Stabilität Von Bose-einstein-kondensaten Im Susy

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Stabilit¨ at von Bose-Einstein-Kondensaten im SuSy-Partner des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials Bachelorarbeit von Jacques Philippe Schraft 11. September 2015 Pr¨ufer: Priv.-Doz. Dr. Holger Cartarius 1. Institut f¨ur Theoretische Physik Universit¨at Stuttgart Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Motivation und Einf¨ uhrung in das Thema . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 PT -Symmetrie 3 2.1 PT -Operator und seine Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Eigenzust¨ande und Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3.1 Lineare PT -symmetrische Systeme mit nicht-entarteten Eigenwerten 5 2.3.2 Nichtlineare PT -symmetrische Systeme mit nicht-entarteten Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Bose-Einstein-Kondensate 3.1 Herleitung der Gross-Pitaevskii-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Herleitung der Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . 3.3 Eigenschaften der Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen . . . . . . . . . . . 9 9 12 13 4 Supersymmetrie 4.1 Lineare Bose-Fermi-Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Besetzungszahldarstellung und Erzeuger- und Vernichteroperatoren 4.1.2 SuSy-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Nichtlineare Bose-Fermi-Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Nichtlinearer SuSy-Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Kanonische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Das Superpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Supersymmetrische Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Eigenwerte und Eigenzust¨ande der SuSy-Partner . . . . . . . . . . 4.3.2 Konstruktion des Superpotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 15 17 19 19 20 21 22 23 24 5 PT -symmetrisches Doppel-Delta-Potential 5.1 Analytische L¨osung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials 5.2 Numerische L¨osung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials 5.2.1 Station¨are L¨osungen ohne Nichtlinearit¨at . . . . . . . . . . . 5.2.2 Station¨are L¨osungen mit Nichtlinearit¨at . . . . . . . . . . . 25 25 27 28 30 . . . . . . . . . . . . iii Inhaltsverzeichnis 6 Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials 6.1 Das Superpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Station¨are L¨osungen ohne Nichtlinearit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Numerische Behandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Energien und Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 39 39 39 7 Verschiedene Ans¨ atze zur Behandlung der Nichtlinearit¨ at im SuSy-Formalismus 7.1 Analytischer Ansatz f¨ ur das Superpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Vergleich der Energieeigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Diskussion der Qualit¨at des Ansatzes . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Ansatz f¨ ur das Superpotential u ¨ber eine Differentialgleichung . . . . . . . 7.3 Diskussion der Stabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Weiterer Aspekt der Stabilit¨atsuntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . 47 47 48 50 51 54 57 8 Zusammenfassung und Ausblick 59 Literaturverzeichnis 61 Danksagung 63 iv 1 Einleitung 1.1 Motivation und Einfu ¨hrung in das Thema Um kleinste Teilchen wie Elementarteilchen beschreiben zu k¨onnen, reicht die klassische Physik nicht mehr aus. F¨ ur die physikalische Beschreibung dieser Teilchen ben¨otigt man die Quantenmechanik. In diesem Formalismus ersetzt man Variablen durch Operatoren. Durch solche Ersetzungsregeln gelangt man von der klassischen Hamiltonfunktion zur Schr¨odingergleichung. Des Weiteren erf¨ ullen diese Operatoren Eigenwertgleichungen. Durch L¨osen dieser Gleichungen erh¨alt man die Eigenwerte, die m¨ogliche Messwerte eines Quantensystems darstellen. Da diese Messwerte in unserer realen Welt auftreten, ist eine wichtige Forderung die nach reellen Eigenwerten. Dies wird durch die Forderung nach hermetischen Operatoren erreicht. Jedoch ist dies nur ein Spezialfall eines allgemeineren Sachverhalts. So wurde in [1] gezeigt, dass auch nichthermitesche Operatoren ein rein reelles Eigenwertspektrum besitzen k¨onnen, wenn sie PT -symmetrisch sind. Ein einfaches System, das einen nichthermiteschen Hamiltonoperator besitzt, ist das PT symmetrische Doppel-Delta-Potential [2]. Dieses stark vereinfachte System besitzt zwei attraktive Delta-Funktionen, die komplex konjugierte Imagin¨arteile beinhalten. Durch diese Imagin¨arteile kann zum Beispiel eine Aus- beziehungsweise Einkopplung von Teilchen aus dem respektive in das System beschrieben werden [3]. Jedoch ist durch die Imagin¨arteile die Hermitizit¨at nicht mehr gegeben, aber der Hamiltonoperator ist PT symmetrisch. Nat¨ urlich k¨onnen die Hamiltonoperatoren beliebig durch verschiedene Terme erweitert werden. Zum Beispiel durch eine Nichtlinearit¨at, wie sie in der Gross-Pitaevskii-Gleichung vorkommt [4]. Mit dieser Gleichung werden Bose-Einstein-Kondensate beschrieben. Ein Bose-Einstein-Kondensat besteht aus Bosonen, Elementarteilchen mit ganzzahligem Spin, die alle bei niedrigen Temperaturen in den gleichen Grundzustand u ¨bergehen. Eine andere Klasse von Elementarteilchen bilden die Fermionen mit halbzahligem Spin. Im Gegensatz zu den Bosonen kann jeder Zustand nur von einem Fermion besetzt werden. Diese, auf den ersten Blick sehr unterschiedliche Teilchen, werden durch die Supersymmetrie miteinander verbunden. Durch die Supersymmetrie wird jedem Teilchen ein 1 1 Einleitung Partnerteilchen zugeordnet, den Bosonen ein Fermion und umgekehrt [5–7]. Des weiteren besitzen die beiden supersymmetrischen Partnersysteme das gleiche Energiespektrum, mit Ausnahme des Grundzustands, der nur in einem System vorkommt [8–10]. Diese Eigenschaft kann mathematisch ausgenutzt werden, um aus einem Potential instabile oder unerw¨ unschte Zust¨ande zu entfernen und so ein Partnerpotential mit den gew¨ unschten Zust¨anden zu konstruieren [11, 12]. Die Stabilit¨at eines Zustandes l¨asst sich dabei mit den Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen bestimmen. Ziel dieser Bachelorarbeit ist, das PT -symmetrische Doppel-Delta-Potential numerisch zu l¨osen und dann die Supersymmetrie auf dieses Doppel-Delta-Potential anzuwenden [13]. Dabei sollen verschiedene Ans¨atze auf ihre Qualit¨at untersucht werden, vor allem mit Hinblick auf Nichtlinearit¨aten im Grundsystem und im Partnersystem. Des Weiteren soll die Stabilit¨at des Partnersystems untersucht werden und M¨oglichkeiten, die Stabilit¨atsuntersuchung mithilfe der Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen durchzuf¨ uhren, vorgestellt werden. 1.2 Aufbau der Arbeit Zu Beginn der Bachelorarbeit werden die wichtigsten Grundbegriffe und Eigenschaften der PT -Symmetrie in Kapitel 2 eingef¨ uhrt, da diese eine bemerkbare Auswirkung auf das Grundsystem und das Partnersystem haben wird. In Kapitel 3 wird die mathematische Behandlung von Bose-Einstein-Kondensaten im Rahmen der Gross-PitaevskiiGleichung eingef¨ uhrt. Zus¨atzlich werden auch die Booliubov-de Gennes-Gleichungen behandelt, mit denen die Stabilit¨at eines solchen Bose-Einstein-Kondensats untersucht werden kann. Danach wird in Kapitel 4 die Supersymmetrie vorgestellt. Ein zentraler Begriff hierbei ist das Superpotential, das auf verschiedene Weise aus dem Grundsystem konstruiert werden kann und es erlaubt, ein Partnerpotential f¨ ur das supersymmetrische Partnersystem zu finden. In Kapitel 5 wird das PT -symmetrische Doppel-DeltaPotential zuerst im linearen Fall analytisch gel¨ost und daraufhin numerisch mit Nichtlinearit¨at. Aufbauend darauf wird im n¨achsten Kapitel, Kapitel 6, ein Superpotential aus dem linearen PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potential hergeleitet und das supersymmetrische Partnersystem wird unter diesem Ansatz im linearen Fall numerisch gel¨ost. In Kapitel 7 werden dann verschiedene Ans¨atze diskutiert, die Nichtlinearit¨at in beiden Systemen mit einzubeziehen und ein zweiter Ansatz f¨ ur das Superpotential wird vorgestellt und untersucht. Abschließend wird die Stabilit¨at abgesch¨atzt und die numerische Behandlung der Booliubov-de Gennes-Gleichungen erl¨autert. 2 2 PT -Symmetrie In dieser Arbeit wird die supersymmetrische Erweiterung eines PT -symmetrischen Systems untersucht. Deshalb wird in diesem Kapitel der PT -Operator eingef¨ uhrt und einige grundlegende Eigenschaften der PT -Symmetrie werden diskutiert. Die Darstellungen folgen teilweise denen aus [13–16]. 2.1 PT -Operator und seine Wirkung Die einzelnen Operatoren, der Parit¨atsoperator P und Zeitumkehroperator T , sind definiert durch ihre Wirkung auf den Ortsoperator xˆ und Impulsoperator pˆ. F¨ ur den POperator gilt xˆ → −ˆ x, pˆ → −ˆ p (2.1) pˆ → −ˆ p. (2.2) und f¨ ur den T -Operator xˆ → xˆ, Der T -Operator dreht zus¨atzlich das Vorzeichen der imagin¨aren Einheit i: i → −i . (2.3) Daraus folgt f¨ ur den PT -Operator: xˆ → −ˆ x, pˆ → pˆ, i → −i . (2.4) 2.2 Eigenzust¨ ande und Eigenwerte Aus der Wirkung des PT -Operators ist die Eigenschaft ableitbar, dass zweimaliges Anwenden auf einen Eigenzustand wieder diesen liefert. Dies wird ausgenutzt um die Eigenzust¨ande und Eigenwerte zu untersuchen. Sei |Ψi ein quantenmechanischer Eigenzustand 3 2 PT -Symmetrie zum PT -Operator mit dem Eigenwert λ, dann gilt PT PT |Ψi = PT λ |Ψi = λ∗ PT |Ψi 2 (2.5) ! = |λ| |Ψi = |Ψi . Demnach gilt |λ|2 = 1 und man erh¨alt f¨ ur die Eigenwerte λ = eiΦ . (2.6) Die Eigenwerte des PT -Operators sind also komplexe Zahlen mit Betrag eins und Phase Φ. Wie an der Wirkung des PT -Operators in (2.4) ersichtlich ist und wie es in der Herleitung zu den Eigenwerten in (2.5) benutzt wird, ist der PT -Operator antilinear. Das heißt aber auch, dass die Eigenwerte abh¨angig von einem m¨oglichen Vorfaktor der Eigenzust¨ande sind. Ein m¨oglicher Vorfaktor ist eine globale Phase eiϕ , unter der die Schr¨odingergleichung invariant ist. PT eiϕ |Ψi = e−iϕ PT |Ψi = e−iϕ eiΦ |Ψi = e−iϕ eiΦ e−iϕ eiϕ |Ψi ˜ ˜ = eΦ |Ψi (2.7) Jeder Eigenzustand |Ψi mit Eigenwert eiΦ ist mit einem Vorfaktor der Form eiϕ wie˜ = eiϕ |Ψi zum PT -Operator mit der Phase des Eigenwerts der ein Eigenzustand |Ψi ˜ = Φ − 2ϕ. Durch die freie Wahl der globalen Phase kann der Eigenwert folglich imΦ mer auf eins gesetzt werden. Dadurch sind die Zust¨ande invariant unter Anwendung des PT -Operators. Diese Zust¨ande werden auch exakt PT -symmetrisch genannt. Dies wird sp¨ater in dieser Arbeit ausgenutzt, indem ImΨ (0) = 0 gesetzt wird. Dadurch sind PT -symmetrischen Eigenzust¨ande symmetrisch unter Raumspiegelung und komplexer Konjugation und in der Ortsdarstellung erf¨ ullen sie Ψ(x) = Ψ∗ (−x) . (2.8) 2.3 Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme ˆ beschrieben. Ein Ein quantenmechanisches System wird durch den Hamiltonoperator H System heißt PT -symmetrisch, wenn Hamiltonoperator und der PT -Operator kommu- 4 2.3 Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme ˆ = pˆ2 /2m + V (ˆ tieren. F¨ ur H x) gilt folglich: h i ˆ PT =! 0 , H, ˆ =H ˆ, PT H pˆ2 ˆ, + PT V (ˆ x) = H 2m → V ∗ (−ˆ x) = V (ˆ x) . (2.9) Ein quantenmechanisches System ist also genau dann PT -symmetrisch, wenn der Realteil des Potentials symmetrisch im Ort ist und der Imagin¨arteil antisymmetrisch. Die Eigenwerte eines Operators entsprechen m¨oglichen Messwerten der jeweiligen Observablen. Diese Messwerte sind in der Realit¨at rein reell. Im Allgemeinen haben nichthermitesche Systeme jedoch komplexe Eigenwerte, deren physikalische Interpretation nicht weiter ausgef¨ uhrt werden soll. Im folgenden wird gezeigt, dass auch solche nichthermiteschen Systeme reelle Eigenwerte besitzen k¨onnen, wenn sie PT -symmetrisch sind. 2.3.1 Lineare PT -symmetrische Systeme mit nicht-entarteten Eigenwerten ˆ nicht-entarteten Eigenwerten Ein PT -symmetrisches System mit Hamiltonoperator H, µ und Eigenzust¨anden |Ψi, das die Eigenwertgleichung ˆ |Ψi = µ |Ψi H (2.10) erf¨ ullt, wird untersucht. Anwenden des PT -Operators auf (2.10) ergibt: ˆ HPT |Ψi = µ∗ PT |Ψi . (2.11) Daraus l¨asst sich ableiten, dass wenn µ Eigenwert zum Zustand |Ψi ist, dann ist µ∗ Eigenwert zum Zustand PT |Ψi. F¨ ur einen reellen Eigenwert µ muss der Zustand PT |Ψi kollinear zum Zustand |Ψi sein. Wird ein PT -symmetrischer Zustand des Hamiltonoperators mit Eigenwert λ zum PT Operator betrachtet, ˆ ˆ |Ψi HPT |Ψi = Hλ = µλ |Ψi = µPT |Ψi (2.12) (2.11) = µ∗ PT |Ψi , 5 2 PT -Symmetrie so erkennt man, dass Eigenwerte zu PT -symmetrischen Eigenzust¨anden des Hamiltonoperators reell sind. Auch die Umkehrung gilt und l¨asst sich einfach beweisen. 