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Statische Spiele mit unvollständiger Information: Bayesianische-Spiele In einigen Situationen verfügen Spieler (nur) über unvollständige Information. Möglicherweise kennen sie die relevanten Charakteristika ihrer Mitspieler nicht.
Bush gegen Saddam – Was waren Saddams Präferenzen? Bushs Erwartungen darüber, was Saddam nach dem Angri¤ unternehmen würde, hingen von Saddams Präferenzen ab. Kannte Bush Saddams Beweggründe? – Was Saddam tat, war wiederum abhängig davon, wie er die Konsequenzen von Bushs Aktionen einschätzte. Kannte er diese?
Um ein solches Spiel zu analysieren, benötigen wir einen Rahmen, in dem wir Unvollständigkeit von Informationen abbilden können.
Motivierendes Beispiel
Betrachten wir eine Variante des "Battle of Sexes" Spiels. Unterstellen wir dabei, die Präferenzen von Spieler 1 (der Mann) seien common knowledge. Nehmen wir jedoch an, die Präferenzen von Spieler 2 (die Frau) seien nur ihr selbst bekannt. Spieler 1 ist sich bezüglich relevanter Aspekte der Präferenzen der Frau unsicher.
Spieler 1 glaubt, dass es zwei Möglichkeiten gibt: Entweder will sich Spieler 2 mit ihm tre¤en, oder sie will sich nicht mit ihm tre¤en.
Falls sich die Frau mit dem Mann tre¤en möchte, dann können wir ihre strategische Interaktion als folgendes zweimal-zwei Spiel in Normalform darstellen: B S
B 2,1 0,0
S 0,0 1,2
(Spiel 1)
Falls sich die Frau nicht mit dem Mann tre¤en möchte, dann können wir ihre strategische Interaktion als folgendes zwei-mal-zwei Spiel in Normalform darstellen: B S
B 2,0 0,1
S 0,2 1,0
(Spiel 2)
Wie sollten sich die Spieler verhalten? Welches Ergebnis erwarten wir zu beobachten, wenn sie das Spiel spielen müssen?
Das Problem: Spieler 1 weißnicht, ob Spiel 1 oder Spiel 2 gespielt wird. Wie er sich verhält hängt von seinen beliefs ab, ob es sich um Spiel 1 oder Spiel 2 handelt. Nehmen wir an, Spieler 1 glaube, dass Spiel 1 gespielt wird. Wie wird er das Spiel dann spielen? Welche Strategie sollte er wählen? WeißSpieler 2, dass Spieler 1 glaubt, dass Spiel 1 gespielt wird? Da die strategische Interaktion davon abhängt, ob wir uns in Spiel 1 oder in Spiel 2 be…nden, ist es wichtig, dass wir auch beliefs über die beliefs anderer Spieler zulassen. Je komplexer das Spiel ist, desto komplexer ist auch die Hierarchie der beliefs, die zur Lösung des Spiels notwendig sind.
Die Harsanyi-Transformation (1967/68)
Wir können Spiele unter unvollständiger Information wie Spiele unter unvollkommener Information analysieren.
Wir können einfach einen weiteren Spieler einführen, die Natur, welche zufällig das gespielte Spiel auswählt.
Falls Spieler unterschiedliche Informationen darüber haben, was gerade passiert (wie in unserem Beispiel), dann kann ein Spieler (die Frau) beobachten, welche Aktion die Natur gewählt hat, bevor sie selbst handelt. Der andere Spieler (der Mann) kann nicht beobachten, wie die Natur gehandelt hat.
Der Mann hat jedoch eine Vorstellung davon, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Natur eine Frau zieht, die sich mit ihm tre¤en möchte, bzw., die sich nicht mit ihm tre¤en möchte.
Diese Vorstellung ist jedoch allgemein bekannt: Die Frau kennt sie. Der Mann kennt sie. Die Frau weiß , dass der Mann sie kennt. Der Mann weiß , dass die Frau sie kennt. Die Frau weiß , dass der Mann weiß , dass die Frau sie kennt......1: Nimm an diese Vorstellung sei 21 ; 12 :
.5
.5 N
G1
B
2,1
S
0,0
S1
2
B1
G2 B2
1
B
S
0,0
1,2
B
2,0
S2
2
S
0,1
B
0,2
S
1,0
Die Darstellung des transformierten Spiels in extensiver Form (ein Spiel unter unvollkommener Information, in dem ein Spieler nicht beobachten kann, wie die Natur zieht) Es gibt 2 Informationsmengen für Spieler 2 und eine für Spieler 1.
Jeder Spieler kann eine von zwei Aktionen wählen.
