Stösse - Physik-institut

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Anleitung zum Physikpraktikum fu¨r Oberstufenlehrpersonen Sto ¨sse (ST) Herbstsemester 2016 Physik-Institut der Universit¨at Zu ¨rich Inhaltsverzeichnis 3 Sto ¨sse (ST) 3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Ziel des Versuches . . . . . 3.2 Theoretischer Teil . . . . . . . . . 3.3 Sprung auf eine Platte . . . . . . . 3.3.1 Theorie . . . . . . . . . . . 3.3.2 Versuchsanordnung . . . . . 3.3.3 Vorgehen . . . . . . . . . . 3.3.4 Auswertung . . . . . . . . . 3.3.5 Weitere Kurven (qualitative 3.4 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Piezokristalle . . . . . . . . 3.4.2 Kraftsensor . . . . . . . . . 3.4.3 Ultraschall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Betrachtung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.1 3.1 3.1 3.3 3.3 3.5 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.7 3.8 3 Sto ¨sse (ST) 2.5.4 2.5.4.1.3 2.6.2 2.7.3 2.7.5 2.7.5.2 3.1 Vorlesungsabschnitt 2, Mechanik Anwendungen der Newton’schen Prinzipien Kraftst¨osse Energiesatz Impulssatz Beispiele zum Schwerpunktssatz und Energiesatz St¨osse Einleitung St¨osse kommen u ¨berall dort vor, wo zwei oder mehrere K¨orper kurzzeitig in Wechselwirkung geraten, so beim Aufprall eines Balls an einer Wand, bei einem Autounfall, bei Abspr¨ ungen, Landungen, usw. Bei allen St¨ossen wird Energie und Impuls, eventuell auch Drehimpuls ausgetauscht. Viele physikalische, chemische und wohl auch biologische Vorg¨ange beruhen auf St¨ossen: uhren zu thermischen Gleichgewichtszust¨anden in Gasen, Fl¨ ussigkeiten • Atomare St¨osse f¨ und Festk¨orpern. • Der W¨armeaustausch zwischen zwei K¨orpern ist die Folge von St¨ossen ihrer Atome entlang der Ber¨ uhrungsfl¨ache. • St¨osse zwischen Molek¨ ulen f¨ uhren zu chemischen Reaktionen. • Bei der Absorption von Licht stossen Lichtquanten mit atomaren Gebilden zusammen. • Die ionisierende Wirkung rascher, geladener Teilchen (Elektronen, Protonen, α -Teilchen, π -Mesonen) beruht auf Stossprozessen. • Radioisotope k¨onnen durch St¨osse zwischen geladenen Teilchen oder Neutronen und Atomkernen erzeugt werden. 3.1.1 Ziel des Versuches Da St¨osse von grunds¨atzlicher Bedeutung sind, sollen in diesem Versuch einige ihrer Aspekte diskutiert werden. Wir beschr¨anken uns dabei auf St¨osse zwischen zwei makroskopischen Massen (Abbildung 3.1). Dabei geht es um: • den “Kraftstoss” • die Stossdauer und die entsprechenden Kr¨afte • harte und weiche Spr¨ unge auf eine Platte 3.2 Theoretischer Teil Bei jedem Stoss treten zwischen den beteiligten Massen zeitabh¨angige Kr¨afte F⃗ (t) auf. Die Einzelimpulse p⃗i = mi⃗vi der beiden Massen ¨andern sich unter der Wirkung dieser Kr¨afte. Solange keine ¨ausseren Kr¨afte wirken, ¨andert sich jedoch der totale Impuls p⃗tot = p⃗1 + p⃗2 3.1 (3.1) der beiden Massen nicht, d. h. der Gesamtimpuls bleibt erhalten: ∑ F⃗i = 0 → p⃗tot = konstant (Impulserhaltungssatz) (3.2) i F¨ ur die Beschreibung eines Stosses gibt es grunds¨atzlich zwei M¨oglichkeiten: 1. Man betrachtet nur die eine Masse und untersucht, wie sich ihr Impuls unter der Wirkung der Kraft F⃗ (t) ¨andert. 