2.3.2 Nichtlineare PT -symmetrische Systeme mit nicht-entarteten Eigenwerten In dieser Arbeit werden Bose-Einstein-Kondensate untersucht. F¨ ur die mathematische, quantenmechanische Beschreibung dieser Teilchen wird eine kurzreichweitige Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen angenommen, was in einem nichtlinearen Term der Form g |Ψ|2 resultiert. Der Hamiltonoperator wird zweckm¨aßig in einen linearen und nichtlinearen Anteil aufgespalten, ˆ =H ˆ lin + H ˆ nonlin . H (2.13) ˆ nonlin = f (Ψ). Um Dabei ist der nichtlineare Anteil eine Funktion der Wellenfunktion, H Aussagen des linearen Falls auf den nichtlinearen Fall u ¨bertragen zu k¨onnen, wird zuerst gefordert, dass der neue Hamitonoperator und der PT -Operator kommutieren. h i h i h i ˆ ˆ ˆ H, PT |Ψi = Hlin , PT |Ψi + Hnonlin , PT |Ψi ˆ nonlin PT |Ψi − PT H ˆ nonlin |Ψi =H = f (PT Ψ) PT |Ψi − PT f (Ψ) |Ψi (2.14) ! = 0. Unter der Annahme, dass der lineare Hamiltonoperator PT -symmetrisch ist, ergibt sich die Forderung f (PT Ψ) PT |Ψi = PT f (Ψ) |Ψi an den nichtlinearen Teil. Mit dieser Eigenschaft ist wieder (2.11) ˆ HPT |Ψi = µ∗ PT |Ψi (2.15) erf¨ ullt. Es gilt also wieder, wenn |Ψi mit Eigenwert µ ein Eigenzustand zum Hamiltonoperator ist, dann ist PT |Ψi auch ein Eigenzustand mit Eigenwert µ∗ . Im Fall nichtentarteter Eigenwerte sind PT |Ψi und |Ψi wieder kollinear, wenn µ reell ist. Ist nun Ψ Eigenzustand zum PT -Operator, l¨asst sich (2.15) weiter umformen auf ˆ iΦ |Ψi = µ∗ eiΦ |Ψi He 6 (2.16) 2.3 Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme und aufgrund der Invarianz unter einer globalen Phase, die gerade ϕ = −Φ gew¨ahlt wird, ergibt sich ˆ |Ψi = µ∗ |Ψi , H µ |Ψi = µ∗ |Ψi , (2.17) wenn man fordert, dass die Nichtlinearit¨at unabh¨angig von einer Phase des Eigenzustandes ist. Zusammenfassend k¨onnen einige der Eigenschaften linearer PT -symmetrischer Systeme ¨ auf nichtlineare Ubetragen werden. Ein PT -symmetrischer Eigenzustand zum nichtlinearen Hamiltonoperator hat also stets reelle Eigenwerte, wenn der nichtlineare Anteil die Bedingungen f (PT Ψ) = PT f (Ψ) (2.18)
f eiΦ Ψ = f (Ψ) (2.19) und erf¨ ullt. Diese Bedingungen erf¨ ullt der sp¨ater eingef¨ uhrte Term g |Ψ|2 . 7 3 Bose-Einstein-Kondensate Bosonen sind quantale Teilchen mit ganzzahligem Spin. Anders als Fermionen mit halbzahligem Spin unterliegen sie nicht dem Pauli-Verbot. Mehrere Teilchen k¨onnen folglich den gleichen Energiezustand besetzen. In der Quantenstatistik wird dies durch die BoseEinstein-Verteilungsfunktion [17] 1 hn (E)i = exp  E−µ kB T  (3.1) −1 beschrieben. Dabei beschreibt µ das chemische Potential und f¨ ur Bosonen gilt stets E > µ. Untersucht man diese Verteilung f¨ ur Temperaturen T → 0, so besetzen beim absoluten Nullpunkt alle Teilchen das niedrigste Energieniveau. Jedoch f¨angt diese Besiedelung des Grundzustandes bereits bei einer kritischen Temperatur nahe des absoluten Nullpunktes an und die Teilchen k¨onnen durch eine gemeinsame makroskopische Wellenfunktion beschrieben werden. Dies wird in diesem Kapitel dargestellt und ausgenutzt um die Gross-Pitaevskii-Gleichung herzuleiten. Des weiteren beruhen die nachfolgenden Darstellungen teilweise auf denen aus [4, 18]. 3.1 Herleitung der Gross-Pitaevskii-Gleichung Die Dynamik eines Bose-Einstein-Kondensates, also eines Vielteilchensystems mit N Teilchen, wird durch die Vielteilchen-Schr¨odingergleichung beschrieben. Der VielteilchenHamiltonoperator lautet ˆ = H N  2 X p i=1  N N 1 XX + Vext (ri ) + V (|ri − rj |) . 2m 2 i=1 j6=i i (3.2) Dabei ist ri der Aufenthaltsort des i-ten Teilchens, Vext ein externes Potential, mit welchem die Teilchen zum Beispiel gefangen werden, und V einem Potential das die Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen im Vielteilchensystem beschreibt. Wechselwirkungen zwischen mehr als zwei Teilchen k¨onnen in einem verd¨ unntem Gas aufgrund des sehr 9 3 Bose-Einstein-Kondensate viel gr¨oßeren Atomabstands im Vergleich zur Wechselwirkungsreichweite vernachl¨assigt werden. Wie schon erw¨ahnt, befinden sich f¨ ur T → 0 alle Teilchen im Grundzustand und man kann im Rahmen der Mean-Field-N¨aherung f¨ ur die Wellenfunktion des Kondensats als Ansatz ein Tensorprodukt der identischen Einteilchenwellenfunktionen Φi w¨ahlen: |Ψi = |Φ1 i ⊗ |Φ2 i ⊗ · · · ⊗ |ΦN i . (3.3) Des Weiteren wird die thermodynamische freie Energie F = E − µN minimiert, um im Gleichgewichtszustand den richtigen Grundzustand zu finden. Dabei entspricht µ dem chemischen Potential und die Energie folgt aus dem Erwartungswert des Hamiltonoperators. Folglich muss der Term ˆ F = hΨ|H|Ψi − µ hΨ|Ψi minimiert werden. F¨ ur den Term der kinetischen Energie ergibt sich + * N Z N X p2 X ~2 i ∇i Φ∗i (ri ) ∇i Φi (ri ) dri Ψ Ψ = 2m 2m i=1 i=1 Z ~2 =N |∇Φ (r)|2 dr 2m Z ~2 Φ∗ (r) ∇2 Φ (r) dr , = −N 2m (3.4) (3.5) wobei im ersten Schritt der Impulsoperator einmal nach links und einmal nach rechts angewendet wird. Im zweiten Schritt wird eingesetzt, dass die Einteilchenwellenfunktionen identisch sind und im letzten Schritt wird der Satz von Green verwendet. Der Term f¨ ur das externe Potential lautet + * N Z X Ψ Vext (ri ) Ψ = N Φ∗ (r) Vext (r) Φ (r) dr . (3.6) i=1 Der Wechselwirkungsterm ergibt + * N N 1 X X Ψ V (|ri − rj |) Ψ = 2 i=1 j6=i N N 1 XX = 2 i=1 j6=i Z Z N (N − 1) = 2 10 Z Z Φ∗i (ri ) Φ∗j (rj ) V (|ri − rj |) Φi (ri ) Φj (rj ) dri drj Φ∗ (r) Φ∗ (˜ r) V (|r − ˜ r|) Φ (r) Φ (˜ r) drd˜ r (3.7) 3.1 Herleitung der Gross-Pitaevskii-Gleichung und der Term f¨ ur das chemische Potential lautet Z N ∗ µ hΨ|Ψi = µ Φ (r) Φ (r) dr . (3.8) Im n¨achsten Schritt wird das Minimum bestimmt. Daf¨ ur werden Φ∗ und Φ als unabh¨angige Variablen betrachtet und die freie Energie wird nach Φ∗ variiert, um einen Ausdruck f¨ ur Φ zu erhalten. Z  ˆ ~2 2 δ hΨ|H|Ψi − µ hΨ|Ψi δF − ∇ Φ (r) + Vext (r) Φ (r) = = N δΦ∗ δΦ∗ 2m (3.9)  Z ! ∗ ∗ +(N − 1) Φ (˜ r) V (|r − ˜ r|) Φ (r) Φ (˜ r) d˜ r − µΦ (r) δΦ (r) dr = 0 Da dies f¨ ur jede Variation gelten soll, muss der Term in der eckigen Klammer verschwinden. Außerdem darf angenommen werden, dass die Teilchenzahl sehr groß ist, also N  1. Dies liefert die zeitunabh¨angige Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE von GrossPitaevskii equation) mit allgemeiner Zweiteilchenwechselwirkung:   Z ~2 2 2 ∇ + Vext (r) + N V (|r − ˜ r|) |Φ (˜ r)| d˜ r Φ (r) = µΦ (r) . (3.10) − 2m Als Zweiteilchenwechselwirkung wird eine stark lokalisierte interatomare Wechselwirkung angenommen. Man kann diese Wechselwirkung durch ein Pseudopotential 4π~2 aδ (r − ˜ r) (3.11) m ann¨ahern. Dabei ist a die s-Wellen-Streul¨ange. F¨ ur a > 0 ist die Wechselwirkung repulsiv und f¨ ur a < 0 ist sie attraktiv. Damit lautet die GPE f¨ ur eine kurzreichweitige Wechselwirkung   ~2 2 2 − ∇ + Vext (r) + g |Φ (r)| Φ (r) = µΦ (r) (3.12) 2m V (|r − ˜ r|) = 2 aN . F¨ ur das weitere Vorgehen wird die GPE in dimensionslosen Gr¨oßen mit g = 4π~ m ben¨otigt. Daf¨ ur wird eine dimensionslose Ortskoordinate ˜ r = r/l mit einer charakteristischen L¨ange l eingef¨ uhrt. Dabei transformiert auch die Ableitung nach der Ortskoordinate:   ~2 ˜ 2 2 − ∇ + Vext (˜ r) + g |Φ (˜ r)| Φ (˜ r) = µΦ (˜ r) . (3.13) 2ml2 2 Es wird mit dem Faktor 2ml multipliziert und es werden die neuen Gr¨oßen V˜ext (˜ r) = ~2 2 2 2ml 2ml 2ml2 Vext (˜ r), g˜ = ~2 g und µ ˜ = ~2 µ eingef¨ uhrt. Man erh¨alt ~2   ˜ 2 + V˜ext (˜ −∇ r) + g˜ |Φ (˜ r)|2 Φ (˜ r) = µ ˜Φ (˜ r) . (3.14) 11 3 Bose-Einstein-Kondensate Man kann die vereinfachte Form der GPE auch in der zeitabh¨angigen Form 


2  ∂ ˜ 2 + V˜ext (˜ r, t˜ = i Φ ˜ r, t˜ −∇ r) + g˜ Φ ˜ r, t˜ Φ ˜ ∂ t˜ mit einer skalierten Zeitskala t˜ = ~ t 2ml2 (3.15) schreiben. 3.2 Herleitung der Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen Die Bogoliubov - de Gennes-Gleichungen (BdGE von Bogoliubov - de Gennes equations) dienen zur Untersuchung der Stabilit¨at von quantenmechanischen Systemen mit nichtlinearem Anteil der Form wie in der GPE. Um die Dynamik von kleinen St¨orungen um eine station¨are L¨osung Ψ0 zu untersuchen, wird als Gesamtwellenfunktion ein Ansatz Ψ (r, t) = e−iµt (Ψ0 (r) + λΘ (r, t)) (3.16) gew¨ahlt, der zus¨atzlich zur station¨aren L¨osung Ψ0 noch einen St¨orterm Θ enth¨alt mit |λ|  1. Der St¨orterm soll dabei folgende Form besitzen ∗ Θ (r, t) = u (r) e−iωt + v ∗ (r) eiω t , (3.17) an welcher erkennbar ist, dass, wenn der Eigenwert ω einen nicht verschwindenden Imagin¨arteil enth¨alt, der St¨orterm Θ exponentiell anw¨achst und damit auch die Gesamtwellenfunktion Ψ. In diesem Fall ist das System nicht stabil. Als n¨achstes wird der Ansatz (3.16) in die GPE (3.15) eingesetzt  2  −∇2 + Vext (r) + g e−iµt (Ψ0 (r) + λΘ (r, t)) e−iµt (Ψ0 (r) + λΘ (r, t)) (3.18)  ∂  −iµt e (Ψ0 (r) + λΘ (r, t)) . =i ∂t Die Terme der nullten Ordnung, λ0 , ergeben wieder die urspr¨ ungliche Gleichung in (3.15). F¨ ur die erste Ordnung ergibt sich:
e−iµt −∇2 + Vext (r) + 2g |Ψ0 (r)|2 Θ (r, t) + ge−iµt Ψ20 (r) Θ∗ (r, t) (3.19)   ∂  −iµt ∗  e Θ (r, t) = e−iµt (µ + ω)u (r) e−iωt + (µ − ω ∗ )v ∗ (r) eiω t . =i ∂t Terme mit Ordnung O(λ2 ) werden vernachl¨assigt, da nur kleine St¨orungen λ  1 un∗ tersucht werden. Sortieren nach e−iωt und eiω t ergibt dann die BdGE:
−∇2 + Vext (r) − µ + 2g |Ψ0 (r)|2 u (r) + gΨ0 (r)2 v (r) = ωu (r) , (3.20a)
2 2 ∗ −∇2 + Vext (r) − µ∗ + 2g |Ψ0 (r)| v (r) + gΨ∗0 (r) u (r) = −ωv (r) . (3.20b) 12 3.3 Eigenschaften der Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen Die BdGE sind also zwei gekoppelte Differentialgleichungen, die als Eigenwertproblem mit Eigenwert ±ω aufgefasst werden k¨onnen. Wie zuvor beschrieben, charakterisiert der Eigenwert ω die Stabilit¨at der station¨aren L¨osung Ψ0 der GPE. Bei verschwindendem Imagin¨arteil oszilliert das System um die station¨are L¨osung, das BEC ist stabil, und bei Im(ω) 6= 0 entfernt sich das System exponentiell vom station¨aren Zustand, das BEC ist demnach instabil. 3.3 Eigenschaften der Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen An Gleichung (3.19) ist zu erkennen, dass die Phase von Θ nicht frei w¨ahlbar ist, sondern mit der von Ψ0 verkn¨ upft ist. So zeigt sich beim Einsetzen einer mit einer globalen Phase ˜ 0 = eiϕ Ψ0 , dass f¨ versehene station¨are L¨osung Ψ ur den Summanden ˜ 20 (r) Θ∗ (r, t) = e2iϕ Ψ20 (r) Θ∗ (r, t) Ψ ˜ ∗ (r, t) = Ψ2 (r) Θ (3.21) 0 ˜ (r, t) = e−2iϕ Θ (r, t), wenn man erreichen will, dass die Bogoliubov - de gilt, mit Θ Gennes-Gleichungen (3.20) unter dieser Transformation invariant bleiben. Durch die Wahl der Phase einer Wellenfunktion ist folglich die Phase der anderen mitbestimmt. Jedoch ist an den Gleichungen (3.20a) und (3.20b) ersichtlich, dass aufgrund der Linearit¨at in u (r) und v (r) die Gleichungen invariant unter einer gemeinsamen Transformation von u (r) und v (r) sind: u˜ (r) = eiξ u (r) , iξ v˜ (r) = e v (r) . (3.22a) (3.22b) Diese Eigenschaft wird sp¨ater benutzt, indem Im v (0) = 0 gesetzt wird. 13 4 Supersymmetrie Die Supersymmetrie, kurz SuSy, verbindet die Welt der Bosonen mir der der Fermionen. Sie u uhrt bosonische in fermionische Zust¨ande, wobei der Hamiltonoperator invari¨berf¨ ant bleibt. Das so entstehende Energiespektrum ist entartet, bis auf den Grundzustand. In der Quantenfeldtheorie wird sie auch verwendet, um elegant Divergenzen zu beseitigen oder abzuschw¨achen. In dieser Arbeit wird der Supersymmetrie-Formalismus auf einen nichtlinearen Hamiltonoperator mit zwei Zust¨anden angewendet und der supersymmetrische Partnerzustand auf seine Stabilit¨at untersucht, um m¨oglicherweise nicht stabile Zust¨ande entfernen zu k¨onnen. Zu diesem Zwecke werden in diesem Kapitel zuerst grundlegende Eigenschaften der linearen Bose-Fermi-Supersymmetrie erl¨autert und danach die der nichtlinearen. Die nachfolgenden Darstellungen folgen teilweise denen aus [19]. 4.1 Lineare Bose-Fermi-Supersymmetrie Ein supersymmetrischer Operator Q soll bosonische Zust¨ande in fermionische transformieren und umgekehrt. Er muss also die Eigenschaften Q |Bosoni ∝ |Fermioni , Q |Fermioni ∝ |Bosoni (4.1) besitzen. 4.1.1 Besetzungszahldarstellung und Erzeuger- und Vernichteroperatoren F¨ ur das weitere Vorgehen werden die Zust¨ande in der Besetzungszahldarstellung |nb i und |nf i eingef¨ uhrt. Zu dieser Darstellung geh¨oren Erzeuger- und Vernichteroperatoren, die f¨ ur die bosonischen Zust¨ande durch b+ und b− dargestellt werden und f¨ ur die + − fermionischen durch f und f . 15 4 Supersymmetrie Bosonen Die Operatoren b± sind definiert durch ihre Wirkung auf die bosonischen Zust¨ande: √ b+ |nb i = nb + 1 |nb + 1i , (4.2a) √ − b |nb i = nb |nb − 1i . (4.2b) † Als n¨achstes wird gezeigt, dass die beiden Operatoren adjungiert (b± ) = b∓ zueinander sind. Dazu wird folgendes Matrixelement untersucht: √ √ (4.3) hnb |b− |nb + 1i = hnb | nb + 1|nb i = nb + 1 . Adjungieren der gesamten Gleichung
