Theoretische Optik

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Institut f¨ ur Theoretische Physik Technische Universit¨ at Berlin Theoretische Optik Udo Scherz Wintersemester 2010/11 1 Elektromagnetische Felder Die Optik befasst sich im Wesentlichen mit der Wechselwirkung elektromagnetischer Felder mit Materie in einem bestimmten Energiebereich. Wir untersuchen hier neben dem sichtbaren Licht mit Energien von 2 – 4 eV auch den infraroten und ultravioletten Spektralbereich und betrachten Materie in Form von freien oder gebundenen Atomen, also Festk¨ orper, Fl¨ ussigkeiten und Gase. Bei einer Energie¨anderung 2π h ∆E und Schwingungsdauern T = = betroffen. Wir ∆E sind Kreisfrequenzen um ω = h ¯ ω ∆E interessieren uns nur f¨ ur Prozesse mit Beobachtungsdauern t ≫ T , d.h. ohne Ber¨ ucksichtigung von ¨ Einschwingvorg¨angen. Dann kann die quantenmechanische Goldene Regel f¨ ur optische Uberg¨ ange angehc groß sein gegen¨ uber der Ausdehnung wandt werden. Außerdem muss die Wellenl¨ange λ = cT = ∆E eines Atoms, um eine einfache Kopplung zwischen Atomen und der elektromagnetischen Strahlung anzusetzen. Zudem werden die geometrische Optik, die Beugung und die Interferenz vom Verh¨ altnis der Wellenl¨ange zu den begrenzenden Ger¨ atedimensionen bestimmt. Aufgabe der Vorlesung ist es, aus der mikroskopischen Beschreibung der Materie die makroskopischen Beobachtungen zu berechnen. 1.1 Punktmechanik und elektromagnetische Felder Klassische Mechanik eines Massenpunktes ohne elektromagnetische Felder ¨ mR(t) = F(R, t) invariant gegen Galilei-Transformationen nicht relativistisch Klassische Feldtheorie der Felder E, B im Vakuum ρ = 0, j = 0 ˙ ˙ ∇ × E = −B, ∇ × B = µ0 ε0 E ∇ · B = 0, ∇ · E = 0 invariant gegen Lorentz-Transformationen relativistisch Elektromagnetische Felder verursachen die Bahnkurve R(t) des Massenpunktes der elektrischen Ladung e ¨ mR(t) = FL (R, t) mit der Lorentz-Kraft

˙ ˙ FL R(t), R(t) = e E + R(t) × B . Eine Punktladung auf einer Bahnkurve
ρ(r, t) = eδ r − R(t)
˙ j(r, t) = eR(t)δ r − R(t) ist Ursache elektromagnetischer Felder ˙ + µ0 j ∇ · E = ρ/ε0 , ∇ × B = µ0 ε0 E Elektromagnetische Feldenergie wird in mechanische Energie verwandelt. Mechanische Energie wird in elektromagnetische Feldenergie verwandelt. mit ρ˙ + ∇ · j = 0. 1.2 Feldgleichungen makroskopischer Felder Bei makroskopischer Beobachtung kann die r¨ aumliche Ausdehnung von Atomen und Molek¨ ulen sowie deren Abst¨ ande in Festk¨ orpern und Fl¨ ussigkeiten nicht mehr aufgel¨ ost werden. Ebenso l¨ asst sich die dynamische Bewegung innerhalb der quantenmechanischen Systeme nicht mehr zeitlich verfolgen. Daher werden experimentell die r¨ aumlichen und zeitlichen Mittelwerte der Observablen beobachtet. Die Feldgleichungen solcher makroskopischer Felder sind dann ˙ ; ∇ · B = 0 ; ε0 µ0 = 1 ∇ × E = −B c2 ˙ + j ; ∇ · D = ρ ; D = ε0 E + P ; H = 1 B − M, ∇×H=D µ0 mit den makroskopischen Observablen der Materie ρ(r, t) : j(r, t) : P(r, t) : M(r, t) : elektrische Ladungsdichte elektrische Stromdichte elektrische Dipoldichte oder Polarisation magnetische Dipoldichte oder Magnetisierung. Im Vakuum gilt ρ = 0, j = 0, P = 0, M = 0 und wegen D = ε0 E und µ0 H = B erh¨ alt man ˙ ; ∇×E=−B ∇·E=0 1 ˙ ∇ × B = 2E c ∇·B=0 ; mit den Wellengleichungen 1 ¨ E=0 c2 1 ¨ ∆B − 2 B = 0. c ∆E − Berechnung der makroskopischen Felder Es existiert noch keine geschlossene Theorie der Wechselwirkung elektromagnetischer Felder mit der Materie. Dies w¨ urde die Verkn¨ upfung der relativistischen Quantenmechanik mit der quantisierten Elektrodynamik erfordern. In vielen F¨allen gen¨ ugt es aber, auf spezielle experimentelle Fragestellungen spezielle L¨osungen f¨ ur die Materialeigenschaften zu berechnen. Zum Beispiel kann man im station¨aren Fall die makroskopische Ladungsdichte ρ(r) eines Systems gebundener Atome aus einer mikroskopischen Elektronendichte nElektr (r) und Ionendichte nIon (r) durch eine r¨ aumliche Mittelung mit geeigneten kleinen Volumenelementen ∆Vk erhalten Z D E DX   3 ′E  1 Ion ′ Elektr ′ Ion Elektr e0 n (r − r ) − e0 n (r − r ) d r , (r) = ρ(r) = e0 n (r) − e0 n ∆Vk (r) ∆Vk (r) k wobei auf der rechten Seite noch eine Gl¨ attung der Stufenfunktion erfolgt. Dabei l¨ asst sich die mikroskopische Elektronendichte etwa mit Hilfe der quantenmechanischen Dichtefunktionaltheorie berechnen. Entsprechend findet man eine makroskopische Polarisation aus den atomaren elektrischen Dipolmomenten und die makroskopische Magnetisierung aus den atomaren magnetischen Dipolmomenten. 1.3 Energie elektromagnetischer Felder ˙ und dem Durchflutungsgesetz ∇ × H = D ˙ + j folgt mit dem Aus dem Induktionsgesetz ∇ × E = −B Poynting-Vektor s = E × H, der die Dimension einer Energiestromdichte (Jm−2 s−1 ) hat, ˙ +H·B ˙ + j · E. −∇ · s = −∇ · (E × H) = E · (∇ × H) − H · (∇ × E) = E · D Dann gilt f¨ ur ein ache ∂V und mit dem Integralsatz von Gauß Z Z endliches Volumen V mit der Oberfl¨ ∇ · s d3r = s · d2f V ∂V Z |V
˙ +H·B ˙ d3r + E·D {z } ¨ Anderung der in V enthaltenen Feldenergie pro Sekunde Z s · d2f | ∂V {z } = durch die Oberfl¨ ache pro Sekunde nach außen str¨ omende Feldenergie − | Z V j · E d3r {z } Umwandlung von Feldenergie pro Sekunde innerhalb V in andere Energie Dann ist du = E · dD + H · dB ¨ die infinitesimale Anderung der Feldenergie pro Volumeneinheit und lokal gilt die inhomogene Kontinuit¨ atsgleichung ∂u + ∇ · s = −j · E ∂t Energiebilanzgleichung. Einsetzen der Materialgleichungen D = ε0 E + P und B = µ0 H + µ0 M ergibt f¨ ur die Feldenergie du = ε0 E · dE + E · dP + µ0 H · dH + µ0 H · dM

1 2 = ε0 d 21 E2 H + E · dP + µ d 0 | {z } | {z } | {z2 } Energie des elektrischen Feldes Polarisationsenergie + Energie des magnetischen Feldes µ0 H · dM. | {z } Magnetisierungsenergie Das elektrische Feld E leistet im Medium die Polarisationsarbeit EP pro Volumeneinheit und das Magnetfeld H die Magnetisierungsarbeit EM , die im Medium in W¨ arme umgewandelt wird EP = − Z 0 E E · dP und EM = −µ0 Z H 0 H · dM. Gilt speziell P = (εr − 1)ε0 E M = χH mit der Folge D = εr ε0 E B = µr µ0 H, µr = 1 + χ mit den konstanten Skalaren der relativen Dielektrizit¨ atskonstanten εr , der relativen Permeabilit¨ at µr und der magnetischen Suszeptibilit¨ at χ, so erh¨ alt man f¨ ur die elektromagnetische Feldenergie

1 1 2 2 bzw. u = 12 E · D + 12 H · B. du = E · dD + H · dB = d 2 εr ε0 E + d 2 µr µ0 H Damit ergibt sich f¨ ur die an die Materie abgegebene elektromagnetische Feldenergie pro Volumeneinheit 1 EP = − (εr − 1)ε0 E2 2 1 und EM = − µ0 χH2 . 2 1.4 Elektrodynamische Potenziale Die magnetische Induktion B(r, t) ist quellenfrei ∇ · B = 0, und l¨ asst sich daher durch ein Vektorpotenzial A(r, t) ausdr¨ ucken: B = ∇ × A, wobei noch u ¨ ber die Quellen ∇ · A von A verf¨ ugt werden ˙ = ∇ × (E + A) ˙ = 0, sodass ein skalares Potenzial kann. Das Induktionsgesetz lautet dann ∇ × E + B ˙ = −∇φ. Daher gilt φ(r, t) existiert mit der Eigenschaft E + A ˙ − ∇φ. B = ∇ × A und E = −A ˙ erf¨ Dann sind die beiden homogenen Feldgleichungen ∇ · B = 0 und ∇ × E = −B ullt, und die bei gegebenen ρ(r, t) und j(r, t) inhomogenen Feldgleichungen ergeben sich f¨ ur das Vakuum P = 0, M = 0, B = µ0 H, D = ε0 E mit der Lorentz-Konvention 1 1 ∇ · A + 2 φ˙ = 0 mit ε0 µ0 = 2 c c 1 ∂2 zu Lorentz-invarianten inhomogenen Wellengleichungen mit dem Wellenoperator = 2 2 − ∆ c ∂t    1 ∂2  1 ∂2 1 ρ Potenzialgleichungen. − ∆ A = − ∆ φ = A = µ j und φ = 0 c2 ∂t2 c2 ∂t2 ε0 Damit ist die Kontinuit¨ atsgleichung ρ˙ + ∇ · j = 0 erf¨ ullt, denn es gilt mit der Lorentz-Konvention f¨ ur 1 ∇ · A mit der Folge die elektrische Ladung und Stromdichte ρ˙ = ε0 φ˙ und ∇ · j = µ0
1 ρ˙ + ∇ · j = ε0 µ0 φ˙ + ∇ · A = 0. µ0 Die vier Felder A(r, t), φ(r, t) sind dadurch nur bis auf eine Eichtransformation mit f (r, t) bestimmt A′ = A + ∇f und φ′ = φ − ∂f ∂t mit der Bedingung f = 0, wobei A′ und φ′ mit A und φ die Lorentz-Konvention erf¨ ullen. Zum Beweise berechnet ˙ ′ − ∇φ′ E′ = −A B′ = ∇ × A′ 1 ∇ · A + 2 φ˙ = 0 c man  ∂ ∂f  ˙ − ∇φ = E ⇒ − (A + ∇f ) − ∇ φ − = −A ∂t ∂t ⇒ ∇ × (A + ∇f ) = ∇ × A = B 1 ∂ ∂f  1 ⇒ ∇ · (A + ∇f ) + 2 φ− = ∇ · A + 2 φ˙ − f = 0. c ∂t ∂t c 1 ρ setzen sich aus Die L¨osungen der inhomogenen Wellengleichungen A = µ0 j und φ = ε0 den L¨osungen Ahom bzw. φhom der homogenen Wellengleichungen A = 0 und φ = 0 und den partikul¨aren integralen ApI bzw. φpI zusammen. Letztere lassen sich mit Hilfe der retardierten (oder avancierten) Greenschen Funktion
  ′ ′ 2 δ t − t − |r − r |/c 1 ∂ 1 G(r, t; r′ , t′ ) = mit − ∆ G(r, t; r′ , t′ ) = δ(r − r′ )δ(t − t′ ) ′ 2 2 4π |r − r | c ∂t berechnen
ρ r , t − |r − r |/c 3 ′ 1 1 φpI (r, t) = G(r, t; r′ , t′ ) ρ(r′ , t′ ) d3r′ dt′ = dr ε0 4πε0 |r − r′ |
Z Z ′ ′ j r , t − |r − r |/c µ 0 3 ′ d r. ApI (r, t) = G(r, t; r′ , t′ )µ0 j(r′ , t′ ) d3r′ dt′ = 4π |r − r′ | Z Z ′ ′ Anwendungsbeispiel Elektrostatik Im station¨aren Fall erh¨alt man entsprechend die allgemeine L¨ osung φ = φpI + φhom der Poisson1 Gleichung ∆φ = − ρ in der Elektrostatik. ε0 Die Greensche Funktion ist bestimmt durch die Differenzialgleichung 1 1 . ∆G(r, r′ ) = δ(r − r′ ) mit der L¨ osung G(r, r′ ) = − 4π |r − r′ | Damit erh¨alt man das partikul¨ are Integral der Poisson-Gleichung Z Z ′ ρ(r ) 1 ρ(r′ ) 3 ′ 3 ′ pI ′ φ (r) = G(r, r ) dr, dr = −ε0 4πε0 |r − r′ | denn es ist Z Z ′ ′ ρ(r ) ρ(r) 3 ′ pI ′ ′ ρ(r ) 3 ′ ∆φ (r) = ∆G(r, r ) d r = δ(r − r ) dr =− . −ε0 −ε0 ε0 Die zugeh¨orige L¨osung der homogenen Differenzialgleichung ∆φ = 0 lautet in Kugelkoordinaten r : r, ϑ, ϕ und entwickelt nach Kugelfunktionen Ylm (ϑ, ϕ) hom φ (r) = ∞ X l  X l=0 m=−l blm  alm r + l+1 Ylm (ϑ, ϕ) r l 1 als mit beliebigen Integrationskonstanten alm und blm . Speziell ergibt sich wegen Y00 (ϑ, ϕ) = √ 4π kugelsymmetrische L¨osung das Coulomb-Potenzial b φhom (r) = a + . r 1.5 Li´ enhard-Wiechert-Potenziale Bei vorgegebener elektrischer Ladungsdichte ρ(r, t) hat die Potenzialgleichung   1 ∂2 1 ρ(r, t) − ∆ φ(r, t) = c2 ∂t2 ε0 als partikul¨ares Integral die retardierte L¨ osung Z  1 1 ρ(r′ , t′ )  ′ ′ φ(r, t) = δ t − t + |r − r | d3r′ dt′ . ′ 4πε0 |r − r | c F¨ ur einen Massenpunkt der Ladung q auf einer vorgegebenen Bahnkurve x(t) ist die Ladungdichte
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ρ(r , t ) = qδ r − x(t ) . Zur Abk¨ urzung sei R(t ) = r − x(t ) mit R(t ) = R(t ) , dann ist Z
′ 1 1 q ′ ′ 1 ′ δ t − t + R(t ) dt φ(r, t) = R(t′ ) u = t − t + ′ 4πε0 R(t ) c c Z q δ(u) du ˙ ′) du R(t′ ) · x(t 1 ˙ ′ = = 1 + R(t ) = 1 − mit 4πε0 dt′ c cR(t′ ) ˙ ′) R(t′ ) − 1c R(t′ ) · x(t dt′ du q 1   = = . R(t′ ) 4πε0 R(t′ ) − 1c R(t′ ) · x(t ˙ ′) R(t′ ) − 1c R(t′ ) · x(t ˙ ′ ) t′ + 1 R(t′ )=t c Entsprechend ist die retardierte L¨ osung des Vektorpotenzials A(r, t) mit der elektrischen Stromdichte
˙ ′ )δ r′ − x(t′ ) der Punktladung q auf der Bahnkurve x(t′ ) j(r′ , t′ ) = q x(t   ˙ ′) µ0 x(t A(r, t) = q . 4π R(t′ ) − 1c R(t′ ) · x(t ˙ ′ ) t′ + 1 R(t′ )=t c 2 Elektromagnetische Wellen 2.1 Materialgleichungen Die makroskopischen Feldgleichungen enthalten die Polarisation oder elektrische Dipoldichte P(r, t) D = ε0 E + P mit [ε0 ] = C Vm ;   V E = m und   C Cm elektr. Dipolmoment P = 2 = 3 = m m Volumen   A und die Magnetisierung oder magnetische Dipoldichte M(r, t) mit H = m 1 M= B−H µ0 Vs mit [µ0 ] = Am   Vs ; B =T= 2 m die den Einfluss der Materie auf die Felder beschreiben. und  Am2 magn. Dipolmoment , = M = m3 Volumen  Wird an einen Festk¨ orper ein elektrisches Feld E(r, t) angelegt, so ist bei Vernachl¨ assigung von   B die induzierte Polarisation allgemein ein Funktional der elektrischen Feldst¨ arke P = P E (r, t). In den hier interessierenden F¨allen sind die ¨ außeren Felder nur klein im Vergleich zu den inneren Feldern der Atome, und in der linearen Optik hat P = (P1 , P2 , P3 ) mit E = (E1 , E2 , E3 ) die Form 3 Z X χejk (r, r′ , t, t′ )Ek (r′ , t′ ) d3r′ dt′ mit Ged¨ achtniseffekt und Fernwirkung. Pj (r, t) = ε0 k=1 Ist der Festk¨ orper speziell homogen und isotrop, h¨ angt die elektrische Suszeptibilit¨ at χejk = δjk χe nur von |r − r′ | ab, und im station¨aren Fall nur von t − t′ . Im einfachsten Fall ohne Fernwirkung und Ged¨ achtniseffekt gilt bei dielektrischen und parelektrischen Stoffen P = ε0 χe E mit skalarem und konstantem χe . Mit der relativen Dielektrizit¨ atskonstanten εr ist D = ε0 E + P = ε0 εr E mit εr = 1 + χe und 1 ≤ εr ≤ 102 . In der nichtlinearen Optik kann man f¨ ur die Polarisation P = (P1 , P2 , P3 ) gen¨ ahert setzen Pν (r, t) = ε0 3 X χeνµ Eµ (r, t) µ=1 + ε0 1,2,3 X χ(2) νµρ Eµ (r, t)Eρ (r, t) + ε0 1,2,3 X χ(3) νµρτ Eµ (r, t)Eρ (r, t)Eτ (r, t). µ,ρ,τ µ,ρ Entsprechend erh¨alt man im einfachsten Fall bei dia- und paramagnetischen Stoffen M = χH und B = µ0 H + µ0 M = µ0 µr H mit µr = 1 + χ, und man beobachtet χ < 0 mit |χ| = 10−5 − 10−6 bei diamagnetischen Stoffen χ > 0 mit χ = 10−4 − 10−5 bei paramagnetischen Stoffen. Bei ferromagnetischen Stoffen angig und nichtlinear (Hysteresis wird M = M(H) vom Wege abh¨ ∂M schleife). Man setzt χ = mit χ = 10 − 103 . ∂H H=0 Bei der elektrischen Stromdichte gilt nur im einfachsten Fall das Ohmsche Gesetz j = σE mit einer skalaren elektrischen Leitf¨ahigkeit σ. Allgemeiner hat man bei Kristallen mit j = (j1 , j2 , j3 ) jk = 3 X l=1 σkl El + 1,2,3 X l,m σklm El Bm + . . . . 