Folglich: Spieler 2 kann aus 2 2 Strategien wählen. Spieler 1 kann aus 2 Strategien wählen.
Es gibt genau ein Teilspiel (keins im engeren Sinne), und zwar das gesamte Spiel.
Das geeignete Gleichgewichtskonzept ist das NashGleichgewicht im transformierten Spiel.
Um die Nash-Gleichgewichte zu …nden, übertragen wir das Spiel in die Normalform.
Die Normalform des transformierten Spiels
B S
B1 ; B 2 2,0.5 0,0.5
B1 ; S2 1,1.5 0.5,0
S1 ; B 2 1,0 0.5,1.5
S1 ; S 2 0,1 1,1
Wir können jetzt die Nash-Gleichgewichte des neuen Spiels in Normalform einfach …nden.
Spieler 2 beste Antwort auf B: B1; S2
Spieler 2 beste Antwort auf S: S1; B2
Spieler 1 beste Antwort auf B1; S2 : B
Spieler 1 beste Antwort auf S1; B2 : B
Folglich existiert ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien: fB ; B1; S2g Dieses Nash-Gleichgewicht entspricht einem BayesNash-Gleichgewicht (De…nition folgt) des ursprünglichen Spiels.
Interpretation: Spieler 2 kann einer von zwei Typen sein. Jeder Typ von Spieler 2 muss sich optimal verhalten. Spieler 2 wählt eine Strategie, bevor sie weiß , von welchem Typ sie sein wird.
Bayes-Spiele: Allgemeine De…nition
Es gibt ein Set an Zuständen ! 2 : (In unserem Beispiel gab es zwei Zustände, ! 1 und ! 2; welche Spiel 1 und Spiel 2 entsprechen.)
Wir müssen die Informationen, die jeder Spieler besitzt, abbilden. Jeder Spieler erhält ein Signal i (! s), falls der Zustand ! s ist.
Die Funktion i (! ) wird als Signalfunktion bezeichnet.
Solange i (! s0 ) 6= i (! s00 ) ist, kann Spieler i die Zustände ! s0 und ! s00 voneinander unterscheiden. Wenn i (! s0 ) = i (! s00 ) ist, kann der Spieler nicht zwischen diesen beiden Zuständen unterscheiden.
Jeder Typ jedes Spielers tri¤t Annahmen über die Wahrscheinlichkeit von Zuständen entsprechend ihrer Signale.
Im vorherigen Beispiel war Spieler 2 sich sicher, welcher Zustand eingetreten ist, sodass die Wahrscheinlichkeit der Zustände 0 bzw. 1 war. Spieler 1 hat ging davon aus, die Wahrscheinlichkeiten der Zustände seien :5 und :5.
Zuletzt hat jeder Spieler eine (Bernoulli-) Auszahlungsfunktion ui ( ; ), die von den gewählten Aktionen a und dem Zustand der Welt ! abhängig ist.
De…nition: Ein Bayes-Spiel besteht aus: -eine Menge an Spielern -einer Menge an Zuständen (state of the world) und für jeden Spieler -eine Menge an Aktionen -eine Menge an Signalen, die der Spieler erhalten kann und einer Signalfunktion, die jedem Zustand ein Signal zuordnet; -für jedes Signal, ein belief darüber dass der Zustand gleich demjenigen ist, der mit dem Signal konsistent ist; und -einer Bernoulli-Auszahlungsfunktion in Abhängigkeit von (a; ! ), wobei a ein Aktionspro…l und ! ein Zustand ist. Die Präferenzen der Spieler (darunter Lotterien) werden durch die Funktion ui (a; ! ) dargestellt.
Zurück zum Beispiel Darstellung der Präferenzen in unserem motivierenden Beispiel:
1 1 u1 (B; B1; ! 1) + u1 (B; S2; ! 2) 2 2 Erwartete Auszahlungen von Spieler 1, wenn er die Strategie B wählt, unter der Voraussetzung, dass der Typ 1 von Spieler 2 B1 spielt und der Type 2 von Spieler 2 S2 wählt.
Darstellung der Präferenzen
Bezeichne Pr ( !j ti) den belief von Spieler i vom Typ ti, dass Zustand ! eingetreten sei. Bezeichne a j; tj die Aktion, die Spieler j vom Typ tj wählt. Wir können die Aktion von Spieler j im Zustand ! kürzer schreiben als a ^j (! ) = a j; tj (! ) . Die erwartete Auszahlung von Spieler i gegeben Signal ti ist dann
X
!2
Pr ( !j ti) ui ((ai; a i (! )) ; ! )
Nash-Gleichgewicht Das Pro…l der Aktionen a (! ) ist ein Nash-Gleichgewicht, wenn für alle i gilt: X
!2 X !2
Pr ( !j ti) ui
a i ; a i (! ) ; !
