Theoretische Physik Fürs Lehramt: L2

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Theoretische Physik fu ¨ rs Lehramt: L2 Beatrix C. Hiesmayr Faculty of Physics, University Vienna [email protected] WS 2015 Inhaltsverzeichnis Vorwort: Warum soll sich eine angehende Lehrkraft mit Theoretischer Physik qu¨alen” ? . . . . . ” I Quantenmechanik 6 9 1 Bellsche Ungleichungen oder existiert Einstein’s spukhafte 1.1 Worum gehts? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Herleitung der Bellschen Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Und was sagt die Quantentheorie dazu? . . . . . . . . . . . . 2 Der Wissensstand der klassischen Physik am Ende des bis jetzt verwendet haben 2.1 Begriffe der Physik des diskreten Massenpunktes . . . . . 2.2 Begriffe der Kontinuumsphysik . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Entdeckung des Elektrons: Alles ist teilbar? . . . . . . . . Fernwirkung wirklich? 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 19. Jahrhunderts oder was wir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 16 17 3 Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen? 3.1 Ein Experiment mit polarisiertem Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Polarisiertes Licht quantenmechanisch verstehen . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Unsere ersten quantenmechanischen Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Der Zweikanalanalysator und Projektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Weitere Experimente mit Analysatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Verschiedene Analysatoren und deren Zusammenhang . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Unterschiedliche Projektoren hintereinandergeschaltet . . . . . . . . . . . . 3.4 Allgemeine Apparate bzw. Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Das Observablenaxiom oder wie das Experiment mit der Theorie zusammenh¨angt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 24 27 30 35 37 39 40 4 Zur Idee der Quantenkryptographie: Abh¨ orsicher kommunizieren?! 4.0.1 Kryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.0.2 Klassische Kryptographie-Geheimnisse will niemand beliebig teilen 4.0.3 Das BB84 Protokoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.0.4 Das Ekert Protokoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.0.5 Quantenkryptographie: Eine neue Perspektive? . . . . . . . . . . . 5 Der 5.1 5.2 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 43 44 48 49 49 Spin und die praktischen Pauli–Matrizen Das Stern–Gerlach Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spin 12 Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Bloch–Kugel: Eine anschauliche Darstellung von Zweizustandssystemen 5.3.1 Allgemeine Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 53 55 56 57 3 INHALTSVERZEICHNIS 5.4 5.5 5.6 5.7 5.3.2 Anwendung auf das Zweizustandssystem Messdynamik anhand der Blochkugel . . . . . . Die unit¨ are Dynamik anhand der Blochkugel . Was sind gemischte Zust¨ ande? . . . . . . . . . Was hat der Dichteoperator mit einer Dichte zu . . . . . . . . . . . . tun? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Interferenz: Oder warum unsere klassische Vorstellung versagt 6.1 Doppelspalt Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Wahrscheinlichkeitanalyse eines Doppelspalts . . . . . . . . 6.1.2 Eine informationstheoretische Analyse oder verh¨alt sich das Welle oder Teilchen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Ein Doppelspalt–Experiment f¨ ur Photonen . . . . . . . . . 6.2 Die Entdeckung des Atomkerns und Interferenz . . . . . . . . . . . 