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T2 Quantenmechanik
L¨ osungen
LMU M¨unchen, WS 16/17
Prof. D. L¨ust / Dr. A. Schmidt-May version: 28. 01.
NAME:
MATRIKEL-NR:
Aufgabe
1
2
3
4
5
Summe
max. Punkte
8
9
4
5
8
34
erreichte Punkte
Information: • Diese Klausur besteht aus 5 Aufgaben, einem auf Vorder- und R¨ uckseite bedruckten Blatt und diesem Deckblatt; bitte stellen Sie jetzt sicher, dass Sie ein komplettes Exemplar erhalten haben. • Sie haben 100 Minuten um die Klausur zu bearbeiten. • Keine Hilfsmittel sind zugelassen, insbesondere kein Buch, kein Mobiltelefon und kein Formelzettel. Anweisungen: • Bitte tragen Sie jetzt Ihren Namen und Matrikelnummer oben auf dieser Seite ein. • Bitte bearbeiten Sie die einzelnen Aufgaben auf getrennten Bl¨attern; verwenden Sie nicht die Aufgabenbl¨atter der Klausur. • Bitte beschriften Sie jedes Blatt mit Aufgabennummer, Ihrem Namen sowie Ihrer Matrikelnummer. • Bitte schreiben Sie mit einem permanenten Stift in schwarzer oder blauer Farbe; benutzen Sie nicht Bleistift, rote oder gr¨ une Farbe. • Falls Sie Annahmen machen m¨ ussen, so kennzeichnen Sie diese bitte deutlich; z.B. falls Ihnen Zwischenergebnisse oder ben¨otigte Relationen fehlen. • Bitte bem¨ uhen Sie sich mit leserlicher Handschrift zu schreiben. VIEL ERFOLG!
1.1
Aufgabe 1 a) Welche Eigenschaft besitzen die Eigenwerte von selbstadjungierten Operatoren? (1 Punkt) L¨ osung: Sie sind reell.
b) Welche Gleichung erf¨ ullt ein unit¨arer Operator? Wie k¨onnen sie aus einem selbstadjungierten Operator Aˆ einen unit¨aren Operator konstruieren? (2 Punkte) L¨ osung: ˆ† = U ˆ −1 U
ˆ †U ˆ =1 U
oder
(1.S1)
(1 Punkt) ˆ = eiAˆ U
(1.S2)
(1 Punkt)
ˆ i des Drehimpulsc) Wie lautet die Vertauschungsrelation f¨ ur die Komponenten L ~ ? (1 Punkt) Operators L L¨ osung: [Li , Lj ] = i~ijk Lk
(1.S3)
d) Sie m¨ochten zwei Observablen simultan exakt messen. Welche Eigenschaft m¨ ussen die dazugeh¨origen selbstadjungierten Operatoren besitzen, damit dies m¨oglich ist? (1 Punkt) L¨ osung: Sie m¨ ussen miteinander vertauschen.
e) Ein Teilchen sei beschrieben durch eine eindimensionale, normierte Wellenfuktion ψ(t, x). Mit welcher Wahrscheinlichkeit p(t) trifft man das Teilchen auf der positiven x-Achse an? (1 Punkt) L¨ osung: Z
∞
p(t) =
dx |ψ(t, x)|2
(1.S4)
0
f ) Sei |ψi ein normierter Zustand. Was ist die Spur des Operators |ψi hψ|? Begr¨ unden Sie ihre Antwort. (2 Punkte) L¨ osung: Die Spur ist 1. (1 Punkt) Als Begr¨ undung entweder das Stichwort Dichtematrix angeben oder ausrechnen: X X hn|ψi hψ|ni = |cn |2 = 1 n
mit ψ =
P
n cn
n
|ni (1 Punkt)
1.2
(1.S5)
Aufgabe 2 Ein Teilchen im unendlich tiefen Potenzialtopf gegeben durch ( 0 f¨ ur 0 ≤ x ≤ a V (x) = ∞ sonst
