Topologie

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Topologie ¨ 1.Ubung (4.4.2016) 1. Ein topologischer Raum X erf¨ ullt das Trennungsaxiom (T3.5 ), wenn ∀ x ∈ X, A ⊆ X abgeschlossen ∃ f : X → [0, 1] stetig : f (x) = 1, f (a) = 0, a ∈ A. Der Raum X heißt vollst¨ andig regul¨ ar, wenn er (T3.5 ) und (T1 ) ist. Betrachte einen vollst¨ andig regul¨ aren Raum X, und zeige: (a) Die Familie {f : X → [0, 1] : f stetig} ist eine trennende Familie. (b) Der Raum X ist hom¨oomorph zu einem Teilraum eines W¨ urfels [0, 1]I mit einer geeigneten Indexmenge I (Einbettungssatz von Tychonoff). 2. Sei X ein regul¨ arer topologischer Raum (d.h. (T3 ) plus (T1 )) der das 2te-Abz¨ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt (d.h. die Topologie hat eine abz¨ahlbare Basis). Zeige: (a) Sei B eine Basis der Topologie von X, und (O, V ) ∈ B × B mit O ⊆ V . Dann existiert fO,V : X → [0, 1] stetig mit fO,V (O) ⊆ {0} und fO,V (X \V ) ⊆ {1}. Die Familie {fO,V : (O, V ) ∈ B ×B, O ⊆ V } ist eine trennende Familie. ochstens (b) Der Raum X ist hom¨oomorph zu einem Teilraum eines W¨ urfels [0, 1]I mit einer gewissen h¨ abz¨ahlbaren Indexmenge I (Einbettungssatz von Urysohn). (c) Beweise den Metrisierbarkeitssatz von Urysohn mit Hilfe der im letzten Punkt gezeigten Tatsache. 3. Sei (X, U ) ein uniformer Raum, und sei TU die von U induzierte Topologie. F¨ ur U ∈ U und M ⊆ X bezeichne � U (x) = {y ∈ X : ∃ x ∈ M mit (x, y) ∈ U }. U (M ) := x∈M Zeige, dass f¨ ur jede Teilmenge M ⊆ X gilt (der Abschluss versteht sich bzgl. TU ) � M= U (M ). U ∈U 4. Sei X eine Menge und B ⊆ P(X × X). Dann existiert eine Uniformit¨at U auf X sodass B eine Basis von U ist, genau dann wenn B die folgenden Eigenschaften hat: (B1) ∀ U ∈ B : Δ ⊆ U . (B2) ∀ U ∈ B ∃ V ∈ B : V ◦ V ⊆ U . (B3) ∀ U ∈ B ∃ V ∈ B : V −1 ⊆ U . (B4) ∀ U1 , U2 ∈ B ∃ V ∈ B : V ⊆ U1 ∩ U2 . Es existiert eine Uniformit¨at U auf X sodass B eine Subbasis von U ist, genau dann wenn B die Eigenschaften (B1), (B2), (B3) hat. 5. Seien (X, U ) und (Y, V) uniforme R¨ aume, und f : X → Y . Ist f : (X, TU ) → (Y, TV ) stetig und TU kompakt, so ist f : (X, U) → (Y, V) gleichm¨aßig stetig. 6. Sei (X, U ) ein uniformer Raum sodaß TU kompakt ist. Dann ist U gleich die Menge aller Umgebungen der Diagonale Δ ⊆ X × X bzgl. der Produkttopologie TU × TU . Insbesondere existiert auf einem kompakten topologischer Raum h¨ochstens eine uniforme Struktur die die Topologie des Raumes induziert. � ¨ 7. Sei (X, U ) ein uniformer Raum, und bezeichne Δ∗ := U ∈U U . Zeige, dass Δ∗ eine Aquivalenzrelation ∗ auf X ist. Bezeichne π : X → X/Δ die kanonische Projektion. (a) Die Familie U ∗ := {(π × π)(U ) : U ∈ U } ist die (bzgl. der mengentheoretischen Inklusion) gr¨oßte Uniformit¨at auf X/Δ∗ sodaß π gleichm¨aßig stetig ist. Ist (Y, V) ein uniformer Raum und f : X/Δ∗ → Y , so ist f gleichm¨aßig stetig genau dann wenn f ◦ π gleichm¨aßig stetig ist. (b) Ist (Y, V) ein uniformer Raum und f : Y → X, so ist f gleichm¨aßig stetig genau dann wenn π ◦ f gleichm¨aßig stetig ist. (c) Die Topologie TU ∗ is (T1 ). (d) Sei (Y, V) ein uniformer Raum sodaß TV (T1 ) ist, und sei f : (X, U ) → (Y, V) gleichm¨aßig stetig. Dann existiert eine eindeutige Abbildung f ∗ : X/Δ∗ → Y mit X❄ ❄❄ ❄❄ ❄ f ❄❄ � π Y �② ② ② � X/Δ∗ ② f∗ Diese ist gleichm¨aßig stetig. (e) Ist U die von einer pseudo-Metrik d induzierte Uniformit¨at, so ist Δ∗ = {(x, y) : d(x, y) = 0}, und U ∗ wird von der durch Faktorisierung von d erhaltenen Metrik induziert. 8. In der Vorlesung hatten wir auf einer topologischen Gruppe X eine Uniformit¨at definiert, indem wir als Basis die Familie SW := {(x, y) ∈ X × X : xy −1 ∈ W }, W ∈ U (e), verwendet haben. Diese Uniformit¨at bezeichnet man als die rechts-Uniformit¨at Ur der Gruppe. Analog hat man die links-Uniformit¨at Ul auf X indem man als Basis (weise die Basis Eigenschaften nach) die Familie RW := {(x, y) ∈ X × X : y −1 x ∈ W }, W ∈ U (e), verwendet. (a) F¨ ur jedes a ∈ X sind die Translationen Tar : x �→ xa und Tal : x �→ ax Isomorphismen von (X, Ur ) auf (X, Ur ), sowie von (X, Ul ) auf (X, Ul ). (b) Die Inversenbildung I : x �→ x−1 ist ein Isomorphismus von (X, Ur ) auf (X, Ul ), sowie von (X, Ul ) auf (X, Ur ). (c) Beide Uniformit¨aten induzieren die Topologie der Gruppe. 9. Sei TopGr die Kategorie der topologischen Gruppen mit stetigen Homomorphismen als Morphismen, und Unif die Kategorie der uniformen R¨ aume mit gleichm¨aßig stetigen Abbildungen als Morphismen. Sei F : TopGr → Unif definiert auf Objekten als F(�X, ·, .−1 , T �) := �X, U �, �X, ·, .−1 , T � ∈ TopGr, wobei U die in der Vorlesung konstruierte Uniformit¨at der topologischen Gruppe ist, und auf Morphismen als � � Ff := f, f ∈ Hom �X, ·, .−1 , T �, �X � , ·, .−1 , T � � . Ist F ein Funktor ?