Transferência De Calor Industrial

Transcript

1 unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira Departamento de Engenharia Mecânica TRANSFERÊNCIA DE CALOR INDUSTRIAL Prof. Dr. João Batista Campos Silva Ilha Solteira, outubro de 2012 2 _____________________________________________RESUMO Este material foi escrito para servir de apoio aos alunos da disciplina: Transferência de Calor Industrial, do Curso de Engenharia Mecânica da UNESP-Ilha Solteira. Os temas abordados nesta disciplina são: 1) revisão de transferência de calor; 2) geradores de vapor e 3) projeto termo-hidráulico de trocadores de calor caco-tubo. O objetivo da disciplina é dar aos alunos uma visão dos processos de troca de calor que ocorre em escala industrial, além de firmar os conceitos de transferência de calor. 3 SUMÁRIO Transferência de Calor Industrial .......................................................................................... 6  1.1 Conceitos Fundamentais .................................................................................................... 6  1.1.1 Importância de Transferência de Calor (Energia) e Massa ........................................ 6  1.1.2 Conceitos .......................................................................................................................... 7  1.1.2.1. Sistema Físico ............................................................................................................... 7  1.1.2.2 Equilíbrio Termodinâmico .......................................................................................... 8  1.1.2.3 Equilíbrio Termodinâmico Local ................................................................................ 8  1.1.2.4 Meio Contínuo .............................................................................................................. 9  1.1.2.5 Modos Principais de Transferência de Energia ......................................................... 9  1.1.2.6 Objetivos e Convenções .............................................................................................. 10  1.2. Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente .................................... 13  1.2.1 Paredes Planas ............................................................................................................... 13  1.2.1.1 Resistência Térmica.................................................................................................... 14  1.2.1.2 Paredes Compostas ..................................................................................................... 14  1.2.1.3 Coeficiente Global de Transferência de Calor ......................................................... 15  1.2.2 Cascas Cilíndricas ......................................................................................................... 17  1.2.3 Cascas Esféricas ............................................................................................................. 20  1.2.4 Raio Crítico de Isolação ................................................................................................ 22  1.2.5 Superfícies Estendidas (Aletas - Fins) ......................................................................... 24  1.2.5.1 Melhoria da Transferência de Calor ........................................................................ 24  1.2.5.2 Aletas de Seção Transversal Constante .................................................................... 25  1.2.5.3 Aletas de Seção Transversal Variável....................................................................... 32  1.2.5.4 Superfícies Estendidas com Movimento Relativo e Geração Interna de Calor .... 34  1.2.5.4.1 Equação Geral de Condução .................................................................................. 34  1.2.5.4.2 Extrusão de Plásticos e Trefilação ......................................................................... 35  1.2.5.4.3 Cabos Elétricos ........................................................................................................ 36  1.3. Condução de Calor Multidimensional em Regime Permanente ................................. 38  1.3.1 Soluções Analíticas ........................................................................................................ 41  1.3.2 Métodos aproximados ................................................................................................... 49  1.3.2.1 Método integral ........................................................................................................... 49  1.3.2.2 Método de análise de escala ....................................................................................... 50  1.3.2.3 Método gráfico ............................................................................................................ 51  1.3.3 Métodos numéricos ........................................................................................................ 53  1.3.3.1 Volume finito ............................................................................................................... 53  1.3.3.2 Diferença finita ........................................................................................................... 55  1.3.3.3 Elemento finito ............................................................................................................ 57  1.3.4 Resolução das Equações Geradas pelo Método de Diferenças Finitas ..................... 60  1.3.4.1 Método de Inversão de Matriz .................................................................................. 60  1.3.4.2 Método de Iterativo de Gauss-Seidel ........................................................................ 60  1.3.5 Separação de Variáveis em outros sistemas de coordenadas .................................... 61  1.4. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente ................................... 62  1.4.1 O modelo da capacitância concentrada ....................................................................... 62  1.4.2 O modelo do sólido semi-infinito .................................................................................. 64  1.4.2.1 O modelo do sólido semi-infinito: temperatura constante no contorno ................ 65  1.4.2.2 O modelo do sólido semi-infinito: fluxo de calor constante no contorno .............. 67  1.4.2.3 O modelo do sólido semi-infinito: superfície em contato com um fluido .............. 68  1.4.3 Condução unidimensional............................................................................................. 68  1.4.3.1 Placa de espessura constante ..................................................................................... 68  1.4.3.2 Cilindro longo ............................................................................................................. 71  4 1.4.3.3 Esfera ........................................................................................................................... 72  1.4.4 Condução multidimensional transiente ....................................................................... 74  1.4.5 Fontes e sumidouros concentrados .............................................................................. 78  1.4.5.1 Fontes e sumidouros instantâneos ............................................................................. 78  1.4.5.2 Fontes e sumidouros persistentes (contínuos) .......................................................... 80  1.4.5.3 Fontes de calor móveis ............................................................................................... 82  1.4.6 Solidificação e fusão ...................................................................................................... 84  1.4.6.1 Solidificação e fusão unidimensional ........................................................................ 84  1.4.6.2 Solidificação e fusão multidimensional ..................................................................... 87  1.5 Convecção .......................................................................................................................... 90  1.5.1 Coeficiente de Transferência de Calor Convectiva .................................................... 90  1.5.2 Convecção Forçada Externa ......................................................................................... 91  1.5.2.1 Escoamentos Laminares ............................................................................................ 91  1.5.2.1.1 Camada Limite Térmica ......................................................................................... 92  1.5.2.1.2 Camada Limite Térmica Espessa (Parede Isotérmica) ........................................ 94  1.5.2.1.3 Camada Limite Térmica Fina (Parede Isotérmica) ............................................. 95  1.6 Convecção Forçada Interna........................................................................................... 102  1.6.1 Fator de atrito de Fanning e Queda de Pressão........................................................ 102  1.6.2 Entrada Térmica ......................................................................................................... 103  1.6.3 Escoamentos Turbulentos ........................................................................................... 107  1.6.4. Variação da temperatura média de mistura ............................................................ 115  1.6.5 Taxa total de transferência de calor .......................................................................... 115  1.7 Convecção Livre ............................................................................................................. 118  1.7.1 Análise de escala em regime laminar ......................................................................... 118  1.7.2 Parede isotérmica (escoamento laminar) .................................................................. 122  1.7.3 Transição e Efeito de Turbulência sobre a Transferência de calor ........................ 125  1.7.4 Fluxo de Calor Uniforme na Parede .......................................................................... 127  1.7.5 Outras Configurações de Escoamentos Externos ..................................................... 128  1.7.5.1 Reservatório Fluido Estratificado Termicamente ................................................. 128  1.7.5.2 Paredes Inclinadas .................................................................................................... 129  1.7.6 Configurações de Escoamentos Internos ................................................................... 131  1.7.6.1 Canais Verticais ........................................................................................................ 131  1.7.6.2 Cavidades Aquecidas do Lado ................................................................................ 134  1.7.6.3 Cavidades aquecidas por Baixo ............................................................................... 137  1.7.6.4 Cavidades Inclinadas................................................................................................ 137  1.7.6.5 Outras Formas de Cavidades: Espaço Anelar entre Cilindros e Esferas Concêntricas .......................................................................................................................... 138  1.8 Convecção com Mudança de Fase................................................................................. 139  1.8.1 Transferência de Calor na Condensação................................................................... 139  1.8.1.1 Filme Laminar sobre uma Superfície Vertical ...................................................... 139  1.8.1.2 Filme Turbulento sobre uma Superfície Vertical .................................................. 144  1.8.1.3 Filme de Condensação em Outras Configurações ................................................. 146  1.8.1.4 Condensação em gotas por Contato Direto ............................................................ 150  1.8.2 Transferência de Calor na Ebulição .......................................................................... 150  1.8.2.1 Regimes de Ebulição em Vaso Aberto .................................................................... 150  1.8.2.2 Nucleação da Ebulição e Fluxo de Calor de Pico................................................... 152  1.8.2.3 Filme da Ebulição e Mínimo Fluxo de Calor ......................................................... 154  1.8.2.4 Escoamento com Ebulição ....................................................................................... 155  1.9. Radiação ......................................................................................................................... 157  1.9.1 Radiação em corpo negro ........................................................................................... 160  5 1.9.2 Transferência de calor entre superfícies negras ....................................................... 164  1.9.2.1 O Fator de Forma Geométrico ................................................................................ 164  1.9.2.2 Relações entre fatores de forma .............................................................................. 167  1.9.2.3 Cavidade de duas superfícies ................................................................................... 168  1.9.3 Radiação em corpos cinzas ......................................................................................... 169  1.9.3.1 Emissividade ............................................................................................................. 169  1.9.3.2 Absortividade e Refletividade.................................................................................. 171  1.9.3.3 Lei de Kirchhoff ........................................................................................................ 172  1.9.4 Transferência de calor entre superfícies cinzas ........................................................ 173  2. Geradores de Vapor - GV ................................................................................................ 178  2.1. Introdução e Classificação ............................................................................................ 178  2.2 Caldeiras .......................................................................................................................... 178  2.2.1 Caldeiras flamotubulares ou fogotubulares .............................................................. 178  2.2.2 Caldeiras aquatubulares ............................................................................................. 181  2.3 Fornalha .......................................................................................................................... 184  2.4. Superaquecedores .......................................................................................................... 188  2.5. Economizador ................................................................................................................ 190  2.6 Pré-Aquecedores de Ar de Combustão......................................................................... 191  2.7 Sistema de Tiragem ........................................................................................................ 191  2.8. Tratamento de Água de Alimentação .......................................................................... 192  2.9 Perdas num Gerador de Vapor ..................................................................................... 194  2.10. Rendimento de um Gerador de Vapor ...................................................................... 195  2.11 Consumo de Combustível ............................................................................................ 195  3. Trocadores de calor .......................................................................................................... 196  3.1 Classificação de trocadores de calor ............................................................................. 196  3.2 Coeficiente global de transferência de calor ................................................................ 200  3.3 Diferença média logarítmica de temperatura .............................................................. 203  3.4 Efetividade - NTU ........................................................................................................... 208  3.5 Queda de pressão ............................................................................................................ 213  3.6 Trocadores de calor compactos ..................................................................................... 214  3.7 Método de Bell-Delaware ............................................................................................... 214  3.7.1 Coeficiente de Transferência de Calor do lado do Casco. ....................................... 216  3.7.2 Queda de Pressão do Lado do Casco. ........................................................................ 219  Bibliografia ............................................................................................................................ 222  6 Transferência de Calor Industrial 1.1 Conceitos Fundamentais Neste tópico são apresentados conceitos fundamentais; uma breve descrição, importância e alguns exemplos de aplicações de transferência de calor e massa. 1.1.1 Importância de Transferência de Calor (Energia) e Massa A Civilização Moderna depende fortemente de como ela manuseia e usa sua energia, energia esta suprida através de recursos naturais, nem sempre fáceis de serem explorados. O uso de energia pode ser identificado como trabalho, potência e calor, mas na realidade o trabalho e potência que são usados finalmente degeneram em calor. Calor é a troca de energia entre objetos (sistemas) “quentes” e “frios” e a troca ocorre espontaneamente do “quente” para o “frio” (Transferência) de Calor é a ciência que explica e prediz quão rápida ocorre a troca de energia como calor. É a ciência que integra as várias ferramentas analíticas e empíricas provendo um fórum, um corpo de conhecimento, para projetistas, construtores, operadores, gerentes e pesquisadores de forma mais acurada estudar calor como uma troca de energia. A preocupação com energia, sua conservação ou economia pela sociedade requer numa extensão importante a compreensão dos conceitos de transferência de calor e transferência de massa. Alguns casos de aplicação de transferência de calor: - isolamento (por fibra de vidro) de tetos e paredes de edifícios para manter determinadas condições climáticas; - quantificação da perda de energia através de janelas modernas e isoladas para manter o ambiente confortável tanto no inverno quanto no verão; - projeto e operação de geradores de vapor (caldeiras) ou ebulidores requer a compreensão da transferência de calor que ocorre da queima (combustão) de carvão, gás ou óleo para a água nos tubos; - projeto e construção de um radiador (convector) para um motor de automóvel para mantêlo “frio” quando em operação envolve transferência de calor e massa; - dissipação de calor em linhas de potência elétrica devido à resistência elétrica; 7 - proteção de cabos elétricos contra fogo e altas temperaturas; - manutenção de temperaturas adequadas em circuitos de computadores e outros sistemas; - condicionamento de ar para conforto térmico; - processos sanitários, manuseio de lixo, esterilização; - manuseio e processamento de alimentos. Transferência de massa é o estudo do movimento de massa de um local para outro através do uso de dispositivos mecânicos ou naturalmente devido à diferença de densidade. A diferença de densidade provoca difusão (transporte microscópico) de massa (uma espécie penetra em outra) ou convecção natural (transporte macroscópico) de massa. Os dispositivos mecânicos (bombas, ventiladores e compressores) provocam difusão e convecção forçada de massa. Exemplos onde ocorrem transferência de massa: - processos químicos; - poluição do ar; - combustão; - processos criogênicos (baixas temperaturas) tais com produção de N2, H2 e O2 líquidos, gelo seco (CO2 líquido) 1.1.2 Conceitos 1.1.2.1. Sistema Físico Um sistema físico pode ser considerado com sendo constituído de um sistema material (subsistema 1) mais um campo de radiação (subsistema 2). O sistema material, geralmente, considerado como meio contínuo, é composto a nível elementar de moléculas (incluindo íons e átomos), de elétrons e de partículas fictícias tais como fónons (quanta de energia vibracional num sólido), etc. Um meio pode ser considerado como contínuo quando o menor elemento de volume ainda contém de 1015 a 1020 moléculas. Sob determinadas condições físicas, tais elementos podem ser caracterizados estatisticamente por propriedades físicas macroscópicas médias sobre todas as moléculas que eles contém (massa média, velocidade, pressão ou temperatura). O campo de radiação eletromagnética é caracterizado em escala macroscópica pela definição em cada ponto r do espaço e para cada direção Δ de uma quantidade Iν′ , a intensidade monocromática relacionada com a freqüência ν . O campo de radiação resulta da 8 distribuição de fótons (quanta de energia particular de Bose-Einstein que em repouso possuem massa nula) cada caracterizado pela freqüência ν , momentum p e spin s. Um quanta tem energia e = hν , onde h = 6, 6256 x10−34 Js é a constante de Planck. 1.1.2.2 Equilíbrio Termodinâmico Em termodinâmica, o conceito de equilíbrio termodinâmico perfeito envolve equilíbrio térmico (T uniforme), equilíbrio mecânico (p uniforme) e equilíbrio químico (potencial químico μ uniforme) e é utilizado para equacionamento dos problemas. O equilíbrio térmico significa que o sistema material é isotérmico a temperatura T; o campo de radiação tem uma distribuição uniforme dependente apenas de T; o campo de radiação e sistema material estão na mesma temperatura. Entretanto, para ocorrer transferência de calor, os sistemas devem estar em não equilíbrio térmico. 1.1.2.3 Equilíbrio Termodinâmico Local O não equilíbrio térmico causa a transferência de calor devido colisões entre moléculas ou entre moléculas e uma parede; interações moléculas/fótons (absorção, emissão espontânea, emissão estimulada); interações entre fónons, entre fónons e elétrons, elétrons e fótons, outras interações. Como as leis da termodinâmica são utilizadas para equacionar problemas de transferência, tem-se que lançar mão do conceito de equilíbrio termodinâmico local (LTE). A hipótese de equilíbrio termodinâmico local permite definir variáveis físicas T ( r , t ), p ( r , t ), μ ( r , t ) , etc. em qualquer instante de tempo e para cada ponto r . Sob esta hipótese, pode-se assumir que durante um intervalo dt e em um elemento de volume arbitrariamente pequeno (mas macroscópico, contínuo) o sistema material está localmente infinitamente próximo a um estado de equilíbrio, descrito por propriedades intensivas e extensivas. Em LTE adotado para estudo de problemas de transferência de calor o sistema físico é o local dos seguintes processos macroscópicos irreversíveis com os quais um fluxo está associado: - relativo a um elemento de matéria, o efeito cumulativo em escala macroscópica do transporte de várias quantidades físicas (carga elétrica, no de um dado tipo, energia) por 9 partículas (moléculas, elétrons, fónons, etc.) traduz para fluxos por difusão: condução elétrica, difusão de uma espécie em outra, condução térmica; - simultaneamente associado com cada transferência macroscópica por um movimento global de parte do sistema material estão associados fluxos macroscópicos de carga elétrica, energia, etc. Estes são chamados fenômenos convectivos: convecção elétrica, convecção térmica, etc.; - interações entre moléculas do sistema material e os fótons do campo de radiação, quando eles não estão em equilíbrio térmico resulta num fluxo macroscópico de energia na forma de radiação. 