†
† ! √ hnb |b− |nb + 1i = hnb + 1| b− |nb i = nb + 1 (4.4) f¨ uhrt auf b−
† ! |nb i = √ nb + 1 |nb + 1i . (4.5) † Der Vergleich mit (4.2) liefert (b− ) = b+ und umgekehrt. Eine weitere Eigenschaft f¨ ur b− folgt aus der physikalischen Forderung, dass kein Boson aus einem Zustand entfernt werden kann, der keine Bosonen enth¨alt: b− |0i = 0 . (4.6) Durch Hintereinanderanwendung von b+ b− erh¨alt man den Besetzungszahloperator n ˆb, der durch Anwenden auf einen Zustand, √ n ˆ b |nb i = b+ b− |nb i = b+ nb |nb − 1i = nb |nb i , (4.7) gerade wieder den Zustand mit der Besetzungszahl als Eigenwert ergibt. Aus diesen Eigenschaften lassen sich Vertauschungsrelationen formulieren. Zuerst wird der Kommutator der beiden Operatoren [b− , b+ ] berechnet.  − + b , b |nb i = b− b+ |nb i − b|+{zb−} |nb i nb √ − = b nb + 1 |nb + 1i − nb |nb i (4.8) = (nb + 1 − nb ) |nb i   → b− , b+ = 1 Die Operatoren vertauschen also nicht. Zus¨atzlich findet man durch triviales Einsetzen [b+ , b+ ] = [b− , b− ] = 0. 16 4.1 Lineare Bose-Fermi-Supersymmetrie Fermionen Analog werden die Operatoren f ± wie in (4.2) definiert und f¨ ur ihre Wirkung auf einen fermionischen Zustand gilt p f + |nf i = nf + 1 |nf + 1i , (4.9a) √ − (4.9b) f |nf i = nf |nf − 1i . † Diese Operatoren sind auch adjungiert (f ± ) = f ∓ , was wie f¨ ur (4.5) gezeigt werden kann. Des weiteren kann auch der fermionische Besetzungszahloperator n ˆ f = f + f − definiert werden, der der Eigenwertgleichung n ˆ f |nf i = nf |nf i gen¨ ugt. Im Unterschied zu den Bosonen unterliegen die Fermionen dem Pauli-Prinzip, dass jeder Zustand maximal mit einem Fermion besetzt sein darf. Deshalb gilt zu der physikalischen Forderung f − |0i = 0 noch zus¨atzlich f + |1i = 0. Dies wird durch die Nilpotenz
2 f± = 0 (4.10) ausgedr¨ uckt. Aus {f − , f + } |nf i = f − f + |nf i + f + f − |nf i ( f − f + |0i : nf = 0 = f + f − |1i : nf = 1 (4.11) = 1 |nf i folgt die Antikommutatorrelation {f − , f + } = 1 , (4.12) die das Pauli-Prinzip symbolisiert. Zus¨atzlich gelten aufgrund (4.10) die Relationen {f + , f + } = {f − , f − } = 0. 4.1.2 SuSy-Operatoren Um die Supersymmetrie anzuwenden, ben¨otigt man nun ein System mit Bosonen und Fermionen. Ein einfaches System ohne Wechselwirkung zwischen den Teilchen kann man durch den Produktzustand |nb , nf i = |nb i ⊗ |nf i (4.13) der Besetzungszahlzust¨ande beschreiben. Ist nf = 0 spricht man von einem bosonischen Zustand und ist nf = 1 von einem fermionischen Zustand. Nun bietet es sich an, zwei 17 4 Supersymmetrie einfache SuSy-Operatoren einzuf¨ uhren, wovon einer bosonische Zust¨ande in fermionische transformiert und der andere umgekehrt. Dies erf¨ ullen die Operatoren Q1 = b− f + (4.14) Q2 = b+ f − . (4.15) und Dabei u uhrt Q1 nur bosonische in fermionische Zust¨ande und Q2 fermionische in ¨berf¨ bosonische: Q1 |Bosoni ∝ |Fermioni , Q2 |Bosoni = 0 , Q1 |Fermioni = 0 , Q2 |Fermioni ∝ |Fermioni . (4.16a) (4.16b) Sie erf¨ ullen offensichtlich (4.1) nicht vollst¨andig. Des weiteren u ¨bertr¨agt sich die Eigenschaft der fermionischen Operatoren, die die Nilpotenz (4.10) erf¨ ullen, auch auf die SuSy-Operatoren, Q21 = Q22 = 0 . (4.17) ˆ S gesucht. Dieser muss Als n¨achstes wird ein supersymmetrischer Hamiltonoperator H die Beziehung i i h h ˆ S , Q2 = 0 ˆ S , Q1 = H (4.18) H erf¨ ullen. Unter Ausnutzung von (4.10) kann man den einfachen Ansatz ˆ S = {Q1 , Q2 } H finden, wobei der Hamiltonoperator die Relationen h i ˆ S , Q1 = Q1 Q2 Q1 + Q2 Q1 Q1 − Q1 Q1 Q2 − Q1 Q2 Q1 (4.17) H = 0, h i ˆ S , Q2 = Q1 Q2 Q2 + Q2 Q1 Q2 − Q2 Q1 Q2 − Q2 Q2 Q1 (4.17) H = 0 (4.19) (4.20) erf¨ ullt. Unter den abgeschw¨achten Eigenschaften f¨ ur die SuSy-Operatoren in (4.16) ist dieser Hamiltonoperator supersymmetrisch. Ein naheliegender Ansatz f¨ ur zwei SuSy-Operatoren, die (4.1) vollst¨andig erf¨ ullen, ist entweder die Summe Q+ oder die Differenz Q− von Q1 und Q2 : Q+ = Q1 + Q2 = b− f + + b+ f − , Q− = Q1 − Q2 = b− f + − b+ f − . 18 (4.21a) (4.21b) 4.2 Nichtlineare Bose-Fermi-Supersymmetrie Untersucht man die Hermitizit¨at der SuSy-Operatoren, so findet man, dass Q+ hermi¨ tesch ist, Q− jedoch nicht. Dies l¨asst sich durch den Ubergang
(4.22) Q− → Q− = −i b− f + − b+ f − l¨osen. F¨ ur die Vertauschungsrelation von Q+ und Q− erh¨alt man {Q+ , Q− } = {Q1 + Q2 , −i (Q1 − Q2 )} (4.10) (4.23) = i{Q1 , Q2 } − i{Q2 , Q1 } = i{Q1 , Q2 } − i{Q1 , Q2 } = 0 . Der supersymmetrische Hamiltonoperator aus (4.19) erh¨alt durch diese Wahl der SuSyOperatoren und durch (4.17) die einfache Form ˆ S = Q2+ = Q2− . H (4.24) h i ˆ HS , Q± = 0 (4.25) Dadurch ist auch mit (4.20) erf¨ ullt und der Hamiltonoperator ist supersymmetrisch. 4.2 Nichtlineare Bose-Fermi-Supersymmetrie Bis jetzt wurden nur supersymmetrische Systeme betrachtet, die keine Wechselwirkung unter den Subsystemen der Fermionen und Bosonen zugelassen haben. Um Wechselwirkungen in den SuSy-Formalismus mit einzubeziehen, ben¨otigt man die nichtlineare Supersymmetrie. 4.2.1 Nichtlinearer SuSy-Hamiltonoperator Ein erster Ansatz, der die Nichtlinearit¨at ber¨ ucksichtigt, kann durch die Ersetzung
b± → B ± b+ , b− (4.26) † erfolgen. Zus¨atzlich sollen die neu eingef¨ uhrten Operatoren (B ± ) = B ∓ erf¨ ullen. Damit lautet der Ansatz f¨ ur die nichtlinearen SuSy-Operatoren Q1 = B − f + , Q2 = B + f − (4.27a) (4.27b) 19 4 Supersymmetrie und erf¨ ullen damit auch (Q1,2 )† = Q2,1 . Eine wichtige Voraussetzung, dass der Hamiltonoperator in (4.24) supersymmetrisch ist, ist, dass die SuSy-Operatoren nilpotent sind (4.17). Dies ist durch die f ± in (4.27) sichergestellt. In der linearen Bose-Fermi-Supersymmetrie wird die Besetzungszahldarstellung |nb , nf i verwendet, um einen Zustand darzustellen. Dies war sinnvoll, da der Hamiltonoperator ˆ S mit den Besetzungszahloperatoren n H ˆ b und n ˆ f kommutiert. In der nichtlinearen Boseˆ S mit n Fermi-Supersymmetrie vertauscht immer noch der Hamiltonoperator H ˆf , h i   (4.10)     ˆ S, n ˆ f = B − B + f + f − , f + f − + B + B − f − f + , f + f − = 0 , (4.28) H ˆ f = Q2± , n aber im Allgemeinen nicht mit n ˆb: h i       ˆ S, n H ˆ b = Q2± , n ˆ f = f + f − B − B + , b+ b− + f − f + B + B − , b+ b− 6= 0 . (4.29) Die Struktur von B ± l¨asst n¨amlich keine Aussage u ¨ber die bosonischen Kommutatoren zu. Die bosonische Besetzungszahl ist also keine gute Quantenzahl mehr, jedoch die Energie E. Die Zust¨ande k¨onnen durch |E, nf i dargestellt werden und es gilt ˆ S |E, nf i = E |E, nf i H (4.30) n ˆ f |E, nf i = nf |E, nf i . (4.31) und 4.2.2 Kanonische Darstellung Wie zuvor kann nf nur zwei Werte annehmen, Null und Eins. Dadurch l¨asst sich jeder Zustand in zweikomponentiger Schreibweise darstellen:   |E, 0i |E, nf i = . (4.32) |E, 1i Dabei beschreibt nf = 0 den bosonischen Zustand und nf = 1 den fermionischen. In dieser Darstellung lassen sich die fermionischen Erzeuger- und Vernichteroperatoren und damit auch die SuSy-Operatoren als 2 × 2-Matrizen schreiben. F¨ ur die fermionischen Operatoren gelten die Beziehungen f + |0i = |1i , f − |1i = |0i und f + |1i = f − |0i = 0 . (4.33) W¨ahlt man nun   1 |0i = 0 20 und   0 |1i = , 1 (4.34) 4.2 Nichtlineare Bose-Fermi-Supersymmetrie so ergibt sich f¨ ur die fermionischen  0 + f = 1 Operatoren    0 0 1 − und f = . 0 0 0 (4.35) In dieser Darstellung lautet der Hamiltonoperator ˆ S = Q2± = B − B + f + f − + B + B − f − f + H     + − 1 0 − + 0 0 +B B =B B 0 0 0 1  + −  B B 0 = . − + 0 B B (4.36) Durch diese 2 × 2-Darstellung, auch kanonische Darstellung genannt, werden also die fermionischen Operatoren geschickt umgangen. Mithilfe der Einheitsmatrix 1 und der Pauli-Matrix σz l¨asst sich der Hamiltonoperator in einen Kommutator und Antikommutator aufspalten:    ˆ S = 1 B − , B + 1 − 1 B − , B + σz . H (4.37) 2 2 4.2.3 Das Superpotential Geht man nun von der Besetzungsdarstellung u ¨ber zum Hamiltonoperator der Form ˆ S = pˆ2 /2m + V (ˆ H q ), so kann man wie in [19] den Ansatz   1 iˆ p ± B = √ W (ˆ (4.38) q) ∓ √ m 2 w¨ahlen. Dabei ist W (ˆ q ) das Superpotential. Wie sich sp¨ater herausstellen wird, l¨asst sich sowohl das Potential des bosonischen Zustands, als auch das des fermionischen aus W (ˆ q ) konstruieren. Der Antikommutator lautet  − + pˆ2 B ,B = W2 + m (4.39)  − + i ~ dW B , B = √ [ˆ p, W ] = √ , m m dq (4.40) und der Kommutator wobei im letzten Schritt angenommen wird, dass sich W (ˆ q ) in eine Potenzreihe von qˆ zerlegen l¨asst [19]. Die Werte aus (4.39) und (4.40) eingesetzt in (4.37) ergeben den Hamiltonoperator     1 pˆ2 1 ~ dW 2 ˆ √ HS = W + 1− σz , (4.41) 2 m 2 m dq 21 4 Supersymmetrie der sich in zwei Hamiltonoperatoren f¨ ur das bosonische und fermionische Subsystem zerlegen l¨asst:     pˆ2 1 ~ dW 1 2 + − √ W + − , (4.42a) H1 = B B = 2 m 2 m dq     1 pˆ2 1 ~ dW − + 2 √ H2 = B B = W + + . (4.42b) 2 m 2 m dq Der Hamiltonoperator f¨ ur die einzelnen Subsysteme unterscheidet sich also in den Potentialen, die sich beide aus dem Superpotential konstruieren lassen, auf das sp¨ater genauer eingegangen wird. Die Zerlegung in zwei Hamiltonoperatoren und das Superpotential haben einige Vorz¨ uge. So k¨onnen zum Beispiel folgende Aussagen [19] f¨ ur den Grundzustand, der bei E = 0 liegen soll, hergeleitet werden: 1. Es gibt nur einen Zustand mit E = 0 und er geh¨ort zu H1 . 2. Es gibt nur einen Zustand mit E = 0 und er geh¨ort zu H2 . 3. Der Grundzustand liegt bei E > 0 und ist zweifach entartet. Im Fall 1 und 2 spricht man von exakter Supersymmetrie und im letzten Fall von gebrochener Supersymmetrie. 4.3 Supersymmetrische Quantenmechanik Die supersymmetrische Quantenmechanik handelt von station¨aren L¨osungen der Schr¨oˆ = EΨ mit dem Hamiltonoperator H ˆ = pˆ2 /2m + V (ˆ dingergleichung HΨ q ). Im Folgendem ist weniger die physikalische Interpretation des SuSy-Formalismus von Bedeutung, als vielmehr das mathematische Konstrukt, das quantenmechanische Systeme miteinander verkn¨ upft. F¨ ur das weitere Vorgehen wird deshalb in die Ortsdarstellung u ¨bergegangen. Dies wird durch die Ersetzungsregeln qˆ → x und pˆ → −i~ d dx (4.43) erreicht. Die Hamiltonoperatoren aus (4.42) haben in dieser Darstellung die Form: ~2 d2 + V1 (x) , 2m dx2 ~2 d2 H2 = − + V2 (x) . 2m dx2 H1 = − 22 (4.44a) (4.44b) 4.3 Supersymmetrische Quantenmechanik Die Potentiale V1 und V2 lauten 1 V1 = 2  ~ W − √ W0 m 2  1 und V2 = 2   ~ 2 0 W +√ W m (4.45) und unterscheiden sich nur in einem Vorzeichen bei der Konstruktion aus dem Superpotential. In dieser Form wird auch deutlich, dass das Superpotential die Dimension [Energie]1/2 hat und nicht mit einer potentiellen Energie verwechselt werden darf. 4.3.1 Eigenwerte und Eigenzust¨ ande der SuSy-Partner Gegeben sei das supersymmetrische System mit den Hamiltonoperatoren H1 und H2 , die die Eigenwertgleichungen (1) (1) H1 Ψ(1) n = En Ψn , (4.46a) (2) (2) H2 Ψ(2) n = En Ψn (4.46b) erf¨ ullen. Zun¨achst wird untersucht, wie die beiden Systeme zusammenh¨angen. Dazu wird die Definition der beiden Hamiltonoperatoren aus (4.42) verwendet und es gilt:

− (1) (1) H2 B − Ψ(1) = B − B + B − Ψ(1) B − Ψ(1) , n n = B H1 Ψn = En n