6.2.1 Der Sturz des Rosinenkuchenatoms . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Mott Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Ein Kaon – ein zerfallender Doppelspalt – stellt sich vor . . . . . . 6.3.1 Die vielen Seltsamkeiten der neutralen Kaonen . . . . . . . 6.3.2 Die Strangeness Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Warum sehen wir keine Quanteneffekte im Alltag? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantenteilchen jetzt als . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 58 59 61 62 63 63 63 65 68 70 70 73 75 75 78 79 7 Elementare Wellenmechanik 83 7.1 De Broglie Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.2 Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.3 Der mathematische Rahmen f¨ ur die Quantentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.4 Wie sieht die experimentelle Realisierung eines durch eine Wellenfunktion beschriebenen Zustandes aus? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.4.1 Beispiel: Teilchen in Volumen V oder nicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.4.2 Reduktion der Wellenfunktion oder was ist nach der Messung? . . . . . . . . . . . . . 87 7.5 Ein bisschen mehr u ¨ber Multiplikationsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.6 Der Impulsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.7 Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.7.1 Exkurs gaußf¨ ormige Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.7.2 Allgemeine Form der Unsch¨ arferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.7.3 Die Zust¨ ande, die die Unsch¨ arferelation exakt erf¨ ullen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.7.4 Die Existenz der Atome oder die physikalische Interpretation der Unsch¨arferelation . . 95 7.7.5 Weitere Bemerkungen zur Unsch¨arferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8 Die 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 Schr¨ odingergleichung und ihre L¨ osungen Wie “err¨ at” man die Schr¨ odingergleichung? (I) . . . . . . . . . . . . . . Wie “err¨ at” man die Schr¨ odingergleichung? (II) . . . . . . . . . . . . . . Die station¨ are Schr¨ odingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Gebundene Zust¨ ande und Streuzust¨ande . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Die Schr¨ odingergleichung f¨ ur radialsymmetrische Probleme . . . Das Kastenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Stabilit¨ atstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Zeitentwicklung von Bindungszust¨anden . . . . . . . . . . . . . . . . Kann der einfache Harmonische Oszillator als Quantencomputer ben¨ utzt Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.1 Die L¨ osungen f¨ ur Drehimpulseigenwerte l = 0 . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . werden?! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 99 101 102 104 105 106 111 113 118 121 122 123 8.9.2 Drehimpulsentartung beim Coulombpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9 Die Axiome der Quantentheorie zusammengefasst 131 10 Beamen: Was ist das? 135 10.1 Eine Basis aus maximal verschr¨ ankten Zust¨anden: Die Bell Basis . . . . . . . . . . . . . . . . 135 10.2 Das Teleportationsschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 10.3 Beamen im Physikunterricht: Atome oder (Qu)-Bits? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 11 Quantencomputer 11.1 Was funktioniert ein (klassischer) Computer? . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Das Mooresche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Zwei Gr¨ unde, warum diese neue Technologie den Alltag ver¨andern k¨onnte 11.4 Grover Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Shor Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 139 139 140 140 141 12 Einzelne Themen/Begriffe vertieft oder zusammengefasst 143 12.1 Der Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Vorwort: Warum soll sich eine angehende Lehrkraft mit Theoretischer Physik “qu¨alen” ? Der “ klassische” Zyklus, wie er auch an dieser Universit¨at gelesen wird, umfasst die Mechanik, relativistische Mechanik, die Elektrodynamik, die Quantenmechanik und die Thermodynamik bzw. statistische Mechanik. In ihnen werden die Grundgedanken entwickelt, die die Unzahl an Ph¨anomenen, die wir aus Experimenten kennen, beinhaltet, und in ein auf wenigen Prinzipien fußenden Gedankengeb¨aude zusammengefasst. Es bietet das Grundger¨ ust, f¨ ur die Allgemeine Relativit¨atstheorie, die Teilchenphysik, die theoretische Festk¨orperphysik, die mathematische Physik, Quanteninformationstheorie . . . die gegenw¨artige Forschungsgebiete sind! Durch Abstraktion erh¨ alt man einen anderen Einblick in die Naturgesetze, u ¨ber die Entstehung und Dynamik unseres Universums,. . . , aber nat¨ urlich erh¨oht ein besseres Verst¨andnis auch immer die Aussicht auf neue Anwendungen und Fortschritt. Die Mechanik, die Sie in der L1 kennengelernt haben, war das erste Teilgebiet der Physik, in dem ein mathematischer Zugang zu einem weitreichenden Verst¨andnis der beobachteten Ph¨anomene und Vorg¨ange gef¨ uhrt hat. Die im Verlauf der Entwicklung dieses Gebietes eingef¨ uhrten Begriffe und Methoden haben sich von außerordentlich großer Tragweite erwiesen und werden heute in allen u ¨brigen Gebieten der Physik verwendet, mehr noch sie ¨offnet das Tor, mit dem die moderne Physik erst verstanden werden kann. Die Mechanik ist bis heute die exemplarische Disziplin geblieben, an der man die Denkweisen der theoretischen Physik gut ¨ verstehen lernen kann. Die Mechanik befasst sich mit der Bewegung von Gegenst¨anden (K¨orpern). Uber eine Beschreibung der Bewegung gelangt man zu einer Analyse ihrer Ursachen. Das f¨ uhrt zu einer bedeuten¨ den “Verst¨andnis- Okonomie”: eine Vielfalt m¨oglicher Bewegungen kann auf wenige Ursachen zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Sind die Ursachen einer Bewegung bekannt, so kann diese im Prinzip aus Anfangsdaten und mechanischen Charakteristika des bewegten K¨ orpers vorausberechnet werden. Je nach dem Aufbau der untersuchten K¨orper unterscheidet man zwischen der Mechanik von Teilchen bzw. aus solchen aufgebauten Systemen und der Mechanik von Kontinua. Diese Unterscheidung ist sehr alt, hat aber immer noch ihre Bedeutung als N¨aherung. Zwar ist es heute angesichts des Aufbaus jeglicher Materie aus Atomen und deren Bestandteilen klar, dass jeder K¨ orper streng genommen ein Teilchensystem und kein Kontinuum ist, aber wie wir dieses Semester lernen werden, muss man sich vom bisherigen klassischen Teilchenbegriff gr¨oßtm¨oglich entfernen. Die klassische Mechanik wird manchmal auch als “das Paradies des Physikers 1 ” genannt, da hier Klarheit herrscht, da genau festgelegte Ursachen zu genau festgelegten Wirkungen f¨ uhren. Vor der Vertreibung aus dem Paradies haben William Thomson und Lord Kelvin ja noch gemeint, die Physik sei beinahe vollst¨andig ¨ verstanden, nur zwei offene Dinge g¨ abe es noch: der “Ather” des Lichttr¨agers und die W¨armestrahlung. Wie wir wissen haben genau diese Dinge sich zu der Notwendigkeit gef¨ uhrt, unser Weltbild, unser Gedankengeb¨aude ganz NEU zu entwickeln, im Besonderen unsere Vorstellung von Ort, Zeit, Realit¨at oder Objektivit¨at. Warum sollten Quantenph¨anomene im Schulunterricht gebracht