¨ ur erforderliche Nebenrechnungen: J2 J2 = = J, Nm J Ws = J s ·s=J 26. (a) Ein Mtb–Fahrer ben¨otigt f¨ ur die 6,2 km lange Strecke vom Finzbach zur Kr¨ uner Alm 27 min. Sein Startpunkt beim Finzbach liegt auf 860 m¨ uNN und sein Ziel bei 1410 m¨ uNN. Die Masse seines K¨orpers und seines Fahrrades betr¨agt 85 kg (g = 9,81 kg ). Berechne die durchschnittliche Leistung, die der Mtb–Fahrer s2 erbringt. (b) Nachdem der Mtb–Fahrer an der Kr¨ uner Alm angekommen ist, f¨ahrt er wieder zur¨ uck zum Ausgangspunkt am Finzbach. In nebenstehendem Diagramm ist in der Horizontalen die H¨ohe u ¨ber NN eingetragen. In der Vertikalen werden Energien eingetragen. Die H¨ohenergie soll f¨ ur h = 860 m Null sein. Trage den Verlauf der i. H¨ohenenergie, ii. kinetischen Energie und iii. Gesamtenergie ein und kennzeichne die Kurven. L¨ osung: (a) P = (b) Energie 46 kJ 860 m 85 kg · 9,81 sm2 · 550 m mgh = = 0,28 kW t 1620 s Energie 46 kJ Eges Ekin Eh h 860 m 1410 m 117 1410 m h 18 Energie und Leistung 27. (a) Die Gewichtskraft einer losen Rolle in nebenstehendem Flaschenzug betr 50 N Du ziehst mit einer Kraft vom Betrag F = 400 N. Berechne die den Betrag G der Gewichtskraft der anzuhebenden Masse. (b) Das Massenstck und die losen Rollen sollen um 2,0 m angehoben werden. Welche Seille muss du dazu ziehen? Welche Arbeit verrichtest du dabei? F~ b (c) Berechne den prozentualen Wirkungsgrad fr das Anheben des Gewichts G. L¨ osung: (a) 6 · F = G + 3 · 50 N ⇒ (b) Seille ℓ = 6 · 2,0 m = 12 m ~ G G = 2400 N − 150 N = 2,25 kN Arbeit: W = F · 12 m = 400 N · 12 m = 48 kJ 2250 N · 2,0 m WNutzen · 100% = = 94% (c) Wirkungsgrad η = WAufwand 2400 N · 2,0 m 28. Wie schnell kann ein (professioneller) Rennradfahrer fahren? L¨ osung: 1 ¨ • Bergab: Die Frequenz mit der ein Profi tritt ist etwa 200 min . Die gr¨oßte Ubersetzung die er zur Verf¨ ugung hat ist 53 : 12 und der Radumfang betr¨agt 2,00 m. Der Berg soll nicht so steil sein, dass der Rennradfahrer nicht mehr treten muss. 1 · v = 200 min 53 12 · 2,00 m = 29,4 ms = 106 km h • Bergauf: Ein Radprofi kann etwa eine Dauerleistung von 500 W erbringen. Wir sehen von Reibungsverlusten und vom Luftwiderstand ab und nehmen an, dass die Steigung 10% betr¨ agt. Die Masse des Radfahrers inclusive Rennrad soll 85 kg betragen. mgh m g · 0,1 · ℓ mgh ⇒ t= = P = t P P ℓ ℓ·P P v= = = = 6,00 ms = 21,6 km h t m g · 0,1 · ℓ m g · 0,1 29. Wasserballastbahnen nutzen die Schwerkraft. Nach diesem Prinzip funktioniert die Nerobergbahn in Wiesbaden. Dabei sind die beiden Z¨ uge, wie im Schema gezeigt, u ¨ber ein Zugseil, das u ¨ber eine Umlenkrolle l¨auft, miteinander verbunden. An der 118 18 Energie und Leistung Tal– und Bergstation befinden sich Wasserreservoire mit den Volumina von 220 m3 bzw. 370 m3. Die Masse eines Wagens betr¨agt 8100 kg, er kann mit maximal 7000 l Wasser beladen werden und kann maximal 40 Personen aufnehmen. Die Strecke weist eine Le von 438 m, eine H¨ohendifferenz von 83 m und eine durchschnittliche Steigung von 19% auf. Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Nerobergbahn (a) Erkl¨are worin der Vorteil der Nerobergbahn liegt. Wie viel Energie spart man pro Fahrt gegenber einer herkmmlichen Bahn ein (dabei sollen die Passagiere, die Haft–, Roll– sowie die Luftreibung vernachl¨assigt werden)? Wie viel Geld Cent ? ist das bei einem Tarif von 18 kWh (b) Wieso muss der Wagenfhrer an der Talstation vor Fahrtantritt dem Personal an der Bergstation mitteilen wie viele Fahrg¨aste sich in seinem Wagen befinden? (c) Obwohl urspr¨ unglich geplant war das Wasser zum Beladen des Wagens an der Bergstation einem Bach zu entnehmen, wird es inzwischen von einer Pumpe 3 mit der F¨orderleistung von 65 mh von der Talstation zur Bergstation gepumpt. Welche elektrische Leistung in der Einheit 1 W ist n¨otig um die Pumpe zu betreiben und wie lange dauert es bis das maximale Fassungsverm¨ogen von 7000 l eines Wagens nach oben gepumpt ist? (d) Die durchschnittliche Geschwindigkeit der Bahn betr 7,3 km . Wie lange braucht h die Bahn f¨ ur eine Fahrt? (e) Obwohl der Tank eines Wagens nur maximal 7,0 m3 Wasser fassen kann ist das Fassungsverm¨ogen der Wassertanks an Tal– und Bergstation wesentlich gr¨oßer. Wieso macht man das so? (f) Wenn die beiden Wagons genau die gleiche Masse haben, so kommt (auch wenn man die Haftreibung vernachligt) keiner der beiden Wagen in Bewegung. Um wie viel mehr Masse muss der Wagen an der Bergstation haben, damit er nach 30 s eine Geschwindigkeit von 9,0 km erreicht? h 119 18 Energie und Leistung (g) Welchen Grund kann es haben, dass die Bahn ihre Geschwindigkeit ¨andert, nachdem sie ihre anf¨angliche Beschleunigungsphase hinter sich hat (das Bremsen vor der Talankunft ist hier nicht gemeint)? Hinweis: Die Nerobergbahn wurde am 25. September 1888 er¨offnet und ist als letzte Bergbahn diesen Typs in Deutschland heute ein technisches Kulturdenkmal. L¨ osung: (a) Die Gewichtskraft der herabfahrenden Bahn und der ihn ihr enthaltenen Passagiere wird genutzt um die talw¨ arts stehende Bahn samt Passagiere hinaufzuziehen. Energieeinsparung: 8100 kg · 9,81 ms−2 · 83 m = 6,6 MJ. Die Kosten fr diese Energie betragen 33 Cent. Somit braucht es einen nicht zu wundern, dass alle anderen als Wasserballastbahnen konzipierten Bergbahnen in Deutschland inzwischen auf elektrischen Betrieb umgestellt haben. Auch bei der Nerobergbahn war dies geplant, aber der Ausbruch des 2. Weltkriegs durchkreuzte dieses Vorhaben. (b) Damit die Bahn funktioniert muss der Wagen an der Bergstation eine gr¨oßere Masse haben, als der Wagen an der Talstation. Andererseits soll sie gerade so viel gr¨oßer sein wie n¨ otig, da Wasser das mit hinunter genommen wird, wieder nach oben gepumpt werden muss. Um die zuzuladende Wassermenge zu berechnen muss der Fahrer des Wagens an der Bergstation eigentlich sogar die Masse aller seiner Fahrg¨aste, die Masse der Fahrg¨ aste im talseitigen Wagon und s¨amtliche Reibungsverluste kennen. Außerdem muss er Masse zum Beschleunigen seines Wagens einplanen. (c) Leistung: P = Zeit: t = 7 65 mgh t = ̺V gh t · 1 h = 6,5 min (d) Fahrtdauer: t = s v = = 438 m 10 kmh−1 65·103 kg·9,81 ms−2 ·83 m 3600 s = 15 kW = 3,5 min (e) Zwar dauert es etwa doppelt so lang die 7000 l Wasser hinaufzupumpen wie die Bahn unterwegs ist, aber man kann wohl getrost davon ausgehen, dass die Zeit zwischen zwei Fahrten gr¨ oßer als 4 Minuten ist, wenn man vor allem bedenkt, dass das Wasser in die Wagen bzw. aus ihnen gepumpt werden muss. Der Grund f¨ ur das große Wasservolumen der Vorratsbeh¨alter d¨ urfte darin liegen den Betrieb auch dann sicherzustellen, wenn die Pumpe ausf¨allt. So kann man 32 (⌊220 : 7⌋ + 1) Fahrten ohne Pumpenbetrieb durchf¨ uhren, wenn man kein Wasser wegsch¨ utten will. (f) t = v a = v F 2 m+∆m m = 0,76 t = v sin α·g ∆m 2 m+∆m = 2 m+∆m ∆m · v sin α·g ⇒ ∆m = 2mv sin α·g t−v ·m = 2mv 0,19·g t−v · Sofern der Sinus noch ist bekannt ist muss die Hangabtriebskraft entweder u ¨ ber eine ¨ maßt¨ abliche Zeichnung oder u von Dreiecken ermittelt werden. ¨ber die Ahnlichkeit (g) Die Steigung der Strecke ist nicht konstant. So betr¨agt die maximale Steigung der Bahn 26%. 