+ (2) + − + (2) + (2) (2) + (2) H1 B Ψn = B B B Ψn = B H2 Ψn = En B Ψn . (4.47a) (4.47b) (1) Also sind die Energien En auch Eigenwerte zu H2 und umgekehrt. Die beiden Subsysteme haben also das gleiche Energiespektrum. Im Fall der exakten Supersymmetrie besitzt jedoch nur eines der Subsysteme den Grundzustand bei E = 0, dies sei H1 . Also gilt f¨ ur das Energiespektrum des Systems mit n ∈ {0, 1, 2, ..., ∞}: (1) (1) E0 = 0 und En(2) = En+1 . (4.48) (2) Des weiteren ist in (4.47b) mit (4.48) ersichtlich, dass B + Ψn ein Eigenzustand zu H1 (1) (2) (1) mit Eigenwert En+1 ist. Daraus folgt, dass B + Ψn ∝ Ψn+1 . Insgesamt findet man 1 (1) B − Ψn+1 Ψ(2) n = q (1) En+1 1 (1) und Ψn+1 = q B + Ψ(2) n , (2) En (4.49) wobei schon ein Vorfaktor ber¨ ucksichtigt ist, um die Norm zu erhalten. 23 4 Supersymmetrie 4.3.2 Konstruktion des Superpotentials Im Folgenden werden zwei M¨oglichkeiten vorgestellt, wie man das Superpotential bestimmen kann. Zum einen kann (4.45) umgestellt werden, ~ W 2 − √ W 0 = 2V1 , m (4.50) und man erh¨alt eine nichtlineare Differentialgleichung f¨ ur W aus dem Potential V1 des (1) Grundsystems H1 . Ein anderer Weg f¨ uhrt u ber den Grundzustand Ψ0 des Grundsys¨ tems. Zun¨achst wird davon ausgegangen, dass die Supersymmetrie exakt ist, also das Grundsystem die Eigenwertgleichung (1) H1 Ψ0 = 0 (4.51) erf¨ ullt. Einsetzen von (4.45) f¨ uhrt auf ~2 d2 (1) 1 Ψ + − 2m dx2 0 2   ~ (1) 2 0 W − √ W Ψ0 = 0 m (4.52) und nach umstellen der Gleichung und unter Verwendung der Kettenregel (Ψ0 /Ψ)0 = Ψ00 /Ψ − (Ψ0 /Ψ)2 ergibt sich: √ 2  √ 0 m m W − W = ~ ~ (1) 1 dΨ0 (1) Ψ0 dx !2 d + dx (1) 1 dΨ0 (1) Ψ0 dx ! . (4.53) Vergleicht man auf beiden Seiten die Terme gleicher Ordnung, erh¨alt man eine weitere Bestimmungsgleichung f¨ ur das Superpotential: (1) ~ 1 dΨ0 . W = −√ dx m Ψ(1) 0 (4.54) Beide M¨oglichkeiten, das Superpotential und damit H2 zu konstruieren, werden sp¨ater in dieser Arbeit verwendet. 24 5 PT -symmetrisches Doppel-Delta-Potential In der GPE (3.14) ist noch die Wahl eines externen Potentials m¨oglich. F¨ ur dieses externe Potential wird in dieser Arbeit das PT -symmetrische Doppel-Delta-Potential gew¨ahlt. Es ist die vereinfachte Form des Doppel-Mulden-Potentials, welches Atome fangen kann und zur Kondensation bringen kann. Außerdem erlaubt es die Ein- und Auskopplung von Atomen in das und aus dem Kondenstat. Der Vorteil des Doppel-Delta-Potentials ist, dass es im linearen Fall analytisch gel¨ost werden kann. Außerdem k¨onnen ermittelte Eigenschaften auf das Doppel-Mulden-Potential in gewisser Weise u ¨bertragen werden. Im folgenden Kapitel wird erkl¨art, wie das PT -symmetrische Doppel-Delta-Potential numerisch behandelt wird und einige Eigenschaften werden dargelegt. 5.1 Analytische Lo ¨sung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials Das verwendete Doppel-Delta-Potential hat die Form V (x) = (V0 + iγ) δ (x − a) + (V0 − iγ) δ (x + a) = νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a) , (5.1) wobei V0 die Tiefe“ der Delta-Distributionen ist, γ die St¨arke der Ein- und Auskopplung ” und 2a der Abstand der beiden Delta-Funktionen. Die GPE aus (3.14) lautet f¨ ur das Doppel-Delta-Potential   d2 2 ∗ (5.2) − 2 + νδ (x − a) + ν δ (x + a) + g |Ψ (x)| Ψ (x) = µΨ (x) . dx Zun¨achst wird die Nichtlinearit¨at nicht beachtet, um das Problem anfangs zu vereinfachen. Sp¨ater in der numerischen Behandlung wird die Nichtlinearit¨at wieder ber¨ ucksichtigt. Die Gleichung (5.2) kann man in drei Bereiche einteilen, in denen die L¨osungen 25 5 PT -symmetrisches Doppel-Delta-Potential unterschiedlich sind. Als Ansatz f¨ ur Ψ wird eine Superposition von zwei Exponentialfunktionen gew¨ahlt. Außerdem soll die Wellenfunktion im Unendlichen verschwinden, was insgesamt auf den Ansatz   : x < −a A exp (λx) Ψ (x) = B exp (λx) + C exp (−λx) : −a < x < a (5.3)   D exp (−λx) :x>a f¨ ur die verschiedenen Bereiche f¨ uhrt. Dabei gilt −λ2 = µ und Re (λ) > 0. Damit man eine physikalische sinnvolle L¨osung hat, muss die Wellenfunktion stetig sein, was in den Forderungen x = −a : x=a: A exp(−λa) = B exp(−λa) + C exp(λa) , D exp(−λa) = B exp(λa) + C exp(−λa) (5.4a) (5.4b) f¨ ur die Koeffizienten m¨ undet. Die Wirkung des Doppel-Delta-Potentials auf die Wellenfunktion zeigt sich in einer Sprungbedingung f¨ ur die Ableitung. Dazu integriert man (5.2) in einer kleinen Umgebung ±a ±  um die Delta-Funktionen und man erh¨alt − [Ψ0 (−a + ) − Ψ0 (−a − )] + ν ∗ Ψ0 (−a) = 0 , − [Ψ0 (a + ) − Ψ0 (a − )] + νΨ0 (a) = 0 , (5.5a) (5.5b) wobei aufgrund der Forderung nach Stetigkeit alle Terme, die nur Ψ enthalten, verschwinden. Setzt man nun die Ans¨atze f¨ ur die richtigen Bereiche aus (5.3) in (5.5) ein und eliminiert mit (5.4) A und D, dann erh¨alt man das lineare Gleichungssystem
     2λ exp (2λa) B 0 1 1 + ∗ ν
= . (5.6) 2λ C 0 1 + ν exp (2λa) 1 F¨ ur nichttriviale L¨osungen muss die Determinante der Matrix verschwinden:    2λ 2λ exp (−4λa) = 1 + ∗ 1+ . ν ν (5.7) Gibt man ν vor, hat man also eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Energie in Abh¨angigkeit vom Abstand. In Abbildung 5.1 ist die Gleichung numerisch gel¨ost. Daf¨ ur wird eine Potentialtiefe V0 = −1 gew¨ahlt, um gebundene Zust¨ande zu erhalten. Aus der Abbildung ist zu entnehmen, dass erst bei einem kritischen Abstand acrit = 1 zwei Energieeigenwerte existieren. Dieses Verhalten bleibt auch f¨ ur eine nichtverschwindende Ein- und Auskopplungsst¨arke γ erhalten. Da sp¨ater der SuSy-Formalismus auf das Doppel-Delta-Potential angewendet werden soll, ben¨otigt man mindestens zwei Energieeigenwerte. Deshalb wird im weiteren Verlauf der Arbeit ein Abstand a = 1.1 gew¨ahlt. 26 5.2 Numerische L¨osung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials 0.2 Energie µ 0 -0.2 -0.4 -0.6 Re(µ)(a, γ = 0) Re(µ)(a, γ = ±0.3) Im(µ)(a, γ = ±0.3) -0.8 -1 0 0.5 1 Abstand a 1.5 2 Abbildung 5.1: Numerisch bestimmte L¨osung der Bestimmungsgleichung (5.7) mit V0 = −1 und µ = −λ2 f¨ ur zwei verschiedene Werte der Ein- und Auskopplungsst¨arke γ. 5.2 Numerische L¨ osung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials Um L¨osungen zu erhalten, wird die GPE in (5.2) numerisch integriert. Daf¨ ur wird eine Nullstellensuche und ein Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung verwendet. Das Runge-Kutta-Verfahren integriert die GPE jeweils ausgehend von den vorher festgelegten Startwerten und x = 0 nach x = ∞ und nach x = −∞. Dabei muss die so erzeugte station¨are L¨osung Ψ physikalischen Bedingungen gen¨ ugen. Zum einen muss sie die Norm Z ∞ |Ψ (x)|2 dx = 1 −∞ erf¨ ullen, da die Wellenfunktion mit einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Verbindung gebracht wird. Des Weiteren soll die station¨are L¨osung nur in einem sinnvollen Bereich um das Potential existieren, mit anderen Worten; sie soll im Unendlichen verschwinden: Re (Ψ) (±∞) = Im (Ψ) (±∞) = 0 . 27 5 PT -symmetrisches Doppel-Delta-Potential 0.4 Re(µ) Im(µ) 0.3 Energie µ 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 γ 0.5 0.6 0.7 0.8 Abbildung 5.2: Energiespektrum f¨ ur den linearen Fall in Abh¨angigkeit von γ. Ab dem kritischen Wert γcrit ∝ 0.4005 kommt es zur Bifurkation. Als Startwerte ben¨otigt das Runge-Kutta-Verfahren: Re (Ψ) (0) Re (µ) Re (Ψ0 ) (0) Im (µ) . Im (Ψ0 ) (0) Ein Startwert f¨ ur Im (Ψ) (0) wird nicht ben¨otigt, da unter Ausnutzung der Invarianz der GPE unter einer globalen Phase der Imagin¨arteil der Wellenfunktion bei x = 0 immer auf Null gesetzt werden kann. Die physikalischen Bedingungen erf¨ ullt Ψ nur unter einigen bestimmten Startwerten, diese werden mithilfe der Nullstellensuche ermittelt. Dabei variiert die Nullstellensuche die Startwerte, bis die Bedingungen erf¨ ullt sind. 5.2.1 Station¨ are L¨ osungen ohne Nichtlinearit¨ at Zuerst wird das System im linearen Fall g = 0 betrachtet, um einen ersten Eindruck von dessen Verhalten und Eigenschaften zu erlangen. Abbildung 5.2 zeigt das Spektrum im linearen Fall. Man erkennt, dass ab einem kritischen Wert γcrit ∝ 0.4005 sich das Spektrum ver¨andert; es kommt zu einer Bifurkation. F¨ ur γ < γcrit existieren zwei L¨osungen mit verschiedenen rein reellen Eigenwerten. F¨ ur diesen Bereich sind zwei Paare von Wellenfunktionen in Abbildung 5.3 dargestellt. Dabei geh¨ort der Grundzustand zur kleineren Energie als der angeregte Zustand, 28 5.2 Numerische L¨osung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials 0.6 0.3 0.5 0.2 0.4 0.1 0.3 0 Ψ Ψ Re(Ψ)(x) 0.2 -0.1 0.1 -0.2 0 -15 -10 -5 0 x 5 10 -0.3 -80 15 (a) Grundzustand f¨ ur γ = 0. -60 -40 -20 0 x 20 40 60 80 (b) Angeregter Zustand f¨ ur γ = 0. 0.5 0.4 Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) 0.4 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 -0.1 -0.1 -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -15 -10 -5 0 x 5 10 (c) Grundzustand f¨ ur γ = 0.3. Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) 0.3 Ψ Ψ Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) 15 -0.4 -40 -30 -20 -10 0 x 10 20 30 40 (d) Angeregter Zustand f¨ ur γ = 0.3. Abbildung 5.3: Wellenfunktionen f¨ ur verschiedene Werte von γ im linearen Fall. F¨ ur gr¨oßer werdende Werte von γ gehen die Wellenfunktionen bis zur Bifurkation ineinander u ¨ber. 29 5 PT -symmetrisches Doppel-Delta-Potential 0.5 0.5 Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 -0.1 -0.1 -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -15 -10 -5 0 x 5 10 (a) Zustand mit Im(µ) < 0. Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) 0.4 Ψ Ψ 0.4 15 -0.4 -15 -10 -5 0 x 5 10 15 (b) Zustand mit Im(µ) > 0. Abbildung 5.4: Wellenfunktionen nach der Bifurkation im linearen Fall f¨ ur γ = 0.41. µgrund < µangeregt im Energiespektrum 5.2. Die Eigenzust¨ande sind in diesem Bereich PT symmetrisch. Mit (2.12) sind also auch rein reelle Eigenwerte zu erwarten. Die Knicke in den Wellenfunktionen treten dabei an der Stelle der beiden Delta-Potentiale bei x = ±1.1 auf. Diese werden durch die Sprungbedingungen in (5.5) verursacht. Des Weiteren n¨ahern sich die Energieeigenwerte f¨ ur steigende γ an. Dies ist auch an den Wellenfunktionen zu erkennen; f¨ ur steigende Werte von γ gehen die Formen der Wellenfunktionen ineinander u ¨ber, bis sie an der Bifurkation identisch werden. Nach der Bifurkation besitzt das System zwei zueinander komplex konjugierte Eigenwerte. Der Hamiltonoperator des Systems ist immer noch PT -symmetrisch, jedoch sind die Eigenzust¨ande, wie Abbildung 5.4 zeigt, nicht mehr PT -symmetrisch. Laut (2.10) und (2.11) existiert zu einem Zustand Ψ mit Eigenwert µ auch ein Zustand PT Ψ mit komplex konjugiertem Eigenwert µ∗ , was hier offensichtlich der Fall ist, da die beiden Wellenfunktionen in Abbildung 5.4 sich durch Anwenden des PT -Operators ineinander u uhren lassen. ¨berf¨ 5.2.2 Station¨ are L¨ osungen mit Nichtlinearit¨ at Als N¨achstes wird das gleiche System bei einer nichtverschwindenden Nichtlinearit¨at untersucht. Dabei wird eine Nichtlinearit¨at kleiner Null, g = −0.5, gew¨ahlt, was einer attraktiven Wechselwirkung entspricht. In Abbildung 5.5 befindet sich das Energiespektrum mit dieser Nichtlinearit¨at. Es ist zu sehen, dass durch die attraktive Wechselwirkung die Eigenzust¨ande st¨arker gebunden sind, da die Energieeigenwerte kleiner sind als die aus Abbildung 5.2. Außerdem n¨ahern sich wieder, wie zuvor, Grundzustand und angeregter Zustand einander, wenn γ vergr¨oßert wird, bis sie identisch sind und es treten ab einem bestimmten Wert f¨ ur γcrit wieder zwei PT -gebrochene L¨osungen auf, die kom- 30 Energie µ 5.2 Numerische L¨osung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 Re(µ) Im(µ) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 γ 0.5 0.6 0.7 0.8 Abbildung 5.5: Energiespektrum in Abh¨angigkeit von γ bei einer nichtverschwindenden Nichtlinearit¨at von g = −0.5. plex konjugierte Eigenwerte zueinander besitzen. Jedoch spalten diese Zust¨ande schon f¨ ur ein γcrit < 0.4005 vom Grundzustand ab. Das bedeutet, dass es einen Bereich gibt, in dem insgesamt vier Eigenzust¨ande existieren. Dieser Bereich beginnt beim Abspalten der PT -gebrochenen Eigenzust¨ande und endet an der Stelle, an der Grundzustand und der angeregte Zustand in einen identischen Zustand u ¨bergehen. Zuletzt werden noch die Eigenzust¨ande untersucht. Zum Vergleich mit 5.3 befinden sich die Wellenfunktionen f¨ ur die gleichen Werte von γ, aber mit Nichtlinearit¨at, in Abbildung 5.6. Sie erf¨ ullen alle die Sprungbedingungen des Doppel-Delta-Potentials und weisen einen Knick bei x = ±1.1 auf. Vergleicht man die Wellenfunktionen des Grundzustands, ¨ mit und ohne Nichtlinearit¨at, so ist keine merkliche Anderung zu erkennen. Untersucht man jedoch die Wellenfunktionen des angeregten Zustands, so ist zu sehen, dass sich die Wellenfunktion im nichtlinearen System u ¨ber einen kleineren Bereich erstrecken und eine gr¨oßere Amplitude besitzen. Physikalisch gesehen beschreiben die Wellenfunktionen ein Kondensat aus vielen einzelnen Atomen. Das bedeutet, durch die Nichtlinearit¨at, die eine attraktive Wechselwirkung der Teilchen beschreibt, zieht sich das Kondensat zusammen und die Dichte erh¨oht sich. Dieser Effekt ist beim Grundzustand nur gering zu erkennen, da sich die Wellenfunktionen schon u ¨ber einen relativ kleinen Bereich erstrecken. 31 5 PT -symmetrisches Doppel-Delta-Potential 0.6 0.4 Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) 0.5 Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) 0.3 0.2 0.1 0.3 Ψ Ψ 0.4 0 -0.1 0.2 -0.2 0.1 -0.3 0 -15 -10 -5 0 x 5 10 -0.4 -40 15 (a) Grundzustand bei γ = 0. Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) 0.3 0.1 Ψ Ψ 0.2 0 -0.1 -0.2 -0.3 -15 -10 -5 0 x 5 10 (c) Grundzustand bei γ = 0.3. -20 -10 0 x 10 20 30 40 (b) Angeregter Zustand bei γ = 0. 0.5 0.4 -30 15 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -30 Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) -20 -10 0 x 10 20 30 (d) Angeregter Zustand bei γ = 0.3. Abbildung 5.6: Wellenfunktionen im nichtlinearen Fall mit g = −0.5 f¨ ur verschiedene Werte von γ. 32 6 Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-DeltaPotentials In diesem Kapitel wird der SuSy-Formalismus auf das Doppel-Delta-Potential angewendet. Daf¨ ur werden zwei Methoden zur Erzeugung des Superpotentials gegen¨ uber gestellt und das Energiespektrum und die Eigenzust¨ande untersucht. 6.1 Das Superpotential Wie zuvor in dieser Arbeit beschrieben, gibt es zwei M¨oglichkeiten das Superpotential zu konstruieren. Um diese M¨oglichkeiten zu untersuchen, wird im Folgenden die Supersymmetrie exakt konstruiert. Dies wird erreicht, indem die Energie des zu entfernenden Zustands vom Hamiltonoperator subtrahiert wird und somit in das Potential einbezogen wird. Die zu l¨osende Differentialgleichung nimmt die Form   d2 2 ∗ (6.1) H1 Ψ = − 2 + νδ (x − a) + ν δ (x + a) − µ + g |Ψ (x)| Ψ (x) = 0 dx an. Als Potential wird V1 = νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a) − µ identifiziert. Das Superpotential wurde mit dem Ansatz f¨ ur die bosonischen Operatoren B ± eingef¨ uhrt. Jedoch ist die GPE nun in dimensionslosen Gr¨oßen formuliert und man ben¨otigt einen neuen Ansatz d , dx der dies ber¨ ucksichtigt. Mit diesem Ansatz wird (4.50) zu B ± = W (x) ∓ W 2 − W 0 = V1 (6.2) (6.3) und (4.54) zu (1) 1 dΨ0 W = − (1) . Ψ0 dx (6.4) 33 6 Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials Aus beiden Gleichungen kann ein Superpotential bestimmen werden. Im weiteren Verlauf wird außerdem die Nichtlinearit¨at nicht in das Superpotential mit einbezogen, sondern im Partnersystem H2 gesondert behandelt. Dadurch kann (6.4) durch einsetzen des analytischen Ansatzes (5.3) gel¨ost werden. Man erh¨alt aus (5.4) und (5.5) C = −B(2λ/ν + 1) exp(2λa) und damit   −λ : x < −a   1+(1+ 2λ exp(−2λ(x−a)) ) ν : −a < x < a (6.5) W = −λ 1− 1+ 2λ exp(−2λ(x−a)) (  ν )   λ :x>a f¨ ur das Superpotential und  2λ λ2 4(1+ ν ) exp(−2λ(x−a)) 2 exp(−2λ(x−a))] [1−(1+ 2λ W0 = ν )  0 : −a < x < a (6.6) : sonst f¨ ur die Ableitung. Hieraus k¨onnen nun die Potentiale der beiden Partnersysteme bestimmt werden. Wie zu erkennen ist, sind beide Potentiale außerhalb der Delta-Distributionen konstant V1 = V2 = λ2 = −µ, was f¨ ur V1 zu erwarten war. Außerdem macht das Superpotential einen Sprung bei x = ±a, was durch den Knick der Wellenfunktion vererbt wird. Um diesen Sprung zu untersuchen, integriert man wieder in einer kleinen Umgebung ±a ± . Es wird u ¨ber W 0 integriert, da man den Sprung von W untersuchen m¨ochte: " # Z a+ Z a+ (1) d 1 dΨ0 0 W (a + ) − W (a − ) = W (x)dx = − (1) dx Ψ0 dx a− a− dx " # (6.7) (1) (1) 1 1 dΨ0 (a + ) dΨ0 (a − ) − (1) =− . (1) dx dx Ψ0 (a + ) Ψ0 (a − ) (1) Da die Wellenfunktion Ψ0 stetig ist, kann (6.7) weiter zu " # (1) (1) 1 dΨ0 (a + ) dΨ0 (a − ) − W (a + ) − W (a − ) = − (1) dx dx Ψ0 (a) (6.8) vereinfacht werden. Mit (5.5) erh¨alt man die Sprungbedingung f¨ ur das Superpotential W (a + ) − W (a − ) = −ν (6.9a) W (−a + ) − W (−a − ) = −ν ∗ . (6.9b) und analog 34 6.1 Das Superpotential 0.8 0.8 Re(W) 0.6 Im(W) 0.4 0.4 0 W 0.2 0 W 0.2 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -4 -2 0 x 2 -0.8 4 (a) Aus Grundzustand mit γ = 0. -2 0 x 2 4 2.5 Re(W) 0.6 Im(W) 0.4 1.5 0.2 1 0 0.5 -0.2 0 -0.4 -0.5 -0.6 -1 -4 Re(W) Im(W) 2 W W -4 (b) Aus angeregtem Zustand mit γ = 0. 0.8 -0.8 Re(W) Im(W) 0.6 -2 0 x 2 4 (c) Aus Grundzustand mit γ = 0.3. -1.5 -4 -2 0 x 2 4 (d) Aus angeregtem Zustand mit γ = 0.3. Abbildung 6.1: Superpotentiale berechnet aus den Wellenfunktionen aus 5.3. Dies bedeutet auch, dass in der Ableitung W 0 die Delta-Potentiale −νδ(x − a) und −ν ∗ δ(x + a) enthalten sein m¨ ussen. Insgesamt ergibt sich f¨ ur die Potentiale V1 = W 2 − W 0 = λ2 + νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a) = −µ + νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a) (6.10) und V2 = W 2 + W 0 = −νδ (x − a) − ν ∗ δ (x + a)  2 exp(−2λ(x−a))] +4(1+ 2λ exp(−2λ(x−a))  [1+(1+ 2λ ν ) ν ) 2 2λ 1− 1+ exp(−2λ(x−a)) [ ( ) ] −µ ν  1 : −a < x < a (6.11) : sonst f¨ ur das Partnerpotential. Numerisch wird dieses Superpotential mit (6.4) aus den Wellenfunktionen bestimmt. Einige Superpotentiale sind in Abbildung 6.1 dargestellt. Wie zu erkennen ist, besitzen sie alle Spr¨ unge bei den Delta-Funktionen x = ±1.1 und nehmen f¨ ur x < −1.1 den Wert 35 6 Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials −λ an und f¨ ur x > 1.1 den Wert λ. Des Weiteren divergiert das Superpotential 6.1(b), das aus dem angeregtem Zustand bei γ = 0 konstruiert wird. Dies ist auch an der Wellenfunktion in 5.3(b) erkennbar, da sie einen Knoten zwischen den Delta-Distributionen aufweist. Wie sich sp¨ater herausstellen wird, k¨onnen aufgrund dieser Divergenz keine Eigenzust¨ande im Partnerpotential V2 f¨ ur zu kleine γ gefunden werden. Eine andere M¨oglichkeit, ein g¨ ultiges Superpotential zu konstruieren, f¨ uhrt mit (6.3) u ¨ber das Potential V1 . Da die Supersymmetrie exakt konstruiert sein soll, enth¨alt V1 nicht nur das Doppel-Delta-Potential, sondern auch die Energie des Zustandes: V1 = νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a) − µ . (6.12) Mit (6.3) und −λ2 = µ erh¨alt man die Differentialgleichung W 2 − W 0 = νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a) + λ2 , (6.13) die sich abseits der Delta-Distributionen durch Separation der Variablen auf die Form dW = dx W 2 − λ2 (6.14) bringen l¨asst. Durch Substitution mit Hyperbelfunktionen, W = tanh(Θ) , λ dW 1 =λ , dΘ cosh2 (Θ) (6.15) l¨asst sich die linke Seite von (6.14) auf 1 dΘ 1 dΘ 1 = 2 2 2 λ cosh (Θ) tanh (Θ) − 1 λ sinh (Θ) − cosh2 (Θ) (6.16) umformen. Mithilfe des Additionstheorem cosh2 (Θ)−sinh2 (Θ) = 1 und durch Integration erh¨alt man Z Z 1 Θ ! − dΘ = − = dx = x − ξ , (6.17) λ λ wobei ξ eine Integrationskonstante darstellt. Einfache algebraische Umformungen und R¨ ucksubstitution Θ = Artanh(W/λ) f¨ uhren letztlich auf W (x) = −λ tanh [λ (x − ξ)] . (6.18) Dabei existieren f¨ ur die drei verschiedenen Bereiche, innerhalb und außerhalb der DeltaDistributionen, verschiedene ξ, die jedoch durch die Sprungbedingungen (6.9) miteinander verkn¨ upft sind. Letztendlich ist also nur f¨ ur einen Bereich ξ frei w¨ahlbar, beziehungsweise kann durch Startbedingungen vorgegeben werden. 36 6.1 Das Superpotential Vergleicht man beide Ans¨atze, erkennt man verschiedene Vorteile. Das Superpotential (6.5) hat außerhalb der Delta-Distributionen eine besonders einfach L¨osung; das Superpotential aus (6.18) hat hingegen eine einfachere L¨osung innerhalb der DeltaDistributionen und ist genauer, da in die Konstruktion nicht die gesamte Wellenfunktion eingeht, sondern nur ein konstanter Wert, die Energie µ. Außerdem l¨asst (6.18) aufgrund von ξ eine Vielzahl an Superpotentialen zu. Um alle Vorteile nutzen zu k¨onnen, wird im Folgenden gezeigt, dass (6.5) ein Spezialfall von (6.18) ist. Dazu wird (6.18) zuerst umgeformt: W = −λ tanh [λ (x − ξ)] = −λ exp(λ(x − ξ)) − exp(−λ(x − ξ)) exp(λ(x − ξ)) + exp(−λ(x − ξ)) 1 − exp(−2λ(x − ξ)) . = −λ 1 + exp(−2λ(x − ξ)) (6.19) Dies wird gleichgesetzt mit (6.5), 1+ 1+ 1 − exp(−2λ(x − ξ)) ! W = −λ = −λ 1 + exp(−2λ(x − ξ)) 1− 1+ 2λ exp (−2λ(x ν
2λ exp (−2λ(x ν
− a)) α =: −λ , β − a)) (6.20) und weiter umgeformt: [1 − exp(−2λ(x − ξ))] β = [1 + exp(−2λ(x − ξ))] α , → (β + α) exp(−2λ(x − ξ)) = β − α ,   1 β−α →ξ= ln + x. 2λ β+α (6.21) Mit β − α = −2(1 + 2λ/ν) exp(−2(x − a)) und β + α = 2 erh¨alt man nach Elimination der Exponentialfunktionen aus dem Logarithmus    1 2λ ξ =a+ ln − 1 + (6.22) 2λ ν f¨ ur die Integrationskonstante. Dadurch kann man   −λ W = −λ tanh [λ(x − ξ)]   λ f¨ ur das Superpotential : x < −a : −a < x < a :x>a ansetzen. Die Ableitung ergibt ( −λ2 cosh−2 [λ(x − ξ)] : −a < x < a W0 = , 0 : sonst (6.23) (6.24) 37 6 Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials 0.8 0.8 Re(W) Im(W) 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 W W 0.6 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -4 -2 0 x 2 -0.8 4 (a) F¨ ur Grundzustand mit γ = 0. 2 1.5 0.2 1 0 0.5 W W -2 0 x 2 4 2.5 Re(W) Im(W) 0.4 -0.2 0 -0.4 -0.5 -0.6 -1 -0.8 -4 (b) F¨ ur angeregten Zustand mit γ = 0. 0.8 0.6 Re(W) Im(W) -4 -2 0 x 2 4 (c) F¨ ur Grundzustand mit γ = 0.3. -1.5 Re(W) Im(W) -4 -2 0 x 2 4 (d) F¨ ur angeregten Zustand mit γ = 0.3. Abbildung 6.2: Superpotentiale berechnet mit (6.23). wobei zu beachten ist, dass sie aufgrund der Sprungbedingungen wieder die DeltaFunktionen enth¨alt. Daraus erh¨alt man erwartungsgem¨aß V1 = νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a) − µ f¨ ur das Potential des Grundsystems und ( 1 − 2 cosh−2 [λ(x − ξ)] : −a < x < a V2 = −νδ (x − a) − ν ∗ δ (x + a) − µ 1 : sonst (6.25) (6.26) f¨ ur das Partnerpotential. In Abbildung 6.2 sind einige Superpotentiale abgebildet. Sie besitzen alle die Spr¨ unge bei den Delta-Funktionen x = ±1.1 und sind außerhalb der Delta-Funktionen konstant. Wie zu erkennen ist, divergiert auch mit dieser Methode das Superpotential f¨ ur den angeregten Zustand bei einem zu kleinen γ. Insgesamt sind keine Unterschiede zu den Superpotentialen aus 6.1 zu erkennen. Jedoch sind mit dieser Methode, wie zuvor erw¨ahnt, die Superpotentiale weniger anf¨allig f¨ ur numerische Fluktuationen, die in den Wellenfunktionen auftreten k¨onnen. 38 6.2 Station¨are L¨osungen ohne Nichtlinearit¨at 6.2 Station¨ are L¨ osungen ohne Nichtlinearit¨ at 6.2.1 Numerische Behandlung F¨ ur die numerische Behandlung wird das Programm aus dem vorherigen Kapitel um eine zweite Nullstellensuche und ein zweites Runge-Kutta-Verfahren erweitert. Das RungeKutta-Verfahren integriert dabei die GPE   d2 2 (6.27) − 2 + V2 + gS |Ψ (x)| Ψ (x) = µS Ψ (x) dx mit dem Potential V2 aus (6.26), gS der St¨arke der Nichtlinearit¨at und µS dem Energieeigenwert des Partnersystems. An die so erzeugte Wellenfunktion werden wieder die physikalischen Bedingungen Z ∞ |Ψ (x)|2 dx = 1 −∞ und Re (Ψ) (±∞) = Im (Ψ) (±∞) = 0 gestellt. Des weiteren ben¨otigt das Runge-Kutta-Verfahren analog wie zuvor die Startwerte Re (Ψ) (0) , Re (µ) , Re (Ψ0 ) (0) , Im (µ) , Im (Ψ0 ) (0) , die solange von der Nullstellensuche variiert werden, bis die physikalischen Forderungen erf¨ ullt sind. 6.2.2 Energien und Wellenfunktionen Um eine grobe Vorstellung von den L¨osungen zu bekommen, befinden sich in Abbildung 6.3 einige Partnerpotentiale. Die Partnerpotentiale bilden alle zwischen x = ±1.1 einen Art Potentialtopf. Man erwartet also in diesem Bereich die gr¨oßte Amplitude der Wellenfunktion. Des weiteren besitzt das Partnerpotential, wie auch das Superpotential, Spr¨ unge bei x = ±1.1, welche in einem Knick der Wellenfunktion an den selben Stellen resultieren werden. Außerdem werden die Wellenfunktionen des Partnersystems bei entferntem Grundzustand sich weiter erstrecken und nicht so stark gebunden sein wie die des Partnersystems bei entferntem angeregten Zustand, da die Potentialt¨opfe in 6.3(a) und 6.3(b) nicht so tief sind wie der in 6.3(c). 39 6 Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials 0.4 0.3 0.2 V2 0.1 0 -0.1 -0.2 Re(V2 ) Im(V2 ) -0.3 -0.4 -4 -2 0 x 2 4 (a) F¨ ur entfernten Grundzustand mit γ = 0. 0.6 0.4 0.2 V2 V2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 Re(V2 ) Im(V2 ) -4 -2 0 x 2 4 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 Re(V2 ) Im(V2 ) -4 -2 0 x 2 4 (b) F¨ ur entfernten Grundzustand mit γ = (c) F¨ ur entfernten angeregten Zustand mit 0.3. γ = 0.3. Abbildung 6.3: Partnerpotentiale berechnet aus (6.26). 