1.1.2.4 Meio Contínuo Em teoria cinética dos gases o conceito de meio contínuo é apresentado através da seguinte definição de temperatura: 3 Nk B T = 2 N ∑ s =1 mv s2 2 (1.1.1) na qual N é o no de átomos idênticos de massa m cada em equilíbrio térmico num elemento de volume dV ( N ≈ 1015 − 10 20 ) o meio é considerado contínuo; k B = 1,38054 x10 −23 J / K é a constante de Boltzmann e v s é velocidade de um átomo em relação a dV. 1.1.2.5 Modos Principais de Transferência de Energia Os modos principais de transferência de energia na forma de calor são condução, convecção e radiação. A condução térmica ocorre através de um elemento material no qual existe um gradiente de temperatura. Ela representa o efeito global do transporte de energia por portadores elementares (moléculas, fónons, elétrons, etc.). Em fluidos os portadores elementares (moléculas, átomos, íons, etc.) são caracterizados por energia de translação, possivelmente vibração e rotação, energia eletrônica. 10 Em sólidos os átomos são arranjados em uma estrutura cristalina mais ou menos perfeita. Os vetores de energia são fónons (quanta de vibração da estrutura cristalina) e talvez elétrons livres (condução elétrica e térmica). Em radiação, energia é permanentemente trocada entre um sistema material e um campo de radiação pelos seguintes processos: - emissão espontânea de radiação que consiste na conversão de energia térmica (energia de vibração ou rotação, energia eletrônica, energia de fónons, etc. para uma energia radiativa (de fótons); - absorção de radiação pela conversão inversa de energia radiativa para energia térmica. Sob o ponto de vista de radiação, pode-se definir três tipos de meio, Figura 1.1.1: - meio transparente como aquele que não emite, não absorve, não reflete ou difunde, mas transmite toda radiação incidente qualquer que seja sua direção e freqüência; - meio opaco que não transmite qualquer radiação incidente (Ii) que pode ser absorvida (Ia) ou refletida (Ir). O meio opaco também pode emitir a radiação (Ie); - meio semitransparente que reflete, absorve ou difunde a radiação incidente, ou a transmite em distâncias finitas. Figura 1.1.1 Radiação em meios transparente e opaco 1.1.2.6 Objetivos e Convenções O objetivo principal é determinar para qualquer sistema em LTE, a evolução do campo de temperatura T (r , t ) e o fluxo de energia (para todas as formas de energia) que é necessário 11 para controlar o processo. Um processo será em regime transiente (RT) se as quantidades físicas A (escalares, vetores, tensores) dependem do tempo, isto é, ∂A(r , t ) ≠0 ∂t (1.1.2) Para processos em regime permanente (RP), não há variação das grandezas físicas com o tempo. Ou seja, ∂A( r , t ) =0 ∂t (1.1.3) Define-se fluxo de energia como a potência dΦ (em Watts) atravessando um elemento de superfície dS , cuja normal é n e cujo vetor densidade de fluxo é q [W/m2], Figura 1.1.2. Numericamente, dΦ = q • n dS . (1.1.4) Define-se a densidade de fluxo [W/m2] como q ′′ = q • n . (1.1.5) . (1.1.6) ou q ′′ = dΦ dS 12 Figura 1.1.2 Vetor densidade de fluxo através de um elemento dS com normal n . Nos processos de condução térmica, define-se o vetor densidade de fluxo condutivo, pela Lei de Fourier, como q cd = − k∇T , (1.1.7) na qual k é denominada condutividade térmica do material que pode depender da temperatura e da direção espacial (caso em que k é um tensor e q cd = − k • ∇T ). O sinal negativo na Lei de Fourier é requerido pela 2a Lei da Termodinâmica. O fluxo condutivo pode, então, ser calculado na forma q ′′ = q cd • n = − k∇T • n = − k ∂T ∂n , (1.1.8) para q ′′ no sentido da normal ao contorno. Compare a Lei de Fourier com as leis de Ohm e Fick. A Lei de Ohm estabelece que o vetor densidade de corrente j é dado na forma: j = σE = −σ∇Vel , (1.1.9) na qual E é o campo elétrico, σ é a condutividade elétrica e Vel é o potencial elétrico. Já a Lei de Fick de difusão de massa, estabelece que a taxa de difusão jα de uma espécie α numa espécie β é definida pela equação jα = − Dαβ ∇Cα , (1.1.10) na qual Dαβ é a difusividade de α em β e Cα é a concentração molar definida por Cα = ρ nα M n , onde ρ é a massa específica da mistura e M é o peso molecular da mistura. (1.1.11) 13 1.2. Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente A equação da condução de calor nos casos mais genéricos pode ser encontrada em livros textos de transferência de calor. No caso unidimensional em regime permanente, há fluxo de calor predominante em uma dada direção, independente do tempo. 1.2.1 Paredes Planas Considere o caso de uma parede plana de espessura L ao longo do eixo x, e infinita em y e z, com temperaturas especificadas, T0 em x = 0 e TL em x = L, Figura 1.2.1. Suponha que o material da parede seja isotrópico e homogêneo e que não há geração interna de energia na parede. Com as hipóteses consideradas, este problema é governado pelo conjunto de equações: d 2T =0 dx 2 (1.2.1) T = T0 em x = 0 (1.2.2) T = TL em x = L (1.2.3) Figura 1.2.1 Condução através de uma parede plana. Resistência térmica. A solução da Eq. (1.2.1) é obtida integrando-se duas vezes a Eq. (1.2.1), obtendo-se o resultado: T = c1 x + c2 . As constantes de integração podem ser obtidas usando as Eqs. (1.2.2) e (1.2.3), cujo resultado final é uma variação linear da temperatura com x na forma: T = T0 + (TL − T0 ) x L (1.2.4) 14 A partir da Eq. (1.2.4) obtém-se que o gradiente de temperatura ao longo da parede é independente de x , devido à variação linear da temperatura, dT / dx = (TL − T0 ) / L , e, portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser calculado como dT k = (T0 − TL ) dx L q′′ = − k (1.2.5) A taxa de calor atravessando a fronteira é obtida multiplicando o fluxo de calor pela área da superfície A , assim, q = q′′A = kA (To − TL ) L (1.2.6) 1.2.1.1 Resistência Térmica O inverso de kA / L é denominado de resistência térmica da camada e, portanto, define-se: Rt = L kA (1.2.7) Combinado as Eqs. (1.2.7) e (1.2.6) resulta q= To − TL Rt (1.2.8) Observe que a taxa de calor como calculada pela Eq. (1.2.8) é completamente análoga à corrente elétrica que atravessa um circuito com uma única resistência em que há uma diferença de potencial elétrico. A resistência térmica é ilustrada na Figura 1.2.1 1.2.1.2 Paredes Compostas Se a parede for constituída de várias camadas de espessura Li e condutividade térmica ki , a resistência térmica de cada camada será Rt ,i = Li ki A (1.2.9) A resistência térmica total será a associação em série das resistências individuais, ou seja, Rt = ∑ i Li ki A (1.2.10) 15 Como exemplo, considere o caso de uma parede composta de três camadas de materiais isotrópicos homogêneos, como ilustrado na Figura 1.2.2. Neste caso, a taxa de calor pode ser calculada como q= To − TL L1 / k1 A + L2 / k2 A + L3 / k3 A (1.2.11) Figura 1.2.2 Parede composta e sua resistência térmica. 1.2.1.3 Coeficiente Global de Transferência de Calor No caso de trocadores de calor, por exemplo, geralmente, a parede separa dois campos de escoamento, com um fluido “quente” em uma das faces da parede e outro fluido “frio” na outra face; Figura 1.2.3. A transferência de calor do fluido quente para a parede e da parede para o fluido frio pode ser estimada através do coeficiente de transferência convectiva definido no capítulo 1. Suponha que do lado do fluido quente a temperatura seja Th com um coeficiente hh caracterizando a troca de calor do fluido para a parede, e do lado frio a temperatura seja Tc com um coeficiente hc caracterizando a troca de calor da parede para o fluido. Neste caso, têm-se as seguintes equações: Th − T0 = q′′ hh (1.2.12) T0 − TL = L q′′ k (1.2.13) TL − Tc = q′′ hc (1.2.14) 16 Figura 1.2.3 parede banhada por fluidos em suas faces. Coeficiente global de troca de calor. Somando as Eqs. (1.2.12) – (1.2.14) obtém-se ⎛1 L 1 Th − Tc = ⎜ + + ⎝ hh k hc ⎞ ⎟ q′′ ⎠ (1.2.15) Numa forma mais compacta a Eq. (1.2.15) pode ser reescrita como Th − Tc = q′′ U (1.2.16a) Ou na forma q′′ = U (Th − Tc ) (1.2.16b) Na qual o coeficiente global de transferência de calor é definido por 1 1 L 1 = + + U hh k hc (1.2.17) Exercício 1.2.1: A parede de um incubador de ovos é composta por uma camada de fibra de vidro de 8 cm entre duas camadas de fórmica de 1 cm cada uma. Do lado de fora a temperatura é Tc = 10o C e o coeficiente de troca de calor do lado externo do incubador é hc = 5W / m 2 K . Do lado interno, a temperatura é Th = 40o C e devido um ventilador forçar o ar internamente sobre os ovos, o coeficiente de troca convectiva é hh = 20 W / m 2 K . Calcule o fluxo de calor através da parede do incubador. 17 1.2.2 Cascas Cilíndricas Muitos trocadores de calor são constituídos por cascas cilíndricas, como no caso do trocador de calor conhecido como casco-tubo. Nestes casos, o fluxo de calor não se conserva como ocorre na parede plana, visto que o gradiente de temperatura depende da posição radial. Entretanto, a taxa de calor que atravessa a casca deve se conservar pela primeira lei da termodinâmica. Considere uma casca cilíndrica de comprimento l ; de raio interno ri e cuja superfície interna esteja a Ti . O raio externo é ro e a temperatura da superfície externa é To . O fluxo de calor do lado interno é qi′′ e do lado externo será qo′′ ; Figura 1.2.4. Figura 1.3.4 Condução radial numa casca cilíndrica. A taxa de calor pode ser calculada se for determinado o fluxo de calor do lado interno, por exemplo. Esta taxa pode ser estimada como q = ( 2π rli ) qi′′ (1.2.18) O fluxo de calor na direção radial pode ser obtido na forma: ⎛ dT ⎞ qi′′ = − k ⎜ ⎟ ⎝ dr ⎠ r = ri (1.2.19) O que obriga a determinação do campo de temperatura através da casca. A equação governante para este problema em regime permanente, sem geração interna na parede e simetria da temperatura é 1 d ⎛ dT ⎜r r dr ⎝ dr ⎞ ⎟=0 ⎠ (1.2.20) 18 sujeita às condições de contorno T = Ti em r = ri (1.2.21) T = To em r = ro (1.2.22) e A seqüência de solução é obtida integrando duas vezes a eq. (1.2.20): d ⎛ dT ⎜r dr ⎝ dr r ⎞ ⎟=0 ⎠ (1.2.23) dT = C1 dr (1.2.24) dT C1 = dr r (1.2.25) T = C1 ln ( r ) + C2 (1.2.26) A Eq. (1.2.26) deve satisfazer as duas condições de contorno (1.2.21) e (1.2.22), o que leva aos resultados: Ti = C1 ln ( ri ) + C2 (1.2.27) To = C1 ln ( ro ) + C2 (1.2.28) Após a eliminação de C2 das Eqs. (1.2.27) e (1.2.28) obtém-se C1 = Ti − To ln ( ri / ro ) (1.2.29) Finalmente, subtraindo (1.2.27) de (1.2.26) resulta ⎛r⎞ T − Ti = C1 ln ⎜ ⎟ ⎝ ri ⎠ (1.2.30) e pelo uso de (1.3.29) obtém-se T = Ti − (Ti − To ) ln ( r / ri ) (1.2.31) ln ( ro / ri ) O gradiente de temperatura pode ser obtido como dT 1 Ti − To = . Combinando as dr r ln ( ri / ro ) equações (1.2.18) e (1.2.19) obtém-se a taxa de calor na forma q= 2π kl (Ti − T0 ) ln ( ro / ri ) Pode-se concluir que a resistência térmica da casca cilíndrica é (1.2.32) 19 Rt = ln ( ro / ri ) (1.2.33) 2π kl Pela conservação da taxa de calor pode-se mostrar que q = ( 2π rli ) qi′′ = ( 2π rl ) q′′ (1.2.34) E, portanto, o fluxo de calor em qualquer raio será q′′ = ri qi′′ r (1.2.35) No caso de uma casca composta, por exemplo, de três camadas; Figura 1.2.5, cujos raios das interfaces sejam r1 e r2 respectivamente com r0 > r2 > r1 > ri , e as temperaturas do fluido interno seja Th com hi e do lado seja Tc com ho ; a taxa de calor pode ser calculada como q = U i Ai (Th − Tc ) = U o Ao (Th − Tc ) = Th − Tc Rt (1.2.36) Na qual a resistência térmica pode ser calculada como Rt = ln ( r1 / ri ) ln ( r2 / r1 ) ln ( ro / r2 ) 1 1 + + + + hi Ai 2π k1l 2π k2l 2π k3l ho Ao (1.2.37a) Figura 1.2.5 Casca cilíndrica composta com transferência convectiva em ambos os lados. Pela combinação das Eqs. (1.2.36) e (1.2.37) pode-se demonstrar que 20 1 1 r ln ( r1 / ri ) ri ln ( r2 / r1 ) ri ln ( ro / r2 ) 1 ri = + i + + + U i hi k1 k2 k3 ho ro (1.2.37b) 1 1 ro ro ln ( r1 / ri ) ro ln ( r2 / r1 ) ro ln ( ro / r2 ) 1 = + + + + U o hi ri k1 k2 k3 ho (1.2.37c) As áreas das superfícies interna e externa da casca são definidas por Ai = 2π rli ; Ao = 2π rol (1.2.38) 1.2.3 Cascas Esféricas A geometria esférica, Figura 1.2.6, pode ser analisada de maneira similar, por notar que quando a temperatura das superfícies interna e externa são isotérmicas (Ti ,To ) , a temperatura dentro da casca pode variar apenas radialmente. Neste caso a equação que rege o problema, com todas as hipóteses simplificadoras consideradas, como no caso do cilindro, fica na forma: 1 d ⎛ 2 dT ⎜r r 2 dr ⎝ dr ⎞ ⎟=0 ⎠ (1.2.39) sujeita às condições de contorno T = Ti em r = ri (1.2.40) T = To em r = ro (1.2.41) e Figura 1.2.6 Condução radial através de uma casca esférica. 21 Multiplicando a Eq. (1.2.39) por r 2 dr e integrando uma vez resulta r2 dT dT C1 = C1 ou = dr dr r 2 (1.2.42) Agora, multiplicando a Eq. (1.2.42) por dr e integrando mais uma vez obtém-se T =− C1 + C2 r (1.2.43) As restrições das condições de contorno levam ao sistema Ti = − C1 + C2 ri (1.2.44) To = − C1 + C2 ro (1.2.45) A eliminação de C2 das Eqs. (1.2.44) de (1.2.45) leva ao valor de C1 na forma C1 = ri ro (Ti − To ) (1.2.46) ri − ro Subtraindo a eq. (1.2.44)de (1.2.43) e pelo uso de (1.2.46) obtém-se T − Ti = (Ti − To ) ro ⎛ r − ri ⎞ ⎜ ⎟ r ⎝ ri − ro ⎠ (1.2.47) da qual se obtém o gradiente de temperatura e o fluxo de calor qi′′ definidos respectivamente por dT ri ro (Ti − To ) = 2 dr r ri − ro (1.2.48) ro Ti − To ⎛ dT ⎞ qi′′ = − k ⎜ ⎟ =k ri ro − ri ⎝ dr ⎠ r = ri (1.2.49) A taxa de calor pode ser obtida multiplicando o fluxo pela área de troca, no caso de uma esfera, Ai = 4π ri 2 , resultando q = 4π kro ri Ti − To ro − ri (1.2.50) Pela observação da Eq. (1.2.50) pode-se concluir que a resistência térmica da casca esférica é Rt = 1 ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ 4π k ⎝ ri ro ⎠ (1.2.51) No caso de uma casca esférica composta de duas camadas, por exemplo, com convecção interna e externa, a resistência térmica total será 22 1 1 ⎛1 1⎞ 1 ⎛1 1⎞ 1 + ⎜ − ⎟+ ⎜ − ⎟ hi Ai 4π k1 ⎝ ri r1 ⎠ 4π k2 ⎝ r1 ro ⎠ ho Ao Rt = (1.2.52) 1.2.4 Raio Crítico de Isolação Uma aplicação do conceito de resistência térmica é determinação de espessura anular que deve ser aplicada sobre a superfície externa de uma parede cilíndrica de temperatura conhecida Ti . A função da camada isolante colocada entre o raio ri e ro é reduzir a taxa total de transferência de calor entre o corpo interno e o fluido ambiente a T∞ e coeficiente h de troca convectiva. A Figura 1.2.7, no alto à direita, ilustra a camada de isolante térmico. A taxa total de transferência de calor varia inversamente com a resistência térmica, porque q = (Ti − T∞ ) / Rt . A resistência térmica neste caso pode ser calculada como Rt = ln ( ro / ri ) 2π kl + 1 h ( 2π ro l ) (1.2.53) Para h e k constantes, Rt será uma função do raio externo ro . E quando a resistência térmica alcançar um mínimo a taxa de calor atingirá um máximo. Derivando Rt da Eq. (1.2.53) em relação a ro resulta ∂Rt / ∂ro = 1 / 2π klro − 1 / 2π lhro2 . Para se obter o ponto de mínimo ou máximo faz-se ∂Rt / ∂ro = 0 o que leva ao resultado do raio crítico de isolamento ro ,c = k h (1.2.54) A resistência mínima será, portanto, Rt ,min = ln ( k / hri ) + 1 2π kl (1.2.55) Algumas conclusões que se pode tirar do conceito de raio critico de isolação é que, quando, o cilindro for espesso, de tal forma que ri > ro ,c ou k < 1; hri (1.2.56) a adição de uma camada de material isolante sempre se traduz em aumento de Rt e, portanto redução de q como desejado. No caso oposto, quando, ri < ro ,c ou k > 1; hri (1.2.57) 23 o enrolamento de uma primeira camada isolante reduzirá a resistência térmica. O efeito inicial será um aumento da transferência de calor. Apenas quando material suficiente tenha sido adicionado de modo que ro exceda ro,c , a espessura de isolamento aumentará o valor de Rt e redução de q . No caso de isolação de um objeto esférico de raio ri , o raio critico de isolação será estimado pela relação: ro ,c = 2 k h (1.2.58) Figura 1.2.7 Efeito do raio externo sobre a resistência térmica global de uma camada cilíndrica isolante. Exercício 1.2.2: Um fio isolado suspenso no ar gera aquecimento pelo efeito Joule à taxa de q′ = 1W / m . O fio cilíndrico de raio ri = 0 ,5 mm está 30 oC acima da temperatura ambiente. É proposto encapar fio com plástico de isolamento elétrico, cujo raio externo será ro = 1 mm . A condutividade térmica do material plástico k = 0 ,35W / mK . O plástico isolante aumentará o contato térmico entre fio e ambiente, ou promoverá efeito de isolamento térmico? Para verificar a resposta calcule a diferença de temperatura entre o fio e ambiente quando o fio estiver encapado pelo plástico. 24 1.2.5 Superfícies Estendidas (Aletas - Fins) No projeto de trocadores de calor, muitas vezes se torna necessário melhorar a eficiência do processo de troca, bem como aumentar a troca de calor. Uma das maneiras de conseguir tal objetivo é aumentar a área superficial do trocador. Devido a limitações de tamanho, por exemplo, uma maneira de aumentar a superfície de troca é pelo uso de aletas que são superfícies estendidas a partir de uma área base. As aletas têm as mais variadas formas e serão analisadas neste item. Aletas retangulares são ilustradas na Figura 1.2.8. Figura 1.2.8 Aumento da troca de calor na área coberta por aletas. 1.2.5.1 Melhoria da Transferência de Calor A proposta de melhoria ou aumento de transferência de calor entre uma superfície sólida e o fluido que a banha é comum em proposições de projetos de térmicos. Para entender como uma aleta funciona, considera-se, inicialmente, uma superfície plana d(sem aletas) de área A0 banhada por um fluido com coeficiente de troca h. A temperatura da superfície é Tb e temperatura do fluido é T∞ . Assim a taxa de calor através da superfície pode ser calculada por q0 = hA0 (Tb − T∞ ) (1.2.59) O fluxo de calor na superfície sem aletas (unfinned – u) suposto uniforme em toda área é definido como q0 / A0 . A taxa de calor na superfície aletada (finned) é definida por q . O objetivo é ter uma superfície aletada de forma que q > q0 . Isto poder alcançado com aletas que tenham boa condutividade térmica, de tal forma que a temperatura da superfície da aleta 25 seja comparável à temperatura da base Tb . Uma maneira de medir a melhoria da troca de calor é através da definição de efetividade global da área projetada da aleta como ε0 = q q = q0 hA0 (Tb − T∞ ) (1.2.60) No caso da superfície aletada a área A0 será a soma das áreas sem aletas mais a projeção das áreas da aletas na base. Designando a área sem aletas por A0,u e a área projetada da aleta por A0, f ; então, tem-se A0 = A0 , f + A0 ,u (1.2.61) A taxa de calor para a superfície aletada será estimada como q = qb′′A0 , f + hA0 ,u (Tb − T∞ ) (1.2.62) na qual qb′′ é o fluxo de calor médio através da base de um aleta e será o foco de cálculo. 1.2.5.2 Aletas de Seção Transversal Constante O caso mais simples é o de aletas de seção transversal constante; Figura 1.2.9. Num modelo de condução longitudinal o fluxo de calor na base da aleta pode ser calculado como ⎛ dT ⎞ qb′′ = −k ⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠ x =0 (1.2.63) Portanto, o cálculo do fluxo de calor requer a determinação da distribuição de temperatura T ( x ) na aleta. Considere um elemento de volume de aleta de área superficial pΔx . Um balanço de energia neste volume leva a equação q′′x Ac − q′′x +Δx Ac − ( pΔx ) h (T − T∞ ) = 0 (1.2.64) 26 Figura 1.2.9 Condução longitudinal através de uma aleta de seção transversal constante. O fluxo de calor em x + Δx pode ser expresso como q′′x +Δx = q′′x + dq′′x Δx + dx que substituído em (1.2.64) leva à equação − dq′′x ΔxAc − ( pΔx ) h (T − T∞ ) = 0 dx (1.2.65) Usando a Lei de Fourier para expressar q′′x em função da temperatura resulta d 2T kAc 2 − hp (T − T∞ ) = 0 dx (1.2.66) A Eq. (1.2.66) expressa o balanço entre o calor que é conduzido e chega à posição x e o que sai por convecção através da superfície da aleta. A Eq. (1.2.66) é uma EDO de segunda ordem e requer, portanto duas condições de contorno para sua solução. Aletas Longas. Considere, primeiro, o caso de aleta longa, de forma que na sua ponta tem –se a seguinte condição de contorno: T → T∞ quando x → ∞ (1.2.67) A outra condição de contorno é obtida da hipótese de que sua raiz está na mesma temperatura da parede base, ou seja, T = Tb em x = 0 (1.2.68) 27 Definido o excesso de temperatura como θ ( x ) = T ( x ) − T∞ (1.2.69) a Eq. (2.94) pode ser reescrita como d 2θ − m 2θ = 0 2 dx (1.2.70) sujeita às condições de contorno θ = θb em x = 0 ( θb = Tb − T∞ ) (1.2.71) θ → 0 quando x → ∞ (1.2.72) m é um parâmetro crucial do arranjo aleta-fluido, definido como 1/ 2 ⎛ hp ⎞ m=⎜ ⎟ ⎝ kAc ⎠ (1.2.73) A solução Eq. (1.2.70) é do tipo θ ( x ) = c1 exp ( −mx ) + c2 exp ( mx ) (1.2.74) O uso das condições de contorno leva aos valores das constantes c1 e c2 : c2 = 0 c1 = θb (1.2.75) A distribuição de temperatura ao longo da aleta será, portanto, expressa como θ ( x ) = θb exp ( −mx ) (1.2.76) A temperatura decai exponencialmente da base para a ponta. Da mesma forma o fluxo convectivo h (T − T∞ ) = hθ decai exponencialmente. Uma aleta é considera longa quando a seguinte restrição é satisfeita mL 1 (1.2.77) A taxa de calor na base da aleta pode ser calculada como qb = qb′′Ac = θ b ( kAc hp ) 1/ 2 (1.2.78) que mostra como os parâmetros físicos afetam a troca de calor. Aleta de Comprimento Finito com a Ponta Isolada. Muitos projetos não satisfazem o critério de aleta longa; portanto, a aleta deve ser considerada de comprimento finito. Neste caso, como a temperatura da ponta da aleta é diferente da temperatura ambiente, a taxa de calor na ponta da aleta será qtip = hAc ⎡⎣T ( L ) − T∞ ⎤⎦ (1.2.79) 28 Um passo intermediário antes deste caso mais geral é considerar a aleta com a ponta isolada, caso em que se tem dT dθ = 0 ou = 0 em x = L dx dx (1.2.80) Este caso limite é uma boa aproximação para o caso qb > qtip (1.2.81) A solução geral para este caso tem a forma: θ ( x ) = c1* senh ( mx ) + c*2 cosh ( mx ) (1.2.82) As condições de contorno (1.2.71) e (1.2.80) levam aos valores das constantes c*2 = θ b e c1* = −θb tanh ( mL ) (1.2.83) Este caso é ilustrado na Figura 1.2.10. A forma final da solução, após algumas manipulações, é: θ = θb cosh ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦ (1.2.84) cosh ( mL ) Figura 1.2.10 Aleta com a ponta isolada (lado esquerdo) versus aleta com transferência de calor na ponta ((lado direito) A temperatura na ponta das aleta será θ ( L) = θb cosh ( mL ) A taxa de calor através da base da aleta será (1.2.85) 29 ⎛ dT ⎞ qb = Ac ⎜ − k ⎟ dx ⎠ x =0 ⎝ = θb ( kAc hp ) 1/ 2 (1.2.86) tanh ( mL ) Pode-se demonstrar que o caso de aleta com a ponta isolada é satisfeito quando 1/ 2 ⎛ hAc ⎞ 1 = ⎜ ⎟ qb senh ( mL ) ⎝ kp ⎠ qtip << 1 (1.2.87) Efeito de Transferência de Calor na Ponta. Neste caso, ilustrado, do lado direito da Figura 1.2.10, a condição de contorno é da forma − kAc dθ = hAcθ em x = L dx (1.2.88) A solução da Eq. (1.2.70) com as condições de contorno (1.2.71) e (1.2.88) é da forma θ = θb cosh ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦ + ( h / mk ) s en h ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦ (1.2.89) cosh ( mL ) + ( h / mk ) s en h ( mL ) A taxa de calor na base, neste caso, pode ser estimada da mesma forma que aleta da ponta isolada, porém, corrigindo o comprimento, de tal forma que ⎛ dT ⎞ qb = Ac ⎜ − k ⎟ dx ⎠ x =0 ⎝ = θb ( kAc hp ) 1/ 2 (1.2.90) tanh ( mLc ) na qual, o comprimento corrigido, Figura 1.2.11, é expresso como Lc = L + Ac p Por exemplo, para uma aleta plana de espessura t (1.2.91) e largura W , Ac = tW e p = 2 (W + t ) ≅ 2W . Neste caso, pode-se mostrar que Lc = L + t (aleta plana) 2 (1.2.92) Para uma aleta de seção cilíndrica de diâmetro D constante tem-se Lc = L + D (pino ou aleta cilíndrica) 4 (1.2.93) 30 Figura 1.2.11 Conceito de comprimento corrigido. A partir da Eq. (1.2.89) pode-se obter a derivada da temperatura na forma m s en h ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦ + ( h / k ) cosh ⎡⎣ m ( L − x ) ⎤⎦ dθ = −θb dx cosh ( mL ) + ( h / mk ) s en h ( mL ) (1.2.94) A taxa de calor calculada pela expressão exata do gradiente em x = 0 seria da forma ⎛ dT ⎞ qb = Ac ⎜ − k ⎟ dx ⎠ x =0 ⎝ 1 / 2 senh ( mL ) + ( h / mk ) cosh ( mL ) = θb ( kAc hp ) cosh ( mL ) + ( h / mk ) sen h ( mL ) (1.2.95) Eficiência da aleta versus efetividade da aleta. O parâmetro adimensional que descreve quão bem são as funções da aleta como uma extensão da superfície da base é a eficiência da aleta η ( 0 < η < 1) : η= qb taxa real de transferencia de calor = maxima taxa de transferencia de calor hpLcθ b (1.2.96) quando toda aleta esta na temperatura da base Usando a Eq. (1.2.90) obtém-se a eficiência da aleta na forma η= tanh ( mLc ) mLc Algumas vezes se usa como abscissa, no lugar de mLc , o parâmetro: (1.2.97) 31 1/ 2 ⎛ 2h ⎞ Lc ⎜ ⎟ ⎝ kt ⎠ (1.2.98) A Figura 1.2.12 mostra a eficiência para alguns perfis de aletas. Alternativamente, se usa a efetividade da aleta como uma medida de sua performance. A efetividade ε f é definida como εf = q taxa total de transferencia de calor = b taxa de transferencia de calor que deveria hAcθb (1.2.99) ocorrer atraves da area da base na ausencia da aleta Figura 1.2.12 Eficiência de aletas bidimensionais com perfis retangular, triangular e parabólico. Se for para a aleta desempenhar sua função de aumento de transferência de calor apropriadamente, então, ε f deve ser maior do que 1. Uma boa aleta tem, portanto, efetividade maior do que sua eficiência. A relação entre elas será ε f pLc area total de contato com o fluido = = Ac area da seçao transversal η (1.2.100) 32 A efetividade da aleta é também maior do que a efetividade global baseada na área superficial projetada. A relação entre ε 0 e ε f é obtida pela combinação de (1.2.60), (1.2.62) e (1.2.99): ε0 = ε f A0 , f A0 + A0 ,u A0 (1.2.101) 1.2.5.3 Aletas de Seção Transversal Variável No caso da aleta plana de seção transversal constante, ela é denominada de aleta retangular, pois olhando lateralmente vê-se um retângulo. Há casos em que a seção transversal da aleta diminui da base para sua ponta; Figura 1.2.13. O balanço de energia neste caso leva à equação: qx − qx +Δx − ( pΔx ) h (T − T∞ ) = 0 (1.2.102) Após simplificações resultará − dqx − hp (T − T∞ ) = 0 dx (1.2.103) Pelo uso da Lei de Fourier, qx = −kAc ( x ) dT / dx chega-se a d ⎛ dT ⎞ ⎜ kAc ⎟ − hp (T − T∞ ) = 0 dx ⎝ dx ⎠ (1.2.104) Figura 1.2.13 Condução longitudinal através de uma aleta de seção transversal variável. 