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St-repetitorium Fertig4.1.3 Web

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August 2018
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StrömungstechnikRepetitorium Zur Vorlesung von Prof. Dr. H.-U. Hassenpflug mit Fragen zur Wissenskontrolle und Aufgaben mit Ergebnissen von Stefan Haser Version 1.01 Inhaltsverzeichnis 1 Inhaltsverzeichnis 1 Fluidstatik ....................................................................................................................... 2 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 Hydrostatische Grundgleichung mit Lösungen ................................................................2 Auftrieb.............................................................................................................................3 Kräfte und Momente auf Seitenwände .............................................................................4 Fragen zur Lernkontrolle ..................................................................................................6 Aufgaben mit Ergebnissen................................................................................................7 Fluiddynamik .................................................................................................................. 9 2.1 Bernoulli’sche Gleichung .................................................................................................9 2.2 Anwendungen der Bernoulli’ schen Gleichung..............................................................10 2.2.1 Torricelli’sche Gleichung ......................................................................................10 2.2.2 Druckmessungen ...................................................................................................11 2.3 Kriterium zur Unterscheidung zwischen laminarer und turbulenter Strömung .............11 2.3.1 Reynolds-Zahl bei durchströmten Körpern, insbesondere der Rohrströmung ......12 2.3.2 Reynolds-Zahl bei umströmten Körpern ...............................................................12 2.3.3 Reynolds-Zahl bei überströmten Körpern (ebene Platte)......................................13 2.4 Kontinuitätsgleichung.....................................................................................................14 2.5 Fragen zur Lernkontrolle ................................................................................................15 2.6 Aufgaben mit Ergebnissen..............................................................................................16 3 Impulssatz ..................................................................................................................... 20 3.1 3.2 Grundlagen des Impulssatzes .........................................................................................20 Aufgaben mit Ergebnissen..............................................................................................25 Anhang.........................................................................................................................................A 0 Antworten der Lernkontroll-Fragen ........................................................................................ A 1 Aufgaben mit Lösungswegen ................................................................................................ A 16 Fluidstatik 2 1 Fluidstatik 1.1 Hydrostatische Grundgleichung mit Lösungen Die hydrostatische Grundgleichung ist eine Differentialgleichung: dp = - ρ g dz Ihre Herleitung erfolgt aus dem Kräftegleichgewicht von Oberflächen- und Volumenkräften. (s. Vorlesung) Lösung für inkompressible Fluide Anwendung bei inkompressiblen Fluiden (ρ ≠ ρ(p)); Integration der Differentialgleichung: p = p(z) p ∫ dp = - ρ g p (z 0 ) p z ∫ dz ; p (z0) ≡ p0 z0 h = -z p (z) – p0 = - ρ g (z – z0) p (z) = p0 - ρ g z mit z0 = 0 ; Der Druck nimmt linear mit der „Höhe“ ab Einführung einer (z entgegengesetzen) Koordinate h = - z p (z) = p0 + ρ g h ; Der Druck nimmt linear mit der „Tiefe“ zu Lösung für kompressible Fluide Anwendung bei kompressiblen Fluiden (z.B. Luft), wenn ρ = ρ(p) und ein ideales Gas vorliegt: m p mit ρ := pV=mRTρ= ; R =ˆ spezielle Gaskonstante R ⋅T V Ideale Gasgleichung in die hydrostatische Grundgleichung einsetzen: p⋅g dp = dz R ⋅T dp g =dz p R ⋅T (i. A. T = T (p, ρ)!) Annahme T = const., d.h. eine isotherme Atmosphäre liegt vor: Integration der Differentialgleichung: Fluidstatik p g dp ∫p p = - R ⋅ T 0 ln 3 z ∫ dz z0 p g =z p0 R ⋅T p = p0 e - g ⋅z R ⋅T ; sogenannte “barometrische Höhenformel” 1.2 Auftrieb Jeder Körper erfährt in einem „anderen“ Fluid einen Auftrieb, der einen scheinbaren Gewichtsverlust erzeugt. Die Auftriebskraft eines Körpers ist gleich dem Betrag der Gewichtskraft des von ihm verdrängten Volumens. Der hydrostatische Auftrieb FA = g ρF VK F = FG - FA F = g VK (ρK - ρF) FA FG ρF ρK VF VK – – – – – – Hydrostatische Auftriebskraft Gewichtskraft des Körpers Dichte des umgebenden Fluids Dichte des Körpers Volumen des vom Körper verdrängten Fluids Volumen des Körpers Ein Körper erfährt einen Auftrieb, d.h. er steigt, wenn die Auftriebskraft größer ist als die Gewichtskraft. Er erfährt einen Abtrieb, wenn die Gewichtskraft der Auftriebskraft überwiegt. Wenn zwischen beiden Kräften ein Gleichgewicht herrscht, dann schwebt der Körper. (s. Vorlesung) Der thermische Auftrieb Temperaturunterschiede in einem Fluid bewirken Dichteunterschiede, die die thermische Auftriebskraft FT der heißeren oder kälteren Fluidteile erzeugen: FT = g ρF β (TK – TF) VK FT ρF – – Thermische Auftriebskraft Dichte des umgebenden Fluids Fluidstatik TF VK TK β – – – – 4 Temperatur des umgebenden Fluids Volumen der heißeren oder kälteren Fluidteile Temperatur der heißeren oder kälteren Fluidteile Volumen-Ausdehnungs-Koeffizient Ein Auftrieb entsteht für TK > TF, ein Abtrieb für TK < TF (s. Vorlesung) 1.3 Kräfte und Momente auf Seitenwände Ein Fluid (z.B. Wasser) wirkt auf Seitenwände mit dem hydrostatischen Druck, der Kräfte und Momente hervorruft. Zur Lösung solcher Fragen wird die prinzipielle Vorgehensweise am Beispiel einer ebenen, rechteckigen Seitenwand, an die Wasser auf der einen und Luft auf der anderen Seite angrenzt, verdeutlicht. Bedingungen: Umgebungsdruck p0 = pL = const. : ρL << ρW p0 h H pW (h) Wasser p0 pL (h) Luft dh pL (h) = p0 B Kraft auf eine Seitenwand Die resultierende Kraft Fres des Wassers auf die Seitenwand ergibt sich zu: d Fres = (pW - pL) dA ; dA = B dh ; pW = p0 + ρ g h H Fres = ∫ ρ g B h dh = ρ g B 0 H2 2 FS Fluidstatik Fres H B – – – 5 Resultierende Kraft des Wassers auf die linke Wandseite Höhe der Wand, die vom Wasser benetzt ist Breite der Wand, die vom Wasser benetzt ist (s. Vorlesung) Moment auf eine Seitenwand Das Moment, das die Wasserlast ausübt, beträgt: d M res = h d Fres H M res = ∫ ρ g B h dh h = ρ g B 0 H3 3 Gleichgewicht Aus dem Kräftegleichgewicht Fres + FS = 0 folgt, dass die Stützkraft FS gleich groß ist, aber entgegengesetzt gerichtet ist. H2 FS = - ρ g B 2 Ihr Angriffspunkt e ergibt sich aus dem Momentengleichgewicht: + M h e ∫ dF res h FG e M: Bezugspunkt ∑M = 0 ∫ dFres h - FS e = 0 ; mit dFres = ρ g B h dh und FS = ρ g B H2 2 Fluidstatik 6 H ∫ ρ g h B dh h - FS e = 0 0 H ρgB ∫ h2 dh = FS e 0 h3 H H2 ρgB( | )=ρgB e 3 0 2 H3 3 =e H2 ρgB 2 ρgB e= FS H B e 2 H 3 – – – – Stützkraft Höhe der Wand, die vom Wasser benetzt ist Breite der Wand, die vom Wasser benetzt ist Angriffspunkt der Stützkraft (s. Vorlesung) 1.4 Fragen zur Lernkontrolle a) Wie lautet die hydrostatische Grundgleichung und welches Kräftegleichgewicht wird durch sie beschrieben? Erläutern Sie dieses anhand der Herleitung aus einem elementaren Modell. b) Der Atmosphärendruck kann bei großen Höhenunterschieden oder bei differenzierten Betrachtungen atmosphärischer Vorgänge (Schadstoffausbreitung, Aerosolverhalten u. a.) nicht als konstant angesehen werden. Leiten Sie eine Beziehung für die Luftdruckänderung mit der Höhe her, wenn Sie Luft als ideales Gas annehmen und wenn entweder die Temperatur (T(z) = const.) oder die Entropie (s(z) = const.) sich mit der Höhe nicht ändern (2 Ergebnisse: pT(z) bzw. pS(z)). c) Formulieren Sie das Archimedische Prinzip (in Worten); Leiten Sie einen formelmäßigen Zusammenhang für den Auftrieb her und geben Sie die dazu benötigten Annahmen an. Fluidstatik 7 1.5 Aufgaben mit Ergebnissen 1. Aufgabe Eine rechteckige Klappe mit mittig angeordneter Achse dient zur Regulierung des Ausflusses aus einem mit Wasser gefüllten Behälter; Ihnen liegen folgende Daten vor: b = 1,2 m; h = 0,6 m; H = 4 m; ρW = 103 kg/m3; pA = 1 bar Bestimmen Sie für den geschlossenen Zustand die vom hydrostatischen Druck auf die Klappe ausgeübte axiale Kraft, den Kraftangriffspunkt und das Drehmoment um die Klappenachse. (30,4 kN; 0,307 m; 212,8 Nm) 2. Aufgabe a) Eine Staumauer besitzt zu Inspektionszwecken wasserseitig in 50 m Tiefe eine rechteckförmige Ausstiegsluke mit der Breite b = 0,5 m und der Höhe h = 1 m. Für welche aus der Wasserlast resultierende Kraft muss diese ausgelegt werden, wenn die Wasserdichte ρW = 103 kg/m3 und der Atmosphärendruck pA = 1 bar gegeben sind? An welcher Stelle müsste eine gleich große Gegenkraft angreifen, damit die Luke kraft- und momentenfrei gehalten wird? Die Bestimmung des Kraftangriffspunktes muss aus einer elementaren Betrachtung hergeleitet werden. (247,7 kN; 0,5017 m) b) Sie haben für den a)-Aufgabenteil den Luftdruck als konstant angenommen. Belegen Sie Ihre Annahme durch eine geeignete Fehlerabschätzung und quantifizieren Sie Ihre Aussage mit ρL = 1 kg/m3. 3. Aufgabe An einen Wassertank ist eine kreisförmige ebene Einstiegsluke − zugleich Sichtfenster − seitlich angeflanscht. Deren Durchmesser beträgt d = 1 m; der Wasserspiegel befindet sich h = 12 m oberhalb der Lukenmitte. Das (deionisierte) Wasser (ρW = 1000 kg/m3) ist durch ein Sperrgas (pG) gegenüber der Atmosphäre (pA) abgeschlossen: pG = 1,2 pA und pA = 1bar Berechnen Sie die Haltekraft F (Gesamtkraft) und jede der 4 Schraubenkräfte, wenn diese momentenfrei angreifen sollen und die 4 Schrauben auf den Winkelhalbierenden unter ± 45° je 2 „oben“ und „unten“ angeordnet sind. (91,2 kN; 2 × 21,68 kN (oben); 2 × 24,53 kN (unten)) 4. Aufgabe Fluidstatik 8 Eine Boje schwimmt auf einer Wasseroberfläche, wenn sie eine kleinere Dichte als Wasser aufweist. Besitzt sie die Form eines Zylinders (D, H), muss sie aus Stabilitätsgründen bei vertikaler Zylinderachse mehr als zur Hälfte eintauchen. Ermitteln Sie aus dem Gleichgewicht der angreifenden Kräfte die Dichte des Bojenmaterials relativ zur Wasserdichte, wenn die Eintauchtiefe in (ruhendem) Wasser T = 2H/3 betragen soll. (ρB/ρW = 2/3) Welche Kräfte beschreiben das Gleichgewicht? 5. Aufgabe Mit welcher Seilkraft muss eine Kugel (d = 60 cm, ρk = 200 kg/m3) am Boden verankert sein, wenn sie als Begrenzungsboje 30 cm, also zur Hälfte, über die Oberfläche eines Badesees (ρw = 1000 kg/m3) herausragen soll? (Anm.: VKugel = 4π R3/3). (332,8 N) 6. Aufgabe Ein Ballon erfährt einen thermischen Auftrieb, wenn die in ihm befindliche Luft erwärmt wird. Im vorliegenden Fall sind folgende Daten gegeben bzw. Annahmen zu treffen: Prallgefüllt besitzt der Ballon ein Volumen von 15.000 m3; seine Hülle sei starr. Das Gewicht der gaslosen Hülle, des Korbes, der Seile usw. beträgt mB = 250 kg. Luft sei ein ideales Gas (RL = 287,1 J/(kg K) und besitzt am Boden bei z = 0 eine Temperatur von TL,0 = 288 K und einen Druck von pL0 = 101.325 Pa. a) Wie hoch ist die Ballontemperatur TB,0 am Boden, wenn er dort mit einer Seilkraft von FS = 450 N festgehalten wird? (292,7 K) b) Nach dem Zustieg von Personen mit Gepäck erhöht sich das Gewicht um mP = 750 kg: Auf welche Temperatur TB,H muss die Luft im Ballon erwärmt werden, wenn dieser in isothermer Atmosphäre in eine Höhe von zH = 600 m aufsteigen soll? (305,9 K) Fluiddynamik 9 2 Fluiddynamik 2.1 Bernoulli’sche Gleichung Die Bernoulli’sche Gleichung ist eine Grundgleichung für Strömungen. In ihr kommen die drei in einer Strömung befindlichen Energien zum Ausdruck, die Druckenergie, die kinetische Energie und die Lageenergie. Die Gleichung besagt, dass die in der Strömung befindliche Energie nicht verloren gehen kann, sondern lediglich zwischen diesen drei Energien übergehen kann: c2 p + ρ + ρ g z = const. 2 123 123 123 Druckenergie kinetische Energie Lageenergie Die Gleichung ist nur unter der Annahme einer stationären, reibungsfreien Strömung und dem vorhandensein eines inkompressiblen Fluids ( ρ = const.) gültig. Zudem muss das betrachtete System adiabat sein und es darf keine Arbeit an dem System verrichtet werden! Die erweiterte Bernoulli-Gleichung beeinhaltet dann zusätzlich dazu einen Term für den Druckverlust bei reibungsbehafteter Strömung. Der Druckverlust – die dissipierte Energie in Folge von Reibung, Umlenkung, Formwiderständen u.a. – kann in Rohrströmungen nur aus dem statischen Druck „gespeist“ werden. In offenen Gerinnen kann er die kinetische oder die potentielle Energie mindern. 2 2 c c p1 + ρ 1 + ρ g z1 = p2 + ρ 2 + ρ g z2 + ∆p V 1, 2 123 2 2 Druckverlust − Term Berechnung des Druckverlust-Terms ∆p V 1, 2 k ∆p V 1, 2 = ∑ζ j ρ j =1 c2 2 Rohrreibung: ζR = λ λ k D L D ; c, mittlere Geschwindigkeit c := & V A L c2 mit dem Rohrreibungsbeiwert λ ρ D 2 k ) Rohrreibungsbeiwert D – λ (Re, – relative Rauheit – – Rohrlänge Rohrdurchmesser Rohrleitungsbauteile (Krümmer, Bögen, Ventile, Schieber, etc.) besitzen Druckverlustbeiwerte ζB, die i.A. von der Strömungsgeschwindigkeit abhängen. ζB = ζB (Art, Geometrie, Volumenstrom, etc.) je eigene Fluiddynamik 10 Der Coriolisbeiwert Der Coriolibeiwert α ist ein Korrekturfaktor für die kinetische Energie, die in der Geschwindigkeitsverteilung einer Rohrströmung steckt: 1 2 Durch die Verwendung der mittleren Geschwindigkeit cm in dem Ausdruck ρ c m nimmt man 2 fälschlicherweise an, dass das Geschwindigkeitsprofil einer Strömung gleichmäßig sei. Da das in der Realität aber nicht der Fall ist, sondern das Profil Unregelmäßigkeiten hat, wird ein Ausgleichsfaktor benötigt. Für laminare Strömungen ist α = 2, für turbulente Strömungen kann α Werte zwischen 1,02 und 1,07 erreichen. Bernoulli’sche Gleichung mit Coriolis-Faktor: 2 2 c1 c2 + ρ g z1 = p2 + α2 ρ + ρ g z2 p1 + α1 ρ 2 2 2.2 Anwendungen der Bernoulli’ schen Gleichung 2.2.1 Torricelli’sche Gleichung Die Torricelli’sche Gleichung gilt beim Ausfluss aus einem offenen Behältnis in die Umgebung (ins Freie) unter der Annahme einer reibungsfreien Strömung. Die Ausflussgeschwindigkeit c ist dann: c = 2g h h – Höhe des Wasserspiegels über der Ausflussöffnung (s. Vorlesung) Fluiddynamik 11 2.2.2 Druckmessungen Der Druck in einer Rohrströmung kann z.B. mit Hilfe eines Prandtl-Staurohres gemessen werden: Legende: Fluid Sperrflüssigkeit Vorne am Prandtl-Rohr befindet sich der sogenannte Staupunkt, an ihm wird das anströmende Fluid aufgestaut – die Strömungsgeschwindigkeit cP ist dort gleich null. Mit Hilfe der Bernoulli’schen Gleichung kann von einem Punkt in ausreichender Entfernung vor dem Prandtl-Rohr bis zum Prandtl-Rohr bilanziert werden: Bedingung: Punkt und Prandtl-Rohr liegen auf einer Ebene (z = zP) 2 cP c2 p + ρ + ρ g z = pP + ρ + ρ g zP 2 2 p + ρ c2 = pP 2 ; Gesamtdruck, „Pitot-Druck“ 2.3 Kriterium zur Unterscheidung turbulenter Strömung zwischen laminarer und Bei der Unterscheidung von Strömungsformen spielt das Ähnlichkeitsgesetz von Reynolds eine wichtige Rolle. Es besagt, das Strömungen mit gleichen Reynolds-Zahlen grundsätzlich ähnlich sind. Die Berechnung der Reynolds-Zahl Re erfolgt dabei mit folgender Formel: c ρ l char. cl η Re = char. oder Re = mit ν := ρ ν η c lchar. ν η ρ – – – – – mittlere Strömungsgeschwindigkeit charakteristische Länge kinematische Viskosität dynamische Viskosität Dichte Fluiddynamik 12 2.3.1 Reynolds-Zahl Rohrströmung bei durchströmten Körpern, insbesondere der Charakteristische Länge lchar. ist bei der Rohrströmung der Rohrdurchmesser d: cd cdρ Re = = ν η Bei Rohrströmungen ergibt sich dann folgender Zusammenhang zwischen der Reynolds-Zahl und der Strömungsform: laminare Strömung Re ≤ 2300 Re > 2300 turbulente Strömung Der Rohrreibungsbeiwert λ ist von der Reynolds-Zahl und der Art des Rohres abhängig; Für Kreisrohre gilt λ = λ (Re, k/D) k D D – relative Rauheit – Rohrdurchmesser Bei hydraulisch glattem (Kreis-) Rohr ergeben sich folgende Beziehungen zur Berechung des Rohrreibungsbeiwertes λ in Abhängigkeit der Re-Zahl: 64 λ= Re ≤ 2300 Re Re < 8 104 λ = 0,3164 (Re)-0,25 Blasius, 1911 6 –0,3 Re < 1,5 10 λ = 0,0054 + 0,396 (Re) Hermann Außerdem: Re > ReKrit. 