40 6.2 Station¨are L¨osungen ohne Nichtlinearit¨at 0.4 Re(µS ) Im(µS ) 0.2 µS 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 0 0.1 0.2 0.3 0.4 γ 0.5 0.6 0.7 0.8 Abbildung 6.4: Energiespektrum im linearen Fall bei entferntem Grundzustand in Abh¨angigkeit von γ. Entfernter Grundzustand Das Potential in (6.26) ist so konstruiert, dass die Supersymmetrie exakt ist. Dies bedeutet, dass die Energie des supersymmetrischen Partnersystems die Relation µS = µangeregt − µgrund (6.28) erf¨ ullt. Vergleicht man die Abbildungen 5.2 und 6.4, ist, wie erwartet, die Energie µS bis zur Bifurkation rein reell und an der Bifurkation Null, da beide Zust¨ande dort im Grundsystem identisch sind. Nach der Bifurkation sind in Abbildung 5.2 die Realteile der Energie gleich. Dies erkennt man in 6.4 wieder, da der Realteil verschwindet. Vergleicht man die Imagin¨arteile in beiden Abbildungen, so kommt man zu dem Schluss, dass nach der Bifurkation der Zustand mit positivem Imagin¨arteil als Grundzustand“ gew¨ahlt wurde, da der Zustand ” im supersymmetrischen Partner einen negativen Imagin¨arteil zeigt. Diese Wahl ist im Allgemeinen willk¨ urlich. Abbildung 6.5 enth¨alt einige Wellenfunktionen zu diesem Partnersystem. Wie zuvor angedeutet, befindet sich das Maximum der Amplitude an der Stelle des Potentialtopfs und 41 6 Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials 0.45 Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) 0.4 0.35 0.3 Ψ 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -60 -40 -20 0 x 20 40 60 (a) γ = 0 0.6 0.8 Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) 0.5 Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) 0.6 0.4 0.4 0.2 Ψ Ψ 0.3 0.1 0.2 0 0 -0.2 -0.1 -0.2 -40 -30 -20 -10 0 x (b) γ = 0.3 10 20 30 40 -0.4 -15 -10 -5 0 x 5 10 15 (c) γ = 0.45 Abbildung 6.5: Wellenfunktionen im Partnerpotential bei entferntem Grundzustand im linearen Fall f¨ ur verschiedene Werte von γ. 42 6.2 Station¨are L¨osungen ohne Nichtlinearit¨at 0.8 Re(µS ) Im(µS ) 0.6 µS 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 γ 0.5 0.6 0.7 0.8 Abbildung 6.6: Energiespektrum im linearen Fall bei entferntem angeregten Zustand in Abh¨angigkeit von γ. F¨ ur kleine Werte von γ < 0.039 bricht die numerisch bestimmte L¨osung zusammen. Der Grund daf¨ ur sind die in Abschnitt 6.1 bereits diskutierten Divergenzen im Superpotential. die Wellenfunktion erstreckt sich u ¨ber einen relativ großen Bereich. Dies kommt zu Stande, da der Grundzustand entfernt wird und der Partnerzustand die Energie des weniger gebundenen angeregten Zustand besitzt. Des Weiteren besitzen die Wellenfunktionen einen Knick, aufgrund der Sprungbedingung durch die Delta-Funktionen bei x = 1.1 und x = −1.1. Wie auch im Grundsystem ist die PT - Symmetrie nach der Bifurkation gebrochen. Entfernter angeregter Zustand Um den angeregten Zustand zu entfernen, wird zur Bestimmung von ξ in (6.22) und von V2 in (6.26) nicht wie zuvor der Energieeigenwert µgrund des Grundzustands, sondern µangeregt des angeregten Zustands verwendet. In diesem Fall l¨asst sich die Energie mit µS = µgrund − µangeregt (6.29) berechnen. Das zugeh¨orige Energiespektrum ist in Abbildung 6.6 dargestellt. F¨ ur zu kleine Werte von γ < 0.038 k¨onnen keine L¨osungen mehr gefunden werden. Dies liegt am Superpotential, das f¨ ur kleine Werte von γ divergiert, vergleiche dazu Abbildung 6.2(b), 43 6 Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials da der angeregte Zustand in diesem Bereich einen Knoten besitzt. Des weiteren ist auch hier zu erkennen, dass nach der Bifurkation das System einen rein imagin¨aren Eigenwert besitzt, da die beiden Zust¨ande im Grundsystem komplex konjugierte Eigenwerte aufweisen. Bei diesem System ist der Zustand mit negativem Imagin¨arteil der Energie aus 5.2 entfernt. Zum Vergleich mit den Wellenfunktionen aus 6.5 bei entferntem Grundzustand sind in Abbildung 6.7 Wellenfunktionen ¨aquivalenter Parameter bei entferntem angeregten Zustand abgebildet. Im Bereich kleiner Werte von γ vor der Bifurkation erstrecken sich die Wellenfunktionen u ¨ber einen kleineren Bereich und haben eine gr¨oßere Amplitude, was wie zuvor angedeutet an der Form des tieferen Potentialtopfes liegt. Befindet sich der Wert von γ im Bereich der Bifurkation, gehen die Wellenfunktion aus beiden Partnersystemen ineinander u ¨ber, da dort auch die Zust¨ande des PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials ineinander u ¨bergehen. Nach der Bifurkation sind auch hier die Zust¨ande PT -gebrochen. Vergleicht man jedoch 6.5(c) und 6.7(c) explizit, erkennt man, dass sich die Wellenfunktionen durch Anwenden des PT -Operators ineinander u uh¨berf¨ ren lassen. Dies kommt daher, dass das bereits f¨ ur die beiden Zust¨ande im urspr¨ unglichen System gilt. Diese Eigenschaft u ¨bertr¨agt sich dann u ¨ber das Superpotential W auf das Partnerpotential V2 und schließlich auch auf die Wellenfunktion des einzig verbleibenden Zustands in beiden F¨allen. Vergleicht man die Energiespektren 6.4 und 6.6, ist zu sehen, dass die Energieeigenwerte der beiden Systeme nach der Bifurkation komplex konjugiert zu einander sind. Es liegt quasi der gleiche Fall komplex konjugierter Eigenwerte wie im PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potential vor. 44 6.2 Station¨are L¨osungen ohne Nichtlinearit¨at 3 Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) 2.5 2 1.5 Ψ 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -6 -4 -2 0 x 2 4 6 (a) γ = 0.0383 1 Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) 0.8 0.6 0.2 Ψ Ψ 0.4 0 -0.2 -0.4 -0.6 -15 -10 -5 0 x (b) γ = 0.3 5 10 15 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -15 Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) -10 -5 0 x 5 10 15 (c) γ = 0.45 Abbildung 6.7: Wellenfunktionen im Partnerpotential bei entferntem angeregten Zustand im linearen Fall f¨ ur verschiedene Werte von γ. 45 7 Verschiedene Ans¨ atze zur Behandlung der Nichtlinearit¨ at im SuSy-Formalismus Bisher wurde nur das lineare Partnersystem des linearen PT -symmetrischen Doppel-Delta-Potentials untersucht. Da jedoch Bose-Einstein-Kondensate eine Zwei-Teilchen-Wechselwirkung aufweisen, die durch eine Nichtlinearit¨at g |Ψ|2 beschrieben werden kann, stellt sich nun die Frage, wie eine Nichtlinearit¨at im Grundsystem im SuSy-Formalismus ber¨ ucksichtigt werden kann. Zu diesem Zweck werden in diesem Kapitel Ans¨atze, eine Nichtlinearit¨at zu behandeln, untersucht. 7.1 Analytischer Ansatz fu ¨r das Superpotential Bisher wird das Superpotential aus (6.23) verwendet. Außerhalb der Delta-Funktionen ist es konstant und innerhalb wird es durch eine tanh-Funktion berechnet. Des Weiteren wird auch die Integrationskonstante aus (6.22) durch den nat¨ urlichen Logarithmus berechnet. Durch die Verwendung analytischer Funktionen bietet dieser Ansatz eine hohe numerische Stabilit¨at, da das Superpotential kein Rauschen besitzt und wenig anf¨allig gegen Fluktuationen ist. Eine Nichtlinearit¨at kann nun unterschiedlich mit diesem Ansatz im SuSy-Formalismus behandelt werden. Zum einen kann eine Nichtlinearit¨at g |ΨGrund |2 im Grundsystem gew¨ahlt werden. Wie sich gezeigt hat, kommt es zu einer Energieverschiebung im Spektrum des Grundsystems durch eine solche Nichtlinearit¨at. √ Diese Energieverschiebung geht in das Superpotential u ¨ber den Eigenwert λ = −µ ein und wird dadurch im SuSy-Partner ber¨ ucksichtigt. Es wird also ein nichtlineares Grundsystem betrachtet. Dann wird so getan, als k¨amen dessen Energien aus einem linearen Doppel-Delta-System, da das Superpotential aus (6.23) verwendet wird, und damit wird ein lineares Partnersystem aufgebaut. Dieser Weg hat den Vorteil, dass das Konzept der Supersymmetrie exakt angewendet werden kann, aber das nichtlineare System abgebildet wird. 47 7 Verschiedene Ans¨atze zur Behandlung der Nichtlinearit¨at im SuSy-Formalismus 0.385 0.38 µS 0.375 ideal g = −0.01, gS = 0 g = gS = −0.01 g = 0, gS = −0.01 0.37 0.365 0.36 0.355 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 γ Abbildung 7.1: Verschiedene Ans¨atze f¨ ur die Nichtlinearit¨at im Grundsystem g und Partnersystem gS . Der ideale Wert ist mit (6.28) berechnet f¨ ur eine Nichtlinearit¨at im Grundsystem vom Wert g = −0.01. Eine andere M¨oglichkeit ist die Nichtlinearit¨at erst in dem SuSy-Partner zu ber¨ ucksichti2 gen. Dabei hat sie die Form gS |ΨSuSy | , wobei ΨSuSy die Wellenfunktion aus dem Partnersystem ist. In diesem Fall ist das Potential nur vom linearen Grundsystem abh¨angig und eine Energieverschiebung wird erst nach Anwenden der Supersymmetrie ber¨ ucksichtigt. Der große Unterschied hierbei ist, dass die Energieverschiebung von der Wellenfunktion im SuSy-Partner ΨSuSy abh¨angt und nicht von der im Grundsystem ΨGrund . Hier geht es also um die Frage, wie sich das Partnersystem eines linearen Doppel-Delta-Potentials verh¨alt, wenn im Partner zus¨atzlich eine Nichtlinearit¨at wirksam ist. Auch eine Kombination beider Ans¨atze ist m¨oglich. Das bedeutet also, dass es um die Frage geht, wie gut sich u ¨ber den Supersymmetrieformalismus ein nichtlinearer Partner eines nichtlinearen Grundsystems finden l¨asst, der die exakte Reproduktion des nicht entfernten Eigenzustands m¨oglichst gut wiedergibt. 7.1.1 Vergleich der Energieeigenwerte Um den Einfluss der verschiedenen Ans¨atze der Nichtlinearit¨at im SuSy-Formalismus zu untersuchen, sind in Abbildung 7.1 Ausschnitte aus den Energiespektren der Ans¨atze dargestellt. Der ideale Wert ist mit (6.28) aus dem PT -symmetrischen Doppel-Delta- 48 7.1 Analytischer Ansatz f¨ ur das Superpotential System mit einer Nichtlinearit¨at der St¨arke g = −0.01 berechnet. Die Unterschiede der einzelnen Ans¨atze zum idealen Wert sind gering, aber deutlich erkennbar. Wie aus der Abbildung zu entnehmen ist, reproduziert der Ansatz mit g = −0.01 und gS = 0 den idealen Wert am besten. Mit diesem Ansatz geht die Energieverschiebung u ¨ber das Superpotential in das Partnersystem ein. Trotzdem kommt es zu einer Abweichung vom idealen Wert, die zu groß ist, um sie auf numerische Probleme zur¨ uckf¨ uhren zu k¨onnen. Die Ursache hierf¨ ur wird im kommenden Abschnitt erl¨autert. Des Weiteren liefert der Ansatz mit einem nichtlinearen Term nur im SuSy-Partner die gr¨oßte Abweichung. Die durch die Nichtlinearit¨at verursachte Energieverschiebung h¨angt von der Wellenfunktion im SuSy-Partner ab, aber nicht von der im Grundsystem. Wie zu sehen ist, kommt es dadurch zu einer gr¨oßeren Energieabsenkung. Dies l¨asst sich auch anhand der Wellenfunktionen verstehen. Zur Erinnerung, in Abbildung 5.2 befinden sich die Wellenfunktionen ohne Nichtlinearit¨at des Grundsystems und in 6.5 die des SuSyPartners bei entferntem Grundzustand. Durch die Nichtlinearit¨at der Form −0.01 |Ψ|2 entsteht in der GPE stets ein zus¨atzliches attraktives Potential. Dies h¨angt dabei von der Form der Wellenfunktion ab. Die Wellenfunktionen des Grundzustands im DoppelDelta-Potential weisen zwei Extrema an den Stellen der Delta-Funktionen auf, die Wellenfunktionen bei entferntem Grundzustand im SuSy-Partner weisen nur ein Extremum bei x = 0 auf, haben dort aber eine h¨ohere Amplitude im Vergleich mit denen aus dem Grundsystem. Dies bedeutet, dass das durch die Nichtlinearit¨at entstehende Potential im Partnersystem st¨arker lokalisiert ist und eine, bildhaft gesprochen, gr¨oßere Tiefe aufweist. Dadurch wirkt dieses st¨arker anziehend und verursacht eine gr¨oßere Energieverschiebung. Anschaulich physikalisch erkl¨art, bedeutet die Nichtlinearit¨at, dass sich die Teilchen vorzugsweise an der selben Stelle aufhalten. Die Wellenfunktionen symbolisieren die Dichte des Kondensates beziehungsweise die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Teilchen. Durch die Nichtlinearit¨at zieht sich nun das Kondensat zu den Punkte der maximalen Dichte zusammen. Im SuSy-Partner gibt es nur einen solchen Punkt; im Grundsystem jedoch zwei, die sozusagen um die Teilchen konkurrieren. Naiv k¨onnte man f¨ ur den dritten Fall erwarten, dass bei Nichtlinearit¨aten in beiden Systemen sich die Energieverschiebungen addieren w¨ urden. Dies ist aber nicht der Fall. Durch die unterschiedlichen Energien des Grundsystems mit und ohne Nichtlinearit¨at haben die daraus konstruierten Superpotentiale eine verschieden Form. Folglich haben auch die Wellenfunktionen ein leicht verschiedene Form. Dadurch ist die Nichtlinearit¨at nicht derart anziehend wie beim Ansatz zuvor. Um die Stabilit¨at mit den BdGE (3.20) untersuchen zu k¨onnen, wird eine Nichtlinearit¨at im Partnersystem ben¨otigt. F¨ ur diesen Fall erweist sich der mit gleichen St¨arken der Nichtlinearit¨at g = gS als besserer Ansatz. Insgesamt liefert keiner der Ans¨atze den idealen Wert. 49 7 Verschiedene Ans¨atze zur Behandlung der Nichtlinearit¨at im SuSy-Formalismus 0.4 0.2 0 µS -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 Re(µS ) Im(µS ) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 γ 0.5 0.6 0.7 0.8 Abbildung 7.2: Energiespektrum des Partnersystems bei entferntem Grundzustand bei einer nichtverschwindenden Nichtlinearit¨at der St¨arke g = gs = −0.05. 