2.2 Ebene Wellen Wir betrachten zun¨achst station¨are, homogene, isotrope, dielektrische oder parelektrische und dia- oder paramagnetische Stoffe: D = ε0 εr E = εE und B = µ0 µr H = µH mit εr µr n2 1 εµ = ε0 µ0 εr µr = 2 = 2 = 2 c c v und n= c √ = εr µr v ohne Ladungsdichte ρ = 0 und Stromdichte j = 0. Aus den elektromagnetischen Feldgleichungen ˙ ∇ × E = −B ˙ ; ∇·D=0 ; ∇×H=D ; ∇·B=0 ˙ = −µ∇ × H ˙ = −εµE ¨ die Wellengleichungen findet man ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∇ × B   1 ∂2 −∆ E=0 v 2 ∂t2 und   1 ∂2 − ∆ B = 0. v 2 ∂t2 1) Linear polarisierte ebene Wellen: Der L¨osungsansatz einer ebenen Welle: E(r, t) = E0 cos{k · r − ωt} ω2 ergibt die Dispersionsbeziehung − 2 + k2 = 0 bzw. ω(k) = v|k| > 0 v 1 mit dem Ausbreitungsvektor k, der Kreisfrequenz ω und der Phasengeschwindigkeit v = √ . εµ ˙ folgt B(r, t) = k × E0 cos{k · r − ωt} + B1 (r). Setzt man Aus ∇ × E = −k × E0 sin{k · r − ωt} = −B ω eine konstante magnetische Induktion zu Null B1 (r) = 0, erh¨ alt man B(r, t) = B0 cos{k · r − ωt} und es ergeben sich Transversalwellen E0 ∇·E=0 ⇒ k · E0 = 0 ; E0 ⊥ k k ∇·B=0 ⇒ k · B0 = 0 ; B0 ⊥ k k × E0 ⇒ E0 · B0 = 0 ; E0 ⊥ B0 B0 = B0 ω Die Energiestromdichte ergibt sich aus dem Poynting-Vektor s = E × H E20 E0 × (k × E0 ) 2 cos {k · r − ωt} = k cos2 {k · r − ωt} mit s ↑↑ k s= µω µω und die Energiedichte ist u = 1 E·D= 2 1 H·B= 2 1 2E ·D+ 1 2H k2 =ε · B = E · D, denn es ist wegen µω 2 ε 2 ε E = E20 cos2 {k · r − ωt} 2 2 1 2 (k × E0 )2 k2 E20 1 2 2 B = E · D. cos {k · r − ωt} = cos {k · r − ωt} = 2µ 2µω 2 2µω 2 2  1 Der zeitliche und r¨ aumliche Mittelwert der Energiestromdichte ist wegen cos2 {k · r − ωt} = 2   k |k| 2 ε k |k| 2 E0 cos2 {k · r − ωt} = E0 und hui = hE · Di = E20 . hsi = |k| µω |k| 2µω 2 1 = v 2 und der Dispersionsbeziehung εµ k |k| |k| ω k s= = = v und es folgt u= vu. εµω |k| |k| εµω |k| F¨ ur die Energiestromdichte erh¨ alt man daraus wegen k2 ω = εµ 2 oder ω = |k||k| εµω und Bei der Messung der Intensit¨at des Lichtes (z.B. mit einem Bolometer) wird die auf die Fl¨acheneinheit J der Eintritts¨ offnung pro s auftreffende Energie gemessen, [I] = . Dabei ist die charakterism2 s ¨ tische L¨ange der Offnung groß gegen die Wellenl¨ange und die Beobachtungsdauer lang gegen¨ uber der Schwingungsdauer des Lichtes. v dt s dA Bei senkrechtem Einfall auf die Fl¨ache dA des Volumens dV = dAv dt tritt die Energie u dV in der Zeit dt durch die Fl¨ache dA. Also ist die Intensit¨at I= und durch die Mittelung erh¨ alt man u dV uv dA dt = = vu, dA dt dA dt   1 I = vhui = |s| = vε E2 = vεE20 . 2 2) Zirkular oder elliptisch polarisierte ebene Welle Wir betrachten eine ebene Welle in z-Richtung mit k = (0, 0, k), E = (Ex , Ey , 0) und erhalten Ex = E1 cos{kz − ωt} wegen Ey = E2 cos{kz − ωt + ϕ} Ex Ey = cos ϕ − E2 E1 s folgt Ex2 1 − 2 sin ϕ E1 ⇒ Ey2 Ex2 Ex Ey 2 + − 2 cos ϕ = sin ϕ. E12 E22 E1 E2 cos{α + β} = cos α cos β − sin α sin β cos{kz − ωt + ϕ} = cos{kz − ωt} cos ϕ − sin{kz − ωt} sin ϕ  Ey Ex cos ϕ − E1 E2 ± π2 Speziell f¨ ur den Phasenwinkel ϕ = Ey2 Ex2 gilt die Ellipsengleichung 2 + 2 = 1, E1 E2 und die Welle ist f¨ ur E1 = E2 zirkular polarisiert. Mit ψ = kz − ωt findet man Ey E1 = cos ϕ − tan ψ sin ϕ. Ex E2 2   Ex2 = 1 − 2 sin2 ϕ E1 y E2 E ψ E1 x Ey E1 π gilt = − tan ψ und die elliptische Welle ist links polarisiert. 2 Ex E2 π Entsprechend f¨ ur ϕ = − rechts polarisiert. Der Zeiger E dreht sich 2 links polarisiert: bez¨ uglich t im mathematisch positiven Sinn und bez¨ uglich z im Uhrzeigersinn, rechts polarisiert: bez¨ uglich t im Uhrzeigersinn und bez¨ uglich z im mathematisch positiven Sinn. F¨ ur ϕ = 3) Allgemeine L¨ osungen der Wellengleichung Sei w(r, t) eine Komponente osung der   der Vektoren E(r, t) oder B(r, t), dann ist die allgemeine L¨ 2 ∂ Wellengleichung v12 ∂t w = 0 : w(r, t) = f (k · r − ωt) + g(k · r + ωt) mit ω 2 (k) = v 2 k2 , 2 − ∆ 2 denn es gilt f¨ ur beliebige, zweimal differenzierbare f und g: ∂∂t2f = ω 2 f ′′ und ∆f = k2 f ′′ . Hier beschreibt f den auslaufenden Teil in Richtung k und g den einlaufenden in Richtung −k. Ist etwa w(r, 0) zur Zeit t = 0 gegeben, so erf¨ ullt w(r ∓ nvt, 0) die Wellengleichung und die Anfangsbedingung, k wobei n = mit k = |k| die Ausbreitungsrichtung angibt. k Die beiden L¨osungen der linearen und homogenen Wellengleichung mit Ausbreitung in Richtung k  cos{k · r − ωt} und sin{k · r − ωt} sind linear unabh¨ angig und in exp i(k · r − ωt) enthalten. Wegen ω(k) = vk = ω(k) setzt man ω(−k) = ω(k) und mit k = (k, 0, 0) stellen dann   w(x, t) = a(k) exp i(kx − ωt) und w(x, t) = a(−k) exp i(−kx − ωt) zwei linear unabh¨ angige L¨osungen mit beliebigen Amplituden a(k) und a(−k) dar. Die allgemeine L¨ osung kann also mit der Realit¨ atsbedingung A(k) = A∗ (−k) in der Form Z ∞ Z ∞   w(x, t) = A(k) exp i(kx − ω(k)t) dk = A(k) exp ik(x − vt) dk = w(x − vt, 0) −∞ −∞     geschrieben werden, wobei w(x, t) und A(k) unterschiedliche Dimensionen haben A(k) = m w(x, t) . Das Integral kann als Fourier-Transformation des Anfangswertproblems aufgefasst werden Z ∞ Z ∞ 1 w(x, 0) = A(k) exp{ikx} dk und A(k) = w(x, 0) exp{−ikx} dx. 2π −∞ −∞ 2.3 Telegrafengleichung Ein elektrisch leitendes Dielektrikum ohne Ladungen sei durch die Materialgleichungen j = σE ; ρ=0 ; D = εE ; B = µH mit ε = εr ε0 und µ = µr µ0 mit den skalaren Konstanten ε, µ und σ beschrieben. Aus den Feldgleichungen ˙ ; ∇ × E = −B ˙ +j ∇×H=D ; ∇·B =0 ; ∇·D=ρ=0 erh¨alt man ˙ = −εµE ¨ − µσ E ˙ ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∆E = −∇ × B die Telegrafengleichung ˙ − 1E ¨ =0 ∆E − µσ E 2 v mit 1 εr µr = εµ = ε µ ε µ = . 0 0 r r v2 c2 Wir betrachten zur Vereinfachung spezielle L¨ osungen in Form von ebenen Wellen in x-Richtung ∂Ex = 0 und wir setzen Ex = 0: E = (0, Ey , Ez ). E = E(x, t). Aus ∇ · E = 0 folgt dann ∂x Der L¨osungsansatz f¨ ur Eν (x, t) mit ν = y, z sei   2 ω − iµσω fν (x) = 0 Eν (x, t) = fν (x) exp {iωt} =⇒ fν′′ (x) + v2 mit der L¨osung   q 2 fν (x) = fν (0) exp ±ix ωv2 − iµσω . Das elektrische Feld mit Ausbreitung in Richtung der positiven x-Achse lautet dann ( ω Eν (x, t) = E0ν exp iωt − ix c r c2 µσc2 −i v2 ω ) . c √ In Analogie zum Brechungsindex bei Isolatoren = εr µr f¨ uhrt man den komplexen Brechungsindex v n∗ ein mit c2 µσc2 µr σ c2 ∗ ∗2 = 2 −i , n = n − iκ und n = 2 − i v ω v ε0 ω und dazu eine komplexe Dielektrizit¨ atskonstante ε∗ c2 ε = n − κ = 2 = εr µr v µr σ . ε′′ = 2nκ = ε0 ω ′ n∗2 = ε∗ = ε′ − iε′′ mit 2 2 Dann hat die spezielle L¨osung der Telegrafengleichung n n n ω o ω ∗o n
o E(x, t) = E0 exp iωt − ix n = E0 exp − κx exp iω t − x c c c die Form einer ged¨ ampften ebenen Welle in x-Richtung, wobei f¨ ur E der Realteil zu nehmen ist. 2.4 Optische Konstanten Die in den Feldgleichungen verwendeten Materialkonstanten ε = εr ε0 , µ = µr µ0 und σ sind zun¨achst mit den statischen Feldern oder im elektrischen Bereich bestimmt. In optischen Frequenzbereichen wird stattdessen der Brechungsindex und der Absorptionskoeffizient gemessen. Den Zusammenhang erh¨alt man u ¨ ber die Messung der gemittelten Intensit¨at des Lichtes, siehe Abschn. 2.2, n ω o  1 2 2 I = |s| = vhui = vεhE i = vεE0 exp −2 κx 2 c Ist I0 die Intensit¨at der Welle beim Eintritt und I nach dem Hindurchtritt durch das Medium der Dicke x, so wird eine Intensit¨atsabnahme nach dem Lambertschen Absorptionsgesetz I = I0 exp{−αx} ω mit dem Absorptionskoeffizienten α = 2 κ beobachtet. Dadurch sind die im optischen Bereich bec stimmten Materialkonstanten Brechungsindex n und Absorptionskoeffizient α mit den Materialparametern ε = ε0 εr , µ = µ0 µr und der elektrischen Leitf¨ahigkeit σ verkn¨ upft, αc n =n−i = 2ω ∗ s c2 µr σ − i v2 ε0 ω c2 ε = n − κ = 2 = εr µr v µ σ r ε′′ = 2nκ = , ε0 ω ′ und n∗2 = ε∗ = ε′ − iε′′ mit 2 2 nε0 µ0 nα α2 2nε0 ω αc n2 = αc = und µr ≈ 1 sowie σ = und es gilt εµ = 2 − c 4ω 2 µr 2ω µ µc ! ! r r     2 2 εr µr σ σ n2 = 1+ 1+ und α2 = 2εµω 2 −1 + 1 + . 2 εω εω 3 Dispersion Die Wechselwirkung von Licht mit Festk¨ orpern, Fl¨ ussigkeiten und Gasen wird von den gebundenen Atomen bestimmt. Die makroskopischen Beobachtungen entstehen dabei durch komplizierte mikroskopische Prozesse, sodass man vielfach bei konkreten Messungen zu einfachen Beschreibungsmodellen u ¨ bergeht. Wir behandeln hier die in der Spektroskopie an Materie beobachteten frequenzabh¨ angigen dielektrischen Eigenschaften und vernachl¨ assigen den Einfluss magnetische Felder, indem wir M = 0 setzen, was bei dia- und paramagnetischen Stoffen mit M = χH wegen µr = 1 + χ und |χ| = 10−4 − 10−6 gerechtfertigt ist. 3.1 Dielektrische Eigenschaften Die Frequenzabh¨ angigkeit der makroskopisch beobachteten optischen Konstanten wird dann durch die Polarisation P = P[E](r, t) bestimmt, die allgemein ein Funktional der elektrischen Feldst¨ arke E(r, t) ist. Bei hinreichend schwachen elektrischen Feldern des Lichtes, das auf die Materie trifft, im Vergleich zu den inneren Feldern der Atome, h¨ angt die Polarisation P = (P1 , P2 , P3 ) linear von E = (E1 , E2 , E3 ) ab, und man setzt bei Festk¨ orpern mit dem Tensor der elektrischen Suszeptibilit¨ at pro Volumen- und Zeiteinheit χe = (χjk ), vergl. Abschn. 2.1, D(r, t) = ε0 E(r, t) + P(r, t) mit Pj (r, t) = ε0 3 Z X k=1 χjk (r, r′ , t, t′ )Ek (r′ , t′ ) d3r′ dt′ . Bei einem Festk¨ orper im station¨aren Zustand, d.h. ohne zeitabh¨ angige ¨ außere St¨ orungen, h¨ angt der Tensor χe nur von t − t′ ab. Wir betrachten ferner nur Wellenl¨angen λ = 2π/|q|, die groß sind im Vergleich zur Gitterkonstanten a des Kristalles λ ≫ a, dann herrscht n¨ aherungsweise r¨ aumliche Homogenit¨at, was einer r¨ aumlichen Mittelung u ¨ ber eine Elementarzelle entspricht. Dadurch h¨ angt der Tensor χe nur von r − r′ ab: χjk = χjk (r − r′ , t − t′ ). F¨ ur die dielektrische Verschiebung D = (D1 , D2 , D3 ) erh¨ alt man dann Dj (r, t) = ε0 Ej (r, t) + ε0 3 Z X k=1 χjk (r − r′ , t − t′ )Ek (r′ , t′ ) d3r′ dt′ . Der Einfachheit halber beschr¨ anken wir uns hier auf isotrope Festk¨ orper und auf kubische Kristalle, bei denen der Tensor der elektrischen Suszeptibilit¨ at ein Vielfaches der Einheitsmarix ist χjk = χδjk . Dies gilt z.B. nicht bei hexagonalen Kristallen wie ZnO, CdS, GaN und anderen, bei denen es eine ausgezeichnete optische Achse, die sogenannte c-Achse gibt, und es zur Doppelbrechung kommt. Bei isotropen Festk¨ orpern schreibt sich die dielektrische Verschiebung mit der Ortsintegration u ¨ ber das Grundgebiet V D(r, t) = ε0 E(r, t) + ε0 Z V χ(r − r′ , t − t′ )E(r′ , t′ ) d3r′ dt′ . Wir nehmen f¨ ur den Festk¨ orper und die Felder r¨ aumliche Periodizit¨ at mit dem Grundgebiet V an, und f¨ uhren f¨ ur D(r, t), E(r, t) und χ(r, t) die Fourier-Transformierten D(q, t), E(q, t) und χ(q, t) ein Z X 1 E(r, t) = E(q, t) exp {iq · r} mit E(q, t) = E(r, t) exp {−iq · r} d3r, V V q wobei u ¨ ber alle Ausbreitungsvektoren q zu summieren ist q= m2 m3 m1 b1 + b2 + b3 N N N mit ganzen Zahlen m1 , m2 , m3 , den Basisvektoren des reziproken Gitters b1 , b2 , b3 und der Zahl N 3 der Anzahl der Elementarzellen im Grundgebiet V . Dann erh¨ alt man mit dem Faltungssatz der Fourier-Transformation Z ∞ 
F f ∗ g)(x) = F f (ξ)g(x − ξ) dξ = F(f )F(g) −∞ die einfache Form f¨ ur die dielektrische Verschiebung Z ∞ D(q, t) = ε0 E(q, t) + ε0 χ(q, t − t′ )E(q, t′ ) dt′ . −∞ Die dielektrischen Eigenschaften werden untersucht, indem eine elektrische ebene Welle mit der Kreisfrequenz ω in den Kristall gestrahlt wird, die im Innern auch durch Absorption ged¨ ampft sein kann E(r, t) = E(r, ω) exp {iωt} bzw. E(q, t) = E(q, ω) exp {iωt} . Damit erh¨alt man D(q, t) = ε0 E(q, t) + ε0 E(q, ω) exp {iωt} oder Z ∞ −∞  χ(q, t − t′ ) exp − iω(t − t′ ) dt′ D(q, ω) = ε0 ε˜(q, ω)E(q, ω), mit der komplexen Dielektrizit¨ atskonstanten mit der Realit¨ atsbedingung ε˜(−q, −ω) = ε˜∗ (q, ω) Z ∞  ′ ′ ′ ε˜(q, ω) = 1 + χ(q, t − t ) exp − iω(t − t ) dt . −∞ Kann außerdem die r¨ aumliche Dispersion d.h. die Fernwirkung der Polarisation vernachl¨ assigt werden, sodass die elektrische Suszeptibilit¨ at vom Ort unabh¨ angig ist χ(r− r′ , t− t′ ) = χ(t− t′ )δ(r− r′ ), so wird die dielektrische Verschiebung von der elektrischen Suszeptibilt¨ at pro Zeiteinheit χ(t − t′ ) bestimmt Z t D(r, t) = ε0 E(r, t) + ε0 χ(t − t′ )E(r, t′ ) dt′ , −∞ wobei wegen der Kausalit¨at die Integration nur bis t ausgef¨ uhrt ist. Dann erh¨ alt man Z t D(r, t) = ε0 E(r, ω) exp {iωt} + ε0 E(r, ω) exp {iωt} χ(t − t′ ) exp {−iω(t − t′ )} dt′ −∞ oder mit D(r, t) = D(r, ω) exp {iωt} D(r, ω) = ε0 E(r, ω) + ε0 E(r, ω) Z ∞ 0 χ(t′′ ) exp {−iωt′′ } dt′′ . Dies schreibt man in der einfachen Form D(r, ω) = ε0 ε˜(ω)E(r, ω) mit der komplexen Dielektrizit¨ atskonstanten ε˜(−ω) = ε˜∗ (ω) ε˜(ω) = 1 + Z 0 ∞ χ(t′′ ) exp {−iωt′′ } dt′′ . Wird also in einem Dielektrikum eine elektromagnetische Welle der Frequenz ω eingestrahlt, so wird die Wirkung durch die Polarisation P bzw. durch die dielektrische Verschiebung D festgestellt, die sich mit Hilfe einer frequenzabh¨ angigen Dielektrizit¨ atskonstante schreiben l¨ asst. Das die Polarisation bestimmende Integral ber¨ ucksichtigt nicht nur das elektrische Feld zur Zeit t, sondern auch zu fr¨ uheren Zeiten, sodass Ged¨ achtniseffekte im Medium eine Rolle spielen. Bei hohen Frequenzen verz¨ogert sich die Reaktion der Atome auf das E-Feld des Lichtes, wodurch die Dielektrizit¨ atskonstante frequenzabh¨ angig wird. Die Elektronen des Mediums k¨ onnen dem sich zu schnell ¨ andernden E-Feld des Lichtes nicht mehr folgen, sodass es zu Verz¨ogerungseffekten kommt. Im Folgenden werden einzelne mikroskopische Modelle besprochen, die die Frequenzabh¨ angigkeit der Dielektrizit¨ atskonstanten in verschiedenen Spektralbereichen erkl¨ aren. 3.2 Dispersion im optischen Bereich In einem einfachen klassischen Modell entsteht die durch das elektrische Feld der elektromagnetischen Welle hervorgerufene Polarisation durch die Ausrichtung permanenter Dipole der Molek¨ ule und durch die induzierten elektrischen Dipole der Atome, sowie durch das Elektronengas der Halbleiter und Metalle. Entsprechend setzt sich die elektrische Suszeptibilit¨ at χe = χperm + χAtom + χGas gen¨ ahert aus den Anteilen χperm χAtom χGas durch permanente elektrische Dipole durch induzierte elektrische Dipole durch ein Elektronengas zusammen. 