33 Para dadas variações de Ac ( x ) e p ( x ) , o objetivo é determinar a taxa de transferência de calor que passa através da base da aleta: dT ⎞ ⎛ qb = − ⎜ kAc ( x ) ⎟ dx ⎠ x =0 ⎝ (1.2.105) O resultado final também pode ser quantificado em função eficiência da aleta na forma: η= qb hAexp (Tb − T∞ ) (1.2.106) na qual Aexp é área exposta da superfície da aleta, isto é, a área banhada pelo fluido. No caso de aletas triangulares e parabólicas, apenas a área da seção transversal varia, mas não o perímetro. No caso de uma aleta na foram de disco, Figura 1.2.14, ambos Ac e p variam. Figura 1.2.14 Eficiência de uma aleta anelar de espessura constante. 34 1.2.5.4 Superfícies Estendidas com Movimento Relativo e Geração Interna de Calor 1.2.5.4.1 Equação Geral de Condução O modelo de condução unidimensional da aleta clássica também encontra aplicação no caso de corpos longos. Considere o caso de um corpo cilíndrico de seção variável que tenha movimento relativo na direção x com velocidade U e está exposto a convecção num reservatório fluido; Figura 1.2.15. Suponha que exista geração interna no corpo. O balanço de energia neste caso leva à equação: qx − qx +Δx − ( pΔx ) h (T − T∞ ) + mix − mix +Δx + q′′′Ac Δx = 0 (1.2.107) na qual ix é a entalpia especifica do sólido na posição x . Tratando o sólido como incompressível, tem-se dix = cdT + 1 ρ dP (1.2.108) Para pressão constante, dix = cdT e, portanto, m ( ix − ix +Δx ) = − m dix dT Δx = − mc Δx dx dx Está implícita nesta derivação que a vazão mássica é conservada de uma seção transversal para outra: m = ρ AcU (1.2.109) Figura 1.2.15 Conservação da energia num corpo longo com movimento sólido e geração interna 35 A equação final de balanço de energia fica na forma: d ⎛ dT ⎞ dT + q′′′Ac = 0 ⎜ kAc ⎟ − hp (T − T∞ ) − ρ cAcU dx ⎝ dx ⎠ dx (1.2.110) 1.2.5.4.2 Extrusão de Plásticos e Trefilação Nestes processos de fabricação, após passar pelas matrizes, os corpos se comportam como superfícies estendidas em movimento relativo, Figura 1.2.16. Nestes processos pode-se desprezar a geração interna, e supondo Ac e U constantes, resulta para o excesso de temperatura, a equação: d 2θ U dθ − − m 2θ = 0 dx 2 α dx (1.2.111) As condições de contorno para este caso são: θ = θb em x = 0 (1.2.112) θ → 0 quando x → ∞ (1.2.113) Figura 1.2.16 Distribuição de temperatura ao longo de uma fibra plástica em processo de extrusão;. A solução para este problema é imediata e da forma: ⎛ x⎞ ⎝ ⎠ θ ( x ) = θ b exp ⎜ − ⎟ l (1.2.114) 36 na qual l é um comprimento característico em que a temperatura do sólido se aproxima da temperatura do fluido circundante: ⎧⎪ ⎡⎛ U ⎞ 2 ⎤ U ⎫⎪ 2 l = ⎨ ⎢⎜ ⎬ ⎟ +m ⎥− ⎥⎦ 2α ⎭⎪ ⎩⎪ ⎢⎣⎝ 2α ⎠ −1 (1.2.115) Dois casos limites são de interesse. No limite de altas velocidades, U / 2α >> m , o comprimento de resfriamento é proporcional à velocidade da fibra plástica: U≅ ⎛ U ⎞ >> 1⎟ ⎜ ⎝ 2α m ⎠ U α m2 (1.2.116) No caso oposto, U / 2α << m , o comprimento de resfriamento aproxima-se de uma constante: l≅ 1 m ⎛ U ⎞ << 1⎟ ⎜ ⎝ 2α m ⎠ (1.2.117) Neste último caso, a fibra se comportas como uma aleta longa de seção constante. 1.2.5.4.3 Cabos Elétricos Nestes casos pode desprezar efeitos variação de entalpia e considerar o efeito Joule como geração interna, que é amortecido via condução no suporte, Figura 1.2.17. A equação a ser resolvida neste caso é da forma: d 2θ q′′′ − m 2θ + =0 2 dx k (1.2.118) sujeita às restrições: θ = θb em x = 0 (1.2.119) θ → valor finito quando x → ∞ (1.2..120) A solução para este problema é da forma θ ( x ) = θ b exp ( − mx ) + q′′′ ⎡1 − exp ( − mx ) ⎤⎦ m2 k ⎣ (1.2.121) A interação por condução longitudinal com o suporte x = 0 é sempre sentida no comprimento de fator de escala 1/ m . Além deste comprimento, a temperatura do cabo se torna independente de x , isto é, θ ≅ q′′′ / ( m 2 k ) . Isto mostra que a seção do cabo se torna cada vez mais quente quando q′′′ cresce. Se o suporte será aquecido ou resfriado pelo cabo depende de como significativo é o efeito de q′′′ . Pelo cálculo da taxa de transferência de calor através da 37 raiz do cabo (saindo do suporte) pode-se mostrar que o suporte será aquecido pelo cabo ( qb < 0 ) se q′′′Ac >1 hpθ b (1.2.122) Quando o valor do grupo grandeza da Eq. (1.2.122) for unitário, o cabo inteiro estará isotérmico. Figura 1.2.17 Distribuição de temperatura num cabo elétrico com aquecimento volumétrico. 38 1.3. Condução de Calor Multidimensional em Regime Permanente A equação da condução de calor, que é o processo de transferência de energia que ocorre na fronteira de um sistema em repouso devido a um gradiente de temperatura, tem sido deduzida em muitos livros. Essa equação genérica é da forma: −∇iq (r , t ) + q′′′(r , t ) = ρ C p ∂T (r , t ) ∂t (1.3.1) na qual o primeiro termo do membro do lado esquerdo da equação representa a taxa de calor entrando através da superfície do sistema, o segundo termo representa a taxa de geração por unidade de volume e o termo do lado direito da equação representa a taxa de armazenamento de energia dentro do sistema. No caso de meios ou materiais em que a condutividade térmica independe da direção (meios isotrópicos), o vetor fluxo de calor pode ser definido na seguinte forma (Lei de Fourier): q = − k ∇T (1.3.2) em que k é a condutividade térmica que pode ser uma função da temperatura, k = k (T ) . A expressão para os componentes do fluxo de calor, em sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonais ( x1 , x2 , x3 ) , é da forma qi = − k 1 ∂T ; i = 1, 2,3 hi ∂xi (1.3.3) na qual hi são fatores de escalas que aparecem em transformações de coordenadas de um sistemas de coordenadas para outro, em que se conheçam as relações, xi = xi ( u1 , u2 , u3 ) ; i = 1, 2,3 com ( u1 , u2 , u3 ) sendo a tripla de coordenadas no novo sistema. Os fatores de escalas são definidos na forma ⎛ ∂x j ⎞ h = ∑⎜ ⎟ j =1 ⎝ ∂ui ⎠ 3 2 i 2 (1.3.4) Nos sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas têm-se os dados na Tabela 1.3.1 39 Tabela 1.3.1 – Sistemas de coordenadas ortogonais e fatores de escalas Coordenadas u1 u2 u3 Cartesianas x y z Cilíndricas r Esféricas r θ x1 x2 x3 x y z r.cos( θ ) r.sen( θ ) z θ φ r.cos( θ )sen( φ ) r.sen( θ )sen( φ ) r.cos( φ ) h1 h2 1 1 1 r r ⋅ sen (φ ) h3 1 1 r No sistema de coordenadas cartesianas z ( x, y, z ) , 1 os fluxos de calor ficam, então, definidos como q1 = − k ∂T ∂x (1.3.5a) q2 = − k ∂T ∂y (1.3.5b) q3 = − k ∂T ∂z (1.3.5c) Para coordenadas cilíndricas ( r ,θ , z ) resulta: qr = − k ∂T ∂r (1.3.6a) qθ = − k ∂T r ∂θ (1.3.6b) qz = −k ∂T ∂z (1.3.6c) Para coordenadas esféricas ( r ,θ , φ ) resulta: qr = − k ∂T ∂r (1.3.7a) qθ = −k ∂T rsen (φ ) ∂θ (1.3.7b) qφ = − k ∂T r ∂φ (1.3.7c) 40 A partir das Equações (1.3.1) e (1.3.3) pode-se obter 1 ⎡ ∂ ( h2 h3 q1 ) ∂ ( h1h3q2 ) ∂ ( h1h2 q3 ) ⎤ ∂T + + num domínio Ω, t > 0 (1.3.8) ⎢ ⎥ + q′′′ = ρ C p h1h2 h3 ⎣ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ⎦ ∂t Substituindo os fluxos de calor dos sistemas de coordenadas (equações (1.3.5) a (1.3.7)) obtêm-se as equações para os sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas como a seguir. - Sistema de coordenadas retangulares: ∂ ⎛ ∂T ⎜k ∂x ⎝ ∂x ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎟+ ⎜k ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎟+ ⎜k ⎠ ∂z ⎝ ∂z ∂T ⎞ ′′′ ⎟ + q ( x, y , z , t ) = ρ C p ∂t ⎠ (1.3.9) - Sistema de coordenadas cilíndricas: 1 ∂ ⎛ ∂T ⎜ kr r ∂r ⎝ ∂r ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂T ⎟+ 2 ⎜k ⎠ r ∂θ ⎝ ∂θ ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎟+ ⎜k ⎠ ∂z ⎝ ∂z ∂T ⎞ ′′′ ⎟ + q (r ,θ , z, t ) = ρ C p ∂t ⎠ (1.3.10) - Sistema de coordenadas esféricas: 1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞ 1 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎜ kr ⎟+ 2 2 ⎜k ⎟+ 2 ⎜ ksen (φ ) ⎟+ 2 r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sen (φ ) ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ r sen (φ ) ∂φ ⎝ ∂φ ⎠ ∂T + q′′′(r , θ , φ , t ) = ρ C p ∂t (1.3.11) As condições de contorno em problemas de condução podem ser escritas na seguinte forma genérica, para uma superfície Si normal a um eixo de coordenadas xi ∓ ki ∂T ∂nì + γ iT = f i sobre Si , t > 0 (1.3.12) Si Assume-se que o domínio Ω tem um número de superfícies contínuas Si , i = 1, 2,… , s em número, tal que cada superfície Si coincide com a superfície do sistema de coordenadas ortogonal escolhido. As combinações ki = 0, γ i = 1 ou δ i = 1, γ i = 0 recuperam as condições de contorno de primeiro ou de segundo tipos respectivamente. O sinal mais ou menos depende se a normal a Si está apontando no sentido positivo ou negativo da direção xi respectivamente. 41 A condição inicial geralmente é da forma: T ( r , t ) = F ( r ) para t = 0 no domínio Ω (1.3.13) Os métodos de solução da equação de condução podem ser analíticos exatos, métodos analíticos aproximados ou métodos numéricos dependendo da complexidade do problema a ser analisado. Os métodos analíticos englobam os métodos de Separação de Variáveis, Técnica de Transformada Integral, Técnica de Transformada de Laplace, por exemplo. Os métodos analíticos aproximados incluem o Método Integral, Método de Rayleigh-Ritz, Método de Galerkin, entre outros. Os métodos numéricos clássicos são: Método de Diferença Finita, Método de Volume Finito e Método de Elemento Finito. Um método numérico também usado é o método de Monte-Carlo. Alguns destes métodos serão descritos a seguir. 1.3.1 Soluções Analíticas O método analítico clássico em problemas de condução de calor homogêneos é o método de separação de variáveis. O procedimento de separação de variáveis pode ser aplicado também ao caso dos problemas em regime permanente sem geração de calor quando apenas uma das condições de contorno seja não homogênea. Se várias condições de contorno são não homogêneas é possível separar o problema original em um conjunto de problemas em que cada um dos subproblemas tenha apenas uma condição de contorno não homogênea. Considere, por exemplo, o problema de condução multidimensional homogêneo em regime permanente com condição de contorno não homogênea definido a seguir: ∇ 2T ( r ) = 0 num domínio Ω (1.3.14a) ∂T + hiT = f i sobre Si ∂nì (1.3.14b) ki O problema definido por (1.3.14) pode ser separado em um conjunto de problemas mais simples de forma que apenas uma condição de contorno permaneça não homogênea. Cada subproblema será governado pelas seguintes equações ∇ 2T j ( r ) = 0 num domínio Ω ki ∂T j ∂nì + hT i j = δ ij f i sobre Si (1.3.15a) (1.3.15b) 42 nas quais i = 1, 2,… , s j = 1, 2,… , s ⎧1 se i = j ⎩0 se i ≠ j δ ij = ⎨ A solução para a distribuição de temperatura será a superposição das soluções dos problemas mais simples na forma s T ( r ) = ∑ Tj ( r ) (1.3.16) j =1 Considere o seguinte caso de condução num paralelepípedo 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c com as condições de contorno definidas a seguir ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T + + = 0 em 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 T = T0 em x = 0 ; T = T∞ em x = a (1.3.17a) (1.3.17b, c) −k ∂T ∂T = q1′′ em y = 0 ; k + h1T = h1T∞ em y = b ∂y ∂y (1.3.17d, e) −k ∂T ∂T = q2′′ em z = 0 ; k + h2T = h2T∞ em z = c ∂z ∂z (1.3.17f, g) Como todas as condições de contorno são não homogêneas, inicialmente, faz a seguinte mudança de variável θ = T − T∞ , que homogeneíza três condições de contorno resultando ∂ 2θ ∂ 2θ ∂ 2θ + + = 0 em 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 θ = θ 0 em x = 0 ; θ = 0 em x = a (1.3.18a) (1.3.18b, c) −k ∂θ ∂θ h1 = q1′′ em y = 0 ; + θ = 0 em y = b ∂y ∂y k (1.3.18d, e) −k ∂θ ∂θ h2 = q2′′ em z = 0 ; + θ = 0 em z = c ∂z ∂z k (1.3.18f, g) Agora propõe-se a separação do problema (1.3.18) em três problemas mais simples, cada um deles com apenas uma condição de contorno não homogênea, pela seguinte superposição: θ ( x, y, z ) = θ1 ( x, y, z ) + θ 2 ( x, y, z ) + θ3 ( x, y, z ) (1.3.19) 43 Pode-se obter os seguintes três problemas: Problema 1 ∂ 2θ1 ∂ 2θ1 ∂ 2θ1 + + = 0 em 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 (1.3.20a) θ1 = θ0 em x = 0 ; θ1 = 0 em x = a (1.3.20b, c) ∂θ1 ∂θ h = 0 em y = 0 ; 1 + 1 θ1 = 0 em y = b ∂y ∂y k (1.3.20d, e) ∂θ1 ∂θ h = 0 em z = 0 ; 1 + 2 θ1 = 0 em z = c ∂z ∂z k (1.3.20f, g) Problema 2 ∂ 2θ 2 ∂ 2θ 2 ∂ 2θ 2 + 2 + 2 = 0 em 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c ∂x 2 ∂y ∂z θ 2 = 0 em x = 0 ; θ 2 = 0 em x = a −k ∂θ 2 ∂θ 2 h1 = q1′′ em y = 0 ; + θ 2 = 0 em y = b ∂y ∂y k ∂θ 2 ∂θ 2 h2 = 0 em z = 0 ; + θ 2 = 0 em z = c ∂z ∂z k (1.3.21a) (1.3.21b, c) (1.3.21d, e) (1.3.21f, g) Problema 3 ∂ 2θ3 ∂ 2θ3 ∂ 2θ3 + + 2 = 0 em 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c ∂x 2 ∂y 2 ∂z (1.3.22a) θ3 = 0 em x = 0 ; θ3 = 0 em x = a (1.3.22b, c) ∂θ3 ∂θ3 h1 = 0 em y = 0 ; + θ3 = 0 em y = b ∂y ∂y k (1.3.22d, e) −k ∂θ3 ∂θ3 h2 = q2′′ em z = 0 ; + θ 3 = 0 em z = c ∂z ∂z k (1.3.22f, g) A solução de cada um dos três problemas por separação de variáveis fica na forma θ ( x, y , z ) = X ( x ) Y ( y ) Z ( z ) (1.3.23) que substituída em qualquer das três equações (1.3.20a) ou (1.3.21a) ou (1.3.22a) resulta após algumas manipulações 1 d 2 X 1 d 2Y 1 d 2 Z + + =0 X dx 2 Y dy 2 Z dz 2 (1.3.24) 44 Para o problema 1 propões-se a seguinte separação: 1 d 2Y 1 d2X 1 d 2Z 2 2 2 2 = −γ e = β = γ +η , = −η 2 2 2 2 Y dy X dx Z dz (1.3.25) As equações separadas se tornam, então, d2X − β2X = 0 2 dx (1.3.26a) X = 0 em x = a (1.3.26b) d 2Y + γ 2Y = 0 2 dy (1.3.27a) dY = 0 em y = 0 dy (1.3.27b) dY + H1Y = 0 em y = b dy (1.3.27c) d 2Z +η 2Z = 0 dz 2 (1.3.28a) dZ = 0 em z = 0 dz (1.3.28b) dZ + H 2 Z = 0 em z = c dz (1.3.28c) Para o problema 2 propõe-se a seguinte separação: 1 d 2Y 1 d2X 1 d 2Z 2 2 2 2 = + γ = β + η = − β , e = −η 2 Y dy 2 X dx 2 Z dz 2 (1.3.29) As equações separadas se tornam, então, d2X + β2X = 0 2 dx (1.3.30a) X = 0 em x = 0 (1.3.30b) X = 0 em x = a (1.3.30c) d 2Y − γ 2Y = 0 2 dy (1.3.31a) dY + H1Y = 0 em y = b dy (1.3.31b) d 2Z +η 2Z = 0 2 dz (1.3.32a) dZ = 0 em z = 0 dz (1.3.32b) 45 dZ + H 2 Z = 0 em z = c dz (1.3.32c) Para o problema 3 propõe-se a seguinte separação: 1 d 2Y 1 d2X 1 d 2Z 2 2 = − γ = − β , e =η2 = β 2 +γ 2 2 2 2 Y dy X dx Z dz (1.3.33) As equações separadas se tornam, então, d2X + β2X = 0 dx 2 (1.3.34a) X = 0 em x = 0 (1.3.34b) X = 0 em x = a (1.3.34c) d 2Y + γ 2Y = 0 2 dy (1.3.35a) dY = 0 em y = 0 dy (1.3.35b) dY + H1Y = 0 em y = b dy (1.3.35c) d 2Z −η 2 Z = 0 dz 2 (1.3.36a) dZ + H 2 Z = 0 em z = c dz (1.3.36b) O Problema 1 requer a solução das equações (1.3.26), (1.3.27) e (1.3.28). A solução das equações (1.3.27) e (1.3.28) correspondem ao caso 4 da Tabela 1.3.2, portanto, são da forma Y ( γ n , y ) = cos ( γ n y ) ; γ ntg ( γ nb ) = H1 (1.3.37a) Z (η p , z ) = cos (η p z ) ; η p tg (η p c ) = H 2 (1.3.37b) Para completar a solução do Problema 1, falta resolver a equação (1.3.26). A solução da Equação (1.3.26a) que satisfaz a condição (1.3.26b) é do tipo X ( β m , x ) = senh ⎡⎣ β m ( a − x ) ⎤⎦ (1.3.37c) em que β m2 = β np2 = γ n2 + η p2 Desta forma a solução do Problema 1 fica na forma (1.3.38) 46 ∞ ∞ θ1 ( x, y, z ) = ∑∑ cnp senh ⎡⎣ β np ( a − x ) ⎤⎦ cos ( γ n y ) cos (η p z ) (1.3.39) n =1 p =1 Aplicando a condição de contorno em x = 0 resulta ∞ ∞ θ 0 = ∑∑ cnp senh ( β np a ) cos ( γ n y ) cos (η p z ) (1.3.40) n =1 p =1 d2X + β 2 X = 0 em 0 < x < L para dx 2 Tabela 1.3.2 – Solução, Norma e Autovalores da Equação as condições de contorno mostradas na Tabela. No Condições Condições Autofunções Inverso da norma Autovalores . de Contorno de Contorno . são as raízes x=0 x=L X ( βm , x ) 1/ N ( β m ) dX + H1 X = 0 dx dX + H2 X = 0 dx β m cos β m x + + H1senβ m x dX + H1 X = 0 dx dX =0 dx dX + H1 X = 0 dx X =0 1 2 3 − − − positivas de 2 ⎛ H β 2 + H12 ⎜L β2 + H2 + 2 m 1 m ⎜ β m2 + H 22 ⎝ ( ( ) cos β m ( L − x ) ( ( 2 β m2 + H12 ) ) ) tg β m L = ⎞ ⎟+ H 1 ⎟ ⎠ β m ( H1 + H 2 ) β m2 − H1H 2 β mtg β m L = H1 L β m2 + H12 + H1 senβ m ( L − x ) ( ( 2 β m2 + H12 ) ) β mctg β m L = − H1 L β m2 + H12 + H1 ( ) dX =0 dx dX + H2 X = 0 dx cos β m x 5 dX =0 dx dX =0 dx * cos β m x 2 para β m ≠ 0 L 1 para β m = 0 L senβ m L = 0 6 dX =0 dx X =0 cos β m x 2 L cos βm L = 0 7 X =0 dX + H2 X = 0 dx senβm x 2 β m2 + H 22 4 ( 2 β m2 + H 22 ) β mtg β m L = H 2 L β m2 + H 22 + H 2 ( ( ) ) β mctg β m L = − H 2 L β m2 + H 22 + H 2 8 X =0 dX =0 dx senβm x 2 L cos βm L = 0 9 X =0 X =0 senβm x 2 L senβ m L = 0 47 Operando ambos os lados da equação (1.3.40) por ∫ b 0 cos ( γ i y ) dy e ∫ c 0 cos (ηq z ) dz e utilizando a condição de ortogonalidade das autofunções resulta θ0 sen ( γ n b ) sen (η p c ) γn ηp = cnp senh ( β np a ) N n N p (1.3.41) da qual se obtém cnp = θ 0 sen ( γ nb ) sen (η p c ) γn ηp 1 senh ( β np a ) N n N p (1.3.42) que substituída em (1.3.59) leva a forma da solução para o Problema 1 na forma ∞ sen ( γ nb ) sen (η p c ) senh ⎡⎣ β np ( a − x ) ⎤⎦ cos ( γ n y ) cos (η p z ) (1.3.43) γn ηp N n N p senh ( β np a ) p =1 ∞ θ1 ( x, y, z ) = θ 0 ∑∑ n =1 As normas na equação (1.3.43) correspondem ao caso 4 da Tabela 1.3.2 e, portanto, são ( ) ( ) 2 γ n2 + H12 2 η p2 + H 22 1 1 = = ; N n b γ n2 + H12 + H12 N p c η p2 + H 22 + H 2 ( ) ( ) (1.3.44) O Problema 2 requer a solução das equações 1.3.30 a 1.3.34. A solução do problema (1.3.30) corresponde ao caso 9 da Tabela 1.3.2 é da forma X ( β m , x ) = sen ( β m x ) ; sen ( β m a ) = 0 (1.3.45) A solução da equação (1.3.31a) que satisfaz (1.3.31b) pode ser encontrada e é do tipo Y ( γ n , y ) = γ n cosh ⎡⎣γ n ( b − y ) ⎤⎦ + H1senh ⎡⎣γ n ( b − y ) ⎤⎦ (1.3.46) 2 γ n2 = γ mp = β m2 + η p2 (1.3.47) na qual A solução da equação (1.3.32a) corresponde ao caso 4 da Tabela 1.3.2 e já foi mostrada na Equação (1.3.37b). A solução do Problema 2 fica na forma genérica ⎧γ mp cosh ⎡γ mp ( b − y ) ⎤ + ⎫ ∞ ∞ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ θ 2 ( x, y, z ) = ∑∑ cmp sen ( β m x ) ⎨ ⎬ cos (η p z ) ⎡ ⎤ m =1 p =1 H senh b y − γ ( ) ⎪⎩ 1 ⎣ mp ⎦ ⎪⎭ da qual se obtém (1.3.48) 48 −k ∂θ 2 ( x, y, z ) ∂y 2 ⎧γ mp ⎫ ⎪ sen h ⎣⎡γ mp ( b − y ) ⎦⎤ + ⎪ = k ∑∑ cmp sen ( β m x ) ⎨ ⎬ cos (η p z ) m =1 p =1 ⎪⎩+γ mp H1 cos h ⎡⎣γ mp ( b − y ) ⎤⎦ ⎭⎪ ∞ ∞ (1.3.49) Aplicando a condição de contorno (1.3.21d) resulta ∞ ∞ { } 2 q1′′ = k ∑∑ cmp sen ( β m x ) γ mp sen h ( γ mp b ) + γ mp H1 cos h ( γ mp b ) cos (η p z ) m =1 p =1 Operando ambos os lados da equação (1.3.50) por ∫ a 0 sen ( β m x ) dx e ∫ c 0 (1.3.50) cos (ηq z ) dz e utilizando a condição de ortogonalidade das autofunções resulta para a constante cmp = q1′′ ⎡⎣1 − cos ( β m a ) ⎤⎦ sen (η p c ) 1 2 k βm Nm η p N p γ mp sen h ( γ mp b ) + γ mp H1 cos h ( γ mp b ) (1.3.51) que substituída em (1.3.48) leva a forma final da solução do Problema 2 ⎧γ mp cosh ⎡γ mp ( b − y ) ⎤ + ⎫ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ sen ( β m x ) ⎨ ⎬ cos (η p z ) ∞ ∞ ⎡1 − cos ( β a ) ⎤ sen η c ⎡ ⎤ + − H senh γ b y )⎦ ⎭⎪ ( p) q′′ m ⎣ mp ( ⎦ ⎩⎪ 1 θ 2 ( x, y, z ) = 1 ∑∑ ⎣ 2 k m =1 p =1 βm Nm ηpNp γ mp sen h ( γ mp b ) + γ mp H1 cos h ( γ mp b ) (1.3.52) A norma N m corresponde ao caso 9 da Tabela 1.3.2. A norma N p corresponde ao caso 4 da Tabela 1.3.2. Assim tem-se ( ) 2 η p2 + H 22 1 1 2 = = ; N m a N p c η p2 + H 22 + H 2 ( ) (1.3.53) O Problema 3 é similar ao Problema 2, exceto a direção da condição de contorno não homogênea. Analogamente, então, tem-se a solução de (1.3.36a) e (1.3.36b) na forma Z (η p , z ) = η p cosh ⎡⎣η p ( c − z ) ⎤⎦ + H 2 sen h ⎡⎣η p ( c − z ) ⎤⎦ (1.3.54) 2 η p2 = ηmn = β m2 + γ n2 (1.3.55) na qual A solução para θ3 , então, será da forma 49 ⎧⎪η mn cosh ⎣⎡ηmn ( c − z ) ⎦⎤ + ⎪⎫ sen ( β m x ) cos ( γ n y ) ⎨ ⎬ ⎪⎩+ H1senh ⎡⎣η mn ( c − z ) ⎤⎦ ⎭⎪ q2′′ ∞ ∞ ⎣⎡1 − cos ( β m a ) ⎦⎤ sen ( γ nb ) θ 3 ( x, y, z ) = ∑∑ 2 k m =1 n =1 βm Nm γ n Nn η mn sen h (η mn c ) + η mn H1 cos h (η mn c ) (1.3.56) 1.3.2 Métodos aproximados Os métodos aproximados servem para estimativas de soluções quando alguma complicação dificulta uma solução analítica. Hoje, com o grande desenvolvimento de métodos numéricos e disponibilidade de computadores, talvez, os métodos aproximados sejam menos utilizados. Entre os vários métodos aproximados tem-se o método integral, método de análise de escala e métodos gráficos. 1.3.2.1 Método integral Considere o problema de encontrar a máxima temperatura na seção transversal de um condutor elétrico de dimensões L por H, cujo contorno esteja à temperatura T∞ , e com geração interna q′′′ . Este problema é governado pela seguinte equação, supondo condutividade térmica constante, ∂ 2T ∂ 2T q′′′ + 2 =− 2 ∂x ∂y k (1.3.57) com as condições de contorno T = T∞ em x = ± L / 2 (1.3.58a, b) T = T∞ em y = ± H / 2 (1.3.58c, d) A temperatura máxima para este problema ocorre na posição ( x = 0, y = 0 ) que é o ponto mais distante de todos os contornos. A chave do método integral é a escolha de um perfil de temperatura que satisfaça as condições de contorno e que quando substituído na equação integrada permita estimativa de parâmetros de interesse no problema. Definindo o excesso de temperatura como θ = T − T∞ . Um perfil razoável para T ( x, y ) pode ser da forma 50 ⎡ ⎛ x ⎞2 ⎤ ⎡ ⎛ y ⎞2 ⎤ T ( x, y ) = T∞ + θ max ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ L / 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ H / 2 ⎠ ⎥⎦ (1.3.59) que satisfaz as condições de contorno e no qual θ max é a incógnita. Integrando a equação (1.3.57) tem-se ⎛ ∂ 2T ∂ 2T ⎞ q′′′ dxdy HL + = − ⎜ ⎟ ∫− L / 2 ∫− H / 2 ⎝ ∂x2 ∂y 2 ⎠ k L/2 H /2 (1.3.60) Derivando a equação (1.3.59) em relação a x e y duas vezes obtém-se 8θ ∂ 2T = − max 2 L2 ∂x 2 ⎡ ⎛ y⎞ ⎤ 1 4 − ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ H ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢ 2 8θ max ⎡ ∂ 2T ⎛x⎞ ⎤ =− ⎢1 − 4 ⎜ ⎟ ⎥ H 2 ⎣⎢ ∂y 2 ⎝ L ⎠ ⎦⎥ (1.3.61a) (1.3.61b) Substituindo (1.3.61a, b) em (1.3.60) e integrando o lado esquerdo resulta − ⎛ H 2 + L2 ⎞ 16 q′′′ θ max ⎜ ⎟ = − HL 3 k ⎝ HL ⎠ (1.3.62) da qual se obtém a temperatura máxima como θ max = 16 q′′′ L2 H 2 3 k H 2 + L2 (1.3.63) A máxima diferença de temperatura aumenta proporcionalmente com a razão q′′′ / k e com o quadrado do menor dos dois lados. A fórmula (1.3.63) aproxima-se da solução exata quando a seção transversal é plana ( H >> L ou H << L ) . Ela é menos precisa no caso de uma seção quadrada, quando ela superestima a máxima diferença de temperatura em cerca de 27 %. 