1 λ = 2 lg(Re λ ) – 0,8 Prandtl / Kármán 2.3.2 Reynolds-Zahl bei umströmten Körpern Auch bei umströmten Körpern gilt für die Bestimmung der Reynolds-Zahl Re die allgemeine Formel: cl Re = char. ν Die charakteristische Länge lchar. ist wiederum von der Form des umströmten Körpers abhängig (Bei einer Kugel: Kugeldurchmesser d). Auch das Strömungsbild bei umströmten Körpern hängt von der Körperform ab. Bei schlanken Körpern, die parallel zur Körperachse angeströmt werden, schließen sich die Stromlinien an der hinteren Körperkante wieder zusammen, wohingegen sich bei kantigeren Körpern die Strömung hinter dem Körper ablöst (Ablösepunkt A) und ein mehr oder minder ausgedehntes Totwassergebiet auftritt. Fluiddynamik 13 Am Körperanfang kommt es zu einem Aufstauen der ankommenden Strömung (Staupunkt S), von dort ausgehend kommt es durch das Anhaften von Fluidteilchen an der Körperoberfläche zur Ausbildung einer Grenzschicht, die den Körper wie eine Haut umschließt. Zu Beginn ist diese Grenzschicht laminar; Längs des Körpers wächst die Grenzschichtdichte und die Re-Zahl steigt an. Wird eine kritische Re-Zahl überschritten, so schlägt die Strömung in eine turbulente Strömung um. Als Folge der turbulenten Querbewegungen verschiebt sich dann der Ablösepunkt A weiter nach hinten. Grenzschicht A S A 2.3.3 Reynolds-Zahl bei überströmten Körpern (ebene Platte) Die ebene Platte stellt einen bedeutenden Sonderfall der überströmten Körper dar. Die Strömungsgeschwindigkeit, mit der das Fluid die ebene Platte anströmt wird als c∞ bezeichnet. Für die Reynolds-Zahl bei einer ebenen Platte gilt allgemein: c x Re = ∞ ν x ist hierbei die von der Strömung zurückgelegte überströmte Strecke. So wird deutlich, dass mit zunehmender zurückgelegter Strecke x auch die Reynolds-Zahl Re stetig ansteigt. Ist am Rand einer Platte zunächst also eine laminare Grenzschicht vorhanden, so geht diese ab einem Punkt xKrit. in eine turbulente Grenzschicht über. x < xKrit. : laminare Grenzschicht x > xKrit. : turbulente Grenzschicht Wurde die gesamte Plattenlänge l überströmt, so gilt für die Reynolds-Zahl: c l Re = ∞ ν Definition des Widerstandsbeiwertes cW: • Lokaler Widerstandsbeiwert c’W • Gesamter Widerstandsbeiwert cW Fluiddynamik 14 So ergeben sich folgende Beziehungen zur Berechnung des Widerstandsbeiwertes cW in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl Re: Für die laminare Grenzschicht (l < xKrit.): 0,664 c’W = Re x cW = 1,328 Re l Für die turbulente Grenzschicht (x > xKrit.): c’W = 0,0592 (Rex)-0,2 cW = 0,074 5 Re l (s. Vorlesung) 2.4 Kontinuitätsgleichung Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass bei stationärer Strömung der Massenstrom in der Rohrleitung konstant bleibt und durch verschiedene Rohrquerschnitte immer gleich ist: dρ dA dc & = ρ A c = const. bzw. m + + =0 ρ A c ρ A c – – – Dichte des Fluids Rohrquerschnitt Strömungsgeschwindigkeit Unter der Voraussetzung, dass die Fluid-Dichte ρ konstant ist, ergibt sich für den Volumenstrom: & = c A = const. V bzw. dA dc =− A c ; der Querschnitt nimmt entsprechend der c- Zunahme ab. Für Gase gilt ρ = const., wenn Ma < 0,1 ... 0,25 Machzahl: Ma = Gasgeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit Fluiddynamik 15 2.5 Fragen zur Lernkontrolle d) Wie lautet der 1. Hauptsatz für stationäre Zustandsänderungen offener Systeme? Erläutern Sie, wie und unter welchen Bedingungen er in die Bernoulli´sche Gleichung übergeht. e) Leiten Sie unter Angabe sämtlicher Randbedingungen die Torricelli´sche Ausflussformel her. f) Der Massenstrom kann mit Hilfe eines Prandtl´schen Druckmessrohres bestimmt werden. Geben Sie die Bedingungen hierzu an und skizzieren Sie detailliert und maßstäblich die Messanordnung. g) Stellen Sie den Rohrreibungsbeiwert λ der ausgebildeten Rohrströmung in einem Diagramm über der Reynoldszahl mit der relativen Rauhigkeit als Parameter qualitativ exakt dar und tragen Sie im Diagramm Grenzkurven für verschiedene Gültigkeitsbereiche ein. Was verstehen Sie unter „Sandrauhigkeit“ und was unter natürlicher oder technischer Rauhigkeit? Worin liegt die Bedeutung der erstgenannten und wie kann man den Wert der zweiten bestimmen? In welchem Zusammenhang steht λ mit dem Druckverlustbeiwert ζ und dem Druckverlust ∆pv,12? h) Durch zwei Rohre gleicher Länge aber verschiedener Durchmesser d1 und d2 fließe die gleiche Masse. In welchem Zusammenhang steht das Verhältnis der Druckverluste ∆pv1/∆pv2 zu dem der Durchmesser d1/d2 in • einer ausgebildeten laminaren Strömung, • einer ausgebildeten turbulenten Strömung, für die das Gesetz λ ~1/Re1/4 gilt und • einer ausgebildeten Strömung in vollständig rauem Rohr (λ = const.). i) Ein Diffusor wird häufig zur sog. Druck(verlust)rückgewinnung eingesetzt. Das heißt, er verhindert oder vermindert, dass beim Ausströmen aus einer Rohrleitung in eine Umgebung die kinetische Energie des “Freistrahls” vollständig dissipiert wird. Erläutern Sie die Wirkungsweise eines Diffusors am Beispiel einer verlustfreien Strömung aus einem Behälter ins Freie; Der Diffusor sei unmittelbar an einen „idealen“ Ausflußstutzen angeflanscht. Diskutieren Sie an Hand einer Skizze die Strömungsphänomene in einem Diffusor, die zu einem Diffusor-Wirkungsgrad ηD < 1 führen! j) Erläutern Sie, wie man den Durchmesser einer Rohrleitung ändern muss, wenn bei gleichem Volumenstrom (ρ = const, ϑ = const) aus einer laminaren eine turbulente Strömung wird. Spielt dabei die Rohrlänge eine Rolle? k) Warum ist bei Gasströmungen mit festem Ruhe- bzw. Ausgangszustand der Massenstrom in Düsen und Rohrleitungen begrenzt? Erläutern Sie Ihre Antwort an Hand von Diagrammskizzen. Eine Herleitung der Beziehung A (1 − Ma2) A dv = − v A dA wird dazu nicht verlangt. Fluiddynamik 16 2.6 Aufgaben mit Ergebnissen 7. Aufgabe An den gutgerundeten Ausflussstutzen eines Behälters ist eine l = 30 m lange horizontal verlegte Rohrleitung angeflanscht und kräftefrei mit einem zweiten Behälter verbunden. In beiden Behältern befindet sich Wasser (ρ = 1000 kg/m3, η = 10−3 Pa⋅s); Die Höhe der Wasserspiegel über der Rohrachse betragen h1 = 7 m im ersten und h2 = 3 m im zweiten Behälter; der Druck über beiden Wasserspiegeln ist gleich groß. Die Rohre sind hydraulisch glatt und besitzen einen Durchmesser von d = 0,1 m. Die Gewichtskräfte aller Bauteile werden von Stützen aufgenommen. a) Erstellen Sie vergrößerte Skizzen von Rohranfang- und -ende, zeichnen in diese die Geschwindigkeitsprofile und die Entwicklung der Strömung im Rohr und notieren Sie die jeweils zugehörigen Bedingungen bzw. Erläuterungen. b) Wie groß wäre in idealer Strömung der Volumenstrom im stationären Fall? & = 0,069 m3/s) (c = 8,86 m/s; V c) Wie groß ist in realer Strömung, also unter Einfluss der Zähigkeit, der Volumenstrom im stationären Fall? (Anm.: Die Berechnung ist m. E. nur iterativ möglich; brechen Sie die Iteration ab, wenn die relative Abweichung des Ergebnis- und des Startwertes 2% unterschreitet.) Für eine turbulente Strömung können Sie die Beziehung λ = 0,0054 + 0,396 ⋅ Re−0,3 verwenden. & = 0,031 m3/s) (c= 3,92 m/s; V d) Wie groß ist die im Flansch auftretende Kraft, wenn Sie die Impulsstrom-Änderung vernachlässigen? Begründen Sie diese Annahme. (247,9 N) e) Nach welcher Zeit wird die maximale Geschwindigkeit erreicht, wenn ein zuvor geschlossener Schieber plötzlich geöffnet und der gesamte Rohrquerschnitt freigegeben wird. Für Ihre Berechnung können Sie konstante Wasserspiegelhöhen während des Überströmens annehmen. f) In Wirklichkeit sinkt jedoch der Wasserspiegel im ersten und der im zweiten Behälter steigt. Wann ist das Überströmen beendet. Vernachlässigen Sie bei Ihrer Betrachtung das Anlaufen der Strömung und nehmen Sie bei den gegebenen Höhen h1 und h2 die in b) berechnete maximale Geschwindigkeit an. Die Behälterquerschnitte sind A2 = A1 = 10 m2. (645 s) Fluiddynamik 17 8. Aufgabe Die Luftzufuhr in einem Industrieofen wird durch den natürlichen Zug eines Kamins sichergestellt. Sie strömt mit vernachlässigbarer Geschwindigkeit in den Ofen ein, die Verbrennungsgase strömen mit hoher Temperatur TG verlustfrei aber isotherm in die Atomsphäre. a) Für die folgende Berechnung nehmen Sie konstante Luft- und Abgasdichte an: ρL = const. und trotz hoher Abgastemperatur ρG = const., Begründen Sie diese Annahme. b) Berechnen Sie die Abgasgeschwindigkeit am Kaminaustritt unter der Annahme vernachlässigbarer Brennstoffmenge und wenn Ihnen folgende Werte gegeben sind (34,04 m/s) H = 100 m; ϑL = 18 oC; ϑG = 190 oC; pa = 1 bar; RG = RL = 287,1 J/(kg K). 9. Aufgabe Aus einem Tiefbrunnen soll eine Wassermenge von 270 m3/h in ein 3 km entferntes Wasserwerk gefördert werden. Gegeben sind die Geschwindigkeit v = 0,7 m/s, die Dichte ρ = 1000 kg/m3, die dynamische Zähigkeit η = 10−3 Ns/m2 und der Höhenunterschied der Wasserspiegel mit 180 m. a) Skizzieren und beschreiben Sie kurz Ihr Anlagenkonzept (Rohrleitungen, Ein- und Auslaufkonfiguration, Schieber (S), Ventile (V), Filter (F), Krümmer (K), Anzahl und Lage der Pumpen usw.) b) Berechnen Sie die Druckdifferenz zwischen Druck- und Saugstutzen der Pumpe sowie deren Leistung, wenn ihr Wirkungsgrad 94% beträgt und wenn Ihnen folgende Druckverlust- bzw. Rohrreibungsbeiwerte bekannt sind: (∆pP = 17,95 bar; P = 143,2 kW) ζF = 2; ζV = 0,8; λ ≈ 0,316/Re1/4 für ζK = 0,4; Re ≥ Rekrit. ζS = 0,08 10. Aufgabe Eine Kreiselpumpe fördert 7,85 l/s Wasser (ρ = 103kg/m3, η = 10−3 Ns/m2) aus einem Brunnen in einen Speicher. Der Wasserspiegel im Brunnen liegt h = 5 m unterhalb der horizontal angeordneten PumpenAchse. Die saugseitige Rohrleitung ist insgesamt l = 7 m lang, der Durchmesser d = 0,1 m. Sie besteht aus einem gut gerundeten ca. 2 m in den Brunnen eingetauchten Rohreinlauf, einem senkrechten Stück und einem Krümmer direkt am Saugstutzen der Pumpe, der eine Verlustziffer von ζK = 0,5 besitzt. Die druckseitige Rohrleitung ist gerade, horizontal verlegt und an den Speicher angeflanscht. Sie ist insgesamt L = 1410 m lang, ihr Durchmesser beträgt D = 0,141 m. Der Wasserspiegel im Speicher liegt H = 15 m oberhalb der Pumpe. Fluiddynamik 18 Alle Rohre sind hydraulisch glatt. λ ≈ 0,316/Re1/4 gilt für den Rohrreibungsbeiwert in turbulenter Strömung. Die Absperrschieber an der Pumpe werden vollgeöffnet verlustlos durchströmt. a) Berechnen Sie den Druckdifferenz zwischen Druck- und Saugstutzen sowie die Leistung der Pumpe, wenn deren (innerer) Wirkungsgrad ηP = 0,94 und Gesetzmäßigkeiten gegeben sind. (∆pP = 2,22 bar; P = 1,74 kW) b) Erläutern Sie, weshalb die Geschwindigkeitsverteilung v(r) bei Eintritt in das lange Rohr und somit die Einlaufströmung praktisch keine Rolle spielt. c) Welche Bedeutung besitzt die Angabe “hydraulisch glattes Rohr”? d) Diskutieren Sie den größtmöglichen Wert für die Höhe h; spielt dabei der Saugstutzendurchmesser eine Rolle? 11. Aufgabe Vom Hafen zur 30 km entfernten Raffinerie werden 0,3 m3/s Rohöl durch hydraulisch glatte Rohre mit einem Innendurchmesser von 60 cm gefördert. 80 m liegt der Ölspiegel in den Raffinerietanks über demjenigen im Hafen; die Öldichte ρ = 800 kg/m3 und seine Zähigkeit η = 0,005 Ns/m2 sind gegeben. Um den Austritt von Öldämpfen zu vermeiden, erzeugen Abzüge in den geschlossenen Öltanks einen schwachen Unterdruck pU. a) Stellen Sie von der Anlage (Rohrleitungen, Lage der Pumpe(n), Messeinrichtungen, Krümmer, Ventile bzw. Absperrschieber, Filter usw.) eine qualitativ richtige und für die folgenden Berechnungen gut brauchbare Skizze her; Verdeutlichen Sie durch Vergrößerungen die Verbindungen der Rohrleitungen mit den Öltanks. Erläutern Sie stichwortartig Ihr Anlagenkonzept. b) Berechnen Sie die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und die Reynoldszahl. (c = 1,06 m/s; Re = 101760) c) Welche Druckdifferenz herrscht zwischen Pumpen-Druck- und Saugstutzen? Zur Berechnung liegen Ihnen folgende Angaben für die Rohrreibungsbeiwerte vor: (10,26 bar) λ = 64/Re für Re ≤ 2300 λ = 0,3164/Re1/4 für Re > 2300. d) Begründen Sie mit Hilfe einer quantitativen Abschätzung, dass eine Angabe von Druckverlustbeiwerten für o. g. Bauteile in dieser Aufgabe nicht erforderlich ist. e) Entwerfen Sie das Anlagenkonzept einer Pumpenstation, wenn je Pumpe eine Druckdifferenz von ∆pP = 6 · 105 Pa und ein Dauervolumenstrom von (dV/dt)P = 0,1 m3/s nicht überschritten werden soll. Fluiddynamik 19 12. Aufgabe In einer verfahrenstechnischen Anlage werden 1,6 dm3/s Ethylalkohol aus einem Druckbehälter über eine gerade horizontale Rohrleitung (L = 20 m, d = 20 mm) mit Filter, Durchflusszähler und Drosselklappe einem Reaktor zugeführt und dort über Düsen versprüht. Der gesamte Verlustbeiwert dieser 3 Einbauteile wird durch gesteuertes Öffnen der Drosselklappe auf 2×ζF konstant gehalten, wodurch ein konstanter Volumenstrom gewährleistet ist. (Anm.: Das Filter wird ausgewechselt, wenn die Drosselklappe voll geöffnet ist.) Dieser sowie ein ebenfalls konstanter Druck vor Eintritt in den Düsenstock ist für eine gute Prozessführung Voraussetzung. Der Rohreinlauf ist gut gerundet, die Rohrwand hydraulisch glatt, weitere Daten, Forderungen und Gesetze sind: Ethylalkohol: ρ = 765 kg/m3; ν = 1,1 ⋅ 10-6 m2/s; pD = 3 bar (Druck vor Düse). Filter: ζF = 2,5 (Neuwert inklusive Durchflusszähler). Rohrreibungsbeiwerte: λ = 0,3164 ⋅ Re−0,25 für Rekrit < Re < 80000 λ = 0,0054 + 0,396 ⋅ Re−0,3 für 80000 < Re < 1,5 ⋅ 106. a) Skizzieren Sie die Rohrleitung mit Filter, Durchflusszähler sowie Drosselklappe; begründen Sie die Reihenfolge und die Lage der Bauteile. b) Bestimmen Sie den Druckabfall in der Anordnung unter Berücksichtigung aller Verluste. (∆pV = 2,31 bar; c = 5,1 m/s; Re = 92700; λ = 0,0182) c) Wie groß muss der Sperrgas Druck im Behälter pB,G sein wenn der Ethylalkoholspiegel 10 m höher als die Rohrachse liegt? (4,66 bar) d) Stellen Sie qualitativ den Druckverlauf über der Rohrachse p(x) dar. Beachten Sie dabei die „Quantitäten“ für die Rohrlänge, die Länge der Einbauteile sowie für die jeweiligen relativen Druckdifferenzen ∆pj,j+1/∆Lj,j+1 im Verhältnis zur Differenz pB,0 pD. Impulssatz 20 3 Impulssatz 3.1 Grundlagen des Impulssatzes Für den Impulssatz gilt für stationäre Strömungen: „Austretender Impulsstrom - Eintretender Impulsstrom = Summe aller von aussen angreifenden Kräfte“; Er ist eine Vektorgleichung und verlangt einen Bilanzraum, häufig mit „Kontrollfläche“ bezeichnet. r r r &I - &I = ∑ F Aus Ein Von außen angreifende Kräfte können dabei sein: • Stab-, Stütz- oder Schraubenkräfte • Schwerkräfte (von Fluid und Bauteilen) • Druckkräfte o Druck des Fluids o Druck der Umgebung • Reibungskräfte Die Anwendung wird beispielhaft an einem 90°-Krümmer erläutert: 16. Aufgabe Aufgabenstellung: Durch einen horizontal angeordneten 90o Krümmer, der an eine sehr weiche Kupplung angeschlossen ist, ströme Wasser verlustlos in die Umgebung (pU = 1 bar). Gegeben sind: Die Dichte des Wassers: ρ = 103 kg/m3; Druck p1 = 1,375 bar. Die Krümmerquerschnitte: