Themenstudie

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Themenstudie „Beweisen – was ist das?“ Arbeitsauftrag zu Teil 1 Arbeitsauftrag zu Teil 1 In diesem ersten Teil der Themenstudie sollst du überlegen, was „Beweisen“ für dich bedeutet. Du bekommst Informationen zu dem, was Mathematiker einerseits und Juristen andererseits unter dem Wort „Beweisen“ verstehen. Dazu sollst du Stellung nehmen. Bilde dir einen Überblick über die beiliegenden Dokumente 1.1 und 1.2. Hier sind die Untersuchungsfragen, zu denen du dir Antworten überlegen sollst: 1. Wozu ist das Beweisen in der Mathematik da? 2. In welchen Situationen wird bewiesen? 3. Welche Argumentationsmittel darf man zum Führen eines Beweises verwenden? © Prof. Dr. Sebastian Kuntze Themenstudie Teil 1 „Beweisen – was ist das?“ Dokument 1.1 Einige Zitate von Mathematikern über das Beweisen: „Wenn ich an einem Problem interessiert bin, dann versuche ich einfach, es zu verstehen. Ich denke einfach längere Zeit darüber nach und versuche, tiefer und tiefer zu bohren. Wenn ich glaube, verstanden zu haben, weiß ich, was richtig ist und was nicht. Natürlich ist es auch möglich, dass man sich täuscht und dass man glaubt, es verstanden zu haben, und hinterher stellt sich heraus, dass man im Irrtum war. Aber normalerweise bekommt man ein Gefühl dafür, was los ist und welche Sachen gelten sollten, sobald man wirklich fühlt, dass man etwas verstanden hat, und man durch zahlreiche Beispiele und durch Querverbindungen genügend Erfahrung mit diesem bestimmten Problem hat. Und dann stellt sich die Frage: Wie beweist man es? Das kann lange dauern... Ich halte Beweise aber für nicht so extrem wichtig. Ich glaube, es ist wichtiger, etwas zu verstehen. […] Aber man ist natürlich verpflichtet, einen Beweis zu geben. Also macht man es.“ „Die höchst genaue und allgemeingültige mathematische Sprache und die besonders strenge Art, Aussagen zu begründen, unterscheidet die Mathematik von allen anderen Wissenschaften. Zuerst stellt man Axiome und Regeln auf, und dann baut man alles andere (Sätze, Definitionen, Folgerungen) darauf auf. Dabei kommt es überhaupt nicht auf die Realität, oder etwa irgendwelche Experimente an. Ganz vollständige und genaue, d.h. absolut strenge Beweise werden selten gegeben. Die meisten Beweise in Büchern oder in Vorträgen von Mathematikern sind nur ungefähre Beweisskizzen. Diese Beweisskizzen sind aber immerhin so ausführlich, dass man einen absolut strengen Beweis daraus machen könnte. Solche Beweisskizzen dienen dazu, andere Mathematiker zu überzeugen, dass der bewiesene Satz und sein Beweis richtig und der Ausbau der Beweisskizze zu einem absolut strengen Beweis möglich ist.“ „Überzeuge dich selbst, überzeuge deinen Freund, überzeuge deinen Feind – das letztere ist das, was man beim Beweisen machen muss!“ „Ein Beweis wird nur dadurch zu einem Beweis, dass er von den Mathematikern gemeinsam als solcher anerkannt wird. Das gilt für die Mathematik genauso wie für die Physik oder die Biologie. © Prof. Dr. Sebastian Kuntze Themenstudie Teil 1 „Beweisen – was ist das?