1) Dispersion durch permanente Dipole Befinden sich im Dielektrikum viele kleine elektrische Dipole, die ohne ein ¨ außeres elektrisches Feld ungeordnet alle m¨oglichen Richtungen einnehmen, so dass die Polarisation oder Dipoldichte insgesamt Null ist, so werden diese Dipole durch ein elektrisches Feld ausgerichtet. In dem Modell von Debye folgen diese Dipole dem elektrischen Feld nur mit einer gewissen Verz¨ogerung, und f¨ ur diesen Anteil der elektrischen Suszeptibilit¨ at χperm wird, bei nicht zu hohen Frequenzen unterhalb des optischen Bereiches, angenommen, dass eine Polarisation P nach Abschalten des ¨ außeren elektrischen Feldes E exponentiell mit einer Relaxationszeit τ abklingt, wobei ein gewisser Teil der Polarisation dem elektrischen Feld ohne Verz¨ogerung verlustfrei folgen kann. Mit P. Debye wird f¨ ur E(r, t) = E0 (r, ω) exp {iωt} mit reellen ε′0 = ε˜(0) und ε′∞ = ε˜(∞) gesetzt D(r, t) = ε0 ε˜(ω)E(r, t) Z t t − t′ o ′ = + ε0 E(r, t )a exp − dt τ −∞ Z t n t − t′ o  ′ = ε0 ε∞ E(r, t) + ε0 E(r, t) a exp − exp − iω(t − t′ ) dt′ τ −∞   Z ∞ n t′′ o = ε0 E(r, t) ε′∞ + a exp − exp {−iωt′′ } dt′′ . τ 0 ε0 ε′∞ E(r, t) Das Integral liefert mit aτ = ε′0 − ε′∞ wegen ′ Z ∞ 0 n ∞ τ exp {−t /τ } exp {−iωt } ′′ = . . . dt = −(1/τ )(1 + iωτ ) 1 + iωτ 0 ′′ i h τ τ ′ − iaωτ D(r, t) = ε0 E(r, t) ε∞ + a 1 + ω2 τ 2 1 + ω2 τ 2 h ε′0 − ε′∞ i ε′0 − ε′∞ ′ − iωτ . = ε0 E(r, t) ε∞ + 1 + ω2 τ 2 1 + ω2 τ 2 ′′ Setzt man die komplexe Dielektrizit¨ atskonstante ε˜(ω) = ε′ (ω) − iε′′ (ω) ein, so erh¨alt man ′ ε (ω) = ε′∞ ε′0 − ε′∞ + 1 + ω2 τ 2 ε′0 − ε′∞ und ε (ω) = ωτ . 1 + ω2 τ 2 ′′ Bei sehr niedrigen Frequenzen werden alle Dipole ausgerichtet sein, so dass ε′ (0) den gr¨oßten Wert hat. Bei sehr hohen Frequenzen k¨ onnen die Dipole nicht mehr folgen, so dass ε′ (∞) den kleinsten Wert hat, und ε′ (ω) mit der Frequenz monoton abnimmt. F¨ ur den Imagin¨ arteil ε′′ (ω) ist ε′′ (0) = 0 und ε′′ (∞) = 0 mit einem Maximum bei ω = 1/τ , das meist im Mikrowellenbereich liegt. ε′ (ω) ε′′ (ω) ε′0 + ε′0 + + + ε′∞+ ε′∞+ + 1/τ + + + + 5/τ + ω + 1/τ + + + + 5/τ + ω 2) Dispersion durch induzierte atomare Dipole Im optischen Bereich wird allgemein die normale Dispersion beobachtet, wonach der Brechungsindex mit der Frequenz zunimmt. Es gibt aber auch bestimmte Frequenzbereiche mit anomaler Dispersion, in denen der Brechungsindex, und damit bei geringer D¨ ampfung der Realteil der Dielektritit¨ atskonstanten mit der Frequenz abnimmt. Im klassischen Modell f¨ ur die Suszeptibilit¨ at χAtom geht man von der Vorstellung aus, dass es im Kristall elastisch gebundene Elektronen gibt, die durch das elektrische Feld zu ged¨ ampften Schwingungen angeregt werden. Befindet sich der Oszillator mit der Federkonstanten mω02 und dem Reibungskoeffizienten mγ am Ort R, so lautet die Bewegungsgleichung f¨ ur ein Elektron  der Ladung e, der Masse m und am Ort r im elektrischen Feld E(r, t) = E0 exp − i(q · r − ωt) ¨r + γ r˙ + ω02 (r − R) ≈ e E0 exp {−iq · R} exp {iωt} , m wobei angenommen wurde, dass die Auslenkung der Elektronen klein ist im Vergleich zur Wellenl¨ange |r − R| ≪ λ = 2π/|q| der elektrischen Welle. Der L¨ osungsansatz f¨ ur die erzwungene Schwingung e 1 r − R = A E0 exp {−iq · R} exp {iωt} ergibt A = 2 m ω0 − ω 2 + iωγ mit der komplexen Amplitude A. Die Summe der Dipolmomente e(r−R) der schwingenden Elektronen pro Volumeneinheit ergeben die komplexe Dipoldichte oder Polarisation
N e2 e2 A, P = N e(r − R) = N A E(r, t) = ε0 ε˜(ω) − 1 E(r, t) mit ε˜(ω) = 1 + m ε0 m wobei N die Dichte des Oszillatoren bezeichnet. Man setzt unterschiedliche Oszillatoren mit Frequenzen ωj , D¨ ampfungen γj und Konzentrationen N fj P ur die komplexe Dielektrizit¨ atskonstante mit j fj = 1 an, und erh¨alt f¨ N e2 X fj ′ ′′ ε˜(ω) = 1 + = ε (ω) − iε (ω), 2 ε0 m j ωj − ω 2 + iωγj und bezeichnet fj als Oszillatorenst¨ arke. Die Zerlegung in den Real- und Imagin¨ arteil liefert ωj2 − ω 2 N e2 X 2 2 fj 2 = ε = n − κ ε (ω) = 1 + r 2 ε0 m j (ωj − ω 2 )2 + ω 2 γj ′ ωγj nc N e2 X fj 2 = 2nκ = α ε (ω) = ε0 m j (ωj − ω 2 )2 + ω 2 γj2 ω ′′ wegen α = 2ω κ. c Daraus ergibt sich eine Zunahme des Brechungsindex mit der Frequenz, also normale Dispersion im optischen Bereich, f¨ ur alle Frequenzen bis auf Bereiche in einer Umgebung der Resonanzstellen ωj . Unter der Annahme schwacher D¨ampfung findet man aus dem Imagin¨ arteil der Dielektrizit¨ atskonstanten ε′′ (ω) den Absorptionskoeffizienten α = (ω/nc)ε′′ (ω) mit Absorptionsmaxima an den Stellen ωj . In einer Umgebung dieser Stellen, die ungef¨ ahr der Halbwertsbreite der Absorptionslinien entspricht, nimmt der Brechungsindex mit der Frequenz ab, sodass hier anomale Dispersion beobachtet wird. Die Abbildung zeigt den berechneten Brechungsindex n und den Absorptionskoeffizienten α als Funktion der Kreisfrequenz ω in der Umgebung dreier Resonanzfrequenzen ωj und D¨ ampfungskonstanten γj in beliebigen Einheiten sowie die Oszillatorenst¨ arken fj ωj γj fj 30 50 80 3 10 2 0.01 0.4 0.15 3) Dispersion durch ein Elektronengas Im Drude-Modell des Elektronengases werden die Elektronen eines Metalles oder Halbleiters im elektrischen Feld E(r, t) = E(r) exp {iωt} beschleunigt, und ihre Geschwindigkeit v klingt beim Abschalten von E mit der Relaxationszeit τ ab. Dann gilt im Rahmen der klassischen Mechanik ∂v 1 e0 1 e0 τ = − v − E mit der L¨ E. osung v = − ∂t τ m m 1 + iωτ Hier ist v weder die mikroskopische Geschwindigkeit der Elektronen, noch die Driftgeschwindigkeit, die bei der elektrischen Leitung auftritt, sondern die Geschwindigkeit der oszillierenden Dipole. Bei einer Elektronendichte n ergibt sich die elektrische Stromdichte mit der Plasmafrequenz ωp ωp2 ε0 τ 1 e20 nτ E= E j = −e0 nv = m 1 + iωτ 1 + iωτ mit ωp2 e20 n = . ε0 m Diese elektrische Stromdichte j sei die Ursache der Polarisation oder Dipoldichte P. Der Verschiebungsvektor eines Elektrons r(t) erzeugt lokal ein Dipolmoment p = −e0 r mit p˙ = −e0 v. Daraus ˙ = np˙ = −e0 nv = j mit der Elektronendichte n. Damit schreibt sich ergibt sich f¨ ur die Dipoldichte P die dielektrische Verschiebung D mit der komplexen Dielektrizit¨ atskonstanten ε˜(ω) in der Form  ωp2 ε0 τ  ˙ + j = iωε0 + ˙ = ε0 ε˜(ω)E ˙ = ε0 E E = iωε0 ε˜(ω)E, D = ε0 E + P mit D 1 + iωτ und es folgt ωp2 τ ωp2 τ 2 ωp2 τ 1 ε˜(ω) = 1 − i =1− = ε′ (ω) − iε′′ (ω). −i 2 2 2 2 ω 1 + iωτ 1+ω τ ω(1 + ω τ ) Bei Metallen gilt ωτ ≫ 1 f¨ ur ω in der Gr¨oßenordnung der Plasmafrequenz bei h ¯ ωp = 10 eV, sodass gilt ωp2 ε (ω) ≈ 1 − 2 ω ′ und ε′′ (ω) ≪ 1. Bei Halbleitern ist ωp2 ≪ ω 2 mit ω im optischen Bereich, sodass der Anteil des Elektronengases zur Dispersion vernachl¨assigbar ist. ˙ ˙ + j und dem Induktionsgesetz ∇ × E = −µ0 H ˙ = ε0 E Aus dem Durchflutungsgesetz ∇ × H = D folgt
∂ ˙ ˙ ε0 E + j = ∇ × (∇ × E) = ∇∇ · E − ∆E, −µ0 ∇ × H = −µ0 ∂t ˙ + j und D = ε0 ε˜(ω)E die Telegrafengleichung ergibt ˙ = ε0 E mit ∇ · E = 0, woraus sich wegen D ∆E = µ0 ∂ ˙ + j) = µ0 ∂ D ¨ = µ0 ε0 ε˜(ω)E. ¨ ˙ = µ0 D (ε0 E ∂t ∂t • F¨ ur ω < ωp gilt ε′ (ω) < 0, und wegen ε′′ (ω) > 0 gibt es nach der Telegrafengleichung nur abklingende L¨osungen f¨ ur die elektrische Feldst¨ arke E. • F¨ ur ω > ωp verschwindet die D¨ ampfung praktisch, und die Metalle werden bei hinreichend hohen Frequenzen durchsichtig. 3.3 Dispersionsrelationen Es wird vorausgesetzt, dass die elektrische Suszeptibilit¨ at f (ω) = ε˜(ω) − 1 = (n − iκ)2 − 1 = n2 − κ2 − 1 − i2nκ = ε′ (ω) − 1 − iε′′ (ω) in der unteren komplexen ω-Halbbene einschließlich der reellen Achse holomorph ist. Ferner sei |ωf (ω)| → 0 f¨ ur |ω| → ∞. Dies ist bei der komplexen Dielektrizit¨ atskonstanten ε˜(ω) nach Abschn. 3.2 der Fall, die die normale und die anomale Dispersion qualitativ richtig wiedergeben. Dann l¨ asst sich die Cauchy-Formel f¨ ur jeden Punkt ω auf der reellen Achse anwenden Z Z ∞ 1 f (z) dz f (ω ′ ) dω ′ 1 f (ω) = =− P , ′−ω 2πi Γ z − ω πi ω −∞ mit einem Integrationsweg Γ, der auf der reellen Achse aber oberhalb der Polstelle bei ω und auf einem Halbkreis unten herum im mathematisch positiven Sinn verl¨ auft, wobei Letzterer verschwindet. Wegen Z ∞ ε˜(ω) = 1 + χ(t′ ) exp {−iωt′ } dt′ folgt ε˜(−ω) = ε˜∗ (ω), 0 und es gilt wegen f (−ω) = ε˜(−ω) − 1 = f ∗ (ω) Z ∞   1 1 2ω ′ f (ω ′ ) dω ′ Re f (ω) = f (ω) + f (−ω) = − P 2 2πi ω ′2 − ω 2 −∞ Z ∞   ω 2f (ω ′ ) dω ′ 1 f (ω) − f (−ω) = Im f (ω) = P ′2 2 2i 2π −∞ ω − ω mit 1 1 2ω ′ + = ′2 ω′ − ω ω′ + ω ω − ω2 1 2ω 1 − = . ω′ − ω ω′ + ω ω ′2 − ω 2 Wegen f (−ω) = f ∗ (ω) erh¨alt man   Z ∞ ′ Z ∞ ′ ′ ∗ ′ ′  ω f (ω ) − f (ω ) ω Im f (ω ) 1 2 ′ ′ Re f (ω) = − P dω = − dω P πi ω ′2 − ω 2 π ω ′2 − ω 2 0 0  Z ∞ Z ∞ ′  ω Re f (ω ) f (ω ′ ) + f ∗ (ω ′ ) 2ω Im f (ω) = P dω ′ = dω ′ P ′2 2 ′2 2 π ω −ω π ω −ω 0 0   2 2 und mit Re f (ω) = n − κ − 1 und Im f (ω) = −2nκ ergeben sich die Kramers-Kronig-Relationen Z ∞ 2n(ω ′ )κ(ω ′ )ω ′ 2 ′ 2 2 dω n (ω) − κ (ω) = 1 + P π ω ′2 − ω 2 0 Z ∞ 2 ′ 2ω n (ω ) − κ2 (ω ′ ) − 1 ′ 2n(ω)κ(ω) = − dω , P ′2 − ω 2 π ω 0 wonach sich der Realteil der Dielektrizit¨ atskonstanten berechnen l¨ asst, wenn der Imagin¨ arteil f¨ ur alle Frequenzen bekannt ist, und umgekehrt. Die zur numerischen Integration praktischere Form der Kramers-Kronig-Relationen Z ∞ 2n(ω ′ )κ(ω ′ )ω ′ − 2n(ω)κ(ω)ω 2 2 2 n (ω) − κ (ω) = 1 + dω ′ ′2 2 π 0 ω −ω Z 2ω ∞ n2 (ω ′ ) − κ2 (ω ′ ) − n2 (ω) + κ2 (ω) dω ′ 2n(ω)κ(ω) = − ′2 2 π 0 ω −ω enth¨ alt keine Polstellen mehr, und wird mit Hilfe der Beziehung bewiesen: Z ∞ dω ′ = 0. P ′2 − ω 2 ω 0 4 Nichtlineare Optik Experimentell kann man statische elektrische Felder E bis zu 106 V/m an Nichtleiter anlegen, und in diesem Bereich h¨angt die Polarisation P linear von E ab. Innerhalb der Atome herrschen Feldst¨ arken |E| > 1011 V/m. Gitterschwingungen in Festk¨ orpern f¨ uhren zu Energien bis zu 1 eV bei atomaren Verschiebungen von 1 ˚ A = 10−10 m, wobei elektrische Felder von 1010 V/m auftreten. Hierbei h¨ angt die Polarisation nichtlinear von E ab. In diesen Bereich gelangt man auch mit Laserlicht hoher Intensit¨at, sodass nichtlineare optische Effekte beobachtet werden. 4.1 Nichtlineare elektrische Suszeptibilit¨ at Unter den Voraussetzungen ρ = 0, j = 0, M = 0, B = µ0 H ergeben die elektromagnetischen ˙ ˙ und ∇ × B = µ0 D Feldgleichungen ∇ × E = −B ¨ ˙ = −µ0 D, ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∇ × B oder mit der Polarisation P ¨ ∆E − ∇∇ · E = µ0 D und ∇ · D = 0 mit D = ε0 E + P. Ohne r¨ aumliche Dispersion wird f¨ ur nichtferroelektrische Stoffe f¨ ur die Polarisation P = (P1 , P2 , P3 ) die Reihenentwicklung nach der elektrischen Feldst¨ arke E = (E1 , E2 , E3 ) ohne Fernwirkung und mit einem Ged¨ achtniseffekt im linearen Term der elektrischen Suszeptibilit¨ at χ angesetzt Pν (r, t) = ε0 Z ∞ 0 3 X µ=1 ′ ′ ′ χνµ (t )Eµ (r, t − t ) dt + ε0 + ε0 1,2,3 X χ(2) νµρ Eµ (r, t)Eρ (r, t) µ,ρ 1,2,3 X χ(3) νµρσ Eµ (r, t)Eρ (r, t)Eσ (r, t) + . . . . µ,ρ,σ Wir trennen die Polarisation P in den linearen und nichtlinearen Teil mit ε(t′ ) = 1 δ(t − t′ ) + χ(t′ ) D = ε0 Z ∞ 0 ε(t′ ) · E(r, t − t′ ) dt′ + PNL (r, t) mit PNL (r, t) = ε0 χ(2) : EE + ε0 χ(3) ˙:EEE, und die zweite Differenzialgleichung erh¨ alt die Form ∇ · D = 0 bzw. Z ∞ 0 ∇ · ε(t′ ) · E(r, t − t′ ) dt′ = − 1 ∇ · PNL (r, t). ε0 1) Bei isotropen Medien ist ε(t′ ) = ε(t′ )1 . Dann transformieren E, D und P wie der Ortsvektor bei einer Inversion r → −r, sodass χ(2) = 0 folgt, und PNL von dritter Ordnung in E, und somit sehr klein ist. 2) Bei nichtisotropen Stoffen mit ε(t′ )·E(r, t−t′) = ε·E(r, t−t′ )δ(t−t′ ) lauten die Grundgleichungen der nichtlinearen Optik mit dem Tensor der Dielektrizit¨ atskonstanten ε wegen D = ε0 ε · E + PNL ∆E − ∇∇ · E − 1 ¨ NL ¨ = µ0 P ε·E 2 c und ∇ · ε · E = − 1 ∇ · PNL ε0 mit µ0 ε0 = 1 . c2 Ber¨ ucksichtigt man nur Terme bis zweiter Ordnung in E, so erh¨ alt man f¨ ur nichtisotrope Stoffe 1 1 (2) ∂ 2 ¨ ∆E − ∇∇ · E − 2 ε · E = 2 χ : 2 EE c c ∂t und ∇ · ε · E = −∇ · χ(2) : EE. 4.2 Erzeugung und Vernichtung von Photonen Wir untersuchen Drei-Photonen-Prozesse, wie sie durch die Quantenoptik begr¨ undet werden ¯hω1 , ¯hk1 hω3 , ¯ ¯ hk3 ¯hω2 , ¯hk2 Energiesatz Impulssatz ¯hω1 + h ¯ ω2 = h ¯ ω3 ¯hk1 + h ¯ k2 = h ¯ k3 Energiesatz Impulssatz ¯hω1 = h ¯ ω2 + h ¯ ω3 ¯hk1 = h ¯ k2 + h ¯ k3 hω2 , ¯ ¯ hk2 ¯hω1 , ¯hk1 hω3 , ¯ ¯ hk3 Dazu werden reelle L¨osungen f¨ ur die elektrische Feldst¨ arke E mit drei verschiedenen Frequenzen gesucht E1 (r, t) = E1 (r, ω1 ) exp {−iω1 t}