A1 = 0,2 m2; A2 = 0,1 m2, a) Zeichnen Sie das Kräfte-Gleichgewichts-Diagramm für den im mathematischen Sinn angeordneten Krümmer. b) Berechnen Sie: die Geschwindigkeiten c1 und c2 sowie die (von der Strömung) auf das Lager ausgeübte Kraft nach Größe und Richtung. Impulssatz 21 Aufgabenteil a) r &I 2 pU A2 pU r ∆Fp 2 r F2 δ r F1 A1 r ∆Fp1 r &I 1 y x Aufgabenteil b) Indizes: 1 – Krümmereintritt 2 – Krümmeraustritt V – Verlust U – Umgebungsdruck L – Lager res – Resultierend Gegebene Werte: Winkel des Krümmers δ = 90° Dichte des Wassers ρ = 1000 kg/m3 Querschnitt am Krümmereintritt A1 = 0,2 m2 Querschnitt am Krümmeraustritt A2 = 0,1 m2 Druck am Krümmereintritt p1 = 1,375 bar Druck am Krümmeraustritt p2 = pU = 1 bar Umgebungsdruck pU = 1 bar Gesuchte Werte: r Die Geschwindigkeiten c1 und c2 sowie die von der Strömung auf das Lager ausgeübte Kraft FL nach Größe und Richtung (Winkel α) Impulssatz 22 Lösungsansatz: Kontinuitätsgleichung: & = c1 A1 = c2 A2 V 2 2 2 c1 A1 = c 2 A 2 2 2 2 c1 = c 2 2 A2 2 A1 Bernoulli-Gleichung (1 - 2): 2 2 c c p1 + ρ 1 + ρ g z1 = p2 + ρ 2 + ρ g z2 + ∆pV 1, 2 2 2 Annahmen: Krümmereintritt und Krümmeraustritt sind auf gleicher Höhe: z1 = z2 Verlustfreie Strömung, ∆pV 1, 2 = 0 2 2 c c p1 + ρ 1 + ρ g z1 = p2 + ρ 2 + ρ g z2 + ∆pV 1, 2 |: (ρ g z1) 2 2 2 p1 + ρ 2 c1 c = p2 + ρ 2 2 2 2 2 c c ρ 2 = p1 + ρ 1 - p2 2 2 2 2 c 2 = (p1 + ρ 2 c2 = c1 2 - p2) 2 ρ 2 ⋅ p1 2 ⋅ p2 2 + c1 ρ ρ Einsetzen in die umgeformte Kontinuitätsgleichung: 2 2 ⋅ p1 2 ⋅ p2 A2 2 2 + c1 ) c1 = ( 2 ρ ρ A1 2 2 2 ⋅ p1 2 ⋅ p 2 A 2 2 A2 ) + c1 c1 = ( 2 2 ρ ρ A1 A1 2 2 2 c1 - c1 2 2 A2 2 ⋅ p1 2 ⋅ p 2 A 2 =( ) 2 2 ρ ρ A1 A1 Impulssatz 23 2 2 A 2 ⋅ p1 2 ⋅ p 2 A 2 ) c1 (1 - 22 ) = ( 2 ρ ρ A1 A1 2 2 ( 2 c1 = 2 ⋅ p1 − 2 ⋅ p 2 A 2 )⋅ 2 ρ A1 2 (1 − A2 ) 2 A1 2 ⋅ 137500 Pa − 2 ⋅ 100000 Pa (0,1 m 2 ) 2 )⋅ kg (0,2 m 2 ) 2 1000 3 2 m c1 = (0,1 m 2 ) 2 (1 − ) (0,2 m 2 ) 2 ( c1 = 5 m/s Berechnung von c2: A 0,2 m 2 = 10 m/s c2 = c1 1 = 5 m/s A2 0,1 m 2 & : Berechnung des Volumenstroms V 2 3 & = c1 A1 = 5 m/s 0,2 m = 1 m /s V &: Berechnung des Massenstroms m 3 3 & & = V ρ = 1 m /s 1000 kg/m = 1000 kg/s m Berechnung der Impulsströme: r &I = m & c1 = 1000 kg/s 5 m/s = 5000 N r1 &I = m & c2 = 1000 kg/s 10 m/s = 10000 N 2 Berechnung der Druckkräfte in den Rohrquerschnitten: r ∆Fp1 = p1 A1 – pU A1 = (137500 Pa – 100000 Pa) 0,2 m2 = 7500 N r ∆Fp 2 = p2 A2 – pU A2 = pU A2 – pU A2 = 0 N BERECHNUNG DER KRÄFTE DER FLANSCHVERBINDUNGEN: Impulssatz: Austretender Impulsstrom - Eintretender Impulsstrom = Summe aller Kräfte r r r &I - &I = ∑ F Aus Ein Impulssatz 24 Berechnung für die y-Richtung: r r r 0 - &I = ∆Fp - F 1 1 1 r r r F1 = ∆Fp1 + &I1 r F1 = 7500 N + 5000 N r F1 = 12500 N Berechnung für die x-Richtung: r r r &I - 0 = - ∆Fp + F 2 2 2 r r r F2 = &I2 + ∆Fp 2 r F2 = 10000 N + 0 N r F2 = 10000 N r F2 α r F1 r Fres r r FL = −Fres r Berechnung der resultierenden Kraft auf das Lager FL : Da es sich um einen 90° Krümmer handelt, stehen die beiden Kräfte der Flanschverbindungen r r r F1 und F2 senkrecht aufeinander. So ergibt sich für eine resultierende Kraft Fres folgende Beziehung: r 2 r2 r 2 Fres = F1 + F2 r Fres = (12500 N) 2 + (10000 N) 2 r Fres = 16 kN Impulssatz 25 r r Die auf das Lager wirkende Kraft FL ist dieser resultierenden Kraft Fres nun entgegengesetzt. r r FL = - Fres Berechnung des Winkels α: r F1 12500 N cos α = r = 16 kN Fres α = 38,6° 3.2 Aufgaben mit Ergebnissen 13. Aufgabe a) Ein Gebläse, das zur Entlüftung eines Raumes dient und das in ein Kreisrohr mit einem Querschnitt AG = 1 m2 eingebaut ist, wird im Technikum untersucht. Dazu wird eine gut gerundete Einlaufdüse angebracht, deren Coriolisfaktor Sie zu α = 1 annehmen können. Die Strömung der Luft (ρL = 1,25 kg/m3) sei reibungs- und drehungsfrei. Berechnen Sie Volumenstrom und Leistung des Gebläses sowie die Kraft, die es hält, wenn die Nenndruckdifferenz von ∆pG = 600 Pa fest eingestellt ist. r & = 31 m3/s; P = 18,6 kW; F = 600 N) (V b) Das Gebläse aus Aufgabe a) wird an eine Maueröffnung mit kleinerem Querschnitt AM außen angeschlossen. Berechnen Sie für gleiche Bedingungen, unter Berücksichtigung, dass auch die Maueröffnung innen gut gerundet ist, die Querschnittserweiterung jedoch unstetig und somit keine isentrope Strömung vorliegt, folgende Größen: Geschwindigkeit cM, die Druckdifferenz pA - pM und Stabkraft F für AM = 0,5 AG die Leistung des Gebläses und den Querschnitt AM* für maximale Geschwindigkeit cM max. (cM = 43,8 m/s; pA - pM = 1200 N/m2; 600 N; 13146 W; AM* = 0,5 AG) 14. Aufgabe Die in ihren Mittellinien skizzierte horizontal verlegte Rohrverzweigung einer Ölleitung ist durch Schrauben fest an den Flanschen 1 und 3 und über eine Kupplung kräftefrei an Flansch 2 im Rohrsystem eingebunden. Umlenkung und Querschnittsveränderung bewirken Druckverluste; Jedoch kann der Coriolisfaktor zu α = 1 angenommen werden. Weiter sind folgende Daten gegeben: A1 = 0,15 m²; vj = v = 2,5 m/s; A3 = 2A2; β = 30°; p1 = 1,5 bar; ρ = 860 kg/m³. ζ12 = 0,3; ζ13 = 0,6; Impulssatz 26 Berechnen Sie mit der gegebenen mittleren Geschwindigkeit: a) den Volumenstrom in A1, die Querschnittsflächen A2 und A3 und die Drücke p2 und p3 sowie & = 0,375 m3/s; A2 = 0,05 m2; A3 = 0,1 m2; p2 = 149194 Pa; p3 = 148388 Pa) (V 1 b) die Gesamtkräfte der Flanschverbindungen F1 und F3; Skizzieren Sie dazu sauber die Bilanzgrenze mit allen bedeutsamen Größen. r r ( F1 = 5,618 kN; F3 = 5,376 kN) c) Erläutern Sie anhand der Ergebnisse aus a) und b) die häufig getroffene Annahme „verlustfreie Durchströmung einer Umlenkung“. 15. Aufgabe Ein horizontal angeordneter 60°-Krümmer konstanten Querschnitts (ζK = 1,2) wird von 300 kg/s Wasser (ρ = 1000 kg/m3) durchströmt. Die Krümmerquerschnitte sind A1 = A2 = 0,15 m2. Der Druck am Krümmereintritt beträgt p1 = 1,8 bar der Umgebungsdruck pU = 1 bar. a) Skizzieren Sie den Krümmer mit allen wichtigen Größen und das Strömungsbild, in dem insbesondere die Verluste bestimmenden Phänomene bildlich kenntlich gemacht und verbal erläutert sind. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten v1 und v2 sowie den Druck p2. (c2 = c1 = 2 m/s; p2 = 1,77 bar) c) Ermitteln Sie rechnerisch oder graphisch die (resultierenden) Flanschschraubenkräfte F1 und F2, mit denen der Krümmer an die angrenzenden Rohrleitungen fest verschraubt ist. Berechnen Sie die Impulsströme näherungsweise mit der mittleren Geschwindigkeit! r r ( F1 = 12,6 kN; F2 = 12,24 kN) d) Geben Sie die (realen) Bedingungen an, unter denen die Berechnung der Impulsströme mit der mittleren Geschwindigkeit gerechtfertigt ist. 16. Aufgabe (Aufgabe als Beispiel in 3.1 behandelt) Impulssatz 27 17. Aufgabe Durch einen horizontal angeordneten 90° Krümmer, der an sehr weiche Kupplungen angeschlossen ist, strömen verlustlos 400 kg/s Wasser (ρ = 103 kg/m3). Gegeben sind: Die Krümmerquerschnitte A1 = 0,1 m2, A2 = 0,2 m2, der Druck p1 = 1,375 bar und der Umgebungsdruck pA = 1 bar. a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit c1, den Druck p2 und die (von der Strömung) auf das Lager ausgeübte Kraft nach Größe und Richtung. r (c1 = 4 m/s; c2 = 2 m/s; p2 = 143500 Pa; FL = 10,9 kN; α = 60,6°) b) Zeichnen Sie das Kräfte-Gleichgewichtsdiagramm für den Krümmer. c) Herrschen Zug- oder Druckspannungen im Stab? 18. Aufgabe In einem ebenen horizontalen Gerinne tritt ein Wasserschwall auf, d. h. der Wasserspiegel wird sprungartig von h1 = 8 cm auf h2 = 16 cm angehoben und dabei die Geschwindigkeit von c1 auf c2 verringert. Bestimmen Sie die jeweils über die Höhe als konstant angenommenen Geschwindigkeiten c1 und c2, wenn Sie annehmen, dass die „Verluste“ ausschließlich aus der Schwallbildung herrühren, die Strömung folglich im betrachteten Raum reibungsfrei ist. (c1 = (3 g h1)1/2 = 1,53 m/s; c2 = 0,77 m/s) Anhang A0 Anhang Antworten der Lernkontroll-Fragen ....................................................................................... A 1 Aufgaben mit Lösungswegen ............................................................................................... A 16 Anhang A1 Antworten der Lernkontroll-Fragen Frage a) Aufgabenstellung: Wie lautet die hydrostatische Grundgleichung und welches Kräftegleichgewicht wird durch sie beschrieben? Erläutern Sie dieses anhand der Herleitung aus einem elementaren Modell. Indizes: O – Oben U – Unten G – Gewichtskraft Lösungsansatz: Betrachtung eines Würfel-Elements mit dem Volumen dV, der Fläche dA und der Länge dh in einem Fluid. Die Druckkräfte auf die Seiten des Würfels heben sich gegenseitig auf. h, g FO dh FL FG FR FU Auf die Oberseite des Würfels wirkt eine nach unten gerichtete Druckkraft FO : FO = p1 dA Auf die Unterseite des Würfels wirkt eine nach oben gerichtete Druckkraft FU : FU = p2 dA Hinzu kommt die Gewichtskraft FG des Würfels, die nach unten gerichtet ist: FG = ρ g dV = ρ g dA dh Diese drei Kräfte müssen im Gleichgewicht sein, wenn der Würfel in Ruhe ist: FG + FO = FU Anhang A2 ρ g dA dh + p1 dA = p2 dA ρ g dh + p1 = p2 ρ g dh = δp dh δh δp = ρ g δh oder | : dA mit p2 = p1 + δp dh + (Glieder höherer Ordnung) folgt δh | : dh dp = ρ g dh Einführen einer (h entgegengesetzten) Koordinate z = - h führt zur hydrostatischen Grundgleichung: dp = - ρ g dz Frage b) (isotherm) (s. Repetitorium) Frage b) (isentrop) Aufgabenstellung: Der Atmosphärendruck kann bei großen Höhenunterschieden oder bei differenzierten Betrachtungen atmosphärischer Vorgänge (Schadstoffausbreitung, Aerosolverhalten u. a.) nicht als konstant angesehen werden. Leiten Sie eine Beziehung für die Luftdruckänderung mit der Höhe her, wenn Sie Luft als ideales Gas annehmen und wenn entweder die Temperatur (T(z) = const.) oder die Entropie (s(z) = const.) sich mit der Höhe nicht ändern (2 Ergebnisse: pT(z) bzw. pS(z)). Lösungsansatz: Annahmen: Wenn ein ideales Gas vorliegt s(z) = const., d.h. eine isentrope Atmosphäre liegt vor. Es gilt: p ρ = ( )κ p0 ρ0 Umformen des Terms: 1 p ρ = ρ0 ( ) κ p0 Anhang A3 Umgeformten Term in die hydrostatische Grundgleichung einsetzen: 1 p dp = - g ρ0 ( ) κ dz p0 dp p 1 κ =-g ρ0 p 1 κ dz Integration: p ρ0 dp ∫ 1 =-g 1 ∫ dz p0 z0 pκ pκ z κ p κ − 1 z g κ −1 = (1 ) p0 κ R T0 Frage c) Aufgabenstellung: Formulieren Sie das Archimedische Prinzip (in Worten); Leiten Sie einen formelmäßigen Zusammenhang für den Auftrieb her und geben Sie die dazu benötigten Annahmen an. Indizes: 0 – Umgebungsdruck 1 – Untere Grenze des Volumenteilchens 2 – Obere Grenze des Volumenteilchens A – Auftrieb F – Fluid Lösungsansatz: Archimedisches Prinzip in Worten: Die Auftriebskraft eines Körpers ist gleich dem Betrag der Gewichtskraft des von ihm verdrängten Volumens. Herleitung einer Formel: Betrachtung eines Volumenteilchens, das sich in einem Fluid befindet: Dabei: Nur Betrachtung der Komponenten in z-Richtung! Anhang A4 p2 dA2 z x, y dA h p1 dA1 Auf die Oberseite des Volumenteichens wirkt der Druck p2: p2 = p0 + ρF g h2 Auf die Unterseite des Volumenteichens wirkt der Druck p1: p1 = p0 + ρF g h1 Auf die Oberseite des Volumenteichens wirkt die Kraft d F2 : d F2 = p2 dA2 Auf die Unterseite des Volumenteichens wirkt die Kraft d F1 : d F1 = p1 dA1 Definition des Auftriebes: d FA = d F1 - d F2 A FA = ρF g ∫ (h1 - h2) dA 0 h ersetzen durch die (entgegengesetzte) Koordinate z = - h: A FA = ρF g z ∫ 0 FA = ρF g V dA Anhang A5 Frage d) Aufgabenstellung: Wie lautet der 1. Hauptsatz für stationäre Zustandsänderungen offener Systeme? Erläutern Sie, wie und unter welchen Bedingungen er in die Bernoulli´sche Gleichung übergeht. Indizes: t – Technische Arbeit Lösungsansatz: 1. Hauptsatz für stationäre Zustandsänderungen offener Systeme: 1 2 2 ( c 2 - c1 ) + g (z2 – z1) q 1,2 + wt 1, 2 = h 2 – h 1 + 2 Bei reinen Strömungsvorgängen ist der Wärmeübertrag gleich Null ( q 1,2 = 0), außerdem wird keine Arbeit geleistet (wt 1, 2 = 0): 1 2 2 h 1 - h 2 = ( c 2 - c1 ) + g (z2 – z1) 2 Außerdem ist: 2 h1 - h 2 = - ∫ v dp 1 Einsetzen: 2 - ∫ v dp = 1 1 2 2 ( c 2 - c1 ) + g (z2 – z1) 2 v (p1 – p2) = Mit v = p1 + 1 2 2 ( c 2 - c1 ) + g (z2 – z1) 2 1 folgt: ρ 1 1 2 2 ρ c1 + ρ g z1 = p2 + ρ c 2 + ρ g z2 2 2 ; sog. Bernoulli’sche Gleichung Anhang A6 Frage e) Aufgabenstellung: Leiten Sie unter Angabe sämtlicher Randbedingungen die Torricelli´sche Ausflussformel her. ph ch p2 h c2 z Indizes: h – Höhe des Wasserspiegels über der Ausflussöffnung a – Atmosphärendruck Lösungsansatz: Bernoulli-Gleichung (h - 2): 2 2 c c ph + ρ h + ρ g zh = p2 + ρ 2 + ρ g z2 2 2 Annahmen: zh – z2 = h > 0 Anfangsgeschwindigkeit ist nahe Null: ch 0 ph = pa p2 ist aufgrund der Freistrahlbedingung ebenfalls gleich pa 2 ρ g zh = ρ c2 + ρ g z2 2 2 c ρ g (zh - z2) = ρ 2 2 2 gh= 2 c2 2 c2 = 2 g h Anhang A7 Frage f) Aufgabenstellung: Der Massenstrom kann mit Hilfe eines Prandtl´schen Druckmessrohres bestimmt werden. Geben Sie die Bedingungen hierzu an und skizzieren Sie detailliert und maßstäblich die Messanordnung. Legende: Fluid z Sperrflüssigkeit pl h pr Indizes: F – Fluid S – Sperrflüssigkeit Lösungsansatz: Bernoulli-Gleichung (0 – Messpunkt für den statischen Druck (Ohne Index) 2 c c2 p0 + ρ 0 + ρ g z0 = p + ρ +ρgz 2 2 Annahme: Geschwindigkeit am Staupunkt des Prandtl-Rohres ist nahe Null: c0 0 Das Rohr liegt horizontal in einer Ebene: z0 = z p0 = p + ρ c2 2 c2 p0 - p = ρ 2 | an jeder Stelle! Betrachtung der Drücke auf der linken Seite pl und auf der rechten Seite pr: pl = p0 + ρF g z0 pr = p + ρS g h + ρF g (z0 – h) Beide Drücke von einander subtrahieren: Anhang A8 0 = pl – pr 0 = p0 - p + ρF g z0 - ρS g h - ρF g (z0 – h) p0 – p = g h (ρS - ρF) p0 – p = g h ρS (1 - ρF ) ρS Dichte der Sperrflüssigkeit ist viel größer als die Dichte des Fluids, so gilt ρF << 1: ρS p0 – p = g h ρS (p0 – p) ersetzen durch ρ ρ c2 : 2 c2 = g h ρS 2 c= 2 ρS g h 1 ρF Berechnung des Massenstroms: & = c A ρF m Frage g) Aufgabenstellung: Stellen Sie den Rohrreibungsbeiwert λ der ausgebildeten Rohrströmung in einem Diagramm über der Reynoldszahl mit der relativen Rauhigkeit als Parameter qualitativ exakt dar und tragen Sie im Diagramm Grenzkurven für verschiedene Gültigkeitsbereiche ein. Was verstehen Sie unter „Sandrauhigkeit“ und was unter natürlicher oder technischer Rauhigkeit? Worin liegt die Bedeutung der erstgenannten und wie kann man den Wert der zweiten bestimmen? In welchem Zusammenhang steht λ mit dem Druckverlustbeiwert ζ und dem Druckverlust ∆pv,12? Indizes: R – Reibung F – Fluid m – Mittel Anhang A9 Lösungsansatz: Die „Sandrauhigkeit“ ist eine Rauhigkeit, die technisch erzeugt wurde. Dazu wurden Körner von ganz bestimmtem gleichmäßigem Durchmesser an der Innenwand eines Rohres angebracht, um k eine bestimmte gleichmäßige Rauhigkeit im Rohr zu erzeugen. d Die „natürliche Rauhigkeit“ bezeichnet ein Rohr, dessen Rauhigkeit auf der Rohrinnenwand durch natürliche Ablagerungen mit der Zeit entstanden ist. Diese Rauhigkeit ist daher auch ungleichmäßig. Mit Hilfe der verschiedenen Sandrauheiten kann man durch Vergleiche mit der natürlichen Rauhigkeit den Wert dieser bestimmen. Zusammenhänge von λ mit dem Druckverlustbeiwert ζ und dem Druckverlust ∆pV 1, 2 am Beispiel eines Krümmers: Der Druckverlust, der aus der Reibung im Krümmer resultiert, setzt sich wiefolgt zusammen: 2 2 c c S ∆pR = ρF m ζR = ρF m λ 2 2 R S – mittlere Stromfadenlänge im Krümmer R – mittlerer Krümmungsradius Anhang A 10 Diagramm der Rohrreibungszahl λ über der Reynolds-Zahl Re: d d ( )1 < ( ) 2 k k d ( )2 k d = 2 lg(3,71 ) k λ 1 hydraulisch glatt log Re Grenzkurve für λ = const. turbulent λ= 64 Re laminar log λ ReKrit. Anhang A 11 Frage h) Aufgabenstellung: Durch zwei Rohre gleicher Länge aber verschiedener Durchmesser d1 und d2 fließe die gleiche Masse. In welchem Zusammenhang steht das Verhältnis der Druckverluste ∆pv1/∆pv2 zu dem der Durchmesser d1/d2 in • einer ausgebildeten laminaren Strömung, • einer ausgebildeten