“ Dokument 1.2 Aus der Strafprozessordnung (Gesetzbuch, das alle die Paragraphen enthält, mit denen gerichtliche Strafprozesse und die dazugehörigen juristischen Beweisaufnahmen geregelt werden): Beweis. Das gesamte Ermittlungsverfahren, das tatrichterliche Verfahren und z.T. auch das Revisionsverfahren bestehen aus dem Suchen nach Beweisen, der Erhebung der Beweise, ihrer Würdigung und aus dem Ziehen von Konsequenzen aus den Beweisergebnissen in der Form von Entscheidungen (...). b) Die Beweismittel des Strafverfahrens sind: Zeugen, Sachverständige und Augenschein, Urkunden und andere Schriftstücke, ferner die Aussagen der Beschuldigten und der Mitbeschuldigten (…). Aus einem Nachschlagewerk zum Strafrecht: A. Beweis und Glaubhaftmachung Beweisen heißt, dem Richter die Überzeugung von dem Vorliegen einer Tatsache verschaffen (...). l. Die Aufklärungspflicht des Gerichts Der Tatrichter hat die zentrale Aufgabe, die für die Rechtsanwendung erforderlichen tatsächlichen Umstände festzustellen. Das Gericht ist verpflichtet, sich durch umfassende Erkenntnis die nötige Überzeugung zu verschaffen, soweit nur die entfernte Möglichkeit besteht, dadurch werde sich das bisherige Ergebnis ändern. (...) Die Rechtsprechung sieht in der richterlichen Überzeugung eine persönliche Gewissheit und grenzt sie damit von objektivierbaren Wahrscheinlichkeitsurteilen der Naturwissenschaften ab. (...) Gerichtliche Wahrheit ist die nach den Bestimmungen des Prozessrechts mögliche Gewissheit, mehr als die bloße Überzeugung von der Wahrscheinlichkeit, andererseits nur ein Maß von Sicherheit, das „vernünftige Zweifel" ausschließt. (...) © Prof. Dr. Sebastian Kuntze Themenstudie „Beweisen – was ist das?“ Arbeitsauftrag zu Teil 2 Arbeitsauftrag zu Teil 2 Im zweiten Teil der Themenstudie sollst du konkrete Beweisversuche von Schülerinnen und Schülern bewerten. Dabei sollst du nicht nur herausbekommen, wo möglicherweise Fehler gemacht wurden, sondern auch überlegen, welche Beweisversuche dir persönlich gut oder weniger gut gefallen. Beschreibe, inwiefern die Beweisversuche in den Dokumenten 2.1, 2.2 und 2.3 korrekt sind oder worin eventuelle Fehler bestehen! Notiere auch, welche Beweisversuche dir gut oder weniger gut gefallen haben (bitte auch Begründungen angeben)! Um diesen Satz geht es: D R S A C Q P Satz: Verbindet man die Seitenmitten eines beliebigen Rechtecks miteinander (siehe Skizze), so entsteht immer eine Raute. B Dokument 2.1 (Chris): © Prof. Dr. Sebastian Kuntze Dokument 2.2 (Manuel): Dokument 2.3 (Sandra): © Prof. Dr. Sebastian Kuntze Themenstudie „Beweisen – was ist das?“ Arbeitsauftrag zu Teil 3 Arbeitsauftrag zu Teil 3 Im dritten Teil dieser Themenstudie geht es darum, wie Beweise entwickelt werden können. Als Informationen erhältst du einen Auszug aus einem Artikel über Entwicklungsphasen von Beweisen (Dokument 3.1) und zwei Auszüge aus Interviews mit einem Schüler und einer Schülerin (Dokument 3.2). Du sollst überlegen, was Schülerinnen und Schüler tun können, um selbst Beweise leichter entwickeln zu können. Dies sind die Untersuchungsfragen für die Dokumente 3.1 und 3.2: • Mit welchen Arbeitsschritten werden Beweise in der Geometrie entwickelt? • Hältst du die Gedanken von Klara und Marie über das Entwickeln von Beweisen eher für hilfreich oder eher für hinderlich, wenn die beiden es lernen sollen, selbst Beweise zu führen (bitte jeweils mit kurzer Begründung)? © Prof. Dr. Sebastian Kuntze Themenstudie Teil 3 „Beweisen – was ist das?