1.3.2.2 Método de análise de escala O primeiro termo na equação (1.3.57) representa a curvatura da distribuição de temperatura na direção x. A curvatura representa a mudança na inclinação ∂T / ∂x , a ordem de grandeza derivada segunda pode ser avaliada como ⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞ −⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ∂ T ⎝ ∂x ⎠ x = L / 2 ⎝ ∂x ⎠ x =0 ∼ ∂x 2 L/2−0 2 (1.3.64) 51 O símbolo ∼ significa da mesma ordem de grandeza. Por simetria, ( ∂T / ∂x ) x=0 = 0 . O gradiente de temperatura deve ser proporcional à diferença máxima de temperatura; desta forma, θ ⎛ ∂T ⎞ ∼ − max ⎜ ⎟ L/2 ⎝ ∂x ⎠ x = L / 2 (1.3.65) e conseqüentemente, θ ∂ 2T ∼ − max 2 2 ∂x ( L / 2) (1.3.66) Por um argumento semelhante pode-se concluir que θ ∂ 2T ∼ − max 2 2 ∂y ( H / 2) (1.3.67) Substituindo (1.3.66) e (1.3.67) em (1.3.57) resultará θ max ( L / 2) 2 + θ max ( H / 2) 2 ∼ q′′′ k (1.3.68) da qual se obtém a diferença máxima de temperatura como θ max ∼ q′′′ L2 H 2 4k L2 + H 2 (1.3.69) A análise de escala levou a um resultado que é cerca de 33 % maior do que o resultado da análise integral (Eq. (1.3.63)). A análise de escala produz um resultado compacto e barato que concorda com a solução exata dentro de um fator de grandeza de ordem 1 com a solução exata do problema. 1.3.2.3 Método gráfico O método gráfico é ilustrado na Figura 1.3.1. Suponha o caso de uma região retangular com as faces esquerda e direita isoladas termicamente. Suponha que o topo esteja numa temperatura mais alta do que o fundo. As linhas horizontais serão linhas isotérmicas, normais a estas linhas têm-se as linhas de fluxo, que serão as linhas verticais. A taxa total de calor que entra na parede superior é suposta ser composta de n mini-correntes de igual dimensão, cada obtida como qi = q n ( i = 1, 2,… , n ) (1.3.70) 52 Cada mini-corrente escoa através de um tubo de calor, isto é, o espaço entre duas linhas de fluxo adjacentes. Figura 1.3.1 – Malhas de isotermas e linhas de fluxos: (a) malha quadrada; (b) malha curva O desenho das linhas de fluxo e das isotermas formam uma malha ou grade. Suponha que a dimensão de cada malha seja Δx × Δy . Se a dimensão vertical for dividida em m malhas, pode-se estimar a variação de temperatura em um malha como ΔT j = Th − Tc m ( j = 1, 2,… , m ) (1.3.71) De acordo com a lei de Fourier, a mini-corrente que passa através do quadrado ( i, j ) é qi = k ΔxW ΔT j Δy = kW ΔT j (1.3.72) na qual W é a dimensão normal ao plano da folha. Pela combinação das equações (1.3.70)(1.3.72) pode-se obter a taxa total de transferência de calor q= n Wk (Th − Tc ) m Na equação (1.3.73), define-se o que se chama de fator de forma como (1.3.73) 53 S= n W m (1.3.74) Este procedimento que resultou na Eq. (1.3.73) se aplica mesmo no caso das linhas isotermas e de fluxo serem curvas. Existem nos livros de transferência de calor fatores de forma para várias configurações. 1.3.3 Métodos numéricos Atualmente, com o desenvolvimento e maior disponibilização de computadores, os métodos mais comumente usados para se resolver a equação de condução multidimensional são métodos numéricos, em que um meio continuo é substituído por subdomínios que formam uma malha ou conjunto de pontos. Os pontos são nós (nódulos) na intersecção das linhas da malha ou grade. Em condução de calor, o método numérico mais comumente usado é o método de diferença finita. Com o uso de métodos numéricos, muitas das simplificações para se obter soluções analíticas não necessitam serem feitas. 1.3.3.1 Volume finito Considere um volume de controle de dimensões ( Δx ) × ( Δy ) × W , Figura 1.3.2, um balanço de energia leva ao qw + qe + qs + qn + q′′′ΔxΔyW = 0 (1.3.75) na qual foi assumido que as taxas de calor entram no volume de controle, cujo nó central é identificado pelo símbolo P . O subscrito w é a face oeste voltada para o nó W ; e a face leste voltada para o nó E ; s á face sul voltada para o nó S e n é a face norte voltada para o nó N . As taxas de calor são definidas como qn ≅ knW Δx qw ≅ kwW Δy TW − TP (δ x ) w TN − TP (δ y )n ΔxΔyWq′′′ qs ≅ ksW Δx qe ≅ keW Δy TE − TP (δ x )e (1.3.76) TS − TP (δ y ) s No centro da eq. (1.3.76) está indicada a taxa de geração de calor dentro do volume de controle. 54 Figura 1.3.2 – Volume de controle em torno de um ponto P. Substituindo (1.3.76) em (1.3.75) obtém-se ⎡ k Δx k Δx kw Δy ke Δy ⎤ −⎢ s + n + + ⎥ TP + y y x x δ δ δ δ ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ s n w e ⎦ ⎣⎢ k Δy k Δy k Δx k Δx + w TW + e TE + s TS + n T + q′′′ΔxΔy = 0 (δ x ) w ( δ x )e (δ y )s (δ y ) n N (1.3.77) se for considerado que a geração seja uma função da temperatura: q′′′ = S pTp + SC , a equação (1.3.77) fica na forma a pTP = aW TW + aETE + aS TS + a N TN + b (1.3.78) na qual aE = ke Δy ( δ x )e (1.3.79a) aW = kw Δy (δ x ) w (1.3.79b) aN = kn Δx (δ y )n (1.3.79c) aS = ks Δx (δ y ) s (1.3.79d) a p = aE + aW + a N + aS − S P ΔxΔy (1.3.79e) b = SC ΔxΔy (1.3.79f) 55 A equação (1.3.78) se escrita numa forma matricial sugere um arranjo pentadiagonal, que pode ser resolvida por técnicas numéricas bem conhecidas. No caso de um problema tridimensional, a coordenada z também será discretizada e existirão fluxos nas faces t (topo) e b (fundo), equação (1.3.78) e os coeficientes ficam na forma a pTP = aW TW + aETE + aS TS + a N TN + aT TT + aBTB + b (1.3.80) na qual aE = ke ΔyΔz ( δ x )e (1.3.81a) aW = k w ΔyΔz (δ x ) w (1.3.81b) aN = kn ΔxΔz (δ y )n (1.3.81c) aS = ks ΔxΔz (δ y ) s (1.3.81d) aT = kt ΔxΔy ( δ z )t (1.3.81e) aB = kb ΔxΔy ( δ z )b (1.3.81f) a p = aE + aW + a N + aS + aT + aB − S P ΔxΔyΔz (1.3.81g) b = SC ΔxΔyΔz (1.3.81h) No caso de problemas tridimensionais, a equação (1.3.80) sugere um arranjo heptadiagonal. 1.3.3.2 Diferença finita No caso em que se usa o método clássico de diferenças finitas pode-se ter as três seguintes aproximações para o gradiente de temperatura num ponto i, j , Figura 1.3.3, ∂T ΔT T ( i + 1, j ) − T ( i − 1, j ) ≈ = ∂x Δx 2Δx (1.3.82a) ∂T ΔT T ( i, j ) − T ( i − 1, j ) ≈ = ∂x Δx Δx (1.3.82b) 56 ∂T ΔT T ( i + 1, j ) − T ( i, j ) ≈ = ∂x Δx Δx (1.3.82c) Figura 1.3.3 – Nomenclatura para discretização por diferença finita. As equações (1.3.82a), (1.3.82b) e (1.3.82c) são conhecidos como diferenças centrais, diferenças para trás e diferenças para frente respectivamente. Derivadas segundas podem ser aproximadas como ∂ ⎛ ∂T ⎜k ∂x ⎝ ∂x ⎞ k ⎡⎣T ( i + 1, j ) − T ( i, j ) − T ( i, j ) + T ( i − 1, j ) ⎤⎦ = ⎟≈ 2 ⎠ x Δ ( ) k ⎡T ( i + 1, j ) − 2T ( i, j ) + T ( i − 1, j ) ⎤⎦ = ⎣ 2 ( Δx ) (1.3.83) Analogamente, tem-se ∂ ⎛ ∂T ⎜k ∂y ⎝ ∂y ⎞ k ⎣⎡T ( i, j + 1) − T ( i, j ) − T ( i, j ) + T ( i, j − 1) ⎦⎤ = ⎟≈ 2 ⎠ ( Δy ) = k ⎡⎣T ( i, j + 1) − 2T ( i, j ) + T ( i, j − 1) ⎤⎦ ( Δy ) (1.3.84) 2 Desta forma a equação de condução em regime permanente discretizada em diferenças finitas fica na forma T ( i, j − 1) T ( i − 1, j ) 2T ( i, j ) 2T ( i, j ) T ( i + 1, j ) T ( i, j + 1) q′′′ + − − + + + = 0 (1.3.85) 2 2 2 2 2 2 k ( Δy ) ( Δx ) ( Δx ) ( Δy ) ( Δx ) ( Δy ) que numa forma mais compacta fica como aTi , j −1 + bTi −1, j + cTi , j + bTi +1, j + aTi , j +1 = d i , j na qual (1.3.86) 57 a=− b=− c= 1 (1.3.87a) 2 (1.3.87b) 1 ( Δx ) 2 ( Δx ) di , j = 2 ( Δy ) 2 + 2 ( Δy ) (1.3.87c) 2 q′′′ k (1.3.87d) 1.3.3.3 Elemento finito O método de elementos finitos, ilustrado na Figura 1.3.4, também tem sido usado para se resolver a equação de condução, devido sua versatilidade para discretizção de domínios complexos ( ) ∇i k ∇T + q′′′ = 0 (1.3.88) Multiplicando a equação (1.3.88) por uma função de ponderação W e integrando no domínio de um elemento, após uma integração por partes obtém-se ∫ Ωe W ∇ik ∇Td Ω + ∫ Wq′′′d Ω = 0 Ωe − ∫ ∇W ik ∇Td Ω + ∫ Wk ∇T ind Γ + ∫ Wq′′′d Ω = 0 Ωe ∫ Ωe Γe Ωe ∇W ik ∇Td Ω = ∫ Wk Γe (1.3.89) ∂T d Γ + ∫ Wq′′′d Ω Ωe ∂n Agora, interpola-se a temperatura dentro de um elemento na forma: T = N {T e } (1.3.90) na qual T ⎧ N1 ⎫ ⎪N ⎪ ⎪ ⎪ N =⎨ 2 ⎬ ; ⎪ ⎪ ⎪⎩ N Ne ⎪⎭ {T } e ⎧T1 ⎫ ⎪T ⎪ ⎪ ⎪ =⎨ 2 ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎩TNe ⎪⎭ (1.3.91a, b) em que N i e Ti são funções de interpolação conhecidas e associadas ao nó i de um elemento e os valores nodais da temperatura respectivamente num elemento. Tomando caso do método de Galerkin, em que 58 W = N (1.3.92) e substituindo (1.3.90) e (1.3.92) em (1.3.89) resultará ∫ Ωe ∇ { N }ik ∇ N d Ω {T e } = ∫ {N } k Γ e ∂T d Γ + ∫ { N } q′′′d Ω Ωe ∂n (1.3.93) Figura 1.3.4 – Malhas de elementos finitos: (a) elementos triangulares; (b) elementos quadrilaterais. A equação (1.3.93) pode ser escrita numa forma matricial como ⎡⎣ K e ⎤⎦ {T e } = {Q e } (1.3.94) No caso de um problema bidimensional os elementos da matriz ⎡⎣ K e ⎤⎦ e do vetor fonte são definidos por ⎛ ∂N ∂N j ∂Ni ∂N j ⎞ K ije = ∫ k ⎜ i + ⎟dxdy Ωe x x y y ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ Qie = ∫ N i k Γe ∂T d Γ + ∫ N i q′′′dxdy Ωe ∂n (1.3.95) (1.3.96) 59 O primeiro termo do lado direito da Eq. (1.3.96) será avaliado somente nos elementos que tenha um contorno coincidindo com o contorno externo do domínio com fluxo de calor especificado. Se o domínio for discretizado em um número de elementos Nelem, considerando a contribuição de todos os elementos, resultará a forma matricial, [ K ]{T } = {Q} (1.3.97) na qual, agora, a matriz [ K ] e o vetor {Q} conterão a contribuição de todos os elementos: [K ] = Nelem ∑ e =1 ⎡⎣ K e ⎤⎦ ; {Q} = ∑ {Q } Nelem e (1.3.98) e =1 O vetor {T } conterá as temperaturas de todos os pontos do domínio. A solução da equação (1.3.97) é feita após introdução dos valores conhecidos de temperatura em alguma parte do contorno do domínio, por técnicas numéricas apropriadas para solução de sistemas lineares esparsos. No caso de condução num meio anisotrópico, a equação de condução ficaria na forma: ∂ ∂xi ⎛ ∂T ⎞ ⎜⎜ kij ⎟⎟ + q′′′ = 0 ⎝ ∂x j ⎠ (1.3.99) Em tal caso, a matriz ⎡⎣ K e ⎤⎦ será definida na forma para um problema tridimensional: K αβe ⎡ ∂Nα ∂N β ⎛ ∂N ∂N β ∂Nα ∂N β ⎞ ∂Nα + k12 ⎜ α + ⎢ k11 ⎟ + k22 ∂x ∂x ∂y ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂x ∂y ⎢ ⎢ ⎛ ∂N ∂N β ∂Nα ∂N β ⎞ ⎛ ∂N ∂N β ∂Nα = ∫ ⎢ + k13 ⎜ α + + k23 ⎜ α + ⎟ Ωe ∂z ∂x ⎠ ∂z ⎢ ⎝ ∂x ∂z ⎝ ∂y ∂z ⎢ ⎢ + k ∂Nα ∂N β ⎢ 33 ∂z ∂z ⎣ ⎤ + ⎥ ∂y ⎥ ∂N β ⎞ ⎥ ⎟ + ⎥dxdydz (1.3.100) ∂y ⎠ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ∂N β O vetor do termo fonte ficará na forma ⎡⎛ ∂T ⎤ ∂T ∂T ⎞ + k12 + k13 ⎢⎜ k11 ⎟ n1 + ⎥ ∂y ∂z ⎠ ⎢⎝ ∂x ⎥ ⎢ ⎛ ∂T ⎥ ∂T ∂T ⎞ + k22 + k23 + Qαe = ∫ Nα ⎢ + ⎜ k21 n ⎟ 2 ⎥ d Γ + ∫Ωe Nα q′′′dxdydz Γe ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎢ ⎝ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ + ⎛ k ∂T + k ∂T + k ∂T ⎞ n ⎥ 32 33 ⎟ 3 ⎥ ⎢⎣ ⎜⎝ 31 ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎦ (1.3.101) Portanto, pode-se ver a vantagem de usar o método de elementos finitos neste problema mais complexo. 60 1.3.4 Resolução das Equações Geradas pelo Método de Diferenças Finitas Qualquer que seja o método numérico empregado para solução de uma equação diferencial parcial, o resultado final é a obtenção de um sistema algébrico de equações que pode ser escrito na seguinte forma genérica: AT = B (1.3.102) na qual A é a matriz de coeficientes que depende da geometria, das propriedades do material, etc. T é o vetor de incógnitas das temperaturas em pontos do domínio que depende do método de discretização. B é o vetor de termos fontes, etc. Existem vários métodos de solução: diretos e iterativos que podem ser encontrados na literatura. 1.3.4.1 Método de Inversão de Matriz Trata-se de um método direto, mas nem sempre pode ser aplicado, por exemplo, quando a matriz A depende de T , o que torna o problema não linear. Em essência o método consiste em multiplicar pela esquerda a Eq. (1.3.102) pela inversa de A , ou seja, por A−1 A−1 AT = A−1 B ⇔ IT = A−1 B ⇔ T = A−1 B (1.3.103) A solução para T pode também ser escrita na forma: T =C (1.3.104) C = A −1 B (1.3.105) em que 1.3.4.2 Método de Iterativo de Gauss-Seidel i −1 Dado To fazer Ti( k ) = Ti( k −1 ) + ( bi − ∑ aijT j( k ) − j =1 n ∑ aijT j( k −1 ) ) / aii , k = 1, 2, 3,.... (1.3.106). j =i +1 Nesta equação o termo i −1 ∑ aijT j( k ) + j =1 n ∑ aijT j( k −1 ) (1.3.107). j =i +1 pode ser simplesmente implementado como n ∑ aijTˆ j( k ) , onde Tˆ (k) = ( T1( k ) ,T2( k ) Ti(−1k ) ,Ti( k −1 ) Tn(−k1−1 ) ,Tn( k −1 ) )T j =1 (1.3.108) 61 Portanto, basta manter o vetor T atualizado e utilizar esta informação assim que se torne disponível. Abaixo apresenta-se o algoritmo baseado na equação (1.3.106) Algoritmo - Método iterativo de Gauss-Seidel Escolha um vetor inicial T(0), aproximante de T Defina o número máximo de iterações, iMax for k = 1:iMax T(k-1) = T(k) for i = 1:n Calcule o resíduo: r(k)(i) = b(i) – A(i,:)T(k)(:) T(k)(i) = T(k-1)(i) + r(i)/A(i,i) end for Calcule ||r(k)|| Calcule ||T(k) – T(k-1)|| Teste o critério de convergência, continue se necessário end for 1.3.5 Separação de Variáveis em outros sistemas de coordenadas O método de separação de variáveis pode ser aplicado em vários outros sistemas de coordenadas. Vide Bejan, 1993, Ozisik, 1984. 62 1.4. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente A condução transiente ocorre principalmente quando um sólido experimenta uma mudança repentina em seu ambiente térmico, por exemplo, nos processos de tratamento térmico. Os métodos usados para se resolver tais problemas englobam o modelo de capacitância concentrada ou o modelo de sólido semi-infinito, transformada de Laplace, transformada integral, métodos numéricos (diferença finita, elemento finito, etc.) e métodos aproximados. Alguns destes métodos serão vistos na seqüência. 1.4.1 O modelo da capacitância concentrada A essência do método da capacitância concentrada é a hipótese de que a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo transiente. Ou seja, despreza-se o gradiente de temperatura no interior do corpo. Sob determinadas condições, o modelo de capacitância concentrada pode ser aplicado. Normalmente, um processo de condução transiente inicia-se pela convecção imposta na superfície do sólido, mas dependendo do nível de temperatura pode ocorrer transferência radiativa. A Figura 1.4.1 ilustra o processo. Figura 1.4.1 – Resfriamento de um sólido por imersão num líquido. Considere uma situação na qual as condições térmicas de um sólido podem ser alteradas por convecção, radiação e fluxo de calor aplicados à superfície e geração interna de energia. Assume-se que no instante t = 0 a temperatura do sólido seja Ti diferente da temperatura do fluido T∞ e da temperatura da vizinha Tviz . Em parte da superfície é imposto 63 um fluxo q ′′ e a geração interna é q g . Desprezando gradientes de temperatura no interior do sólido, um balanço de energia fornece dT dt q′′As ,h + qg − qc′′As ,c − qr′′As ,r = ρVc (1.4.1) Substituindo os fluxos de calor convectivo e radiativo na equação (1.4.1) resulta a equação q′′As ,h + qg − h (T − T∞ ) As ,c − εσ (T 4 − Tviz4 ) As ,r = ρVc dT dt (1.4.2) A equação (1.4.2) é uma equação diferencial ordinária não linear que pode ser rearranjada na forma ( ) ⎡ ⎤ T 4 − Tviz4 dT ′′ ⎢ q As ,h + qg − hAs ,c + εσ As ,r ⎥ (T − T∞ ) = ρVc dt (T − T∞ ) ⎢⎣ ⎥⎦ (1.4.3) ou definindo o excesso de temperatura, θ = T − T∞ , resulta após algumas manipulações ⎛ q′′As ,h + qg dθ he (θ ) As ,c θ −⎜ + ρVc dt ⎝ ρVc ⎞ ⎟=0 ⎠ (1.4.4) na qual ( ) ⎡ T 4 − Tviz4 As , r ⎤ ⎥ he (θ ) = ⎢ h + εσ (T − T∞ ) As ,c ⎥⎦ ⎢⎣ (1.4.5) Definindo a= he As ,c ρVc q′′As ,h + qg ; b= (1.4.6) ρVc a equação (1.4.4) pode ser reescrita como dθ ( t ) dt + a ( t )θ ( t ) − b ( t ) = 0 (1.4.7) com a condição inicial θ ( 0 ) = θi (1.4.8) A solução da Eq. (1.4.7) com condição inicial (1.4.8) é da forma ( ) ( θ ( t ) = θi exp − ∫ a ( t ′ ) dt ′ + exp − ∫ a ( t ′ ) dt ′ t 0 t 0 ) ∫ b (t′) exp ( −∫ a (t′′) dt′′) dt′ t t′ 0 0 (1.4.9) No caso em que se tenha somente convecção no contorno do sólido e nenhuma geração interna a= hAs , b=0 ρVc (1.4.10) 64 Em tal caso, resulta a solução ⎛ hAs ⎞ t⎟ ⎝ ρVc ⎠ θ ( t ) = θi exp ⎜ − (1.4.11) Uma análise mostra que o modelo de capacitância concentrada é válido quando o número de Biot que é razão da resistência condutiva pela resistência convectiva for Bi = hLc < 0 ,1 k (1.4.12) 1.4.2 O modelo do sólido semi-infinito O modelo de capacitância concentrada se aplica quando a temperatura através do sólido tem praticamente o mesmo valor, num período que é denominado regime posterior, quando t >> r02 α T ≅ T (t ) (1.4.13) na qual r0 é uma dimensão característica do corpo. No regime inicial, quando, t << r02 α T ≅ T ( r ,t ) (1.4.14) o modelo de capacitância concentrada não é mais válido. Neste caso o modelo de sólido semiinfinito é mais apropriado, Figura 1.4.2. Três casos são de interesse: temperatura constante no contorno, fluxo de calor constante no contorno ou superfície em contato com um fluido. Figura 1.4.2 – Modelo de sólido semi-infinito 65 1.4.2.1 O modelo do sólido semi-infinito: temperatura constante no contorno Considere o seguinte caso, ∂ 2T 1 ∂T = ∂x 2 α ∂t (1.4.15) com as condições inicial e de contorno definidas com a seguir, Condição inicial: T = Ti em t = 0 (1.4.16) Condições de contorno: T = T∞ em x = 0 (1.4.17) T → Ti em x → ∞ (1.4.18) A solução das equações (1.4.15) por ser pelo uso de variável de similaridade, desta forma, define-se η= x αt (1.4.19) Os termos da Eq. (1.4.15) podem ser transformados como ∂T dT ∂η dT 1 = = ∂x dη ∂x dη α t (1.4.20) ∂ 2T d ⎛ ∂T ⎞ ∂η d 2T 1 = = ⎜ ⎟ ∂x 2 dη ⎝ ∂x ⎠ ∂x dη 2 α t (1.4.21) ∂T dT ∂η dT ⎛ x ⎞ = = − ⎜ 3/ 2 ⎟ ∂t dη ∂t dη ⎝ 2 α ⋅ t ⎠ (1.4.22) Que substituídos em (1.4.15) leva à equação: d 2T η dT + =0 dη 2 2 dη (1.4.23) Com as condições de contorno, agora, representadas por T = T∞ em η = 0 (1.4.24) T → Ti em η → ∞ (1.4.25) A Eq. (1.4.23) pode ser rearranjada como d (T ′ ) η dT = dη , T ′ = T′ 2 dη Integrando duas vezes em η , a equação (1.4.26) leva ao seguinte resultado: (1.4.26) 66 lnT ′ = − η2 + ln C1 4 (1.4.27) ⎛ η2 ⎞ dT = C1 exp ⎜ − ⎟ dη ⎝ 4 ⎠ (1.4.28) ⎡⎛ β ⎞ 2 ⎤ η T = C1 ∫ exp ⎢⎜ − ⎟ ⎥ d β + C2 0 ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ (1.4.29) na qual β é uma variável muda e de acordo com a equação (1.4.24), C2 = T∞ : ⎡⎛ β ⎞ 2 ⎤ exp ⎢⎜ − ⎟ ⎥ d β ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ T − T∞ = C1 ∫ η 0 (1.4.30) O membro direito da Eq. (1.4.30) lembra a função erro, definida como erf ( x ) = 2 π ∫ 1/ 2 x 0 2 exp ⎡( − m ) ⎤ dm ⎣ ⎦ (1.4.30) Com as seguintes propriedades erf ( 0 ) = 0 erf ( ∞ ) = 1 (1.4.31a, b) d 2 ⎡⎣erf ( x ) ⎤⎦ = 1 / 2 = 1,1284 x =0 dx π (1.4.32) O lado direito da equação (1.4.30) pode ser reformulado como T − T∞ = 2C1 ∫ η 0 ⎡⎛ β ⎞ 2 ⎤ ⎛ β ⎞ exp ⎢⎜ − ⎟ ⎥ d ⎜ ⎟ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎝ 2 ⎠ η/2 exp ⎡( − m ) ⎤ dm 0 ⎣ ⎦ 1/ 2 π 2 η/2 2 = 2C1 exp ⎡( − m ) ⎤ dm 1 / 2 ∫0 ⎣ ⎦ 2 π = 2C1 ∫ 2 (1.4.33) = C3erf (η / 2 ) Pela condição de contorno (1.4.25), C3 é determinada como, C3 = Ti − T∞ . A solução para T ( x,t ) fica na forma T ( x,t ) − T∞ Ti − T∞ ⎡ ⎤ x = erf ⎢ ⎥ 1/ 2 ⎢⎣ 2 (α t ) ⎥⎦ (1.4.34) A partir da equação (1.4.34) pode-se calcular o fluxo de calor por Ti − T∞ ⎛ ∂T ⎞ q′′ ( t ) = −k ⎜ ⎟ = −k 1/ 2 ⎝ ∂x ⎠ x =0 (πα t ) (1.4.35) 67 1.4.2.2 O modelo do sólido semi-infinito: fluxo de calor constante no contorno Considere, agora, o caso em que a condição de contorno em x = 0 , seja fluxo e calor constante especificado, ou seja, em lugar de (1.4.17) tem-se −k ∂T = q0′′ em x = 0 ∂x (1.4.36) Definindo uma nova variável como φ = −k ∂T ∂x (1.4.37) e introduzindo-a na eq. (1.4.15) resulta ∂ 2φ 1 ∂φ = ∂x 2 α ∂t (1.4.38) As condições inicial e de contorno ficam na forma para a variável φ φ = 0 em t = 0 (1.4.39) φ = q0′′ em x = 0 (1.4.40a) φ → 0 em x → ∞ (1.4.40b) De acordo com o item 1.4.5.1, a solução de (1.4.38) é da forma ⎛ ⎞ ⎟ + C2 ⎝ 2 αt ⎠ φ = C1erf ⎜ x (1.4.41) Usando as condições de contorno (1.4.40a, b) obtém-se C1 = − q0′′ e C2 = q0′′ , e, portanto, ⎡ ⎞⎤ ⎛ x ⎞ ⎟ ⎥ = q0′′erfc ⎜ ⎟ ⎝ 2 α t ⎠⎦ ⎝ 2 αt ⎠ ⎛ φ = q0′′ ⎢1 − erf ⎜ ⎣ x (1.4.42) Substituindo (1.4.42) em (1.4.37) resulta q′′ ∂T ⎛ x ⎞ = − 0 erfc ⎜ ⎟ k ∂x ⎝ 2 αt ⎠ (1.4.43) que integrada leva ao resultado T =− q0′′ ∞ ⎛ x ⎞ erfc ⎜ ⎟dx + C ∫ x k ⎝ 2 αt ⎠ (1.4.44) Após integração por partes da integral na eq., (1.4.44) obtém-se e determinado a constante C obtém-se a solução para T ( x,t ) na forma ⎛ x 2 ⎞ q0′′x 2q0′′ ⎛ α t ⎞ ⎛ x ⎞ T ( x,t ) − Ti = erfc ⎜ ⎜ ⎟ exp ⎜ − ⎟− ⎟ ⎜ ⎟ k ⎝ π ⎠ ⎝ 2 αt ⎠ ⎝ 4α t ⎠ k (1.4.45) 68 A partir de (1.4.45) pode-se obter a temperatura na face x = 0 como T0 = Ti + 2q0′′ ⎛ α t ⎞ ⎜ ⎟ k ⎜⎝ π ⎟⎠ (1.4.46) 1.4.2.3 O modelo do sólido semi-infinito: superfície em contato com um fluido Neste caso a condição de contorno em x = 0 é imposta na forma −k ∂T = h (T∞ − T ) em x = 0 ∂x (1.4.47) Por procedimentos similares aos dos casos anteriores chega-se á solução na forma: T ( x,t ) − T∞ Ti − T∞ ⎛ x = e rf ⎜ ⎝ 2 αt ⎛ x ⎛ hx h 2α t ⎞ h αt ⎞ ⎞ exp + + ⎟ ⎜ + 2 ⎟ erfc ⎜⎜ ⎟ k ⎠ k ⎟⎠ ⎠ ⎝ k ⎝ 2 αt (1.4.48) 1.4.3 Condução unidimensional O interesse em soluções unidimensionais transientes é que elas serão usadas, posteriormente, nas soluções multidimensionais. 1.4.3.1 Placa de espessura constante Considere o caso de uma placa de espessura 2L e temperatura inicial Ti , cujos lados são repentinamente expostos a um meio convectivo de temperatura T∞ e coeficiente h . Definindo o excesso de temperatura θ ( x,t ) = T ( x,t ) − T∞ , resulta o conjunto de equações para solução do problema: - equação de condução ∂ 2θ 1 ∂θ = ∂x 2 α ∂t (1.4.49) - condição inicial θ = θi em t = 0 (1.4.50) 69 - condições de contorno ∂θ = 0 em x = 0 ∂x −k (1.4.51) ∂θ = hθ em x = L ∂x (1.4.52) Pelo procedimento de separação de variáveis, adotando θ ( x,t ) = X ( x )τ ( t ) , obtém-se d2X + λ2x = 0 2 dx (1.4.53) dX = 0 em x = 0 dx (1.4.54) dX h + X = 0 em x = L dx k (1.4.55) dτ = −αλ 2 dt τ (1.4.56) A solução de (1.4.53) a (1.4.55) corresponde ao caso 4 da Tabela 4.2, sendo da forma: x⎞ ⎛ X = cos ⎜ λm L ⎟ L⎠ ⎝ (1.4.57) A solução de (1.4.56) é do tipo: τ = C exp ( −αλ 2t ) (1.4.58) Portanto, a solução de θ será da forma: ∞ θ ( x,t ) = ∑ Cm cos ( λm x ) exp ( −αλm2 t ) (1.4.59) m =1 Aplicando a condição inicial obtém-se ∞ θ i = ∑ Cm cos ( λm x ) (1.4.60) m =1 Operando ambos os da eq. (1.4.60) por ∫ L 0 cos ( λn x ) dx e usando a condição de ortogonalidade das autofunções θi ∫ cos ( λm x ) dx = Cm ∫ cos 2 ( λm x ) dx L L 0 0 (1.4.61) Após efetuar as integrações em (1.4.61) chega à expressão da constante: Cm = 2θ i sen ( λm L ) λm L + sen ( λm L ) cos ( λm L ) (1.4.62) A substituição de (1.4.62) em (1.4.59) leva à solução para a temperatura na forma: 70 θ ( x,t ) T ( x,t ) − T∞ = Ti − T∞ θi sen ( am ) αt ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ cos ⎜ am ⎟ exp ⎜ − am2 2 ⎟ = 2∑ L ⎠ ⎝ L⎠ ⎝ m =1 am + sen ( am ) cos ( am ) ∞ (1.4.63) na qual am tg ( am ) = hL , am = λm L k Na forma adimensional (1.4.64) T − T∞ , a temperatura depende de três grupos adimensionais: Ti − T∞ x αt hL , Fo = 2 , Bi = L L k (1.4.65) na qual Fo e Bi são os números de Fourier e de Biot respectivamente. A temperatura no plano médio da placa pode ser calculada fazendo x = 0 na eq. (1.4.63), resultando ∞ sen ( am ) Tc − T∞ = 2∑ exp ( − am2 Fo ) + Ti − T∞ a sen a cos a ( m) ( m) m =1 m (1.4.66) A temperatura em qualquer outro plano da placa pode ser calculada na forma: T ( x,t ) − T∞ Ti − T∞ ⎡ T ( x,t ) − T∞ ⎤ ⎡ Tc ( t ) − T∞ ⎤ =⎢ ⎥×⎢ ⎥ ⎢⎣ Tc ( t ) − T∞ ⎥⎦ ⎣ Ti − T∞ ⎦ (1.4.67) É comum graficar os termos entre colchetes na eq. (1.4.67) em função do número de Fourier tendo o número de Biot como um parâmetro para facilitar estimativas rápidas da temperatura. A taxa total de transferência de calor é de interesse. Considerando apenas metade da placa, a máxima taxa de transferência de calor num intervalo 0 − t é calculada por Qi = ρWHLc (Ti − T∞ ) (1.4.68) na qual W e H são a largura e altura da placa respectivamente frontal á transferência de calor. A taxa de calor real num intervalo 0 − t é sempre menor do que o máximo e pode ser calculada como Q ( t ) = WH ∫ q′′dt (1.4.69) ⎛ ∂T ⎞ q′′ = −k ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ x = L (1.4.70) t 0 na qual 71 Normalmente se gráfica Q ( t ) / Qi em função de Bi 2 Fo . 