7.1.2 Diskussion der Qualit¨ at des Ansatzes Zur Veranschaulichung und Untersuchung der Qualit¨at wird der allgemeinste der zuvor eingef¨ uhrten Ans¨atze mit einer St¨arke der Nichtlinearit¨at von g = gS = −0.05 gew¨ahlt. In Abbildung 7.2 ist ein Energiespektrum f¨ ur diese St¨arke der Nichtlinearit¨at bei entferntem Grundzustand zu sehen. Wie zu erkennen ist, spaltet ein Zustand kurz vor der Bifurkation ab. Es gibt also auch hier in einem kleinen Bereich mehrere L¨osungen. Dies erbt das Partnersystem vom Grundsystem. Des Weiteren ist die Energie auch schon vor der Bifurkation nicht rein reell. Dies kann bedeuten, dass die Wellenfunktionen oder der Hamiltonoperator des Partnersystems nicht PT -symmetrisch sind. Eine andere Ursache kann in dem endlichen Integrationsbereich liegen, durch den ein zus¨atzliches Potential entsteht. Dieses Potential ist ein unendlich hohes Kastenpotential, das nur bemerkbar wird, wenn die Wellenfunktion am Ende des Integrationsbereich noch nicht vollst¨andig abgefallen ist. Wie schon vorher zu sehen war, sind die Wellenfunktionen bei entferntem Grundzustand sehr weitl¨aufig und fallen nur langsam ab. Jedoch hat sich bei genauerer Untersuchung gezeigt, dass der Ansatz f¨ ur das Superpotential der ausschlaggebende Grund ist. Bei verschwindender Nichtlinearit¨at im Grundsystem ist es sinnvoll, den Ansatz aus (6.23) zu w¨ahlen und so durch die Wahl der Integrationskonstanten zu erzwingen, dass sich die Wellenfunktionen aus Exponentialfunktionen zusammensetzen. Dadurch wird eine hohe Stabilit¨at erreicht, da kein Rauschen auf dem Superpotential durch die Wellenfunktionen ist. Allerdings versagt diese Methode schon recht fr¨ uh f¨ ur große Werte von γ, falls das Grundsystem eine nichtverschwindende Nichtlinearit¨at 50 7.2 Ansatz f¨ ur das Superpotential u ¨ber eine Differentialgleichung besitzt. Wie hier zu sehen ist, besitzt das Energiespektrum des SuSy-Partners komplexe Energieeigenwerte in einem Bereich, in dem das Grundsystem nur rein reelle Eigenwerte besitzt. Dies liegt daran, dass bei der Herleitung von (6.23) eine Nichtlinearit¨at im Grundsystem nicht ber¨ ucksichtigt wurde und dass durch diesen Ansatz des Superpotentials ein Grundsystem erzwungen wird, das die Bestimmungsgleichung aus (5.7) erf¨ ullt. Wird nun eine Nichtlinearit¨at im Grundsystem eingef¨ uhrt, wird gegen¨ uber des linearen Falls die Energie verschoben und die Bestimmungsgleichung (5.7) ist nicht mehr f¨ ur ein festen Abstand a und dem Parameterpaar λ und ν erf¨ ullt. Dies kompensiert das Superpotential u ur das Parameterpaar ¨ber die Integrationskonstante ξ aus Gleichung (6.22), die f¨ λ und ν nun passende Abst¨ande f¨ ur die Delta-Funktionen erzwingt. Dadurch ist jedoch das so simulierte“ Grundsystem nicht mehr PT -symmetrisch, das Superpotential nicht ” mehr PT -antisymmetrisch und es kommt zu einem PT -gebrochenen Partnerpotential V2 . In diesem Partnerpotential existieren nun im Allgemeinen L¨osungen mit komplexen Eigenwerten und PT -gebrochenen Wellenfunktionen. Dies ist auch der Grund f¨ ur die Abweichungen der Energien in Abbildung 7.1 bei nichtverschindender Nichtlinearit¨at im Grundsystem. Wie schon in [13] gezeigt wurde, kann also im nichtlinearen Fall die Supersymmetrie nie exakt umgesetzt werden. 7.2 Ansatz fu ¨r das Superpotential u ¨ber eine Differentialgleichung Wie sich gezeigt hat, liefert der Ansatz u ur das ¨ber die Differentialgleichung (6.13) f¨ Superpotential gute Ergebnisse im linearen Fall. Jedoch nimmt die Qualit¨at bei einer Nichtlinearit¨at im Grundsystem schnell erheblich ab. Eine naheliegende M¨oglichkeit, diesen Ansatz des Superpotentials zu erweitern, ist die Nichtlinearit¨at explizit zu ber¨ ucksichtigen. Die Nichtlinearit¨at wird nun in das Potential V1 mit einbezogen. Man erh¨alt folglich die Differentialgleichung V1 = W 2 − W 0 = λ2 + νδ (x − a) + ν ∗ δ (x + a) + g |ΨGrund |2 , (7.1) mit der Wellenfunktion ΨGrund des zu entfernenden Eigenzustands im Grundsystem. Dabei enth¨alt W 0 wieder die Delta-Funktionen und W gen¨ ugt den Sprungbedingungen aus (6.9). Es muss also die Gleichung W 0 = W 2 − λ2 − g |ΨGrund |2 (7.2) numerisch gel¨ost werden. Diese ben¨otigt Startwerte f¨ ur W (0), die beliebig gew¨ahlt werden d¨ urfen, da jedes Superpotential, dass die Differentialgleichung (7.1) erf¨ ullt, ein richti2 0 ges Partnerpotential V2 = W + W ergibt. Wie sich jedoch in [13] gezeigt hat, liefert die 51 7 Verschiedene Ans¨atze zur Behandlung der Nichtlinearit¨at im SuSy-Formalismus Re(W) Im(W) 0.5 Re(W) Im(W) 0.5 0 W W 0 -0.5 -0.5 -1 -1 -10 -5 0 x 5 10 -10 -5 (a) g = 0 0 x 5 10 (b) g = 0.5 Abbildung 7.3: Superpotentiale aus (7.2) f¨ ur γ = 0.3 und f¨ ur zwei verschiedene Werte der St¨arke der Nichtlinearit¨at g. 3 3 Re(V2 ) Im(V2 ) 2 Re(V2 ) Im(V2 ) 2 1 0 0 V2 V2 1 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -10 -5 0 x (a) g = 0 5 10 -4 -10 -5 0 x 5 10 (b) g = 0.5 Abbildung 7.4: Partnerpotentiale f¨ ur γ = 0.3 und f¨ ur zwei verschiedene Werte der St¨arke der Nichtlinearit¨at g. Startbedingung W (0) = 0 wieder PT -antisymmetrische Superpotentiale. Durch diese wird auch die PT -Symmetrie in V2 erhalten, was im Allgemeinen bei anderen Startwerten W (0) 6= 0 nicht der Fall ist. In Abbildung 7.3 befinden sich zwei Superpotentiale, die mit Gleichung (7.2) numerisch bestimmt sind. Sie zeigen den Fall, dass der Grundzustand des Ausgangssystem entfernt wird. Innerhalb der Delta-Funktionen, x = ±1.1, ¨ahneln sie den vorherig verwendeten Superpotentialen aus 6.2. Jedoch sind sie außerhalb der Delta-Funktionen nicht konstant, sondern nehmen einen nichttrivialen Verlauf an. Sie streben auch anders als die in Abbildung 6.2 dargestellten Potentialverl¨aufe am linken Rand gegen einen positiven Wert und rechts gegen einen negativen. Vergleicht man die Superpotentiale im linearen Fall und im nichtlinearen Fall aus 7.3, so erkennt man, dass die Form gleich bleibt und nur die Funktionswerte sich ver¨andern. Dies wird deutlich beim Vergleich der aus diesen Superpotentialen bestimmten Partnerpotentiale 52 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -30 Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) Ψ Ψ 7.2 Ansatz f¨ ur das Superpotential u ¨ber eine Differentialgleichung -20 -10 0 x (a) g = 0 10 20 30 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -30 Re(Ψ)(x) Im(Ψ)(x) -20 -10 0 x 10 20 30 (b) g = 0.5 Abbildung 7.5: Wellenfunktionen in den neuen Partnerpotentialen aus 7.4. in Abbildung 7.4. Auch hier ist zu erkennen, dass innerhalb der Delta-Funktionen sich die neuen Partnerpotentiale und die alten aus 6.3 ¨ahneln. Jedoch enthalten die neuen Partnerpotentiale außerhalb von x = ±1.1 noch zwei Mulden“. Durch eine Nichtlinea” rit¨at im Grundsystem vergr¨oßert sich die Tiefe“ dieser Mulden und das Potential wirkt ” anziehender. Diese Form des Partnerpotentials geht auch in die Wellenfunktionen in Abbildung 7.5 ein. So befinden sich die Maxima der Wellenfunktionen innerhalb der Delta-Funktionen und in den Mulden. Ein Unterschied durch die Nichtlinearit¨at ist in den Wellenfunktionen nicht direkt erkennbar, erst wenn man die Werte explizit vergleicht. Wie zu erkennen ist, besitzen sowohl das Superpotential als auch das Partnerpotential Spr¨ unge bei den Delta-Funktionen, die in Knicke in den Wellenfunktionen an der gleichen Stelle resultieren. Bei der weiteren Untersuchung des neuen Ansatzes des Superpotentials stellt sich heraus, dass die Differentialgleichung aus (7.2) f¨ ur eine verschwindende Nichtlinearit¨at, g = 0, und f¨ ur Werte von γ → 0 numerisch instabil wird. Dies zeigte sich in Divergenzen des Superpotentials f¨ ur |x| > 10. Dort sind aber die Wellenfunktionen noch nicht ausintegriert und es k¨onnen in diesem Bereich f¨ ur die Parameter keine L¨osungen gefunden werden. Dies ist in den folgenden Abbildungen nicht zu erkennen, da dies erst f¨ ur sehr kleine Werte von γ der Fall ist. Wie zuvor werden nun verschiedene Ans¨atze, die Nichtlinearit¨at in beiden Systemen zu ber¨ ucksichtigen, verglichen. Dazu enth¨alt Abbildung 7.6 Ausschnitte aus den Energiespektren der verschiedenen M¨oglichkeiten. Wie sofort auff¨allt, reproduziert die Wahl g = −0.01 und gS = 0 den idealen Wert erstaunlich gut, sogar etwas besser als es in [13] vermutet wurde. Dies ist der Fall, da in dieser Arbeit die Nichtlinearit¨at des Grundsystems konsequenter in das Superpotential mit einbezogen wird und eine anziehende Nichtlinearit¨at auch als solche gewertet wird. Des weiteren ist die gleiche Tendenz wie in Abbildung 7.1 zu erkennen. Der Ansatz mit g = 0 und gS = −0.01 hat die gr¨oßte Ab- 53 7 Verschiedene Ans¨atze zur Behandlung der Nichtlinearit¨at im SuSy-Formalismus 0.385 0.38 µS 0.375 ideal g = −0.01, gS = 0 g = gS = −0.01 g = 0, gS = −0.01 0.37 0.365 0.36 0.355 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 γ Abbildung 7.6: Vergleich von Auschnitten aus den Enrgiespektren der verschiedenen M¨oglichkeiten eine Nichtlinearit¨at zu ber¨ ucksichtigen. Der ideale Wert ist mit (6.28) aus dem Grundsystem mit g = −0.01 berechnet. weichung vom idealen Wert. Der Grund daf¨ ur ist wieder, dass die Nichtlinearit¨at erst im Partnersystem ber¨ ucksichtigt wird und sie so nur von der Wellenfunktion im Partnersystem abh¨angt. Auch hier liegt wieder der Ansatz mit g = gS in Bezug auf die Abweichung zwischen den anderen beiden. Wie zuvor addieren sich die Energieverschiebungen nicht, sondern die Nichtlinearit¨at g im Grundsystem ver¨andert die Wellenfunktionen im Partnersystem derart, dass eine zus¨atzliche Nichtlinearit¨at gS im Partnersystem nicht so stark ins Gewicht f¨allt. Abschließend kann noch eine Aussage u ¨ber die Qualit¨at des Ansatzes aus (7.1) getroffen werden. Durch diesen Ansatz sind die Partnerpotentiale auch f¨ ur große Werte von γ und g PT -symmetrisch. Dadurch treten auch keine komplexe Energieeigenwerte auf solange das Grundsystem ein reelles Spektrum besitzt. 7.3 Diskussion der Stabilit¨ at Eine Aussage u ¨ber die Stabilit¨at kann mithilfe der Bindungsenergie EB getroffen werden. Sie wird aus der Energie µgrund des Grundzustands aus dem Ausgangssystem und der Energie des Zustandes µS berechnet, da das Partnerpotential V2 f¨ ur große Werte von |x| 54 7.3 Diskussion der Stabilit¨at 0.02 Angeregter Zustand des Grundsystems g = −0.01, gS = 0 g = gs = −0.01 g = 0, gS = −0.01 0.018 EB 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0 0.05 0.1 γ 0.15 0.2 Abbildung 7.7: Bindungsenergien der verschiedenen Ans¨atze f¨ ur die Nichtlinearit¨at und mit dem Superpotential aus (6.23). Zum Vergleich ist die Bindungsenergie des angeregten Zustands aus dem Grundsystem mit enthalten. gegen den Wert −µgrund konvergiert: EB = µgrund − µS . (7.3) In Abbildung 7.3 befinden sich die Bindungsenergien f¨ ur den Ansatz aus (6.23). Erneut wird der Fall behandelt, dass der Grundzustand des Ausgangssystems entfernt wird. Zus¨atzlich ist die des angeregten Zustandes aus dem Grundsystem mit eingetragen, da nach der Anwendung des SuSy-Formalismus der Zustand im Partnersystem ¨aquivalent zum angeregten Zustand im Grundsystem sein sollte. Wie zu erkennen ist, steigt die Bindungsenergie f¨ ur gr¨oßer werdende Werte von γ. Dies bedeutet, dass auch die Stabilit¨at der Zust¨ande zunimmt. Das ist gerade umgekehrt zum Ausgangssystem. Dort nimmt die Bindungsenergie des Grundzustands f¨ ur steigende Werte von γ ab, wie in Abbildung 5.2 gesehen werden kann. Der stabilste Zustand ist der des Partnersystems bei einer verwendeten Nichtlinearit¨at der Form g = gS . Hier bringt die Ber¨ ucksichtigung einer Nichtlinearit¨at in beiden Systemen eine h¨ohere Stabilit¨at, da beide Nichtlinearit¨aten anziehend und damit bindend wirken. Die Zust¨ande bei verwendetem Ansatz mit g = −0.01 und gS = 0 werden relativ gesehen zu den anderen Zust¨anden immer instabiler. So haben sie anfangs noch die zweith¨ochste Bindungsenergie, die jedoch f¨ ur steigende Werte von γ zuerst kleiner wird als die des Ansatzes mit g = 0 und g = 0.01 und daraufhin kleiner als die Bindungsenergie des angeregten Zustands des Ausgangssystems. Insgesamt sind auch f¨ ur große Werte von γ zwei der drei Ans¨atze stabiler als der angeregte Zustand des Ausgangssystems. 