2. Man betrachtet die beiden Massen als abgeschlossenes System und beachtet, dass der totale Impuls konstant ist. m1 v1 v2 m1 m2 m2 F2 Vor dem Stoss Einzelimpulse: p⃗1 = m1⃗v1 , p⃗2 = m2⃗v2 1 (t) v´1 F1 m1 m2 v´2 2 (t) W¨ ahrend des Stosses Impuls¨anderungen: ∆⃗ p1 , ∆⃗ p2 Gesamtimpuls: ∆(⃗ p1 + p⃗2 ) = 0 Kraft auf Kugel 1: F⃗2→1 (t) Kraft auf Kugel 2: F⃗1→2 (t) 3. Newton’sches Prinzip: F⃗1→2 = −F⃗2→1 Nach dem Stoss Einzelimpulse: p⃗1′ = m1⃗v1′ , p⃗2′ = m2⃗v2′ Abbildung 3.1: Einfacher Stossprozess zweier Kugeln. Im vorliegenden Versuch kommt nur der erste Fall vor. Wir betrachten also einen K¨orper und untersuchen, wie sich sein Impuls unter der Wirkung der Kraft F⃗ (t) ¨andert. Kraft Fz (t) [N] Abbildung 3.2: Zeitlicher Verlauf eines Kraftstosses in z-Richtung. Mittlere Kraft Fz (t) [N] 0 t 0 t Zeit t [s] Stossdauer 3.2 In der Regel kennt man den zeitlichen Verlauf der Kraft F⃗ (t) nicht. Wir wollen annehmen, dass F⃗ nur w¨ahrend einer kurzen Zeit τ , der Stossdauer wirkt. Man spricht dann auch vom ⃗ S und es gilt: “Kraftstoss” K ∫ τ ⃗ F⃗ (t)dt (3.3) KS = ∆⃗ p= 0 Betrachten wir den zeitlichen Verlauf von Fz (t) (siehe Abbildung 3.2), dann ist die Fl¨ache unter der Kurve gleich der Impuls¨anderung des K¨orpers, auf den w¨ahrend des Stosses die Kraft Fz (t) wirkt: ∫ τ ∆pz = Fz (t)dt (3.4) 0 Ausserdem wird die mittlere Kraft betrachtet: ∫ 1 τ ¯ Fz = Fz (t)dt τ 0 (3.5) Die Rechteckfl¨ache F¯z · τ ist so gleich der Fl¨ache unter der Kurve Fz (t). 3.3 3.3.1 Sprung auf eine Platte Theorie Der Sprung aus der H¨ohe z0 auf eine Platte l¨asst sich in zwei Schritte zerlegen: usse den Boden ber¨ uhren. 1. Freier Fall, bis die F¨ 2. Abbremsen, d. h. Stoss zwischen Platte und Springer. Aus der Energieerhaltung w¨ahrend des freien Falls erh¨alt man die Geschwindigkeit v0 unmittelbar vor der Landung und nach Division durch die Erdbeschleunigung g die dazugeh¨orige Fallzeit tF all : √ v0 tF all = (3.6) v0 = 2g(z0 − z1 ) g z N(t) G = mg W¨ahrend des Stosses wirken die im nebenstehenden Bild gezeichneten Kr¨afte. Damit erh¨alt man w¨ahrend des Stosses die Bewegungsgleichung: dpsz = masz = N (t) − mg (3.7) dt Eine Waage, (auch die im Experiment verwendete Platte) zeigt immer die Normalkraft N (t) an: N (t) = masz + mg Abbildung 3.3: Kr¨afte w¨ahrend des Stosses. (3.8) Am besten l¨asst sich der ganze Sprung mit Hilfe von graphischen Darstellungen beschreiben (siehe Abbildung 3.4). Aus der H¨ohe des Schwerpunktes zs (t), der Schwerpunktsgeschwindigkeit vsz (t) und der Schwerpunktsbeschleunigung asz (t) k¨onnen wir Informationen u ¨ber die wirkenden Kr¨afte bekommen. z1 = 0 ist H¨ohe des Schwerpunktes in Ruhestellung, z0 − z1 die Fallh¨ohe. 3.3 F¨ ur t ≤ t1 = 0 f¨allt der Springer frei, w¨ahrend des Zeitintervalls t1 ≤ t ≤ t2 wird der Aufprall (Stoss) abgefedert. Höhe zs [m] z0 0.2 0.1 0 Geschwindigkeit vsz [m/s] -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Zeit t [s] -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Zeit t [s] -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Zeit t [s] 1 0 -1 -2 v0 Beschleunigung a sz [m/s2] 20 10 0 -g t1 t2 Abbildung 3.4: H¨ohe des Schwerpunkts, Schwerpunktsgeschwindigkeit und -beschleunigung beim Sprung auf eine Platte. Beim Absprung befinden sich die F¨ usse ca. 30 cm u ¨ber der Platte, bei t = 0 treffen sie mit einer Geschwindigkeit von ca. 2.5 m/s auf die Platte auf. Der Springer federt den Sprung ab und nimmt eine Endposition mit leicht gebeugten Knien ein. Frage 1: Welche Form hat die Kurve zs (t) f¨ ur t ≤ t1 ? Die Integration