1.4.3.2 Cilindro longo No caso de um cilindro longo, as equações governantes ficam na forma: - equação de condução ∂ 2θ 1 ∂θ 1 ∂θ + = ∂r 2 r ∂r α ∂t (1.4.71) - condição inicial θ = θi em t = 0 (1.4.72) - condições de contorno ∂θ = 0 em r = 0 ∂r −k (1.4.73) ∂θ = hθ em r = ro ∂r (1.4.74) A separação de variáveis agora é proposta como θ ( r,t ) = R ( r )τ ( t ) , que resulta em d 2 R 1 dR + + λ2R = 0 2 dr r dr (1.4.75) dR = 0 em r = 0 dr (1.4.76) dR h + R = 0 em r = ro (raio externo) dr k (1.4.77) A equação na variável tempo é idêntica à do caso do item 1.4.3.1. A solução geral da eq. (1.4.75) é do tipo: R = C1 J 0 ( λ r ) + C2Y0 ( λ r ) (1.4.78) na qual J 0 e Y0 são funções de Bessel de ordem zero do primeiro e segundo tipos respectivamente. O valor finito da temperatura no centro do cilindro requer que C2 = 0 . A solução final para a temperatura será da forma: T ( r,t ) − T∞ Ti − T∞ ∞ =∑ n =1 ( ⎛ r⎞ 2 Bi J 0 ⎜ bn ⎟ exp −bn2 Fo 2 b + Bi J 0 ( bn ) ⎝ ro ⎠ 2 n ) ( ) (1.4.79) 72 Na qual os números de Fourier e Biot são definidos como Fo = αt 2 o r , Bi = hro k (1.4.80) e os autovalores bn = λn ro sã as raízes da equação transcendental: bn J1 ( bn ) − BiJ 0 ( bn ) = 0 (1.4.81) 1.4.3.3 Esfera No caso de uma esfera, as equações governantes ficam na forma: - equação de condução ∂ 2θ 2 ∂θ 1 ∂θ + = ∂r 2 r ∂r α ∂t (1.4.82) - condição inicial θ = θi em t = 0 (1.4.83) - condições de contorno ∂θ = 0 em r = 0 ∂r −k ∂θ = hθ em r = ro ∂r (1.4.84) (1.4.85) Definindo uma nova variável φ = rθ obtém-se um novo conjunto de equações na forma: - equação de condução ∂ 2φ 1 ∂φ = ∂r 2 α ∂t (1.4.86) - condição inicial φ = rθi em t = 0 (1.4.87) - condições de contorno φ = 0 em r = 0 (1.4.88) ∂φ ⎛ h 1 ⎞ + ⎜ − ⎟ φ = 0 em r = ro ∂r ⎝ k ro ⎠ (1.4.89) 73 As equações (1.4.86), (1.4.88) e (1.4.89), após separação de variáveis, correspondem ao caso 7 da Tabela 4.2 e, portanto, a solução é do tipo: ∞ φ = ∑ Cm sen ( λm r ) exp ( −αλm2 t ) (1.4.90) m =1 na qual ⎛ hro ⎞ − 1⎟ ⎝ k ⎠ λm r0 ctg ( λm ro ) = − ⎜ (1.4.91) Aplicando a condição inicial obtém-se ∞ rθi = ∑ Cm sen ( λm r ) (1.4.92) m =1 Operando ambos os da eq. (1.4.92) por ∫ r0 0 cos ( λn r ) dr e usando a condição de ortogonalidade das autofunções θi ∫ r s en ( λm r ) dr = Cm ∫ s en 2 ( λm r ) dr r0 r0 0 0 (1.4.93) Após efetuar as integrações em (1.4.89) chega à expressão da constante: Cm = 2θ i ⎡⎣ sen ( λm r0 ) − λm r0 cos ( λm r0 ) ⎤⎦ λm ⎡⎣λm r0 − sen ( λm r0 ) cos ( λm r0 )⎤⎦ (1.4.94) A substituição de (1.4.94) em (1.4.90) leva à solução para a temperatura na forma: ∞ s en ( sm r / r0 ) m =1 sm r / r0 θ = 2θi ∑ K m exp ( − sm2 Fo ) (1.4.95) na qual 2 ⎡ sen ( sm ) − sm cos ( sm ) ⎤⎦ Km = ⎣ sm − sen ( sm ) cos ( sm ) (1.4.96) sm ctg ( sm ) = 1 − Bi, sm = λm r0 (1.4.97) Fo = αt 2 o r , Bi = hro k (1.4.98) Tanto no caso do cilindro quanto da esfera são apresentados resultados similares ao caso da placa de espessura finita. 74 1.4.4 Condução multidimensional transiente Os resultados do item 1.4.3 podem ser usados para se determinar o campo de temperatura em condução multidimensional como será ilustrado a seguir. Considere o caso em que se deseja determinar a distribuição de temperatura numa barra retangular 2 L × 2 H . Como ilustrado na Figura 1.4.3, a distribuição de temperatura numa barra imersa num fluido pode ser determinada como o produto da solução da placa vertical pela solução da placa horizontal. A equação original é da forma ∂ 2θ ∂ 2θ 1 ∂θ + = ∂x 2 ∂y 2 α ∂t (1.4.99) Supondo uma solução na forma θ ( x,t, y ) = θ L ( x,t ) × θ H ( y,t ) (1.4.100) Derivando (1.4.100) duas vezes em relação a x e y, uma vez em relação ao tempo e substituindo em (1.4.99), pode-se verificar que ela é automaticamente satisfeita ⎛ ∂ 2θ L 1 ∂θ L ⎞ ⎛ ∂ 2θ H 1 ∂θ H ⎞ − + θ ⎜ 2 ⎟ H ⎜ 2 − ⎟θ L = 0 α ∂t ⎠ α ∂t ⎠ ⎝ ∂x ⎝ ∂y (1.4.101) Ambos os termos entre parênteses são nulos o que mostra que a solução produto satisfaz a equação original. A solução (1.4.100) é respeitada apenas se a temperatura inicial também satisfaça θi = θi ,L × θi ,H (1.4.102) Dividindo (1.4.100) por (1.4.102) membro a membro, pode-se verificar que a temperatura adimensional da barra também é o produto das temperaturas adimensionais das placas, ou seja, ⎡ θ ( x, y,t ) ⎤ ⎡θ ( x,t ) ⎤ ⎡ θ ( y,t ) ⎤ =⎢ ×⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ θi ⎦ placa , θi ⎦ placa , , ⎣ θi ⎦ barra ⎣ ⎣ 2 L× 2 H L = metade da espessura H = metade da espessura (1.4.103) Bejan (1993) mostra que a taxa total de transferência de calor pode ser calculada como Q (t ) Qi ⎛Q⎞ ⎛Q⎞ ⎛Q⎞ ⎛Q⎞ = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ Qi ⎠ L ⎝ Qi ⎠ H ⎝ Qi ⎠ L ⎝ Qi ⎠ H (1.4.103) 75 Figura 1.4.3 Produto de soluções unidimensionais Outras soluções para outras geometrias podem ser obtidas da mesma maneira. Considere o caso de um cilindro curto de comprimento 2 L e raio externo ro , como ilustrado na Figura 1.4.4. 76 Figura 1.4.4 – Determinação da temperatura dependente do tempo num cilindro curto. A solução para este caso fica na forma ⎡ θ ( r,x,t ) ⎤ ⎡ θ ( r,t ) ⎤ ⎡ θ ( x,t ) ⎤ =⎢ ×⎢ ⎢ ⎥ cilindro curto , ⎥ ⎥ θi ⎦ placa , longo , ⎣ ⎣ θi ⎦ L = metade do comprimento ⎣ θi ⎦ cilindro r = raio L = metade da espessura ro = raio (1.4.104) o Os casos da placa semi-infinita e de um cilindro semi-infinito podem ser obtidos como ilustrado na Figura 1.4.5. Figura 1.4.5 – Determinação da temperatura dependente do tempo numa placa e num cilindro semi-infinitos. 77 A solução da placa semi-infinita é o produto da solução da placa de espessura finita pela solução do sólido semi-infinito (item 1.4.2) e fica na forma ⎡ θ ( x, y,t ) ⎤ ⎡ θ ( x,t ) ⎤ ⎡ θ ( y,t ) ⎤ =⎢ ×⎢ (1.4.105) ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ θi ⎦ placa infinita , θi ⎦ meio semi-infinito, semi −inf inita , ⎣ θi ⎦ Lplaca ⎣ ⎣ = metadade espessura L = metade da espessura y = normal a superficie No caso do cilindro semi-infinito, a solução é da forma ⎡ θ ( r,x,t ) ⎤ ⎡θ ( r,t ) ⎤ ⎡ θ ( x,t ) ⎤ =⎢ ×⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ θi ⎦ cilindro infinito, ⎣ θi ⎦ meio semi-infinito, semi − infinito, ⎣ θi ⎦ cilindro ⎣ r = raio r = raio x = normal a superficie o (1.4.106) o O calculo da taxa total de transferência de calor é feito nos casos das equações (1.4.104) a (1.4.106) por uma equação similar à eq. (1.4.103) Finalmente, no caso de um paralelepípedo, como ilustrado na Figura 1.4.6, a solução tridimensional pode ser obtida como ⎡ θ ( x, y,z,t ) ⎤ ⎡ θ ( x,t ) ⎤ =⎢ ⎢ ⎥ ⎥ θi θi ⎦ placa , , ⎣ ⎦ barra ⎣ 2 L× 2 H L = metade da espessura ⎡ θ ( y,t ) ⎤ ×⎢ ⎥ , ⎣ θi ⎦ Hplaca = metade da espessura (1.4.107) ⎡ θ ( z,t ) ⎤ ×⎢ ⎥ , ⎣ θ i ⎦Wplaca = metade da espessura 1.4.6 - Determinação da temperatura dependente do tempo num paralelepípedo imerso num fluido. A taxa total de transferência de calor neste caso, de acordo com Bejan (1993) é calculada como Q (t ) Qi ⎛ Q ⎞ ⎛ Q ⎞ ⎡ ⎛ Q ⎞ ⎤ ⎛ Q ⎞ ⎡ ⎛ Q ⎞ ⎤⎡ ⎛ Q ⎞ ⎤ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + ⎜ ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ Qi ⎠ L ⎝ Qi ⎠ H ⎢⎣ ⎝ Qi ⎠ L ⎥⎦ ⎝ Qi ⎠W ⎢⎣ ⎝ Qi ⎠ L ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ Qi ⎠ H ⎥⎦ (1.4.108) 78 1.4.5 Fontes e sumidouros concentrados Neste item consideram-se casos de condução dependente do tempo em que o aspecto principal é a geração (ou absorção) de calor em uma região muito pequena – uma região concentrada- do meio condutor. Quando calor é liberado no meio a partir desta pequena região, o processo será de condução transiente na vizinhança de uma fonte de calor. Exemplos incluem fissuras cheias de vapor geotérmico, explosões subterrâneas, containeres de lixo nuclear ou químico, cabos elétricos enterrados no subsolo. Quando a pequena região recebe calor do meio infinito, a região funciona como um sumidouro concentrado de calor. Um exemplo é o caso de um duto enterrado de um trocador de calor através do qual uma bomba de calor recebe calor do meio ambiente (solo) a fim de aumentá-lo e depositá-lo num edifício. 1.4.5.1 Fontes e sumidouros instantâneos Considere, primeiramente, a direção x através de um meio infinito com propriedades constantes ( k ,α , ρ ,c ) , Figura 1.4.7. A equação de condução na direção x , para o excesso de temperatura θ ( x,t ) = T ( x,t ) − T∞ é: ∂ 2θ 1 ∂θ = ∂x 2 α ∂t (1.4.109) Uma solução que satisfaz (1.4.109) pode ser do tipo: θ ( x,t ) = ⎛ x2 ⎞ exp ⎜ − ⎟ αt ⎝ 4α t ⎠ K (1.4.110) na qual K é uma constante. Integrando a eq. (1.4.110) resulta ∫ ∞ −∞ θ ( x,t ) dx = ∫ ∞ −∞ ⎛ x2 ⎞ exp ⎜ − ⎟ dx αt ⎝ 4α t ⎠ K Após um rearranjo a eq. (1.4.111) pode ser escrita como (1.4.111) 79 ∫ ∞ −∞ ⎧⎪ θ ( x,t ) dx = K π 1 / 2 ⎨− 2 ∫ −∞ ⎡ ⎛ η ⎞ 2 ⎤ ⎛ dη ⎞ 2 exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ + 1/ 2 ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 2 ⎠ π ⎩⎪ π =K π 1 / 2 ⎡⎣ −erf ( −∞ ) + erf ( ∞ ) ⎤⎦ =K π 1 / 2 ⎡⎣ − ⎡⎣ −erf ( ∞ ) ⎤⎦ + erf ( ∞ ) ⎤⎦ =K π 1 / 2 2erf ( ∞ ) 1/ 2 0 ∫ ∞ 0 ⎡ ⎛ η ⎞ 2 ⎤ ⎛ dη ⎞ ⎫⎪ exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟⎬ ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 2 ⎠ ⎭⎪ (1.4.112) =2π 1 / 2 K A integral do lado esquerdo da eq. (1.4.112) é proporcional ao inventário de energia interna do de meio inteiro: ∫ ∞ −∞ ∞ ∞ −∞ −∞ ρ ( u − u∞ ) Adx = ∫ ρ c (T − T∞ ) Adx = ρ cA∫ θ dx (1.4.113) na qual A é a grande área do plano normal à direção x . Mas ∫ ∞ −∞ ρ ( u − u∞ ) Adx = Q (1.4.114) é depósito de calor no plano x = 0 no instante de tempo t = 0 . Combinando as equações (1.4.112) a (1.4.114) obrem-se K= Q′′ (1.4.115) 2π 1 / 2 ρ c na qual Q′′ = Q / A é o “poder” da fonte plana instantânea. Assim, o excesso de temperatura na vizinhança do plano x = 0 em que Q′′ é liberado no instante t = 0 é θ ( x,t ) = ⎛ x2 ⎞ Q′′ exp ⎜ − ⎟ 2 ρ c πα t ⎝ 4α t ⎠ (fonte plana instantânea) (1.4.116) Figura 1.4.7 – Distribuição de temperatura na vizinhança de uma fonte de calor instantânea. 80 Fórmulas similares podem ser obtidas para fontes no formato de linha ou fontes pontuais. Em tais casos tem-se θ ( r,t ) = θ ( r,t ) = ⎛ r2 ⎞ Q′ exp ⎜ − ⎟ 4 ρ cπα t ⎝ 4α t ⎠ Q 8 ρ c (πα t ) 3/ 2 (fonte linha instantânea) ⎛ r2 ⎞ exp ⎜ − ⎟ ⎝ 4α t ⎠ (fonte ponto instantânea) (1.4.117) (1.4.118) 1.4.5.2 Fontes e sumidouros persistentes (contínuos) A distribuição de temperatura dependente do tempo e o processo de condução que são induzidos por fontes que persistem no tempo podem ser determinados analiticamente pela superposição de efeitos de um grande número de fontes instantâneas. Assuma o caso, novamente, o caso da fonte plana, eq. (1.4.116), só que no instante t = 0 e no plano x = 0 , a magnitude da fonte seja Q0′′ . Então, pela eq. (1.4.116) tem-se a distribuição de temperatura ⎛ x2 ⎞ Q0′′ θ0 ( x,t ) = exp ⎜ − ⎟ 2 ρ c πα t ⎝ 4α t ⎠ (1.4.119) Assuma também que no instante t = t1 , o plano x = 0 recebe uma nova fonte, Q1′′ . Se esta nova fonte ocorrer só, ou seja, sem a presença de Q0′′ , então a variação de temperatura provocada por Q1′′ poderia ser escrito na forma ⎡ ⎤ x2 θ1 ( x,t ) = exp ⎢ − ⎥ 2 ρ c πα ( t − t1 ) ⎢⎣ 4α ( t − t1 ) ⎥⎦ Q1′′ (1.4.120) na qual, agora, t − t1 conta o tempo decorrido após a liberação de Q1′′ . Se Q1′′ ocorrer na presença da temperatura criada por Q0′′ no instante t = 0 , então, a distribuição de temperatura após t = t1 é simplesmente a soma de θ0 ( x, t ) e θ1 ( x, t ) . Ou seja, para t > 0 pode-se escrever ⎧⎪θ 0 ( x, t ) 0 < t < t1 θ ( x, t ) = ⎨ t1 < t ⎪⎩θ 0 ( x, t ) + θ1 ( x, t ) Pode ser mostrado que θ = θ 0 + θ1 satisfaz a eq. (1.4.109). (1.4.121) 81 Outras entradas podem ser adicionadas à eq. (1.4.121) se fontes adicionais de dimensão Qi′′ forem depositadas em tempos ti na fonte plana x = 0 . Por exemplo, após o tempo t = tn (isto é, após n + 1 depósitos), a distribuição de temperatura é dada por θ ( x, t ) = θ0 + θ1 + θ 2 + + θn (1.4.122) Uma fonte contínua no plano x = 0 em o mesmo efeito que uma seqüência de um grande número de pequenas fontes planas instantâneas de igual tamanho: ΔQ′′ = q′′Δt (1.4.123) na qual q′′ (W / m 2 ) é o depósito de calor por unidade de área e tempo, e Δt é a curta duração de cada depósito (tiro). Quando Δt se torna infinitesimalmente pequeno, a soma na eq. (1.4.122) é substituída por uma integral θ ( x, t ) = ∫ θi dτ t 0 ⎡ ⎤ x2 exp ⎢ − ⎥ dτ 0 2 ρ c πα ( t − τ ) ⎣⎢ 4α ( t − τ ) ⎦⎥ =∫ q′′ t (1.4.124) No integrando, a variável muda τ marca o tempo quando cada adicional fonte q′′dτ entra em ação. Quando a integral (1.4.124) é avaliada o resultado é a distribuição de temperatura próxima ao plano x = 0 em que fontes contínuas q ′′ são ligadas no tempo t = 0 : θ ( x,t ) = ⎛ x ⎞ ⎛ x 2 ⎞ q′′ x q′′ ⎛ t ⎞ exp erfc ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟ (fonte plana contínua) (1.4.125) ⎜− ⎟− ρ c ⎝ πα ⎠ ⎝ 4α t ⎠ 2k ⎝ 2 αt ⎠ No plano x = 0 tem-se q′′ ⎛ t ⎞ θ ( 0 ,t ) = ρ c ⎜⎝ πα ⎟⎠ 1/ 2 (1.4.126) o que mostra que mesmo que a fonte plana persista em nível constante q ′′ , a temperatura na fonte plana e no meio aumenta quando o tempo t cresce. As distribuições de temperatura também podem ser obtidas de forma similar para fontes linhas e pontuais contínuas. No caso de fontes linhas, pela eq. (1.4.117) pode obter θ ( r,t ) = q′ 4π k ∫ ∞ r 2 e−u du / 4α t u (fonte linha contínua) (1.4.127) Em um tempo suficientemente longo e/ou para distâncias radiais pequenas, onde o grupo r 2 / 4α t é menor do que 1, a distribuição de temperatura se aproxima por θ ( r, t ) ≅ q′ 4π k ⎡ ⎛ 4α t ⎞ ⎤ ⎢ln ⎜ r 2 ⎟ − 0,5772 ⎥ ⎠ ⎣ ⎝ ⎦ ⎛ r2 ⎞ ⎜ ⎟ << 1 α 4 t ⎝ ⎠ (1.4.128) 82 O efeito de uma fonte pontual contínua pode ser determinado pela superposição de um grande número de fontes pontuais instantâneas de igual tamanho: θ ( r,t ) = ⎛ q r2 ⎞ e rfc ⎜ − ⎟ 4π kr ⎝ 2 αt ⎠ (fonte pontual contínua) (1.4.129) Lembrando que erfc ( 0 ) = 1 , pode-se concluir que na medida em que o tempo cresce e o 1/ 2 argumento r / ⎡ 2 (α t ) ⎤ se torna consideravelmente menor do que 1, a distribuição de ⎣ ⎦ temperatura se estabiliza no nível θ ( r ,∞ ) = q 4π kr (1.4.130) As mesmas fórmulas e equações se aplicam para o caso de sumidouros instantâneos e contínuos, pela simples troca dos sinais de ( Q′′, Q′, Q, q′′, q′, q ) nas respectivas equações. 1.4.5.3 Fontes de calor móveis Uma característica das fontes e sumidouros móveis é a simetria das isotermas em torno do local da fonte. Agora, considera o caso de fontes que se movem em relação ao meio condutivo com velocidade constante, como ilustrado na Figura 1.4.8, a qual pode representar um processo de soldagem de duas chapas. Após um longo período de tempo, pode-se escrever as equações governantes para essa fonte linha como U ∂T ∂ 2T =α 2 ∂x ∂y (1.4.131) T = T∞ em y = ±∞ (1.4.132) ∞ q′ = ∫ ρ cU (T − T∞ ) dy (1.4.133) −∞ Figura 1.4.8 – Fonte móvel 83 A solução do problema (1.4.131) a (1.4.133) pode ser obtida definindo as variáveis T ( x, y ) − T∞ = q′ / ρ c θ (η ) (U α x ) 1/ 2 (1.4.134) 1/ 2 ⎛U ⎞ η = y⎜ ⎟ ⎝αx ⎠ (1.4.135) as quais substituídas em (1.4.131) a (1.4.133) resulta d 2θ η dθ 1 + + θ =0 dη 2 2 dη 2 (1.4.136) θ = 0 em η = ±∞ (1.4.137) ∫ ∞ −∞ θ dη = 1 (1.4.138) A solução de (1.4.136) que satisfaz (1.4.236) e (1.4.137) deve ser do tipo θ = Ce−η 2 /4 (1.4.139) a qual substituída em (1.4.138) leva ao resultado para a constante C ∞ C ∫ e −η / 4 dη = 1 2 −∞ ⎡ ∞ −⎛⎜ η ⎞⎟ ⎛ η ⎞ ⎤ 2C ⎢ ∫ e ⎝ 2 ⎠ d ⎜ ⎟ ⎥ = 1 ⎢ −∞ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎣ 2 ⎡ 0 −⎜⎛ η ⎟⎞ ⎛ η ⎞ ∞ −⎜⎛ η ⎟⎞ ⎛ η ⎞ ⎤ 2C ⎢ ∫ e ⎝ 2 ⎠ d ⎜ ⎟ + ∫ e ⎝ 2 ⎠ d ⎜ ⎟ ⎥ = 1 ⎢ −∞ ⎝2⎠ 0 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎣ 2 π 1/ 2 ⎡ 2 2 −∞ ⎛η ⎞ −⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 2 ⎛η ⎞ d ⎜ ⎟ + 1/ 2 ⎝2⎠ π ⎢− 2C e 2 ⎢ π 1/ 2 ∫0 ⎣ 1/ 2 Cπ ⎡⎣ −erf ( −∞ ) + erf ( ∞ ) ⎤⎦ = 1 Cπ 1/ 2 2erf ( ∞ ) = 1 ∫ ∞ 0 e ⎛η ⎞ −⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 ⎛ η ⎞ ⎤⎥ d ⎜ ⎟ =1 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ (1.4.140) C = 1/ π 1/ 2 2 A solução para θ será, portanto, da forma e −η / 4 θ = 1/ 2 2π 2 (1.4.141) que substituída em (1.4.134) juntamente com (1.4.135) leva ao resultado para a distribuição de temperatura: T ( x, y ) − T∞ = q′ / ρ c ( 4π U α x ) 1/ 2 ⎛ Uy 2 ⎞ exp ⎜ − ⎟ ⎝ 4α x ⎠ (1.4.142) 84 No caso de uma fonte pontual contínua, de forma similar pode-se obter a distribuição de temperatura como T ( r , y ) − T∞ = ⎛ Ur 2 ⎞ q′ / ρ c exp ⎜ − ⎟ 4πα x ⎝ 4α x ⎠ (1.4.143) 1.4.6 Solidificação e fusão Os problemas de transferência de calor com mudança de fase envolvem um movimento de fronteira cuja posição deve ser determinada como parte da solução. Os casos considerados aqui são de fusão e solidificação. 1.4.6.1 Solidificação e fusão unidimensional A Figura 1.4.9 ilustra os casos de fusão e solidificação unidimensional de um material. Figura 1.4.9 – Processos de fusão e solidificação A Figura 1.4.10 ilustra o movimento da fronteira e balanço de energia na mudança de fase. Considerando um volume de controle em torno da fronteira móvel tem-se pela primeira lei da termodinâmica dδ ⎛ ⎜ρA dt ⎝ ⎞ ⎟ hl ⎠ dδ ⎛ −⎜ρA dt ⎝ ⎞ ⎛ ∂T ⎞ em x = δ ( t ) ⎟ hs = −kl A ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ∂x ⎠ x =δ , lado liquido (1.4.144) 85 na qual A , hl hs são a entalpia são a área frontal do volume de controle, a entalpia específica do líquido e a entalpia específica do sólido respectivamente. O termo do lado direito de (1.4.144) representa a transferência de calor que chega de cima, isto é, do lado líquido da frente de fusão. Não foi considerado nenhum termo de transferência de calor do lado do sólido da frente de fusão, pois o sólido foi considerado isotérmico. O coeficiente kl é, portanto, a condutividade térmica do líquido. Figura 1.4.10 – Fusão de um sólido semi-infinito O cálculo da frente de fusão requer a determinação dos campos de temperatura. Uma solução simples é baseada na observação de que bem no início do processo, quando a camada de fusão é bem fina, a distribuição de temperatura é linear: T ( x,t ) − Tm T0 − Tm ≅ 1− x δ (t ) (1.4.145) da qual se obtém ∂T ( x,t ) ∂x ≅− T0 − Tm δ (t ) (1.4.146) Substituindo (1.4.146) em (1.4.144) resulta uma equação para determinar δ : δ dδ k ≅ l (T0 − Tm ) dt ρ hsl (1.4.147) cuja solução é ⎡ kt ⎤ δ ( t ) ≅ ⎢ 2 l (T0 − Tm ) ⎥ ⎣ ρ hsl ⎦ 1/ 2 (1.4.148) em que hsl = hl − hs é o calor latente de fusão do material. De acordo com Bejan (1993) uma solução exata foi obtida por Stefan e é da forma: 86 π 1 / 2 λ exp ( λ 2 ) erf ( λ ) = c (T0 − Tm ) hsl (1.4.149) na qual c é o calor específico do líquido e λ é um número adimensional definido como λ= δ 1/ 2 2 (α t ) (1.4.150) O grupo aparecendo do lado direito da eq. (1.4.149) é denominado por número de Stefan: Ste = c (T0 − Tm ) hsl (1.4.151) No caso em que há troca de calor tanto no líquido quanto no sólido como ilustrado nos processos de solidificação e fusão da Figura 1.4.11, a equação na interface fica na forma ks dδ ( t ) ∂Ts ∂T em x = δ ( t ) − kl l = ρ hsl ∂x ∂x dt (1.4.152) Se do lado líquido predominar um processo de troca convectiva com coeficiente de troca de calor convectivo h , a equação na interface fica na forma ks dδ ( t ) ∂Ts em x = δ ( t ) − h (T∞ − Tm ) = ρ hsl ∂x dt (1.4.153) Figura 1.4.11 Processo de mudança de fase: (a) solidificação; (b) fusão Se as densidades do líquido e do sólido forem diferentes, com ρ s > ρl e considerando movimento do líquido pelos efeitos volumétricos, a equação na interface fica como ks ∂Ts ∂T − kl l = ( ρl hl − ρ s hs ) Vx − ρl hV l l em x = δ ( t ) ∂x ∂x (1.4.154) na qual Vl é a velocidade do líquido pelos efeitos volumétricos e a velocidade da fronteira é 87 Vx = dδ ( t ) (1.4.155) dt Um balanço de massa na fronteira leva ao resultado ( ρl − ρ s )Vx = ρlVl (1.4.156) da qual se obtém Vl = ( ρl − ρ s )Vx ρl (1.4.157) Substituindo (1.4.157) em (1.4.154) obtém-se na interface ks ∂Ts ∂T − kl l = ρ s ( hl − hs ) Vx = ρ s hslVx em x = δ ( t ) ∂x ∂x (1.4.158) que é idêntica à eq. (1.4.152), exceto com a massa específica do sólido no lugar da massa específica constante. 1.4.6.2 Solidificação e fusão multidimensional No caso de um processo de fusão ou solidificação tridimensional, a frente de mudança de fase será uma superfície no espaço como ilustrado Figura 1.4.12 dada pela função F ( x, y,z,t ) = 0 . Figura 1.4.12 – Solidificação em três dimensões. Para um movimento da fronteira na direção da normal n , o balanço de energia na fronteira leva à equação ks ∂Ts ∂T − kl l = ρ ( hl − hs ) Vn em F ( x, y,z,t ) = 0 ∂n ∂n (1.4.159) 88 Uma forma explícita de escrever a função que representa a superfície de mudança de fase é: F ( x, y , z , t ) ≡ z − s ( x, y , t ) = 0 (1.4.160) O vetor normal à superfície pode ser calculado como n= ∇F (1.4.161) ∇F A superfície F está na temperatura de mudança de fase e, portanto, ela é uma superfície isotérmica; conseqüentemente, ∇T é normal a esta superfície, daí, n= ∇F ∇F ∇Ti = ∇Ti , i = s ou l (1.4.162) A partir de (1.4.162) pode-se obter que ∂Ti ∇T i∇F , i = s ou l = ∇Ti in = i ∂n ∇F Vn = V in = (1.4.163) V i∇F (1.4.164) ∇F A derivada total de (1.4.160) é: ∂F ∂F ∂F ∂F dt + dx + dy + dz = 0 ∂t ∂x ∂y ∂z (1.4.165) da qual se obtém ∂F dx ∂F dy ∂F dz ∂F + + =− ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t ∂F V i∇F = − ∂t Vn = V in = (1.4.166) −∂F / ∂t (1.4.167) ∇F Também se pode demonstrar que ∂F ∂s =− , ∂x ∂x ∂F ∂s =− , ∂y ∂y ∂F = 1, ∂z ∂F ∂s =− ∂t ∂t (1.4.168) 2 2 ∂Ti ⎡ ⎛ ∂s ⎞ ⎛ ∂s ⎞ ⎤ ∇Ti i∇F = ⎢1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ∂z ⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ (1.4.169) 2 2 ∂Ti ∂Ti ⎡ ⎛ ∂s ⎞ ⎛ ∂s ⎞ ⎤ = ⎢1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ / ∇F ∂n ∂z ⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ (1.4.170) 89 Substituindo (1.4.167) e (1.4.170) em (1.4.159) resulta para o caso tridimensional a equação na interface: ⎡ ⎛ ∂s ⎞ 2 ⎛ ∂s ⎞2 ⎤ ⎛ ∂T ∂T ⎞ ∂s em z = s ( x, y,t ) ⎢1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ks s − kl l ⎟ = ρ hsl ∂z ⎠ ∂t ⎢⎣ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎥⎦ ⎝ ∂z (1.4.171) Os casos bidimensionais e unidimensionais podem ser obtidos a partir de (1.4.171) como ⎡ ⎛ ∂s ⎞ 2 ⎤ ⎛ ∂Ts ∂T ⎞ ∂s em z = s ( x,t ) (2D) − kl l ⎟ = ρ hsl ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ks ∂z ⎠ ∂t ⎣⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎦⎥ ⎝ ∂z (1.4.172) ∂T ⎞ ds ⎛ ∂Ts em z = s ( t ) (1D) − kl l ⎟ = ρ hsl ⎜ ks dt ∂z ⎠ ⎝ ∂z (1.4.173) A eq. (1.4.173) é idêntica à eq. (1.4.152), bastando trocar z por x . 90 1.5 Convecção 1.5.1 Coeficiente de Transferência de Calor Convectiva Considere o escoamento de um fluido com velocidade V ( r ) e temperatura T ( r ) num canal de altura l, cuja parede inferior (y = 0) está a T1 e a parede superior (y = l) está a T2 . Suponha que a distribuição de temperatura em função de y seja como ilustrado na Figura 1.5.1 Figura 1.5.1 Temperatura de um fluido num canal em função de y. 91 O fluxo conduto-convectivo na parede inferior pode ser definido como q cc y =0 = −kf ∂T f ∂y = −k f y =0 Tm − T1 ξ = h(T1 − Tm ) (1.5.1) na qual h = função ( propriedad es do fluido , natureza do escoamento ) e é denominado de coeficiente de transferência de calor por convecção. Generalizando pode-se calcular o fluxo conduto convectivo por q cc = h Tw − Tc (1.5.2) na qual Tw é a temperatura na parede e Tc é uma temperatura característica do fluido. Tabela 1.5.1. Valores de h para determinados escoamentos Tipo Convecção natural Convecção forçada Mudança de fase Fluido H [Wm-2K-1] gás 5-30 água 100-1000 gás 10-300 água 300-12000 óleo 50-1700 metal líquido 6000-110000 ebulição (água) 3000-60000 condensação (água) 5000-110000 1.5.2 Convecção Forçada Externa Na convecção forçada externa tem-se interesse em calcular o fator de atrito e o coeficiente de transferência convectiva. 