120 18 Energie und Leistung 30. Im folgenden ist ̺ = 1,2 kg/m3 die Dichte von Luft, r der Radius eines Rotorblatts einer Windkraftanlage, und A der Fl¨acheninhalt der von den Rotorbl¨attern w¨ahrend einer Rotation u ¨berstrichenen Fl¨ache, die wir kurz Rotorfl¨ache nennen. v1 ist die Geschwindigkeit vor bzw. v2 die nach dem Durchgang des Windes durch die Rotorfl¨ache. (a) Wir nehmen an, dass der Wind mit der Geschwin2 digkeit v = v1 +v durch die Rotorfl¨ache str¨omt. 2 Gib unter dieser Annahme einen Term f¨ ur die Masse des Windes an, der sich w¨ahrend einer Zeitspanne t durch die Rotorfl¨ache bewegt. (b) Wie lautet der Term f¨ ur den Energieverlust des Windes beim Durchgang durch die Rotorfl¨ache? Welche maximale Leistung ergibt sich daraus f¨ ur die Anlage? (c) Vereinfache das Ergebnis der vorhergehenden Aufgabe unter Verwendung der Abk¨ urzungen 1 3 P0 = 2 ̺ A v1 f¨ ur die Leistung des bei der Rotorfl¨ache ankommenden Windes und der dimensionslosen Gr¨oße x = vv21 . (d) Ermittle x so, dass der Term aus der vorhergehenden Aufgabe maximal wird. (e) Welche maximale Leistung liefert die Anlage, wenn r = 20 m und v1 = 16 ms sind? L¨ osung: (a) m = A v t ̺ (b) Ekin = 1 2
m v12 − v22 = (c) P = P0 · 21 (1 + x) 1 − Hinweis: cP = 1 2 1 2 Avt̺
x2
v12 − v22 , P = 1 2 A v ̺ v12 − v22

(1 + x) 1 − x2 wird Leistungsbeiwert genannnt. (d) Ermittlung von x = 13 entweder mit den Mitteln der Differentialrechnung oder durch Ablesen aus einem x– PP0 –Diagramm (x ∈ [0; 1] , PP0 ∈ [0; 0,8]). (e) P = 16 27 P0 = 1,6 MW Hinweis: Bei Geschwindigkeiten gr¨oßer als 16 ms treten Turbolenzen auf so, dass P praktisch auch in etwa die maximale Leistung ist. 31. Die Karwendelbahn 121 18 Energie und Leistung Die Talstation der Karwendelbahn in Mittenwald liegt auf 933 m u ¨ . NN und die Bergstation auf 2244 m u . NN. Um die Strecke der L¨ange ¨ von 2486 m zur¨ uckzulegen ben¨otigt die Bahn 7 Minuten. Der Antrieb erfolgt elektrisch mit einer Leistung von 220 kW. Die m¨ogliche Maximalgeschwindigkeit betr¨agt 10 ms . (a) Mit welcher mittleren Geschwindigkeit f¨ahrt eine Gondel von der Tal– zur Bergstation? (b) Welche mittlere elektrische Leistung muss aufgebracht werden, wenn die Gondel mit dieser Geschwindigkeit f¨ahrt und die Geschwindigkeit direkt proportional zur Leistung ist? Karwendelbahn in Mittenwald (c) Berechne die mittlere prozentuale Steigung der Strecke von der Tal– bis zur Bergstation. Welches Maß hat der zugeh¨orige Winkel? (d) Welcher Anteil an der Gewichtskraft muss aufgewendet werden, damit sich die Gondel mit konstanter Geschwindigkeit nach oben bewegt? (e) Welche Masse hat die Gondel in diesem Fall? L¨ osung: (a) 5,9 ms (b) 1,3 · 105 W (c) 62%; 32◦ (d) 0,53 G (e) 4,9 t 32. Sch¨atze deine Chancen ab ein Solarauto zu bauen. L¨ osung: Wir gehen davon aus, dass wir einen wundersch¨onen Sommertag haben. Wir pflastern , wobei unser Auto mit Solarmodulen des Fl¨acheninhalts 2 m2 . Die Solarkonstante ist 1,4 kW m2 kW effektiv nur etwa 1 m2 am Boden ankommt. Der Wirkungsgrad eines Solarmoduls ist etwa 20%, so dass 0,4 kW an Leistung zu Verf¨ ugung stehen. Beim eco–Shell–Marathon wurde das sogenannte urban–concept eingef¨ uhrt, bei dem Wagen verwendet werden, deren Konstruktion sich etwas mehr an der Realit¨at orientieren als die der Standardklasse. Bei einer Geschwindigkeit von 25 kmh−1 kommt man mit einem Liter Benzin 800 km weit. kWH Der Brennwert eines Liters Benzin betr¨agt 29 MJ ℓ , das sind etwa 6,5 kg . 122 18 Energie und Leistung Die Zeit um die 800 km zur¨ uckzulegen ist 32 h und die erforderliche Leistung 6,532kWh ≈ h 0,20 kW, so dass es prinzipiell m¨oglich w¨are doppelt so schnell zu fahren wie beim eco– Shell–Marathon. 33. Der Nutzen von Pumpspeicherkraftwerken besteht in der Speicherung von Energie. In ¨ den Zeiten in denen ein Uberangebot an elektrischer Energie im Netz besteht, benutzt man diese um Wasser aus einem sogenannten Unterbecken in ein h¨oher gelegenes Oberbecken zu pumpen. In Zeiten h¨oheren Energiebedarfs kann man das Wasser aus dem Oberbecken zur¨ uck in das Unterbecken fließen lassen. Dabei wird eine Turbine angetrieben und elektrische Energie erzeugt, die in das Netz eingespeist werden kann. Das gr¨oßte Pumpspeicherwerk in Deutschland ist Pumpspeicherwerk Goldisthal im Th¨ uringer Schiefergebirge. Das Oberbecken umfasst ein Volumen von 12 Millionen Kubikmeter und liegt auf einer H¨ohe von 880 m u ¨ NN. Das Unterbecken liegt auf einer H¨ohe von 530 m u ¨ NN. Die Leistung des Kraftwerks wird 1060 MW angegeben. Wie lange kann das Kraftwerk diese Leistung liefern, wenn zu Beginn der Beobachtung das Oberbecken voll gef¨ ullt ist? L¨ osung: t = 12 · 109 kg · 9,81 sm2 · 350 m mgh W = = = 11 h P P 1060 · 106 W 34. Das nebenstehende Bild zeigt ,,den Vierer” in Mittenwald. Dieser Gipfel hat eine H¨ohe von 2054 m u ¨ber NN. Sch¨atze wie lange du von Mittenwald aus, das 920 m u ¨ber NN liegt brauchst um diesen Gipfel zu erklimmen. Sch¨atze damit die durchschnittliche Leistung ab, die du erbringen musst um diese Bergtour durchzuf¨ uhren. Lege dar, inwiefern deine erbrachte Leistung von der oben gesch¨atzten abweicht. L¨ osung: Individuelle L¨ osung. 123 19 Impuls 1. Steht man auf einem Skateboard und springt nach vorne ab, dann wird im gleichen Moment das Skateboard in entgegengesetzte Richtung beschleunigt. Berechne die Geschwindigkeit mit der sich das Skateboard (800g) nach dem Absprung bewegt, wenn die Geschwindigkeit der Person v1 = 1 ms und ihr Masse 55kg betr¨agt. L¨ osung: v2 = 69 m s 2. Ein Tischtennisball wird auf einen Basketball gelegt und die B¨alle werden dann fallen gelassen. Man kann annehmen, dass die Schwerpunkte der B¨alle stets u ¨ bereinander liegen. (a) Beschreibe die Beobachtung. (b) Modelliere die Bewegung der B¨alle physikalisch. L¨ osung: (a) nach dem Aufprall schießt der Tischtennisball schnell nach oben (b) Phase 1: beide B¨ alle bewegen sich mit gleicher Geschwindigkeit beschleunigt nach unten Phase 2: Basketball mach elastischen Stoß am Boden und bewegt sich wieder nach oben Phase 3: Basketball st¨ oßt von unten auf den sich nach unten bewegenden Tischtennisballball Aus Energie- und Impulserhaltung ergibt sich, dass die Geschwindigkeit des Tischtennisballs nach Phase drei hoch ist 3. Grundwissen: (a) Welche Kraft beschleunigt ein Auto der Masse m = 900 kg in t = 7,5 s von null auf v = 90 km und wie lang ist der Beschleunigungsweg s? h (b) Ein ruhender Torwart (M = 72,0 kg) f¨angt den Ball der Masse m = 450 g, der ihn mit der Geschwindigkeit v = 32,2 ms trifft. Mit welcher Geschwindigkeit V reißt es den Torwart von den F¨ ußen? (c) Welche Geschwindigkeit erreicht man nach einem freiem Fall aus zehn Metern H¨ohe? 25 ms v m = = 3,3 2 , F = ma = 3,0 · 103 N t 7,5 s s vt