werden? Zun¨ achst einmal was versteht man unter Quantenph¨ amomenen? Quantenph¨anomene sind Effekte, die durch Theorien der klassischen Physik nicht erkl¨art werden k¨onnen. Es musste eine neue Theorie gefunden werden, die Quantentheorie, um die neuen Experimente erkl¨aren zu k¨onnen. Es wurde bis heute noch kein einziges Experiment gefunden, dass den Vorhersagen der Quantentheorie widerspricht! Dieses wichtiges Ergebnis sollten Sie immer im Hinterkopf behalten, wenn Sie sich mit den Merkw¨ urdigkeiten und scheinbaren Unm¨ oglichkeiten, in diesem Skriptum, besch¨aftigen. 1 Original Ton: Bernhard Baumgartner INHALTSVERZEICHNIS Das Wort “Quantum” kommt aus dem Lateinisch und bedeutet “wie viel ” und “wie groß ”. Es wird bereits umgangssprachlich verwendet. In der Physik versteht man unter “Quantisieren” etwas in Portionen einteilen. Die erste Quantisierung macht zum Beispiel aus einer Ortsvariable x, die in der klassischen Physik ihre Verwendung findet, einen “Operator”, der in der Quantentheorie mit den Ortseigenschaften von Quantenteilchen in Zusammenhang steht. Es gibt auch eine “zweite Quantisierung”, diese macht aus Feldern Feldoperatoren, die in der Quantenfeldtheorie Verwendung finden und die Wechselwirkung von Materie und Strahlung beschreibt. Typischerweise sagt man, die Quantengesetze gelten im Mikrokosmos, zu dem man u ¨ber dezidierte Experimente, aber nicht u ¨ber Alltagserfahrungen Zugang hat. Im Gegensatz dazu wird der Makrokosmos dadurch ausgezeichnet, dass hier die klassischen Gesetze gelten, die mit der klassischen Physik beschrieben werden, die im Prinzip auf Gesetzen fußen, die dem gesunden Hausverstand in der Regel nicht widersprechen oder mindestens nach einer gewissen Zeit, der man dem Problem hat widmen m¨ ussen, einem einleuchtet. Ganz im Gegensatz zur Quantentheorie, die –obwohl am Formalismus (fast) niemand zweifelt, da er bis jetzt ausnahmslos alle Experimente richtig vorhersagt!!– immer noch heftig bez¨ uglich ihrer Interpretation und Prinzipien diskutiert wird (besuchen sie mal eine einschl¨agige Konferenz in der Quantentheorie!). Hier einige Aussagen, ber¨ uhmter Physiker u ¨ber die Quantentheorie: • “Ich mag sie nicht, und es tut mir leid, dass ich jemals etwas mit ihr zu tun hatte.” (Erwin Schr¨odinger, 1887-1961, Physik-Nobelpreistr¨ ager) • “Wer u ¨ber die Quantentheorie nicht entsetzt ist, der hat sie nicht verstanden.” (Niels Bohr, 1885-1962, Physik-Nobelpreistr¨ ager) uher konnte man in den Zeitungen lesen, es gebe nur zw¨ olf Menschen, die die Relativit¨ atstheorie • “Fr¨ verst¨ unden. Das glaube ich nicht. . . . Nachdem Einstein seine Theorie zu Papier gebracht und ver¨ offentlicht hatte, waren es gewiss mehr als zw¨ olf. Andererseits kann ich mit Sicherheit behaupten, dass keiner die Quantenmechanik versteht.” (Richard Feynman, 1918-88, Physik-Nobelpreistr¨ager) • “Die Entdeckung der Quantenmechanik ist eine der gr¨ oßten Errungenschaften der Menschheit, aber auch eine der am schwersten zu begreifenden selbst f¨ ur jene Wissenschaftler, die u ¨ber Jahrzehnte hinweg tagt¨ aglich mit ihr gearbeitet haben. Sie widerspricht unserer Intuition.”