1.5.2.1 Escoamentos Laminares O fator de atrito local em escoamentos laminares é da forma: 92 c f ,x = 0,664 (1.5.3) Re x A força de cisalhamento numa parede de comprimento x é: ∫ x τ w, x dx = xτ w, x . Assim, 0 obtém-se τ w, x 1 2 ρu ∞ 2 = c f ,x = ∫ 1 x c f , x dx x 0 (1.5.4) O coeficiente médio de atrito, após substituir o coeficiente local na equação (1.5.4) e resolver a integral será c f , x = 2c f , x = 1,328 Re x (1.5.5) 1.5.2.1.1 Camada Limite Térmica A camada limite térmica geralmente é analisada considerando o caso Pr = 1 e o caso geral para qualquer número de Pr . O número de Nusselt é definido por Nu x ( X ) = ∂θ ( X ,0) ∂Y (1.5.6) e o fator de atrito é definido por c f ,x ( X ) = 2 ∂U ( X ,0) 0,664 = Re x ∂Y Re x A partir da equação (1.5.7) obtém-se que derivada da velocidade na parede é: ∂U ( X ,0) = 0,332 Re x ∂Y (1.5.7) 93 e portanto, como ∂θ ( X ,0) ∂U ( X ,0) , obtém-se o número de Nusselt, neste caso, definido = ∂Y ∂Y por Nu x ( X ) = 0,332 Re x (1.5.8) No caso mais geral de qualquer número de Prandtl não unitário assume-se que ⎛ θ ( X , Y ) = θ (η ) = θ ⎜⎜ Y ⎝ η ⎛ Pr exp⎜ − 2 0 θ (η ) = ∞ ⎝ ⎛ Pr exp⎜ − 0 ⎝ 2 ∫ ∫ ⎞ ⎟ , resultando a solução da distribuição de temperatura na forma ⎟ ⎠ Re L X η′ ⎞ f (η ′′)dη ′′ ⎟dη ′ 0 ⎠ η′ ⎞ f (η ′′)dη ′′ ⎟dη ′ 0 ⎠ ∫ ∫ (1.5.9) O número de Nusselt será então Nu x ( X ) = ∂θ ( X ,0) dθ ∂η = = ∂Y dη ∂Y Re L dθ (0) X dη (1.5.10) Na qual a função f (η ) é solução do sistema EDO a seguir: df =g dη dg =h dη dh = − fh + β g 2 − 1 dη ( (1.5.9b) ) com as seguintes valores iniciais f ( 0) = 0 g ( 0) = 0 h(0) = desconhecido (1.5.9c) 94 A partir da equação (1.5.10) pode-se obter correlações para calcular o número de Nusselt. Schilichting (1968) sugere as correlações, para 0,6 ≤ Pr ≤ 10 : Nu x ( X ) = 0,332 Re 1x/ 2 Pr 1 / 3 (1.5.11) e para o Nusselt global resulta Nu L = ∫ L 0 Nu x ( X ) dX = 0,664 Re1L/ 2 Pr 1 / 3 X (1.5.12) 1.5.2.1.2 Camada Limite Térmica Espessa (Parede Isotérmica) A distribuição de temperatura no escoamento paralelo a uma parede isotérmica na temperatura Tw é ilustrada na Figura 1.5.2. Neste caso, a espessura da camada limite térmica é bem maior do a espessura da camada limite hidrodinâmica, ou seja δ T >> δ (1.5.13) Figura 1.5.2.Camada térmica em fluidos com baixos números de Prandtl. A espessura da camada limite térmica será proporcional a razão de x pela raiz quadrada do número de Péclet, ou seja δt ≈ x Pe x , Pe x = u∞ x α O fluxo condutivo transversal à parede será (1.5.14) 95 q w, x = − k ∂T ∂y = h(Tw − T∞ ) (1.5.15) y =0 O gradiente de temperatura junto à parede então da ordem de grandeza q w, x ≈ k ΔT δt ∂T ΔT ≈ , ΔT = Tw − T∞ . O fluxo de calor será ∂y δt . O número de Nusselt definido como Nu x = h( x ) x , k pode ser reescrito em função do fluxo de calor como Nu x = q w, x x ΔT 1 x ≈k ΔT k δ t ΔT k (1.5.16) O número de Nusslet será, então, proporcional x / δ t , obtendo-se, após substituir a espessura da camada limite que Nu x ≈ x δt = Nu x ≈ Pe1x / 2 x ou que xPe x−1 / 2 (Pr << 1) (1.5.17). Os fluidos com Prandtl muito baixos são os metais líquidos mercúrio e sódio. 1.5.2.1.3 Camada Limite Térmica Fina (Parede Isotérmica) No caso da camada limite térmica ser bem mais fina do que a camada limite hidrodinâmica, Figura 1.5.3 Figura 1.5.3.Camada limite térmica para fluidos com altos números de Prandtl 96 δ T << δ (1.5.18) Neste caso em δ , u ≈ u ∞ e em δ t , u ≈ u , portanto, u δt ≈ u∞ ⇒u ≈ δ A partir da u δt u∞ δ (1.5.19) ΔT ΔT ≈ α 2 , resulta x δt δt ΔT ΔT u∞ ≈ α 2 ou δ t3 ≈ xαδ δ x δt (1.5.20) A equação (1.5.20) pode ser manipulada após substituir a espessura da camada limite hidrodinâmica: xα ⎛ ν ⎜ δ ≈ u ∞ ⎜⎝ xu ∞ 3 t δ t3 ≈ ⎞ ⎟⎟ ⎠ 1/ 2 ⎛ ⎞ ⎜ α ν ⎜ x ⋅ x ⎟⎟ 3 ⇒ δt ≈ x ν u ∞ ⎜ xu ∞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ν ⎠ 1/ 2 1 x ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⇒δ ≈ x Pr u ∞ x ⎜⎝ Re x ⎟⎠ 3 t O número de Nusselt definido por Nu x = x δt ν x3 1 Pr Re 3x / 2 δ t ≈ x Pr −1 / 3 Re −x 1 / 2 Nu x ≈ 1/ 2 2 (1.5.21) q w, x x terá portanto a ordem de grandeza ΔT k , resultando após substituição da equação (1.5.21) que Nu x ≈ Re 1x/ 2 Pr 1 / 3 , Pr >> 1 (1.5.22) 97 Fluidos com número de Prandtl altos incluem água e óleos pesados. Na literatura aparecem correlações da forma Nu x = 0,564 Re 1x/ 2 Pr 1 / 2 , (Pr ≤ 0,5) (1.5.23a) Nu x = 0,332 Re 1x/ 2 Pr 1 / 3 , (Pr ≥ 0,5) (1.5.23b) A transferência de calor total num comprimento x é: ∫ ∫ x x Nu x dx = xq w, x x q w, x dx = xq w, x ⇒ kΔT 0 0 obtendo-se após algumas transformações o número de Nusselt global q w, x x kΔT q w, x x kΔT = ∫ x 0 = Nu x = Nu x dx = x ∫ x 0 h( x ) x dx kx ∫ x1 x h ( x) x h( x)dx = k x 0 k q w, x x kΔT = 1,128 Re1x/ 2 Pr 1 / 2 N u x = 0,664 Re1x/ 2 Pr 1 / 3 (Pr ≤ 0,5) (Pr ≥ 0,5) Na literatura aparece para Pe x = u∞ x α (1.5.24a) (1.5.24b) > 100 , a correlação para todo faixa de número de Prandtl: Nu x = 0,928 Re1x/ 2 Pr 1 / 3 [1 + (0,0207 / Pr ) ] 2 / 3 1/ 4 (1.5.25) Outras situações de transferência de calor podem ocorrer: parede com um comprimento inicial não aquecido (isolado termicamente); temperatura de parede não 98 uniforme, fluxo de calor uniforme na parede ou fluxo de calor não uniforme na parede. Vide Bejan (1993). 1.5.2.2 Escoamentos Turbulentos Em escoamentos turbulentos sobre uma placa, o fator de atrito pode ser estimado pela correlação: −1 / 5 τ w, x 1 ⎛u x⎞ = c f , x u ∞2 = 0,0296⎜ ∞ ⎟ 2 ρ ⎝ ν ⎠ (1.5.26) A tensão média e espessura da camada limite são obtidas pelas correlações: τ w, L = 0,037 ρu ∞2 Re −L1 / 5 δ ⎛u x⎞ = 0,37⎜ ∞ ⎟ x ⎝ ν ⎠ (1.5.27) −1 / 5 (1.5.28) 1.5.2.2.1 Camada Limite Térmica O fluxo de calor aparente é definido como q w, x = −(k + ρc pα t ) ∂T ∂y (1.5.29) O coeficiente de transferência de calor pode ser definido como h( x ) = q w, x Tw − T∞ (1.5.30) Dividindo a tensão de parede pelo fluxo de calor resulta τ w, x q w, x = ρ (ν + ν t ) du ρc p (α + α t ) dT (1.5.31) 99 No caso particular de α = ν , α t = ν t o que é equivalente de se ter Pr = 1 e Prt = 1 ; resulta 1 du τ w , x = c p dT q w , x (1.5.32) Na parede, y = 0; u = 0, T = Tw . Em y → ∞; u = u ∞ , T = T∞ . Portanto τ w, x u∞ 1 = c p (Tw − T∞ ) q w, x (1.5.33) Define-se o número de Stanton como St x = q w, x τ w, x h( x ) = = ρc p u ∞ ρc p u ∞ (Tw − T∞ ) ρu ∞2 (1.5.34) Nu x Nu x = Pe x Re x Pr (1.5.35) ou St x = No caso de Pr = 1 e Prt = 1 , obtém-se a equação St x = 1 c f ,x 2 (1.5.36) que é conhecida como Analogia de Reynolds. No caso de Pr ≠ 1 e para Pr ≥ 0,5 Colburn sugeriu a correlação St x Pr 2 / 3 = 1 c f ,x 2 Neste caso o Nusselt local é dado pela correlação (1.5.37) 100 Nu x = 1 c f , x Re x Pr 1 / 3 = 0,0296 Re 4x / 5 Pr 1 / 3 2 (1.5.38) conhecida como Analogia de Colburn entre atrito e transferência de calor. O coeficiente médio de transferência de calor pode ser definido na forma hL = ∫ ∫ 1 xtr 1 L hx ,lam dx + hx ,turb dx L 0 L xtr (1.5.39) O número de Nusselt global ficara na forma Nu L = ( hL L = 0,664 Pr 1 / 3 Re1x/tr2 + 0,037 Pr 1 / 3 Re 4L / 5 − Re 4xtr/ 5 k ) (1.5.40) Se Re xtr = 5 x10 5 , então N u L = 0,037 Pr 1 / 3 (Re 4L / 5 − 23550); 5 x10 5 < Re L < 10 8 , Pr ≥ 0,5 (1.5.41) Para Re L < 5 x10 5 N u L = 0,664 Pr 1 / 3 Re1L/ 2 (1.5.42) A Figura 1.5.4 ilustra a variação do coeficiente de transferência de calor com x para escoamentos laminares e turbulentos. 101 Figura 1.5.4. Coeficiente local de transferência de calor 102 1.6 Convecção Forçada Interna 1.6.1 Fator de atrito de Fanning e Queda de Pressão A tensão na parede é definida, no caso do escoamento laminar no tubo, como U ⎛ du ⎞ = 4μ ⎟ rw ⎝ dr ⎠ r = rw τ w = μ⎜ − (1.6.1) O fator de atrito de Fanning é definido por f = com Re D = τw 1 ρU 2 2 = 4 μU 1 16 16 = = ρUD Re D rw 1 ρU 2 2 μ (1.6.2) ρUD . Na literatura também aparece o fator de atrito de Darcy-Weisbach μ f * = 4f = 64 Re D (1.6.3) Em dutos de seção não circular define-se o diâmetro hidráulico na forma Dh = 4A P ⎧ A = área da seção transversal ⎨ ⎩P = perímetro molhado (1.6.4) Alguns casos de dutos não circular são: a) duto de seção quadrada; Dh = a (onde a é o lado do quadrado) b) duto de seção retangular; Dh = 8 a (onde a é o comprimento do menor lado) 5 c) canal de placas paralelas; Dh = 2a (onde a é o espaçamento entre as placas) d) triângulo eqüilátero; Dh = a 3 ( onde a é o lado do triângulo) 103 A queda de pressão no duto ou tubo pode ser calculada a partir de um balanço de forças ΔpA = τ w PL Δp = f L 1 ρU 2 A/ P 2 Δp = 4 f L 1 ρU 2 Dh 2 (1.6.5) Em geral o fator de atrito pode ser definido na forma: f = C Re Dh (1.6.6) na qual C depende da forma da seção transversal do duto. Re Dh = UDh / ν . Na literatura encontra-se correlações do tipo C ≅ 16 exp(0,294 B 2 + 0,068B − 0,318) com B = πDh2 / 4 A (1.6.7) . Ex. 1.6.1 Calcule ΔP / L para escoamento de água a 20oC num tubo de D=2,7 cm e U = 6 cm/s. Determine também p comprimento da região de entrada. Compare com comprimento adotado na prática ( Le = 0,05 D Re D ). 1.6.2 Entrada Térmica No caso de escoamentos internos define-se a temperatura média de mistura na forma o 104 Tm = ∫ 1 uTdA UA A (1.6.8) O coeficiente de transferência de calor pode então ser definido como h= q ′w′ Tw − Tm (1.6.9) No caso de escoamento completamente desenvolvido termicamente num tubo tem-se ∂T ∂r ≈ r = rw Tw − Tm rw (1.6.10) Um balanço de energia num elemento de fluido de comprimento dz resulta ∫ ρu(i z + dz − i z )dA = q ′w′ Pdz A ∫ ρuc dTdA = q′′ Pdz p w A ρc p d ⎛⎜ uTdA ⎞⎟ = q ′w′ Pdz ⎝ ∫ A ⎠ dTm P q ′w′ = dz A ρc pU (1.6.11) No caso de tubo resulta dTm hπD(Tw − Tm ) 2 q ′w′ = = dz rw ρc pU mc p (1.6.12) A equação de energia em escoamento completamente desenvolvido hidrodinâmica e termicamente é: 105 ρc p u ( r ) ∂T 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ =k ⎜r ⎟ ∂z r ∂r ⎝ ∂r ⎠ (1.6.13) Uma análise de ordem de grandeza dos termos nesta equação mostra que ρc pU 1 q ′w′ ΔT k (constante) ≈ k 2 ou h ≈ rw rw ρc pU rw Como o número de Nusselt é definido por Nu Dh = (1.6.14) hDh , então, Nu D ≈ O(1) . k Para satisfazer a condição de h constante o perfil de temperatura deve ser da forma: ⎛r ⎞ T (r , z ) = Tw ( z ) − [Tw ( z ) − Tm ( z )]φ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ rw ⎠ (1.6.15) na qual φ é uma função apenas de r. No caso de parede com fluxo de calor uniforme resulta dTw dTm = dz dz (1.6.16) ∂T dTw dTm = = dz dz ∂z (1.6.17) e Neste caso, pode-se obter u (r ) q ′w′ 1 d ⎛ dφ ⎞ =− ⎜r ⎟ U krw ΔT r dr ⎝ dr ⎠ Com (1.6.18) 106 ⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤ u = 2⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ e U ⎢⎣ ⎝ rw ⎠ ⎥⎦ φ (rw ) = 0 φ ′(0) = 0 ( simetria) (1.6.19) resulta a solução da Eq. (1.6.18) na forma q ′′ r φ (r ) = w w kΔT ⎡ 3 ⎛ r ⎞2 1 ⎛ r ⎞4 ⎤ ⎢ − ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ 4 ⎝ rw ⎠ ⎥ ⎢⎣ 4 ⎝ rw ⎠ ⎦ (1.6.20) Assim com fluxo de calor constante na parede resulta o número de Nusselt Nu D = 48 / 11 = 4,364 (q ′w′ = cte) (1.6.21) Churchill & Ozoe propuseram uma expressão válida tanto para o comprimento de entrada quanto para a região completamente desenvolvida: [ Nu D 4,364 1 + (Gz / 29,6 ) ] 2 1/ 6 ⎧ ⎡ Gz / 19,04 ⎪ = ⎨1 + ⎢ 2 / 3 1/ 2 2 1 + (Gz / 29,6) ⎪⎩ ⎢⎣ 1 + (Pr/ 0,0207 ) [ ] [ ⎤ ⎥ 1/ 3 ⎥⎦ ] 3/ 2 1/ 3 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭ (1.6.22) na qual Gz é o número de Graetz definido como πD 2U π ⎛ z / D ⎞ ⎟ Gz = = ⎜⎜ 4αz 4 ⎝ Re D Pr ⎟⎠ −1 (1.6.23) Para parede isotérmica o fluxo de calor é calculado como q ′w′ = h(Tw − Tm (z ) ) e o gradiente da temperatura média de mistura será: (1.6.24) 107 dTm 2h = [Tw − Tm ( z )] dz rw ρc pU (1.6.25) Integrando a Eq. (1.6.25) de z1 onde Tm = Tm ,1 , obtém-se ⎡ 2h( z − z1 ) ⎤ Tw − Tm ( z ) = exp ⎢− ⎥ Tw − Tm ,1 ⎣⎢ rw ρc pU ⎦⎥ (1.6.26) No caso de temperatura uniforme na parede do tubo, o número de Nusselt do escoamento completamente desenvolvido será Nu D = 3,66 (1.6.27) e o fluxo de calor na parede pode ser calculado como q ′w′ = 2,66 k (Tw − Tm,1 )exp⎡⎢− 3,66α 2(z − z1 )⎤⎥ D rw U ⎣ ⎦ (1.6.28) Ex. 1.6.2 Uma corrente de água à temperatura ambiente é aquecida quando escoa através de W um tubo com fluxo de calor uniforme na parede q ′w′ = 0,1 2 . O escoamento é cm completamente desenvolvido hidrodinâmica e termicamente. A vazão mássica é m = 10 g / s g e e o raio do tubo é rw = 1 cm . As propriedades da água na temperatura são μ = 0,01 cm ⋅ s W . Calcule a) velocidade média U; b) o número de Reynolds baseado no k = 0,006 cm ⋅ K diâmetro; c) o coeficiente de troca de calor h e d) a diferença entre a temperatura local de parede e a temperatura média local. 1.6.3 Escoamentos Turbulentos A maioria dos escoamentos ocorrendo na natureza e em aplicações industriais são turbulentos. No caso de escoamento em tubo de seção circular a transição de escoamento laminar para turbulento ocorre para número de Reynolds em na faixa de 2000 a 2300. Geralmente, considera-se 108 ⎧ até ≅ 2000 (laminar) ⎪ Re D = ⎨2000 a 2300 (transição) ⎪> 2300 (turbulento) ⎩ As equações para análise de escoamentos turbulentos são as equações médias de Reynolds, que no caso do escoamento no tubo são: 1) Equação de Continuidade ∂u 1 ∂ (rv ) + =0 ∂z r ∂r (1.6.29) 2) Equações e Quantidade de Movimento em z e r z: u ∂u ∂u 1 ∂p 1 ∂ ⎡ (ν + ν t )r ∂u ⎤⎥ + ∂ ⎡⎢(ν + ν t ) ∂u ⎤⎥ + Fz ; +v =− + ⎢ ∂z ∂r ∂r ⎦ ∂z ⎣ ∂z ⎦ ρ ∂z r ∂r ⎣ r: u ∂v ∂v 1 ∂p 1 ∂ ⎡ (ν + ν t )r ∂v ⎤⎥ − (ν + ν t ) v2 + ∂ ⎡⎢(ν + ν t ) ∂v ⎤⎥ + Fr +v =− + ⎢ ∂z ∂r ∂r ⎦ ∂z ⎣ ∂z ⎦ ρ ∂r r ∂r ⎣ r (1.6.30) (1.6.31) 3) Conservação de Energia Térmica u ∂T ∂T 1 ∂ ⎡ (α + α t )r ∂T +v = ⎢ ∂z ∂r r ∂r ⎣ ∂r ⎤ ∂ ⎡ ∂T ⎤ ⎥ + ∂z ⎢(α + α t ) ∂z ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ (1.6.32) No caso de considerar o conceito de camada limite, pode-se definir a tensão e o fluxo de calor aparentes como τ ap = − μ ∂u ∂u − ρν t ∂r ∂r (1.6.33) q ap = −k ∂T ∂T − ρc pα t ∂r ∂r (1.6.34) 109 O perfil de velocidade e a tensão aparente são ilustradas na Figura 1.6.2 Figura 1.6.2. Perfil de velocidade turbulento e tensão aparente. No caso do escoamento turbulento ser completamente desenvolvido hidrodinâmica e termicamente tem-se v =0 u = u (r ) p = p( z) (1.6.35) As equações de quantidade de movimento e energia ficam na forma simplificada 0=− u 1 dp 1 ∂ (rτ ap ) − ρ dz ρr ∂r 1 ∂ ∂T = rq ap ∂z ρc p r ∂r [ ] Integrando a Eq. (1.6.36) obtém-se 0= ∫ rw 0 ∫ rw dp rdr + d (rτ ap ) dz 0 dp rw2 + rwτ w = 0 dz 2 (1.6.36) (1.6.37) 110 − dp 2τ w = dz rw (1.6.38) Substituindo a Eq. (1.6.38) em (1.6.36) e integrando até um r genérico resulta τ ap r = τ w rw (1.6.39) Bem próximo da parede, τ ap ≅ τ w e com as coordenadas de parede, u + = u / (τ w / ρ ) 1/ 2 y+ = y ν (τ w / ρ )1 / 2 , resulta ⎧ y + se ν >> ν t ⎪ u+ = ⎨1 + ⎪ ln( y ) + B se vt >> ν ⎩k (1.6.40) u + = 8,7( y + ) (1.6.41) ou 1/ 7 Para calcular o fator de atrito e a queda de pressão no tubo, pode-se por exemplo integrar a Eq. (1.6.41). A velocidade média no, caso será U= 1 πrw2 2π ∫ ∫ rw dθ u rdr 0 (1.6.42) 0 A velocidade no centro do tubo ( r = 0 ) é u = u c . Assim obtém-se uc (τ w / ρ )1 / 2 ⎡r = 8,7 ⎢ w ⎢⎣ ν ⎛τ w ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ρ ⎠ 1/ 2 ⎤ ⎥ ⎥⎦ Da definição do fator de atrito, f = 1/ 7 (1.6.43) τw 1 ρU 2 2 resulta 111 ⎛τ w ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ρ⎠ 1/ 2 ⎛f⎞ = U⎜ ⎟ ⎝2⎠ 1/ 2 (1.6.44) Combinando as Eqs. (1.6.43) e (1.6.44) pode-se mostrar que f ≅ 0,079 (Re D ) 1/ 4 ; 2 x10 3 < Re D < 2 x10 4 (1.6.45) Existem na literatura várias correlações para cálculo do fator de atrito. Para tubos lisos e altos números de Reynolds tem-se f ≅ 0,046 (Re D ) 1/ 5 ; 2 x10 4 < Re D < 2 x10 6 (1.6.46) A correlação de Karman-Nikuradse é do tipo f = 1,737 ln( f 1 / 2 Re D ) − 0,396 (1.6.47) Para tubos rugosos e altos números de Reynolds tem-se 1 f = ⎡ ⎤ ⎛D⎞ ⎢1,74 ln⎜⎜ ⎟⎟ + 2,28⎥ ⎝ ks ⎠ ⎣ ⎦ (1.6.48) 2 na qual k s é a rugosidade da parede do tubo. A eq. (1.6.37) também pode ser integrada resultando 2π ∂T ∫ ρc u ∂z rdr = 2πrq r p 0 Para r = rw , resulta ap (1.6.49) 112 ∫ rw ρc p u 0 ∂T rdr = rw q ′w′ ∂z (1.6.50) Combinando as Eqs. (1.6.49) e (1.6.50) resulta q ap q ′w′ =M r rw (1.6.51) em que 1 2 M = r 1 rw2 ∂T rdr ∂z 0 rw ∂T rdr u ∂z 0 ∫ ∫ r u Se q ′w′ é independente de z, 1 2 M = r 1 rw2 (1.6.52) ∂T é independente de r, a Eq. (1.6.52) fica então na forma ∂z ∫ u rdr ∫ u rdr r 0 rw (1.6.53) 0 O perfil de velocidade u (r ) é quase plano, desta forma, M ≅ 1 , obtendo-se a relação do calor aparente para o calor da parede q ap q ′w′ ≅ r rw (1.6.54) Para r ≤ rw , q ap = cte = q ′w′ . O coeficiente de troca de calor pode ser calculado pela analogia entre transferência de quantidade de movimento e transferência de calor. Sabe-se que o número de Stanton e definido como 113 St = h 1 = f / Pr 2 / 3 ; Pr ≥ 0,5 ρc pU 2 (1.6.55) Para tubos lisos resulta a correlação para cálculo do coeficiente de transferência de calor Nu D = hD = 0,023 Re 4D/ 5 Pr 1 / 3 ; 2 x10 4 < Re D < 10 6 k (1.6.56) Uma correlação muito utilizada é a de Dittus-Boelter: ⎧2500 < Re D < 1,24 x10 5 ⎪ ⎪0,7 < Pr < 120 hD ⎪ = 0,023 Re 4D/ 5 Pr n ; ⎨ L / D > 60 Nu D = k ⎪n = 0,4 se T > T w m ⎪ ⎪⎩n = 0,3 se Tw < Tm (1.6.57) Na correlação de Dittus-Boelter, as propriedades são avaliadas a Tm . Para aplicações em que a influência da temperatura sobre as propriedades é significante, Sieder & Tate propuseram 0, 4 ⎧Re > 10 4 ⎛ μ ⎞ hD ⎟⎟ ; ⎨ D Nu D = = 0,027 Re 4D/ 5 Pr 1 / 3 ⎜⎜ k ⎝ μw ⎠ ⎩0,7 < Pr < 16700 (1.6.58) com as propriedades avaliadas a Tm , exceto μ w que é avaliada na temperatura de parede Tw . A correlação mais acurada é de Gnielinski na forma: Nu D = ( ) ( f / 2) Re D − 10 3 Pr ; ⎧⎪2300 < Re D < 5 x10 6 hD = ⎨ 1/ 2 k ⎪⎩0,5 < Pr < 10 6 1 + 12,7( f / 2 ) Pr 2 / 3 − 1 ( ) Na Eq. (1.6.59) o fator de atrito é obtido do Diagrama de Moody, Figura 1.6.3 (1.6.59) 114 Figura 1.6.3. Fator de atrito para escoamento laminar e turbulento completamente desenvolvido em um tubo. Outras correlações alternativas a Eq. (1.6.59) aprecem na literatura [1], são elas: Nu D = ⎧10 4 ≤ Re D ≤ 5 x10 6 hD = 0,0214 Re 0D,8 − 100 Pr 0, 4 ; ⎨ k ⎩0,5 ≤ Pr ≤ 1,5 ( ) ⎧3x10 3 ≤ Re D ≤ 10 6 hD 0 ,8 0, 4 Nu D = = 0,012 Re D − 280 Pr ; ⎨ k ⎩1,5 ≤ Pr ≤ 500 ( ) (1.6.60) (1.6.61) Para metais líquidos são recomendadas as correlações 0 ,85 0 , 93 hD ⎧⎪6,3 + 0,0167 Re D Pr ; (q ′w′ = cte ) ⎧0,004 < Pr < 01 ; ⎨ Nu D = =⎨ k ⎪⎩4,8 + 0,0156 Re 0D,85 Pr 0,93 ; (Tw = cte ) ⎩10 4 < Re D < 10 6 com as propriedades avaliadas a Tm . (1.6.62) 115 1.6.4. Variação da temperatura média de mistura A variação da temperatura média de mistura para parede isotérmica e fluxo e fluxo de calor uniforme na parede é ilustrada na Figura 1.6.4 Figura 1.6.4. Variação da temperatura média de mistura: esquerda, Tw = cte ; direita, q ′w′ =cte. Para calcular as propriedades é recomendável fazer Tm = (Te + Ts ) / 2 , em que Te = Tm ,e e T s = Tm , s Ex. 1.6.3 O tubo interno de um trocador de calor coaxial usado para extração de energia geotérmica tem diâmetro de 16 cm. O material do tubo é aço comercial. Numa certa localidade ao longo do tubo, a temperatura média da corrente de água é 80oC. O fluxo de água é de 100 ton/h. Calcule a queda de pressão por unidade de comprimento. 1.6.5 Taxa total de transferência de calor Bejan propõe calcular a taxa total de transferência de calor na forma: q = hAw ΔTlm (1.6.63) Para escoamento turbulento completamente desenvolvido com parede isotérmica, ΔT = Tw − Tm decresce exponencialmente na direção jusante, entre um certo valor na entrada 116 do tubo e o menor valor na saída do tubo. Se ΔTe = Tw − Te e ΔTs = Tw − Ts , ΔTlm está entre ΔTe e ΔTs . Também a taxa de calor pode ser calculada como q = mc p (Ts − Te ) = mc p [(Tw − Te ) − (Tw − Ts )] = mc p (ΔTe − ΔTs ) (1.6.64) O fluxo de calor na parede pode ser estimado como q ′w′ = h(Tw − Tm ) como (1.6.65) dTm P q ′w′ = , obtém-se dz A ρc pU dTm P h = dz Tw − Tm A ρc pU (1.6.66) a qual integrada entre z = 0; (Tm = Te ) e z = L; (Tm = Ts ) resulta ⎛ T − Te ⎞ hPL ⎟⎟ = ln⎜⎜ w ou ⎝ Tw − Ts ⎠ ρUAc p ⎛ ΔT ⎞ hA ln⎜⎜ e ⎟⎟ = w ⎝ ΔTs ⎠ mc p (1.6.67) Comparando as Eqs. (1.6.64) e (1.6.67) pode-se concluir que ΔTlm = ΔTe − ΔTs ⎛ ΔT ⎞ ln ⎜ e ⎟ ⎝ ΔTs ⎠ (1.6.68) que é denominada de diferença média logarítmica de temperatura. Alternativamente a taxa total de transferência de calor pode ser calculada como 117 ⎡ ⎛ − hAw ⎞⎤ ⎟ q = mc p ΔTe ⎢1 − exp⎜ ⎜ mc ⎟⎥⎥ ⎢⎣ p ⎝ ⎠⎦ (1.6.69) ∫ Se o coeficiente h = h( z ) , então h = h( z )dz / L . L Pode-se verificar imediatamente que no caso de fluxo de calor uniforme na parede: ΔTlm = ΔTe = ΔTs que é um caso especial da Eq. (1.6.68) quando ΔTe →1. ΔTs 118 1.7 Convecção Livre 1.7.1 Análise de escala em regime laminar Em escoamentos em regime laminar a ordem de grandeza do coeficiente de transferência de calor e dos termos nas equações são como a seguir: k hy ≈ (m) (1.7.1) δt u δt (M) u ≈ v δt ΔT (E) u δt v y (1.7.2) ,v v v ≈ ν 2 , gβ ΔT y δt (1.7.3) ,v ΔT ΔT ≈α 2 y δt (1.7.4) Substituindo a Eq. (1.7.2) nas Eqs. (1.7.3) e (1.7.4) resulta v2 v (M) ≈ ν 2 + gβΔT y δt (1.7.5) ΔT ΔT ≈α 2 y δt (1.7.6) (E) v Empuxo balanceado por atrito Na Eq. (1.7.5) pode-se ter o empuxo balanceado por atrito ou por inércia. No caso de empuxo balanceado por atrito ν v δ t2 ≅ gβ ΔT que combinada com as Eqs. (1.7.2) e (1.7.6) leva aos seguintes resultados: u≈ α y Ra1y/ 4 ; v ≈ α y Ra 1y/ 2 ; δ t ≈ yRa y−1 / 4 (1.7.7) 119 na qual Ra y é o número de Rayleigh definido como Ra y = gβ (Tw − T∞ ) y 3 (1.7.8) αν Também pode-se demonstrar que o coeficiente de transferência de calor convectiva é proporcional a hy ≈ k (Ra y )1 / 4 y (1.7.9) e portanto o número de Nusselt local, definido como Nu y = Nu y ≈ (Ra y ) 1/ 4 Os resultados acima são válidos quando hy y k , será proporcional (1.7.10) v2 v < ν 2 ou para α < ν ou 1 < Pr . Ou seja y δt para número de Prandtl da ordem de 1 ou maior que 1, Pr ≥ 1 . Uma análise para a camada limite hidrodinâmica levará ao resultado δ ≈ yRa y−1 / 4 Pr 1 / 2 ou δ ≈ Pr 1 / 2 > 1 δt (1.7.11) Se Ra1y/ 4 > 1 ⇒ Ra1y/ 4 Pr 1 / 2 > 1 . Geralmente, escoamentos com convecção natural são caracterizados por altos Ra. 120 Empuxo balanceado por inércia No caso de empuxo balanceado por inércia, v2 ≅ gβΔT e a ordem de grandeza da y espessura de camada limite e das velocidades será: u≈ α y (Ra Pr ) ; v ≈ 1/ 4 y α y (Ra Pr ) 1/ 2 y ; δ t ≈ y (Ra y Pr ) −1 / 4 (1.7.12) O produto do número de Rayleigh pelo número de Prandtl é definido como número de Boussinesq Bo y = Ra y Pr = gβ (Tw − T∞ ) y 3 α2 (1.7.13) Neste caso, o número de Nusslet será proporcional Nu ≈ (Ra y Pr ) 1/ 4 Os resultados obtidos quando o empuxo é balanceado por inércia são válidos para Pr ≤ 1 e as camadas limites e os perfis de velocidade e temperatura são ilustrados na Figura 1.7.3 121 Figura 1.7.3. Camada limite para fluidos com baixos números de Prandtl. A espessura da camada limite hidrodinâmica neste caso será proporcional a razão do número de Rayleigh pelo número de Prandtl na forma: ⎛ Ra y δ s ≈ y⎜⎜ ⎝ Pr ⎞ ⎟⎟ ⎠ −1 / 4 (1.7.14) Pode-se demonstrar, então, que ⎛ Ra ⎞ ⎟ ⎝ Pr ⎠ −1 / 4 δ s ≈ y⎜ ou δ ≈ Pr 1 / 2 < 1 δt (1.7.15) A razão do número de Rayleigh pelo número de Prandtl é definida com o número de Grashof, ou seja, Gry = Ra y Pr = gβ (Tw − T∞ ) y 3 ν2 (1.7.16) 122 Os resultados no limite de baixo Prandtl são válidos se as camadas limites hidrodinâmica e térmica são estreitas e longas, isto requer que ⎛ Ra y ⎜⎜ ⎝ Pr ⎞ ⎟⎟ ⎠ 1/ 4 > 1 ; (Ra y Pr ) 1/ 4 >1 (1.7.17) 1.7.2 Parede isotérmica (escoamento laminar) A análise por variável de similaridade também pode ser aplicada neste caso de convecção natural ou livre. Definindo a variável de similaridade e a velocidade adimensional como η= x −1 / 4 y (Ra y ) G (η , Pr ) = (1.7.18) v (α / y )Ra1y/ 2 (1.7.19) Definindo a função de corrente por u= ∂ψ ∂ψ ; v=− ∂y ∂x (1.7.20) a função de corrente adimensional pode ser definida como F (η , Pr ) = ψ αRa1y/ 4 Daí pode-se demonstrar que G = − θ (η , Pr) = T − T∞ Tw − T∞ (1.7.21) dF . Definindo a temperatura adimensional como dη (1.7.22) 123 Nas variáveis de similaridade, as equações de quantidade de movimento e de energia são: 1 ⎛1 2 3 ⎞ ⎜ F ′ − FF ′′ ⎟ = − F ′′′ + θ Pr ⎝ 2 4 ⎠ (1.7.23) 3 Fθ ′ = θ ′′ 4 (1.7.24) com as seguintes condições de contorno F = 0; η = 0; (u = 0) F ′ = 0; η = 0; (v = 0) θ = 1; η = 0; (T = Tw ) F ′ → 0; η → ∞; (v = 0) θ → 0; η → ∞; (T = T∞ ) (1.7.25) A solução das equações acima permite obter correlações par o coeficiente de transferência de energia convectiva. O número de Nusselt pode ser calculado na forma Nu y = hy y k = y kΔT ∂T ⎞ ⎛ ⎜− k ⎟ ∂x ⎠ x =0 ⎝ (1.7.26) ⎛ dθ ⎞ ⎟⎟ Ra 1y/ 4 = ⎜⎜ − ⎝ dη ⎠η =0 Uma correlação de Nusselt válida em toda faixa de número de Prandtl é da forma: ⎛ ⎞ Pr Nu y = 0,503⎜⎜ ⎟⎟ 1/ 2 ⎝ Pr + 0,986 Pr + 0,492 ⎠ 1/ 4 Ra 1y/ 4 (1.7.27) Nos limites de números de Prandtl muito altos ou muito baixos têm-se as correlações: Nu y = 0,503Ra1y/ 4 ; (Pr >> 1) (1.7.28) 124 Nu y = 0,600(Ra y Pr ) 1/ 4 ; (Pr << 1) (1.7.29) O número de Nusselt global pode ser definido como Nu y = hy y k = q w′′, y y Tw − T∞ k (1.7.30) O fluxo de calor num comprimento y de placa pode ser calculado como q w′′, y = 1 y q ′w′ , y dy y ∫y =0 (1.7.31) Pode-se definir também, q ′w, y = q w′′, y y . Se W e a largura da placa, a taxa de calor pode ser calculada como q w, y = q ′w, yW = q w′′, yW ⋅ y (1.7.32) O número de Nusselt global definido como N u y = q ′w, y / kΔT , será calculado pela seguinte correlação ⎛ ⎞ Pr N u y = 0,671⎜⎜ ⎟⎟ 1/ 2 ⎝ Pr + 0,986 Pr + 0,492 ⎠ 1/ 4 Ra 1y/ 4 (1.7.33) No caso de ar (Pr = 0,72) , resulta a correlação: N u y = 0,517 Ra1y/ 4 (1.7.34) Ex.: 1.7.1. A porta de um forno de cozinha é um retângulo vertical de área 0,5 m de altura e 0,65 m de largura. A superfície externa da porta do forno está a 40oC, enquanto o ar do ambiente está a 20oC. Calcule a taxa de transferência de calor da porta par o ar ambiente. 