a = 93,75 m ≈ 94 m s = t2 = 2 2 L¨ osung: (a) a = 124 19 Impuls (b) mv = (M + m)V (c) m 2 v = mgh 2 =⇒ mv m = 0,20 M +m s p km m v = 2gh = 14,0 = 50,4 s h =⇒ V = 4. Nebenstehende Abbildung zeigt eine typische Filmsequenz aus einem Hollywood-Krimi: Ein B¨osewicht (m = 70 kg) steht 2 m vor dem großen Fenster einer Hochhauswohnung, der Polizist schießt, der b¨ose Bube fliegt in hohem Bogen aus dem Fenster. Nimm kritisch Stellung zu diesem Geschehen, wobei der Impussatz und kurze Rechnungen sicher gute Argumentationshilfen sind. t1 = 0 t2 = 0,04 s t3 = 0,08 s Nimm als Masse der Pistolenkugel mk = 10 g an. Von wie vielen Kugeln m¨ usste der B¨osewicht gleichzeitig getroffen werden, damit das Geschehen tats¨achlich wie im Film ablaufen k¨onnte? t4 = 1,08 s 4m m = 100 0,04 s s m 2m =2 Tats¨achliche Geschwindigkeit des Opfers: v ≈ 1s s ′ Opfergeschwindigkeit (m ≈ 70 kg) nach Impulssatz: v mk m mk vk = (m + mk )v ′ =⇒ v ′ ≈ vk = 0,014 m + mk s m + mk m Kugelgeschwindigkeit nach Impulssatz: vk′ ≈ v = 14 000 mk s mv = 143 nmk vk = (m + nmk )v =⇒ n = mk (vk − v) L¨ osung: Tats¨achliche Geschwindigkeit der Kugel: vk ≈ ¨ Der Sch¨ utze erf¨ ahrt die gleiche Anderung des Impulsbetrages wie das Opfer, d.h. er m¨ usste nach rechts fliegen! 125 19 Impuls 5. Luke Skywalker verfolgt Darth Vader mit seinem X-Fl¨ ugler. Als seine Maschine immer langsamer wird, schießt er eine Rakete der Anfangsmasse m0 = 150 kg auf den Verfolgten ab. Die Abbildung zeigt die Lage zur Zeit des Abschusses (t = 0): v1 = 400 ms , v2 = 500 ms , s = 44,0 m. v2 v1 F m0 s 0 x (a) Die Beschleunigung der Rakete w¨ahrend des ganzen Fluges ist konstant a = 50,0 sm2 . Wann und wo trifft die Rakete auf Darth Vaders Raumschiff, das sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt? Welche Aufprallgeschwindigkeit va der Rakete misst Darth Vader im System seines Raumschiffs? (b) Wie groß ist die Antriebskraft F der Rakete zur Zeit t = 0? Warum ist F (t) nicht konstant? (c) Die Rakete st¨oßt die Treibgase mit der Geschwindigkeit u = 900 ms relativ zur Rakete aus. Welche ungef¨ahre Masse ∆m haben die Treibgase, die in den ersten ∆t = 0,1 s nach dem Start ausgestoßen werden? L¨ osung: (a) Wahl der x-Achse so, dass die Rakete beim Start bei x = 0 ist. Rakete: x1 (t) = v1 t + a2 t2 , Darth Vader: x2 (t) = s + v2 t a v1 t + t2 = s + v2 t =⇒ 2 (v (v2 − v1 )2 2s (v2 − v1 )2 2sa + (v2 − v1 )2 2 − v1 ) t2 − 2 t+ = + = a a2 a a2 a2 r m 100 v2 − v1 + 1 p 1 m 2 m2  s + 2 = t= 2sa + (v 4400 = + 100 − v ) 2 1 a (−) a 50 sm2 (−) 50 sm2 s2 s r 1 m2 + + 120 s 14400 2 )2 = 2 s (−) = 2 s (−) = 4,4 s m 50 s2 s 50 m · 4,4 s = 2244 m s m m m Aufprallgeschwindigkeit: vR = v1 + at = 400 + 50 2 · 4,4 s = 620 s s s m Aufprallgeschwindigkeit: va = vR − v2 = 120 s (b) Zur Zeit t = 0 ist die Masse der Rakete m(0) = m0 , d.h. die Antriebskraft zur Zeit t = 0 ist F0 = m0 a = 7500 N. Da die Raketenmasse immer kleiner wird (Ausstoß der Treibgase), wird wegen a = konstant auch F (t) = m(t) · a immer kleiner. Treffpunkt: x2 (4,4 s) = 44 m + 500 (c) Nach dem Impulssatz sind die Betr¨age der Impuls¨anderungen von Rakete und Treibgasen gleich: F0 ∆t = 0,83 kg ∆pRakete = m(∆t)v(∆t) ≈ m0 a∆t = F0 ∆t = ∆mu =⇒ ∆m ≈ u 126 19 Impuls 6. Ein Meteorit der Masse m0 = 2,0·104 kg fliegt ~ v m mit der Geschwindigkeit v0 = 80 s genau auf das Zentrum einer kreisf¨ormigen Raumstatim0 ~ v0 ϕ on mit dem Radius R = 30 m zu. Vom Rand α der Station (Punkt P) wird dem Meteoriten R eine Stahlkugel der Masse m1 = 6,0 · 103 kg ~ v1 m1 P s mit der Geschwindigkeit v1 = 150 ms entgegengeschossen und trifft den Himmelsk¨orper genau s = 50 m vor der Station. Die Kugel bleibt im Meteoriten stecken. (a) Berechne die Betr¨age der Impulse p~0 und p~1 der beiden zusammenstoßenden K¨orper und ermittle durch eine exakte Zeichnung den Impuls p~ des Verbundk¨orpers nach dem Stoß. W¨ahle die Einheiten so, dass ~p0 die L¨ange 8 cm hat. Entscheide mit Hilfe der (erweiterten) Zeichnung, ob das Man¨over erfolgreich war. (b) Jetzt das Ganze durch Rechnung: Schreibe die Impulse p~0 und p~1 in der Komponentenschreibweise hin und berechne p~. In welcher Entfernung ∆y vom Zentrum und mit welchem Geschwindigkeitsbetrag v trifft der Verbundk¨orper die Ebene der Raumstation? kg m s kg m 5 · 10 s p0 | = m0 v0 = 1,6 · 106 L¨ osung: (a) p0 = |~ p1 = |~ p1 | = m1 v1 = 9,0 3 (b) tan α = , α = 31,0◦ 5 30 m 3 5 p ~ sin α = √ , cos α = √ p ~1 34 34 α     p0 −p1 cos α p~0 = , p~1 = p ~0 0 p1 sin α   50 m −7,7 · 105 kg m p~1 = 5 4,6 · 10 s     p0 − p1 cos α 8,3 · 105 kg m p~ = p~0 + ~ p1 = = 4,6 · 105 p1 sin α s py tan ϕ = = 0,559 =⇒ ϕ = 29,2◦ , ∆y = s tan ϕ = 27,95 m ≈ 28 m px q p m p = 36,5 = p = p2x + p2y = 9,49 · 105 kgsm , v = 4 m0 + m1 2,6 · 10 kg s ∆y 7. Eine Kugel der Masse m1 = 2m st¨oßt mit der Geschwindigkeit v zentral und elastisch auf eine ruhende Kugel der Masse m2 = m. Berechne mit Hilfe der Erhaltungss¨atze (keine fertigen Formeln!) die Geschwindigkeiten u1 und u2 der beiden Kugeln nach dem Stoß. 127 19 Impuls L¨ osung: Impulssatz: 2mv = 2mu1 + mu2 m Energiesatz: mv 2 = mu21 + u22 2 (2) in (1) : =⇒ 2v = 2u1 + u2 (1) =⇒ 2v 2 = 2u21 + u22 (2) 2u21 + 4(v − u1 )2 = 2v 2 6u21 − 8vu1 = −2v 2  2 2v 2 v 2 4v 2 v2 2 u1 − 2 · u1 v + =− + = 3 3 3 9 9 v ∨ [u1 = v] u1 = 3 4 u2 = 2(v − u1 ) = v 3 8. Die beiden in der nebenstehenden Abbildung gezeigten Kugeln haben die jeweils gleiche Masse m = 20 g und sind an d¨ unnen Dr¨ahten der jeweiligen L¨ange ℓ = 12 cm aufgeh¨angt. Die Kugel K1 ist gegen¨ uber der Vertikalen um den Winkel ϕ = 30◦ ausgelenkt. Sie befindet sich — genauso wie die Kugel K2 — in Ruhe und wird nun losgelassen. (a) Mit welcher Geschwindigkeit prallt die Kugel K1 auf die Kugel K2 ? ϕ K1 (b) Gib die Richtung und den Betrag der Geschwindigkeiten unmittelbar nach dem Zusammenstoß der beiden Kugeln an. Die Antwort ist zu begr¨ unden. K2 √ ! 3 L¨ osung: (a) K1 befindet sich um h = ℓ 1 − oberhalb von K2 . 2 v u √ ! q u √