55 7 Verschiedene Ans¨atze zur Behandlung der Nichtlinearit¨at im SuSy-Formalismus 0.02 Angeregter Zustand des Grundsystems g = −0.01, gS = 0 g = gs = −0.01 g = 0, gS = −0.01 0.018 EB 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0 0.05 0.1 γ 0.15 0.2 Abbildung 7.8: Bindungsenergien f¨ ur die verschiedenen Ans¨atze der Nichtlinearit¨at mit dem Superpotential aus (7.2). Zum Vergleich ist die Bindungsenergie des angeregten Zustands aus dem Grundsystem mit enthalten. In Abbildung 7.8 befinden sich Bindungsenergien f¨ ur die verschiedenen Ans¨atze der Nichtlinearit¨at f¨ ur das Superpotential aus (7.2). Es wird wieder auf den Fall des entfernten Grundzustands aus dem Ausgangssystem eingegangen. Wie auch zuvor, bringt die doppelte Ber¨ ucksichtigung der Nichtlinearit¨at, also im Grundsystem und im Partnersystem, eine h¨ohere Stabilit¨at. So ist die Bindungsenergie f¨ ur g = gS am h¨ochsten. Bei exakter Supersymmetrie ist zu erwarten, dass die Bindungsenergien des angeregten Zustands des Grundsystems und des verbleibenden Zustands im Partnersystem die selben sind. Wie sich gezeigt hat, ist die Supersymmetrie sehr gut f¨ ur den Ansatz g = −0.01 und gS = 0 erf¨ ullt. Dies ist auch bei den Bindungsenergien zu erkennen. Die Bindungsenergie f¨ ur diesen Ansatz und die des angeregten Zustands liegen stets sehr nahe aneinander. Jedoch ist die des Partnersystems immer etwas gr¨oßer, was sich darauf zur¨ uckf¨ uhren l¨asst, dass die Supersymmetrie nicht exakt ist. Die Bindungsenergie mit dem Ansatz g = 0 und gS = −0.01 schneidet in diesem Vergleich am schlechtesten ab. Zwar liegt sie nahe an der des angeregten Zustands aus dem Grundsystem, dennoch entfernt sie sich f¨ ur große Werte von γ immer weiter von ihr. Letztendlich liegen alle Energien im gleichen Bereich und auch aus dem Vergleich der Bindungsenergie kann eine Aussage u ¨ber die Qualit¨at der Ans¨atze f¨ ur eine Nichtlinearit¨at im SuSy-Formalismus getroffen werden. So ergibt der Ansatz mit g = 0.01 und gS = 0 nahezu die gleiche Bindungsenergie, was f¨ ur eine sehr genaue Umsetzung der Supersymmetrie mit diesem Ansatz spricht. 56 7.4 Weiterer Aspekt der Stabilit¨atsuntersuchung 7.4 Weiterer Aspekt der Stabilit¨ atsuntersuchung In nichtlinearen Systemen gibt es die M¨oglichkeit, eine lineare Stabilit¨atsuntersuchung unter Ber¨ ucksichtigung der Dynamik mithilfe der Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen (BdGE) durchzuf¨ uhren. Dies entspricht dann einer dynamischen Stabilit¨at gegen kleine Auslenkungen aus dem station¨aren Zustand, wie es als Fluktuationen in jedem Experiment auftreten. Ein Zustand eines Systems wird als stabil bezeichnet, wenn er nach einer kleinen St¨orung wieder in den Ausgangszustand zur¨ uckkehrt oder um diesen oszilliert. Instabile Zust¨ande haben den großen Nachteil, dass ihre experimentelle Untersuchung sich schwer realisieren l¨asst, da diese durch Fluktuationen oder kleine a¨ußeren St¨orungen zerfallen. Die Frage ist nun, ob die Zust¨ande der durch den SuSy-Formalismus konstruierten Systeme stabil oder instabil sind. F¨ ur Bose-Einstein-Kondensate l¨asst sich dies beantworten durch das Studium der in dieser Arbeit eingef¨ uhrten BdGE der Partnersysteme. Diese dynamische Untersuchung u ¨bersteigt den Umfang dieser Bachelorarbeit, die erforderliche Vorgehensweise soll jedoch f¨ ur weitere Betrachtungen erl¨autert werden. Das numerische Vorgehen gleicht dem des Doppel-Delta-Potentials und des Partnersystems. In diesem Fall muss jedoch nicht nur eine Differentialgleichung ausintegriert werden sondern die beiden gekoppelten aus (3.20):
−∇2 + Vext (r) − µS + 2gS |Ψ0 (r)|2 u (r) + gS Ψ0 (r)2 v (r) = ωu (r) , (7.4a)
2 2 ∗ −∇2 + Vext (r) − µ∗S + 2gS |Ψ0 (r)| v (r) + gS Ψ∗0 (r) u (r) = −ωv (r) . (7.4b) Dabei stammt die Wellenfunktion Ψ0 mit dem zugeh¨origen Eigenwert µS aus dem Partnersystem mit Vext = V2 und gS als St¨arke der Nichtlinearit¨at. Zum Integrieren wird wieder ein Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung verwendet, welches f¨ ur die BdGE die Startwerte Re(u)(0) , Re(v)(0) , Re(ω) , Im(u)(0) , Re(v 0 )(0) , Re(ω) Re(u0 )(0) , Im(v 0 )(0) , Im(u0 )(0) , ben¨otigt. Dabei kann Im(v)(0) immer auf Null gesetzt werden, da u und v invariant sind unter einer gemeinsamen Transformation mit exp(iξ) wie in (3.22). Die physikalischen Bedingungen sind die gleichen wie die aus den beiden Kapiteln davor, Re(u)(±∞) = 0 , Re(v)(±∞) = 0 , Im(u)(±∞) = 0 , Im(v)(±∞) = 0 , 57 7 Verschiedene Ans¨atze zur Behandlung der Nichtlinearit¨at im SuSy-Formalismus jedoch mit einer Ausnahme; die Wellenfunktionen m¨ ussen eine gemeinsam Norm Z ∞ Z ∞ 2 |Θ(x)| dx = |u(x) + v ∗ (x)|2 dx = 1 (7.5) −∞ −∞ erf¨ ullen. Die Nullstellensuche variiert nun die Startwerte bis die physikalischen Bedingungen erf¨ ullt sind. Man kann das Problem noch um eine Dimension reduzieren. Zum Beispiel kann man auch Re(v)(0) auf einen festen Wert setzen, wenn man die Norm aus (7.5) offen l¨asst. Dies ist erlaubt, da u und v linear in den BdGE (7.4) vorkommen. Dadurch erf¨ ullen alle u˜ = b · u und v˜ = b · v mit b ∈ R die BdGE, falls u und v dies tun. Die Norm unterscheidet sich lediglich um den Faktor b2 . Durch L¨osen der BdGE aus (7.4) kann ein Eigenwertspektrum von ω in Abh¨angigkeit systemspezifischer Variablen wie γ, g oder gS gefunden werden. F¨ ur reelle Eigenwerte ist der so untersuchte Zustand hinsichtlich der Dynamik unter dem gew¨ahlten Satz an Variablen stabil und bei komplexen Eigenwerten instabil. 58 8 Zusammenfassung und Ausblick Ziel dieser Bachelorarbeit war es, den Supersymmetrie-Formalismus auf das PT -symmetrische Doppel-Delta-Potential anzuwenden. Dabei sollten verschiedene Ans¨atze, ein Superpotential zu konstruieren, hinsichtlich ihrer Qualit¨at gegen¨ ubergestellt werden, vor allem unter Ber¨ ucksichtigung von Nichtlinearit¨aten in beiden Systemen. Des weiteren sollte eine Aussage u ¨ber die Stabilit¨at getroffen werden. Zuerst wurden in dieser Bachelorarbeit vorherige Ergebnisse nachvollzogen und dazu das PT -symmetrische Doppel-Delta-Potential analytisch gel¨ost. Dieses enth¨alt die Ein- und Auskopplungskonstante γ, die als Imagin¨arteil in das Potential eingeht. Der Abstand der beiden Delta-Funktionen wurde dabei so gew¨ahlt, dass zwei Zust¨ande existieren. Dies war n¨otig, um sp¨ater den SuSy-Formalismus anwenden zu k¨onnen. Es zeigte sich, dass das Eigenwertspektrum bis zu einem kritischen Wert von γ zwei reelle L¨osungen besitzt. Ab diesem Wert treten zwei komplex konjugierte Eigenwerte auf. Es zeigte sich, dass dies an den Eigenzust¨anden liegt. Vor dem kritischen Wert sind die Eigenzust¨ande PT symmetrisch und danach sind sie PT -gebrochen. Daraufhin wurde die Gross-PitaevskiiGleichung f¨ ur das PT -symmetrische Doppel-Delta-Potential mit einer Nichtlinearit¨at numerisch gel¨ost. Es stellte sich heraus, dass durch die Nichtlinearit¨at die PT -gebrochenen Eigenzust¨ande sich schon vor dem kritischen Wert von γ vom Grundzustand abspalten. Als n¨achstes wurde der SuSy-Formalismus angewendet. Es wurde ein analytisch bestimmtes Superpotential aus dem linearen Doppel-Delta-System reproduziert. Dabei stellte sich heraus, dass dieses numerisch genauer bestimmt werden kann als das aus den Wellenfunktion gewonnene Superpotential. Im linearen Fall konnte dadurch die Supersymmetrie exakt angewendet werden und es konnten sowohl Grundzustand als auch angeregter Zustand jeweils entfernt werden. Dann wurden erstmals verschiedene Ans¨atze, die Nichtlinearit¨at zu behandeln, eingef¨ uhrt. Es stellte sich heraus, dass sich das analytische Superpotential f¨ ur eine nichtverschwindende Nichtlinearit¨at schlecht eignet. Es traten komplexe Eigenwerte im Eigenwertspektrum des Partnerpotentials auf, obwohl das Grundsystem rein reelle Eigenwerte besaß. Daraufhin wurde ein weiterer Ansatz vorgestellt, die Nichtlinearit¨at explizit bei der Konstruktion des Superpotentials zu ber¨ ucksichtigen. Die dadurch gewonnen Differentialgleichung wurde numerisch gel¨ost und es zeigte sich, dass das so bestimmte Superpotential die Supersymmetrie auch im 59 8 Zusammenfassung und Ausblick nichtlinearen Fall erstaunlich genau wiedergibt. Die Stabilit¨at des Partnersystems bei entferntem Grundzustand konnte relativ zum angeregten Zustand des Grundsystems diskutiert werden. Die Bindungsenergien liegen alle im Bereich der des angeregten Zustands des Grundsystems. Bei einer Nichtlinearit¨at im Grundsystem und im Partnersystem konnte eine erh¨ohte Stabilit¨at festgestellt werden. Zuletzt wurden noch die Bogoliubov-de Gennes-Gleichungen (BdGE) eingef¨ uhrt und erkl¨art, wie diese numerisch gel¨ost werden k¨onnen. Der n¨achste Schritt in weiteren Arbeiten w¨are nun, diese BdGE zu l¨osen und die lineare Stabilit¨at unter Ber¨ ucksichtigung der Dynamik zu untersuchen. Außerdem kann der erweiterte Ansatz zur Konstruktion des Superpotentials weiter untersucht werden, um festzustellen, wie genau die Supersymmetrie mit diesem Superpotential erf¨ ullt ist. 60 Literaturverzeichnis [1] C. M. Bender und S. Boettcher. Real Spectra in Non-Hermitian Hamiltonians Having PT Symmetry. Phys. Rev. Lett. 80, 5243–5246 (1998). [2] H. Cartarius und G. Wunner. Model of a PT -symmetric Bose-Einstein condensate in a δ-function double-well potential. Phys. Rev. A 86, 013612 (2012). [3] N. Moiseyev. Non-Hermitian Quantum Mechanics. Cambridge University Press, Cambridge (2011). [4] F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii und S. Stringari. Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases. Rev. Mod. Phys. 71, 463–512 (1999). [5] Yu. A. Gelfand und E. P. Likhtman. Extension of the Algebra of Poincare Group Generators and Violation of P invariance. JETP Lett. 13, 323–326 (1971). [6] A. Neveu und J. H. Schwarz. Factorizable dual model of pions. Nucl. Phys. B 31, 86 – 112 (1971). [7] P. Ramond. Dual Theory for Free Fermions. Phys. Rev. D 3, 2415–2418 (1971). [8] H. Nicolai. Supersymmetry and spin systems. J. Phys. A 9, 1497 (1976). [9] E. Witten. Dynamical breaking of supersymmetry. Nucl. Phys. B 188, 513 – 554 (1981). [10] E. Witten. Constraints on supersymmetry breaking. Nucl. Phys. B 202, 253 – 316 (1982). [11] M.-A. Miri, M. Heinrich und D. N. Christodoulides. Supersymmetry-generated complex optical potentials with real spectra. Phys. Rev. A 87, 043819 (2013). [12] M.-A. Miri, M. Heinrich, R. El-Ganainy und D. N. Christodoulides. Supersymmetric Optical Structures. Phys. Rev. Lett. 110, 233902 (2013). 61 Literaturverzeichnis [13] N. Abt. Supersymmetrische Erweiterung des PT -symmetrischen Doppel-DeltaPotentials. Bachelorarbeit, Universit¨at Stuttgart (2014). [14] D. Haag. Numerische Behandlung von Bose-Einstein-Kondensaten im PT -symmetrischen Doppelmuldenpotential. Masterarbeit, Universit¨at Stuttgart (2012). [15] D. Dast. Variationsrechnungen zu Bose-Einstein-Kondensaten in PT -symmetrischen Doppelmuldenpotentialen. Masterarbeit, Universit¨at Stuttgart (2012). [16] A. L¨ohle. Stabilit¨atsl¨ ucke bei PT -symmetrischen Bose-Einstein-Kondensaten. Bachelorarbeit, Universit¨at Stuttgart (2013). [17] W. Nolting. Grundkurs Theoretische Physik 6: Statistische Physik. Grundkurs Theoretische Physik / Wolfgang Nolting. Springer (2014). [18] J. Rogel-Salazar. The Gross-Pitaevskii equation and Bose-Einstein condensates. Eur. J. Phys. 34, 247–257 (2013). [19] H. Kalka und G. Soff. Supersymmetrie. Teubner Studienb¨ ucher Physik. Teubner Verlag (1997). 62 Danksagung Ich m¨ochte mich bei allen bedanken, die mich beim Schreiben dieser Bachelorarbeit unterst¨ utzt haben. Ein besonderer Dank geht an Dr. Holger Cartarius, der mich bei Fragen mit Rat und Tat unterst¨ utzt hat. Prof. Dr. G¨ unter Wunner m¨ochte ich f¨ ur die M¨oglichkeit danken, eine Bachelorarbeit am 1. Institut f¨ ur Theoretische Physik schreiben zu k¨onnen. Des Weiteren danke Robin Schuldt f¨ ur die gute Zusammenarbeit und Cedric Sommer f¨ ur die gute B¨ uroatmosph¨are. Bei den Mitarbeitern des Instituts bedanke ich mich f¨ ur die angenehme Arbeitsatmosph¨are. Zuletzt m¨ochte ich mich noch bei meiner Familie bedanken, die mich w¨ahrend dieser Zeit unterst¨ utzt hat. 63 Ehrenwo arung ¨rtliche Erkl¨ Ich erkl¨are, • dass ich diese Bachelorarbeit selbst¨andig verfasst habe, • dass ich keine anderen als die angegebenen Quellen benutzt und alle w¨ortlich oder sinngem¨aß aus anderen Werken u ¨bernommenen Aussagen als solche gekennzeichnet habe, • dass die eingereichte Arbeit weder vollst¨andig noch in wesentlichen Teilen Gegenstand eines anderen Pr¨ ufungsverfahrens gewesen ist, • dass ich die Arbeit weder vollst¨andig noch in Teilen bereits ver¨offentlicht habe, es sei denn, der Pr¨ ufungsausschuss hat die Ver¨offentlichung vorher genehmigt • und dass der Inhalt des elektronischen Exemplars mit dem des Druckexemplars u ¨bereinstimmt. Stuttgart, den 11. September 2015 Jacques Philippe Schraft