125 1.7.3 Transição e Efeito de Turbulência sobre a Transferência de calor A camada limite permanece laminar se o número de Rayleigh não excede um determinado valor, ou seja para baixos valores de y. De acordo com Bejan, a transição de laminar para turbulento ocorre na posição y onde Gry ≈ 10 9 . A Figura 1.7.4 ilustra a transição de escoamento laminar ara turbulento na parede vertical. Alguns autores baseiam no em Ra y ≈ 10 9 , independente do número de Prandtl. Mas isso só seria verdade para Pr = 1 . Portanto o critério de transição é adotado como Gry ≈ 10 9 (10 −3 ≤ Pr ≤ 10 3 ) (1.7.35) Figura 1.7.4. Seções laminar, transição e turbulenta em convecção natural na parede vertical O critério de transição também pode ser baseado no número de Rayleigh, Ra y = Gry Pr Ra y ≈ 10 9 Pr (10 −3 ≤ Pr ≤ 10 3 ) (1.7.36) 126 Desta forma o critério de basear-se em Ra y ≈ 10 9 como critério de transição só é válido para ( ) Pr = 1 . Pode-se ver que no caso de metais líquidos Pr ≈ 10 −3 − 10 −2 o número de Rayleigh estaria na faixa 10 6 − 10 7 que é bem abaixo de Ra y ≈ 10 9 . O critério de transição também pode ser baseado no número de Reynolds em função da espessura da camada limite. Este Reynolds e estimado como Re ≈ −1 / 4 δ t v yRa y α 1 / 2 ≈ Ra y ≈ Ra 1y/ 4 / Pr y ν ν (1.7.37) No caso de Pr = 1 , obtém-se Re ≈ Gry1 / 4 (Pr = 1) (1.7.38) O que leva ao valor de Re ≈ (10 9 )1 / 4 = 178 (Pr = 1) (1.7.39) na transição. A correlação para cálculo do coeficiente de transferência de calor na faixa laminar e transição e turbulenta foi proposta por Churchill e Chu: ⎧⎪ 0,387 Ra 1y/ 6 N u y = ⎨0,825 + ⎪⎩ 1 + (0,492 / Pr) 9 / 16 [ ⎫⎪ 8 / 27 ⎬ ⎪⎭ 2 ] (1.7.40) Correlação válida para 10 −1 < Ra y < 1012 e todos números de Prandtl. Para ar a correlação (1.7.53) se reduz a { N u y = 0,825 + 0,325Ra1y/ 6 } 2 (Pr = 0,72) (1.7.41) No faixa laminar, Gry < 10 9 , a correlação que representa os experimentos mais acuradamente é: 127 N u y = 0,68 + 0,67 Ra 1y/ 4 [1 + (0,492 / Pr) ] 9 / 16 4 / 9 (1.7.42) A qual no caso do de ar reduz a N u y = 0,68 + 0,515Ra1y/ 4 (Pr = 0,72) (1.7.43) 1.7.4 Fluxo de Calor Uniforme na Parede No caso de fluxo de calor uniforme na parede a temperatura da parede é desconhecida, então surge um dilema de como definir o número de Rayleigh, uma vez que Tw ( y ) − T∞ é incógnita também. Para fluidos com altos números de Prandtl foi demonstrado que Nu y ≈ (Ra y ) , da qual obtém-se 1/ 4 ⎡ gβ (Tw − T∞ ) y 3 ⎤ ≈⎢ ⎥ αν k ⎣ ⎦ hy y 1/ 4 ou q ′w′ y ⎡ gβ (Tw − T∞ ) y 3 ⎤ ≈ ⎥ (Tw ( y) − T∞ ) k ⎢⎣ αν ⎦ 1/ 4 (1.7.44) da qual se conclui que Tw ( y ) − T∞ é proporcional a y 1 / 5 . Desta forma a Eq. (1.7.44) pode ser escrita em função do fluxo de calor na parede como q ′w′ y ⎡ gβq ′w′ y 4 ⎤ ≈ (Tw ( y) − T∞ ) k ⎢⎣ ανk ⎥⎦ 1/ 5 (1.7.45) O lado direito da Eq. (1.7.45) é definido como um número de Rayleigh modificado , ou seja, gβ q ′w′ y 4 Ra = ανk * y (1.7.46) 128 Para escoamento laminar com alto número de Prandtl, obtém-se a correlação ⎛ Pr ⎞ Nu y ≅ 0,616⎜ ⎟ ⎝ Pr + 0,8 ⎠ 1/ 5 (Ra ) * 1/ 5 y (1.7.47) Para fluidos com Prandtl no range ar-água, a transição a turbulência ocorre para Ra *y ≈ 1013 . Neste caso, as seguintes correlações Nu y = 0,6(Ra *y ) ⎫ ⎪ laminar,10 5 < Ra *y < 1013 ⎬ 1 / 5 N u y = 0,75(Ra *y ) ⎪⎭ 1/ 5 Nu y = 0,568(Ra *y ) ⎫ ⎪ 13 * 16 ⎬ turbulento, 10 < Ra y < 10 * 0 , 22 N u y = 0,645(Ra y ) ⎪⎭ (1.7.48) 0 , 22 (1.7.49) Nas correlações (1.7.61) e (1.7.62) o Nusselt global é baseado na diferença média de temperatura, Tw ( y ) − T∞ . Existem várias outras correlações disponíveis na literatura. Vide Bejan. 1.7.5 Outras Configurações de Escoamentos Externos 1.7.5.1 Reservatório Fluido Estratificado Termicamente Em muitas situações o reservatório que banha a parede aquecida não é isotérmico. Neste caso define-se um parâmetro de estratificação do fluido como b= ΔTmax − ΔTmin ΔTmax (1.7.50) A variação do parâmetro de estratificação é mostrada na Figura 1.7.5. O caso b = 0 corresponde ao reservatório isotérmico e o caso b = 1 corresponde à máxima estratificação. 129 Figura 1.7.5 Número de Nusselt global (médio) para escoamento laminar numa parede isotérmica e fluido estratificado termicamente. Para escoamento laminar o Nusselt “médio” definido como q w′′, H H gβ ΔTmax H 3 Nu H = ; Ra H = ΔTmax k αν (1.7.51) é calculado como N u H = f (b, Pr) Ra1H/ 4 (1.7.52) 1.7.5.2 Paredes Inclinadas Escoamentos por convecção natural sobre paredes inclinadas são ilustrados na Figura 1.7.6. 130 Figura 1.7.6. Transferência de calor por convecção natural em paredes inclinadas. A seguinte correlação foi proposta para escoamento laminar: N u y = 0,68 + na qual Ra y = 0,67 Ra1y/ 4 [1 + (0,492 / Pr ) ] 9 / 16 4 / 9 g cos φβ (Tw − T∞ ) y 3 αν para parede isotérmica (Tw = cte ) e Ra *y = (1.7.53) g cos φβq ′w′ y 4 ανk para parede com fluxo calor uniforme q ′w′ = cte . No caso de escoamentos turbulentos foi encontrado que as correlações dão melhores resultados com g no lugar de g cos φ . A Tabela 1.7.1 mostra valores de número de Rayleigh na transição de escoamento laminar de água para turbulento para fluxo uniforme e parede isotérmica em função da inclinação da parede. 131 Tabela 1.7.1. Valores de número de Rayleigh na transição em água (Pr ≅ 6,5) . q ′w′ = cte φ Ra *y 0 5x1012 - 1014 30o 3x1010 - 1012 60o 6x107 – 6x109 Tw = cte φ Ra y 0 8,7x108 20o 25x108 45o 1,7x107 60o 7,7x105 Dentro deste tópico outras configurações estão também os casos de convecção natural em paredes horizontais, cilindros horizontais e verticais, esfera e corpos de outras formas geométricas, cujas correlações podem ser encontradas na literatura. Vide Bejan (1993). 1.7.6 Configurações de Escoamentos Internos 1.7.6.1 Canais Verticais Agora serão considerados casos em que paredes confinam o fluido em escoamento por convecção natural. A Figura 1.7.7 ilustra os casos de escoamentos em canais largos e estreitos. 132 Figura 1.7.7 canal vertical com paredes isotérmicas; as extremidades do canal comunica com um fluido isotérmico. No caso do canal largo suficientemente, de modo que, não haja interação das camadas limites, pode-se usar os resultados do escoamento sobre uma placa. Com os comprimentos característicos H e L, para Pr ≥ 1 , o canal largo pode ser representado pelos seguintes limites: L L > Ra H−1 / 4 ou > Ra L−1 H H (1.7.54) O canal estreito tem interesse especial. Pode-se ver pela Fig. 1.7.7 que, quando o canal é estreito, o perfil de velocidade nas paredes interage formando um perfil similar ao do escoamento num canal de placas paralelas (esc. Hagen-Poiseuille). O perfil de temperatura tem o comportamento mostrado ao lado do canal estreito, de forma que pode-se assumir Tw − T ( x, y ) < Tw − T∞ (1.7.55) O escoamento é puramente vertical e com a hipótese de escoamento completamente desenvolvido, a equação de quantidade de movimento se reduz a 0 =ν d 2v + gβ (T − T∞ ) dx 2 d 2v gβ (T − T∞ ) = cte ≅− 2 ν dx (1.7.56) (1.7.57) 133 A solução da Eq. (1.7.57) é similar ao caso de convecção forçada num canal de placas paralelas e é da forma 2 gβΔTL2 ⎡ ⎛ x ⎞ ⎤ v= ⎟ ⎥ ⎢1 − ⎜ 8ν ⎣⎢ ⎝ L / 2 ⎠ ⎦⎥ (1.7.58) e a vazão mássica por unidade de comprimento pode ser calculada como ρgβΔTL3 m′ = ρvdx = 12ν −L / 2 ∫ L/2 (1.7.59) Pela inspeção das Eqs. (1.7.58) e (1.7.59), pode-se verificar que a velocidade e vazão mássica independem da altura do canal H. A taxa total de transferência de calor extraída pela corrente m′ das duas paredes verticais é: ρgβc p (ΔT )2 L3 q ′ = m′c p (Tw − T∞ ) = 12ν q ′′ = q′ 2H (1.7.60) (1.7.61) O número de Nusselt “médio” é calculado como Nu H = q ′′ H 1 Ra L = ΔT k 24 (1.7.62) Tendo em vista a Eq. (1.7.55) pode-se concluir que q ′′L < (Tw − T∞ ) = ΔT k Portanto no limite de canal estreito (1.7.63) 134 Ra L < H L (1.7.64) O escoamento num canal estreito, também denominado de escoamento em chaminé, em dutos de outras seções, possui N u H / Ra Dh constante, em que Dh é o diâmetro hidráulico. Na Tabela 1.7.2 apresentam-se alguns resultados Tabela 1.7.2. Escoamento em chaminé (canal estreito, Ra Dh < H ) Dh Forma da seção do canal N u H / Ra Dh Placas paralelas 1/192 Circular 1/128 Quadrada 1/113.6 Triângulo equilátero 1/106.4 1.7.6.2 Cavidades Aquecidas do Lado Um caso importante de convecção natural interna é o de escoamentos induzidos em espaços fechados que estão sujeitos a variação de temperatura horizontal. A Figura 1.7.8 ilustra o caso de um fluido aquecido em uma parede e resfriado na parede oposta. 135 Figura 1.7.8. Regimes de escoamentos para convecção natural em cavidades aquecidas do lado para fluidos com Pr ≥ 1 Da mesma forma, tem-se neste caso, cavidades largas e cavidades estreitas. A cavidade é larga quando a espessura da camada limite é menor do que a dimensão horizontal, δ t < L o que é equivalente L / H > Ra H−1 / 4 . As correlações para o número de Nusselt médio são: 0 , 28 ⎛ Ra H Pr ⎞ N u H = 0,22⎜ ⎟ ⎝ 0,2 + Pr ⎠ H 2< < 10; Pr < 10 5 ; L ⎛ Ra H Pr ⎞ N u H = 0,18⎜ ⎟ ⎝ 0,2 + Pr ⎠ 1< 0 , 29 ⎛L⎞ ⎜ ⎟ ⎝H⎠ 0 , 09 (1.7.65) Ra H < 1013 ⎛L⎞ ⎜ ⎟ ⎝H⎠ −0 ,13 Pr Ra H ⎛ L ⎞ H < 2; 10 −3 < Pr < 10 5 ; 10 3 < ⎜ ⎟ L 0,2 + Pr ⎝ H ⎠ 3 (1.7.66) O Nusselt médio e número de Rayleigh são definidos como N u H = Ra H = gβ (Th − Tc )H 3 αν . q ′′H kΔT 136 No caso oposto de cavidade estreita, L / H < Ra H−1 / 4 tem-se Nu H = q ′′H ⎛ kΔT ⎞ H H =⎜ = ⎟ kΔT ⎝ L ⎠ kΔT L (1.7.67) indicando que neste caso a transferência de calor é puramente por condução ou difusão. Toda a precedente discussão refere-se a cavidades quadradas ou altas em que H / L ≥ 1 . No caso de H / L < 1 pode-se Ter jatos horizontais distintos nas paredes de topo e fundo. Pode-se encontrar o Nusselt médio em função de Rayleigh em gráficos da literatura (Bejan, pg. 370). No caso de cavidades aquecidas e resfriadas por fluxos de calor constantes também é possível se obter correlações para o número de Nusselt. No regime de camada limite , a temperatura varia linearmente na direção vertical ao longo da parede aquecida, parede resfriada e no centro, e de acordo com Bejan ∂T αν ⎛ H ⎞ = 0,0425 ⎜ ⎟ ∂y gβH 4 ⎝ L ⎠ 4/9 Ra H*8 / 9 = cte (1.7.68) Desde que a temperatura aumenta a mesma taxa em ambas paredes na direção vertical, em cada nível, Th ( y ) − Tc ( y ) = ΔT = cte . O solução teórica para o Nusselt médio N u H = q ′′H kΔT na camada limite para fluidos com Pr ≥ 1 é N u H = 0,34 Ra na qual *2 / 9 H ⎛H⎞ ⎜ ⎟ ⎝L⎠ 1/ 9 (1.7.69) Ra H* = gβH 4 q ′′ /(ανk ) . Se o número de Rayleigh for baseado em ΔT , Ra H = Ra H* / N u H = gβΔTH 3 /(αν ) . Neste caso, a eq. 1.7.82 fica na forma N u H = 0,25 Ra 2/7 H ⎛H⎞ ⎜ ⎟ ⎝L⎠ 1/ 7 (1.7.70) 137 1.7.6.3 Cavidades aquecidas por Baixo Nas cavidades aquecidas do lado, o escoamento acontece tão logo a uma pequena diferença de temperatura Th − Tc seja imposta entre as duas paredes. Já na cavidade aquecida por baixo, a diferença de temperatura imposta deve exceder um valor crítico para o escoamento e transferência de calor sejam detectados. Quando a cavidade é longa e larga na horizontal, para Ra H = gβ (Th − Tc )H 3 (αν ) ≥ 1708 formam-se dois rolos quase quadrados que giram em sentidos opostos, como ilustrado na Figura 1.7.9. Este tipo de escoamento é conhecido com convecção de Bénard. Figura 1.7.9 Camada de fluido horizontal entre duas paredes paralelas e aquecida por baixo. Esquerda: Ra H < 1708; N u H = 1 . Direita: Ra H > 1708; N u H > 1 O efeito do escoamento celular é aumentar a transferência de calor na direção vertical. Neste caso o número de Nusselt médio definido como N u H = q ′′H /(kΔT ) é dado pela correlação: N u H = 0,069 Ra 1H/ 3 Pr 0,074 ; 3x10 5 < Ra H < 7 x10 9 (1.7.71) na qual as propriedades físicas para se calcular N u H , Ra H , Pr são avaliadas na temperatura média (Th + Tc ) / 2 . 1.7.6.4 Cavidades Inclinadas As correlações para este caso podem ser encontradas no livro de Adrian Bejan (1993). 138 1.7.6.5 Outras Formas de Cavidades: Espaço Anelar entre Cilindros e Esferas Concêntricas Espaços anelares entre um cilindro ou esfera internos aquecidos e os externos resfriados, por exemplo, formam cavidades onde pode ocorrer escoamentos ou células de escoamentos por convecção natural. As correlações de transferência de calor são da forma: Cilindro: 2,425k (Ti − To ) ⎛ Pr Ra Di ⎞ ⎜ ⎟ q′ ≅ 3 / 5 5 / 4 ⎜ 0,861 + Pr ⎟ 1 + (Di / Do ) ⎝ ⎠ [ 1/ 4 ] em W/m (1.7.72) na qual Ra H = gβ (Ti − To )Di3 /(αν ) . A Eq. (1.7.85) é válida quando Do Ra D−1o / 4 > ( Do − Di ) (1.7.73) Esfera: 2,325kDi (Ti − To ) ⎛ Pr Ra Di ⎞ ⎟ ⎜ q′ ≅ 7 / 5 5 / 4 ⎜ 0,861 + Pr ⎟ 1 + ( Di / D o ) ⎠ ⎝ [ ] 1/ 4 em W/m (1.7.74) Nas correlações acima, o sub-índice i refere-se ao cilindro ou esfera internos e o sub-índice o aos externos. Nestes casos as propriedades são avaliadas a (Ti − To ) / 2 . 139 1.8 Convecção com Mudança de Fase 1.8.1 Transferência de Calor na Condensação 1.8.1.1 Filme Laminar sobre uma Superfície Vertical Nos capítulos anteriores independentemente do aquecimento ou resfriamento, o fluido sempre permanecia numa única fase. Neste capítulo, consideram-se os casos em que o fluido sofre uma mudança de fase durante a convecção. Condensação pode ocorrer quando um reservatório contendo um vapor tem sua parede resfriada, como ilustrado na Figura 1.8.1, na qual também são ilustrados os perfis de velocidade e temperatura. Na interface entre o filme líquido e o vapor a temperatura é igual a temperatura de saturação. Figura 1.8.1 Regimes de escoamento de filme de condensado sobre uma parede vertical resfriada. Considere, agora, só a região laminar ilustrada na Figura 1.8.2, em que um vapor saturado e estacionário entra em contato com uma parede resfriada. Na hipótese de camada limite a equação de movimento fica na forma: 140 Figura 1.8.2 Filme laminar de condensado suprido por um reservatório de vapor saturado estacionário ⎛ ∂v ∂v ⎞ ∂p ∂ 2v ρ l ⎜⎜ u + v ⎟⎟ = − + μ l 2 + ρ l g ∂y ⎠ ∂y ∂x ⎝ ∂x (1.8.1) Admitindo que a distribuição de pressão seja dada pelo vapor, dp / dy = ρ v g , então a Eq. (1.8.1) pode ser reescrita como ⎛ ∂v ∂ 2v ∂v ⎞ + v ⎟⎟ = μ l 2 + g (ρ l − ρ v ) ∂y ⎠ ∂x ⎝ ∂x sumidouro ρ l ⎜⎜ u inércia (1.8.2) fricção Supondo que os termos de inércia sejam desprezíveis em relação ao atrito viscoso, resulta a equação: ∂ 2v 0 = μ l 2 + g (ρ l − ρ v ) ∂x sumidouro fricção com as condições de contorno 141 v = 0; x = 0 ∂v = 0; x = δ ( y ) ∂x (1.8.3) Integrando duas vezes em x, obtém-se a distribuição da velocidade do filme de condensado: v ( x, y ) = g μl ⎡ ⎤ ⎥ 2 ⎝ δ ⎠ ⎦⎥ (ρ l − ρ v )δ 2 ⎢ x − 1 ⎛⎜ x ⎞⎟ ⎣⎢ δ 2 (1.8.4) na qual δ ( y ) é a espessura do filme líquido que é desconhecida. A taxa total de escoamento de massa através da seção de filme é: δ Γ( y ) = ∫ ρ l vdx = 0 gρ l (ρ l − ρ v )δ 3 em [kg/s/m] 3μ l (1.8.5) Pode se notar que a velocidade e vazão mássica são proporcionais a g (ρ l − ρ v ) e inversamente proporcionais a μ l . Para estimar a espessura do filme de líquido aplica-se a primeira lei da termodinâmica ao volume de controle δ x dy , obtendo-se H − q ′w′ dy + h g dΓ = H + dH ; dH = ρ l vdxh (1.8.6) que integrada fornece δ [ ] H = ∫ ρ l v h f − c p ,l (Tsat − T ) dx 0 (1.8.7) Visto que o fluido levemente sub-resfriado ( T < Tsat ) a entalpia específica será menor do que a entalpia do líquido saturado ( h < h f ) . Nusselt propôs a seguinte relação: Tsat − T x ≅ 1− Tsat − Tw δ (1.8.8) 142 que substituída na Eq. (1.8.7) juntamente com a Eq. (1.8.4) leva à equação para cálculo da entalpia 3 ⎤ ⎡ H = ⎢h f − c p ,l (Tsat − Tw )⎥ Γ 8 ⎦ ⎣ (1.8.9) O fluxo de calor na parede é: q ′w′ ≅ k l Tsat _ Tw δ (1.8.10) Do balanço de energia dH = − q ′w′ dy + h g dΓ (1.8.11) e, portanto, com o uso das Eqs. (1.8.5), (1.8.9) e (1.8.11) obtém-se T − Tw 3 ⎡ ⎤ − ⎢h f − c p ,l (Tsat − Tw )⎥ dΓ + hg dΓ − k l sat dy = 0 ou δ 8 ⎣ ⎦ kl Tsat − Tw δ 3 ⎤ ⎡ dy = ⎢h fg + c p ,l (Tsat − Tw )⎥ dΓ 8 ⎦ ⎣ = h ′fg dΓ (1.8.12) Pela Eq. (1.8.5) dΓ = gρ l (ρ l − ρ v )3δ 2 dδ 3μ l (1.8.13) a qual substituída em (1.8.12) resulta k lν l (Tsat − Tw ) dy = δ 3 dδ ′ h fg g (ρ l − ρ v ) (1.8.14) Integrando a Eq. (1.8.14) de y = 0 até y = δ obtém-se a espessura de filme líquido: 143 ⎡ 4k ν (T − Tw ) ⎤ δ ( y ) = ⎢ y l l sat ⎥ ⎣⎢ h ′fg g (ρ l − ρ v ) ⎦⎥ 1/ 4 (1.8.15) Os coeficientes local e médio de transferência de calor podem ser calculados como 3 q ′w′ k l (Tsat − Tw ) / δ k l ⎡ k l h ′fg g ( ρ l − ρ v ) ⎤ = = =⎢ hy = ⎥ (Tsat − Tw ) δ ⎣⎢ 4 yν l (Tsat − Tw ) ⎦⎥ Tsat − Tw hL = hy=L 1 + (−1 / 4) = 1/ 4 4 hy=L 3 (1.8.16) (1.8.17) O número de Nusselt global (médio) é então calculado pela correlação ⎡ L3 h′fg g ( ρ l − ρ v ) ⎤ hL L = 0,943⎢ Nu L = ⎥ kl ⎣⎢ k lν l (Tsat − Tw ) ⎦⎥ 1/ 4 (1.8.18) A partir das Eqs. (1.8.15) e (1.8.18) pode-se demonstrar que ⎡ L3 h′fg g (ρ l − ρ v ) ⎤ L = 0,707 ⎢ ⎥ δ ( L) ⎢⎣ k lν l (Tsat − Tw ) ⎥⎦ 1/ 4 (1.8.19) As propriedades são avaliadas a temperatura (Tw + Tsat ) / 2 e a entalpia de condensação é encontrada em tabelas de propriedades termodinâmicas a Tsat . Para perfil de temperatura não linear Rohsenow propôs na qual h ′fg = h fg + 0,68c p ,l (Tsat − Tw ) ou (1.8.20) h ′fg = h fg (1 + 0,68 Ja ) (1.8.21) 144 Ja = c p ,l (Tsat − Tw ) (1.8.22) h fg é o número de Jakob que mede o grau de sub-resfriamento do filme líquido. A taxa total de calor absorvida pela parede por unidade de largura é q ′ = hl L(Tsat − Tw ) = k l (Tsat − Tw )N u L (1.8.23) Se y = L , a taxa total de condensação é Γ( L) = k q′ = l (Tsat − Tw )N u L h′fg h′fg (1.8.24) Em muitos casos ρ l >> ρ v ⇒ ρ l − ρ v ≅ ρ l . Ex. 1.8.1 Uma parede plana vertical na temperatura Tw = 60 o C faceia um espaço cheio de vapor saturado estagnante a pressão atmosférica. A altura da parede é 2 m . Assumindo escoamento laminar, calcule a taxa em que vapor se condensa na parede vertical. 1.8.1.2 Filme Turbulento sobre uma Superfície Vertical O filme líquido se torna ondulado e mais abaixo, turbulento quando a ordem de grandeza do Reynolds local é maior do 100. O Reynolds local do filme líquido pode ser calculado na forma Re y = ρ l v δ ( y) , em que o numerador e igual à taxa de condensação, μl Γ = ρ l v δ ( y ) . O Reynolds local tem sido, entretanto, definido como Re y = 4Γ( y ) μl (1.8.25) 145 Experimentos mostram que o escoamento laminar cessa quando Re y ≈ 30 e é ondulado na faixa 30 ≤ Re y ≤ 1800 . Foi proposto por Chen et al. a correlação hl kl ⎛ ν l2 ⎜⎜ ⎝ g ⎞ ⎟⎟ ⎠ 1/ 3 [ = Re −L0, 44 + (5,82 x10 −6 ) Re 0L,8 Prl1 / 3 ] 1/ 2 ; Re L ≥ 30 (1.8.26) Para Re L abaixo de 30 pode-se usar a equação (1.8.18) que para ρ l >> ρ v reduz a hL kl ⎛ ν l2 ⎜ ⎜ g ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1/ 3 = 1,468 Re −L1 / 3 (1.8.27) Pode-se verificar que ambos o número de Reynolds e a taxa de condensação são desconhecidos, portanto é proposto resolver a Eq. (1.8.26) na forma: hL kl ⎛ ν l2 ⎜⎜ ⎝ g ⎞ ⎟⎟ ⎠ 1/ 3 = Re L B (1.8.28) na qual B = L(Tsat 4k l − Tw ) μ l h′fg ⎛ g ⎜ 2 ⎜ν ⎝ l ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1/ 3 (1.8.29) Por comparação com as Eqs. (1.8.26) e (1.8.27) pode-se mostrar [ B = Re L Re −L0, 44 + (5,82 x10 −6 ) Re 0L,8 Prl1 / 3 B = 0,681 Re 4L / 3 ] −1 / 2 (1.8.30) (1.8.31) Um gráfico da variação de B com Reynolds local é mostrado na Figura 1.8.3. 146 Figura 1.8.3 Filme de condensação numa parede vertical: taxa total de condensação em função de B. Ex. 1.8.2 Refazer o Ex. 1.8.1 1.8.1.3 Filme de Condensação em Outras Configurações Os resultados descritos até agora são válidos não só para superfícies planas, mas também para superfícies curvas em que o filme de condensado seja suficientemente fino. Superfícies curvas englobam, por exemplo, cilindros e esferas, e desde que o diâmetro seja maior do que a espessura do filme pode-se usar os resultados anteriores. Um filme sobre uma esfera pode ser considerado como um processo de condensação sobre uma parede inclinada. Alguns exemplos são ilustrados na figuras a seguir. 147 Figura 1.8.4 Filme de condensado em superfícies planas, curvas e inclinadas. No caso de superfícies curvas a componente tangencial da gravidade varia ao longo do filme Um exemplo é uma superfície esférica. Para filme laminar ao redor da esfera, a correlação para calcular o Nusselt médio é da forma ⎡ D 3 h′fg g (ρ l − ρ v ) ⎤ hD D = 0,815⎢ Nu D = ⎥ kl ⎣⎢ k lν l (Tsat − Tw ) ⎦⎥ 1/ 4 (1.8.32) Para escoamento laminar em torno de um único cilindro a correlação é ⎡ D 3 h ′fg g (ρ l − ρ v ) ⎤ hD D = 0,729⎢ Nu D = ⎥ kl ⎢⎣ k lν l (Tsat − Tw ) ⎥⎦ 1/ 4 (1.8.33) No caso de uma fileira vertical de cilindros horizontais, Figura 1.8.5, foi proposto Nu D = hD , n D kl ⎡ D 3 h ′fg g (ρ l − ρ v ) ⎤ = 0,729⎢ ⎥ ⎣⎢ nk lν l (Tsat − Tw ) ⎦⎥ 1/ 4 (1.8.34) Comparando a Eq. (1.8.34) com a Eq. (1.8.33) pode demonstrar que hD , n = hD n1 / 4 (1.8.35) 148 Figura 1.8.5 .Filme de condensado em escoamentos em tubos horizontais Outras configurações podem ser encontradas por exemplo, no livro do Bejan. A Figura 1.8.6 ilustra condensação numa superfície horizontal de uma tira ou disco. Um caso interessante é o caso de condensação num cilindro num escoamento cruzado por convecção forçada ou paralelo a uma placa, Figura 1.8.7. Vapor escoando verticalmente num tubo é ilustrado Figura 1.8.8. Escoamentos rápido e lento de vapor em tubos horizontais são ilustrados na Figura 1.8.9 149 Figura 1.8.6 Filme de condensado numa fita horizontal de largura L ou disco de diâmetro D. Figura 1.8.7 Filme de condensação sobre um cilindro horizontal em escoamento cruzado e sobre uma placa plana paralela ao escoamento. 150 Figura 1.8.8 Condensação num tubo vertical com escoamento co-corrente do vapor. Figura 1.8.9 Condensação como um filme anelar num tubo com escoamento rápido de vapor (esquerda) e acumulação no fundo com escoamento lento de vapor (direita). 1.8.1.4 Condensação em gotas por Contato Direto A condensação pode ocorrer quando a tensão superficial for alta o condensado forma gotas que escorem pela superfície quando o tamanho das gotas aumentam. Veja ilustração no livro Bejan. 