(1.1)
sei zur Zeit t = 0 beschrieben durch die Wellenfunktion Ψ (x) = N ψ1 (x) + ψ3 (x)
(1.2)
Hierin sind die ψn die Eigenfunktionen des zugeh¨origen Hamilton-Operators r nπx 2 sin ψn = a a
(1.3)
und die Energieeigenwerte sind En = n2 ~ω
mit ω ≡
π2~ 2ma2
(1.4)
a) Bestimmen Sie N , indem Sie Ψ (x) normieren. (2 Punkte) L¨ osung: Es ist Z
a 2
dx |Ψ (x)| = |N |
2
a
Z
0
dx ψ1∗ (x) + ψ3∗ (x) ψ1 (x) + ψ3 (x)
(1.S6)
dx ψn∗ ψm = δmn
(1.S7)
0
Wir benutzen
Z
a
0
und erhalten
Z
a
dx |Ψ (x)|2 = 2|N |2
(1 Punkt)
(1.S8)
0
Um dies gleich eins zu setzen, w¨ahlen wir 1 N=√ 2
(1 Punkt)
(1.S9)
b) Wie lauten die zeitabh¨angige Wellenfunktion Ψ (t, x) und die zugeh¨orige Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ (t, x)|2 ? (4 Punkte) L¨ osung: Es ist ψn (t, x) = e−iEn t/~ ψn (x) = e−in
2
ωt
ψn (x)
(1 Punkt)
(1.S10)
und somit 1 Ψ (t, x) = √ e−iE1 t/~ ψ1 (x) + e−iE3 t/~ ψ3 (x) 2 1 −iωt =√ e ψ1 (x) + e−9iωt ψ3 (x) 2 r r πx 1 1 3πx −iωt −9iωt =e sin +e sin a a a a
1.3
(1.S11) (1.S12) (1 Punkt)
(1.S13)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist r r 2 πx 1 1 3πx |Ψ (t, x)|2 = e−iωt + e−9iωt sin sin a a a a πx 1 3πx 3πx 2 2 πx = + sin sin sin + 2 sin cos(8ωt) a a a a a
(1.S14) (2 Punkte)
(1.S15)
Die Kombination von (e8iωt + e−8iωt )/2 in cos(8ωt) ist hier wichtig, damit der Ausdruck eine manifest reelle Form annimmt. Wenn nicht manifest reell, 1 Punkt Abzug.
c) Welche Werte k¨onnen Sie bei einer Messung der Energie des Teilchens erhalten? Mit welchen Wahrscheinlichkeiten erhalten Sie die jeweiligen Werte? Bestimmen Sie ˆ (3 Punkte) hHi. L¨ osung: Die m¨ oglichen Energierwerte sind E1 und E3 (1 Punkt), beide mit Wahrscheinlichkeit 1/2 (1 Punkt). 2 2 ~ ˆ Deswegen ist hHi = 21 (E1 + E3 ) = 5π 2ma2 , also gerade der Mittelwert von E1 und E3 . (1 Punkt)
Aufgabe 3 Betrachten Sie den halben harmonischen Oszillator mit Potenzial ( 1 mω 2 x2 f¨ ur x ≥ 0 V (x) = 2 ∞ sonst
(1.5)
Bestimmen Sie die erlaubten Energien. Wie lautet die Grundzustandsenergie? (4 Punkte) Hinweis: Diese Aufgabe erfordert keine Rechung. L¨ osung: Die SGL hat f¨ ur x > 0 dieselbe Form wie im Falle des gew¨ohnlichen harmonischen Oszillators. (1 Punkt) Die erlaubten Energieeigenwerte bleiben also im Prinzip unver¨andert. (1 Punkt) Nun gibt es aber die zus¨atzliche Randbedingung ψ(0) = 0. Diese eliminiert alle geraden L¨osungen (das sind jene mit geradem n). Es bleiben En = ~ω(n + 1/2)
n = 1, 3, 5, 7, . . .
(1.S16)
(1 Punkt) Der Grundzustand hat nun also den Energieeigenwert E1 =
3 2
~ω. (1 Punkt)
Aufgabe 4 Die Pauli’schen Spinmatrizen lauten 0 1 0 −i σ ˆ1 = σ ˆ2 = 1 0 i 0
σ ˆ3 =
1 0 0 −1
und die Komponenten des dazugeh¨origen Spin-Operators sind Sˆi =
1.4
~ 2
σ ˆi .