√ 3 1 2 ⇒ v1 = 2 g h = t 2 g ℓ 1 − = g ℓ 2 − 3 = 0,73 ms−1 2 m v1 = m g h 2 ′ ′ (b) Mit dem Energie– und Impulserhaltungssatz erh¨alt man v1 = 0, v2 = v1 . 128 20 Harmonische Schwingungen und Wellen 20.1 Harmonische Schwingung 1. Das Foto zeigt eine Astronautin im BMMD (Body Mass Measurement Device) der NASA. Mit diesem BMMD bestimmen die Astronauten im Spaceshuttle in der Erdumlaufbahn ihre K¨orpermasse. Es besteht aus einem Gestell, in dem sich die Astronautin mit einem Gurt festgeschnallt hat. Dieses Gestell ist reibungsfrei in einer Schiene montiert und an einer Schraubenfeder befestigt. (a) Warum verwendet die NASA keine ?normale Bodenwaage?? (b) Wie k¨onnte dieses Ger¨at funktionieren? (c) Spielt die Orientierung dieses Ger¨ats relativ zur Erde eine Rolle? (d) Warum m¨ ussen sich die Astronauten in dem Gestell festschnallen – warum gen¨ ugt es nicht, dass sie sich nur hineinsetzen? (e) Welche Federkonstante w¨ urden Sie f¨ ur dieses Ger¨at w¨ahlen, wenn die Schwingungsdauer der Anordnung in der Gr¨oßenordnung von 0,5 Sekunden liegen soll? Begr¨ unden Sie jeden Schritt Ihrer Absch¨atzung! Quelle: www.leifi.physik.uni-muenchen.de L¨ osung: (a) Bei einer normalen Bodenwaage wirkt der Schwerkraft eines K¨orpers die Bodendruckkraft entgegen, die im Spaceshuttle fehlt. (b) Dieses Ger¨ at, in dem die Astronautin festgeschnallt ist, stellt zusammen mit der Feder ein harmonisches Federpendel dar, dessen Masse die Summe aus Astronautenmasse und Gestellmasse ist. 129 20.1 Harmonische Schwingung (c) Unter den Bedingungen der Mikrogravitation (,,Schwerelosigkeit”) spielt die Orientierung (horizontal) keine Rolle – alle Raumrichtungen sind im Gegensatz zu einem Experiment auf der Erdoberfl¨ache gleichberechtigt. (d) Wenn sich die Astronautin nicht festschnallt, besteht keine Verbindung zwischen Gestell und Astronautin und bereits die kleinsten Kr¨afte f¨ uhren dazu, dass sie aus dem Gestell wegbeschleunigt wird und damit keine Messung m¨oglich ist. p 4π 2 m (e) F¨ ur ein Federpendel gilt: T = 2π m D ⇒ D = T2 Setzt man die Periodendauer von 0,5s und die Masse von 100 kg f¨ ur Gestell plus N Astronautenmasse an, so ergibt sich 16 · 103 m 2. Eine Kugel der Masse m = 40,0 g, die reibungsfrei in einer R¨ohre gleitet, f¨allt aus der H¨ohe h = 5,25 cm auf eine Feder der H¨arte D = N . x sei die Koordinate des unteren Randes der Kugel. 19,62 m x m h (a) Berechne ω, T , A und den Nullpunkt x0 der einsetzenden harmonischen Schwingung. 0 (b) W¨ahle den Zeitnullpunkt so, dass er dem tiefsten Punkt der Bewegung entspricht; dadurch wird der Graf von x(t) achsensymmeD trisch. Berechne t1 und t2 mit x(t1 ) = 0 und x(t2 ) = h. Schreibe x(t) f¨ ur eine volle Periode der Bewegung hin. Beachte, dass nicht die ganze Bewegung eine harmonische Schwingung ist! Wie lange dauert eine volle Periode der Bewegung? Zeichne den Grafen von x(t) ( t = 0,1 s = b 2 cm, x = 1 cm = b 0,5 cm). (c) Zeige, dass der Graf von x(t) eine glatte Kurve ist (kein Knick). Zeichne auch die Grafen von v(t) und a(t). r 1 2π D = 22,1 , T = = 0,284 s m s ω F¨ ur x ≦ 0 ist die Kraft auf die Kugel (−Dx ist positiv, zeigt also nach oben) L¨ osung: (a) ω = F (x) = −Dx − mg In der Gleichgewichtslage Schwingung) x0 gilt F (x0 ) = −Dx0 −mg = 0 =⇒ (Nullpunkt x x x h h h 0 0 0 der x0 ∆x x0 = − mg = −2,00 cm D −Dx x −mg F¨ ur x ≦ 0 ist die Kraft auf die Kugel (mg = −Dx0 ) F (x) = −Dx − mg = −Dx + Dx0 = −D(x − x0 ) = −D∆x mit ∆x = x − x0 . F¨ ur x ≦ 0 ist die Bewegung der Kugel also tats¨achlich eine harmonische Schwingung um x0 . 130 20.1 Harmonische Schwingung D 2 x 2 Pot. Energie mit Bezugsp. x = 0: W0 (x) = mgx + Pot. Energie mit Bezugsp. x0 : Wp (x) = W0 (x) − W0 (x0 ) = mg(x − x0 ) + D 2 (x − x20 ) 2 D D (x − x0 )(x + x0 ) = mg∆x + ∆x(2x0 + ∆x) = 2 2 D D 2 2 = mg∆x + Dx0 ∆x + (∆x) = (∆x) |{z} 2 2 Wp (x) = mg(x − x0 ) + −mg Die Gesamtenergie der Schwingung berechnen wir bei x = 0: D D W (0) = Wp (0) + Wkin (0) = x20 + mgh = x20 − Dx0 h | {z } 2 2 mgh Mit der Amplitude A ist der tiefste Punkt der Kugel bei x0 −A. Wegen Wkin (x0 −A) = 0 2 und Wp (x0 − A) = D 2 A folgt aus dem Energiesatz W (x0 −A) = W (0) =⇒ D 2 D 2 A = x0 −Dx0 h 2 2 =⇒ (b) F¨ ur x ≦ 0 gilt x(t) = x0 − A cos ωt. Aus x(t1 ) = 0 folgt x0 cos ωt1 = A =⇒ A= p x0 (x0 − 2h) = 5,00 cm x cm 4 t1 = 0,0895 s 2 t1 −t1 −t2 Fallzeit f¨ ur die H¨ ohe h: s 2h = 0,103 s τ= g t2 t s −2 −4 −6 Damit ist t2 = t1 + τ = 0,193 s. Die gesamte Schwingungsdauer ist Tges = 2t2 = 0,386 s.  g 2  h − 2 (t + t2 ) x(t) = x0 − A cos ωt   h − g2 (t − t2 )2 f¨ ur −t2 ≦ t ≦ −t1 f¨ ur −t1 < t < t1 f¨ u r t1 ≦ t ≦ t2 ˙ ˙ = lim x(t): (c) F¨ ur die Glattheit der Kurve m¨ ussen wir zeigen, dass lim x(t) t→t− 1 ˙ = lim (Aω sin ωt) = Aω sin ωt1 = Aω lim x(t) t→t− 1 t→t− 1 p t→t+ 1 1 − cos2 ωt1 = Aω r q p p mg D 2 2 = ω A − x0 = ω −2x0 h = ·2· · h = 2gh m D 131 r 1− x20 = A2 20.1 Harmonische Schwingung ˙ = lim (−g(t − t2 )) = −g(t1 − t2 ) = gτ = lim x(t) t→t+ 1 v m s t→t+ 1   −g(t + t2 ) v(t) = x(t) ˙ = Aω sin ωt   −g(t − t2 )   −g a(t) = v(t) ˙ = Aω 2 cos ωt   −g −t1 2gh f¨ ur −t2 ≦ t ≦ −t1 f¨ ur −t1 < t < t1 f¨ u r t1 ≦ t ≦ t2 f¨ ur −t2 ≦ t ≦ −t1 f¨ ur −t1 < t < t1 f¨ u r t1 ≦ t ≦ t2 a m s2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 −t2 p 20 10 t1 −0,2 −0,4 −0,6 −0,8 −1,0 t2 t s −t2 t1 −t1 t2 t s −10 v0 3. Ein Wagen der Masse m = 5,00 kg prallt zur Zeit m m t = 0 mit der Geschwindigkeit v0 = 1,57 s auf eiN ne masselose Feder der H¨arte D = 49,3 m . Als Ort x t=0 0 ” des Wagens“ bezeichnen wir die x-Koordinate seines rechten Randes (siehe Abbildung). (a) Um welche Strecke A wird die Feder zusammengestaucht? Zu welcher Zeit t1 gilt x(t1 ) = A? (b) Berechne den Ort und die Geschwindigkeit des Wagens zur Zeit t2 = 0,250 s. (c) Wo ist der Wagen zur Zeit t3 = 2,00 s? m 2 D 2 L¨ osung: (a) v = A 2 0 2 =⇒ 1 2π π T = · = t1 = 4 4 ω 2 A = v0 r r m = 0,500 m D m = 0,500 s D r 1 D (b) x(t) = A sin ωt mit ω = = 3,14 =⇒ x(t2 ) = 0,5 m · sin 0,785 = 0,353 m m s m m v(t) = Aω cos ωt =⇒ v(t2 ) = 1,57 · cos 0,785 = 1,11 s s T ost sich der Wagen am Ort x = 0 von der Feder: (c) Zur Zeit 2 = 1,00 s l¨   m T x(t3 ) = −v0 t2 − = −1,57 · 1 s = −1,57 m 2 s 132 20.1 Harmonische Schwingung 4. Tarzan schwingt sich an einer Liane durch den Urwald (siehe Abbildung). Dabei hat sein Schwerpunkt zum Drehpunkt D die Entfernung L = 15,0 m, D befindet sich h = 25,0 m u ¨ber dem Boden. Er startet ruhend zur Zeit t = 0 in der Lage 1 (ϕ1 = −30◦ ). (a) Tarzan l¨asst die Liane im tiefsten Punkt der Pendelbewegung los (Lage 2 ). Wann (t2 ) und wo (x2 ) erreicht er den Boden? Berechne die Koordinaten des Punktes P (x4 y4 ), an dem sich Tarzan zur Zeit t4 = 3,00 s befindet. y D nicht maßstabsgetreu! −30◦ 30◦ L h 1 2 y1 3 T3 T2 y2 (b) Tarzan l¨asst die Liane im h¨ochsten x2 x 0 Punkt der Pendelbewegung los (Lage 3 ). Wann (t3 ) und wo (x3 ) erreicht er den Boden? Berechne die Koordinaten des Punktes Q (x5 y5 ), an dem sich Tarzan zur Zeit t4 = 3,00 s befindet. (c) Fertige eine Zeichnung wie die gegebene Abbildung, die jedoch maßstabsgetreu ist (1 : 200). Zeichne verschiedenfarbig die Bahnkurven von Tarzan in den F¨allen (a) und (b) sowie die Punkte P und Q ein. L¨ osung: (a) ω = r 1 2π T g = 0,8087 ; T = = 7,77 s; T2 = = 1,94 s L s ω 4 y1 = h − L cos ϕ1 = 12,0 m; y2 = h − L = 10,0 m ∆y = y1 − y2 = h − L cos ϕ1 = 2,0 m p m m Geschwindigkeit in 2 : v22 = mg∆y =⇒ v2 = 2g∆y = 6,3 2 s r g 2y2 = 1,43 s =⇒ t2 = T2 + τ2 = 3,37 s Fallzeit: τ22 = y2 =⇒ τ2 = 2 g p √ x2 = v2 τ2 = 2 y2 ∆y = 2 (h − L)L(1 − cos ϕ1 ) = 9,0 m x4 = v2 (t4 − T2 ) = 6,6 m, y4 = y2 − g2 (t4 − T2 )2 = 4,5 m, P (6,6 m 4,5 m) r 2y1 = 1,56 s =⇒ t3 = T3 + τ3 = 5,44 s (b) v3 = 0, d.h. freier Fall: τ3 = g L ϕ3 = 30◦ =⇒ x3 = L sin ϕ3 = = 7,5 m 2 ϕ(t) = −30◦ cos ωt =⇒ ϕ5 = ϕ(t4 ) = 22,6◦ = 0,395 133 20.1 Harmonische Schwingung x5 = L sin ϕ5 = 5,8 m, y5 = h − L cos ϕ5 = 11,2 m, Q (5,8 m 11,2 m) (c) Kurve zu (a) (t = t − T2 ): x(t) = v2 t y x t= v2 =⇒ D g 2 =⇒ y(t) = y2 − t 2 g y = y 2 − 2 x2 2v2 1 y = 10 m − 0,1244 x2 m x m 0 2 4 6 8 y m 10 9,5 8,0 5,5 2,0 ϕ5 20 L 15 Q 5 P 0 5 x3 x2 x 5. Eine Kugel der Masse m f¨ uhrt entlang der x-Achse zwischen −A und A = 13,0 cm eine harmonische Schwingung aus, der Ort der Kugel zur Zeit t ist x(t). Zur Zeit t0 = 0 befindet sich die Kugel bei x = −A, am Ort x1 = x(t1 ) = 5,00 cm betr¨agt die Geschwindigkeit der Kugel v1 = 24,0 cm . s (a) Berechne die Kreisfrequenz ω der Schwingung und schreibe die Gleichung der Funktion x(t) hin. (b) Berechne t1 . (c) Berechne x(t2 ) und v(t2 ) f¨ ur t2 = 3,00 s. L¨ osung: (a) m 2 D 2 D 2 v + x1 = A 2 1 2 2 =⇒ v12 + ω=p (b) x(t1 ) = −13 cm · cos ωt1 = 5 cm D 2 D 2 x = A m 1 m v1 A2 − x21 = v12 + ω 2 x21 = ω 2 A2 =⇒ 24 cm 1 s = 2,00 12 cm s x(t) = −A cos ωt =⇒ cos ωt1 = − 5 13 =⇒ ωt1 = 1,966 t1 = 0,983 s cm (c) x(t3 ) = −13 cm · cos 6 = −12,5 cm, v(t3 ) = Aω sin ωt3 = 26 cm s · sin 6 = −7,26 s 134 20.2 Wellen 20.2 Wellen 1. Nebenstehende Aufnahmen von Meereswellen an einer Kaimauer entstanden 0,50 s hintereinander. Sch¨atze ihre Wellenl¨ange λ und ihre Frequenz f ab (die Person ist ca. 1,8 m groß). L¨ osung: ∆x = 0,6 m =⇒ 0,6 m m v= = 1,2 0,5 s s λ = 2,4 m =⇒ v f = = 0,5 Hz λ λ ∆x 2m 2. (a) Ein D-Netz-Handy sendet auf der Frequenz fD = 900 MHz, die Frequenz im ENetz ist fE = 1,8 GHz. Berechne die Wellenl¨angen der beiden Handystrahlungen. (b) Eine Schallwelle hat die Frequenz f = 220 Hz und die Wellenl¨ange λ = 1,559 m. Berechne die Schallgeschwindigkeit. (c) Ein Tsunami mit der Wellenl¨ange λ = 400 km breitet sich mit der Geschwinaus. In welcher Zeit T schwingt ein Boot auf dem Tsunami digkeit v = 800 km h einmal vollst¨andig auf und ab? 135 20.2 Wellen L¨ osung: (a) λD = 3,00 · 108 ms 3,00 · 108 ms c c = 0,333 m, λ = = 0,167 m = = E fD fE 9 · 108 1s 18 · 108 1s (b) cS = λf = 220 1 km m · 1,559 m = 343 = 1,23 · 103 s s h 800 m 1 v 3,6 s = 5,55 · 10−4 (c) f = = λ 400 000 m s =⇒ T = 1 = 1800 s = 30 min f 3. Wenn in einem Haus irgendwo geh¨ammert, geklopft oder gebohrt wird, h¨ort man das u ¨ber viele Stockwerke hinweg. Wenn jemand in die H¨ande klatscht oder laut niest, was ¨ahnlich laut ist, h¨ort man es schon im angrenzenden Stockwerk kaum noch. Warum ist das so? Quelle: Julia P¨ urkner L¨ osung: Wenn an den W¨ anden gearbeitet wird, wird der Schall von diesen weitergeleitet. Da Stein den Schall besser leitet als Luft, h¨ort man diese Ger¨ausche viel deutlicher. 4. In den folgenden beiden Bildsequenzen ist jeweils eine St¨orung zu sehen, die sich von links nach rechts wellenartig ausbreitet. Gib die Art der Welle an und berechne ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit. Am linken Rand eines jeden Bildes ist vermerkt zu welchem Zeitpunkt ein Bild der zugeh¨origen Bildsequenz geh¨ort. (a) 2,00 cm 2,00 cm 2,00 cm t=0 t = 0,250 s t = 0,500 s t = 0,750 s t = 1,00 s t = 1,25 s L¨ osung: 2,00 cm cm = 8,00 0,500 s − 0,250 s s 136 2,00 cm 2,00 cm 21 Himmelsmechanik und Gravitation 21.1 Astronomisches Weltbild 1. Eratosthenes (276-194 v.Chr.) berechnet den Erdradius Die ¨agyptischen St¨adte Alexandria und SyeSonnenstrahlen ne (heute Assuan) liegen auf dem gleichen L¨angengrad (Meridian). Am Tag der Som5000 Stadien Syene mersonnwende spiegelte sich zur Mittagszeit Alexandria die Sonne im tiefen Brunnen von Syene, d.h. die Sonne stand genau senkrecht u ϕ ¨ber Syene ϕ = 7,2◦ (Syene liegt auf dem Wendekreis des Krebses). Zur gleichen Zeit warf die Sonne im 5000 Stadien (≈ 800 km) n¨ordlich gelegenen Alexandria einen kleinen Schatten (siehe Abb.). Berechne den Erdradius. Welche anderen Argumente f¨ ur die kugelf¨ormige Gestalt der Erde konnten zur damaligen Zeit noch vorgebracht werden, welche gibt es heute? L¨ osung: R = b 800 km 3 = π ≈ 6,4 · 10 km ϕ 7,2 · 180 Schiffe, kreisf¨ ormiger Schatten bei Mondfinsternissen heute: Blick aus einem Raumschiff 2. Aristarch aus Samos (315-240 v.Chr.) berechnet das Verh¨ altnis der Entfernungen Erde-Sonne und Erde-Mond Nebenstehende Abbildung zeigt die Lage von Erde, Sonne und Mond, wenn von der Erde aus der Mond gerade als Halbmond erscheint. Aristarch aus Samos, der auch ein heliozentrisches Weltbild vorgeschlagen hatte, bestimmte den Winkel SonneErde-Mond etwas ungenau zu ϕ ≈ 87◦ . Berechne daraus das Verh¨altnis der Entfernungen Erde-Sonne und Erde-Mond. Berechne den wahren Wert des Winkels ϕ aus den heute bekannten Entfernungen SE = 1,496 · 108 km und ME = 384 400 km. 137 Sonne ϕ Mond Erde 21.1 Astronomisches Weltbild L¨ osung: 1 1,496 · 108 km ES ES = = = 19,1; in Wirklichkeit: = 389 cos ϕ 3,844 · 105 km EM EM cos ϕ′ = EM 3,844 · 105 km = = 0,00257 1,496 · 108 km ES =⇒ ϕ′ = 89,85◦ Ein kleiner Fehler beim Winkel bewirkt einen sehr großen Fehler im Verh¨altnis ES . EM 3. (a) Erkl¨are anhand geeigneter Skizzen das Zustandekommen einer Sonnen- und einer Mondfinsternis. (b) Es gibt ringf¨ormige und totale Sonnenfinsternisse. Sch¨atze auf Grund dieser Tatsache den Radius der Sonne ab (RMond = 1738 km). L¨ osung: (a) Mondfinsternis: Wenn Sonne, Mond und Erde (fast) auf einer Geraden liegen, gibt es eine Finsternis. Eine Mondfinsternis kann es nur bei Vollmond, eine Sonnenfinsternis nur bei Neumond geben. Außerdem muss der Mond bei einer Finsternis in der Erdbahnebene liegen. Bei der Mondfinsternis liegt der Mond im Schatten der Erde. Halbschatten Mond Sonne Erde Kernschatten Sonnenfinsternis: Bei der Sonnenfinsternis liegt der Beobachtungsort auf der Erde im Schatten des Mondes. Der Sichtbarkeitsbereich einer totalen Sonnenfinsternis ist nicht sehr groß und h¨ angt von den momentanen Entfernungen Erde-Mond und Erde-Sonne ab. Halbschatten Sonne Mond Erde Kernschatten (b) Ist die Erde zu weit vom Mond entfernt, dann ist der scheinbare Durchmesser (Winkeldurchmesser) des Mondes kleiner als der der Sonne und man beobachtet eine ringf¨ ormige Sonnenfinsternis. Ungef¨ahr aber erscheint der Mond genauso groß wie die Sonne. Aus dem Strahlensatz folgt dann 1 AE R⊙ = RMond rMond R⊙ = =⇒ 1,496 · 1011 m · 1,738 · 106 m 1 AE · RMond = = 6,8 · 108 m rMond 3,84 · 108 m 138 21.1 Astronomisches Weltbild 4. Mondentfernung M (a) Die Orte P und Q liegen auf dem 39. Breitengrad bei 11◦ ¨ostlicher und bei 93◦ westlicher L¨ange. Berechne a = PQ. rp (b) Von P und Q aus wird gleichzeitig ein Punkt M des Mondes anvisiert und es werden die Winkel β = 63,000◦ und γ = 64,000◦ gegen die Gerade PQ gemessen. Berechne die Entfernung rp = PM. h γ β a P Q (c) Von P aus erscheint der Monddurchmesser unter dem Winkel δ = 29′ 43,5′′ . Berechne den Radius RM des Mondes. L¨ osung: (a) ϕ = 39◦ , α = 104◦ , R = 6378 km r r = R cos ϕ = 4957 km Q a = PQ = 2 · r sin α2 = 7812 km (b) ε =< ) PMQ = γ − β = 1,000◦ α ϕ P R rp sin(180◦ − γ) Sinussatz: = a sin ε a sin 116◦ = 4,02 · 105 km rp = sin 1◦   29 43,5 ◦ + (c) δ = = 0,49542◦ 60 3600 RM = rp tan δ = 1,74 · 103 km 2 5. In verschiedenen Lehrb¨ uchern findet man verschiedene Definitionen der L¨ange 1 pc n¨amlich a oder b in nebenstehender Abbildung (S: Sonne, E: Erde, SE = 1 AE). Um welche Strecke unterscheiden sich die beiden Definitionen und wie groß ist der relative Fehler? L¨ osung: a = ϕ 1 AE = 206264,80624548 AE tan 1′′ b − a = 2,42 · 10−6 AE = 363 km E S 1′′ a 1 AE = 206264,80624790 AE sin 1′′ b−a δrel = = 1,2 · 10−11 b b= =⇒ b 6. Ordne die Erdentfernungen folgender Sterne der Gr¨oße nach: 139 P 21.1 Astronomisches Weltbild Sirius ε-Eridani Barnards Stern α-Centauri Altair 8,65 LJ 3,30 pc 5,66 · 1016 m 2,75 · 105 AE Erdbahnradius erscheint unter dem Winkel 0,198′′ L¨ osung: LJ 8,65 Sirius ε-Eridani Barnards Stern α-Centauri Altair Parsec 2,65 3,30 AE 2,75 · 105 m ϕ 5,66 · 1016 0,198′′ 7. (a) Sch¨atze ab, aus wie vielen Protonen das Universum besteht. Nimm dazu an, dass das Weltall nur Wasserstoff enth¨alt. (b) Das Alter des Universums ist 13,7 · 109 a. Wie viele Sekunden sind das? (c) Nimm an, dass sich das All seit dem Urknall mit Lichtgeschwindigkeit ausgedehnt hat und dass es kugelf¨ormig ist. Wie groß ist dann die Dichte des Universums? Wie viele Wasserstoffatome enth¨alt es pro m3 ? (d) Wie groß ist die gesamte Energie Wm der Materie des Universums? Es ist fast unglaublich, dass die aus der Gravitation resultierende potentielle Energie des Weltalls gleich −Wm ist und somit seine Gesamtenergie ziemlich exakt null ist! L¨ osung: 8. Welche Dichte hat ein Neutronenstern der 1,5-fachen Sonnenmasse und mit dem Radius R = 20 km? Welche Masse hat ein Kubikzentimeter dieses Sterns? L¨ osung: 9. Der Ereignishorizont (Point of no Return) eines schwarzen Lochs der Masse M ist eine Kugelfl¨ache mit dem Radius RS = wobei G = 6,67 · 10−11 m3 kg s2 2GM c2 (Schwarzschildradius), die Gravitationskonstante ist. (a) Berechne den Schwarzschildradius der Sonne und der Erde. 140 21.2 Keplergesetzte (b) Das schwarze Loch im Zentrum unserer Galaxis hat den Schwarzschildradius RS = 7,7 · 106 km. Welche Masse hat dieses Monstrum? L¨ osung: 21.2 Keplergesetzte 1. Am 14.November 2003 wurde der Planetoid Sedna entdeckt. Noch nie zuvor wurde ein nat¨ urliches Objekt aus unserem Sonnensystem in einer so großen Entfernung von der Erde entdeckt. Im folgenden sch¨atzen wir einige physikalische Eigenschaften dieses Planetoiden ab. (a) Sedna wurde in einer Entfernung von 90 AU von der Sonne entdeckt. Dreißig Tage nach seiner Entdeckung hat der Radius des Planetoiden einen Winkel von ′ 2,8 u ¨berstrichen. Berechne unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit in den ersten dreißig Tagen nach der Entdeckung von Sedna konstant ist, den Betrag derselben. (b) Berechne die große Halbachse a der Bahn und die Umlaufdauer von Sedna. (c) Die Exzentrizit¨at der Bahn von Sedna ist e = 0,8506. Berechne den Abstand Sednas im Perihel und Aphel von der Sonne. ′ 2,8 km 2rπ = 4,2 ′ · s 360 · 60 30 · 86 400 S s   2 1 GM r (b) v = G M − = 5,5 · 102 AE ⇒ a= r a 2 G M − r v2 L¨ osung: (a) v = (c) Perihel (1 − e) a = 82 AE Aphel (1 + e) a = 1,0 · 103 AE 2. Das schwarze Loch im Zentrum unserer Milchstraße Astronomen haben inzwischen 28 Sterne entdeckt, die ihren Weg um das Zentrum Sgr A∗ unserer Galaxie auf elliptischen Bahnen, sogenannten Keplerbahnen, zur¨ ucklegen. Dabei ziehen sie ihre Bahn um eine sehr große, auf einem relativ kleinen Raum konzentrierte Ansammlung an Masse. Es wird mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit vermutet, dass es sich dabei um ein schwarzes Loch (MBH, d.h. massive black hole) handelt. In jedem Fall kann ausgeschlossen werden, dass es sich bei dieser Masse um eine Ansammlung von sehr vielen Sternen handelt. Seit dem Beginn der Beoachtungen im Jahr 1992 hat einer dieser Sterne, der S2 gennant wird, Sgr A∗ in 15,8 Jahren genau einmal vollst¨andig umrundet. Die L¨ange 141 21.2 Keplergesetzte der großen Halbachse der Ellipse wird von den Forschern mit 125 mas angegeben. Dabei bedeutet 1 mas eine Millibogensekunde. Wenn du nun die Masse des MBH absch¨atzen willst, so musst du noch wissen, dass ein Parsec (1 pc) die Entfernung ist, aus der der Radius der Erdbahn um die Sonne, das ′′ sind 1,496 · 108 km (1 AU), unter einem Winkel von einer Bogensekunde 1 erscheint und, dass die Entfernung von Sgr A∗ zur Erde 8,33 kpc betr¨agt. L¨ osung: Große Halbachse der Ellipse von S2: a = 0,125 · 8,33 · 103 AU = 1041,25 AU. 4 π 2 a3 = 4,6 · 106 M⊙ . Dabei wurde davon γ T2 ausgegangen, dass die Bahn von S2 n¨aherungsweise kreisf¨ormig ist, obwohl die numerische Exzentrizit¨ at der Ellipse 0,88 betr¨agt. Das erhaltene Ergebnis stimmt auch recht gut mit dem Literaturwert von 4,31 · 106 M⊙ u ¨berein. Aus dem dritten Keplergesetz folgt: M = 3. Das dritte Keplersche Gesetz Zwischen der Umlaufzeit T eines Planeten um ein Zentralgestirn, dessen elliptische Bahn eine große Halbachse hat, deren L¨ange mit a bezeichnet wird, wird ein Zusammenhang der Gestalt T m = C an vermutet. Dabei sind m und n nat¨ urliche Zahlen und C ist eine beliebige Zahl. Dieser Zusammenhang stellt das dritte Keplersche Gesetz dar. Um die Werte der Konstanten m, n und C zu ermitteln logarithmieren wir diese Gleichung: log T m Name T in d a in 105 km Mimas 0,940 1,86 Enceladus 1,37 2,38 Tethys 1,89 2,95 Dione 2,74 3,77 Rhea 4,52 5,27 Titan 16,0 12,2 Iapetus 79,3 35,6 Die sieben gr¨oßten Saturntrabanten n = log (C a ) . Mit den Rechengesetzen f¨ ur Logarithmen wird daraus m log T = n log a + log C. Nun teilen wir die Gleichung durch m und erhalten log T = n log C log a + . m m Wir schreiben noch y f¨ ur log T , x f¨ ur log a, s f¨ ur n m und t f¨ ur log C . m (a) Mit diesen Abk¨ urzungen erh¨alt man einen bekannten funktionalen Zusammenhang in der Mathematik. Wie wird dieser genannt und welche Gestalt hat der zugeh¨orige Graph in einem x–y–Koordinatensystem. 142 21.2 Keplergesetzte (b) Erstelle aus der Tabelle f¨ ur die sieben gr¨oßten Trabanten des Saturn ein log T – log a–Diagramm. Ermittle die Steigung und den y–Achsenabschnitt der sich ergebenden Kurve. Welche Werte ergeben sich f¨ ur m und n? (c) Im dritten Kepelerschen Gesetz ist die Konstante C durch 4 π2 γM gegeben. Dabei m3 6,62 · 10−11 kg·s 2 bezeichnet γ = die Gravitationskonstante und M die Masse des Zentralk¨orpers, in unserm Fall also die des Saturn. Ermittle unter Verwendung des Ergebnisses aus der vorigen Teilaufgabe die Masse des Saturn. L¨ osung: (a) Mit den Abk¨ urzungen gilt y = s x + t, d.h. es liegt ein affiner Zusammenhang zwischen x und y vor. Der zugeh¨ orige T Graph ist bekanntlich eine Gerade. log s 7 bC bC 6 bC bC bC bC 5 bC log 4 7 8 9 10 a m (b) W¨ ahlen wir den ersten und letzten Punkt im Koordinatensystem um ein Steigungsdreieck zu zeichnen, so erhalt f¨ ur die Steigung 6,84 − 4,93 = 1,49 6,55 − 5,27 n Man kann also vermuten, dass m = 1,5 = 23 und somit n = 3 und m = 2 ist. Unter Verwendung der linearen Regression erh¨alt man unter der Ber¨ ucksichtigung, dass man 3 geltende Ziffern hat wirklich 1,50. 4. Die Masse des Zentralgestirns Gliese betr¨agt 0,33 Sonnenmassen und die Umlaufzeit von Gliese g um Gliese etwa 36,6 Tage. Berechne die L¨ange der großen Halbachse der Ellipsenbahn von Gliese um Gliese g. 143 21.2 Keplergesetzte L¨ osung: a ≈ q 3