turbulenten Strömung, für die das Gesetz λ ~1/Re1/4 gilt und einer ausgebildeten Strömung in vollständig rauem Rohr (λ = const.). Indizes: V – Verlust Lösungsansatz: Verhältnis der Druckverluste ∆pV 1 / ∆pV 2 in einer ausgebildeten laminaren Strömung: Formel für den Druckverlust: c2 l ∆pV = ρ λ 2 d 64 In der laminaren Strömung ist der Rohrreibungsbeiwert nun: λ = Re cdρ Zudem kann die Reynolds-Zahl Re folgendermaßen berechnet werden: Re = η Daraus ergibt sich für den Druckverlust: c 2 64 η l 1 ∆pV = ρ = c 32 η l 2 2 cdρ d d Verhältnis der Druckverluste: 1 c1 32 η l 2 2 ∆p V 1 d1 c1 d 2 = = 2 1 ∆p V 2 c 2 d1 c 2 32 η l 2 d2 Anwenden der Kontinuitätsgleichung: &1 = m &2 m A1 c1 ρ = A2 c2 ρ 2 π 2 d1 d c1 ρ = π 2 c2 ρ 4 4 d12 c1 = d22 c2 Anhang c1 = d2 2 d1 2 A 12 c2 Einsetzen in die Gleichung: 2 d2 2 c2 d2 2 2 4 ∆p V 1 c1 d 2 d1 d2 = = = 4 2 2 ∆p V 2 c 2 d1 c 2 d1 d1 4 ∆p V 1 d = 24 ∆p V 2 d1 Verhältnis der Druckverluste ∆pV 1 / ∆pV 2 in einer ausgebildeten turbulenten Strömung: Formel für den Druckverlust: c2 l ∆pV = ρ λ 2 d 1 In der ausgebildeten turbulenten Strömung ist der Rohrreibungsbeiwert nun: λ = 4 Re cdρ Die Beziehung für die Reynolds-Zahl Re ist wiederum: Re = η Daraus ergibt sich für den Druckverlust: 1 c2 η 4 l ∆pV = ρ ( ) d 2 cdρ Verhältnis der Druckverluste: 2 1 c η l ρ 1 ( )4 2 1 ∆p V 1 2 c1 d 1 ρ d 1 c1 d 2 c 2 d 2 4 = = ( ) 2 2 1 ∆p V 2 c2 c 2 d 1 c1 d 1 η l 4 ρ ( ) 2 c2 d 2 ρ d 2 7 5 ∆p V 1 c4d 4 = 1 7 25 ∆p V 2 c 2 4 d1 4 Anwenden der Kontinuitätsgleichung: 2 d c1 = 2 2 c2 d1 Einsetzen in die Gleichung: Anhang A 13 7 d2 2 7 4 7 4 ( 2 ) c2 d2 ∆p V 1 d = 1 7 5 ∆p V 2 c 2 4 d1 4 d2 2 5 4 7 = 5 d24 d1 2 d1 5 4 19 = d2 4 19 d1 4 19 ∆p V 1 d 4 = 219 ∆p V 2 d1 4 Verhältnis der Druckverluste in einer ausgebildeten Strömung in vollständig rauem Rohr: Formel für den Druckverlust: c2 l ∆pV = ρ λ 2 d In vollständig rauem Rohr ist der Rohrreibungsbeiwert λ konstant. Daraus ergibt sich für das Verhältnis der Druckverluste: 2 c l ρ 1 λ 2 ∆p V 1 2 d1 c1 d 2 = = 2 2 ∆p V 2 c2 c 2 d1 l ρ λ 2 d2 Anwenden der Kontinuitätsgleichung: 2 d c1 = 2 2 c2 d1 Einsetzen in die Gleichung: 4 d2 2 c2 d2 4 5 ∆p V 1 d1 d2 = = 5 2 ∆p V 2 c 2 d1 d1 5 ∆p V 1 d = 25 ∆p V 2 d1 Anhang A 14 Frage i) Aufgabenstellung: Ein Diffusor wird häufig zur sog. Druck(verlust)rückgewinnung eingesetzt. Das heißt, er verhindert oder vermindert, dass beim Ausströmen aus einer Rohrleitung in eine Umgebung die kinetische Energie des “Freistrahls” vollständig dissipiert wird. Erläutern Sie die Wirkungsweise eines Diffusors am Beispiel einer verlustfreien Strömung aus einem Behälter ins Freie; Der Diffusor sei unmittelbar an einen „idealen“ Ausflußstutzen angeflanscht. Diskutieren Sie an Hand einer Skizze die Strömungsphänomene in einem Diffusor, die zu einem Diffusor-Wirkungsgrad ηD < 1 führen! Indizes: D – Diffusor Lösungsansatz: Der Diffusor soll verhindern, dass die kinetische Energie des „Freistrahls“ vollständig dissipiert wird. Das wird dadurch bewerkstelligt, dass sich der Querschnitt A des Krümmers mit der Länge l nur sehr langsam erweitert. Anhand der Kontinuitätsgleichung (c A = const.) wird somit deutlich, dass diese langsame Querschnittserweiterung eine langsame Geschwindigkeitsverringerung zur Folge hat. Diese wiederum bewirkt eine Druckerhöhung. Durch die sehr langsame Querschnittserweiterung ist das System in der Lage, nahezu die gesamte kinetische Energie zurückzugewinnen. Der Winkel ε, mit dem sich der Diffusor erweitert, sollte daher im Idealfall zwischen 8° und 12° liegen. Wenn dieser Winkel ε zu groß ist und somit die Querschnittserweiterung zu schnell ist, dann führen Strömungsablösungen im Diffusor zu einem Diffusor-Wirkungsgrad ηD < 1. ε Anhang A 15 Frage j) Aufgabenstellung: Erläutern Sie, wie man den Durchmesser einer Rohrleitung ändern muss, wenn bei gleichem Volumenstrom (ρ = const, ϑ = const) aus einer laminaren eine turbulente Strömung wird. Spielt dabei die Rohrlänge eine Rolle? Lösungsansatz: Anwenden der Kontinuitätsgleichung: & =cA V & steigt die Strömungsgeschwindigkeit c, wenn gleichermaßen der Bei gleichem Volumenstrom V Rohrquerschnitt A kleiner wird. Man muss demnach den Durchmesser der Rohrleitung verringern, um eine Änderung zur turbulenten Strömung zu bekommen. Die Rohrlänge spielt dabei in sofern eine Rolle, da sich das Strömungsprofil der laminaren Strömung erst noch allmählich in das turbulente Strömungsprofil ändern muss. Anhang A 16 Aufgaben mit Lösungswegen 1. Aufgabe Aufgabenstellung: Eine rechteckige Klappe mit mittig angeordneter Achse dient zur Regulierung des Ausflusses aus einem mit Wasser gefüllten Behälter; Ihnen liegen folgende Daten vor: b = 1,2 m; h = 0,6 m; H = 4 m; ρW = 103 kg/m3; pA = 1 bar Bestimmen Sie für den geschlossenen Zustand die vom hydrostatischen Druck auf die Klappe ausgeübte axiale Kraft, den Kraftangriffspunkt und das Drehmoment um die Klappenachse. p z H h b Indizes: A – Umgebungsdruck W – Wasser L – Luft S – Stützkraft res – Resultierend Gegebene Werte: Breite der Klappe b = 1,2 m Höhe der Klappe h = 0,6 m Tiefe vom Wasserspiegel zur Oberkante der Klappe H = 4 m Dichte des Wassers ρW = ρ = 1000 kg/m3 Umgebungsdruck pA = 1 bar Gesuchte Werte: Anhang A 17 Die vom hydrostatischen Druck auf die (geschlossene) Klappe ausgeübte Kraft Fres , den Kraftangriffspunkt e und das Drehmoment M Lösungsansatz: Hydrostatische Grundgleichung: dp = - ρ g dz τ τ=-z dτ = - dz h dτ b Für ρ = const. gilt: p (τ ) ∫ dp = ρ g p (τ =0) τ ∫ dτ τ =0 p (τ) – p (τ = 0) = ρ g τ - 0 p (τ) = p (τ = 0) + ρ g τ Bestimmung von p (τ = 0): p (τ = 0) = pA + ρ g H Einsetzen : p (τ) = pA + ρ g H + ρ g τ Nun wird in der Tiefe die Klappenfläche dA von der Kraft d F belastet: d F = p (τ) dA Bestimmung von dA : dA = b dτ Einsetzen in d F : d F = (pA + ρ g H + ρ g τ) b dτ Dieser Kraft wirkt die Kraft des Luftdrucks von außen entgegen: d FL = pA b dτ Bestimmung der resultierenden Kraft d Fres : d Fres = d F - d FL = (pA + ρ g H + ρ g τ) b dτ - pA b dτ Anhang A 18 d Fres = (ρ g H + ρ g τ) b dτ τ =h τ =h ∫ dF res = τ =0 τ =h ∫ ρ ⋅ g ⋅ H ⋅ b ⋅ dτ + ∫ ρ ⋅ g ⋅ τ ⋅ b ⋅ dτ τ =0 τ =0 τ =h ∫ dFres = ρ g b H τ | τ =0 h +ρgb 0 τ =h ∫ dFres = ρ g b (H τ | τ =0 h 0 + τ2 h | 2 0 τ2 h | ) 2 0 Fres = 1000 kg/m3 9,81 m/s2 1,2 m (4 m 0,6 m + (0,6 m) 2 ) 2 Fres = 30,4 kN Mit dem gleichen Betrag von 30,4 kN, allerdings mit entgegengesetztem Vorzeichen muss nun eine Stützkraft FS angreifen, um die Klappe momentenfrei zu halten: Drehrichtung der Momente: Im folgenden sollen alle Momente, die in mathematischer Drehrichtung (gegen den Uhrzeigersinn) angreifen, als positiv angesehen werden. + M τ e ∫ dF res τ FS e M: Bezugspunkt An der Klappe greifen nun von beiden Seiten Kräfte an: Kraft im Wasser: ∫ dF res τ Kraft von Außen: FS e Anhang A 19 Berechnung des Angriffspunktes e: ∫ dF τ - FS e = 0 ∫ dF einsetzen: res res h ∫ (ρ g H + ρ g τ) b τ dτ - FS e = 0 0 h ∫ ρ g b (H τ + τ2) dτ = FS e 0 h ρgb ∫ (H τ + τ2) dτ = FS e 0 ρ g b (H τ2 h τ3 h | + | ) = FS e 2 0 3 0 h2 h3 ρ g b (H + ) = FS e 2 3 1000 kg/m3 9,81 m/s2 1,2 m (4 m (0,6 m) 2 (0,6 m) 3 + ) = FS e 2 3 9323 N m = FS e e= 9323 N m = 0,307 m 30400 N Die Kraft FS muss demnach 7 mm unterhalb der Klappenachse angreifen, um die Klappe momentenfrei zu halten. Berechnung des Drehmoments M: M = Fres (e – h/2) = 30400 N (0,307 m – 0,3 m) = 212,8 N m Anhang A 20 2. Aufgabe Aufgabenstellung: a) Eine Staumauer besitzt zu Inspektionszwecken wasserseitig in 50 m Tiefe eine rechteckförmige Ausstiegsluke mit der Breite b = 0,5 m und der Höhe h = 1 m. Für welche aus der Wasserlast resultierende Kraft muss diese ausgelegt werden, wenn die Wasserdichte ρW = 103 kg/m3 und der Atmosphärendruck pA = 1 bar gegeben sind? An welcher Stelle müsste eine gleich große Gegenkraft angreifen, damit die Luke kraft- und momentenfrei gehalten wird? Die Bestimmung des Kraftangriffspunktes muss aus einer elementaren Betrachtung hergeleitet werden. b) Sie haben für den a)-Aufgabenteil den Luftdruck als konstant angenommen. Belegen Sie Ihre Annahme durch eine geeignete Fehlerabschätzung und quantifizieren Sie Ihre Aussage mit ρL = 1 kg/m3. Aufgabenteil a) p z H b h τ dτ Indizes: A – Umgebungsdruck W – Wasser L – Luft S – Stützkraft res – Resultierend Gegebene Werte: Breite der Luke b = 0,5 m Höhe der Luke h = 1 m Anhang A 21 Tiefe vom Wasserspiegel zur Oberkante der Luke H = 50 m Dichte des Wassers ρW = ρ = 1000 kg/m3 Umgebungsdruck pA = 1 bar Gesuchte Werte: Die aus der Wasserlast auf die Luke resultierende Kraft Fres und der Kraftangriffspunkt e Lösungsansatz: Hydrostatische Grundgleichung: dp = - ρ g dz τ=-z dτ = - dz Für ρ = const. gilt: p (τ ) τ ∫ dp =ρg ∫ dτ τ =0 p (τ =0) p (τ) – p (τ = 0) = ρ g τ - 0 p (τ) = p (τ = 0) + ρ g τ Bestimmung von p (τ = 0): p (τ = 0) = pA + ρ g H Einsetzen : p (τ) = pA + ρ g H + ρ g τ Nun wird in der Tiefe die Lukenfläche dA von der Kraft d F belastet: d F = p (τ) dA Bestimmung von dA : dA = b dτ Einsetzen in d F : d F = (pA + ρ g H + ρ g τ) b dτ Dieser Kraft wirkt die Kraft des Luftdrucks von außen entgegen: d FL = pA b dτ Bestimmung der resultierenden Kraft d Fres : d Fres = d F - d FL = (pA + ρ g H + ρ g τ) b dτ - pA b dτ d Fres = (ρ g H + ρ g τ) b dτ τ =h τ =h ∫ dF res τ =0 = τ =h ∫ ρ ⋅ g ⋅ H ⋅ b ⋅ dτ + ∫ ρ ⋅ g ⋅ τ ⋅ b ⋅ dτ τ =0 τ =0 Anhang τ =h A 22 τ =0 τ2 h =ρgbHτ| +ρgb | 2 0 0 τ =h h ∫ dF res h ∫ dFres = ρ g b (H τ | τ =0 Fres 0 + τ2 h | ) 2 0 (1 m) 2 = 1000 kg/m 9,81 m/s 0,5 m (50 m 1 m + ) 2 3 2 Fres = 247,7 kN Mit dem gleichen Betrag von 247,7 kN, allerdings mit entgegengesetztem Vorzeichen muss nun eine gleichgewichtshaltende Kraft FS angreifen, um die Luke momentenfrei zu halten: Drehrichtung der Momente: Im folgenden sollen alle Momente, die in mathematischer Drehrichtung (gegen den Uhrzeigersinn) angreifen, als positiv angesehen werden. + M e τ ∫ dF res τ FS e M: Bezugspunkt An der Luke greifen nun von beiden Seiten Kräfte an: Kraft im Wasser: ∫ dF res τ Kraft von Außen: FS e Berechnung des Angriffspunktes e: ∫ dF res τ - FS e = 0 Anhang ∫ dF A 23 einsetzen: res h ∫ (ρ g H + ρ g τ) b τ dτ - FS e = 0 0 h ∫ ρ g b (H τ + τ2) dτ = FS e 0 h ρgb ∫ (H τ + τ2) dτ = FS e 0 ρ g b (H τ2 h τ3 h | + | ) = FS e 2 0 3 0 ρ g b (H h2 h3 + ) = FS e 2 3 1000 kg/m3 9,81 m/s2 0,5 m (50 m (1 m) 2 (1 m) 3 + ) = FS e 2 3 124260 N m = FS e e= 124260 N m = 0,5017 m 247700 N Die Kraft FS muss demnach 1,7 mm unterhalb der Lukenachse angreifen, um die Luke momentenfrei zu halten. Aufgabenteil b) Indizes: L – Luft A – Umgebungsdruck 0 – „Null“ (Auf Höhe des Wasserspiegels) Gegebene Werte: Dichte der Luft ρL = ρ = 1 kg/m3 Umgebungsdruck pA = 1 bar Spezifische Gaskonstante der Luft RL = 287,1 J/(kg K) Gesuchte Werte: Anhang A 24 Beleg dafür, dass der Luftdruck im Aufgabenteil a) als nahezu konstant angesehen werden kann. Fehlerabschätzung. Lösungsansatz: In Aufgabenteil a) liegt die Luke H = 50 m tiefer als der Wasserspiegel. Der Luftdruck kann über diesen Höhenunterschied von 50 m als konstant angesehen werden, da die Änderung des Luftdrucks sehr gering ist. Wenn ein ideales Gas vorliegt: p pV=mRTρ= R ⋅T Ideale Gasgleichung in die hydrostatische Grundgleichung einsetzen (Annahme T = const.): p⋅g dp = dz R ⋅T dp g dz =p R ⋅T Integration der Differentialgleichung: p z g dp ∫ p = - R ⋅ T z∫ dz p0 0 ln p g =z p0 R ⋅T p = p0 e - g ⋅z R ⋅T Berechnung des Luftdrucks in 50 m Tiefe: p = p0 e - g ⋅z R ⋅T m ⋅(- 50 m) s2 J 287,1 ⋅293,15 K kg K - 9,81 p = 100000 Pa e p = 100584 Pa Fehlerberechnung: 100584 Pa = 1,00584 100000 Pa Die verschiedenen Drücke haben lediglich einen Unterschied von 0,58 % Anhang A 25 3. Aufgabe Aufgabenstellung: An einen Wassertank ist eine kreisförmige ebene Einstiegsluke − zugleich Sichtfenster − seitlich angeflanscht. Deren Durchmesser beträgt d = 1 m; der Wasserspiegel befindet sich h = 12 m oberhalb der Lukenmitte. Das (deionisierte) Wasser (ρW = 1000 kg/m3) ist durch ein Sperrgas (pG) gegenüber der Atmosphäre (pA) abgeschlossen: pG = 1,2 pA und pA = 1bar Berechnen Sie die Haltekraft F (Gesamtkraft) und jede der 4 Schraubenkräfte, wenn diese momentenfrei angreifen sollen und die 4 Schrauben auf den Winkelhalbierenden unter ± 45° je 2 „oben“ und „unten“ angeordnet sind. pA pG z h H d Indizes: A – Umgebungsdruck W – Wasser L – Luft G – Sperrgas S – Schraubenkraft res – Resultierend O – „Oben“ (Schrauben oben an der Luke) U – „Unten“ (Schrauben unten an der Luke) Gegebene Werte: Durchmesser der Luke d = 1 m Radius der Luke r = 0,5 m Tiefe vom Wasserspiegel zur Lukenmitte H = 12 m Tiefe vom Wasserspiegel zur Oberkante der Luke h = 11,5 m Dichte des Wassers ρW = ρ = 1000 kg/m3 Umgebungsdruck pA = 1 bar Druck des Sperrgases pG = 1,2 pA = 1,2 bar Anhang A 26 Gesuchte Werte: Die aus der Wasserlast auf die Luke resultierende Kraft Fres Lösungsansatz: Berechnung des Druckes in der Tiefe Anwenden der hydrostatischen Grundgleichung: dp = - ρ g dz ; τ=-z dτ = - dz Für ρ = const. gilt: p (τ ) ∫ dp = ρ g p (τ =0) τ ∫ dτ τ =0 p (τ) – p (τ = 0) = ρ g τ - 0 p (τ) = p (τ = 0) + ρ g τ Bestimmung von p (τ = 0): p (τ = 0) = pG + ρ g h Einsetzen: p (τ) = pG + ρ g h + ρ g τ In der Tiefe wird die Lukenfläche dA von der Kraft d F belastet: d F = p (τ) dA Betrachtung der Fläche dA: dτ τ α 0 2π π -τ a 2r-τ Anhang A 27 τ =2 r dA = ∫ a (τ) dτ τ =0 Anwenden des Pythagoras, um a als a (r, τ) auszudrücken: a τ r-τ r a (r - τ)2 + ( ) 2 = r2 2 r2 – 2 r τ2 - τ2 + a2 = r2 4 8 r τ + 4 τ2 a= So ergibt sich für die Kraft dF: dF = p (τ) a (τ) dτ dF = (pG + ρ g h + ρ g τ) 8 r τ + 4 τ 2 dτ Die Integration von a ist nun sehr aufwändig: a x2 + b x + c 2a x +b a x 2 + b x + c dx = 4a Integrale mit 4 a c − b2 a x +bx+c + 8a 2 ∫ dx 2 a4 x2 +4 b x4+3 c 14 [1] mit [1] = • • • 1 ln 2 a a x 2 + b x + c + 2 a x + b a 1 2a x + b ) arsinh ( a ∆ 1 2a x + b − arcsin ( ) a ∆ für a > 0 für a > 0; ∆ > 0 mit ∆ = 4 a c – b2 für a < 0; ∆ < 0 mit ∆ = 4 a c – b2 Anhang A 28 Umgehung der Integration durch einfache „ingenieur-mäßige“ Überlegung: Wegen der Flächensymmetrie um die Achse τ = r wird mit dem Mittelwert des Druckes in der Beziehung für die Seitenkraft auf die Luke gerechnet: p = p (τ = 0) + ρ g τ | r 0 So ergibt sich für die Kraft: F = (pG + ρ g h + ρ g r) π r2 Dieser Kraft wirkt die Kraft des Luftdrucks von außen entgegen: FL = pA π r2 Bestimmung der resultierenden Kraft Fres : Fres = F - FL = (pG + ρ g h + ρ g r) π r2 - pA π r2 Fres = ((pG - pA) + ρ g h + ρ g r) π r2 Fres = ((120000 Pa – 100000 Pa) + 1000 kg/m3 9,81 m/s2 11,5 m + 1000 kg/m3 9,81 m/s2 0,5 m) π (0,5 m)2 = (20000 Pa + 112815 Pa + 4905 Pa) π 0,25 m2 Fres = 108165 N Mit dem gleichen Betrag von 108165 N, allerdings mit entgegengesetztem Vorzeichen muss nun eine Stützkraft FS angreifen, um die Luke am Wassertank zu halten. Drehrichtung der Momente: Im folgenden sollen alle Momente, die in mathematischer Drehrichtung (gegen den Uhrzeigersinn) angreifen, als positiv angesehen werden. + M τ e ∫ dF res τ FS e M: Bezugspunkt Berechnung des Kraftangriffspunktes e: Zu diesem Zweck wird zuerst die Seitenlänge j der quadratischen Fläche berechnet, die die vier Schrauben abgrenzen: Anhang A 29 r k j r j= k= r2 + r2 = (0,5 m) 2 + (0,5 m) 2 = 0,707 m j = 0,3535 m 2 Berechnung des Flächenträgheitsmomentes IS: j4 (0,707 m) 4 IS = = = 0,0208 m4 12 12 e= IS 0,0208 m 4 = = 0,00347 m j2 H 0,5 m 2 12 m d Die gleichgewichtshaltende Kraft soll von vier Schrauben aufgebracht werden, die je zwei „oben“ und zwei „unten“ an der Luke auf den Winkelhalbierenden unter ± 45° angebracht sind. Lässt man das Moment an der Stelle angreifen, an der die resultierende Kraft angreift (Stelle k + e), so wird Fres = 0: Anhang A 30 2 F0 k Fres M 2 FU Die Momentengleichung setzt sich dann wiefolgt zusammen: 2 FO (k + e) – 2 FU (k – e) = 0 Kräftegleichung (alle angreifenden Kräfte müssen sich das Gleichgewicht halten): FS - 2 FO - 2 FU = 0 2 FO = FS - 2 FU In der Momentengleichung kann nun FO ersetzt werden: ( FS - 2 FU ) (k + e) – 2 FU (k – e) = 0 ( FS - 2 FU ) (k + e) – 2 FU (k – e) = 0 FS 0,35697 m – 2 FU 0,35697 m – 2 FU 0,35003 m = 0 108165 N 0,35697 m = 2 FU 0,707 m 108165 N 0,50491 m = 2 FU 2 FU = 54613,6 N FU = 27306,8 N 2 FO = FS - 2 FU = 108165 N - 54613,6 N = 53551,4 N FO = 26775,7 N Anhang A 31 4. Aufgabe Aufgabenstellung: Eine Boje schwimmt auf einer Wasseroberfläche, wenn sie eine kleinere Dichte als Wasser aufweist. Besitzt sie die Form eines Zylinders (D, H), muss sie aus Stabilitätsgründen bei vertikaler Zylinderachse mehr als zur Hälfte eintauchen. Ermitteln Sie aus dem Gleichgewicht der angreifenden Kräfte die Dichte des Bojenmaterials relativ zur Wasserdichte, wenn die Eintauchtiefe in (ruhendem) Wasser T = 2H/3 betragen soll. Welche Kräfte beschreiben das Gleichgewicht? Indizes: B – Boje W – Wasser A – Auftrieb ges - Gesamt Gegebene Werte: Die Eintauchtiefe der Boje in das Wasser soll 2/3 der Bojenhöhe betragen Gesuchte Werte: Dichte des Bojenmaterials ρB Lösungsansatz: Das Kräftegleichgewicht wird durch folgende zwei Kräfte beschrieben: • Gewichtskraft FG der Boje FG = g ρB VB • Gesamtauftriebskraft FA, ges der Boje FA, ges = g ρW VB Zu beachten: Da die Boje nur zu zwei Dritteln in das Wasser eintaucht, beträgt auch die Auftriebskraft FA nur 2/3 der Gesamtauftriebskraft der Boje FA, ges. ρB VB g = ρWVB g 2/3 ρBoje VB g = ρW VB g 2/3 | : (VB g) ρB = ρW 2/3 ρB/ρW = 2/3 Also muss die Bojendichte ρB auch 2/3 der Dichte des Wassers ρW betragen. Anhang A 32 5. Aufgabe Aufgabenstellung: Mit welcher Seilkraft muss eine Kugel (d = 60 cm, ρk = 200 kg/m3) am Boden verankert sein, wenn sie als Begrenzungsboje 30 cm, also zur Hälfte, über die Oberfläche eines Badesees (ρw = 1000 kg/m3) herausragen soll? (Anm.: VKugel = 4π R3/3). Indizes: K – Kugel W – Wasser A – Auftrieb S – Seil ges - Gesamt Gegebene Werte: Kugeldurchmesser dK = 0,6 m rK = 0,3 m Dichte der Kugel ρK = 200 kg/m3 Hälfte der Kugel taucht in das Wasser ein Dichte des Wassers ρW = 1000 kg/m3 Volumen einer Kugel VK: 4 π r3/3 Gesuchte Werte: Seilkraft FS Lösungsansatz: Das Kräftegleichgewicht wird durch drei Kräfte beschrieben: • Gewichtskraft FG der Kugel FG = g ρK VK • Gesamtauftriebskraft FA, ges der Kugel FA, ges = g ρW VK • Haltende Seilkraft FS Zu beachten: Da die Kugel nur zur Hälfte in das Wasser eintaucht, beträgt auch die Auftriebskraft FA nur 1/2 der Gesamtauftriebskraft der Kugel FA, ges. FA 1/2 = FG + FS FS = (FA 1/2) - FG FS = (ρW VK g 1/2) - ρK VK g FS = ((ρW 1/2) - ρK) g VK FS = ((1000 kg/m3 1/2) - 200 kg/m3) 9,81m/s2 4 π (0,3 m)3/3 FS = 300 kg/m3 9,81 m/s2 4 π (0,3 m)3/3 FS = 332,8 (kg m)/s2 FS = 332,8 N Anhang A 33 6. Aufgabe Aufgabenstellung: Ein Ballon erfährt einen thermischen Auftrieb, wenn die in ihm befindliche Luft erwärmt wird. Im vorliegenden Fall sind folgende Daten gegeben bzw. Annahmen zu treffen: Prallgefüllt besitzt der Ballon ein Volumen von 15.000 m3; seine Hülle sei starr. Das Gewicht der gaslosen Hülle, des Korbes, der Seile usw. beträgt mB = 250 kg. Luft sei ein ideales Gas (RL = 287,1 J/(kg K) und besitzt am Boden bei z = 0 eine Temperatur von TL,0 = 288 K und einen Druck von pL0 = 101.325 Pa. a) Wie hoch ist die Ballontemperatur TB,0 am Boden, wenn er dort mit einer Seilkraft von FS = 450 N festgehalten wird? b) Nach dem Zustieg von Personen mit Gepäck erhöht sich das Gewicht um mP = 750 kg: Auf welche Temperatur TB,H muss die Luft im Ballon erwärmt werden, wenn dieser in isothermer Atmosphäre in eine Höhe von zH = 600 m aufsteigen soll? Aufgabenteil a) Indizes: B – Ballon L – Luft G – Gewicht S – Seil 0 – „Null“ (Am Boden) ges - Gesamt Gegebene Werte: Starres Ballonvolumen VB = 15000 m3 Masse des gaslosen Ballons mit Korb und Seilen mB = 250 kg Luft ist ideales Gas: • Spezifische Gaskonstante RL = 287,1 J/(kg K) • Lufttemperatur am Boden TL, 0 = 288 K • Luftdruck am Boden pL, 0 = 101325 Pa Gesuchte Werte: Ballontemperatur TB, 0 am Boden, wenn er dort mit einer Seilkraft FS = 450 N festgehalten wird. Lösungsansatz: Da die Luft als ideales Gas angenommen wird, gilt: p pV=mRTρ= R ⋅T Anhang A 34 Berechnung der Dichte der Luft am Boden: p L, 0 101325 Pa = 1,2254 kg/m3 ρL, 0 = = J R ⋅ TL, 0 287,1 ⋅ 288 K kg ⋅ K Das Kräftegleichgewicht wird durch vier Kräfte beschrieben: • Gewichtskraft FG, B des Ballons FG, B = mB g 250 kg 9,81 m/s2 = 2452,5 N • Gewichtskraft FG der Luft im Ballon FG = ρL, B VB g • Gesamtauftriebskraft FA, ges des Ballons ρL, 0 VB g • Haltende Seilkraft FS 450 N FA = FG + FG, B + FS ρL, 0 VB g = ρL, B VB g + 2452,5 N + 450 N ρL, 0 VB g = ρL, B VB g + 2902,5 N ρL, 0 VB g - 2902,5 N = ρL, B VB g ρL, B = ρ L, 0 ⋅ VB ⋅ g - 2902,5 N VB ⋅ g ρL, B = 1,2057 kg/m3 ρL, B = TB, 0 = p L, 0 R ⋅ TB, 0 p L,0 R ⋅ ρ L, B TB, 0 = 292,7 K Aufgabenteil b) Indizes: B – Ballon L – Luft G – Gewicht P – Personen 0 – „Null“ (Am Boden) H – Höhe (600 m) A – Auftrieb ges - Gesamt Anhang A 35 Gegebene Werte: Starres Ballonvolumen VB = 15000 m3 Masse des gaslosen Ballons mit Korb und Seilen mB = 250 kg Luft ist ideales Gas: • Spezifische Gaskonstante RL = 287,1 J/(kg K) • Lufttemperatur am Boden TL, 0 = 288 K Luftdruck am Boden pL, 0 = 101325 Pa Masse der zugestiegenen Personen mP = 750 kg Annahme einer isothermen Atmosphäre Aufstiegshöhe des Ballons zH = 600 m Gesuchte Werte: Temperatur der Ballonluft TB, H in 600 m Höhe, wenn die Personen zugestiegen sind. Lösungsansatz: Zu beachten: Der Luftdruck kann hier nicht als konstant angesehen werden. Er nimmt mit der Höhe ab! Berechnung des Luftdrucks in 600 m Höhe mit Hilfe der barometrischen Höhenformel (in isothermer Atmosphäre): pH = p0 e − g⋅z R ⋅T m ⋅600 m s2 J 287,1 ⋅288 K kg⋅K −9,81 pL, H = 101325 Pa e = 94362,8 Pa Berechnung der Dichte der Luft in 600m Höhe: p L, H 94362,8 Pa ρL, H = = = 1,1412 kg/m3 J R ⋅ TL, 0 287,1 ⋅ 288 K kg ⋅ K Das Kräftegleichgewicht wird durch vier Kräfte beschrieben: • Gewichtskraft FG, B des Ballons FG, B = mB g 250 kg 9,81 m/s2 = 2452,5 N • Gewichtskraft FG der Luft im Ballon FG = ρL, B VB g • Gesamtauftriebskraft FA, ges des Ballons FA, ges = FA = ρL, H VB g • Gewichtskraft der Personen FP mP g 750 kg 9,81 m/s2 = 7357,5 N FA = FG + FG, B + FP ρL, H VB g = ρL, B VB g + 2452,5 N + 7357,5 N ρL, H VB g = ρL, B VB g + 9810 N ρL, H VB g - 9810 N = ρL, B VB g Anhang ρL, B = A 36 ρ L, H ⋅ VB ⋅ g - 9810 N VB ⋅ g ρL, B = 1,0745 kg/m3 ρL, B = TB, H = p L, H R ⋅ TB, H p L, H R ⋅ ρ L, B TB, H = 305,9 K 7. Aufgabe Aufgabenstellung: An den gutgerundeten Ausflussstutzen eines Behälters ist eine l = 30 m lange horizontal verlegte Rohrleitung angeflanscht und kräftefrei mit einem zweiten Behälter verbunden. In beiden Behältern befindet sich Wasser (ρ = 1000 kg/m3, η = 10−3 Pa⋅s); Die Höhe der Wasserspiegel über der Rohrachse betragen h1 = 7 m im ersten und h2 = 3 m im zweiten Behälter; der Druck über beiden Wasserspiegeln ist gleich groß. Die Rohre sind hydraulisch glatt und besitzen einen Durchmesser von d = 0,1 m. Die Gewichtskräfte aller Bauteile werden von Stützen aufgenommen. a) Erstellen Sie vergrößerte Skizzen von Rohranfang- und -ende, zeichnen in diese die Geschwindigkeitsprofile und die Entwicklung der Strömung im Rohr und notieren Sie die jeweils zugehörigen Bedingungen bzw. Erläuterungen. b) Wie groß wäre in idealer Strömung der Volumenstrom im stationären Fall? c) Wie groß ist in realer Strömung, also unter Einfluss der Zähigkeit, der Volumenstrom im stationären Fall? (Anm.: Die Berechnung ist m. E. nur iterativ möglich; brechen Sie die Iteration ab, wenn die relative Abweichung des Ergebnis- und des Startwertes 2% unterschreitet.) Für eine turbulente Strömung können Sie die Beziehung λ = 0,0054 + 0,396 ⋅ Re−0,3 verwenden. d) Wie groß ist die im Flansch auftretende Kraft, wenn Sie die Impulsstrom-Änderung vernachlässigen? Begründen Sie diese Annahme. e) Nach welcher Zeit wird die maximale Geschwindigkeit erreicht, wenn ein zuvor geschlossener Schieber plötzlich geöffnet und der gesamte Rohrquerschnitt freigegeben wird. Für Ihre Berechnung können Sie konstante Wasserspiegelhöhen während des Überströmens annehmen. f) In Wirklichkeit sinkt jedoch der Wasserspiegel im ersten und der im zweiten Behälter steigt. Wann ist das Überströmen beendet. Vernachlässigen Sie bei Ihrer Betrachtung das Anlaufen der Strömung und nehmen Sie bei den gegebenen Höhen h1 und h2 die in b) berechnete maximale Geschwindigkeit an. Die Behälterquerschnitte sind A2 = A1 = 10 m2. Anhang A 37 Aufgabenteil a) d Der Rohreinlauf ist gut gerundet, um ein möglichst verlustfreies Einströmen des Fluids zu gewährleisten. Am Rohrauslauf könnte zudem ein Diffusor installiert werden, um einen möglichst großen Teil der kinetischen Energie wieder als Druckenergie zurückzugewinnen. In der Regel wird aber auf den Einbau eines Diffusors aufgrund der damit verbundenen hohen Anschaffungskosten verzichtet. c c c c Aus dem gleichmäßigen Strömungsprofil, das am Rohreinlauf vorhanden ist, entwickelt sich mit wachsender Einlaufstrecke das typische Strömungsprofil für eine turbulente Rohrströmung. Die im Rohrinneren anfangs vorhandene reibungsfreie „Kernströmung“ wird dabei immer kleiner und muss schließlich der reibungsbehafteten „Grenzschichtströmung“ ganz weichen, wenn die turbulente Rohrströmung völlig ausgebildet ist. Das Strömungsprofil der turbulenten Strömung ist dann verglichen mit dem Profil der laminaren Strömung etwas gestaucht. Aufgabenteil b) Indizes: W – Wasser 1 – Rohreinlauf 2 – Rohrauslauf V – Verlust U – Umgebungsdruck Gegebene Werte: Länge der Rohrleitung l = 30 m Dichte des Wassers ρW = 1000 kg/m3 Dynamische Viskosität des Wassers ηW = 0,001 Pa s Anhang A 38 Höhe des Wasserspiegels über der Rohrachse im ersten Behälter h1 = 7 m Höhe des Wasserspiegels über der Rohrachse im zweiten Behälter h2 = 3 m Der Druck über beiden Wasserspiegeln ist gleich groß Rohrdurchmesser der hydraulisch glatten Rohre d = 0,1 m Gesuchte Werte: & in idealer Strömung Volumenstrom V Lösungsansatz: Bernoulli-Gleichung (1 - 2): 2 2 c1 c2 p1 + ρ + ρ g z1 = p2 + ρ + ρ g z2 + ∆pV1,2 2 2 Annahmen: Anfangsgeschwindigkeit ist nahe Null: c1 0 Rohreinlauf und Rohrauslauf sind auf gleicher Höhe: z1 = z2 Verlustfreie Strömung: ∆pV 1, 2 = 0 2 p1 + ρ 2 c1 c + ρ g z1 = p2 + ρ 2 + ρ g z2 + ∆pV 1, 2 2 2 2 c2 2 2 c p1 - p2 = ρ 2 2 p1 = p2 + ρ p1 = pU + ρ g h1 p2 = pU + ρ g h2 2 c ρ g (h1 - h2) = ρ 2 2 c2 = 2 ⋅ g ⋅ (h1 − h 2 ) c2 = 2 ⋅ 9,81 m ⋅ 4 m = 8,86 m/s s2 & : Berechnung des Volumenstroms V 2 & V = c A = c π d /4 = 8,86 m/s π (0,1 m)2/4 = 0,069 m3/s |: (ρ g z1) Anhang A 39 Aufgabenteil c) Indizes: 1 – Rohreinlauf 2 – Rohrauslauf V – Verlust R – Real Gegebene Werte: Rohrreibungswert λ = 0,0054 + 0,396 Re-0,3 Aus Aufgabenteil b) Geschwindigkeit der idealen Strömung c = 8,86 m/s Gesuchte Werte: & in realer Strömung Volumenstrom V R Lösungsansatz: Bernoulli-Gleichung (1 - 2): 2 2 c1 c2 p1 + ρ + ρ g z1 = p2 + ρ + ρ g z2 + ∆pV1,2 2 2 Annahmen: Anfangsgeschwindigkeit ist nahe Null: c1 0 Rohreinlauf und Rohrauslauf sind auf gleicher Höhe: z1 = z2 2 2 c c p1 + ρ 1 + ρ g z1 = p2 + ρ 2 + ρ g z2 + ∆pV 1, 2 2 2 2 p1 = p2 + ρ c2 + ∆pV 1, 2 2 Berechnung des Druckverlustes (1 - 2): 2 c l ∆pV 1, 2 = ρ 2 λ 2 d Einsetzen in die Gleichung: 2 2 c c l p1 = p2 + ρ 2 + ρ 2 λ 2 2 d 2 p1 - p2 = ρ c2 l (1 + λ ) 2 d |: (ρ g z1) Anhang c2 = A 40 2 ⋅ g ⋅ (h 1 − h 2 ) l (1 + λ ⋅ ) d Iterative Lösung: 1) Berechnung der Re-Zahl mit der Ausgangsgeschwindigkeit der idealen Strömung c = 8,86 m/s: c⋅d c⋅d ⋅ρ Re = = η ν 2) Berechnung der Rohrreibungszahl λ mit Hilfe der berechneten Re-Zahl: λ = 0,0054 + 0,396 Re-0,3 3) Einsetzen der berechneten Rohrreibungszahl und Berechnung der neuen Geschwindigkeit c: 2 ⋅ g ⋅ (h 1 − h 2 ) ci+1 = l (1 + λ ⋅ ) d Abbruch der Iteration, sobald sich Startwert und Endwert um weniger als 2% unterscheiden: cR = 3,92 m/s &: Berechnung des Volumenstroms V 2 & = cR A = c π d /4 = 3,92 m/s π (0,1 m)2/4 = 0,031 m3/s V R Aufgabenteil d) Indizes: W – Wasser 1 – Rohreinlauf 2 – Rohrauslauf F – Flansch Gegebene Werte: Dichte des Wassers ρW = 1000 kg/m3 Dynamische Viskosität des Wassers ηW = 0,001 Pa s Höhe des Wasserspiegels über der Rohrachse im ersten Behälter h1 = 7 m Höhe des Wasserspiegels über der Rohrachse im zweiten Behälter h2 = 3 m Der Druck über beiden Wasserspiegeln ist gleich groß Rohrdurchmesser der hydraulisch glatten Rohre d = 0,1 m Gesuchte Werte: r Auftretende Flanschkraft FF bei Vernachlässigung der Impulsstromänderung Lösungsansatz: Impulssatz: Austretender Impulsstrom - Eintretender Impulsstrom = Summe aller Kräfte Anhang r r &I - &I = Aus Ein A 41 r ∑F r r r r r &I - &I = ∆Fp - ∆Fp - F 2 1 1 2 F r & c- m & c = A p1 - A p2 - FF m r FF = A (p1 - p2) r FF = A ((pU + ρ g h1) – (pU + ρ g h2)) r FF = A ρ g (h1 – h2) r π FF = (0,1 m)2 1000 kg/m3 9,81 m/s2 4 m = 308 N 4 Aufgabenteil e) Gegebene Werte: Rohrdurchmesser der hydraulisch glatten Rohre d = 0,1 m Geschwindigkeit c = 3,92 m/s Gesuchte Werte: Zeit t, nach der die maximale Geschwindigkeit erreicht ist. Lösungsansatz: Bei turbulenten Strömungen ist das Strömungsprofil im allgemeinen nach einer Anlaufstrecke von 30 - 50 d voll ausgebildet. Die maximale Geschwindigkeit ist somit ebenfalls nach 30 - 50 d erreicht. 30 - 50 d = 30 0,1 m - 50 0,1 m = 3 - 5 m c= t1 = t1 = s t t= s c 3m = 0,77 s m 3,92 s 5m = 1,28 s m 3,92 s Die maximale Geschwindigkeit ist demnach frühestens nach 0,77 s aber spätestens nach 1,28 s erreicht. Anhang A 42 Aufgabenteil f) Indizes: B – Behälter Gegebene Werte: Beide Behälterquerschnitte betragen AB = 10 m2 Keine Anlaufströmung, c = 3,92 m/s Rohrquerschnitt d = 0,1 m Gesuchte Werte: Zeit t, bei der das Überströmen von Behälter 1 in Behälter 2 abgeschlossen ist. Lösungsansatz: Im Anfangszustand befindet sich der Wasserspiegel im ersten Behälter 7 m über der Rohrachse, im zweiten Behälter 3 m über der Rohrachse. Beide Behälterquerschnitte sind identisch. Nach Beendigung des Überströmens muss demnach das Wasser in beiden Behältern 5 m über der Rohrachse stehen. Der Wasserspiegel hat demnach um jeweils 2 m Höhe abgenommen bzw. zugenommen. Übergegangenes Volumen V: V = AB 2 m = 10 m2 2 m = 20 m3 & im Rohr: Volumenstrom V & = c AB = c π d2/4 = 3,92 m/s π (0,1 m)2/4 = 0,031 m3/s V Zeit t bis das Überströmen abgeschlossen ist: V 20m 3 = = 645 s t= & V m3 0,031 s 8. Aufgabe Aufgabenstellung: Die Luftzufuhr in einem Industrieofen wird durch den natürlichen Zug eines Kamins sichergestellt. Sie strömt mit vernachlässigbarer Geschwindigkeit in den Ofen ein, die Verbrennungsgase strömen mit hoher Temperatur TG verlustfrei aber isotherm in die Atmosphäre. a) Für die folgende Berechnung nehmen Sie konstante Luft- und Abgasdichte an: ρL = const. und trotz hoher Abgastemperatur ρG = const., Begründen Sie diese Annahme. b) Berechnen Sie die Abgasgeschwindigkeit am Kaminaustritt unter der Annahme vernachlässigbarer Brennstoffmenge und wenn Ihnen folgende Werte gegeben sind H = 100 m; ϑL = 18 oC; ϑG = 190 oC; pa = 1 bar; RG = RL = 287,1 J/(kg K). Anhang A 43 Aufgabenteil a) Indizes: L – Luft G – Gas Gegebene Werte: Die Luft- und Abgasdichten ρL und ρG werden als konstant angenommen! Gesuchte Werte: Begründung, aus welchem Grund die Abgasdichte ρG trotz hoher Abgastemperatur als konstant angesehen wird. Lösungsansatz: Die Bedingung, dass sowohl die Luftdichte ρL als auch die Abgasdichte ρG als konstant angesehen werden, ist notwendige Bedingung für die Berechnung der Aufgabe mit Hilfe der Bernoullischen-Gleichung. Aufgabenteil b) cH ϑG H c0 ϑL Indizes: L – Luft G – Gas 0 – „Null“ (Ofen am Boden) H – Kaminaustritt in 100 m Höhe V – Verlust a – Umgebung (Außen) Anhang A 44 Gegebene Werte: Kaminhöhe H = 100 m Lufttemperatur ϑL = 18 °C ≡ 291,15 K Abgastemperatur ϑG = 190 °C ≡ 463,15 K Umgebungsdruck pa = 1 bar Die Luft- und Abgasdichten ρL und ρG werden als konstant angenommen Spezifische Gaskonstanten der Luft und des Abgases RL = RG = 287,1 J/(kg K) Gesuchte Werte: Austrittsgeschwindigkeit cH des Abgases am Kaminaustritt Lösungsansatz: Bernoulli-Gleichung (0 - H): 2 2 c c p0 + ρG 0 + ρG g z0 = pH + ρG H + ρG g zH + ∆pV 0, H 2 2 Annahmen: Anfangsgeschwindigkeit ist nahe Null: c0 0 zH - z0 = H = 100 m Verlustfreie Strömung: ∆pV 0, H = 0 2 2 c c p0 + ρG 0 + ρG g z0 = pH + ρG H + ρG g zH + ∆pV 0, H 2 2 2 p0 + ρG g z0 = pH + ρG cH + ρG g zH 2 2 c ρG H = p0 - pH - ρG g (zH - z0) 2 Luftdruck p0 am Eintritt des Ofens: p0 = pa Luftdruck pH am Kaminaustritt (Freistrahlbedingung): pH = pa - ρL g H p0 und pH jeweils durch die neuen Terme ersetzen: 2 ρG cH = pa - (pa - ρL g H) - ρG g H 2 ρG cH = g H (ρL - ρG) 2 2 Anhang A 45 cH2 = 2 g H ( ρ L ρG ) ρG ρG cH = ρL - 1) ρG 2g H( Da die Luft als ideales Gas angenommen wird, gilt: p pV=mRTρ= R ⋅T ρL = pa = R L ⋅ TL 100000 Pa = 1,196 kg/m3 J 287,1 ⋅ 291,15 K kg ⋅ K ρG = pa = R G ⋅ TG 100000 Pa = 0,752 kg/m3 J 287,1 ⋅ 463,15 K kg ⋅ K cH = 2 ⋅ 9,81 ρ m ⋅ 100 m ( L - 1) = 34,04 m/s 2 s ρG 9. Aufgabe Aufgabenstellung: Aus einem Tiefbrunnen soll eine Wassermenge von 270 m3/h in ein 3 km entferntes Wasserwerk gefördert werden. Gegeben sind die Geschwindigkeit v = 0,7 m/s, die Dichte ρ = 1000 kg/m3, die dynamische Zähigkeit η = 10−3 Ns/m2 und der Höhenunterschied der Wasserspiegel mit 180 m. a) Skizzieren und beschreiben Sie kurz Ihr Anlagenkonzept (Rohrleitungen, Ein- und Auslaufkonfiguration, Schieber (S), Ventile (V), Filter (F), Krümmer (K), Anzahl und Lage der Pumpen usw.) b) Berechnen Sie die Druckdifferenz zwischen Druck- und Saugstutzen der Pumpe sowie deren Leistung, wenn ihr Wirkungsgrad 94% beträgt und wenn Ihnen folgende Druckverlust- bzw. Rohrreibungsbeiwerte bekannt sind: ζF = 2; ζV = 0,8; ζK = 0,4; λ ≈ 0,316/Re1/4 für Re ≥ Rekrit. ζS = 0,08 Anhang A 46 Aufgabenteil a) „4“ „3“ „D“ H „S“ Pumpe Schieber Ventil „2“ Filter „1“ l Der Rohreinlauf ist gut gerundet, um verlustfreies Einströmen des Fluids zu garantieren. Es sind zwei Schieber im Anlagenkonzept vorgesehen, falls an den restlichen Anlagenteilen (Ventil, Filter und Pumpe) Reparaturen nötig wären, und diese ausgebaut werden müssten. Aufgabenteil b) Indizes: W – Wasser F – Filter V – Ventil K – Krümmer SB – Schieber 1 – Rohreinlauf im Tiefbrunnen 2 – Wasserspiegel im Tiefbrunnen 3 – Rohrauslauf im Wasserwerk 4 – Wasserspiegel im Wasserwerk S – Saugstutzen der Pumpe D – Druckstutzen der Pumpe V – Verlust a – Umgebung (Außen) P – Pumpe Anhang A 47 Gegebene Werte: Länge der Rohrleitung l = 3000 m Geschwindigkeit c = 0,7 m/s Dichte des Wassers ρW = ρ = 1000 kg/m3 Dynamische Viskosität des Wassers ηW = η = 0,001 N s/m2 Höhenunterschied der Wasserspiegel H = z4 – z2 = 180 m & = 270 m3/h = 0,075 m3/s Volumenstrom V Druckverlustbeiwerte ζ (Zeta): ζF = 2; ζV = 0,8; ζK = 0,4; ζSB = 0,08 Rohrreibungswert λ ≈ 0,316/Re1/4 für Re ≥ ReKrit. Gesuchte Werte: Druckdifferenz zwischen Druck- und Saugstutzen der Pumpe sowie die Pumpenleistung, wenn ihr Wirkungsgrad 94% beträgt. Lösungsansatz: Berechnung des Rohrquerschnittes A und des Rohrdurchmessers d: m3 0,075 s = 0,107 m2 & =cA & /c = A= V V m 0,7 s A = π d2/4 d= 4⋅A = 0,369 m π SAUGSEITE Bernoulli-Gleichung (1 - Saugstutzen „S“): 2 2 c c p1 + ρ 1 + ρ g z1 = pS + ρ S + ρ g zS + ∆pV 1, S 2 2 Annahme: Anfangsgeschwindigkeit ist nahe Null: c1 0 2 c p1 + ρ g z1 = pS + ρ S + ρ g zS + ∆pV 1, S 2 Druck p1 an der „gut gerundeten“ Einlaufdüse: p1 = pa + ρ g (z2 – z1) p1 durch den neuen Term ersetzen: 2 pa + ρ g (z2 – z1) + ρ g z1 = pS + ρ 2 cS + ρ g zS + ∆pV 1, S 2 c pa + ρ g z2 = pS + ρ S + ρ g zS + ∆pV 1, S 2 Anhang A 48 Bestimmung des Druckverlustes (1 - Saugstutzen „S“): 2 S c ∆pV 1, S = ρ S ∑ ζ 2 1 Einsetzen in die Bernoulli-Gleichung: 2 pa + ρ g z2 = pS + ρ 2 cS c + ρ g zS + ρ S 2 2 2 pS = pa + ρ g (z2 – zS) - ρ cS (1 + 2 S ∑ζ 1 S ∑ζ ) 1 DRUCKSEITE Bernoulli-Gleichung (Druckstutzen „D“ - 3): 2 2 c c pD + ρ D + ρ g zD = p3 + ρ 3 + ρ g z3 + ∆pV D, 3 2 2 Annahme: AD = A3 cD = c3 2 2 c c pD + ρ D + ρ g zD = p3 + ρ 3 + ρ g z3 + ∆pV D, 3 2 2 2 c |: (ρ D ) 2 pD + ρ g zD = p3 + ρ g z3 + ∆pV D, 3 Druck p3 an der „gut gerundeten“ Auslaufdüse (Freistrahlbedingung): p3 = pa + ρ g (z4 – z3) p3 durch den neuen Term ersetzen: pD + ρ g zD = pa + ρ g (z4 – z3) + ρ g z3 + ∆pV D, 3 Bestimmung des Druckverlustes (Druckstutzen „D“ - 3): 2 3 c ∆pV D, 3 = ρ D ∑ ζ 2 D pD = pa + ρ g (z4 – zD) + ρ cD 2 2 3 ∑ζ D GESAMTDRUCKVERLUST DER PUMPE ∆pP = pD - pS c pD - pS = pa + ρ g (z4 – zD) + ρ D 2 2 3 2 c ∑D ζ - (pa + ρ g (z2 – zS) - ρ 2S (1 + S ∑ ζ )) 1 Anhang pD - pS = ρ g (z4 – zD) + ρ A 49 cD 2 2 3 ∑ ζ - ρ g (z2 - zS) + ρ D 2 pD - pS = ρ g (z4 – zD) + ρ g (-z2 + zS) + ρ pD - pS = ρ g (z4 – z2) - ρ g (zD - zS) + ρ cS (1 + 2 c2 (1 + 2 2 cS (1 + 2 S ∑ζ ) + ρ 1 S ∑ ζ )) cD 2 1 2 3 ∑ζ D 3 ∑ζ ) 1 Höhenunterschied zwischen Druckstutzen und Saugstutzen der Pumpe ist ungefähr gleich Null, daher: 3 c2 ∆pP = ρ g (z4 – z2) + ρ (1 + ∑ ζ ) 2 1 Bestimmung aller Druckverlust- und Rohrreibungsbeiwerte: m kg 0,7 ⋅ 0,369m ⋅1000 3 c⋅d c⋅d ⋅ρ s m = 258300 = = Re = N ⋅s η ν 0,001 2 m λ = 0,316/Re1/4 = 0,014 λ l 3000 m = 0,014 = 113,82 d 0,369 m 3 ∑ ζ = ζF + ζV + ζK + 2 ζSB = 3,36 1 Berechnung des Druckverlustes an der Pumpe: ∆pP = 1000 kg/m3 9,81 m/s2 180 m + 1000 kg/m3 m 2 ) s (1 + 113,82 + 3,36) 2 (0,7 ∆pP = 1794754 Pa Berechnung der Pumpenleistung: & = 1794754 Pa 0,075 m3/s = 134,6 kW PP = ∆pP V Einbeziehen des Wirkungsgrades der Pumpe (94%): 134,6 kW PP = = 143,2 kW 0,94 Anhang A 50 10. Aufgabe Aufgabenstellung: Eine Kreiselpumpe fördert 7,85 l/s Wasser (ρ = 103kg/m3, η = 10−3 Ns/m2) aus einem Brunnen in einen Speicher. Der Wasserspiegel im Brunnen liegt h = 5 m unterhalb der horizontal angeordneten PumpenAchse. Die saugseitige Rohrleitung ist insgesamt l = 7 m lang, der Durchmesser d = 0,1 m. Sie besteht aus einem gut gerundeten ca. 2 m in den Brunnen eingetauchten Rohreinlauf, einem senkrechten Stück und einem Krümmer direkt am Saugstutzen der Pumpe, der eine Verlustziffer von ζK = 0,5 besitzt. Die druckseitige Rohrleitung ist gerade, horizontal verlegt und an den Speicher angeflanscht. Sie ist insgesamt L = 1410 m lang, ihr Durchmesser beträgt D = 0,141 m. Der Wasserspiegel im Speicher liegt H = 15 m oberhalb der Pumpe. Alle Rohre sind hydraulisch glatt. λ ≈ 0,316/Re1/4 gilt für den Rohrreibungsbeiwert in turbulenter Strömung. Die Absperrschieber an der Pumpe werden vollgeöffnet verlustlos durchströmt. a) Berechnen Sie den Druckdifferenz zwischen Druck- und Saugstutzen sowie die Leistung der Pumpe, wenn deren (innerer) Wirkungsgrad ηP = 0,94 und Gesetzmäßigkeiten gegeben sind. b) Erläutern Sie, weshalb die Geschwindigkeitsverteilung v(r) bei Eintritt in das lange Rohr und somit die Einlaufströmung praktisch keine Rolle spielt. c) Welche Bedeutung besitzt die Angabe “hydraulisch glattes Rohr”? d) Diskutieren Sie den größtmöglichen Wert für die Höhe h; spielt dabei der Saugstutzendurchmesser eine Rolle? Aufgabenteil a) L „S“ „4“ H „3“ h D d „D“ „2“ „B“ Anhang A 51 Indizes: W – Wasser K – Krümmer B – Rohreinlauf im Brunnen 2 – Wasserspiegel im Brunnen 3 – Rohrauslauf im Speicher 4 – Wasserspiegel im Speicher S – Saugstutzen der Pumpe D – Druckstutzen der Pumpe V – Verlust a – Umgebung (Außen) P – Pumpe Gegebene Werte: & = 7,85 l/s = 0,00785 m3/s Volumenstrom V Länge der saugseitigen Rohrleitung l = 7 m Länge der druckseitigen Rohrleitung L = 1410 m Durchmesser der saugseitigen Rohrleitung d = 0,1 m Durchmesser der druckseitigen Rohrleitung D = 0,141 m Wasserspiegel im Brunnen liegt h = 5 m unter der horizontalen Pumpenachse: zS – z2 = 5 m Wasserspiegel im Speicher liegt H = 15 m über der horizontalen Pumpenachse: z4 – zD = 15 m Dichte des Wassers ρW = ρ = 1000 kg/m3 Dynamische Viskosität des Wassers ηW = η = 0,001 N s/m2 Druckverlustbeiwert des Krümmers ζK = 0,5 Rohrreibungswert λ ≈ 0,316/Re1/4 in turbulenter Strömung (Re < 80000) für hydraulisch glatte Rohre Alle Rohre sind hydraulisch glatt. Gesuchte Werte: Druckdifferenz zwischen Druck- und Saugstutzen der Pumpe sowie die Pumpenleistung Lösungsansatz: Berechnung des Rohrquerschnittes auf der Saugseite AS: AS = π d2/4 = 0,00785 m2 Berechnung des Rohrquerschnittes auf der Druckseite AD: AD = π D2/4 = 0,01561 m2 Berechnung der Geschwindigkeit auf der Saugseite cS: & V cS = = 1 m/s AS Berechnung der Geschwindigkeit auf der Druckseite cD: & V cD = = 0,5 m/s AD Berechnung der Re-Zahl auf der Saugseite ReS: Anhang ReS = A 52 cS ⋅ d ⋅ ρ = 100000 η Berechnung der Re-Zahl auf der Druckseite ReD: c ⋅D⋅ρ ReD = D = 70500 η Berechnung der Rohrreibungszahl auf der Saugseite λS: λS = 0,316/ReS1/4 = 0,01778 Berechnung der Rohrreibungszahl auf der Druckseite λD: λD = 0,316/ReD1/4 = 0,01939 SAUGSEITE Bernoulli-Gleichung (Brunnen „B“ - Saugstutzen „S“): 2 2 c c PB + ρ B + ρ g zB = pS + ρ S + ρ g zS + ∆pV B, S 2 2 Annahme: Anfangsgeschwindigkeit im Brunnen ist nahe Null: cB 0 2 2 cS cB PB + ρ + ρ g zB = pS + ρ + ρ g zS + ∆pV B, S 2 2 2 pB + ρ g zB = pS + ρ cS + ρ g zS + ∆pV B, S 2 Druck pB an der „gut gerundeten“ Einlaufdüse: pB = pa + ρ g (z2 – zB) pB durch den neuen Term ersetzen: 2 c pa + ρ g (z2 – zB) + ρ g zB = pS + ρ S + ρ g zS + ∆pV B, S 2 2 pa + ρ g z2 = pS + ρ cS + ρ g zS + ∆pV B, S 2 Bestimmung des Druckverlustes (Brunnen „B“ - Saugstutzen „S“): 2 c l ∆pV B, S = ρ S (λS + ζK) 2 d Einsetzen in die Bernoulli-Gleichung: 2 2 c c l pa + ρ g z2 = pS + ρ S + ρ g zS + ρ S (λS + ζK) 2 2 d Anhang A 53 2 c l pS = pa + ρ g (z2 – zS) - ρ S (1 + λS + ζK) 2 d DRUCKSEITE Bernoulli-Gleichung (Druckstutzen „D“ - 3): 2 2 c c pD + ρ D + ρ g zD = p3 + ρ 3 + ρ g z3 + ∆pV D, 3 2 2 Annahme: AD = A3 cD = c3 Druckstutzen „D“ und Rohrauslauf im Speicher „3“ sind auf gleicher Höhe: zD = z3 2 2 2 c3 cD cD pD + ρ + ρ g zD = p3 + ρ + ρ g z3 + ∆pV D, 3 |: (ρ g zD) |: (ρ ) 2 2 2 pD = p3 + ∆pV D, 3 Druck p3 an der „gut gerundeten“ Auslaufdüse (Freistrahlbedingung): p3 = pa + ρ g (z4 – zD) p3 durch den neuen Term ersetzen: pD = pa + ρ g (z4 – zD) + ∆pV D, 3 Bestimmung des Druckverlustes (Druckstutzen „D“ - 3): 2 c L ∆pV D, 3 = ρ D λD 2 D 2 c L pD = pa + ρ g (z4 – zD) + ρ D λD 2 D GESAMTDRUCKVERLUST DER PUMPE ∆pP = pD - pS 2 2 c c L l pD - pS = pa + ρ g (z4 – zD) + ρ D λD - (pa + ρ g (z2 – zS) - ρ S (1 + λS + ζK)) 2 D 2 d 2 2 pD - pS = ρ g (z4 – zD) + ρ c cD L l λD - ρ g (z2 - zS) + ρ S (1 + λS + ζK) 2 2 D d 2 2 pD - pS = ρ g (z4 – zD) + ρ g (-z2 + zS) + ρ cD c L l + ρ S (1 + λS + ζK) λD 2 D 2 d 2 2 c c L l pD - pS = ρ g (z4 – z2) - ρ g (zD - zS) + ρ D λD + ρ S (1 + λS + ζK) 2 2 D d Anhang A 54 Höhenunterschied zwischen Druckstutzen und Saugstutzen der Pumpe ist gleich Null, daher: 2 2 c c L l ∆pP = ρ g (z4 – z2) + ρ D λD + ρ S (1 + λS + ζK) 2 D 2 d Berechnung des Druckverlustes an der Pumpe: ∆pP = 1000 kg/m3 9,81 m/s2 20 m + 1000 kg/m3 1000 kg/m3 (1 m 2 ) 1410 m s 0,01939 + 2 0,141 m (0,5 m 2 ) 7m s (1 + 0,01778 + 0,5) 2 0,1 m ∆pP = 221810 Pa Berechnung der Pumpenleistung: & = 221810 Pa 0,00785 m3/s = 1741 W PP = ∆pP V Aufgabenteil b) Indizes: W – Wasser E – Einlaufstrecke ges – Gesamt V – Verlust 3 – Rohrauslauf im Speicher D – Druckstutzen der Pumpe Gegebene Werte: Länge der druckseitigen Rohrleitung L = 1410 m Durchmesser der druckseitigen Rohrleitung D = 0,141 m Dichte des Wassers ρW = ρ = 1000 kg/m3 Aus Aufgabenteil a) λD = 0,01939 Gesuchte Werte: Begründung, weshalb die Einlaufströmung beim Eintritt in das lange Rohr (L = 1410 m) praktisch keine Rolle spielt. Lösungsansatz: Als Erstes ist festzustellen, dass die Einlaufströmung in turbulenter Strömung meist eine Strecke von 30 - 50 d benötigt, bis das Strömungsprofil voll ausgebildet ist, höchstens aber eine Strecke von 100 d: lE ≤ 100 0,141 m = 14,1 m Anhang A 55 Die Einlaufstrecke lE kann demnach höchstens 14,1 m lang sein, bezogen auf die Länge der druckseitigen Rohrleitung von 1410 m ist dies nur eine kleine Strecke. Zweitens kann man bemerken, dass die Einlaufstrecke auch mit zum Gesamtdruckverlust ∆pV ges mit einem eigenen Druckverlustbeiwert ζE beiträgt. Dieser ist jedoch in turbulenter Strömung nur gering (ζE, turb. = 0,02). Der Druckverlust auf der saugseitigen Rohrleitung setzt sich aus folgenden Teilverlusten zusammen: 2 2 cD cD L ∆pV D, 3 = ρ ⋅ + ⋅ λD ⋅ ρ⋅ ⋅∑ζ 2 244 D 2 43 144 3 142 Drcukverlust in der Rohrleitung Drcukverlust durch Einbauteile und Einlaufströmung L ergibt in dieser Aufgabe den folgenden Wert: D 1410 m L λD = 193,9 = 0,01939 D 0,141 m Der Ausdruck λD Verglichen mit 193,9 ist der Einfluss der Einlaufströmung mit ζE, turb. = 0,02 sehr gering und kann daher vernachlässigt werden. Aufgabenteil c) Indizes: ges – Gesamt S – Saugstutzen der Pumpe D – Druckstutzen der Pumpe Gegebene Werte: Alle Rohre sind hydraulisch glatt. Aus Aufgabenteil a) λS = 0,01778 λD = 0,01939 Gesuchte Werte: Welche Bedeutung besitzt die Angabe „hydraulisch glattes Rohr“? Lösungsansatz: Die Rauhigkeit eines Rohres bezieht sich auf die Beschaffenheit der Rohrinnenwand und ist für den über die Rohrlänge erlittenen Druckverlust verantwortlich. Die Angabe „hydraulisch glattes Rohr“ bezeichnet hierbei in der Technik verwendete Rohre mit besonders glatter Rohrinnenwand, um den Druckverlust über die Rohrlänge so gering wie möglich zu halten. Der Rohrreibungsbeiwert λ (Lambda) ist hierbei ein Maß für die Rohrrauhigkeit. Der Wert von λ liegt, abhängig von der Reynolds-Zahl Re zwischen 0,007 und 0,047. Re-Zahl auf der Saugseite ReS = 100000 Anhang A 56 Rohrreibungsbeiwert auf der Saugseite λS = 0,01778 Re-Zahl auf der Druckseite ReD = 70500 Rohrreibungsbeiwert auf der Druckseite λD = 0,01939 Vergleicht man die berechneten Reynolds-Zahlen und Rohrreibungsbeiwerte auf Saug- und Druckseite mit den Literaturwerten in einem Diagramm des Rohrreibungsbeiwertes λ über der Reynolds-Zahl Re (siehe Lernkontroll-Frage g) ), so liegen sowohl die Werte des saugseitigen Rohres als auch die des druckseitigen Rohres im Bereich der Kurve für hydraulisch glatte Rohre. Aufgabenteil d) Indizes: W – Wasser V – Verlust S – Saugstutzen der Pumpe Gegebene Werte: Länge der saugseitigen Rohrleitung l = 7 m Durchmesser der saugseitigen Rohrleitung d = 0,1 m Wasserspiegel im Brunnen liegt h = 5 m unter der horizontalen Pumpenachse Dichte des Wassers ρW = ρ = 1000 kg/m3 Gesuchte Werte: Diskussion des größtmöglichen Wertes für die Höhe h. Spielt dabei der Saugstutzendurchmesser d eine Rolle? Lösungsansatz: Durch das Ansaugen der Pumpe kommt es im Pumpenrohr zu einem Unterdruck. Dieser Unterdruck darf den Dampfdruck des zu befördernden Fluids auf keinen Fall unterschreiten, denn sonst würde dieser zum Verdampfen des Fluids im Rohr und damit zu Schäden an der Pumpe führen. Die größtmögliche Höhe h beim Transport vom Wasser ist daher 10 m. Der Saugstutzendurchmesser d spielt dabei keine Rolle. Anhang A 57 11. Aufgabe Aufgabenstellung: Vom Hafen zur 30 km entfernten Raffinerie werden 0,3 m3/s Rohöl durch hydraulisch glatte Rohre mit einem Innendurchmesser von 60 cm gefördert. 