der Gleichung (3.7) liefert ∫ ∆psz = psz (t2 ) − psz (t1 ) = t2 (N − mg)dt (3.9) t1 wobei psz (t2 ) = 0 psz (t1 ) = −mv0 = −m √ (3.10) 2g(z0 − z1 ) Dieser Zusammenhang soll im Experiment u uft werden. ¨berpr¨ 3.4 (3.11) 3.3.2 Versuchsanordnung In den vier Ecken auf der Unterseite der Platte (Abbildung 3.6) befinden sich Piezokristalle. Bei einer Belastung der Platte werden die Kristalle zusammengedr¨ uckt und liefern elektrische Spannungssignale, welche proportional zur Deformation, bzw. zur Belastung sind (siehe Anhang). Normalkraft N(t) [mg] 3 2.5 2 Abbildung 3.5: Die aus der Schwerpunktsbeschleunigung beim Sprung auf eine Platte berechnete Normalkraft (in Einheiten des Gewichts). 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 0.2 0.4 t1 0.6 0.8 Zeit t [s] Die Signale der vier Kristalle werden addiert und im ladungsempfindlichen Verst¨arker verst¨arkt. Die Ausgangssignale werden mit dem Oszilloskop aufgezeichnet und k¨onnen ausgedruckt werden. Die Bedienung von Verst¨arker, Oszilloskop (KO) und Drucker wird vom Assistenten erkl¨art und demonstriert. P= Piezokristall P P Ladung [C] P Verstärker Spannung [V] Drucker P Oszilloskop (KO) Messplattform Abbildung 3.6: Versuchsanordnung. 3.3.3 Vorgehen 1. KO und Verst¨arker einstellen 2. y-Ablenkung am KO auf 1 V/cm einstellen. 3. Durch Auflegen von Gewichten auf die Platte wird der Zusammenhang zwischen Spannung und Kraft u uft. ¨berpr¨ 4. Springen Sie aus ca. 50 cm H¨ohe auf die Platte. Landen Sie auf verschiedene Arten, hart oder weich. 5. Drucken Sie die Kurven f¨ ur eine quantitative Auswertung aus. 3.5 3.3.4 Auswertung F¨ ur die Auswertung wird ben¨ utzt, dass gem¨ass der Gleichungen (3.9)-(3.11) f¨ ur die Impuls¨anderung ∆psz = −psz (t1 ) = mv0 gilt. Vom auf dem KO-Schirm aufgezeichneten Verlauf von N (t) (Abbildung 3.7), wird das Gewicht mg der Versuchsperson abgezogen (Abbildung 3.8). Die Summe der schraffierten Fl¨achen entspricht dann der Impuls¨anderung mv0 . Beachten Sie bitte, dass die Kurven auf dem KO-Schirm nicht so sch¨on glatt sein werden! Normalkraft N(t) [mg] 3 "Resultierende" Kraft N(t)-mg 2 [mg] 2.5 1.5 2 1 1.5 0.5 mg 0 0.5 -0.5 0 mg t1 t 2 Zeit t t1 t 2 Zeit t [s] [s] Abbildung 3.8: Gemessene Kurve, nachdem das Gewicht der Versuchsperson abgezogen worden ist. Abbildung 3.7: Mit dem Oszilloskop gemessene Kurve. ¨ Uberpr¨ ufen Sie die Richtigkeit der Gleichung (3.9) anhand einer ausgedruckten Kurve und beantworten Sie folgende Fragen: Frage 2: Wie gross sind die Stosszeiten f¨ ur harte und weiche Landungen? Frage 3: Wie gross sind die entsprechenden Maxima von N (t)? Frage 4: Vergleichen Sie qualitativ die Resultate der harten und der weichen Landung miteinander: Was ist gleich? Wo liegen die Unterschiede? 3.3.5 Weitere Kurven (qualitative Betrachtung) Skizzieren und erkl¨aren Sie f¨ ur folgende Beispiele das Bild auf dem KO-Schirm: 1. Stellen Sie sich auf die Platte und machen Sie einige Kniebeugen. 2. Gehen Sie an Ort. 3. Stellen Sie die y-Ablenkung auf einen empfindlicheren Bereich und versuchen Sie, ganz ruhig auf der Platte zu stehen. 