T 2 4π γ M⊙ = 2,0 · 1010 m = 0,14 AU 5. Nebenstehend ist die Bahn des Kometen Encke um die Sonne S abgebildet. Im Perihel P hat der Komet von der Sonne einen Abstand von 0,339 AE und im Aphel einen von 4,097 AE. (a) Der letzte Periheldurchgang war am 7.8.2010 zu beoachten. In wie viel Tagen erfolgt der n¨achste Periheldurchgang? P bC S bC bC (b) Im Perihel hat der Komet eine Geschwindigkeit von 69,53 km . Sch¨ a tze ab, wie groß s die Geschwindigkeit von Encke beim Apheldurchgang ist. Dabei kannst du verwenden, dass die Geschwindigkeiten des Kometen in der N¨ahe von Perihel und Aphel konstant sind. L¨ osung: (a) Daten von Encke: Gr¨ oße Wert Perihel Aphel Numerische Exzentrizit¨ at Umlaufdauer Geschwindigkeit im Perihel Große Halbachse Kleine Halbachse Lineare Exzentrizit¨ at Letzter Periheldurchgang 0,339 AE 4,097 AE ε = 0,847 T = 3 a 110 d 69,53 ms a = 2,218 AE √ b = a 1 − ε2 = 1,179 AE e = 1,879 AE 7.8.2010 0,339 AU + 4,097 AU = 2,218 AU = 3,0318 128 · 1011 m. 2 s 2 4 π a3 T2 ≈ a3 ⇒ T ≈ 2 π ⇒ T ≈ 1206 d G M⊙ G M⊙ Große Halbachse a = . Alternative: 2 2 TErde TEnke = a3Erde a3Enke ⇒ TEnke = 144  aEnke aErde 1,5 TErde bC bC A 21.2 Keplergesetzte (b) Exakte L¨ osung: 1 G m M⊙ 1 G m M⊙ 2 m vA − = m vP2 − 2 rA 2 rP ⇒ vA = s vP2 − 2 M⊙ G  1 1 − rP rA  = 5,75 Absch¨ atzung: R P Q bC M bC S bC bC bC bC bC bC bC C A B Es gilt der Keplersche Fl¨ achensatz: In gleichen Zeiten u ¨berstreicht der Radius gleiche Fl¨ achen. Offensichtlich haben die Ellipsensektoren SRQ und SBC unterschiedliche Fl¨ acheninhalte. Also ist die Zeit tP , die der Komet ben¨otigt um von Q nach R zu kommen deutlich kleiner als die Zeit tA f¨ ur seinen Weg von C nach B. Unter den Annahmen, dass sich die Geschwindigkeit in der N¨ahe der der Punkte P und A nur sehr wenig a ¨ndert und dass die Fl¨acheninhalte der Ellipsensektoren gleich den Fl¨acheninhalten der zugeh¨ origen Dreiecke sind erhalten wir: A∆SRQ A∆SBC = tP tA Mit vP ≈ ergibt sich vA ≈ ⇒ RQ tP RQ · 0,339 AE CB · 4,097AE = tP tA und vA ≈ CB tP km 0,339 AU · vP = 5,75 4,097CB s Dieser Wert stimmt sogar bis auf drei geltenden Ziffern mit dem exakt berechneten u ¨berein. 6. (a) Der Komet Tempel-Tuttle umrundet die Sonne in T = 33,227 a und hat die kleinste Sonnenentfernung r1 = 0,976 AE. Berechne die Halbachsen der Kometenbahn und seine gr¨oßte Entfernung r2 von der Sonne. Skizziere die Bahn des Kometen und zeichne auch die Erdbahn ein. 145 km s 21.2 Keplergesetzte (b) Der Komet Hale-Bopp hat den Perihelabstand rmin = 0,914 AE und die Exzentrizit¨at seiner Bahn ist e = 0,99511. Berechne seine Umlaufdauer und die Halbachsen seiner Bahn. T2 a2 L¨ osung: (a) 3 = C⊙ = 1 a AE3 =⇒ d = a − r1 = 9,359 AE r2 = a + d = 19,694 AE y AE T2 = 10,335 AE C⊙ p b = a2 − d2 = 4,386 AE a= =⇒ s 3 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 −2 x AE −4 rmin = 187 AE (b) d = ea =⇒ rmin = a − d = a(1 − e) =⇒ a = 1−e p b = a 1 − e2 = 18,5 AE p a2 T2 = C = 1 =⇒ T = a3 C⊙ = 2,56 · 103 a ⊙ 3 3 a AE 7. Der Jupitermond Io umrundet den Planeten in der Zeit TIo = 1,77 d auf einer Bahn mit der großen Halbachse aIo = 4,22 · 105 km. (a) Der Jupitermond Europa hat die Umlaufdauer TEu = 3,55 d. Wie lang ist die große Halbachse aEu der Umlaufbahn von Europa? (b) Eine Jupitersonde soll den Planeten so umrunden, dass ihre kleinste Entfernung (Punkt A) vom Planetenmittelpunkt r1 = 2,00 · 105 km und ihre gr¨oßte Entfernung (Punkt B) r2 = 8,00 · 105 km ist. Berechne die L¨ange a der großen Halbachse, die Umlaufdauer T , die Exzentrizit¨at e und die L¨ange b der kleinen Halbachse der Sondenbahn. (c) Zeichne von der Sondenbahn die Punkte A, B und die beiden Brennpunkte S1 (Jupiter) und S2 (105 km = b 1 cm). Zeichne auch die Punkte C und D ein, die aus der Kenntnis der kleinen Halbachse resultieren. 146 21.2 Keplergesetzte Konstruiere (mit kurzer Erl¨auterung) die Bahnpunkte E und F, die von Jupiter die Entfernung r3 = 3,2·105 km haben. Welche Entfernung r4 haben diese Punkte von S2 ? Beweise, dass EF ⊥ AB gilt. Skizziere jetzt die Bahn unter Ausnutzung von Symmetrien. L¨ osung: (a) 2 2 2 TEu TIo −17 d =⇒ = = C = 4,17 · 10 Jup km3 a3Eu a3Io s s 2 a3 T T2 5 aEu = 3 Eu2 Io = aIo 3 Eu 2 = 1,59 aIo = 6,71 · 10 km TIo TIo (b) a = r1 + r2 = 5 · 105 km 2 T2 = CJup a3 =⇒ T = q a3 CJup = 2,28 d d d = a − r1 = 3 · 105 km = ea =⇒ e = = 0,6 a p p b = a2 − d2 = a 1 − e2 = 0,8 a = 4 · 105 km (c) r4 = ES2 = 2a − r3 = 6,8 · 105 km C E k(S1 , r3 ) ∩ k(S2 , r4 ) = {E,F} S1 S2 = 2d = 6 · 105 km E’ r4 r3 2 r32 + S1 S2 = 46,24 · 1010 km2 r42 = 6,82 · 1010 km2 = r32 + S1 S2 2 A =⇒ S2 S1 B < ) S2 S1 E = 90◦ F F’ D 8. Ein kurzer Laserpuls wird von einem Ter ¨ leskop T am Aquator zu einem Spiegel S auf dem Mond geschickt, dort reflektiert und ∆t RE bei T wieder empfangen, die Zeit ∆t, die RM der Strahl unterwegs war, wird von einer Atomuhr gemessen. Im Verlauf eines Monats misst man die kleinste Zeitdifferenz ∆tmin = 2,369506841 s und den gr¨oßten Wert ∆tmax = 2,651082437 s. Der Erdradius ist RE = 6378 km, der Radius des Mondes RM = 1738 km. (a) Berechne die kleinste (rmin ) und die gr¨oßte (rmax ) Entfernung der Mittelpunkte von Erde und Mond. Ermittle daraus die große Halbachse aM und die kleine Halbachse bM der Mondbahn. (b) Die siderische (in einem zu den Sternen ruhenden Koordinatensystem betrachtete) Umlaufdauer des Mondes ist TM = 27,32166 d. Welchen Radius hat die 147 21.2 Keplergesetzte kreisf¨ormige Bahn eines geostation¨aren Satelliten, der die Erde in genau einem siderischen Tag (Sterntag), d.h. in dsid = 23 h 56 min 4 s umrundet? (c) Erkl¨are das Zustandekommen des Zahlenwertes eines siderischen Tages. c∆tmin + RE + RM = 363296 km 2 c∆tmax rmax = + RE + RM = 405504 km 2 rmin + rmax = 384400 km aM = 2 dM dM = aM − rmin = 21104 km, eM = = 0,0549 aM q bM = a2M − d2M = 383820 km L¨ osung: (a) rmin = (b) T = dsid = 86164 s, 2 TM T2 = a3 a3M =⇒ a = aM  T TM 2 3 = 42298 km u ache: x = a − RE = 35920 km ¨ber Erdoberfl¨ (c) Ein Jahr hat 365,25 24 h-Tage und 366,25 Sterntage: 365,25 · 24 h = 366,25 · dsid dsid 365,25 = · 24 · 3600 s = 86164 s 366,25 Sonne dsid = 23 h 56 min 4 s Erde 148 21.3 Gravitationsgesetz 21.3 Gravitationsgesetz 1. Der Jupiter hat etwa 60 Monde auch Trabanten genannt. Der Durchmesser seines gr¨oßten Mondes Ganymed betr¨agt 5262 km. Es gibt aber auch Monde die nur einen Durchmesser von etwa einem Kilometer haben. Die Monde des Jupiters unterscheiden sich relativ stark in ihrer Dichte. Nebenstehend wurde aber eine Auswahl von relativ kleinen Monden getroffen, die sich in ihrer Dichte nicht sehr unterscheiden. Name d in km m in kg Chaldene 4 Callirrhoe 9 7,5 · 1013 Ananke 28 Sinope 38 Carme 46 8,7 · 1014 3,0 · 1016 7,6 · 1016 1,3 · 1017 In dieser Tabelle bezeichnet d den Durchmesser und m die Masse des Trabanten. (a) Berechne die Dichte f¨ ur Carme. (b) Erstelle ein d–g–Diagramm f¨ ur die Trabanten. Dabei soll g die Fallbeschleunigung an der Oberfl¨ache des Mondes sein. W¨ahle auf der d–Achse f¨ ur f¨ unf Kilo1 meter einen Zentimeter und auf der Hochwertachse entspricht 2000 ms−2 einem Zentimeter. Welchen Vernmutung kannst du f¨ ur den Zusammenhang zwischen d und g deinem Diagramm entnehmen? (c) Beweise die von dir in der vorigen Aufgabe aufgestellte Vermutung. L¨ osung: (a) 2,6 · 103 kg m3 (b) 1 m 2000 s2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 bC bC bC bC bC d 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 km Vermutung: d und g sind direkt proportional. D.h. in gleichem Maß wie der Durchmesser eines Himmelsk¨ orpers w¨achst, so w¨achst auch die Fallbeschleunigung an seiner Oberfl¨ ache, sofern die Dichte konstant bleibt. 