80 m liegt der Ölspiegel in den Raffinerietanks über demjenigen im Hafen; die Öldichte ρ = 800 kg/m3 und seine Zähigkeit η = 0,005 Ns/m2 sind gegeben. Um den Austritt von Öldämpfen zu vermeiden, erzeugen Abzüge in den geschlossenen Öltanks einen schwachen Unterdruck pU. a) Stellen Sie von der Anlage (Rohrleitungen, Lage der Pumpe(n), Messeinrichtungen, Krümmer, Ventile bzw. Absperrschieber, Filter usw.) eine qualitativ richtige und für die folgenden Berechnungen gut brauchbare Skizze her; Verdeutlichen Sie durch Vergrößerungen die Verbindungen der Rohrleitungen mit den Öltanks. Erläutern Sie stichwortartig Ihr Anlagenkonzept. b) Berechnen Sie die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und die Reynoldszahl. c) Welche Druckdifferenz herrscht zwischen Pumpen-Druck- und Saugstutzen? Zur Berechnung liegen Ihnen folgende Angaben für die Rohrreibungsbeiwerte vor: λ = 64/Re für Re ≤ 2300 λ = 0,3164/Re1/4 für Re > 2300. d) Begründen Sie mit Hilfe einer quantitativen Abschätzung, dass eine Angabe von Druckverlustbeiwerten für o. g. Bauteile in dieser Aufgabe nicht erforderlich ist. e) Entwerfen Sie das Anlagenkonzept einer Pumpenstation, wenn je Pumpe eine Druckdifferenz von ∆pP = 6 · 105 Pa und ein Dauervolumenstrom von (dV/dt)P = 0,1 m3/s nicht überschritten werden soll. Anhang A 58 Aufgabenteil a) Legende: Filter pU Ventil pU Schieber Pumpe „1“ „4“ pU pU h „S“ „3“ „2“ „D“ l Die Anlage verfügt über zwei Absperrschieber, falls Reparaturen an Pumpe oder Filter nötig werden sollten. Der Rohreinlauf ist gut gerundet. Die Rohre sind an beiden Öltanks möglichst kräftefrei weich angeflanscht. Aufgabenteil b) Indizes: Ö – Öl Gegebene Werte: Rohrdurchmesser d = 0,6 m & = 0,3 m3/s Volumenstrom V Dichte des Öls ρÖ = 800 kg/m3 Dynamische Viskosität des Öls ηÖ = 0,005 N s/m2 Gesuchte Werte: Mittlere Strömungsgeschwindigkeit und Re-Zahl Lösungsansatz: A = π d2/4 = π (0,6 m)2/4 =0,2827 m3 0,3 & V s c= = = 1,06 m/s A 0,2827 m 2 Anhang Berechnung der Re-Zahl: m kg 1,06 ⋅ 0,6 m ⋅ 800 3 c ⋅ d ⋅ ρÖ s m = 101760 Re = = Ns ηÖ 0,005 2 m Aufgabenteil c) Indizes: Ö – Öl K – Krümmer 1 – Ölstand im Hafen 2 – Rohreinlauf im Hafen 3 – Rohrauslauf in der Raffinerie 4 – Ölstand in der Raffinerie S – Saugstutzen der Pumpe D – Druckstutzen der Pumpe V – Verlust a – Umgebung (Außen) U – Unterdruck P – Pumpe Gegebene Werte: Rohrdurchmesser d = 0,6 m & = 0,3 m3/s Volumenstrom V Dichte des Öls ρÖ = 800 kg/m3 Dynamische Viskosität des Öls ηÖ = 0,005 N s/m2 Rohrreibungszahl λ = 64/Re für Re ≤ 2300 Rohrreibungszahl λ = 0,3164/Re1/4 für Re > 2300 Rohrlänge l = 30000 m Höhenunterschied der Ölstände Hafen-Raffinerie h = 80 m In beiden Ölbehältern herrscht geringer Unterdruck pU Aus Aufgabenteil b): Strömungsgeschwindigkeit c = 1,06 m/s Reynolds-Zahl Re = 101760 Gesuchte Werte: Druckdifferenz zwischen Druck- und Saugstutzen der Pumpe Lösungsansatz: SAUGSEITE Bernoulli-Gleichung (1 - Saugstutzen „S“): 2 2 c c p1 + ρ 1 + ρ g z1 = pS + ρ S + ρ g zS + ∆pV 1, S 2 2 A 59 Anhang A 60 Annahme: Anfangsgeschwindigkeit ist nahe Null: c1 0 2 2 c1 cS p1 + ρ + ρ g z1 = pS + ρ + ρ g zS + ∆pV 1, S 2 2 2 p1 + ρ g z1 = pS + ρ cS + ρ g zS + ∆pV 1, S 2 Druck p1 im Ölbehälter im Hafen: p1 = pu p1 ersetzen: 2 pu + ρ g z1 = pS + ρ cS + ρ g zS + ∆pV 2, S 2 Bestimmung des Druckverlustes (1 - Saugstutzen „S“): 2 l c ∆pV 1, S = ρ S λ 2 - S 2 d Einsetzen in die Bernoulli-Gleichung: 2 2 l c c pu + ρ g z1 = pS + ρ S + ρ g zS + ρ S λ 2 - S 2 2 d 2 pS = pu + ρ g (z1 – zS) - ρ cS l (1 + λ 2 - S ) 2 d DRUCKSEITE Bernoulli-Gleichung (Druckstutzen „D“ - 3): 2 2 cD c3 pD + ρ + ρ g zD = p3 + ρ + ρ g z3 + ∆pV D, 3 2 2 Annahme: AD = A3 = AS cD = c3 = cS Druckstutzen „D“ und Rohrauslauf „3“ sind auf gleicher Höhe: zD = z3 2 2 c c |: (ρ g zD) pD + ρ D + ρ g zD = p3 + ρ 3 + ρ g z3 + ∆pV D, 3 2 2 pD = p3 + ∆pVD,3 Druck p3 an der „gut gerundeten“ Auslaufdüse (Freistrahlbedingung): p3 = pu + ρ g (z4 – z3) p3 durch den neuen Term ersetzen: 2 |: (ρ cD ) 2 Anhang A 61 pD = pu + ρ g (z4 – z3) + ∆pV D, 3 Bestimmung des Druckverlustes (Druckstutzen „D“ - 3): l c2 ∆pV D, 3 = ρ λ D -3 2 d pD = pu + ρ g (z4 – zD) + ρ l c2 λ D-3 2 d GESAMTDRUCKVERLUST DER PUMPE ∆pP = pD - pS 2 pD - pS = pu + ρ g (z4 – zD) + ρ l c l c2 λ D - 3 - (pu + ρ g (z1 – zS) - ρ S (1 + λ 2 - S )) 2 2 d d 2 l l c c2 pD - pS = ρ g (z4 – zD) + ρ λ D - 3 - ρ g (z1 – zS) + ρ S (1 + λ 2 - S ) 2 d 2 d 2 pD - pS = ρ g (z4 – zD) + ρ g (-z1 + zS) + ρ cS l l c2 (1 + λ 2 - S ) + ρ λ D -3 2 2 d d l c2 pD - pS = ρ g (z4 – z1) - ρ g (zD - zS) + ρ (1 + λ 2 - 3 ) 2 d Höhenunterschied zwischen Druckstutzen und Saugstutzen der Pumpe ist ungefähr gleich Null, daher: l c2 ∆pP = ρ g (z4 – z1) + ρ (1 + λ 2 - 3 ) 2 d Bestimmung aller Druckverlust- und Rohrreibungsbeiwerte: 0,3164 Rohrreibungszahl λ = 0,3164/Re1/4 = = 0,01772 1 4 101760 Berechnung des Druckverlustes an der Pumpe: l c2 ∆pP = ρ g (z4 – z1) + ρ (1 + λ 2 - 3 ) 2 d ∆pP = 800 kg/m3 9,81 m/s2 80 m + 800 kg/m3 ∆pP = 1026493 Pa m 2 ) 30000 m s (1 + 0,01772 ) 2 0,6 m (1,06 Anhang A 62 Aufgabenteil d) Indizes: B – Bauteile (Krümmer, Ventile, etc.) R – Rohrleitung Gegebene Werte: Rohrlänge l = 30000 m Rohrdurchmesser d = 0,6m Rohrreibungszahl λ ≈ 0,01772 Gesuchte Werte: Begründung durch quantitative Abschätzung, weshalb eine Angabe von Druckverlustbeiwerten für die verwendeten Bauteile in dieser Aufgabe nicht zwingend erforderlich ist. Lösungsansatz: Der Druckverlust ∆pV in kreisförmigen Rohrleitungen setzt sich normalerweise aus folgenden Druckverlusten zusammen: 1. Druckverlust in den Bauteilen: c2 i ∆pV B = ρ ∑ζ B 2 1 2. Druckverlust in der geraden Rohrleitung: c2 l ∆pV R = ρ λ 2 d In der vorliegenden Aufgabe kommt es aufgrund der gegebenen Werte zu folgender Konstellation: Die Summe der Druckverlustbeiwerte der Bauteile erreicht normalerweise Werte zwischen 1-5, l der Ausdruck λ erreicht aber einen Wert von ungefähr 880. Da dieser Wert die Summe der d Druckverlustbeiwerte der Bauteile um ein vielfaches übersteigt, ist deren Berücksichtigung in dieser Aufgabe nicht zwingend erforderlich. Aufgabenteil e) Indizes: P – Pumpe Gegebene Werte: Aus Aufgabenteil d) ∆pP = 1026493 Pa Gesuchte Werte: Anlagenkonzept einer Pumpenstation Anhang A 63 Lösungsansatz: Da ein Volumenstrom von 0,1 m3/s pro Pumpe nicht überschritten werden soll, aber laut Aufgabenstellung ein Volumenstrom von 0,3 m3/s gefördert werden soll, werden drei parallel geschaltete Pumpen benötigt. Zudem soll je Pumpe eine Druckdifferenz von 6 105 Pa nicht überschritten werden. Da aus Aufgabenteil d) aber hervorgeht, dass sich in der gesamten Anlage ein Druckverlust von 10,26 105 Pa einstellt, werden zwei in Reihe geschaltete Pumpen benötigt, um den Druckverlust auszugleichen. In der Summe ergibt sich dann folgende Pumpen-Konfiguration: 12. Aufgabe Aufgabenstellung: In einer verfahrenstechnischen Anlage werden 1,6 dm3/s Ethylalkohol aus einem Druckbehälter über eine gerade horizontale Rohrleitung (L = 20 m, d = 20 mm) mit Filter, Durchflusszähler und Drosselklappe einem Reaktor zugeführt und dort über Düsen versprüht. Der gesamte Verlustbeiwert dieser 3 Einbauteile wird durch gesteuertes Öffnen der Drosselklappe auf 2×ζF konstant gehalten, wodurch ein konstanter Volumenstrom gewährleistet ist. (Anm.: Das Filter wird ausgewechselt, wenn die Drosselklappe voll geöffnet ist.) Dieser sowie ein ebenfalls konstanter Druck vor Eintritt in den Düsenstock ist für eine gute Prozessführung Voraussetzung. Der Rohreinlauf ist gut gerundet, die Rohrwand hydraulisch glatt, weitere Daten, Forderungen und Gesetze sind: Ethylalkohol: ρ = 765 kg/m3; ν = 1,1 ⋅ 10-6 m2/s; pD = 3 bar (Druck vor Düse). Filter: ζF = 2,5 (Neuwert inklusive Durchflusszähler). Rohrreibungsbeiwerte: λ = 0,3164 ⋅ Re−0,25 für Rekrit < Re < 80000 −0,3 λ = 0,0054 + 0,396 ⋅ Re für 80000 < Re < 1,5 ⋅ 106. a) Skizzieren Sie die Rohrleitung mit Filter, Durchflusszähler sowie Drosselklappe; begründen Sie die Reihenfolge und die Lage der Bauteile. b) Bestimmen Sie den Druckabfall in der Anordnung unter Berücksichtigung aller Verluste. c) Wie groß muss der Sperrgas Druck im Behälter pB,G sein wenn der Ethylalkoholspiegel 10 m höher als die Rohrachse liegt? Anhang A 64 d) Stellen Sie qualitativ den Druckverlauf über der Rohrachse p(x) dar. Beachten Sie dabei die „Quantitäten“ für die Rohrlänge, die Länge der Einbauteile sowie für die jeweiligen relativen Druckdifferenzen ∆pj,j+1/∆Lj,j+1 im Verhältnis zur Differenz pB,0 - pD. Aufgabenteil a) Drosselklappe Filter pG, B Durchflusszähler pD cB d l Wie in der Aufgabenstellung gegeben, soll der Gesamtverlustbeiwert der drei Komponenten (Drosselklappe, Filter und Durchflusszähler) konstant gehalten werden und somit auch ein konstanter Volumenstrom fließen. Aus diesem Grund ist die obrige Reihenfolge der Bauteile gewählt worden: Wird der Verlustbeiwert des Filters durch Verschmutzungen größer, so kann die Drosselklappe weiter geöffnet werden und der konstante Volumenstrom weiter gewährleistet werden. Mit Hilfe des Durchflusszählers kann der gesamte Volumenstrom stets überwacht werden. Aufgabenteil b) Indizes: F – Filter E – Einbauteile R – Rohrleitung V – Verlust ges - Gesamt Gegebene Werte: Rohrdurchmesser d = 0,02 m Rohrlänge l = 20 m & = 1,6 l/s = 0,0016 m3/s Volumenstrom V Dichte des Ethylalkohols ρ = 765 kg/m3 Kinematische Viskosität des Ethylalkohols ν = 1,1 10-6 m2/s Anhang A 65 Druckverlustbeiwert ζF des Filters = 2,5 (Neuwert inklusive Durchflusszähler) Rohrreibungszahl λ = 0,3164 Re-0,25 für ReKrit. < Re < 80000 Rohrreibungszahl λ = 0,0054 + 0,396 Re-0,3 für 80000 < Re < 1,5 106 Gesuchte Werte: Druckabfall in der Anordnung unter Berücksichtigung aller Verluste Lösungsansatz: Berechnung der Strömungsgeschwindigkeit cD an der Düse: A = π d2/4 = π (0,02 m)2/4 =0,000314 m2 m3 & V s = 5,1 m/s c= = A 0,000314 m 2 0,0016 Berechnung der Re-Zahl: m 5,1 ⋅ 0,02 m c⋅d s = = 92727 Re = 2 ν -6 m 1,1⋅10 s Berechnung der Rohrreibungszahl λ: λ = 0,0054 + 0,396 Re-0,3 = 0,01821 Bestimmung des Druckverlusts der Einbauteile: Aus Aufgabentext: „Der gesamte Verlustbeiwert... ...wird auf 2 ζF konstant gehalten“. c2 c2 ∆pV E = ρ 2 ζF ζ =ρ ∑ 2 2 Bestimmung des Druckverlusts der Rohrleitung: c2 l ∆pV R = ρ λ 2 d Berechnung des Gesamtdruckverlustes ∆pV ges (Einbauteile und Rohrleitung): m (5,1 ) 2 c2 l c2 20 m s ∆pV ges = ∆pV R + ∆pV E = ρ λ +ρ 2 ζF = 765 kg/m3 (0,01821 +2 2 2 2 0,02 m d 2,5) ∆pV ges = 230912 Pa Anhang A 66 Aufgabenteil c) Indizes: B – Behälter D – Düse G – Sperrgas V – Verlust ges – Gesamt Gegebene Werte: Dichte des Ethylalkohols ρ = 765 kg/m3 Druck vor der Düse pD = 3 bar Aus Aufgabenteil b): Strömungsgeschwindigkeit c = 5,1 m/s Reynolds-Zahl Re = 92727 Rohrreibungszahl λ = 0,01821 Gesamtdruckverlust in der Anordnung ∆pV ges = ∆pV B, D = 230912 Pa Gesuchte Werte: Druck des Sperrgases pG, Rohrachse liegt. B im Behälter, wenn der Ethylalkoholspiegel 10 m höher als die Lösungsansatz: Bernoulli-Gleichung (Behälter „B“ - Düse „D“): 2 2 c c pB + ρ B + ρ g zB = pD + ρ D + ρ g zD + ∆pV B, D 2 2 Annahmen: Anfangsgeschwindigkeit ist nahe Null: cB 0 Rohreinlauf und Rohrauslauf sind auf gleicher Höhe: zB = zD 2 2 c c pB + ρ B + ρ g zB = pD + ρ D + ρ g zD + ∆pV B, D 2 2 2 c pB = pD + ρ D + ∆pV B, D 2 Druck pB an der „gut gerundeten“ Einlaufdüse: pB = pG, B + ρ g 10 m pB durch den neuen Term ersetzen: 2 cD pG, B + ρ g 10 m = pD + ρ + ∆pV B, D 2 2 pG, B = pD + ρ cD - ρ g 10 m + ∆pV B, D 2 |: (ρ g zB) Anhang A 67 Berechnung des Sperrgasdrucks: pG, B = 300000 Pa + 765 kg/m3 m 2 ) s - 765 kg/m3 9,81 m/s2 10 m + 230912 Pa 2 (5,1 pG, B = 465814 Pa Aufgabenteil d) Lösungsansatz: Auftragung des Druckes über der Rohrachse x (Rohrlänge l). Zur etwas höheren Druckverlusten führen die Einbauteile Drosselklappe [1], Filter [2] und Durchflussmesser [3]: p ~ 5,3 bar [1] [2] [3] 3 bar 2 bar x 0 l 13. Aufgabe Aufgabenstellung: a) Ein Gebläse, das zur Entlüftung eines Raumes dient und das in ein Kreisrohr mit einem Querschnitt AG = 1 m2 eingebaut ist, wird im Technikum untersucht. Dazu wird eine gut gerundete Einlaufdüse angebracht, deren Coriolisfaktor Sie zu α = 1 annehmen können. Die Strömung der Luft (ρL = 1,25 kg/m3) sei reibungs- und drehungsfrei. Berechnen Sie Volumenstrom und Leistung des Gebläses sowie die Kraft, die es hält, wenn die Nenndruckdifferenz von ∆pG = 600 Pa fest eingestellt ist. b) Das Gebläse aus Aufgabe a) wird an eine Maueröffnung mit kleinerem Querschnitt AM außen angeschlossen. Berechnen Sie für gleiche Bedingungen, unter Berücksichtigung, dass auch die Maueröffnung innen gut gerundet ist, die Querschnittserweiterung jedoch unstetig und somit keine isentrope Strömung vorliegt, folgende Größen: Geschwindigkeit cM, die Druckdifferenz pA - pM und Stabkraft F für AM = 0,5 AG die Leistung des Gebläses und den Querschnitt AM* für maximale Geschwindigkeit cM max. Anhang A 68 Aufgabenteil a) Indizes: L – Luft G – Gebläse 1 – Gebläseeintritt 2 – Gebläseaustritt A – Umgebungsdruck (Außen) V – Verlust Gegebene Werte: Umgebungsdruck pA = 1 bar Rohrquerschnitt des Gebläses AG = 1m2 Coriolisfaktor der Einlaufdüse α = 1 Dichte der Luft ρL = 1,25 kg/m3 Nenndruckdifferenz im Gebläse ∆pG = 600 Pa Gesuchte Werte: Volumenstrom und Leistung des Gebläses, sowie die Kraft, die es hält. Lösungsansatz: Bernoulli-Gleichung (1 - 2): 2 2 c c p1 + ρ 1 + ρ g z1 = p2 + ρ 2 + ρ g z2 + ∆pG + ∆pV 1, 2 2 2 Annahmen: Anfangsgeschwindigkeit ist nahe Null: c1 0 p1 = p2 = Umgebungsdruck pA Die Strömung ist reibungs- und drehungsfrei: ∆pV 1, 2 = 0 Gebläseeintritt und Gebläseaustritt sind auf gleicher Höhe: z1 = z2 2 2 c c p1 + ρ 1 + ρ g z1 = p2 + ρ 2 + ρ g z2 + ∆pG + ∆pV 1, 2 |: p1 2 2 2 c ρ 2 = ∆ pG 2 c= 2 ⋅ ∆p G = ρ 2 ⋅ 600 Pa = 31 m/s kg 1,25 3 m &: Berechnung des Volumenstroms V 2 3 & = c A = 31 m/s 1 m = 31 m /s V Berechnung der Gebläseleistung: & = 600 Pa 31 m3/s = 18,6 kW PG = ∆pG V |: (ρ g z1) Anhang A 69 r Berechnung der Haltekraft FG : r FG = ∆pG A = 600 Pa 1 m2 = 600 N Aufgabenteil b) AM AG „0“ „1“ „2“ „3“ „4“ Indizes: L – Luft G – Gebläse M – Mauer A – Umgebungsdruck (Außen) max. – Maximal-Geschwindigkeit Gegebene Werte: Rohrquerschnitt der Mauer AM = 0,5m2 Coriolisfaktor des Mauereinlasses α = 1 Aus Aufgabenteil a) Umgebungsdruck pA = 1 bar Rohrquerschnitt des Gebläses AG = 1m2 Dichte der Luft ρL = 1,25 kg/m3 Nenndruckdifferenz im Gebläse ∆pG = 600 Pa Gesuchte Werte: Strömungsgeschwindigkeit in der Mauer cM, die Druckdifferenz pA - pM, die Leistung des Gebläses und die Kraft, die nötig ist, um es zu halten. Außerdem den Querschnitt AM* für maximale Geschwindigkeit cM max. Lösungsansatz: Bernoulli-Gleichung (0 - 1): 2 2 c c p0 + ρ 0 + ρ g z0 = p1 + ρ 1 + ρ g z1 + ∆pV 0, 1 2 2 Anhang A 70 Annahmen: Anfangsgeschwindigkeit ist nahe Null: c0 0 Die Strömung sei reibungs- und drehungsfrei: ∆pV 0, 1 = 0 Gebläseeintritt und Rohrquerschnitt „1“ sind auf gleicher Höhe: z0 = z1 2 2 c c |: (ρ g z1) p0 + ρ 0 + ρ g z0 = p1 + ρ 1 + ρ g z1 + ∆pV 0, 1 2 2 2 c p0 - p1 = ρ 1 2 [1] Anwendung des Impulssatzes (1 - 2): Austretender Impulsstrom - Eintretender Impulsstrom = Summe aller Kräfte r r r &I - &I = ∑ F Aus Ein Der r Impulsstrom ist definiert als: &I = m & c = (A c ρ) c Die Druckkräfte setzen sich folgendermaßen zusammen: r F =pA Eingesetzt führt dies zu folgender Gleichung: AG c22 ρ - AM c12 ρ = AM p1 + (AG – AM) p1 – AG p2 (AG c22 - AM c12) ρ = AG (p1 – p2) Einführung der Kontinuitätsgleichung: A AM c1 = AG c2 c1 = c2 G AM Ersetzen von c1 durch c2 führt zur Gleichung [2]: 2 A (AG c22 - AM c22 G 2 ) ρ = AG (p1 – p2) AM (c22 - c22 AG ) ρ = p1 – p2 AM |: AG [2] Ausserdem ist durch die Aufgabenstellung gegeben: p3 – p2 = ∆pG [3] Bernoulli-Gleichung (3 - 4): 2 2 c c p3 + ρ 3 + ρ g z3 = p4 + ρ 4 + ρ g z4 + ∆pG + ∆pV 3, 4 2 2 Anhang A 71 Annahmen: Strömungsgeschwindigkeiten sind gleich: c3 = c4 Die Strömung sei reibungs- und drehungsfrei: ∆pV 3, 4 = 0 Rohrquerschnitt „3“ und Gebläseaustritt sind auf gleicher Höhe: z3 = z4 Der Druck am Gebläseaustritt ist gleich dem Umgebungsdruck p4 = pA p3 = p4 = pA [4] Addition der Gleichungen [3] und [4]: pA – p2 = ∆pG p2 = pA – ∆pG [5] Addition der Gleichungen [2] und [5]: A p1 – (pA – ∆pG) = (c22 - c22 G ) ρ AM Einfügen der Gleichung [1]: 2 A c p0 - ρ 1 – (pA – ∆pG) = c22 (1 - G ) ρ AM 2 Ersetzen von c2 durch c1 mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung: 2 2 A AM c1 p0 - ρ – (pA – ∆pG) = c12 (1 - G ) ρ 2 AM 2 AG 2 2 ∆pG - ρ c1 A A = c12 ( M 2 - M ) ρ 2 AG AG 2 ∆pG = c12 [ A A ρ + ( M 2 - M ) ρ] AG 2 AG 2 A A c ρ ∆pG = 1 (1 + 2 M ( M - 1) 2 AG