“ Dokument 3.1 Wie entwickeln Mathematikerinnen und Mathematiker Beweise und was könnte das für die Schule bedeuten? Wenn man Mathematikerinnen und Mathematiker beim Entwickeln von Beweisen zusieht, kann man sechs Phasen beobachten. Dabei fällt auf, dass besonders Phasen eine wichtige Rolle spielen, die mit Erkunden des Problems zusammenhängen. Das korrekte Aufschreiben des Beweises kommt erst ganz zum Schluss. Für den Geometrieunterricht werden die Phasen der Beweisentwicklung am Beispiel des Satzes, dass die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, demonstriert. Die erste Phase der Entwicklung von Beweisen besteht nach Boero darin, dass eine Behauptung entwickelt wird und nach möglichen Argumenten gesucht wird. Für das Beispiel der Winkelsumme im Dreieck könnte man die Behauptung durch Nachmessen gefunden haben. Möglich ist auch der Einstieg über das „Abreißexperiment“: Von einem ausgeschnittenen Papierdreieck werden die unteren Ecken abgerissen und an die obere Spitze des Dreiecks gelegt. Man sieht dann, dass die drei Winkel zusammen einen 180°-Winkel zu ergeben scheinen. Das Abreißexperiment könnte helfen, erste Ideen für den Beweis zu finden. Darin steckt nämlich die Idee des Übertragens der beiden Winkel. Bis zu einem fertigen Beweis ist es aber noch ein längerer Weg. Die zweite Phase auf dem Weg zum Beweis ist die Formulierung der Behauptung nach mathematischen Standards. In unserem Beispiel wäre das beispielsweise ein Satz wie: „Die Summe der Innenwinkel jedes Dreiecks beträgt 180° “ oder: „Wenn mit α, β, und γ die drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks bezeichnet werden, so gilt immer: α + β + γ =180° “ In der dritten Phase geht es darum, diese Behauptung zu erkunden und mögliche Argumentverknüpfungen auszumachen. Hier muss überlegt werden, was die Behauptung bedeutet, was vorausgesetzt wird und mit welchen Methoden man es schaffen könnte, die Behauptung zu begründen. Im Beispiel könnte man sich überlegen, dass die „Abreißidee“ an Z-Winkel (bzw. Wechselwinkel) erinnert, die gleich groß sind, wenn die obere und die untere Gerade parallel sind. Mit diesem Wissen könnte man eine Argumentation aufbauen. In dieser Phase geht es also darum, ein „Brainstorming“ zu machen, welches Wissen man mit dem Beweisproblem in Verbindung bringen könnte. © Prof. Dr. Sebastian Kuntze Die vierte Phase dient dazu, Argumente, die man nutzen will, auszusuchen und eine Argumentationskette aufzubauen. Für die Winkelsumme im Dreieck könnte man sich entscheiden, den Weg mit den Z-Winkeln weiterzuverfolgen: C Dazu bräuchte man aber parallele Geraden, sonst gilt die Gleichheit der Z-Winkel nicht. Zum Dreieck ABC konstruiere ich also eine Parallele zur Seite [AB] durch den Punkt C. α β A B Dann liegen an C drei Winkel an, die zusammen 180° ergeben. Diese drei Winkel entsprechen den drei Winkeln des Dreiecks! Erst in der fünften Phase werden die Argumente in einem Beweis angeordnet. Im Beispiel könnte das so aussehen: Zum Dreieck ABC konstruiere ich eine Parallele zur Seite [AB] durch den Punkt C. C α’ γ β’ Weil ich nun zwei parallele Geraden habe, kann ich sagen, dass die folgenden ZWinkel gleich groß sind: α = α’ und β = β’ . α A β B An C liegen also alle drei Winkel α, β, und γ so an, dass sie sich zu 180° ergänzen! Wenn man will, kann man sich in einer sechsten Phase noch an einen formalen Beweis annähern. Für die meisten Beweise wird dies aber sogar von Mathematikerinnen und Mathematikern nicht für nötig gehalten. Für den Geometrieunterricht bin ich dafür, dass ähnlich wie im Phasenmodell von Boero viel stärker erkundende Überlegungen der Schülerinnen und Schüler ermöglicht werden und der Formalismus, viel weniger betont wird (…) © Prof. Dr. Sebastian Kuntze Themenstudie Teil 3 „Beweisen – was ist das?