4. Wie 3) - atmen Sie jetzt aber tief ein und aus. 3.6 3.4 3.4.1 Anhang Piezokristalle Im Jahre 1880 entdeckten die Gebr¨ uder Curie, dass bei gewissen Kristallen unter der Wirkung von Druck und Zug positive und negative Ladungen auf bestimmten Kristallfl¨achen erscheinen. Man nennt dies den piezoelektrischen Effekt. Experimente zeigen, dass die Ladungsvorzeichen bei Vertauschung von Druck und Zug wechseln. Die Ladungsmenge ist der Gr¨osse der mechanischen Belastung proportional. Der piezoelektrische Effekt kann an folgendem Modell erkl¨art werden: Ein Quarzkristall (SiO2 ) besteht aus schraubenf¨ormig angeordneten Silizium- und Sauerstoffatomen. Die Siliziumatome sind positiv, die Sauerstoffatome negativ geladen. Wir betrachten zur Vereinfachung eine ebene Anordnung von sechs Atomen (Abbildung 3.9a). Wird auf einen Kristall in Richtung der X1 Achse ein Druck ausge¨ ubt, so r¨ uckt das Si-Atom 1 zwischen die Sauerstoffatome 2 und 6, das Sauerstoffatom 4 zwischen die Si-Atome 5 und 3. Auf der Oberfl¨ache A wird positive, auf der Oberfl¨ache B negative Ladung entfernt (Abbildung 3.9b). Wird der Kristall in der X1 -Richtung gedehnt, so kehren sich die Vorzeichen der Ladungen auf den Fl¨achen A und B um (Abbildung 3.9c). Dieselben Erscheinungen treten bei Belastungen in der X2 - und in der X3 - Richtung auf. Bei Druck oder Zug senkrecht zur dargestellten Ebene verschieben sich keine Ladungen. Der piezoelektrische Effekt h¨angt also von der Belastungsrichtung ab. Piezokristalle werden in Technik und Medizin h¨aufig zu Druck- und Kraftmessungen verwendet. 1 X1 1 _ _ _ _ +_ _ _ _ A _ _ 2 6 + _2 _6 5 + X2 + _ 4 X 1 1 + + + ++ + + A X1 3 X3 6 _ _ 2 5 + + 3 _ ++++ ++++B 4 b) a) 5 + + 3 _ _ _ __ _ _ B 4 c) Abbildung 3.9: Der piezoelektrische Effekt – drei Si-Atome (grosse Kreise) und drei Sauerstoffatome (kleine Kreise) angeordnet in einer Ebene des Quartzkristalls: Linkes Bild a) Normalzustand, mittleres Bild b) bei Druckbelastung, rechtes Bild c) bei Zugbelastung. 3.4.2 Kraftsensor Die Ladungsmenge an den Kristallfl¨achen ist proportional zur Kraft zwischen den Kanten. F¨ ur eine genaue Messung der Kraft darf also keine Ladung abfliessen. Deshalb muss der Kristall sehr sorgf¨altig elektrisch isoliert werden (Abbildung 3.10). Ausserdem muss das Messinstrument einen hohen Innenwiderstand haben. In technischen Anwendungen verwendet man speziell entwickelte Verst¨arker. Das zur Kraft F⃗ proportionale Ausgangssignal kann z.B. mit dem Oszilloskop aufgezeichnet werden (vgl. experimenteller Teil 3.3.4). 3.7 F _ + _ _ _ + _ _ Q Isolationen + + _ + + ++ Abbildung 3.10: Die experimentelle Anordnung beim piezoelektrischen Effekt. _ Bei geeigneter Anordnung der Kristalle k¨onnen mit einer Messplatte neben der Vertikalkomponente der wirkenden Kr¨afte auch die Horizontalkomponenten und Drehmomente bez¨ uglich einer vertikalen Achse gemessen werden. In der Biomechanik werden auf diese Art Bewegungsabl¨aufe untersucht, z. B. der Start eines Schnell¨aufers oder eines Hochspringers, Bewegungen w¨ahrend einer Arbeit, die im Stehen ausgef¨ uhrt wird, Gehen mit Schienen oder Prothesen usw. Wegen der hohen Empfindlichkeit ist es auch m¨oglich, kleine Verschiebungen des K¨orperschwerpunktes und damit Gleichgewichtsst¨orungen (vgl. experimenteller Teil 3.3.5 Punkte 3. und 4.) festzustellen. 3.4.3 Ultraschall Wird an einen Piezokristall eine a¨ussere elektrische Spannung angelegt, so treten Deformationen des Kristalls auf, die proportional zur Spannung sind. Handelt es sich um eine Wechselspannung, so schwingt der Kristall. Diese Schwingungen ben¨ utzt man zur Ultraschallerzeugung. 3.8