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Thermodynamik Serie 3 A. Sch¨arer, Y. Boetzel, L. Papariello, S. Zeytinoglu, C. Specchia, G. Balduzzi, M. K¨ onz http://www.physik.uzh.ch/lectures/thermo/
FS 2016 Prof. Ph. Jetzer
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14.03.16 21.03.16
1. Carnot-Kreisprozess Der Carnot-Prozess besteht aus zwei adiabatischen und zwei isothermen Zustands¨anderungen. Wir betrachten als Medium das ideale Gas. Der Kreisprozess arbeite zwischen zwei W¨armereservoirs mit Gastemperaturen ϑ1 bzw. ϑ2 (ϑ2 < ϑ1 ). a) Skizziere den Prozess im p-v Diagramm und berechne f¨ ur jeden Abschnitt die vom System nach Aussen geleistete Arbeit ∆a sowie die aufgenommene W¨arme ∆q. Bestimme daraus den Wirkungsgrad η = a/∆qein , wobei a die insgesamt geleistete Arbeit und ∆qein die eingespeiste W¨ arme ist. Hinweis: Benutze pv = RT (resp. pv γ = const.) f¨ ur die isothermen (resp. adiabatischen) Zustands¨ anderungen, wobei v = V /n und γ = cp /cv > 1 gilt. b) Wie w¨ urde ein solcher Prozess f¨ ur einen Einzylindermotor (Kolben) realisiert? Veranschauliche die verschiedenen Abschnitte des Carnot-Prozesses anhand von Skizzen. c) Die Eckpunkte des Carnot-Prozesses (operierend zwischen ϑ1 und ϑ2 ) werden in einem realen Zylindermotor durch weitere, nat¨ urliche Einschr¨ankungen des Systems festgelegt. Finde und diskutiere diese f¨ ur einen Zylindermotor, und bestimme die Position der Eckpunkte.
2. Escher-Wyss-Kreisprozess Der Escher-Wyss-Prozess (bzw. Joule-Prozess) besteht aus zwei adiabatischen und zwei isobaren Zustands¨ anderungen. Wir betrachten als Medium wieder das ideale Gas. Der Kreisprozess beschreibt folgenden Zyklus: 1 → 2 isobare Expansion (T1 , v1 , pA ) → (T2 , v2 , pA ), 2 → 3 adiabatische Expansion (T2 , v2 , pA ) → (T3 , v3 , pB ), 3 → 4 isobare Kompression (T3 , v3 , pB ) → (T4 , v4 , pB ), 4 → 1 adiabatische Kompression (T4 , v4 , pB ) → (T1 , v1 , pA ). a) Bestimme die vom Kreisprozess geleistete Arbeit a als Funktion der Temperaturen Ti an den Eckpunkten und zeige, dass der Wirkungsgrad geschrieben werden kann als η = 1 − T4 /T1 = 1 − T3 /T2 .
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Es seien nun von Aussen, neben den beiden Dr¨ ucken pA und pB , die maximale Temperatur ϑ1 und die minimale Temperatur ϑ2 vorgegeben (T2 = ϑ1 und T4 = ϑ2 ). b) Schreibe die Ausdr¨ ucke f¨ ur η und a als Funktion der von Aussen vorgegebenen Parameter.
Wir betrachten nun den Kreisprozess in Abh¨angigkeit von pB bei fixierten Temperaturen ϑ1 und ϑ2 und festgelegtem H¨ ochstdruck pA . c) Wie gross darf der untere Druck pB maximal sein, pB = pB,max (pA , ϑ1 , ϑ2 ) damit der Kreisprozess noch als Kraftmaschine arbeitet? Bei welchem minimalen Druck pB = pB,min (pA , ϑ1 , ϑ2 ) kann die Maschine noch betrieben werden? Hinweis: Der Kreisprozess arbeitet als Kraftmaschine f¨ ur a ≤ 0. d) F¨ ur welchen Druck pB (mit pB,min ≤ pB ≤ pB,max ) ist der Wirkungsgrad des Kreisprozesses maximal? Wieviel Arbeit leistet die Maschine bei diesem Druck pro Zyklus? e) F¨ ur welchen Druck pB (mit pB,min ≤ pB ≤ pB,max ) ist die von der Maschine pro Zyklus geleistete Arbeit maximal? Wie gross ist der Wirkungsgrad bei diesem Druck? f) Aus d) und e) sehen wir, dass die Arbeitsleistung pro Zyklus f¨ ur maximalen Wirkungsgrad nicht optimal ist, w¨ahrend f¨ ur maximale Arbeitsleistung pro Zyklus der Wirkungsgrad suboptimal ist. Deshalb stellt sich f¨ ur den Konstrukteur einer EscherWyss-Maschine folgende Frage: Welchen Druck pB soll er bei der Konstruktion w¨ahlen, sodass die Maschine aus o ¨konomischer Hinsicht optimiert ist? Hinweis: Nimm an, dass W¨ arme einen Preis von Kq pro Einheitsw¨ armemenge kostet und die Arbeit zu einem Preis von Ka pro Einheitsarbeitsmenge verkauft werden kann (Ka > Kq ).
3. Legendre-Transformation Die Legendre-Transformation der Funktion f (x) ist definiert durch f ∗ (p) := Lf (p) = sup[xp − f (x)]. x
In dieser Aufgabe werden wir zeigen, dass die Legendre-Transformation f¨ ur strikt konvexe Funktionen involutiv ist, d.h. f ∗∗ := (f ∗ )∗ = f . Die Funktion f ist konvex, falls sie folgende Ungleichung erf¨ ullt, f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )
∀λ ∈ [0, 1],
und strikt konvex, wenn Gleichheit nur f¨ ur λ = 0, 1 oder x1 = x2 gilt. a) Wie kann man die Legendre-Transformation geometrisch verstehen? Wie l¨asst sich die urspr¨ ungliche Funktion f (x) aus der Legendre-Transformierten f ∗ (p) geometrisch rekonstruieren? b) Zeige, dass f ∗ (p) konvex ist. Betrachte dazu f ∗ (λp1 + (1 − λ)p2 ). 2
c) Falls f (x) stetig differenzierbar und strikt konvex, zeige, dass f ∗ (p) = x ˜p − f (˜ x), wobei x ˜ u x) festgelegt wird. Die Legendre-Transformation ¨ber die Gleichung p = f 0 (˜ wechselt von x zu p als unabh¨ angige Variable. d) Falls f (x) stetig differenzierbar und strikt konvex ist, zeige, dass f ∗∗ (x) = f (x). Wende dazu die Legendre-Transformation auf f ∗ (p) an. e) Berechne die Legendre-Transformierte f ∗ (p) der Funktion f (x) = αx2 (α ∈ R). f) Berechne die Legendre-Transformierte g ∗ (x, p) der Funktion g(x, y) = αx2 y 3 (α ∈ R).
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