(Murray Gellman (1929-), 1984, Physik-Nobelpreistr¨ ager) Warum soll man sich als zuk¨ unftige Lehrkraft mit der Quantentheorie und ihren Ph¨ anomenen besch¨ aftigen? Beziehungsweise, warum sind Quantenph¨ anomene f¨ ur die Zukunft der Sch¨ ulerInnen wichtig? Zun¨achst einmal k¨ onnen Quantenph¨ anomene mittlerweile nicht mehr aus dem Alltag (Vorg¨ange in der Festk¨orperphysik, Radioaktivit¨ at, Halbleitertechnik, Lasertechnik,. . . ) weggedacht werden, also zuk¨ unftige Techniker werden mit hoher Wahrscheinlichkeit mit Quantenph¨anomen rechnen m¨ ussen. Die Quantenphysik beantwortet so wichtige Fragen wie: Warum leuchten die Sterne? Wie funktionieren mikroelektronische Bauelemente? Warum ist Kupfer ein elektronischer Leiter und Quarzglas ein Isolator? Wieso sind unsere chemischen Elemente in einem periodischen System angeordnet? Aus der neuesten Forschung: Die Orientierungsf¨ahigkeit von europ¨ aischen Rotkehlchen beruht mit u ¨berzeugender Wahrscheinlichkeit auf Verschr¨ankung, einer Eigenschaft die Einstein als spukhafte Fernwirkung (siehe erstes Kapitel) abtat! Da die Quantenphysik auch f¨ ur die Disziplinen Chemie, Biochemie bis hin zur Biologie immer wichtig wird, ist ihr Verst¨ andnis notwendig, um z.B. unsere Lebensfunktionen und Lebensentwicklung verstehen zu k¨onnen. Damit wird die Quantentheorie eine große Anzahl an Sch¨ ulerInnen in ihrem zuk¨ unftigen Berufsleben betreffen. 7 INHALTSVERZEICHNIS Aber auch neue Anwendungen stehen vor der Haust¨ ur, die unsere Kommunikationstechnologien stark beeinflussen k¨onnten: die Quantenkryptographie (abh¨orsicher kommunizieren!) oder ein zuk¨ unftiger Quantencomputer. Daher habe ich diese Themenkomplexe in die Vorlesung integriert. Vor allem die Quantenkryptographie eignet sich gut, die Quantengesetze verstehen zu lernen, auch auf Schulniveau. Nicht zu letzt m¨ ussen wir aufgrund der Erkenntnisse der Quantentheorie (die bis jetzt alle Experimente einwandfrei beschreibt), unser physikalischen Weltbild fundamental ¨ andern, denn wir leben in einer anderen Welt als es uns die Alltagserfahrung lehrt! Sch¨ ulerInnen diese Weltanschauung n¨aherzubringen ist eine Herausforderung, aber -meiner Meinung nach- eine aus vielen Gr¨ unden lohnend. Streng genommen sind alle anderen Theorien, die in der Schule und auf der Uni unterrichtet werden “nicht ganz richtig” bzw. nur “N¨aherungen”, falls man davon ausgeht, dass nur die Quantentheorie und die Relativit¨atstheorie fundamentale Theorien sind. Zum vorliegenden Skriptum: Hierin wird haupts¨achlich das FACH Physik n¨ahergebracht. Zu einige Quantenph¨anomenen wie die “Quantenkryptographie”, “Bellsche Ungleichungen” und “Quantencomputer” gibt es bereits Diplomarbeiten mit m¨ oglichen Unterrichtsumsetzungen. Beispiele f¨ ur Unterrichtsumsetzungen (hier habe von mir betreute Arbeiten; es gibt sicher zahlreiche andere.): • Greindl, Stefan (2011) Quantencomputer in der Schule. Diplomarbeit, Universit¨at Wien. Fakult¨at f¨ ur Physik http://othes.univie.ac.at/14327/ • Knobloch, Heidemarie (2009) Quantenkryptographie in der Schule. Diplomarbeit, Universit¨at Wien. Fakult¨at f¨ ur Physik http://othes.univie.ac.at/14327/ Frau Knobloch hat auch ein Computerspiel zur Quantenkryptographie erarbeitet, erh¨altlich unter: http://homepage.univie.ac.at/heidemarie.knobloch/wordpress/ Was sind die Ziele dieser Vorlesung? Das vorrangige Ziel dieser Vorlesung ist Ihnen die Grundprinzipien der Quantentheorie und den Formalismus der Quantentheorie beizubringen. Da die Quantentheorie nicht intuitiv ist, ist es besonders wichtig, dass Sie den Formalismus der Quantentheorie erlernen, da nur dieser Sie zu den richtigen Schlussfolgerungen unabh¨angig vom Beispiel f¨ uhren kann. Ich habe mich bem¨ uht, beim Zusammenstellen dieser Vorlesung den Schulbezug so oft wie m¨ oglich herzustellen, jedoch m¨ochte ich nochmals betonen, dass nur die Beherrschung des Formalismus Ihnen die Erarbeitung jeder neuen Entwicklung in der Quantentheorie erm¨oglicht (und da sind wir ja hoffnungsvoll, dass sich hier in den n¨achsten Jahren etwas tut)! Damit w¨ unsche ich viel Spass, weil auch das soll Physik sein! Beatrix C. Hiesmayr Wien, September 2015 8