Pr ( !j ti) ui
a i ; a i (! ) ; !
für alle ai
Unvollständige Information über Kosten im Cournot Modell Es gibt zwei Spieler (zwei Firmen), die simultan ihre Mengen wählen. Die Marktnachfrage ist gegeben durch die inverse Nachfragefunktion P (Q) = 1
Q
wobei Q = q1 + q2 ist. Firma 1 hat konstante Stückkosten c und das ist von allen bekannt (common knowledge). Firma 2 hat konstante Grenzkosten, die nur ihr bekannt sind. Firma 1 erwartet, dass Firma 2 entweder Grenzkosten von cL oder von cH hat. Firma 1 denkt, dass c2 = cL mit Wahrscheinlichkeit und c2 = cH mit Wahrscheinlichkeit 1 eintritt.
Formal: Es gibt zwei Zustände, L und H; die dem Niveau der Grenzkosten der Firma 2 entsprechen. Jede Firma erhält ein Signal ti (! ) für ! 2 fL; Hg : Signalfunktion von Firma 1 ist gegeben durch t1 (L) = t1 (H ) : Signalfunktion von Firma 2 ist gegeben durch t2 (L) 6= t2 (H ) : belief von Firma 1 über den Zustand der Welt, gegeben ihr Signal: Pr ( Lj t1 (L)) = Pr ( Lj t1 (H )) = und Pr ( Hj t1 (L)) = Pr ( Hj t1 (H )) = 1 :
Auszahlungsfunktionen: q1 (1
q1
q2
c)
(Firma 1)
q2 (1
q1
q2
cL )
(Typ L von Firma 2)
q2 (1
q1
q2
cH )
(Typ H von Firma 2)
Ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht für dieses Spiel kann als ein Nash-Gleichgewicht eines transformierten Spiels dargestellt werden, bei dem Spieler 1 eine beste Antwort auf beide Typen von Spieler 2 und jeder Spieler 2 eine beste Antwort auf Spieler 1 spielt . Spieler 1: Mit Wahrscheinlichkeit hat Firma 2 Grenzkosten von cL und wählt daraufhin ihre optimale Menge. Sei diese Menge qL. Mit Wahrscheinlichkeit 1 von cH und wählt qH .
hat Firma 2 Grenzkosten
Die erwartete Auszahlung von Spieler 1 ist q1 (1
q1
qL
c) + (1
) q1 (1
q1
qH
c)
Typ cL: Payo¤-Funktion von Spieler 2 q2 (1
q1
q2
cL )
Typ cH : Payo¤-Funktion von Spieler 2 q2 (1
q1
q2
cH )
Jeder Typ von Spieler 2 spielt eine beste Antwort: 1
q1
2q L
cL = 0
1
q1
2q H
cH = 0
Die beste Antwort Funktionen können folgendermaß en beschrieben werden: 1 q 1 cL bL (q1) = 2 bH (q1) =
1
q1 2
cH
Die beste Antwort von Spieler 1 erfüllt die Bedingung erster Ordnung: (1
2q 1
qL
c)+(1
) (1
2q 1
qH
c) = 0
Die beste Antwort Funktion kann folgendermaß en beschrieben werden: b1 (qL; qH ) =
1
( qL + (1 2
) qH )
c
n
Ein Nash-Gleichgewicht des transformierten Spiels q1 ; qL; qH erfüllt q1 = b1 (qL; qH ) ; qL = bL (q1 ) ; und qH = bH (q1 )
Lösen des Systems mit drei linearen Gleichungen und drei Unbekannten: 1 q1 = q1 = qL = qH =
1 q 1 cL 2
+ (1
)
1 q 1 cH 2
2 (1 1 1
2c) + ( cL + (1 3 q 1 cL 2 q 1 cH 2
) cH )
c
o
Eigenschaften des Gleichgewichts Vergleich mit dem Gleichgewicht des Spiels, in dem Firma 1 die Kosten von Firma 2 kennt. Der Typ von Firma 2 mit den niedrigen Kosten produziert weniger als die optimale Menge, wenn die Kosten bekannt sind. Der Typ von Firma 2 mit den hohen Kosten produziert mehr als die optimale Menge, wenn die Kosten bekannt sind. Grund: Die beste Antworten von Firma 1 basieren auf dem Durchschnitt der Produktionskosten. Folglich produziert sie zu viel, wenn Firma 2 niedrige Kosten hat und zu wenig, wenn Firma 2 hohe Kosten hat. Firma 2 weißdas und berücksichtigt es. Daher ist die Variation im eigenen Produktionsniveau auch kleiner.