1 ∗ ∗ ∗ E = E1 + E1 + E2 + E2 + E3 + E3 mit 2 E2 (r, t) = E2 (r, ω2 ) exp {−iω2 t} E3 (r, t) = E3 (r, ω3 ) exp {−iω3 t} . Setzt man E in die Differenzialgleichung ein, erh¨ alt man  ∂2 1 ∆ − ∇∇ · − 2 ε · 2 c ∂t  (E1 + E∗1 + E2 + E∗2 + E3 + E∗3 ) 1 (2) ∂ 2 = 2 χ : 2 (E1 + . . . E∗3 )(E1 + . . . E∗3 ). 2c ∂t Weil die elektrischen Felder f¨ ur verschiedene Frequenzen linear unabh¨ angig sind, gilt diese Gleichung f¨ ur jede Frequenz einzeln und es folgt f¨ ur den Prozess der Erzeugung eines Photons mit ω3 = ω1 + ω2 : ω12 ω12 (2) ∆E1 − ∇∇ · E1 + 2 ε · E1 = − 2 χ : E3 E∗2 c c ω22 ω22 (2) ∆E2 − ∇∇ · E2 + 2 ε · E2 = − 2 χ : E3 E∗1 c c ω32 ω32 (2) ∆E3 − ∇∇ · E3 + 2 ε · E3 = − 2 χ : E1 E2 c c und ∇ · ε · E1 = −∇ · χ(2) : E3 E∗2 und ∇ · ε · E2 = −∇ · χ(2) : E3 E∗1 und ∇ · ε · E3 = −∇ · χ(2) : E1 E2 . In den Gleichungen f¨ ur E1 (r, t) bzw. E2 (r, t), E3 (r, t) l¨ aßt sich jeweils der Faktor exp {−iω1 t} bzw. exp {−iω2 t}, exp {−iω3 t} k¨ urzen, sodaß die Gleichungen auch f¨ ur E1 (r, ω1 ) bzw. E2 (r, ω2 ), E3 (r, ω3 ) gelten. Exkurs u ¨ ber lineare Abh¨ angigkeit Def.: Die N Funktionen f1 (x), f2 (x), . . . fN (x) sind linear unabh¨ angig, N X an fn (x) ≡ 0 folgt a1 = 0, a2 = 0, . . . an = 0, sonst linear abh¨ angig. wenn aus n=1 Dies l¨asst sich mit der Wronski-Determinante entscheiden, denn es gilt f2 ··· fN f1  ′ f2′ ··· fN f1′ = 0, falls f1 . . . fN linear abh¨ angig sind, W = .. .. .. .. 6= 0, falls f1 , . . . fN linear unabh¨ angig sind. . . . . (N −1) (N −1) (N −1) · · · fN f2 f1 Bei der Anwendung auf f1 (t) = exp {iω1 t} und f3 (t) = exp {iω3 t} ergibt die Wronski-Determinante f1 W = iω1 f1 f3 = i(ω3 − ω1 )f1 f3 6= 0 f¨ ur iω3 f3 und f1 und f3 sind f¨ ur ω1 6= ω3 linear unabh¨ angig. ω1 6= ω3 , 4.3 Bestimmung der zweiten Harmonischen Bei Einstrahlung von zwei ebenen Transversalwellen E1 und E2 in z-Richtung ek = (0, 0, 1), die auch die optische Achse sein soll, nimmt man f¨ ur die zweite Harmonische |E3 | ≪ |E1 |, |E2 | an  E1 (z, t) = n1 E10 exp i(k1 z − ω1 t) mit n1 · ek = 0  E2 (z, t) = n2 E20 exp i(k2 z − ω2 t) mit n2 · ek = 0  ε⊥ und ε =  0 0 0 ε⊥ 0  0 0 . εk Die elektrische Feldst¨ arke der zweiten Harmonischen wird in einen longitudinalen Anteil in z-Richtung und einen transversalen Anteil senkrecht dazu aufgespalten mit |n1 | = |n2 | = |ek | = |e⊥ | = 1 und e⊥ = (e1 , e2 , 0), und der Folge e⊥ · ek = 0 sowie e⊥ · ε · ek = 0 E3 (z, ω3 ) = Ek (z, ω3 )ek + E⊥ (z, ω3 )e⊥ mit ε · E3 = εk Ek (z, ω3 )ek + ε⊥ E⊥ (z, ω3 )e⊥ . Zur L¨osung der Differenzialgleichung f¨ ur E3 (z, ω3 ) ω32 ω32 (2) ∆E3 − ∇∇ · E3 + 2 ε · E3 = − 2 χ : E1 E2 c c und ∇ · ε · E3 = −∇ · χ(2) : E1 E2 multiplizieren wir f¨ ur die Transversalkomponente mit e⊥ und erhalten zun¨achst ∂2 e⊥ · ∆E3 = 2 E⊥ (z, ω3 ) und e⊥ · ∇∇ · E3 = 0 sowie e⊥ · ε · E3 = ε⊥ E⊥ (z, ω3 ). ∂z ω32 ε⊥ (2) (2) Daraus findet man mit den Abk¨ urzungen k = und χ = e · χ : n1 n2 ⊥ ⊥ c2   2  ω32 (2) ∂ 2 + k E⊥ (z, ω3 ) = − 2 χ⊥ E10 E20 exp i(k1 + k2 )z . ∂z 2 c 2 Entsprechend ergibt sich aus der Differenzialgleichung f¨ ur E3 ω32 ω32 (2) ∆E3 − ∇∇ · E3 + 2 ε · E3 = − 2 χ : E1 E2 c c und ∇ · ε · E3 = −∇ · χ(2) : E1 E2 nach Multiplikation mit ek der longitudinale Anteil wegen ∂2 ek · ∆E3 = 2 Ek (z, ω3 ) ∂z ∂2 und ek · ∇∇ · E3 = 2 Ek (z, ω3 ) und ek · ε · E3 = εk Ek ∂z zu  1 (2) (2) mit χk = ek · χ(2) : n1 n2 . Ek (z, ω3 ) = − χk E10 E20 exp i(k1 + k2 )z εk Die Poisson-Gleichung liefert das gleiche Ergebnis f¨ ur die longitudinale Komponente  ∂ ∂ (2) εk Ek (z, ω3 ) = − χk E10 E20 exp i(k1 + k2 )z . ∂z ∂z Es zeigt sich, dass die Transversalkomponente E⊥ (z, ω3 ) mit der Eindringtiefe z zunimmt, und damit die gr¨oßere Strahlungsintensit¨at liefert. Zur L¨osung der Differenzialgleichung f¨ ur E⊥ (z, ω3 ) machen wir einen Ansatz einer ebenen Welle mit schwach ver¨anderlicher Amplitude F (z, ω3 ) im Bereich einer Wellenl¨ange λ = 2π/k E⊥ (z, ω3 ) = F (z, ω3 ) exp {ikz} mit F (z, ω3 ) ∂F |∆F | k ≈ ≪ = F (z, ω3 ) . ∂z |∆z| λ 2π F (z, ω3 ) z zo exp {ikz} = exp i2π λ n   ω32 (2) ∂2 2 E (z, ω ) = − E E exp i(k + k )z + k χ Einsetzen in ⊥ 3 10 20 1 2 2 ⊥ ∂z 2 c  2  ∂ F ∂F ∂2 2 E = − k F + 2ik liefert wegen exp {ikz} ⊥ ∂z 2 ∂z 2 ∂z   ∂2 i  ∂F ∂ h ∂F 2 + 2ikF ≈ 2ik exp {ikz} + k E = exp {ikz} ⊥ ∂z 2 ∂z ∂z ∂z oder ω32 (2) ∂F (z, ω3 ) = − 2 χ⊥ E10 E20 exp {iKz} 2ik ∂z c mit K = k1 + k2 − k. Wir setzen z = 0 an der Oberfl¨ ache des Kristalles, an der die ebenen Wellen E1 und E2 in den Kristall eintreten, sodass dort E3 (0, ω3 ) = 0 ist. Dann ergibt sich aus der Anfangsbedingung F (0, ω3 ) = 0 die L¨ osung der Differenzialgleichung z (2) ω32 χ⊥ E10 E20 exp {iKz} − 1 exp {iKz} F (z, ω3 ) = = K c2 2k K 0    (2) ω32 χ⊥ E10 E20 sin Kz Kz 2 = 2i exp i mit K = k1 + k2 − k. c2 2k K 2 (2) ω32 χ⊥ E10 E20 c2 2k Damit ergibt sich die Intensit¨at der Strahlung der Transversalkomponente der elektrischen Feldst¨ arke der erzeugten zweiten Harmonischen E⊥ (z, ω3 ) mit der Frequenz ω3 senkrecht zur Ausbreitungsrichtung c2 2 bzw. der z-Achse aufgrund der zeitlichen und r¨ aumlichen Mittelung wegen ε = n ε0 = 2 ε0 und v vk = ω3 "  Kz #2  2 2   2 2  c 1 ω3 (2) 2 sin 2 I⊥ = vε |E⊥ |2 = v 2 ε0 , χ E E z 10 20 ⊥ Kz v 2 2kc2 2 d.h. die Intensit¨at der erzeugten Strahlung mit der Kreisfrequenz ω3 = ω1 + ω2 I⊥ = nimmt f¨ ur K = 0 wegen lim x→0 ε0 ω33 8c2 k  sin x 2 x  (2) χ⊥ E10 E20 2 z2  sin  Kz 2 2 Kz 2 = 1 mit der durchstrahlten Strecke z im Kristall zu. Die Intensit¨at der zweiten Harmonischen oszilliert mit der Eindringtiefe z in den Kristall, besitzt ein Maximum bei K = k1 + k2 − k = 0 oder k = k1 + k2 und hat Nullstellen bez¨ uglich K, was den Impulssatz der Photonen wiederspiegelt. Ist d die Dicke des durchstrahlten Kristalles und ϑ der Einfallswinkel bei schr¨ agem Einfall zur optischen oder z-Achse, so ist die durchstrahlte Strecke im Kristall z = d/ cos ϑ und die Intensit¨at I⊥ h¨ angt vom Einfallswinkel ab I⊥ (ϑ) = ε0 ω33 8c2 k   2 4  Kd (2) 2 χ⊥ E10 E20 . sin K2 2 cos ϑ
sin x 2 x 1 ϑ opt. Achse z= d d cos ϑ −3π −2π −π 0 π 2π x 5 Optische Fasern Moderne Hochgeschwindigkeitsleitungen der Telekommunikation arbeiten mit Tr¨ agerfrequenzen im optischen Bereich. Dazu betrachten wir unterschiedliche Glasfasertypen. 5.1 Stufenprofilfasern Die Faser besteht aus einem inneren Kernbereich mit einem Brechungsindex n1 = 1.46, wobei der Quarz SiO2 mit GeO2 oder P2 O5 (Phosphorpentoxid) dotiert ist, und einem ¨ außeren Mantelbereich mit niedrigerem Brechungsindex n2 = 1.45, was durch eine Dotierung mit F erreicht wird. F¨ ur ¨ die Totalreflexion an der Grenzfl¨ ache muss der Offnungswinkel γ klein sein γ < 90◦ − ϑT mit dem Grenzwinkel der Totalreflexion ϑT , der sich aus sin ϑT = 1.45 n2 = n1 1.46 zu 90◦ − ϑT = 6.7◦ ergibt. F¨ ur die verschiedenen Neigungswinkel eines eintretenden Strahles ergeben sich jedoch unterschiedliche Laufzeiten u ¨ ber eine feste Strecke, was auch als Modenlaufzeitdispersion bezeichnet wird. n1 n2 Die Durchmesser 2a des inneren Teils der Faser reichen von 3 µm bis 50 µm bei einem Außenradius von 80 µm, und die Wellenl¨angen des Lichtes an den Minima des Absorptionskoeffizienten betragen λ = 1.3 µm oder λ = 1.55 µm. Ist λ nicht mehr klein gegen a, m¨ ussen die optischen Randbedingungen der L¨ osungen der Wellengleichung ber¨ ucksichtigt werden. L¨ ost man die Wellengleichung f¨ ur die elektrische Feldst¨ arke E(r, t) mit einem orts- und frequenzabh¨ angigen Brechungsindex n(r, ω)   n2 (r, ω) ∂ 2 ∆− E(r, t) = 0 c2 ∂t2 bzw. in Zylinderkoordinaten    2  x = r cos ϕ ∂ n2 (r, ω) ∂ 2 1 ∂2 1 ∂ ∂2 + 2 + + 2 E− E = 0 mit r =  y = r sin ϕ  2 2 2 2 ∂r r ∂r r ∂ϕ ∂z c ∂t z mit dem Ansatz ebener Wellen in z- oder Faserrichtung und der Wellenzahl k = 2π/λ  < ∞ f¨ ur r = 0; E(r, t) = Rm (r) exp {imϕ} exp {ikz} exp {−iωt} mit Rm (r) = 0 f¨ ur r = ∞, mit der Randbedingung, so erh¨ alt man eine Eigenwertgleichung f¨ ur die Radialfunktionen Rm (r) mit den von m abh¨ angigen Eigenwerten k 2 (siehe Besselsche Differenzialgleichung und Zylinderfunktionen bzw. Bessel-Funktionen)   2 m2 1 ∂ n2 (r, ω) 2 ∂ − 2 + + ω Rm (r) = k 2 Rm (r). 2 2 ∂r r ∂r r c Die diskreten Eigenwerte kνm mit ν = 0, 1, 2, . . . h¨ angen von n2 (r, ω) ab, hier also vom Radius a des Innenbereiches. Ist k kleiner als der tiefste Eigenwert k < k00 gibt es keine solchen unged¨ ampften Wellen. • Ist bei kleinem Durchmesser des Innenbereiches bei a = 2.5 µm und λ = 1.5 µm nur die tiefste Mode mit k00 m¨oglich, spricht man von Einmodenfasern. • Bei gr¨oßeren Durchmessern a = 25µm sind dagegen mehrere Moden kνm m¨ oglich, und man spricht von Vielmodenfasern. 5.2 Gradientenfasern Bei Gradientenfasern nimmt der Brechungsindex im Kernbereich quadratisch mit dem Radius ab. n(r) In Zylinderkoordinaten mit z in Faserrichtung   n0 x = r cos ϕ r :  y = r sin ϕ  z hat der Brechungsindex n(r) f¨ ur r ≤ a die Gestalt   n(a) r2 n0 − n(a) mit b = n(r) = n0 1 − b 2 . a n0 r a R In der Praxis hat man z.B. mit einem Kernradius von a = 25 µm die Werte n0 = 1.475, n(a) = 1.457 und b = 0.0122. H¨ angt der Brechungsindex auf diese Weise vom Radius ab, haben die gekr¨ ummten Strahlen weiter außen eine h¨ ohere Geschwindigkeit und die Laufzeit h¨ angt nicht mehr davon ab, wie groß der Eintrittswinkel des Strahles zur Faserachse ist. Die bei ortsabh¨angigem Brechungsindex n(r) gekr¨ ummten Strahlen lassen sich in Abh¨angigkeit vom Eintrittswinkel γ mit Hilfe der Strahlendifferenzialgleichung berechnen d ds   dr n(r) = ∇n(r), ds wobei r(s) die Strahlenkurve und s die Bogenl¨ ange bezeichnen. Zur Berechnung betrachten wir achsennahe Strahlen mit kleinem Eintrittswinkel und ϕ = 0 in p dx der x-z-Ebene, sodass = | tan γ| ≪ 1 und ds = dx2 + dz 2 ≈ dz gesetzt werden kann. Der dz Brechungsindex n(r) = n(r) ist unabh¨ angig von z, und aus der Strahlendifferenzialgleichung folgt dn ∂r r x x d2 x ∂n d2 r = = −2n0 b 2 = −2n0 b 2 . n(r) 2 = ∇n bzw. n(r) 2 = dz dz ∂x dr ∂x a r a Setzt man auf der linken Seite n(r) ≈ n0 ein, erh¨ alt man die Differenzialgleichung 2 d x 2b + 2 x = 0 mit der L¨ osung x(z) = x0 sin dz 2 a √ 2b z a   z = x0 sin 2π , p 2πa wobei p = √ die Periode der Sinusfunktion bezeichnet. Sie betr¨ agt p = 1 mm bei a = 25 µm und 2b   2π dx(z) b = 0.0122. Verschiedene Eintrittswinkel γ ergeben dann wegen tan γ = = x0 die dz p z=0 gleiche Periode f¨ ur unterschiedliche Amplituden x0 . Zwei gekr¨ ummte Bahnkurven mit verschiedenen Entrittswinkeln γ haben dann gen¨ ahert die Form a Da alle Kurven m¨ogliche Lichtstrahlen sind, ben¨otigen sie nach dem Prinzip von Fermat die gleiche Laufzeit, sodass in dieser N¨ aherung keine Laufzeitdispersion entsteht. Dies liegt daran, dass in den Außenbereichen die Lichtgeschwindigkeit gr¨oßer ist als in den N¨ ahe der Achse. n(a) 1.457 Der maximale Eintrittswinkel γmax berechnet sich aus x0 = a und b = 1 − = 0.0122 =1− n0 1.475 tan γmax a √ = 2π = 2b zu γmax = 8.9◦ . p ¨ Zum Vergleich betr¨ agt der Offnungswinkel ϑ eines Strahles vom Durchmesser d mit der Wellenl¨ange λ
λ 3.8 1 . sin 2 ϑ = d 2π F¨ ur λ = 1 µm und dem Durchmesser der Glasfaser d = 2a = 50 µm ergibt das ϑ = 1.4◦ . Zur Daten¨ ubertragung kann man die Phasenmodulation bzw. Frequenzmodulation verwenden, die mit Lithiumniobat Kristallen Li3 NbO4 erreicht wird, bei denen eine Spannungs¨anderung von einigen Volt ¨ zur Anderung der Dispersion f¨ uhrt. 5.3 Strahlendifferenzialgleichung F¨ ur ein Dielektrikum ohne Ladungen ρ = 0 und Str¨ ome j = 0, jedoch mit einer ortsabh¨angigen, skalaren Dielektrizit¨ atskonstanten ε(r) mit D = ε(r)E und Permeabilit¨ at µ(r) mit B = µ(r)H ergibt sich ein ortsabh¨angiger und reeller Brechungsindex n(r) 1 n2 (r) , = ε(r)µ(r) = c2 v 2 (r) der zu einer ortsabh¨angigen Lichtgeschwindigkeit v(r) im Medium f¨ uhrt. Die Feldgleichungen ˙ ∇ × E = −B ˙ ; ∇×H=D ; ∇·B=0 ; ∇·D=0 1 ergeben wegen ∇ · D = ε∇ · E + E · ∇ε = 0 oder ∇ · E = −E · ∇ε sowie ε 2 n ˙ − H × ∇µ ˙ − H × ∇µ = (r) E ∇ × B = µ∇ × H − H × ∇µ = µεE 2 c und  1  n2 (r) ¨ ˙ × ∇µ ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∇ E · ∇ε − ∆E = − 2 E + H ε c eine modifizierte Wellengleichung n2 (r) ¨ ˙ × ∇µ ∆E − 2 E = −∇(E · e) − H c mit e = 1 ∇ε(r). ε(r) Wegen der Kleinheit von µ/µ0 wird ∇µ ≈ 0 gesetzt. Zur Absch¨ atzung der rechten Seite der Wellengleichung betrachten wir eine ebene Welle der Form E = E0 (t) exp {ik · r} der Wellenl¨ange λ = 2π/|k|, dann gilt ∇(E · e) = ikE · e + (∇e) · E und ∆E = −k 2 E mit k = |k|. Unter der Voraussetzung, dass sich der Brechungsindex n(r) im Bereich einer Wellenl¨ange λ nur wenig ¨ andert λ|∇n| ≪ n, denn es ist gilt k|e| ≪ k 2 , 1 2 1 2 2n 2 k |e| = |∇ε| = 2 ∇n = |∇n| ≪ = = . ε n n nλ λ π Daher kann der Term ∇(E·e) gegen ∆E in der Wellengleichung vernachl¨ assigt werden, und man erh¨ alt wegen der Kleinheit von ∇e gen¨ ahert die Wellengleichung mit ortsabh¨angigem Brechungsindex n2 (r) ¨ ∆E − 2 E = 0. c Der L¨osungsansatz mit einer sich nur schwach ¨ andernden Amplitude E0 (r) ist mit k0 =  E(r, t) = E0 (r) exp − ik0 S(r) exp {iωt} ω = konst. c mit dem reellen Eikonal S(r). Dabei beschreibt S(r) = konst. die Fl¨achen gleicher Phase im Ortsraum, die im Falle n = konst. wegen k ωc S(r) = n · r, |k| = = k0 n und k · r = k0 S(r) Ebenen senkrecht zum geradlinigen Strahl sind. |k| cv Zum Einsetzen des Ansatzes in die Wellengleichung berechnen wir zun¨achst die erste Ortsableitung  einer beliebigen Komponente E = E0 (r) exp − ik0 S(r) exp {iωt} nach dem Ort r = (x, y, z) ∂S 1 ∂E0 ∂E = −ik0 E+ E= ∂x ∂x E0 ∂x   ∂S 1 ∂E0 −ik0 + E, ∂x E0 ∂x und die zweite Ableitung ergibt    ∂2E ∂S ∂S 2 ∂  1 ∂E0  1 ∂E0 1 ∂E0 ∂S E + −ik0 + + = −ik0 2 E + −ik0 E ∂x2 ∂x ∂x E0 ∂x ∂x E0 ∂x ∂x E0 ∂x  2 ∂S 2 ∂S 1 ∂E0 ∂S ≈ −ik0 2 E − k02 E, E − i2k0 ∂x ∂x E0 ∂x ∂x wobei zwei Terme vernachl¨assigt werden, die bei nur schwach ver¨ anderlicher Amplitude E0 klein sind. Damit erh¨alt man aus der Wellengleichung mit reellem S(r) n2 (r) 2 n2 (r) ¨ ∆E − 2 E = ∆E + 2 ω E = ∆E + k02 n2 (r)E = 0 c " c  #   2  2  2 ∂S 1 ∂S ∂S 1 0 = −k02 + + − n2 (r) E − i2k0 ∆S + ∇E0 · ∇S E ∂x ∂y ∂z 2 E0 Da Real- und Imagin¨ arteil getrennt verschwinden m¨ ussen, ergeben sich die Eikonalgleichungen (∇S)2 = n2 (r) und 1 1 ∇E0 · ∇S = − ∆S. E0 2 W¨ ahrend die zweite Differenzialgleichung zur Bestimmung der Amplitude E0 dient, l¨ asst sich die erste in die Strahlendifferenzialgleichung umformen. Sei t der Kurvenparameter der Kurve r(t) des Lichtstrahles bei ortsabh¨angigem Brechungsindex n(r), so gilt f¨ ur die Bogenl¨ ange s(t) s(t) = Z t t0 dr(t′ ) = Z t dr(t′ ) ′ dt′ dt t0 ds(t) dr(t) = . dt dt mit dr(s) = 1 mit dr = t und Wird als Kurvenparameter die Bogenl¨ ange s verwendet r = r(s), so gilt ds ds |t| = 1 mit dem Tangentenvektor t an die Strahlkurve. Betrachtet man die Fl¨ache eines konstanten Eikonals S(r) = konstant, die die Fl¨ache gleicher Phase des Lichtstrahles ist, so ist ∇S(r) ↑↑ t und |∇S(r)| = n(r) nach der Eikonalgleichung. Also gilt dr ∇S(r) = n(r)t = n(r) . ds t r(s) Differenziert man diese Gleichung nach der Bogenl¨ ange s als Kurvenparameter dr 1 1 1 d ∇S = · ∇∇S = ∇S · ∇∇S = ∇(∇S)2 = ∇n2 (r) = ∇n(r), ds ds n(r) 2n(r) 2n(r) S(r) = konst. so folgt die Strahlendifferenzialgleichung d ds  dr n(r) ds  = ∇n(r). z x y 5.4 Solitonen Stufenprofilfasern mit einem konstanten isotropen Brechungsindex im Innern k¨ onnen als Einmodenfasern f¨ ur einen engen Frequenzbereich ausgelegt werden, indem der innere Durchmesser z.B. a = 2.5µm und die Wellenl¨ange des Lichtstrahls z.B. λ = 1.5 µm betragen, sodass keine anderen Moden hindurchtreten k¨ onnen. In solchen Fasern gibt es neben der besprochenen Wellenausbreitung mit einer Pulsverbreiterung durch Laufzeitdispersion bei hohen Lichtintensit¨aten noch eine andere Ausbreitungsform durch Solitonen, wobei nichtlineare optische Effekte die dispersive Pulsverbreiterung kompen¨ sieren, was gr¨oßere Ubertragungsstrecken erm¨ oglicht. Die Entstehung der Solitonen h¨ angt mit dem elektro-optischen Kerr-Effekt zusammen, wonach elektrische Felder auch in isotropen dispersiven Medien eine Doppelbrechung verursachen k¨ onnen, was auf nichtlinearen optischen Effekten beruht. Ein Soliton ist ein stabiler, nichtlinearer optischer Puls, der nahezu unver¨ andert die Faser durchwandert, falls die Eingangsintensit¨at des Lichtes u ¨ ber einer gewissen Mindestintensit¨at liegt. Zur Herleitung in isotropen Medien ohne Ladungen ρ = 0 und Str¨ ome j = 0 und ohne Magnetisierung M = 0 und B = µ0 H, geht man von der nichtlinearen dielektrischen Verschiebung D = ε0 Z ∞ 0 ε1 (t′ )E(r, t − t′ ) dt′ + PNL (r, t) mit PNL (r, t) = ε0 χ(3) ˙:EEE = ε0 ε2 |E|2 E aus, vergl. Abschn. 