“ Dokument 3.2 Auszug aus einem Schülerinneninterview (Marie): (…) Interviewer: Was musst du machen, um selbst einen Beweis zu machen? Marie: Also, beim Beweisen kommt es darauf an, dass man erstmal mit mathematischen Symbolen die Voraussetzung und die Behauptung hinschreibt. Und dann … hm … dann muss man eben aus der Voraussetzung die Behauptung mit irgendwelchen Kongruenzsätzen begründen. Dazu schreibt man zum Beispiel Dreiecke und Winkel auf, und dass die dann kongruent sind … Wichtig ist es, alles kurz und in mathematischer Sprache zu schreiben.“ (…) Auszug aus einem Schülerinneninterview (Klara): (…) Interviewer: Was musst du machen, um selbst einen Beweis zu machen? Klara: Hm. Das ist schwierig. Unsere Mathelehrerin hat gesagt, dass wir zuerst immer eine Überlegungsfigur machen sollen. Meistens sieht man daran schon, dass es so sein muss, wie es in der Behauptung steht. Aber das gilt leider nicht. Deshalb muss man zuerst überlegen, was man weiß. Und dann muss man überlegen, was man sonst noch über die Figur sagen kann … zum Beispiel, wenn die irgendwie symmetrisch ist oder wenn da gleiche Dreiecke sind. … Und dann würde ich schauen, ob man das dann mit dem Gegebenen begründen kann. Wenn man Glück hat, findet man bei der Probiererei dann einen Weg zum Ziel. … Meine Versuche zeichne ich meistens hin aufschreiben würde ich das Ganze erst am Ende, wenn ich mir sicher bin. (…) © Prof. Dr. Sebastian Kuntze Arbeitsauftrag zu Teil 4 Themenstudie „Beweisen – was ist das?“ Arbeitsauftrag zu Teil 4 Im vierten Teil dieser Themenstudie geht es darum, mit welchen Strategien man in der Geometrie Beweise entwickeln kann. Als Informationen erhältst du Sie Beispiele unfertiger Lösungen von Beweisbeispielen von Schülerinnen und Schülern. Die Schülerinnen und Schüler hatten die Aufgabe, ihr Wissen zu einem Beweisproblem aufzuschreiben. Du sollst überlegen, was die Schülerinnen und Schüler hätten tun können, um die Beweise auf der Basis ihres Wissens aufstellen zu können. Hier sind die Untersuchungsfragen zu den Dokumenten 4.1 und 4.2: • • Mit welchen Überlegungen hätten die Schülerinnen und Schüler auf der Basis ihres in den Dokumenten aufgeschriebenen Wissens jeweils die gegebenen Behauptungen beweisen können? Wie „weit weg“ waren deiner Meinung nach die Schüler(innen) von einem Beweis? Um dieses Beweisproblem geht es: Beweisproblem: Beweise die folgende Behauptung: Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist (d.h. wenn jeweils gegenüberA liegende Seiten parallel sind), dann sind die jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich lang. D c d E C b a B © Prof. Dr. Sebastian Kuntze Themenstudie Teil 4 „Beweisen – was ist das?“ Dokument 4.1 Themenstudie Teil 4 „Beweisen – was ist das?“ Dokument 4.2 Blatt von Julia: Blatt von Simone: © Prof. Dr. Sebastian Kuntze