AG [6] Berechnung von c1 unter der Voraussetzung AM = 0,5: AG 2 c ρ ∆pG = 1 (1 + 2 0,5 (0,5 - 1)) 2 c1 = 2 ∆p G = 43,82 m/s ρ 0,5 Anhang A 72 Berechung von c2: AM c1 = AG c2 c2 = c1 AM AG c2 = c1 0,5 = 21,91 m/s Bestimmung des Querschnitts AM* für maximale Geschwindigkeit cM max.: Heranziehen der Gleichung [6]: 2 c ρ A A ∆pG = 1 = (1 + 2 M ( M − 1) 2 A AG 1444G244 4 3 y Betrachtet man die Gleichung, so wird klar, dass die Geschwindigkeit c1 maximal wird, wenn der Ausdruck y minimal wird. A Setze M = x AG So ergibt sich mit den Variablen x und y folgender Ausdruck: y = 1 + 2 x (x – 1) y = 1 + 2 x2 – 2 x Die Gleichung hat ein Minimum, wenn die Ableitung dy gleich Null wird: dy = 4 x – 2 0=4x–2 x= 1 2 Die Geschwindigkeit c1 wird demnach maximal, wenn das Verhältnis Berechnung der Druckdifferenz pA - pM: Heranziehung der Gleichung [1]: 2 c1 p1 = p0 - ρ 2 p1 = 100000 Pa – 1,25 kg/m3 1 (43,82 m/s)2 2 p1 = 98800 Pa = pM pA – pM = 100000 Pa – 98800 Pa = 1200 Pa AM 1 = ist. AG 2 Anhang A 73 Berechnung der Stabkraft F: Da die Nenndruckdifferenz ∆pG wie in Aufgabenteil a) 600 Pa beträgt, ist auch die Stabkraft F gleich geblieben und beträgt 600 N. Berechnung der Gebläseleistung: & = 600 Pa c2 AG = 600 Pa 21,91 m/s 1 m2 = 13146 W PG = ∆pG V 14. Aufgabe Aufgabenstellung: Die in ihren Mittellinien skizzierte horizontal verlegte Rohrverzweigung einer Ölleitung ist durch Schrauben fest an den Flanschen 1 und 3 und über eine Kupplung kräftefrei an Flansch 2 im Rohrsystem eingebunden. Umlenkung und Querschnittsveränderung bewirken Druckverluste; Jedoch kann der Coriolisfaktor zu α = 1 angenommen werden. Weiter sind folgende Daten gegeben: A1 = 0,15 m²; vj = v = 2,5 m/s; A3 = 2A2; β = 30°; p1 = 1,5 bar; ρ = 860 kg/m³. ζ12 = 0,3; ζ13 = 0,6; Berechnen Sie mit der gegebenen mittleren Geschwindigkeit a) den Volumenstrom in A1, die Querschnittsflächen A2 und A3 und die Drücke p2 und p3 sowie b) die Gesamtkräfte der Flanschverbindungen F1 und F3; Skizzieren Sie dazu sauber die Bilanzgrenze mit allen bedeutsamen Größen. c) Erläutern Sie anhand der Ergebnisse aus a) und b) die häufig getroffene Annahme „verlustfreie Durchströmung einer Umlenkung“. Aufgabenteil a) A1 A2 β A3 Anhang A 74 Indizes: 1 – Rohrquerschnitt 1 2 – Rohrquerschnitt 2 3 – Rohrquerschnitt 3 V – Verlust Gegebene Werte: Die Rohrleitung ist an den Flanschen 1 und 3 fest angebracht, an Flansch 2 jedoch kräftefrei. Rohrquerschnitt A1 = 0,15 m2 A3 = 2 A2 Winkel der Rohrverzweigung β = 30° Druckverlustbeiwert ζ12 von 1 nach 2 = 0,3 Druckverlustbeiwert ζ13 von 1 nach 3 = 0,6 Strömungsgeschwindigkeit c = 2,5 m/s Druck p1 an der Stelle 1 = 1,5 bar Dichte des Öls ρ = 860 kg/m3 Gesuchte Werte: & in A1, die Rohrquerschnitte A2 und A3 sowie die Drücke p2 und p3 Volumenstrom V 1 Lösungsansatz: Anwendung der Kontinuitätsgleichung: & = c A1 = 2,5 m/s 0,15 m2 = 0,375 m3/s V 1 Durch die Kontinuitätsgleichung ist außerdem festgelegt, dass der gesamte einströmende & durch die Rohrquerschnitte A2 und A3 wieder ausströmt: Volumenstrom V 1 & & & V1 = V2 + V3 c A1 = c A2 + c A3 In der Aufgabenstellung ist zudem gegeben, dass der Rohrquerschnitt A3 zweimal dem Rohrquerschnitt A2 entspricht: A3 = 2 A2 Einsetzen: c A1 = c A2 + c 2 A2 0,375 m3/s = c 3 A2 A2 = 0,05 m2 A3 = 2 A2 = 0,1 m2 Berechung der Drücke p2 und p3: Bernoulli-Gleichung (1 - 2): 2 2 c c p1 + ρ 1 + ρ g z1 = p2 + ρ 2 + ρ g z2 + ∆pV 1, 2 2 2 Anhang A 75 Annahmen: Die Strömungsgeschwindigkeit ist in allen Rohrquerschnitten gleich: c1 = c2 = c3 = 2,5 m/s Rohreinlauf und Rohrauslauf sind auf gleicher Höhe: z1 = z2 2 2 2 c1 c2 c1 p1 + ρ + ρ g z1 = p2 + ρ + ρ g z2 + ∆pV 1, 2 |: (ρ g z1) |: (ρ ) 2 2 2 p2 = p1 - ∆pV 1, 2 Berechnung des Druckverlustes ∆pV 1, 2: c2 2 c2 ∆pV 1, 2 = ρ ∑ ζ = ρ 2 0,3 2 1 Einsetzen: 2 p2 = p1 - ρ c 0,3 = 150000 Pa – (860 kg/m3 2 m 2 ) s 0,3) = 149194 Pa 2 (2,5 Analoge Berechnung des Druckes p3: p3 = p1 - ∆pV 1, 3 Berechnung des Druckverlustes ∆pV 1, 3: c2 3 c2 ∆pV 1, 3 = ρ = ρ 0,6 ζ ∑ 2 1 2 Einsetzen: c2 p3 = p1 - ρ 0,6 = 150000 Pa – (860 kg/m3 2 m 2 ) s 0,6) = 148388 Pa 2 (2,5 Anhang A 76 Aufgabenteil b) Zu beachten: Eine Bilanzgrenze ist erforderlich! pa r &I 1 r &I 2 r ∆Fp1 r ∆Fp 2 r F1 x1 r &I 3 r F3 x2 Bilanzgrenze: Indizes: 1 – Rohrquerschnitt 1 2 – Rohrquerschnitt 2 3 – Rohrquerschnitt 3 V – Verlust a – Umgebungsdruck (Außen) Gegebene Werte: Strömungsgeschwindigkeit c = 2,5 m/s Druck p1 an der Stelle 1 = 1,5 bar Rohrquerschnitt A1 = 0,15 m2 & = 0,375 m3/s Volumenstrom V 1 Aussendruck pa = 1 bar Aus Aufgabenteil a): Druck p2 an der Stelle 2 = 1,492 bar Druck p3 an der Stelle 3 = 1,484 bar Rohrquerschnitt A2 = 0,05 m2 Rohrquerschnitt A3 = 0,1 m2 Gesuchte Werte: r r Die Gesamtkräfte der Flanschverbindungen F1 und F3 r ∆Fp 3 Anhang A 77 Lösungsansatz: Berechnung der Volumenströme in den Rohrquerschnitten A2 und A3: & = c A2 = 2,5 m/s 0,05 m2 = 0,125 m3/s V 2 & = c A3 = 2,5 m/s 0,1 m2 = 0,25 m3/s V 3 Berechnung der Massenströme: & ρ = 0,375 m3/s 860 kg/m3 = 322,5 kg/s &1 = V m 1 & ρ = 0,125 m3/s 860 kg/m3 = 107,5 kg/s &2 = V m 2 & ρ = 0,25 m3/s 860 kg/m3 = 215 kg/s &3 = V m 3 Berechnung der Impulsströme: r &I = m & 1 c = 322,5 kg/s 2,5 m/s = 806,25 N r1 &I = m & 2 c = 107,5 kg/s 2,5 m/s = 268,75 N r2 &I = m & c = 215 kg/s 2,5 m/s = 537,5 N 3 3 Berechnung der Druckkräfte in den Rohrquerschnitten: r ∆Fp1 = p1 A1 – p2 A2 – (A1 – A2) pa = 5040,3 N r ∆Fp 2 = p2 A2 – p1 A2 = -40,3 N r ∆Fp 3 = p3 A3 – pa A3 = 4838,8 N BERECHNUNG DER KRÄFTE DER FLANSCHVERBINDUNGEN: Impulssatz: Austretender Impulsstrom - Eintretender Impulsstrom = Summe aller Kräfte r r r &I - &I = ∑ F Aus Ein Berechnung für die x1-Richtung: r r r r r &I - &I = - ∆Fp + ∆Fp - F 2 1 2 1 1 r r r r r F1 = - &I2 + &I1 - ∆Fp 2 + ∆Fp1 r F1 = - 268,75 N + 806,25 N - (-40,3 N) + 5040,3 N r F1 = 5618 N Berechnung für die x2-Richtung: r r r &I - 0 = - ∆Fp + F 3 3 3 Anhang A 78 r r r F3 = &I3 + ∆Fp 3 r F3 = 537,5 N + 4838,8 N = 5376 N Aufgabenteil c) Indizes: 1 – Rohrquerschnitt 1 2 – Rohrquerschnitt 2 3 – Rohrquerschnitt 3 V – Verlust Gegebene Werte: Druckverlustbeiwert ζ12 von 1 nach 2 = 0,3 Druckverlustbeiwert ζ13 von 1 nach 3 = 0,6 Gesuchte Werte: Erläuterung der häufig getroffenen Annahme der „verlustfreien Durchströmung einer Umlenkung“ Lösungsansatz: Bei einer Umlenkung einer Strömung kommt es durch Ablösegebiete, Wandreibung sowie Sekundärströmungen (Senkrecht zur normalen Strömungsrichtung) zu Druckverlusten. Da diese Phänomene aber schwer zu quantifizieren sind und beim durchströmen durch lange Rohrleitungen nur einen geringen Anteil zum gesamtdruckverlust beitragen, wird oft die „verlustfreie Durchströmung einer Umlenkung“ angenommen. 15. Aufgabe Aufgabenstellung: Ein horizontal angeordneter 60°-Krümmer konstanten Querschnitts (ζK = 1,2) wird von 300 kg/s Wasser (ρ = 1000 kg/m3) durchströmt. Die Krümmerquerschnitte sind A1 = A2 = 0,15 m2. Der Druck am Krümmereintritt beträgt p1 = 1,8 bar der Umgebungsdruck pU = 1 bar. a) Skizzieren Sie den Krümmer mit allen wichtigen Größen und das Strömungsbild, in dem insbesondere die Verluste bestimmenden Phänomene bildlich kenntlich gemacht und verbal erläutert sind. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten v1 und v2 sowie den Druck p2. c) Ermitteln Sie rechnerisch oder graphisch die (resultierenden) Flanschschraubenkräfte F1 und F2, mit denen der Krümmer an die angrenzenden Rohrleitungen fest verschraubt ist. Berechnen Sie die Impulsströme näherungsweise mit der mittleren Geschwindigkeit! Anhang A 79 d) Geben Sie die (realen) Bedingungen an, unter denen die Berechnung der Impulsströme mit der mittleren Geschwindigkeit gerechtfertigt ist. Aufgabenteil a) pa r &I 1 pa δ r ∆Fp1 r F1 x1 x2 r &I 2 r F2 r ∆Fp 2 Erläuterungen der Verlust-bestimmenden Phänomene stellvertretend an einem 90°-Krümmer: Anhang A 80 Durch die Umlenkung der Strömung kommt des zu Ablösegebieten im Krümmer und somit zu Druckverlusten. Ein weiterer Faktor, der zum Druckverlust beiträgt, ist, dass es zusätzlich zur HauptStrömungsrichtung durch die Umlenkung zu Querströmungen kommt. Aufgabenteil b) Indizes: K – Krümmer 1 – Krümmereintritt 2 – Krümmeraustritt V – Verlust Gegebene Werte: Winkel des Krümmers δ = 60° & = 300 kg/s Massenstrom m Dichte des Wassers ρ = 1000 kg/m3 Krümmerquerschnitte A1 = A2 = A = 0,15 m2 Druck am Krümmereintritt p1 = 1,8 bar Umgebungsdruck pU = 1 bar Druckverlustbeiwert des Krümmers ζK = 1,2 Gesuchte Werte: Die Geschwindigkeiten c1 und c2 sowie der Druck am Krümmeraustritt p2 Lösungsansatz: Berechnung der Geschwindigkeit c1: kg 300 & & m V s = = 2 m/s c= kg A ρ⋅A 2 1000 3 ⋅ 0,15 m m c2 = c1 = 2 m/s Berechnung des Druckes am Krümmeraustritt p2: Bernoulli-Gleichung (1 - 2): 2 2 c1 c2 p1 + ρ + ρ g z1 = p2 + ρ + ρ g z2 + ∆pV 1, 2 2 2 Annahmen: Krümmereintritt und Krümmeraustritt sind auf gleicher Höhe: z1 = z2 Geschwindigkeiten sind gleich c1 = c2 2 2 c c p1 + ρ 1 + ρ g z1 = p2 + ρ 2 + ρ g z2 + ∆pV 1, 2 |: (ρ g z1) 2 2 p2 = p1 - ∆pV 1, 2 2 |: (ρ c1 ) 2 Anhang A 81 Berechnung des Druckverlustes ∆pV 1, 2: c2 2 c2 ∆pV 1, 2 = ρ = ρ ζK ζ ∑ 2 1 2 Einsetzen: c2 p2 = p1 - ρ ζK 2 3 p2 = 180000 Pa – 1000 kg/m (2 m 2 ) s 1,2 = 177600 Pa 2 Aufgabenteil c) Indizes: K – Krümmer 1 – Krümmereintritt 2 – Krümmeraustritt V – Verlust a – Umgebungsdruck (Außen) Gegebene Werte: Druck p1 an der Stelle 1 = 1,8 bar Krümmerquerschnitte A1 = A2 = A = 0,15 m2 & = 300 kg/s Massenstrom m Aussendruck pa = 1 bar Aus Aufgabenteil b): Druck p2 an der Stelle 2 = 1,776 bar Strömungsgeschwindigkeit c = 2 m/s Gesuchte Werte: r r Die resultierenden Flanschschraubenkräfte F1 und F2 , mit denen der Krümmer an die angrenzenden Rohrleitungen fest verschraubt ist. Lösungsansatz: Berechnung der Impulsströme: r r &I = &I = m & c = 300 kg/s 2 m/s = 600 N 1 2 Berechnung der Druckkräfte in den Krümmerquerschnitten: r ∆Fp1 = A (p1 - pa) = 0,15 m2 (180000 Pa - 100000) = 12000 N r ∆Fp 2 = A (p2 - pa) = 0,15 m2 (177600 Pa - 100000) = 11640 N Anhang A 82 BERECHNUNG DER KRÄFTE DER FLANSCHVERBINDUNGEN: Impulssatz: Austretender Impulsstrom - Eintretender Impulsstrom = Summe aller Kräfte r r r &I - &I = ∑ F Aus Ein Berechnung für die x1-Richtung: r r r 0 - &I = ∆Fp - F 1 1 1 r r r F1 = ∆Fp1 + &I1 r F1 = 12000 N + 600 N = 12600 N Berechnung für die x2-Richtung: r r r &I - 0 = - ∆Fp + F 2 2 2 r r r F2 = &I2 + ∆Fp 2 r F2 = 600 N + 11640 N = 12240 N Aufgabenteil d) Indizes: m – Mittel max. – Maximal Gesuchte Werte: Die Bedingungen, unter denen die Berechnung der Impulsströme mit der mittleren Geschwindigkeit cm gerechtfertigt ist. Lösungsansatz: Die Verwendung der mittleren Geschwindigkeit cm: • Gilt exakt für reibungsfreie Strömungen • Gilt ungefähr für stark turbulente Strömungen c max. ≈ 1,1 – 1,3 cm • Gilt NICHT für laminare Strömungen c max. = 2 (!) cm 16. Aufgabe (s. Repetitorium, Kapitel „Impulssatz“) Anhang A 83 17. Aufgabe Aufgabenstellung: Durch einen horizontal angeordneten 90° Krümmer, der an sehr weiche Kupplungen angeschlossen ist, strömen verlustlos 400 kg/s Wasser (ρ = 103 kg/m3). Gegeben sind: Die Krümmerquerschnitte A1 = 0,1 m2, A2 = 0,2 m2, der Druck p1 = 1,375 bar und der Umgebungsdruck pA = 1 bar. a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit c1, den Druck p2 und die (von der Strömung) auf das Lager ausgeübte Kraft nach Größe und Richtung. b) Zeichnen Sie das Kräfte-Gleichgewichtsdiagramm für den Krümmer. c) Herrschen Zug- oder Druckspannungen im Stab? Aufgabenteil a) Indizes: 1 – Krümmereintritt 2 – Krümmeraustritt V – Verlust A – Umgebungsdruck L – Lager Gegebene Werte: Winkel des Krümmers δ = 90° Dichte des Wassers ρ = 1000 kg/m3 Querschnitt am Krümmereintritt A1 = 0,1 m2 Querschnitt am Krümmeraustritt A2 = 0,2 m2 Druck am Krümmereintritt p1 = 1,375 bar Umgebungsdruck pA = 1 bar & : 400 kg/s Massenstrom m Gesuchte Werte: Die Geschwindigkeiten c1 und c2, der Druck am Krümmeraustriit p2 sowie die von der Strömung r auf das Lager ausgeübte Kraft FL nach Größe und Richtung (Winkel α) Lösungsansatz: Berechnung der Geschwindigkeit c1: kg 400 & & V m s c1 = = = 4 m/s kg A1 ρ ⋅ A1 1000 3 ⋅ 0,1 m 2 m Anhang A 84 Berechnung von c2: A 0,1 m 2 c2 = c1 1 = 4 m/s = 2 m/s A2 0,2 m 2 Berechnung des Druckes am Krümmeraustritt p2: Bernoulli-Gleichung (1 - 2): 2 2 c1 c2 p1 + ρ + ρ g z1 = p2 + ρ + ρ g z2 + ∆pV 1, 2 2 2 Annahmen: Krümmereintritt und Krümmeraustritt sind auf gleicher Höhe: z1 = z2 Verlustfreie Strömung, ∆pV 1, 2 = 0 2 2 c1 c2 + ρ g z1 = p2 + ρ + ρ g z2 + ∆pV 1, 2 |: (ρ g z1) p1 + ρ 2 2 2 p1 + ρ 2 c1 c = p2 + ρ 2 2 2 2 p2 = p1 + ρ p2 = p1 + 2 c1 c -ρ 2 2 2 ρ 2 2 ⋅ (c1 − c 2 ) 2 kg m 3 ⋅ ((4 m ) 2 − (2 m ) 2 ) 2 s s 1000 p2 = 137500 Pa + p2 = 143500 Pa Berechnung der Impulsströme: r &I = m & c1 = 400 kg/s 4 m/s = 1600 N r1 &I = m & c2 = 400 kg/s 2 m/s = 800 N 2 Berechnung der Druckkräfte in den Rohrquerschnitten: r ∆Fp1 = p1 A1 – pA A1 = (137500 Pa – 100000 Pa) 0,1 m2 = 3750 N r ∆Fp 2 = p2 A2 – pA A2 = (143500 Pa – 100000 Pa) 0,2 m2 = 8700 N BERECHNUNG DER KRÄFTE DER FLANSCHVERBINDUNGEN: Impulssatz: Austretender Impulsstrom - Eintretender Impulsstrom = Summe aller Kräfte r r r &I - &I = ∑ F Aus Ein Anhang A 85 Berechnung für die y-Richtung: r r r 0 - &I = ∆Fp - F 1 1 1 r r r F1 = ∆Fp1 + &I1 r F1 = 3750 N + 1600 N r F1 = 5350 N Berechnung für die x-Richtung: r r r &I - 0 = - ∆Fp + F 2 2 2 r r r F2 = &I2 + ∆Fp 2 r F2 = 800 N + 8700 N r F2 = 9500 N r F2 r F1 α r FL r Berechnung der resultierenden Kraft auf das Lager FL : Da es sich um einen 90° Krümmer handelt, stehen die beiden Kräfte der Flanschverbindungen r r r F1 und F2 senkrecht aufeinander. So ergibt sich für die resultierende Kraft FL folgende Beziehung: r 2 r2 r 2 FL = F1 + F2 r FL = (5350 N) 2 + (9500 N) 2 r FL = 10,9 kN Anhang A 86 Berechnung des Winkels α: r F1 5350 N cos α = r = 10,9 kN FL α = 60,6° Aufgabenteil b) pA y x A2 pA r F2 r &I 2 r ∆Fp 2 δ r F1 A1 r &I 1 r ∆Fp1 Aufgabenteil c) b) a) Ob Druckspannungen (a) oder Zugspannungen (b) in der Stütze auftreten, hängt davon ab, auf welcher Seite die Stütze angebracht wird. Anhang A 87 18. Aufgabe Aufgabenstellung: In einem ebenen horizontalen Gerinne tritt ein Wasserschwall auf, d. h. der Wasserspiegel wird sprungartig von h1 = 8 cm auf h2 = 16 cm angehoben und dabei die Geschwindigkeit von c1 auf c2 verringert. Bestimmen Sie die jeweils über die Höhe als konstant angenommenen Geschwindigkeiten c1 und c2, wenn Sie annehmen, dass die „Verluste“ ausschließlich aus der Schwallbildung herrühren, die Strömung folglich im betrachteten Raum reibungsfrei ist. c2 c1 h1 Indizes: 1 – Vor auftreten des Wasserschwalls 2 – Nach auftreten des Wasserschwalls Gegebene Werte: Höhe des Gerinnes vor auftreten des Schwalls h1: 8 cm Höhe des Gerinnes nach auftreten des Schwalls h2: 16 cm Breite des Wasserschwalls ist b Gesuchte Werte: Die Strömungsgeschwindigkeiten c1 und c2 Lösungsansatz: Impulssatz für den Wasserschwall: Austretender Impulsstrom - Eintretender Impulsstrom = Summe aller Kräfte r r r &I - &I = ∑ F Aus Ein & 2 c2 - m & 1 c1 = (p0 + ρ g m h1 h ) A1 + p0 (A2 – A1) - (p0 + ρ g 2 ) A2 2 2 Es gilt: & =Acρ m Einsetzen: A2 c2 ρ c2 – A1 c1 ρ c1 = (p0 + ρ g h1 h ) A1 + p0 (A2 – A1) - (p0 + ρ g 2 ) A2 2 2 h2 Anhang A 88 Außerdem ist: A2 = 2 A1 Einsetzen: 2 A1 c2 ρ c2 – A1 c1 ρ c1 = (p0 + ρ g 2 A1 c2 ρ c2 – A1 c1 ρ c1 = ρ g h1 h ) A1 + p0 (2 A1 – A1) - (p0 + ρ g 2 ) 2 A1 2 2 h1 h A1 - ρ g 2 2 A1 2 2 Zudem gilt die Kontinuitätsgleichung: A2 c2 = A1 c1 c2 = A1 c1 A2 c2 = und h2 = h1 2 Einsetzen: A1 A1 h 2 A1 c1 ρ c1 – A1 c1 ρ c1 = ρ g 1 A1 - ρ g h1 2 A1 2 A1 2 A1 2 (2 h 1 1 c1 c1 – c1 c1) ρ A1 = ρ A1 (g 1 - g h1 2) 2 2 2 ( h 1 c1 c1 – c1 c1) = g 1 - g h1 2 2 2 - 1 2 3 c1 = - g h1 2 2 c1 = 3 g h1 Berechnung von c2: A 1 c2 = 1 c1 = c1 A2 2 |: ρ |: A1 A1 c1 2 A1

St-repetitorium Fertig4.1.3 Web

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