4.1. Mit ∇ · PNL ≈ 0 folgt aus ∇ · D = 0 auch ∇ · E = 0 und damit ergibt sich aus ˙ und ∇ × H = D ˙ den Feldgleichungen ∇ × E = −B ¨ ˙ = −µ0 D. ∇ × (∇ × E) = −∆E = −µ0 ∇ × H Die nichtlineare Wellengleichung ist die Ausgangsgleichung der nichtlinearen Optik in isotropen Medien 1 ∂2 ∆E − 2 2 c ∂t Z 0 ∞ ε2 ∂ 2 ε1 (t )E(r, t − t ) dt = 2 2 |E|2 E. c ∂t ′ ′ ′ Wir verwenden einen L¨osungsansatz in Zylinderkoordinaten r : ρ, ϕ, z mit |E0 | = 1 unabh¨ angig von ϕ  E(ρ, z, t) = E0 R(ρ)A(z, t) exp i(kz − ωt)   x = ρ cos ϕ mit r =  y = ρ sin ϕ  z mit nur schwacher zeitlicher und ¨ ortlicher Abh¨angigkeit der Solitonenamplitude A(z, t) innerhalb einer Schwingungsdauer T = 2π/ω bzw. Wellenl¨ange λ = 2π/k  2 2 2π ∂ A ≪ 2π ∂A ≪ |A| und ∂t2 ω ω ∂t  A(z, t) 2 2 2π ∂ A ≪ 2π ∂A ≪ |A|. ∂z 2 k k ∂z z  exp i(kz − ωt) Unter der Voraussetzung eines nur geringen Ged¨ achtniseffektes der Dispersion wird die Solitonenamplitude in eine Potenzreihe nach der Vergangenheit t′ entwickelt, wobei t′ = 0 kein Ged¨ achtniseffekt bedeuten w¨ urde ˙ t) + 1 t′2 A(z, ¨ t). A(z, t − t′ ) = A(z, t) − t′ A(z, 2 Wir verwenden die Abk¨ urzungen ∂2A ; A = , ∂z 2  und erhalten f¨ ur den Solitonenansatz E(ρ, z, t) = E0 R(ρ)A(z, t) exp i(kz − ωt) wegen ∂A A˙ = ∂t ∂2A ¨ ; A= ∂t2 ∂A ; A = ∂z ′ ′′ 1 ∂2 ∂2 1 ∂ ∂2 + ∆= + + 2 ∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 ∂ϕ2 ∂z f¨ ur die Ortsableitung   ∂2 1 ∂ ′′ 2 ′ mit ∆ρ = 2 + ∆E = E0 exp i(kz − ωt) A∆ρ R + RA − k RA + i2kRA . ∂ρ ρ ∂ρ  F¨ ur den nichtlinearen Term in der Wellengleichung findet man unter Vernachl¨ assigung von 2    ε2 ∂ 2 ε2 2 2 2 R(ρ) R(ρ) exp i(kz − ωt) − ω |A| A . |E| E = E 0 c2 ∂t2 c2
∂ |A|2 A ∂t Zur Berechnung des linearen Integralterms ben¨ utzen wir die Abk¨ urzungen Z ∞ ∂ε(ω) ε′ (ω) = =i t′ ε1 (t′ ) exp {iωt′ } dt′ Z ∞ ∂ω 0 ε(ω) = ε1 (t′ ) exp {iωt′ } dt′ ; Z ∞ 2 ∂ ε(ω) 0 ′2 ′ ′ ′ ε′′ (ω) = t ε (t ) exp {iωt } dt = − 1 ∂ω 2 0 ∂4A ∂3A und und erhalten bei Vernachl¨assigung von Termen mit ∂t3 ∂t4 Z ∞ ∂2 ′ ′ ′ ε (t )E(r, t − t ) dt = 1 ∂t2 0 i  h ∂2 1 ′′ ′ ¨ = 2 E0 R(ρ) exp i(kz − ωt) ε(ω)A + iε (ω)A˙ − ε (ω)A) ∂t 2 i h  ω 2 ′′ ¨ ′ 2 2 ′ ˙ ε A − i2ωεA˙ + 2ωε A¨ + εA¨ . = E0 R(ρ) exp i(kz − ωt) − ω εA − iω ε A + 2 Zusammen erh¨alt man aus der nichtlinearen Wellengleichung mit dem Solitonenansatz 1 1 2 ′′  ¨ ω2 ω ′ ′ ˙ A∆ρ R + RA − k RA + i2kRA + 2 εRA + i 2 (2ε + ωε )RA − 2 ε + 2ωε + ω ε RA c c c 2 ε2 2 2 = − 2 ω |R| R|A|2 A, c ′′ 2 ′ wobei sich die in A linearen Terme in der linearen N¨ aherung zu Null addieren, vergl. Abschn. 5.1 ω2  A ∆ρ − k + 2 ε R = 0. c  2 Also erh¨alt man aus dem Ansatz die von der linearen L¨ osung unabh¨ angige Solitonenl¨osung der nichtlinearen Optik der restlichen Terme ω ε2 1 1 2 ′′  ¨ ′ ′ ˙ RA + i2kRA + i 2 (2ε + ωε )RA − 2 ε + 2ωε + ω ε RA = − 2 ω 2 |R|2 R|A|2 A. c c 2 c ′′ ′ Wir eliminieren die Radialfunktion R(ρ) durch Mittelung u ¨ ber den Faserquerschnitt und verwenden die Abk¨ urzungen  Z 2π Z ρmax Z ρmax |R(ρ)|4 ρ  2 2 2 2  mit |R(ρ)| |R(ρ)| ρ dρ dϕ |R(ρ)| d ρ = = α= ρ |R(ρ)|2 ρ 0 0 0 und erhalten A′′ + i2kA′ + i ω ε2 2 1 1 2 ′′ ¨ ′ ˙ ′ 2 ω ε ) A = − (2ε + ωε ) A − (ε + 2ωε + ω α|A| A. c2 c2 2 c2 Im Falle der tiefsten Mode der linearen L¨ osung, d.h. der Besselschen Differenzialgleichung, erh¨ alt man die Dispersionsbeziehung mit der Gruppengeschwindigkeit v 1 dk ω2 = k = 2 ε(ω) und k ′ = c dω v 2 c2 mit ε = 2 v und ω = vk, und man findet ω dk 2 = 2kk ′ = 2 (2ε + ωε′ ) und dω c 1 d 1 (kk ′ ) = k ′2 + kk ′′ = 2 (ε + 2ωε′ + ω 2 ε′′ ). dω c 2 Die Differenzialgleichung lautet dann bei schwach ver¨ anderlicher Solitonenamplitude A(z, t)  1  ′′ 1 ˙  ε2 ω 2 1 ¨ 1 ′′ ¨ ′ α|A|2 A ≈ 0, A − 2A = k A − i A + A − 2 2k v 2 v c 2k denn es ist aufgrund der eingef¨ uhrten N¨ aherungsannahmen A˙ 1 ∂A′ 1 ∂ A˙ 1 ∂ A˙ ′ ≪ |A | und ≈ ≪ . k ∂z vk ∂t v ω ∂t v v Bei Einf¨ uhrung dimensionsloser Variabler A(z, t) = |A0 |B(ζ, τ ), sowie τ= z t − t0 vt0 und ζ = z z0 mit t20 = −k ′′ z0 und ε2 1 = kα|A0 |2 z0 2ε erh¨alt man f¨ ur die rechte Seite eine Differenzialgleichung ¨ ahnlich der Schr¨ odinger-Gleichung 1 ∂2B ∂B + + |B|2 B = 0. i 2 ∂ζ 2 ∂τ Die L¨osung lautet mit einer dimensionslosen Amplitude q0 und sech x = 1 2 = cosh x exp {x} + exp {−x}    1 2 , B(ζ, τ ) = q0 sech q0 (τ − ϑ) exp i q0 ζ + δ 2 mit den dimensionslosen freien Parametern ϑ und δ. Also erh¨alt man die Solitonenl¨osung E(r, t) = E0 R(ρ)|A0 |q0 sech   2    q0 z q0  exp i t − − t0 ϑ z+δ exp i(kz − ωt) . t0 v 2z0 z
q0 = φ einen festen Wert und t− Die Solitonenl¨osung hat an den Stellen gleicher Phase q0 τ = t0 v n q2 o 0 ist im Ortsraum periodisch cos z + δ , aber unged¨ ampft, und q0 bestimmt die Amplitude der 2z0 Solitonenl¨osung. Die Halbwertsbreite der Pulskurve sech x betr¨ agt 2.63 und bestimmt die Pulsdauer t0 tPD = 2.63 an einem festen Ort. Die Pulsdauer ist umso kleiner, je gr¨oßer die Amplitude q0 ist, was q0 die Selbstphasenmodulation der Solitonen bei hohennIntensit¨ aten verursacht. q0 o t sech t0 q0 t t0 Das Soliton bewegt sich also unged¨ ampft mit der Gruppengeschwindigkeit v durch das nichtlineare isotrope Medium, ist im Ortsraum periodisch, und hat an einem festen Ort den zeitlichen Verlauf eines  q0 t exp {−iωt}, und entsteht erst bei einer Mindestintensit¨at der in die Faser eintetenden Pulses sech t0 Strahlung. Die Wellenl¨ange im Ortsraum wird durch q02 /z0 und die Phase durch δ bestimmt. 2π = 1.5 µm, z0 = 1 km, t0 = 3 ps und Die Daten f¨ ur Quarz SiO2 f¨ ur die Solitonen sind λ = k |A0 |q0 = 2 · 106 Vm−1 . 6 Teilchenzahlformalismus Quantenmechanische Systeme aus N identischen Massenpunkten, z.B. Elektronen, werden in einem N -Teilchen-Hilbert-Raum als Produktraum aus N Einteilchen-Hilbert-R¨ aumen beschrieben H(N ) = H1 ⊗ H2 ⊗ . . . ⊗ HN . Ist dann ψν1 (x1 ) ∈ H1 eine Basis in H1 mit hψν |ψµ i = δνµ und x1 = (r1 , s1 ) die Konfigurationskoordinate f¨ ur ein Teilchen, so bilden die Produkte aus N Einteilchen-Basisfunktionen Ψν1 ν2 ...νN (x1 , x2 , . . . xN ) = ψν1 (x1 )ψν2 (x2 ) . . . ψνN (xN ) eine Basis in H(N ) . Nach dem Pauli-Prinzip sind jedoch als Zust¨ ande nur solche Elemente von H(N ) erlaubt, die bei Bosonen symmetrisch und bei Fermionen antisymmetrisch bez¨ uglich der Vertauschung zweier Teilchen sind. Beschreibt man also die Zust¨ ande aus Produkten von Einteilchenfunktionen, sind aufwendige Symmetrisierungen bzw. Antisymmetrisierungen erforderlich, weil die nach dem Pauli-Prinzip ununterscheidbaren Teilchen zun¨achst nummeriert werden, was anschließend korrigiert werden muss. Eine andere Darstellungsm¨oglichkeit, n¨ amlich die der Teilchenzahlzust¨ ande, besteht darin, nur die Anzahl der Teilchen anzugeben, die sich in einem bestimmten Einteilchenzustand befinden. 6.1 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren Sei nν die Anzahl der Teilchen, die sich im gegebenen Einteilchenzustand ψν (x) befinden, so ist ein N -Teilchen-Zustand durch Angabe aller nν vollst¨ andig beschrieben |n1 n2 n3 . . .i, und es gilt |n1 n2 . . .i = N! ∞ Y ρ=1 nρ ! !−1/2 X P ∈S  (±1)p TP ψν1 (1) . . . ψνN (N ) mit ∞ X nν = N. ν=1 Hier bezeichnet TP den Permutationsoperator im Hilbert-Raum H(N ) , der eine bestimmte Permutation P der Teilchenummern erzeugt, und an Stelle von xν wurde vereinfacht nur ν geschrieben. Die Summe l¨auft u ¨ ber alle N ! Permutationen P der Permutationsgruppe S und p bezeichnet die Anzahl der Zweiervertauschungen, die P in das Einselement u ¨ berf¨ uhren. Bei Fermionen ist nach dem Pauli-Prinzip nν = 0 oder 1, und bei Bosonen eine nat¨ urliche Zahl oder Null. Mit dem Normierungsfaktor gilt die Orthonormalit¨ atsrelation der Teilchenzahlzust¨ ande hn1 n2 . . . |n′1 n′2 . . .i = δn1 n′1 δn2 n′2 . . . , die den irreduziblen Teilraum von H(N ) aufspannen, der alle m¨ oglichen physikalischen Zust¨ ande enth¨ alt. Um quantenmechanische Systeme mit Teilchenzahlzust¨ anden berechnen zu k¨ onnen, ist es erforderlich, die Anwendung von Operatoren auf die Teilchenzahlzust¨ ande zu kennen. Die selbstadjungierten N Teilchen-Operatoren, die physikalischen Observablen zugeordnet sind, lassen sich aus einer Summe von Einteilchen- und Zweiteilchen-Operatoren zusammensetzen: N X 1...N 1 X A(j) + H(1, 2, . . . N ) = B(i, j) 2 j=1 i,j i6=j mit B(i, j) = B(j, i) und es gilt N X A(j)|n1 n2 . . .i = j=1 1...∞ X λ,µ Aλµ a+ λ aµ |n1 n2 . . .i mit Aλµ = hψλ |A|ψµ i. Dabei bezeichnen a+ λ und aλ sogenannte Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, die durch √ aλ |n1 n2 . . . nλ . . .i = nλ |n1 n2 . . . nλ − 1 . . .i √ nλ + 1 |n1 n2 . . . nλ + 1 . . .i a+ |n n . . . n . . .i = 1 2 λ λ
+ + + = aλ und wegen definiert sind. Hierbei ist aλ der zu aλ adjungierte Operator mit aλ a+ λ aλ |n1 n2 . . . nλ . . .i = nλ |n1 n2 . . . nλ . . .i ˆ die Anzahl der Teilchen N jedes Zustandes liefert der Teilchenzahloperator N ˆ= N ∞ X λ=1 a+ λ aλ ˆ |n1 n2 . . .i = mit N ∞ X λ=1 nλ |n1 n2 . . .i = N |n1 n2 . . .i. Es gelten ferner die Vertauschungsrelationen f¨ ur Bosonen mit dem Kommutator [A, B] = AB − BA [aλ , a+ µ ] = δλµ 1 + ; [aλ , aµ ] = 0 = [a+ λ , aµ ]. Im Falle von Fermionen gilt entsprechend mit dem Antikommutator {A, B} = AB + BA
+ + + 2 + {aλ , aµ } = δλµ 1 ; {aλ , aµ } = 0 = {aλ , aµ } mit der Folge aλ = 0 und nλ = 0, 1. Der Zweiteilchenoperator, ausgedr¨ uckt durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, lautet 1...N 1...∞ 1 X 1 X + B(i, j)|n1 n2 . . .i = Bλµνρ a+ λ aµ aν aρ |n1 n2 . . .i 2 i,j 2 λ,µ,ν,ρ i6=j mit den Matrixelementen der Zweiteilchenwechselwirkung  Bλµνρ = ψλ (1)ψµ (2) B(1, 2) ψν (2)ψρ (1) . W¨ ahlt man speziell die Eigenfunktionen von A als Basis im Einteilchen-Hilbert-Raum, so gilt A(1)ψν (1) = εν ψν (1) mit Aλµ = hψλ |A|ψµ i = ελ δλµ , und der Hamilton-Operator hat die einfachere Form ˆ = H ∞ X λ=1 1...∞ X 1 + + Bλµνρ a+ ε λ aλ aλ + λ aµ aν aρ . 2 λ,µ,ν,ρ Der Zustand |0i = |00 . . .i f¨ ur die Teilchenzahl N = 0 wird Vakuum-Zustand genannt und es gilt speziell f¨ ur Bosonen (und auch f¨ ur Photonen) √ + + aλ |0i = |00 . . . 10 . . .i aλ |00 . . . 10 . . .i = 2|00 . . . 20 . . .i ; aλ |0i = 0|0i aλ |00 . . . 10 . . .i = |0i. Die Teilchenzahlzust¨ ande kann man durch Erzeugungsoperatoren und das Vakuum ausdr¨ ucken |n1 n2 . . .i = √ 1 n1 + n2 (a+ . . . |0i. 1 ) (a2 ) n1 !n2 ! . . . Wenn die Anzahl N der Teilchen erhalten bleiben soll, m¨ ussen die Operatoren der Observablen eine gleiche Anzahl von Erzeugungs- wie Vernichtungsoperatoren aufweisen, wie das bei dem HamiltonOperator der Fall ist. Die Anwendung einzelner Erzeugungs- oder Vernichtungsoperatoren bildet jedoch einen Teilchenzahlzustand mit N Teilchen auf einen mit ver¨ anderter Teilchenzahl ab. Die Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren sind deshalb in einem verallgemeinerten Hilbert-Raum, dem Fock-Raum aume besteht HF definiert, der aus der orthogonalen Summe aller N -Teilchen-Hilbert-R¨ HF = H(0) ⊕ H(1) ⊕ H(2) ⊕ . . . ⊕ H(N ) ⊕ . . . . Die Operatoren physikalischer Observabler sind unabh¨ angig von der Teilchenzahl und somit im ganzen Fock-Raum definiert. Dieser enth¨ alt auch den Vakuum-Zustand |0i mit h0|0i = 1, der den eindimen- sionalen Hilbert-Raum H0 aufspannt. 