(1.6)
a) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von Sˆ2 . Dr¨ ucken Sie die Eigenvekˆ toren von S2 als Linearkombination der Eigenvektoren von Sˆ3 aus. (3 Punkte) L¨ osung: Die charakteristische Gleichung 0 = det(ˆ σ2 − λ1) = λ2 − 1 hat die L¨ osungen λ = ±1. Die Eigenwerte von Sˆ2 sind also λ = ±~/2. (1 Punkt) Die Eigenvektoren sind dann die L¨ osungen der Gleichung Sˆ2 v = λv, n¨amlich 1 1 1 i √ √ und 2 i 2 1 wobei wir die Eigenvektoren auf v 2 = 1 normiert haben. (1 Punkt) Die Linearkombinationen lauten 1 1 i 1 i 1 0 1 1 0 i 1 √ √ =√ +√ und =√ +√ 2 i 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1
(1.S17)
(1.S18)
(1.S19)
(1 Punkt)
b) Ein Teilchen befinde sich im Zustand |S3 = +~/2i. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Messen von S2 die in Teil a) bestimmten m¨oglichen Messwerte zu erhalten? (1 Punkt) L¨ osung: Die Wahrscheinlichkeiten sind 1/2 f¨ ur +~/2 und 1/2 f¨ ur −~/2.
c) Kann man ein Elektron (das den Spin 1/2 besitzt) so pr¨aparieren, dass S2 und S3 zugleich scharfe Werte besitzen? Begr¨ unden Sie kurz Ihre Antwort. (1 Punkt) L¨ osung: Nein, denn Sy und Sz kommutieren nicht.
Aufgabe 5 Ein Teilchen der Masse µ bewegt sich im Potenzial des dreidimensionalen harmonischen Oszillators. Der Hamilton-Operator lautet 2 2 ˆ = − ~ ∇2 + µω ~x2 H 2µ 2
(1.7)
a) Welche Symmetrien weist dieser Hamilton-Operator auf und warum? (1 Punkt) L¨ osung: Kugelsymmetrie, weil das Potential nur von r und nicht von den Winkeln abh¨angt
b) Schreiben Sie die zeitunabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung in geeignete, an diese Symmetrien angepasste Koordinaten um. Wie lautet der Separationsansatz f¨ ur die Wellenfunktion in diesen Koordinaten? (3 Punkte) ∂2 2 ∂ Hinweis: Die radialen Ableitungen im Laplace-Operator ∇2 sind ∂r 2 + r ∂r . L¨ osung: Kugelkoordinaten: −
~ 2 i µω 2 ~2 h ∂ 2 2 ∂ L ψ + ψ − ψ + r2 ψ = Eψ 2m ∂r2 r ∂r ~2 r 2 2
(1.S20)
(2 Punkte) Hier gibt es den Punkt f¨ ur die richtige Idee (Kugelkoordinaten) und einen Punkt f¨ ur den richtigen Ausdruck (modulo Vorzeichen, etc.). Der Winkelanteil muss nicht ausgeschrieben sein. Der Separationsansatz ist ψ(~x) = R(r)Ylm (θ, φ). (1 Punkt)
1.5
c) Der Grundzustand ist durch die Wellenfunktion ψ0 (~x) =
1 a3/2 π 3/4
s
2
~x exp − 2 2a
mit a =
~ µω
(1.8)
gegeben. Schreiben Sie diese Wellenfunktion in geeignete Koordinaten um. Welche ~ 2 und Lz k¨onnen sich bei der Messung dieser Gr¨oßen an einem Teilchen, Werte f¨ ur L das in diesem Zustand pr¨apariert wurde, ergeben? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort. (4 Punkte) L¨ osung: Kugelkoordinaten: ψ0 (x) =
r2 1 exp − 2a2 a3/2 π 3/4
(1 Punkt)
(1.S21)
Die Wellenfunktion ist winkelunabh¨angig und deswegen proportional zu Y00 (1 Punkt). Die m¨oglichen ~ 2 = ~2 l(l + 1) = 0 (1 Punkt) und Lz = 0 (1 Punkt). Werte sind deshalb L
1.6