149 21.3 Gravitationsgesetz (c) g = γ M =γ r2 4 3 r3 π 4 = π γ r. r2 3 ¨ 2. Der Oltanker ,,Jahre Viking” gilt mit einer Masse von 564 736 t (voll beladen) als eines der gr¨oßten Schiffe der Welt. Mit welcher Kraft w¨ urden sich zwei solche Schiffe in einem Abstand von 100 m anziehen? Welche Beschleunigung w¨ urde ein solches Schiff erfahren? L¨ osung: 3. Wie groß ist die Fallbeschleunigung an der Sonnenoberfl¨ache (Masse der Sonne 1,99 · 1030 kg, Durchmesser der Sonne 1,39 · 106 km)? L¨ osung: 4. In welchem Punkt auf der Verbindungslinie Erde–Mond heben sich die Gravitationskr¨afte von Erde und Mond auf (Masse der Erde mE = 5,97 · 1024 kg, Masse des Mondes mM = 7,35 · 1022 kg, Abstand Erde–Mond r = 384 400 km)? P E M bC r1 r2 L¨ osung: Mit einer beliebigen Masse m muss G m mE m mM =G 2 r1 r22 r1 + r2 = r gelten. Dies f¨ uhrt auf die quadratische Gleichung mE (r − r1 )2 = mM r12 , die die L¨ osungen r1 = 3,46 · 105 km und r1 = 4,32 · 105 km besitzt. 5. In welcher Entfernung vom Erdmittelpunkt betr¨agt die Gravitationskraft nur noch 1 derjenigen an der Erdoberfl¨ache? 1000 150 21.3 Gravitationsgesetz L¨ osung: r = r 1000 G mE = 2,02 · 105 km g 6. An der Oberfl¨ache des Planeten Uranus hat die Fallbeschleunigung einen Betrag von 9,0 sm2 . (a) Zun¨achst gehen wir davon aus, dass der Uranus und der Jupiter die gleiche Masse haben. Der Radius des Jupiter ist etwa um den Faktor 2,75 gr¨oßer wie der des Uranus. Welchen Wert erh¨altst du unter dieser Annahme f¨ ur die Fallbeschleunigung an der Oberfl¨ache des Jupiter? (b) Nun gehen wir davon aus, dass der Jupiter und der Uranus den gleichen Radius haben. Aber die Masse des Jupiter ist etwa 22–mal so groß wie die des Uranus. Welchen Wert erh¨altst du nun f¨ ur die Fallbeschleunigung an der Oberfl¨ache des Jupiter? (c) Welcher Wert ergibt sich f¨ ur die Fallbeschleunigung an der Oberfl¨ache des Jupiter, wenn du sowohl das Massenverh¨altnis als auch das Gr¨oßenverh¨altnis der beiden Planeten ber¨ ucksichtigst? L¨ osung: (a) 9,0 sm2 :
11 2 4 = 1,4 sm2 (b) 9,0 sm2 · 22 = 2,0 · 102 sm2
2 · 22 = 26 sm2 (c) 9,0 sm2 : 11 4 7. Im Tabellenteil einer Formelsammlung findet man unter der Rubrik ”Astronomische Daten” f¨ ur die Himmelsk¨orper des Sonnensystems folgenden Auszug: Himmelsk¨orper ... Mars ... Neptun relative Masse ... 0,107 ... 17,2 relativer Radius ... 0,533 ... 3,80 g in sm2 ... 3,73 ... Dabei sind die Massen bzw. Radien der Planeten in Vielfachen der Erdmasse bzw. des Erdradius angegeben. g bezeichnet die Fallbeschleunigung an der Oberfl¨ache des Planeten. Durch einen Tintenfleck ist leider die Fallbeschleunigung an der Oberfl¨ache des Neptun unleserlich geworden. Berechne diesen Wert unter Verwendung der restlichen in der Tabelle angegebenen Informationen. L¨ osung: 3,73 sm2 · 17,2 0,107 :  3,8 0,533 2 = 11,8 sm2 . 151 21.3 Gravitationsgesetz 8. Der Superstern R136a1 Am 8. April 1981 wurde durch Astronomen der Ruhr–Universit¨at Bochum der Supersternhaufen R136 in einer unserer Nachbargalaxien, der großen Magellanschen Wolke im Doradusnebel entdeckt. Am 22. Juli 2010 ging die Meldung, dass f¨ ur den gr¨oßten Stern R136a1 in diesem Haufen nun astronomische Daten bestimmt werden konnten, durch die Presse. So betrug die Masse dieses Sterns urspr¨ unglich 320 und betr¨agt heute noch 265 Sonnenmassen. Wie groß war die Fallbeschleunigung an der ”Oberfl¨ache” dieses Sterns urspr¨ unglich, wenn noch bekannt ist, dass die Fallbeschleunigung an der Sonnenoberfl¨ache 274 ms−2 betr¨agt? L¨ osung: √ 3 320 · 274 ms−2 = 1,87 · 103 ms−2 9. Im September 2010 wurde die Entdeckung von Gliese g bekannt gegeben. Dies ist einer von sechs Planeten, die sich um den Stern Gliese bewegen. Man hat abgesch¨atzt, dass die Masse von Gliese g zwischen 3,1 und 4,3 Erdmassen betr¨agt. Der Planet besitzt etwa einen 1,2– bis 1,4–fachen Erddurchmesser. Zwischen welchen Grenzen liegt die Fallbeschleunigung an der Oberfl¨ache dieses Planeten in Vielfachen der Fallbeschleunigung an der Erdoberfl¨ache? L¨ osung: 1,6 gErde ≦ gGlieseg ≦ 3,0 gErde ¨ 10. In der Aquatorialebene eines Planeten mit Radius R und konstanter Dichte ̺ liegt ein Ringtunnel mit Radius r, dessen Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt des Planeten zusammenf¨allt. Im evakuierten Tunnel kreist ein kleiner Satellit der Masse m um den Planetenmittelpunkt. r ω0 (a) Berechne die St¨arke g(r) des Gravitationsfeldes im Ringtunnel. Der Term soll außer r nur ̺ und Konstanten enthalten. m vi R (b) Berechne die Umlaufdauer Ti (r) und die Geschwindigkeit vi (r) des Satelliten in einem (nichtrotierenden) Inertialsystem. (c) Der Planet dreht sich im Inertialsystem in der Zeit T0 (Ti < T0 ) einmal um seine Achse, der Umlaufsinn des Satelliten und der Drehsinn des Planeten sind gleich. Tr ist die Umaufdauer des Satelliten von einem im Ringtunnel ruhenden Beobachter aus betrachtet. Dr¨ ucke Tr durch Ti und T0 aus. 3 G · 4π GM (r) 4πG̺ 3 ̺r = = ·r 2 2 r r 3 4π 2 r 2 mvi2 4πG̺ = mg(r) =⇒ ·r (b) = 2 r 3 rTi r vi2 4πG̺ = g(r) =⇒ vi = ·r r 3 L¨ osung: (a) g(r) = 152 =⇒ Ti = r 3π G̺ 21.3 Gravitationsgesetz (c) Ein Punkt des Tunnels dreht sich im Inertialsystem mit der Geschwindigkeit v0 , der Satellit hat im rotierenden System die Geschwindigkeit vr : vr = v i − v 0 2rπ 2rπ 2rπ = − Tr Ti T0 =⇒ 1 1 1 = − Tr Ti T0 =⇒ Tr = T0 Ti T0 − Ti 11. Der Jupitermond Europa hat den Radius R = 1569 km. Eine Raumsonde (deren Start allerdings erst f¨ ur 2015 geplant ist) umkreist Europa in der H¨ohe h = 441 km u ¨ ber der Oberfl¨ache in der Zeit T = 2 h 46 min 44 s (in einem Inertialsystem gemessen). (a) Dr¨ ucke die Fallbeschleunigung an der Oberfl¨ache von Europa durch R, h und T aus und berechne dann den Zahlenwert. (b) In welcher Zeit f¨allt ein Eisklumpen von einem 20,0 m hohen Eisberg auf den Boden Europas? L¨ osung: (a) Mit der Mondmasse M , der Sondenmasse m und r = R + h gilt: GM m 4mπ 2 r 2 mv 2 4mπ 2 r = = = r2 r rT 2 T2 g(R) = =⇒ M= 4π 2 r 3 = 4,80 · 1022 kg GT 2 4π 2 r 3 4π 2 (R + h)3 GM = = R2 R2 T 2 R2 T 2 Mit T = 10 004 s ist g(R) = g (b) x = t2 2 =⇒ t= r m 4π 2 · (2,01 · 106 m)3 = 1,30 2 6 2 (1,569 · 10 m · 10 004 s) s 2x = 5,55 s g 153