6.2 Feldoperatoren Der im vorigen Abschnitt eingef¨ uhrte Teilchenzahlformalismus gestattet die Berechnung quantenmechanischer Systeme mit N -Teilchen-Zust¨anden aus diskreten Einteilchenzust¨ anden. Der Formalismus l¨ asst sich weiter verallgemeinern und vereinfachen, indem Operatoren zu beliebigen Einteilchenzust¨ anden betrachtet werden. Geht man von einer Basis, also einem vollst¨ andigen Orthonormalsystem ψν (x) ∈ H(1) im Einteilchen-Hilbert-Raum H(1) aus, so l¨ asst sich jedes Element ψ(x) ∈ H(1) danach entwickeln ψ(x) = X ψν (x)hν|ψi ν mit hν|ψi = Z ψν∗ (x)ψ(x) dτ, wobei dτ ein Volumenelement im Konfigurationsraum eines Teilchens ist und x einen Vektor in diesem Konfigurationsraum bezeichnet. Mit Hilfe der Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren aν , a+ ur ein ν f¨ Teilchen im Zustand ψν (x) werden Feldoperatoren in Form von Vernichtungs-und Erzeugungsoperaˆ toren ψ(x), ψˆ+ (x) f¨ ur ein Teilchen in einem beliebigen Zustand ψ(x) ∈ H(1) definiert ˆ ψ(x) = X ψν (x)aν mit aν = ν ψˆ+ (x) = X ν ψν∗ (x)a+ ν mit a+ ν = Z Z ˆ ψν∗ (x)ψ(x) dτ ψν (x)ψˆ+ (x) dτ, wobei die Feldoperatoren im Fock-Raum zur Unterscheidung mit einem Dach versehen wurden. Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren ergeben sich direkt aus denen der Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren f¨ ur Bosonen:   + ′ ˆ ˆ ψ(x), ψ (x ) = δ(x − x′ )1 ˆ erh¨ F¨ ur den Teilchenzahloperator N alt man ˆ= N ∞ X λ=1 a+ λ aλ = Z ;    +  ′ + ′ ˆ ˆ ˆ ˆ ψ(x), ψ(x ) = 0 = ψ (x), ψ (x ) . ˆ ψˆ+ (x)ψ(x) dτ = Z n ˆ (x) dτ ˆ mit n ˆ (x) = ψˆ+ (x)ψ(x), wobei n ˆ (x) den Teilchendichteoperator bezeichnet. Das Umschreiben des Hamilton-Operators in Feldoperatoren ergibt Z Z 1 ˆ ψ(x ˆ ˆ ′ ) dτ dτ ′ , ˆ = ψˆ+ (x)A(x)ψ(x) ψˆ+ (x′ )ψˆ+ (x)B(x, x′ )ψ(x) dτ + H 2 wobei A(x) den Einteilchen- und B(x, x′ ) den Zweiteilchenoperator bezeichnet. Die mit einem Dach markierten Feldoperatoren im Fock-Raum beziehen sich nicht auf eine bestimmte Teilchenzahl, die Teilchenzahl ist vielmehr durch die Zust¨ ande des Fock-Raumes gegeben. Die Anwendung des Teilchenˆ auf einen solchen Zustand liefert die Anzahl N der Teilchen als Eigenwert. zahloperators N Die Teilchenzahlzust¨ ande lassen sich auch aus Erzeugungsoperatoren und dem Vakuum-Zustand ausdr¨ ucken und |x1 i = ψˆ+ (x1 )|0i bezeichnet z.B. einen Zustand mit einem Teilchen an der Stelle x1 des Konfigurationsraumes. 6.3 Zeitabh¨ angige Feldoperatoren Zur Beschreibung zeitabh¨ angiger Prozesse mit zeitabh¨ angigem Einteilchenoperator A(x, t) und zeitunabh¨ angigem Zweiteilchenoperator, lassen sich die zeitunabh¨ angigen Operatoren leicht verallgemeinern. Wir gehen von der zeitabh¨ angigen Einteilchen-Schr¨ odinger-Gleichung aus − ¯ ∂ h ψ(x, t) = A(x, t)ψ(x, t), i ∂t und definieren die Zeitabh¨angigkeit der Feldoperatoren entsprechend als Heisenberg-Operatoren   ¯ ∂ ˆ h ˆ ˆ − ψ(x, t) = ψ(x, t), A(t) i ∂t   ¯h ∂ ˆ+ ˆ − ψ (x, t) = ψˆ+ (x, t), A(t) i ∂t ˆ = mit A(t) Z ˆ ′ , t) dτ ′ . ψˆ+ (x′ , t)A(x′ , t)ψ(x Die Vertauschungsrelationen der Vernichtungs- und Erzeugungs-Feldoperatoren werden zu einer festen Zeit t festgelegt und lauten f¨ ur Bosonen   + ′ ˆ ˆ ψ(x, t), ψ (x , t) = δ(x − x′ )1     ˆ t), ψ(x ˆ ′ , t) = 0 = ψˆ+ (x, t), ψˆ+ (x′ , t) , ψ(x, sodass die Feldoperatoren die gew¨ unschte Zeitabh¨ angigkeit erhalten − ¯ ∂ ˆ h ˆ t) und ψ(x, t) = A(x, t)ψ(x, i ∂t − ¯ ∂ ˆ+ h ψ (x, t) = A(x, t)ψˆ+ (x, t). i ∂t Der Hamilton-Operator wechselwirkender Teilchen im Fock-Raum hat die Form ˆ ˆ + B(t) ˆ H(t) = A(t) ˆ und dem Zweiteilchenoperator mit A(t) ˆ =1 B(t) 2 Z ˆ ′ , t)ψ(x, ˆ t) dτ dτ ′ , ψˆ+ (x, t)ψˆ+ (x′ , t)B(x, x′ )ψ(x dessen Zeitabh¨angigkeit vom Hamilton-Operator bestimmt wird ˆ   ¯ dB h ˆ H(t) ˆ − = B, . i dt F¨ ur den Einteilchenoperator gilt dagegen ˆ   h ¯ ∂ Aˆ ¯ dA(t) h ˆ ˆ = A(t), H(t) − − i dt i ∂t mit ∂ Aˆ = ∂t Z ∂A(x, t) ˆ ψˆ+ (x, t) ψ(x, t) dτ. ∂t Exkurs u ¨ ber Heisenberg-Operatoren Die Erwartungswerte der Observablen A(x, t) findet man im Schr¨ odinger-Bild und die Zeitabh¨ angigkeit des statistischen Operators ρ(x, t) wird bestimmt durch die von-Neumann-Gleichung M (A) = Sp{ρA} mit ∂ρ i = [ρ, H] ∂t ¯ h osung der Gleichung erh¨ alt man mit dem mit dem zeitunabh¨ angigen Hamilton-Operator H(x). Eine L¨ unit¨ aren Zeitschiebeoperator U (x, t, t0 ) mit U U + = 1 ρ(x, t) = U ρ(x, t0 )U + mit ∂U i = − HU ∂t h ¯ und U (x, t, t0 ) = exp n o i − H(x)(t − t0 ) . h ¯ Dann hat der Erwartungswert die Form   +  M (A) = Sp ρ(x, t)A = Sp U ρ(x, t0 )U A = Sp ρ(x, t0 )AH mit dem Heisenberg-Operator AH = U + (x, t, t0 )A(x, t)U (x, t, t0 ), dessen Zeitabh¨ angigkeit bestimmt wird durch ∂A i ∂AH = [H, AH ] + U + U, ∂t h ¯ ∂t wobei der letzte Term verschwindet, wenn der Operator A der Observablen nicht explizit von der Zeit ∂A = 0. abh¨ angt ∂t 6.4 Quantenfeldtheorie Zur Beschreibung der optischen Eigenschaften von Festk¨ orpern, Fl¨ ussigkeiten, Atomen und Molek¨ ulen hat man es mit geladenen Massenpunkten d.h. Elektronen und Atomkernen zu tun, die mit elektromagnetischen Feldern in Wechselwirkung stehen. Zum Verst¨ andnis vieler optischer Eigenschaften wird es n¨otig, auch die elektromagnetischen Felder zu quantisieren. Die Vorgehensweise ist dabei die gleiche wie bei der Quantisierung der Punktmechanik, indem neben der Lagrange-Funktion eine Hamilton-Funktion gebildet wird, und zu den kanonisch konjugierten Koordinaten selbstadjungierte Operatoren eingef¨ uhrt werden, die bestimmten Vertauschungsrelationen gehorchen. Dieser Weg sei deshalb hier kurz skizziert. Hat man in der klassischen Mechanik ein System von Massenpunkten, welches durch generalisierte Lagekoordinaten qk und Geschwindigkeitskoordinaten q˙k bestimmt ist, so ergibt sich die Bewegungsgleichung nach dem Variationsprinzip aus der Variation des Wirkungsintegrals mit der Lagrange-Funktion L(qk , q˙k , t) = T (qk , q˙k , t) − V (qk , t) aus kinetischer Energie T und potenzieller Energie V Z t2 L(qk , q˙k , t′ ) dt′ = 0, δ t1 wobei die qk (t) mit den Nebenbedingungen δqk (t1 ) = 0 = δqk (t2 ) zu variieren sind. Die Variationsableitung oder Funktionalableitung dieses Funktionals ergibt dann die Euler-Lagrange-Gleichungen: δ δqk (t) Z t2 t1 L(qk , q˙k , t′ ) dt′ = 0 =⇒ ∂L d ∂L − = 0. ∂qk dt ∂ q˙k Funktionalableitung oder Variationsableitung F Sei r ∈ R3 , ϕ(r) ∈ RN , F ∈ C, dann heißt ϕ(r)−→C bzw. F[ϕ] ein Funktional von ϕ. Wenn f¨ ur η(r) ∈ RN und α ∈ R f¨ ur ein gegebenes Funktional F[ϕ + αη] die Ableitung nach α existiert und sich in der Form Z X N δF[ϕ] d F[ϕ + αη] = ηk (r) d3r dα δϕk (r) α=0 V k=1 schreiben l¨aßt, dann heißt δF[ϕ] Funktionalableitung des Funktionals F[ϕ]. δϕk (r) Definiert man die kanonisch konjugierten Impulskoordinaten pk = Hamilton-Funktion mihilfe einer Legendre-Transformation H(qk , pk , t) = X k und den Hamilton-Gleichungen q˙k = ∂H ∂pk die Bewegungsgleichung ebenfalls bestimmen. pk q˙k − L(qk , q˙k , t) und p˙k = − ∂H ∂qk ∂L , so kann man aus der ∂ q˙k ¨ Der Ubergang zur Quantenmechanik besteht nun darin, zu den kanonisch konjugierten Koordianten qk , pk selbstadjungierte Operatoren in einem Hilbert-Raum einzuf¨ uhren, die den Vertauschungsrelationen [pk , ql ] = ¯ h δkl 1 i ; [qk , ql ] = 0 = [pk , pl ] gen¨ ugen. Die Zeitabh¨angigkeit der Operatoren A(qk , pk ), die Observablen zugeordnet sind, ist dann gegeben durch − ¯ dA h = [A, H]. i dt Zur Quantisierung von Feldern gehen wir von einem System von endlich vielen Feldern ψν (r, t) mit ν = 1, 2, . . . n aus, mit den unabh¨ angigen Variablen des Ortsraumes r = (x1 , x2 , x3 ) und der Zeit t. Diese Felder m¨ogen die L¨ osungen eines Systems von Differenzialgleichungen sein, die sich aus einem Funktional der Lagrange-Funktion mit einem Variationsprinzip ergeben. Die Variation des Wirkungsintegrals muss hier bez¨ uglich der Felder ψν (r, t) mit vier unabh¨ angigen Variablen geschehen, so dass die Lagrange-Funktion L aus einer Lagrange-Dichte L gem¨ aß δ Z t2 L dt = 0 t1 mit L = Z L d3r und L = L(ψν , ψν|k , ψ˙ ν , t) zu bestimmen ist, die von den ψν , den ψ˙ ν und außerdem noch von den partiellen Ableitungen nach ∂ψν den Ortskoordinaten ψν|k = abh¨ angen kann. ∂xk Die Variation der ψν (r, t) soll dabei an den Integrationsgrenzen |r| → ∞ und t = t1 , t2 verschwinden. Dann ergibt die Variation des Wirkungsintegrals δ δψν (r, t) Z t2 dt′ t1 Z d3r′ L(ψν , ψν|k , ψ˙ ν , t′ ) = 0 die Euler-Lagrange-Gleichungen f¨ ur Felder ψν (r, t) f¨ ur ν = 1, 2, . . . n 3 X ∂ ∂L ∂L ∂ ∂L − = 0, − ∂ψν ∂xk ∂ψν|k ∂t ∂ ψ˙ ν k=1 die zu den Ausgangsgleichungen f¨ uhren. Zur Quantisierung werden zun¨achst kanonisch konjugierte Impulsfelder πν (r, t) und eine von den ψ˙ ν unabh¨ angige Energiedichte D mithilfe einer Legendre-Transformation eingef¨ uhrt ∂L πν (r, t) = ∂ ψ˙ ν und D(ψν , ψν|k , πν , πν|k , t) = n X ν=1 πν ψ˙ ν − L und das von den ψ˙ ν unabh¨ angige Energiefunktional Z H = D(ψν , ψν|k , πν , πν|k , t) d3r. mit ∂D = 0, ˙ ∂ ψν Aus der Variation des Energiefunktionals H(ψν , πν ) = Z hX ν n  X δH ν=1 δH δψν + δπν δψν δπν erh¨alt man wegen −   n  X δL − = δψν + ψ˙ ν δπν δψν ν=1 i πν ψ˙ ν − L(ψν , ψν|k , ψ˙ ν , t) d3r 3 und X ∂ ∂L δL ∂L ∂ ∂L = − = δψν ∂ψν ∂xk ψν|k ∂t ∂ ψ˙ ν k=1 δH ∂ δL ∂ δL = πν die Hamiltonschen Gleichungen f¨ ur Felder = = δψν δψν ∂t δ ψ˙ ν ∂t 3 X ∂ ∂D δH ∂D ∂ψν = = − ∂t δπν ∂πν ∂xk ∂πν|k 3 X ∂ ∂D δH ∂πν ∂D = − . = − ∂t δψν ∂ψν ∂xk ∂ψν|k und k=1 k=1 ¨ Der Ubergang von der klassischen Feldtheorie zu einer Quantenfeldtheorie wird dadurch vorgenommen, dass die kanonisch konjugierten Felder zu Feldoperatoren ˆ ψν (r, t) −→ ψˆν (r, t) und πν (r, t) −→ π ˆν (r, t) und H −→ H werden, die den Vertauschungsrelationen f¨ ur Bosonen   h ¯ π ˆν (r, t), ψˆµ (r′ , t) = δνµ δ(r − r′ )1 i und     π ˆν (r, t), π ˆµ (r′ , t) = 0 = ψˆν (r, t), ψˆµ (r′ , t) ¨ gen¨ ugen sollen. Die zeitliche Anderung der Feldoperatoren ergibt sich bei Heisenberg-Operatoren ¯ ∂ ψˆν h ˆ und = [ψˆν , H] − i ∂t − ¯ ∂π h ˆν ˆ = [ˆ πν , H]. i ∂t 7 Quantenoptik Die dielektrische Verschiebung sei gegeben durch D = εE mit ε = εr ε0 , wobei E die elektrische Feldst¨ arke, ε0 die elektrische Feldkonstante und εr eine Konstante bezeichnen. Die magnetische Induktion sei gegeben durch B = µH mit µ = µr µ0 , wobei H die magnetische Feldst¨ arke, µ0 die magnetische Feldkonstante und µr eine Konstante bezeichnen. Ist dann ρ die Ladungsdichte und j die elektrische Stromdichte, so lassen sich die Feldgleichungen ˙ ; ∇ × E = −B ˙ +j ∇×H=D ; ∇·D=ρ ; ∇·B=0 mit Hilfe des Vektorpotenzials A und des skalaren Potenzials φ mit der Lorentz-Konvention ˙ − ∇φ B = ∇ × A ; E = −A mit 1 ˙ φ+∇·A=0 εµ wegen ε0 µ0 = 1/c2 mit der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum und der Brechzahl n 1 n2 = εµ = εr µr ε0 µ0 = 2 v2 c 1 ∂φ ∇·A+ 2 = 0 mit v ∂t und n = c √ = εr µr v auf vier inhomogene Wellengleichungen zur¨ uckf¨ uhren, vergl. Abschn. 1.4 A=  2  1 ∂ − ∆ A = µj v 2 ∂t2 und φ=  2  1 ∂ 1 ρ. − ∆ φ = v 2 ∂t2 ε Die Potenzialgleichungen ergeben sich mit Hilfe der Lagrange-Dichte 1
1 L = εE2 − B2 + j · A − ρφ 2 µ  2
2
2 ε ∂A ∂A ε 1 = · ∇φ + ∇φ − ∇ × A + j · A − ρφ +ε 2 ∂t ∂t 2 2µ und den Euler-Lagrange-Gleichungen mit ψν|k = ∂ψν ∂ψν und ψ˙ ν = ∂xk ∂t 3 X ∂ ∂L ∂L ∂ ∂L = 0, − − ∂ψν ∂xk ∂ψν|k ∂t ∂ ψ˙ ν k=1 indem ψk = Ak , f¨ ur k = 1, 2, 3 und ψ4 = φ gesetzt, und die Lorentz-Konvention beachtet wird. Zum Beweise beachten wir mit A(r, t) = (A1 , A2 , A3 ), r = (x1 , x2 , x3 ) 2  2  2  ∂A ∂A ∂A ∂A ∂A ∂A 2 3 1 1 2 3 − + − + − (∇ × A)2 = ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2 und berechnen zun¨achst den mittleren Term der Euler-Lagrange-Gleichungen mit ψ1 = A1 3 3 X ∂ ∂L 1 X ∂ ∂ =− (∇ × A)2 ∂xk ∂A1|k 2µ ∂xk ∂A1|k k=1 k=2   ∂A2  ∂  ∂A1 ∂A3  ∂ ∂A1 1 ∂  ∂A1 − + − ± =− µ ∂x2 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x1 i ∂ 1h ∇·A . = − ∆A1 − µ ∂x1 Damit erh¨alt man aus den Euler-Lagrange-Gleichungen 3 X ∂ ∂L ∂L ∂ ∂L − = 0, − ∂ψν ∂xk ∂ψν|k ∂t ∂ ψ˙ ν k=1 und der Lagrange-Funktion L= ε 2  ∂A ∂t 2 +ε
2
2 ε 1 ∂A · ∇φ + ∇φ − ∇ × A + j · A − ρφ ∂t 2 2µ f¨ ur ψ1 = A1 mit j = (j1 , j2 , j3 ) i ∂ ∂ 2 A1 ∂φ 1h ∆A1 − ∇·A −ε 2 −ε = 0, j1 + µ ∂x1 ∂t ∂t∂x1 und wegen der Lorentz-Konvention ∂φ 1 ∇·A+ε =0 µ ∂t addieren sich der dritte und f¨ unfte Term zu Null, so dass die inhomogene Wellengleichung ∂ 2 A1  µj1 + ∆A1 − εµ 2 = 0 oder ∂t  A1 = µj1 f¨ ur A1 resultiert. Entsprechend erh¨ alt man mit ψν = φ aus der Euler-Lagrange-Gleichung ebenfalls die inhomogene Wellengleichung f¨ ur φ. 7.1 Quantisierung freier elektromagnetischer Felder Bei der zu behandelnden Wechselwirkung der elektromagnetischen Strahlung mit Festk¨ orpern befinden sich die die Strahlungsfelder erzeugenden Ladungen ρ und Str¨ ome j entfernt vom Festk¨ orper und werden hier zu Null gesetzt, um die Potenziale A und φ der freien elektromagnetischen Strahlung zu bestimmen. Da beide Potenziale L¨ osungen der homogenen Wellengleichung A = 0 und φ = 0 sind, lassen sich die beobachtbaren Felder E und B aus A alleine bestimmen, indem eine Eichtransformation A′ = A + ∇f , φ′ = φ − f˙ mit f = 0 und f˙ = φ vorgenommen wird, sodass φ′ = 0 wird. Dadurch erh¨alt man aus der Lorentz-Konvention ∇ · A = 0, was auch als Strahlungseichung bezeichnet wird. Das zum Vektorpotenzial A(r, t) = (A1 , A2 , A3 ) geh¨ orige kanonisch konjugierte Impulsfeld ist πk (r, t) = ∂L = εA˙ k ∂ A˙ k ˙ 2 − 1 (∇ × A)2 , ˙ = εA mit L(A, A) 2 2µ ˙ zu und die Energiedichte ergibt sich wegen B = ∇ × A und E = −A D= 3 X k=1 1 ˙2 1 1 1 πk A˙ k − L = εA + (∇ × A)2 = E · D + H · B. 2 2µ 2 2 Die Energie der freien elektromagnetischen Strahlung ist damit, vgl. Abschn. 1.3, H= Z 1 D d3r = 2 Z   Z 1 1 ˙ 2 + (∇ × A)2 d3r = εA (E · D + H · B) d3r. µ 2 Zur Quantisierung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes werden f¨ ur die kanonisch konjugierten Felder Ak (r, t) und πk (r, t) Feldoperatoren Aˆk bzw. π ˆk mit den Vertauschungsrelationen angesetzt:   h ¯ π ˆk (r, t), Aˆl (r′ , t) = δkl δ(r − r′ )1 i und     π ˆk (r, t), π ˆl (r′ , t) = 0 = Aˆk (r, t), Aˆl (r′ , t) . Wir schreiben die L¨osungen der homogenen Wellengleichung A = 0 als Linearkombination von ebenen Wellen   2 1 1 XX uj (q) √ exp {iq · r} exp {−i2πνj (q)t} + k.k. . A(r, t) = √ 2 j=1 q V Die Basisvektoren des Gitters a1 , a2 , a3 spannen die Elementarzelle bzw. das Periodizit¨ atsgebiet Ω = (a1 , a2 , a3 ) auf und die Vektoren N a1 , N a2 , N a3 das Grundgebiet V = N 3 Ω mit 1 ≪ N . Die  periodischen Randbedingungen f¨ ur die ebenen Wellen exp iq · (r + N aj ) = exp {iq · r} erfordern die Bedingung exp {iq · aj N } = 1, woraus sich die diskreten Ausbreitungsvektoren m1 m2 m3 q= b1 + b2 + b3 mit ganzen Zahlen m1 , m2 , m3 N N N 2π ak × al mit zyklischen (j, k, l) die ergeben. Dabei erf¨ ullen die reziproken Gittervektoren bj = Ω Bedingungen aj · bk = 2πδjk . Ferner bezeichnen uj (q) den Polarisationsvektor f¨ ur zwei verchiedene Polarisationsrichtungen, νj (q) = v|q|/2π die Frequenz der Welle mit dem Dispersionsgesetz, und k.k.” den konjugiert kom” plexen Term. Wegen ∇ · A = 0 erf¨ ullen die reellen Polarisationsvektoren die Bedingung q · uj (q) = 0, so dass es nur zwei transversale linear unabh¨ angige Polarisationsrichtungen j = 1, 2 gibt. ˆ t) ist die Reihenentwicklung von der Form ¨ Beim Ubergang zu den Feldoperatoren A(r, t) −→ A(r, P ˆ wie in Abschn. 6.2 ψ(x) = ν ψν (x)aν mit dem Vernichtungsoperator aν f¨ ur ein Teilchen bzw. hier cj (q, t) und dem Erzeugungsoperator c+ j (q, t) s   2 XX 1 h ¯ 1 1 ˆ t) = √ A(r, uj (q) √ exp {iq · r} cj (q, t) + uj (q) √ exp {−iq · r} c+ j (q, t) . 2πενj (q) 2 j=1 q V V Die zeitabh¨ angigen Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren f¨ ur die Photonen r r   2πενj (q) 2πενj (q) (q, t) = exp − i2πνj (q)t bzw. c+ exp i2πν (q)t cj (q, t) = j j ¯h h ¯ erf¨ ullen die Schwingungsgleichung
2 ∂cj (q, t) ∂ 2 cj (q, t) = −i2πνj (q)cj (q, t) oder + 2πνj (q) cj (q, t) = 0. ∂t ∂t2 ˆ (r, t) = (π1 , π2 , π3 ) ist dann Das zu A(r, t) = (A1 , A2 , A3 ) geh¨ orige Impulsfeld ~π s  2 XX ˆ 1 1 ∂ A h ¯ ˆ (r, t) = ε = √ − iε2πνj (q)uj (q) √ exp {iq · r} cj (q, t) ~π ∂t 2πενj (q) 2 j=1 q V  1 + iε2πνj (q)uj (q) √ exp {−iq · r} c+ j (q, t) . V ˆ f¨ ˆ und ~π Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren A uhren dann zu den Vertauschungsrelationen ur ein Photon der Polarisation f¨ ur die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren cj (q, t) und c+ j (q, t) f¨ j, der Wellenzahl |q| und der Energie hνj (q) = v¯ h|q|    +    + ′ ′ ′ ′ ′ ′ cj (q, t), c+ (q, t), c (q , t) = 0 = c 1 ; c (q, t), c δ (q , t) = δ (q , t) . j j jj qq j j′ j′ Zum Beweis sei darauf hingewiesen, dass die Operatoren cj (q, t) und c+ j (q, t) jeweils einem Photon der beiden unabh¨ angigen Polarisationsrichtungen j = 1, 2 zugeordnet sind, sodass u2kj (q) = 1 und  1 X ′ ukj ulj = 0 zu setzen ist. Ferner gilt die Vollst¨ andigkeitsbeziehung exp iq · (r − r ) = δ(r − r′ ). V q ˆ t) und π Beim Einsetzen der Feldoperatoren A(r, ˆ (r, t) in den Energieoperator ˆ = 1 H 2 Z h  ˆ 2 Z h i
2 i 3 ∂A 1 ˆ2 1 1 1 3 2 ˆ ˆ ∇ × A(r, t) ~π (r, t) + ε dr + (∇ × A) d r = ∂t µ 2 ε µ ergibt sich bei Verwendung der Vertauschungsrelationen f¨ ur die Erzeugungs- und Vernichtungsopera3 toren c+ j (q, t) und cj (q, t) die Form einer Summe aus 2N ungekoppelter harmonischer Oszillatoren, die durch die beiden Indizes j und q abgez¨ ahlt werden, ˆ = H 2 X X j=1 q  1  + hνj (q) cj (q, t)cj (q, t) + 1 . 2 1 2
Jeder einzelne Oszillator hat die ¨ aquidistanten Energieeigenwerte hνj (q) nj (q) + mit den Besetzungszahlen nj (q) = 0, 1, 2, . . . die angeben, wieviele Photonen der Energie hνj (q) = v¯ h|q| und mit dem Impuls ¯hq im Grundgebiet V vorhanden sind. ˆ Der Energieoperator ist mit dem Feldoperator A(r, t) und damit ebenfalls mit der elektrischen Feldst¨ arke und der magnetischen Induktion nicht vertauschbar. Die elektromagnetischen Felder und die Anzahl der Photonen 2 X 2 X X X + n ˆ j (q) cj (q, t)cj (q, t) = j=1 q j=1 q sind wegen [c+ c, c] = −c und [c+ c, c+ ] = c+ nicht gleichzeitig scharf meßbar. ˙ und ∇ × A ergibt, ˆ wie er sich aus der Form der Operatoren A Der Beweis f¨ ur den Feldoperator H, wird einfach, wenn man die folgendenZ Zusammenh¨ ucksichtigt. Zange ber¨ 1 1 ˆ2 3 (∇ × A)2 d3r. ~π d r = ⊲ Die beiden Integrale sind gleich ε µ 1 ⊲ F¨ur die ebenen Wellen ϕq (r) = √ exp {iq · r} V gelten die Orthonormalit¨ ats- und Vollst¨ andigkeitsbeziehungen Z X  ′ 3 1 ϕq (r)ϕ∗q (r′ ) = δ(r − r′ ). exp i(q − q) · r d r = δqq′ und hϕq |ϕq′ i = V V q ⊲ q2 Es gilt die Dispersionsbeziehung 2πνj (q) = v|q| bzw. = v 2 q2 = 4π 2 νj2 (q). εµ ⊲ Zu ber¨ucksichtigen sind nur Terme mit der gleichen Anzahl von Erzeugungsoperatoren c+ j (q, t) ⊲ und Vernichtungsoperatoren cj (q, t). Wegen ∇ · A = 0 handelt es sich um Transversalwellen mit q · uj (q) = 0 mit der Folge

q × uj (q) · q × uj (q) = q2 u2j (q) = q2 . 7.2 Elektron-Photon-Wechselwirkung Bei der Wechselwirkung der quantisierten elektromagnetischen Wellen, also der Photonen, mit freien oder gebundenen Atomen geht man von der Lorentz-Kraft aus, die die elektromagnetischen Felder E und B auf die als geladene Massenpunkte idealisierten Elektronen und Atomkerne aus¨ uben. Im Rahmen der klassischen Mechanik bewegt sich eine Punktladung der Masse m und der Ladung e auf einer Bahnkurve r(t), die bei gegebenen E und B durch die Lorentz-Kraft m¨r = e(E + r˙ × B) bestimmt ist. Die Ladungen und Str¨ ome, die die Felder E und B erzeugen, seien vom Ort der untersuchten Materie weit entfernt, sodass hier nur die Ladungen und Str¨ ome der betrachteten Punktladungen eine Rolle spielen. Wir verwenden die elektrodynamischen Potenziale A und φ mit B = ∇ × A ˙ − ∇φ in Strahlungseichung mit φ = 0 und ∇ · A = 0, vergl. Abschn. 7.1, also und E = −A ˙ B = ∇ × A und E = −A. Im nichtrelativistischen Fall ergibt sich dann die Bahnkurve r(t) aus der Lagrange-Funktion L(r, r˙ ) = m 2 r˙ + e˙r · A und den Euler-Lagrange-Gleichungen 2 d ∂L ∂L − = 0. dt ∂ r˙ ∂r ∂L = m˙r + eA und die Hamilton-Funktion ist ∂ r˙
2 m 1 m p − eA . H(r, p) = r˙ · p − L(r, r˙ ) = m˙r2 + e˙r · A − r˙ 2 − e˙r · A = r˙ 2 = 2 2 2m Geht man davon aus, dass sich die Elektronen bzw. die Atomkerne in einem effektiven Einteilchenpotenzial v(r) bewegen, das von der umgebenden Materie verursacht wird, so lautet die EinelektronenHamilton-Funktion mit der Elektronenmasse me
2 1 H= p − eA + v(r). 2me Der zu r kanonisch konjugierte Impuls ist p = h ¯ ¨ Beim Ubergang zur Quantenmechanik ist der Impulsoperator p = ∇ einzusetzen und die Energie i der freien elektromagnetischen Felder nach Abschn. 7.1 hinzuzuf¨ ugen. Der Energieoperator beschreibt dann das Elektron, die elektromagnetische Strahlung und die Wechselwirkung zwischen beiden 2 h 1 ¯ ∇ − eA + v(r) + H= 2me i 2 h 1 ¯ ∇ − eA + v(r) + = 2me i Z 1  1 2 3 2 ε0 E + B dr 2 µ0 Z i 1 h ˙2 1 2 ε0 A + (∇ × A) d3r. 2 µ0 Vernachl¨assigt man den kleinen Term mit A2 , so erh¨ alt man wegen ∇ · A = 0 f¨ ur den gemischten Term ↓ 1  ¯h  1  ¯ h  e¯ h − e (∇ · A + A · ∇) = − e (A · ∇ + ∇· A +A · ∇) = − A · ∇, 2me i 2me i ime wobei der Pfeil auf dem Term ∇ · A anzeigt, dass der Operator ∇ nur das A differenziert, und es folgt Z i 1 ¯h2 e¯ h 1 h ˙2 2 ∆ + v(r) − A·∇ ε0 A + (∇ × A) d3r H =− + 2me im 2 µ0 | | e{z } {z } {z } | Kristallelektron Elektron-Licht-WW freies Strahlungsfeld ein Einelektronen-Energieoperator aus drei Teilen, mit einem Teil HKE des Kristallelektrons, einem Teil HEL der Elektron-Licht-Wechselwirkung und einem Teil HL des freien Strahlungsfeldes. ¨ Der Ubergang zu dem Vielelektronensystem und einem quantisierten Strahlungsfeld ist nun mit dem Teilchenzahlformalismus denkbar einfach. Wir schreiben den Operator im Fock-Raum der Elektronen und Photonen ˆ =H ˆ KE + H ˆ EL + H ˆL H mit dem Operator der Kristallelektronen und dem Teilchenzahloperator ank der Bloch-Zust¨ande ˆ KE = H BZ XX n En (k)a+ nk ank k 1 mit |nki = ψn (k, r) = √ exp {ik · r} un (k, r), 3 N dem Operator des freien Strahlungsfeldes mit dem Teilchenzahloperator der Photonen cj (q) ˆL = H 2 X X j=1 q  1  + hνj (q) cj (q, t)cj (q, t) + 1 2 ˆ des Vektorpotenzials und dem Operator der Elektron-Photon-Wechselwirkung und dem Operator A HEL 2 e¯h 1 X X √ =− ime 2 j=1 q s h 1 ¯ h √ exp {iq · r} uj (q) · ∇cj (q, t) 2πε0 νj (q) V i 1 + + √ exp {−iq · r} uj (q) · ∇cj (q, t) . V Dieser Operator ist zun¨achst nur f¨ ur die Photonen ein Teilchenzahloperator, in Bezug auf die Elektronen aber ein Einelektronenoperator. Er l¨ asst sich jedoch nach Abschn. 6.1 direkt in einen Fock-Operator mit den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Bloch-Zust¨ande a+ nk , ank umschreiben XX Elekt ˆ H = hnk|H Elekt |n′ k′ ia+ nk an′ k′ , n,k n′ ,k′ und man erh¨alt ˆ EL H i X X Xh + + + ′ ′ ′ ′ = M (n, k; n , k ; j, q)ank an′ k′ cj (q, t) + M (n, k; n , k ; j, −q)ank an′ k′ cj (q, t) n,k n′ ,k′ j,q ¨ mit dem Ubergangsmatrixelement zwischen den Bloch-Zust¨anden |nki = ψn (k, r) e¯ h 1 √ M (n, k; n , k ; j, q) = − ime 2 ′ ′ s ′ ′ 1 ¯ h nk √ exp {iq · r} uj (q) · ∇ n k . 2πε0 νj (q) V Hier bezeichnen also a+ ur ein Elektron im nk und ank die Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren f¨ Bloch-Zustand ψn (k, r) mit der Energie En (k) und c+ j (q, t) bzw. cj (q, t) die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren f¨ ur ein Photon der Energie hνj (q) mit dem Impuls h ¯ q und der Dispersionsbeziehung νj (q) = c|q|/2π, wobei c die Lichtgeschwindigleit bezeichnet. Die Vektoren uj (q) mit q · uj (q) = 0 geben die Amplituden und die Polarisation senkrecht zum Wellenvektor q an. Zur Veranschaulichung betrachten wir einen Laserstrahl, der von einem Resonator erzeugt wird, und der aus einzelnen diskreten Linien, den sogenannten Moden besteht. Seien n1 , n2 , . . . die Besetzungszahlen der Bloch-Zust¨ande und l1 , l2 . . . die der Photonenzust¨ande, so sind die Teilchenˆ =H ˆ KE + H ˆ EL + H ˆ L durch |nli = |n1 n2 . . . l1 l2 . . .i gegeben mit zahlzust¨ande f¨ ur den Operator H P + P a |nli = Anzahl der Elektronen und hnl| hnl| n a+ n n l cl cl |nli = Anzahl der Photonen. ˆ zu ˆ = −A ˆ˙ = − 1 ~π gegeben. Der Erwartungswert der elektrischen Feldst¨ arke berechnet sich wegen E ε 1 ˆ nli = 0, ˆ ˆ hEi = hnl|E|nli = hnl − ε ~π ˆ nur einzelne Photonenzahloperatoren mit hnl|c (q, t)|nli = 0 = hnl|c+ (q, t)|nli weil der Operator ~π j j arke enth¨ alt. Jedoch ergibt sich f¨ ur die Streuung bei der Messung der elektrischen Feldst¨  2   2  2 2 2 ˆ i nl . ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (∆E) = nl (E − hEi1 ) nl = nl hE i − hEi nl = nl hE Der Ausdruck ist f¨ ur jede einzelne Mode proportional zu 2lν + 1 mit lν = 0, 1, 2, . . ., also von Null verschieden. Anwendungsbeispiel: Elektronische Interband¨ uberg¨ ange Bei der Interpretation der Energieb¨ander En (k) der Kristalle als Einelektronenenergieniveaus muss man verschiedene Anregungsprozesse unterscheiden. Bei quasistatischen elektrischen Feldern E, die zur Beschleunigung von Elektronen und zur elektrischen Leitung f¨ uhren, ¨ andert sich der Bloch-Zustand quasistetig von ψn (k, r) nach ψn (k′ , r). Bei der Absorption eines Photons hinreichender Energie, wird aber ein Elektron im Zustand ψV (k, r) aus dem Valenzband entfernt und in einen Zustand ψL (k, r) im Leitungsband angeregt, wobei ein Loch im Valenzband zur¨ uckbleibt. Bei der Photoemission wird andererseits ein Elektron aus einem Zustand ψV (k, r) im Valenzband entfernt und befindet sich anschließend außerhalb des Kristalles. Die drei Vorg¨ ange haben unterschiedliche Endzust¨ande und entsprechende Experimente zur Bestimmung der Energieb¨ander sind nicht unmittelbar vergleichbar. So gibt es z.B. bei der elektrischen Leitf¨ahigkeit auch Streuprozesse der Leitungselektronen untereinander, und bei der Absorption eines Photons entsteht ein Elektron-Loch-Paar, wobei zwischen Elektron und Loch eine anziehende Wechselwirkung existiert. Beides h¨ angt mit dem KoopmansTheorem zusammen, wonach die Energieb¨ander zwar die Photoemission bis auf die Austrittsarbeit an der Oberfl¨ache beschreiben, f¨ ur die inneren Anregungen im Festk¨ orper aber Korrekturen erforderlich sind. ˆ EL nur Wir setzen voraus, dass der Operator der Wechselwirkung zwischen Elektronen und dem Licht H ˆ0 = H ˆ KE + H ˆ L beschriebenen ungest¨orten Systems verureine kleine St¨ orung des durch den Operator H sacht. Die elektromagnetische Welle kann dann mit der zeitabh¨ angigen St¨ orungsthoerie ber¨ ucksichtigt ¨ ¨ werden, und die Ubergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit f¨ ur einen Ubergang vom Anfangszustand ˆ 0 l¨ |ai in einen Endzustand |ei von H asst sich mit der Goldenen Regel der Quantenmechanik berechnen Wae  2
2π ′ ′ ˆ EL . . . N . . . ; . . . M . . . δ |Ea − Ee | , = . . . Nnk . . . ; . . . Mjq . . . H nk jq ¯h ′ ′ . . . ; . . . Mjq . . .i den wobei Ea den Anfangszustand |ai = | . . . Nnk . . . ; . . . Mjq . . .i und |ei = | . . . Nnk ˆ 0 bezeichnen, mit den Besetzungszahlen Nnk f¨ Endzustand von H ur die Bloch-Zust¨ande und Mjq f¨ ur die Photonen. Wir gehen davon aus, dass reichlich Licht eingestrahlt wird, so dass sich das Photonenreservoir durch einen Absorptions- oder Emissionsprozess praktisch nicht ver¨ andert. ˆ EL betrachten wir nur den einen Beim Einsetzen des Elektron-Licht Wechselwirkungsoperators H Summanden mit a+ n′ k′ ank cj (q), der die Absorption eines Photons der Energie hνj (q) beschreibt, und er¨ halten f¨ ur die Ubergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit f¨ ur ein Elektron vom Bloch-Zustand ψn (k, r) ¨ in einen Zustand ψn′ (k′ , r) mit dem Ubergangsmatrixelement Wnk,n′ k′  2 h2 h ¯ 2π X e2 ¯ ′ ′ 1 = n k √ exp {iq · r} uj (q) · ∇ nk 2 ¯h j,q 2me 2πε0 νj (q) V
× δ |En′ (k ) − En (k)| − hνj (q) . ′ Setzt man in das Integral die Bloch-Funktionen |nki = ψn (k, r) ein, I= Z V 1 ψn+′ (k′ , r) √ exp {iq · r} uj (q) · ∇ψn (k, r) d3r, V so kann man die Integration u ¨ ber das Grundgebiet V = N 3 Ω zerlegen in eine Integration r1 u ¨ ber die Elementarzelle Ω und in eine Summe u ¨ ber die durch einen Gittervektor R abgez¨ ahlten Elementarzellen, indem man r = R + r1 setzt und die Bloch-Bedingung ψn (k, r) = ψn (k, r1 + R) = exp {ik · R} ψn (k, r1 ) beachtet. Dann l¨asst sich die Summe u ¨ ber die N 3 Gittervektoren R in V separat ausf¨ uhren I= V Z X R  ∗ ′ 1 ′ exp i(k − k + q) · R ψn′ (k , r1 ) √ exp {iq · r1 } uj (q) · ∇ψn (k, r1 ) d3r, V Ω die wegen V  1 X ′ exp i(k − k + q) · R = δk′ −k,q N3 R nur f¨ ur k′ − k = q + G nicht verschwindet, wobei G einen reziproken Gittervektor bezeichnet. Nun sind die Ausbreitungsvektoren der Elektronen am Rande der Brillouin-Zone etwa |k| = 2π/a, mit der Gitterkonstanten a in der Gr¨oßenordnung einiger ˚ A, z.B. a = 5, 43 ˚ A bei Silicium. Photonen haben bei Energien von weniger als 10 eV viel gr¨oßere Wellenl¨angen λ > 1 µm = 104 ˚ A ≫ a und Wellenvektoren |q| = 2π/λ ≪ |k| außer in einer kleinen Umgebung des Γ-Punktex bei k = 0. Deshalb ¨ finden optische Uberg¨ ange zwischen verschiedenen B¨ andern in erster N¨ aherung der St¨ orungstheorie nur bei k′ = k statt, was auch als k-Auswahlregel bezeichnet wird. Intraband¨ uberg¨ ange innerhalb ˆ EL , so eines Energiebandes sind in dieser N¨ aherung verboten. Betrachtet man den zweiten Term von H findet man die gleiche Auswahlregel auch f¨ ur Emissionsvorg¨ ange. Die Elementarprozesse der Absorption bzw. Emission eines Photons sind also hνj (q) ′ EV (k) e− e− EL (k ) hνj (q) EL (k) e− e − Energiesatz Impulssatz EV (k) + hνj (q) = EL (k′ ) ¯hk + h ¯q = h ¯ k′ ≈ ¯ hk Energiesatz Impulssatz EL (k) = EV (k′ ) + hνj (q) ¯hk = h ¯ k′ + h ¯q ≈ ¯ hk′ , EV (k′ ) und es gelten die Erhaltungss¨atze von Energie und Impuls. 7.3 Phonon-Photon-Wechselwirkung In einem einfachen Modell des Festk¨ orpers geht man davon aus, dass die thermischen Gitterschwingungen die Atome aus ihren Ruhelagen auslenken. Die dadurch entstehenden Abweichungen im periodischen Elektronenpotenzial f¨ uhren zu der in Festk¨ orpern wirksamen Elektron-Phonon-Kopplung, die die Ursache ist f¨ ur die Umwandlung elektrischer Energie in W¨ arme nach dem Ohmschen Gesetz. Andererseits bilden sich durch die Auslenkungen auch atomare elektrische Dipole, sodass eine Dipoldichte oder Polarisation entsteht. Diese Dipolmomente sind bei gegeneinander schwingenden Nachbaratomen, also bei optischen Phononen, und bei polaren Halbleitern besonders groß und in einfacher N¨ aherung proportional zu Auslenkung des Atoms aus seiner Ruhelage. Im elektrischen Feld der elektromagnetischen ˙ ist dann als Polarisationsarbeit die Energie Strahlung E = −A E=− Z P(r, t) · E(r, t) d3r von der Strahlung aufzuwenden, die dem Energie-Operator des Lichtes hinzuzuf¨ ugen ist, und die Phonon-Photon-Wechselwirkung beschreibt. Dazu wird die Polaristion P durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren b+ l (p) bzw. bl (p) der Phononen, mit der Energie h ¯ ωl (p) und dem Impuls h ¯ p, ausgedr¨ uckt, und die elektrische Feldst¨ arke E durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren c+ j (q) bzw. cj (q) der Photonen. In dem Ausdruck der Phonon-Photon-Wechselwirkung treten dann Terme der Art c+ j (q)bl (p) und b+ l (p)cj (q) mit hνj (q) = h ¯ ωl (p) (Energiesatz) und h ¯q = h ¯ p (Impulssatz) auf, die die Emission eines Photons bzw. die Absorption eines Photons beschreiben. Hierbei wird die Energie des Photons unmittelbar in die Energie eines Phonons umgewandelt, und der Impulssatz kann nur mit einem optischen Phonon mit p am Γ-Punkt, also bei h ¯ p ≈ 0 erf¨ ullt werden. Außerdem gibt es Terme, die Zweiphononenprozesse mit akustischen Phononen darstellen hνj (q) = h ¯ ωl1 (p1 ) + h ¯ ωl2 (p2 ) mit h ¯q = h ¯ p1 + h ¯ p2 ≈ 0, bei denen die Impulse der beiden Phononen entgegengesetzt gleich sein m¨ ussen. Die Absorption bzw. Emission eines Photons beschreiben dann die Diagramme: hνj (q) hωl1 (p1 ) ¯ hωl1 (p1 ) ¯ hωl2 (p2 ) ¯ hωl2 (p2 ) ¯ hνj (q) b Die optischen Eigenschaften von Halbleitern und Metallen werden haupts¨ achlich durch die ElektronPhoton-Phonon-Kopplung bestimmt. 7.4 Koh¨ arente Zust¨ ande A) Zeitliche Koh¨ arenz Betrachtet man die Emission eines Lichtquantes durch ein Atom, so betr¨ agt eine typische Lebensdauer eines angeregten Zustandes etwa τc = 10−8 s, sodass die L¨ ange des Wellenpaketes lc = cτc = 3 m und 1 = 5 · 107 s−1 die Streuung der Kreisfrequenz aufgrund der Energie-Zeit-Unsch¨ arferelation ∆ω = 2τc 15 −1 betragen (zum Vergleich: bei gr¨ unem Licht der Wellenl¨ange λ = 500nm ist ω = 4·10 s ). Bei gebundenen Atomen sind Koh¨arenzzeit τc und Koh¨arenzl¨ ange lc deutlich kleiner. Teilt man ein Wellenpaket in zwei Strahlen und u ¨ berlagert sie, nachdem sie unterschiedliche Wegstrecken zur¨ uckgelegt haben, so kann man Interferenzerscheinungen nur beobachten, wenn der Wegunterschied nicht gr¨oßer ist als die L¨ ange des Wellenpaketes lc , d.h. wenn zeitliche Koh¨aherenz besteht. B) R¨ aumliche Koh¨ arenz Betrachtet man gew¨ohnliche Lichtquellen, bei denen eine Vielzahl von Atomen unabh¨ angig voneinander emittieren, so weisen die einzelnen Wellenpakete im Detektor keine Phasenkorrelation auf. Allerdings wird bei der Beobachtung von Licht ausgedehnter K¨ orper (z.B. eines Sternes) meist eine r¨ aumliche Koh¨arenz der Phase festgestellt. D d Stern Detektor R R¨ aumliche Koh¨arenz ist gegeben, wenn der Wegunterschied zwischen verschiedenen Stellen der Lichtquelle zu verschiedenen Stellen des Detektors klein ist im Vergleich zur Wellenl¨ange der Strahlung. Sei D der Durchmesser des Strahlers und d der der Eintritts¨ offnung der Messapparatur im Abstand aumliche Koh¨arenz gegeben, falls Dd < λR ist, R, so ist die f¨ ur Interferenzexperimente erforderliche r¨ wobei λ = 2πc/ω die Wellenl¨ange des Lichtes bezeichnet. F¨ uhrt man den Winkel α = D/R ein, unter dem der Strahler vom Beobachter aus erscheint, so ist die r¨ aumliche Koh¨aherenz f¨ ur d < λ/α gegeben, und bei Fl¨achenstrahlern betr¨ agt die Koh¨arenzl¨ ange senkrecht zur Beobachtungsrichtung l⊥ = λ/α und in Beobachtungsrichtung lc = cτc . F¨ ur den hellsten Fixstern Beteigeuze z.B. ist α = 2 · 10−7 und bei Beobachtung mit gr¨ unem Licht der Wellenl¨ange λ = 500 nm ergibt sich l⊥ = 2 m. C) Koh¨ arenter Laserstrahl Bei Experimenten mit monochromatischem Licht hat man es bei gew¨ ohnlichen Lichtquellen in der Regel mit vielen Photonen unterschiedlicher Phasen zu tun, die durch Teilchenzahlzust¨ ande |ni mit n = 0, 1, 2, . . . beschrieben werden, und die inkoh¨ arentes Licht genannt werden. Im Unterschied dazu emittieren Laser monochromatisches und koh¨ arentes Licht, wobei die einzelnen Photonen als ebene  Wellen E = E0 exp i(q · r − ωt + ϕ) am Ort r0 und zur Zeit t0 die gleiche Phase φ = q · r0 − ωt0 + ϕ besitzen. Dies wird im Laser mithilfe zweier Spiegel durch induzierte Emission erreicht, wenn das Medium bis zur Inversion angeregt ist. Der Operator des Vektorpotenzials der Photonen lautet nach Abschn. 7.1 2 X X 1 ˆ =√ A 2 j=1 q s   ¯ h 1 1 uj (q) √ exp {iq · r} cj (q, t) + uj (q) √ exp {−iq · r} c+ j (q, t) 2πενj (q) V V mit den Kreisfrequenzen 2πνj (q), den Polarisationsvektoren uj (q) und den Erzeugungs- und Vernichahlt tungsoperatoren f¨ ur ein Photon c+ j (q, t) bzw. cj (q, t), die nach Abschn. 7.1 durch j und q abgez¨ werden. Zur Beschreibung des Laserlichtes betrachten wir ebene Wellen mit einer festen Kreisfrequenz √ ω und dem Ausbreitungsvektor |q| = ω/v, wobei v = c/ ε die Lichtgeschwindigkeit im Medium bezeichnet, in das das Laserlicht eingestrahlt wird. Wir setzen dann 2πνj (q) = ω ; uj (q) = u ; cj (q, t) = c exp {−iωt} + ; c+ j (q, t) = c exp {iωt} mit zeitunabh¨ angigen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren f¨ ur ein Photon c+ bzw. c. Mit den Photonenzahlzust¨anden |ni gilt dann √ √ c |ni = n + 1 |n + 1i ; c|ni = n |n − 1i ; [c, c+ ] = 1 + und hn|mi = δnm . Der zugeh¨orige Operator des Vektorpotenzials lautet also r   +i 1 h ¯ 1 h ˆ A= √ exp i(q · r − ωt) c + exp − i(q · r − ωt) c u√ εω 2 V und der Operator der elektrischen Feldst¨ arke ist r h   +i h ¯ ω i ˆ ˆ = −A ˙ =√ E u exp i(q · r − ωt) c − exp − i(q · r − ωt) c . 2 εV Die einzelnen Photonen eines n-Photonenzustandes |ni sind nicht korreliert, d.h. haben keine feste Phasenbeziehung untereinander, sodass der Erwartungswert der elektrischen Feldst¨ arke verschwindet ˆ hn|E|ni = 0, denn es gilt hn|c|ni = 0 = hn|c+ |ni. ˆ und der der Photonenzahl n Die Operatoren der elektrischen Feldst¨ arke E ˆ = c+ c sind wegen [ˆ n, c] = [c+ c, c] = −c und [ˆ n, c+ ] = [c+ c, c+ ] = c+ nicht vertauschbar, und daher nicht gleichzeitig scharf messbar. Dazu berechnen wir die Streuung ∆n bei der Messung der Photonenzahl mit dem Erwartungswert hn|ˆ n|ni = n  2 2 n2 − 2nˆ n + n2 1 |ni = 0. ∆n = n (ˆ n − n1 ) n = hn|ˆ Die Streuung ∆E bei der Messung der elektrischen Feldst¨ arke berechnen wir mit der Abk¨ urzung  a = exp i(q · r − ωt) zu  2 2 ˆ 2 |ni ˆ ˆ ∆E = n (E − hn|E|ni) n = hn|E  1¯ 1¯ hω hω ∗ + 2 =− n (ac − a c ) n = hn|aa∗ cc+ + a∗ ac+ c|ni 2 εV 2 εV  hω hω ¯ 1 1¯ + hn|2c c + 1 |ni = n+ . = 2 εV εV 2 Da n streuungsfrei gemessen wird, streuen die Messwerte f¨ ur E. Wir betrachten jetzt koh¨ arentes Laserlicht, wobei die einzelnen ebenen Wellen die gleiche Phase besitzen sollen, und konstruieren einen koh¨ arenten Zustand |αi = D(α)|0i mit α ∈ C und dem Vakuumzustand |0i, und den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren c+ , c, durch den Operator n 1 n 1 o o  +  ∗ 2 2 ∗ + + D(α) = exp αc exp {−α c} exp − |α| ; D (α) = exp −αc exp {α c} exp − |α| . 2 2 F¨ ur nicht vertauschbare Operatoren a, b mit [a, b] = x und [a, x] = 0 = [b, x] berechnet man f¨ ur n = 0, 1, 2, . . . n [a, b ] = nb n−1 x und   a, exp {b} = x exp {b} oder exp {b} a = (a − x) exp {b} , denn es ist ∞ ∞ ∞ ∞ X X X 1 ni X 1 1 n−1 bn−1 n [a, exp {b}] = a, b = [a, b ] = nb x= x = x exp {b} . n! n! n! (n − 1)! n=0 n=0 n=1 n=1 h Durch vollst¨andige Induktion beweist man exp {b} an = (a − x)n exp {b} mit der Folge exp {b} exp {a} = exp {a − x} exp {b} = exp {a} exp {−x} exp {b} = exp {a} exp {b} exp {−x} . Daraus ergibt sich f¨ ur a = −α∗ c, b = −αc+ und x = [a, b] = |α|2 1    + ∗ 2 ∗ + + D(α)D (α) = exp αc exp {−α c} exp −αc exp {α c} exp −|α|   2   + 2 ∗ ∗ + = exp αc exp −αc exp {−α c} exp {α c} exp |α| exp −|α| = 1 . Also ist der Operator D(α) unit¨ ar und der Zustand |αi ist normiert  hα|αi = D(α)|0i D(α) 0 = h0|D+ (α)D(α)|0i = h0|0i = 1. Setzt man nun a = c, b = αc+ mit x = [a, b] = α1 , so erh¨ alt man nach obiger Formel exp {b} a = (a − x) exp {b} ⇒  exp αc Der Zustand |αi schreibt sich somit in der Form  + |αi = D(α)|0i = exp αc ∗ exp {−α c} exp + n  + c = (c − α1 ) exp αc . n 1 o  + 1 2o 2 − |α| |0i = exp αc exp − |α| |0i 2 2 und es folgt   +   + + + exp αc c exp −αc |αi = (c − α1 ) exp αc exp −αc |αi = (c − α1 )|αi n 1 o  +   + + 2 = exp αc c exp −αc exp αc exp − |α| |0i 2 n o  + 1 = exp αc exp − |α|2 c|0i = 0 . 2 Also ist |αi eine Eigenfunktion von c zum Eigenwert α c|αi = α|αi mit hα|c|αi = α und hα|c+ |αi = α∗ oder c+ |αi = α∗ |αi. Damit findet man den Erwartungswert der elektrischen Feldst¨ arke E im Zustand |αi mit α = |α| exp {iϕ} D i r¯ h   + i E h ω ˆ hα|E|αi = α √ u exp i(q · r − ωt) c − exp − i(q · r − ωt) c α εV 2 r   ∗i i hω h ¯ u exp i(q · r − ωt) α − exp − i(q · r − ωt) α =√ 2 εV r h   i i hω ¯ u|α| exp i(q · r − ωt + ϕ) − exp − i(q · r − ωt + ϕ) =√ 2 εV r √ hω ¯ =− 2 u|α| sin{q · r − ωt + ϕ}. εV Der Zustand |αi = ∞ X n=0 |nihn|αi ist eine Linearkombination verschiedener Photonenzahlzust¨ ande, die sich zu einer einzigen ebenen Welle u ¨ berlagern, was als koh¨ arenter Zustand bezeichnet wird, und bei Lasern oberhalb der Anregungsschwelle auftritt. Zur Veranschaulichung der koh¨ arenten Zust¨ ande |αi entwickeln wir sie nach den Basisfunktionen der Photonenzahlzust¨ande |ni, die wir durch Erzeugungsoperatoren c+ und den Vakuumzustand |0i ausdr¨ ucken 1 |ni = √ c+n |0i mit hn|mi = δnm . n! Es ergibt sich wegen exp {−α∗ c} |0i = |0i n 1 o  2 |αi = D(α)|0i = exp − |α| exp αc+ exp {−α∗ c} |0i 2 n 1 o  + 2 = exp − |α| exp αc |0i 2 ∞ ∞ n 1 oX oX n 1 n α αn 2 +n 2 √ |ni. c |0i = exp − |α| = exp − |α| 2 n! 2 n! n=0 n=0 Aus der Reihenentwicklung nach den Photonenzahlzust¨ anden |αi = scheinlichkeit daf¨ ur, im Zustand |αi n Photonen zu finden 2  |α|2n exp − |α|2 Wn (α) = hn|αi = n! mit ∞ X n=0 ∞ X n=0 |nihn|αi ergibt sich die Wahr- Wn (α) = 1. Diese Wahrscheinlichkeit ist eine Poisson-Verteilung Wn (α) = Pn |α| xn Pn (x) = exp {−x} n! 4 ×10 3 ∞ X mit Pn (x) = 1 und n=0 Z
mit ∞ Pn (x) dx = 1. 0 Wn (2) 2 W1 (α) 2 ×10 W5 (α) 2 1 W9 (α) 1 0 0 1 2 3 4 5 6α n 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Die mittlere Photonenzahl im koh¨ arenten Zustand |αi ist hα|ˆ n|αi = 0,1,...∞ X n,m hα|nihn|ˆ n|mihm|αi = 0,1,...∞ X n,m ∞ ∞ X 2 X hα|nimδnm hm|αi = n hα|ni = nWn (α) n=0 ∞ ∞ 2X  X |α|2(n−1) |α|2n 2 = exp − |α| |α| = |α|2 , n = exp − |α| n! (n − 1)! n=1 n=0  2 n=0 und f¨ ur die Streuung bei der Messung der Photonenzahl erh¨ alt man ∆n = |α|: 0,1,...∞ X
2  
2 2 ˆ − |α|2 m hm|αi hα|ni n n ˆ − hα|ˆ n|αi α = ∆n = α n = = = ∞ X n=0 ∞ X n=0 ∞ X n=0 2
2 n − |α|2 hn|αi = n2 Wn (α) − 2|α|2 ∞ X n=0 n,m ∞ X n=0 n − |α|2
2 nWn (α) + |α|4 Wn (α) ∞ X Wn (α) n=0 n2 Wn (α) − |α|4 = |α|2 , denn es ist ∞ X ∞ X  |α|2n 2 n(n − 1) n(n − 1)Wn (α) = exp − |α| n! n=0 n=0 ∞ X  |α|2(n−2) 4 2 = |α| exp − |α| = |α|4 (n − 2)! n=2 = ∞ X n=0 2 n Wn (α) − ∞ X n=0 nWn (α) = ∞ X n=0 n2 Wn (α) − |α|2 .