1.8.2 Transferência de Calor na Ebulição 1.8.2.1 Regimes de Ebulição em Vaso Aberto 151 Nesta seção considera-se o caso de transferência de calor na ebulição, que ocorre quando a temperatura de uma superfície sólida é suficientemente mais alta do a temperatura de saturação do líquido que está em contato com ela. Ebulição é sinônimo de transferência de calor convectiva com mudança de fase líquido para vapor quando o líquido está sendo aquecido por uma superfície suficiente quente. Este é o processo inverso da condensação em que vapor se torna líquido quando ele é resfriado em contato com uma superfície fria. O processo de ebulição em vaso (pool boiling) é ilustrado na Figura 1.8.10. No caso do líquido estar inicialmente sub-resfriado as bolhas de vapor formado não conseguem alcançar a superfície livre e se condensam novamente. Quando o líquido já esta na temperatura de saturação as bolhas de vapor alcançam a superfície livre. Figura 1.8.10 Nucleação de ebulição em vaso, líquido sub-resfriado (esquerda) e líquido saturado (direita). Os regimes de ebulição em vaso são ilustrados na Figura 1.8.11. No experimento com temperatura controlada consegue-se reproduzir a curva de ebulição, já no experimento com potência controlada quando o fluxo de calor atinge o máximo (que é chamado ponto de queima, pois a temperatura atinge o ponto de fusão do aquecedor), daí não se consegue reproduzir a parte descendente da curva, no regime de transição. Se for um processo de resfriamento, quando o fluxo de calor atinge o mínimo, o filme de vapor se colapsa e inicia-se o processo de nucleação de bolhas, também não se conseguindo reproduzir a parte da curva de ebulição no regime de transição. 152 Figura 1.8.11 Os quatro regimes de ebulição de água em vaso a pressão atmosférica Figura 1.8.12 Curva de ebulição em vaso, em um experimento com temperatura controlada (esquerda) e em um experimento com potência controlada 1.8.2.2 Nucleação da Ebulição e Fluxo de Calor de Pico O regime mais importante de ebulição ilustrado na curva da Figura 1.8.11 é o de nucleação da ebulição, porque é neste regime que o coeficiente de transferência de calor definido por 153 h= q ′w′ Tw − Tsat (1.8.36) atinge altos valores, no range de 103-105 W/(m2K). Muitos estudos têm sido realizados, uma correlação proposta para por Rohsenow tem a forma: Tw − Tsat = h fg c p ,l ⎡ q ′′ Pr C sf ⎢ w ⎢⎣ μ l h fg s l ⎛ ⎞ σ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ g (ρ l − ρ v ) ⎠ 1/ 2 ⎤ ⎥ ⎥⎦ 1/ 3 (1.8.37) a qual se aplica para superfícies limpas e como uma aproximação de engenharia é insensitiva a orientação da superfície. Ele depende de duas constantes empíricas C sf e s . C sf é um coeficiente que leva em conta a combinação do líquido com a superfície do material e s é um expoente que depende do líquido. Estes valores podem ser encontrados na Tabela 8.1 do livro do Bejan (Heat Transfer, pg. 425). σ [N/m] é a tensão superficial do líquido em contato com seu vapor. Se considerar uma bolha de vapor de forma esférica seu raio pode ser estimado como: r = 2σ /( p v − pl ) , em que p v é pressão dentro da bolha e p l é pressão fora. No caso em que a diferença de temperatura Tw − Tsat é conhecida a Eq. (1.8.37) pode ser rearranjada para se determinar o fluxo de calor na forma ⎛ g (ρ l − ρ v ) ⎞ q ′w′ = μ l h fg ⎜ ⎟ σ ⎠ ⎝ 1/ 2 ⎡ c p ,l (Tw − Tsat ) ⎤ ⎢ ⎥ s ⎢⎣ Prl C sf h fg ⎥⎦ 3 (1.8.38) O fluxo de calor de pico sobre uma grande superfície horizontal baseado em análise dimensional é da forma: ′′ = 0,149h fg ρ v1 / 2 [σg (ρ l − ρ v )] q max 1/ 4 (1.8.39) que independe da superfície do material. Esta correlação se aplica para superfícies cujo comprimento linear é muito maior do que o tamanho das bolhas de vapor. 154 Ex.: 1.8.3 Um elemento cilíndrico de aquecimento de diâmetro 1 cm e comprimento 30 cm é imerso horizontalmente numa piscina de água saturada a pressão atmosférica. A superfície cilíndrica é coberta com níquel. Calcule o fluxo de calor e a taxa total de transferência de calor do cilindro para a piscina de água, quando Tw = 108 o C . Calcule também o fluxo crítico de calor. 1.8.2.3 Filme da Ebulição e Mínimo Fluxo de Calor Filme de ebulição é uma camada contínua de vapor (0,2-0,5 mm de espessura) que separa a superfície aquecida do resto do líquido. O fluxo mínimo de calor é registrado na temperatura mais da superfície do aquecedor que ainda mantém o filme contínuo. Para superfícies horizontais extensas, o fluxo mínimo é da forma: ⎡ σg ( ρ l − ρ v ) ⎤ ′′ = 0,09h fg ρ v ⎢ q min 2 ⎥ ⎣⎢ ( ρ l + ρ v ) ⎦⎥ 1/ 4 (1.8.40) Para um cilindro horizontal a correlação é da forma: ⎡ D 3 h ′fg g ( ρ l − ρ v ) ⎤ hD D = 0,62⎢ Nu D = ⎥ kv ⎢⎣ k vν v (Tw − Tsat ) ⎥⎦ 1/ 4 (1.8.41) na qual as propriedades são do vapor. Para filme de ebulição sobre uma esfera tem-se ⎡ D 3 h′fg g ( ρ l − ρ v ) ⎤ h D N u D = D = 0,67 ⎢ ⎥ kv ⎢⎣ k vν v (Tw − Tsat ) ⎥⎦ 1/ 4 (1.8.42) Em que h ′fg = h fg + 0,4c p ,v (Tw − Tsat ) e neste caso k v , ν v , ρ v , c p ,v são avaliados a (Tw + Tsat ) / 2 . (1.8.43) 155 Se a temperatura do aquecedor aumenta, o efeito de radiação térmica deve ser levado através do filme se torna importante. Para se considerar a radiação pode-se definir um coeficiente equivalente na forma: h = hD + 3 hrad ; hD > hrad 4 (1.8.44) na qual hrad = σε w (Tw4 − Tsat4 ) Tw − Tsat (1.8.45) Na Eq. 1.8.45 a constante de Stefan-Boltzmann tem o valor σ = 5,669 x10 −8 W/m2K4. Para água se Tw − Tsat > 550 − 600 o C , deve-se considerar radiação. No caso em que hrad > hD o coeficiente pode ser calculado na forma ⎛h h = hD ⎜⎜ D ⎝ h ⎞ ⎟⎟ ⎠ 1/ 3 + hrad ; hD ≤ hrad (1.8.46) Ex.: 1.8.4 Rafazer o Ex. 1.8.3 considerando radiação. Adote Tw = 300 o C e ε w = 0,8 . 1.8.2.4 Escoamento com Ebulição Se o líquido for forçado sobre o aquecedor, o fluxo de calor deve ser calculado na forma: q ′′ = q ′w′ + q c′′ (1.8.47) na qual q ′w′ é calculado pela Eq. (1.8.38) e o fluxo de calor devido ao escoamento pode ser calculado como q c′′ = hc (Tw − Tl ) (1.8.48) 156 O coeficiente de troca convectiva pode ser avaliado como nos capítulos anteriores como nos casos de convecção forçada externa ou interna ou convecção natural. Por exemplo para ebulição num duto, uma correlação usada é da forma: Nu D = hc D = 0,019 Re 4D/ 5 Pr 0, 4 k (1.8.49) 157 1.9. Radiação Radiação diferentemente da condução e convecção é o mecanismo de troca de energia entre sistemas à distância, sem fazer contato direto. Uma transferência líquida de calor por radiação pode ocorrer mesmo que o espaço entre duas superfícies esteja evacuado. O campo de radiação eletromagnética é caracterizado em escala macroscópica pela definição em cada ponto r do espaço e para cada direção Ω de uma quantidade Iν , a intensidade monocromática relacionada com a freqüência ν . O campo de radiação resulta da distribuição de fótons (quanta de energia particular de Bose-Einstein que em repouso possuem massa nula) cada caracterizado pela freqüência ν , momentum p e spin s. Um quanta tem energia e = hν , onde h = 6, 6256 x10−34 Js é a constante de Planck. Em radiação, energia é permanentemente trocada entre um sistema material e um campo de radiação pelos seguintes processos: - emissão espontânea de radiação que consiste na conversão de energia térmica (energia de vibração ou rotação, energia eletrônica, energia de fônons, etc. para uma energia radiativa (de fótons); - absorção de radiação pela conversão inversa de energia radiativa para energia térmica. Sob o ponto de vista de radiação, pode-se definir três tipos de meios: - meio transparente como aquele que não emite, não absorve, não reflete ou difunde, mas transmite toda radiação incidente qualquer que seja sua direção e freqüência; - meio opaco que não transmite qualquer radiação incidente ( I i ) que pode ser absorvida ( I a ) ou refletida ( I r ). O meio opaco também pode emitir a radiação ( I e ); - meio semitransparente que reflete, absorve ou difunde a radiação incidente, ou a transmite em distâncias finitas. 158 Figura 1.9.1 Radiação em meios transparente e opaco A análise de transferência radiativa é complicada pelo fato que a propagação de radiação em qualquer ponto em um meio não pode ser representada por um único vetor como no caso da condução de calor. Para especificar a radiação incidente em um dão ponto, é necessário conhecer a radiação de todas as direções porque os feixes de radiação de todas as direções são independentes uns dos outros. Portanto a quantidade fundamental freqüentemente usada em estudos de transferência radiativa para descrever a quantidade de energia de radiação transmitida pelo raio em qualquer dada direção por unidade de tempo é a intensidade de radiação monocromática (ou espectral). Para definir esta quantidade considere um elemento de superfície dA , sobre um espaço de coordenadas r , caracterizada por uma direção cuja normal é o vetor n como ilustrado na Figura 1.9.2. Seja dEν a quantidade de energia radiativa no intervalo de freqüência entre ν e ν + dν , confinada em um elemento de ângulo sólido dΩ ao redor da direção de propagação Ω escoando através do elemento de superfície dA (i.e., transmitida através ou emitida pela e/ou refletida da superfície) durante o intervalo de tempo entre t e t + dt . Seja θ o ângulo polar entre a direção normal n e a ( ) direção de propagação Ω . A intensidade de radiação monocromática Iν r , Ω, t é definida como ( ) Iν r , Ω, t = dEν dA cos θ d Ωdν dt (1.9.1) 159 Figura 1.9.2 – Símbolos para definição de intensidade Na equação (1.9.1) dA cos θ é a projeção da superfície dA sobre um plano perpendicular à direção dΩ ; daí a intensidade é definida com base na área projetada. De acordo com a Eq. (1.9.1) a intensidade monocromática é a quantidade de energia radiativa (em unidades apropriadas de energia) escoando através da unidade de área perpendicular à direção de propagação Ω , por unidade de ângulo sólido em torno da direção Ω , por unidade de freqüência sobre a freqüência ν , e por unidade de tempo sobre o tempo t . Se a intensidade de radiação para ou de um elemento de superfície é considerada na faixa de freqüência entre ν 1 e ν 2 e através do ângulo sólido entre Ω1 e Ω 2 , então a quantidade por metro quadrado ν 2 φ2 θ 2 Eν = ∫ ∫ ∫ Iν ( r ,θ , φ , t ) cos θ senθ dθ dφ dν 2 ν φ1 θ1 1 m (1.9.2) é o total de energia radiativa para ou da superfície por unidade de área e por unidade de tempo na faixa de freqüência entre ν 1 e ν 2 e através do ângulo sólido entre Ω1 e Ω 2 . Um elemento de ângulo sólido em coordenadas esféricas é representado por d Ω = senθ dθ dφ (1.9.3) na qual θ é o ângulo polar entre a direção normal n à superfície e a direção da intensidade e φ é o ângulo lateral como mostrado na Figura 1.9.3 160 Figura 1.9.3 Cálculo do ângulo sólido 1.9.1 Radiação em corpo negro A superfície de um sistema que participa em uma troca de calor por radiação pode ser classificada de acordo com sua habilidade de absorver a radiação que nela incide. O termo corpo negro é usado para denotar um corpo que possui a propriedade de permitir que toda a radiação incidente entre no meio sem reflexão pela superfície e sem permitir que ele deixe o meio novamente. Portanto um corpo negro deve possuir uma superfície que permite que a radiação incidente entre sem reflexão. Durante a propagação de radiação em um meio cada raio sofre certo enfraquecimento por causa da absorção; portanto um corpo negro deve ter espessura suficiente, dependendo do seu poder absorsivo, para assegurar que os raios não deixarão o meio. Um feixe viajando em um meio é desviado de seu caminho original e espalhado em todas as direções por causa da presença de pequenas impurezas e não homogeneidades. Embora no processo de espalhamento de radiação térmica a energia não seja nem criada nem destruída, um corpo negro não deve ter nenhuma ou ser desprezível suas propriedades de espalhamento para assegurar que a radiação entrando no meio não será espalhada para fora. Estas propriedades referem-se aos feixes de radiação vindo de todas as direções e para todos os comprimentos de onda. Daí um corpo negro absorve toda radiação incidente de todas as direções e em todas as freqüências, sem refletir, transmitir e espalhar os raios incidentes. 161 Da discussão anterior, conclui-se que um corpo negro é um perfeito absorvedor de radiação de todas as direções em todas as freqüências. Considere agora um corpo negro dentro de uma cavidade isotérmica cujas paredes absorve e emite radiação, e assuma que após um período de tempo o corpo negro e a cavidade alcancem o equilíbrio térmico e atinjam alguma temperatura uniforme. Enquanto em equilíbrio térmico um corpo emite tanta energia quanto absorve, e para um corpo negro a emissão de radiação deve ser máxima visto que ele absorve a máxima radiação possível de todas as direções e em todas as freqüências. Portanto a radiação emitida em qualquer dada temperatura T é um máximo para um corpo negro. Por considerar um corpo negro em equilíbrio térmico dentro de uma cavidade cujas paredes emitem e absorvem apenas em um intervalo de freqüência dν em torno de ν , e por um argumento similar, pode ser concluído que a radiação emitida por um corpo negro em uma dada temperatura T e freqüência ν é um máximo. Além do mais a radiação emitida por um corpo negro é isotrópica. A intensidade de radiação espectral ou monocromática emitida por um corpo negro em uma dada temperatura T no vácuo foi determinada por Planck e é dada por Iν b ,vac (T ) = 2hv3 c02 ⎣⎡exp ( hν / kT ) − 1⎦⎤ (1.9.4) na qual h e k são, respectivamente, as constantes de Planck e de Boltzmann, c0 é a velocidade da luz no vácuo, T é a temperatura absoluta e ν é a freqüência. Em muitas aplicações de engenharia se usa mais o comprimento de onda do que a freqüência para caracterizar a intensidade monocromática. Para se escrever a Equação (1.9.4) em função do comprimento de onda considera-se que a radiação emitida no intervalo dν em torno de ν deveria ser igual àquela no comprimento de onda d λ0 em torno de λ0 , isto é, Iν dν = − I λ0 d λ0 (1.9.5) Desde que o comprimento de onda depende do meio em que a radiação está viajando, usa-se o subscrito 0 para denotar que o meio é um vácuo. A freqüência, entretanto, não depende do tipo de meio. A freqüência e comprimento de onda estão relacionados por ν= c0 (1.9.6a) λ0 Por diferenciação de (1.9.4) resulta dν = − c0 λ 2 0 d λ0 e d λ0 = − c0 ν2 dν (1.9.6b) 162 Pela utilização de (1.9.7) em (1.9.5) pode-se escrever dν v2 = Iν b ,vac (T ) I λ0b ,vac (T ) = − Iν b ,vac (T ) d λ0 c0 (1.9.7a) De (1.9.4) e (1.9.7a) obtém-se a intensidade de radiação de Planck em função em termos do comprimento de onda: 2hc02 I λ0b ,vac (T ) = 5 λ0 ⎡⎣exp ( hc0 / λ0 kT ) − 1⎤⎦ (1.9.7b) que representa a intensidade de radiação emitida por um corpo negro em um vácuo puro. Ou seja, ela representa a energia radiativa por unidade de área projetada, por unidade de tempo, por unidade de ângulo sólido, por unidade de comprimento de onda sobre λ0 . Por exemplo, em watts (joule por segundo), por metro quadrado, por esterorradiano, por mícron tem-se W / m 2 ⋅ sr ⋅ μ m . Quando energia radiante é emitida por um corpo negro em um meio que não seja vácuo, a Eq. (1.9.4) deverá ser substituída por Iν b (T ) = 2hv3 c 2 ⎡⎣exp ( hν / kT ) − 1⎤⎦ (1.9.8a) na qual c é a velocidade de propagação de radiação no meio em questão. Para um meio dielétrico (meio com condutividade específica nula, ou perfeitamente não condutor elétrico), c = c0 / n , a Eq. (1.9.8) fica na forma: Iν b (T ) = 2hv3 n 2 = n 2 Iν b ,vac (T ) 2 c0 ⎡⎣exp ( hν / kT ) − 1⎤⎦ (1.9.8b) na qual n é o índice de refração do meio. Com ν = c0 / nλ e por um procedimento similar ao de obtenção da eq. (1.9.7b) pode-se mostrar que em função do comprimento de onda num meio que não seja vácuo, tem-se I λb (T ) = 2hc02 n 2 λ 5 ⎣⎡exp ( hc0 / nλ kT ) − 1⎦⎤ (1.9.9) na qual λ é o comprimento de onda no meio em questão. A intensidade de radiação emitida por um corpo negro sobre todas as freqüências (ou comprimentos de onda) é chamada de intensidade total de radiação do corpo negro e é obtida pela integração da intensidade monocromática de radiação do corpo negro sobre o espectro inteiro de energia: 163 I b (T ) = ∫ ∞ v =0 Iν b (T ) dν (1.9.10a) Pela substituição de (1.9.8b) em (1.9.10a) obtém-se I b (T ) = 2h ∞ v 3 n 2 dν c02 ∫ν =0 e hν / kT − 1 (1.9.10b) e se o índice refrativo n é assumido ser independente da freqüência, a Eq. (1.9.10b) pode ser rearranjada como 2hn 2 ⎛ kT ⎞ I b (T ) = 2 ⎜ ⎟ c0 ⎝ h ⎠ 4 ∞ ∫ν =0 ( vh / kT ) e hν / kT 3 ⎛ν h ⎞ d⎜ ⎟ − 1 ⎝ kT ⎠ (1.9.10c) ou I b (T ) = 2k 4 2 4 ∞ x 3 2k 4 2 4 π 4 = n T dx ( ) ∫ν =0 e x − 1 c02 h3 ( n T ) 15 c02 h3 (1.9.10c) A Eq. (1.9.10c) pode ser rearranjada como 2π 5 k 4 T 4 T4 2 =n σ I b (T ) = n 15c02 h3 π π (1.9.10d) 2π 5 k 4 σ= 15c02 h3 (1.9.10e) 2 na qual é a constante de Stefan-Boltzmann e seu valor em unidades SI é σ = 5, 67 x10−8 W/m 2 ⋅ K 4 ⋅ sr . Em muitas aplicações de engenharia uma quantidade física de interesse é o fluxo emissivo monocromático (ou espectral) ou poder emissivo do corpo negro Eλb (T ) definido como Eλb (T ) = ∫ 2π ∫ π /2 φ =0 θ =0 =∫ 2π ∫ 1 I λb (T )senθ cos θ dθ dφ I φ =0 μ =0 λb (T )μ d μ dφ (1.9.11a) = π I λb (T ) Substituindo a Eq. (1.9.9) em (1.9.11) resulta Eλb (T ) = c1 n λ ⎡⎣exp ( c2 / nλT ) − 1⎤⎦ 2 5 (1.9.11b) na qual foram definidos c1 = 2π hc02 e c2 = hc0 k (1.9.11c) 164 O fluxo emissivo monocromático Eλb (T ) representa a quantidade de energia radiativa emitida por um corpo negro na temperatura T por unidade de área, por unidade de tempo, por unidade de comprimento de onda em todas as direções do espaço hemisférico. Em unidades SI, W / m2 ⋅ μ m . A integração de Eλb (T ) sobre todos os comprimentos de onda de λ = 0 até infinito leva ao fluxo emissivo total ou poder emissivo total do corpo negro Eb (T ) : Eb (T ) = ∫ ∞ λ =0 Eλb (T )d λ = π ∫ ∞ I λ = 0 λb (T )d λ = π Ib (T ) = n2σ T 4 (1.9.12) O local de máximo do fluxo emissivo monocromático é determinado analiticamente pela regra de deslocamento de Wien, que é dada como ( λT )q λb ,max = c3 (1.9.13) Em unidades SI, a terceira constante é: c3 = 2,8978 × 10 −3 m ⋅ K . 1.9.2 Transferência de calor entre superfícies negras 1.9.2.1 O Fator de Forma Geométrico Considere o problema de determinar a taxa líquida de transferência de calor q1− 2 (W ) entre duas superfícies negras isotérmicas ( A1 , T1 ) e ( A2 , T2 ) mostradas na Figura 1.9.4. Esta análise pode ser feita nos seguintes passos: 1. A fração da radiação emitida pelo elemento de área dA1 e interceptada (absorvida totalmente) pelo elemento de área dA2 ; 2. A fração da radiação emitida pelo elemento de área dA2 e interceptada (absorvida totalmente) pelo elemento de área dA1 ; 3. A taxa de transferência líquida de dA1 para dA2 , isto é, a diferença entre as respostas da parte 1. e 2. e finalmente, 4. A taxa de transferência líquida de A1 para A2 , que é entre as duas áreas finitas isotérmicas. 165 Figura 1.9.4 – Parâmetros geométricos para cálculo do fator de forma Se r é a distância entre os elementos de áreas dA1 e dA2 , então o ângulo sólido através do qual dA2 é visto por um observador estacionado em dA1 é igual a dA2 cos φ2 / r 2 . Note que dA2 cos φ2 é a dimensão de dA2 após ele ter sido projetado na direção da linha dA1 − dA2 . Viajando de dA1 na direção de dA2 (e para todo o resto do espaço) tem-se a intensidade total de radiação de corpo negro I b ,1 = I b (T1 ) . O tamanho da área emitente que é normal à direção r é a área “ dA1 projetada”, dA1 cos φ1 . Portanto, a resposta ao item 1. é: qdA1 → dA2 = I b ,1dA1 cos φ1 dA2 cos φ2 r2 (1.9.14) A seta usada no subscrito dA1 → dA2 é para lembrar que qdA1 →dA2 representa a transferência de energia unidirecional por unidade de tempo, neste caso, de dA1 (emissor) para dA2 (alvo). Analogamente, a resposta ao item 2. será: qdA2 → dA1 = I b ,2 dA2 cos φ2 dA1 cos φ1 r2 (1.9.15) O terceiro passo consiste simplesmente de subtrair a Eq. (1.9.15) da Eq. (1.9.14) para calcular a transferência de calor líquida de dA1 para dA2 : 166 qdA1 − dA2 = qdA1 → dA2 − qdA2 → dA1 = ( I b ,1 − I b ,2 ) cos φ1 cos φ2 dA1dA2 r2 (1.9.16) Usando a equação 1(0.10d) para as intensidades de radiação de corpo negro, com n = 1 , a Eq. (1.9.16) pode ser reescrita como ( qdA1 − dA2 = σ T14 − T24 ) cos φπ rcos φ 1 2 2 dA1dA2 (1.9.17) Para se calcular q1− 2 (W ) deve-se somar as contribuições de todos os elementos de área de A1 e A2 , ou seja, q1− 2 = σ (T14 − T24 ) ∫ A1 ∫ cos φ1 cos φ2 dA1dA2 A2 π r2 (1.9.18) No lado esquerdo da Eq. (1.9.18) o subscrito 1-2 estabelece que a taxa de transferência q1− 2 (W ) deixa a superfície A1 e entra (cruza) a superfície A2 . A unidade da integral dupla na Eq. (1.9.18) é metro quadrado ( m 2 ) . É conveniente definir um fator adimensional formado pela razão da integral dupla por A1 , denominado de fator de forma geométrico baseado em A1 : F12 = 1 cos φ1 cos φ2 dA1dA2 ∫ ∫ A A π r2 A1 1 2 (1.9.19) A equação (1.9.18) pode, então, ser reescrita como q1− 2 = σ (T14 − T24 ) A1 F12 (1.9.20) O fator de forma é puramente geométrico, pois depende apenas de dimensões, orientações e posições relativas das duas superfícies. Alternativamente poderia se definir F21 = 1 A2 ∫ ∫ A1 A2 cos φ1 cos φ2 dA1dA2 π r2 (1.9.21) de modo que q1− 2 (W ) fica na forma q1− 2 = σ (T14 − T24 ) A2 F21 (1.9.22) Assim para se calcular q1− 2 (W ) deve-se calcular ou F12 ou F21 . Ao se integrar a Eq. (1.9.14) obtém-se o resultado q1→ 2 = I b ,1 ∫ A1 ∫ A2 cos φ1 cos φ2 dA1dA2 = σ T14 A1 F12 2 r (1.9.23) 167 Pela equação (1.9.12) σ T14 A1 = Eb,1 A1 que é o número de watts de radiação de corpo negro emitida pela superfície A1 em todas as direções que os pontos de A1 podem “olhar”. Apenas uma porção de Eb ,1 A1 é interceptada e absorvida por A2 ( porque, em geral, A1 pode ser cercada por outras superfícies além de A2 ); aquela porção é q1→ 2 ou Eb ,1 A1 F12 . Em conclusão, o significado físico do fator de forma é: F12 = q1→2 radiaçao deixando A1 e sendo interceptada por A2 = qb ,1 A1 radiaçao deixando A1 em todas as direçoes (1.9.24) A razão formulada na Eq. (1.9.24) sugere que o fator de forma está no intervalo entre 0 e 1. Livros textos de transferência de calor apresentam gráficos e tabelas de fatores de forma para várias configurações. Vide Bejan (1993) Cap. 10, por exemplo. 1.9.2.2 Relações entre fatores de forma Várias relações permitem estimativas de fatores de forma para diversas configurações. Estas relações são de reciprocidade, aditividade e invólucro (enclosure). A relação de reciprocidade pode ser obtida comparando as equações (1.9.20) e (1.9.22) sendo da forma: A1 F12 = A2 F21 (Reciprocidade) (1.9.25) No caso em que a área A2 é composta de n pedaços (mosaico), A2 = A21 + A22 + + A2n , o fator de forma pode ser calculado somando-se os fatores de forma individuais, na forma: n F12 = ∑ F12i (Aditividade) (1.9.26) i =1 em que F12i é o fator de forma de A1 para cada pedaço da área A2 . Em geral nem toda radiação emitida por A1 é interceptada por A2 , porque outras áreas podem circundar A1 . Sejam as áreas ( A2 , A3 ,…, An ) que juntamente com A1 formam um invólucro (enclosure), Figura 1.9.5. A conservação de energia dentro da cavidade requer que Eb ,1 A1 = Eb ,1 A1 F11 + Eb ,1 A1 F12 + + Eb ,1 A1 F1n (1.9.27a) ou após dividir por Eb ,1 A1 resulta 1 = F11 + F12 + + F1n (1.9.27b) A Eq. (1.9.27b) pode ser generalizada como n 1 = ∑ Fij j =1 ( i = 1, 2,…, n ) (Invólucro) (1.9.28) 168 Figura 1.9.5 – Invólucro formado por n superfícies 1.9.2.3 Cavidade de duas superfícies Os casos clássicos de cavidades de duas superfícies são: duas placas paralelas, um cilindro interno a outro e uma esfera encapsulada por outra, como mostra a Figura 1.9.6. Nestes casos, a transferência líquida de calor é dada pela Eq. (1.9.20) sendo da forma: q1− 2 = ( Eb ,1 − Eb ,2 ) A1 F12 (1.9.29) na qual Eb,1 = Eb (T1 ) = σ T14 e Eb,2 = Eb (T2 ) = σ T24 . O produto A1 F12 desempenha o papel de condutância térmica e seu inverso é a resistência térmica de radiação, ou seja, Rr = 1 1 = A1 F12 A2 F21 (1.9.30) Figura 1.9.6 – Exemplos de cavidades de apenas duas superfícies e correspondente diagrama de resistência térmica. 169 1.9.3 Radiação em corpos cinzas A maioria das superfícies não se comporta como corpos negros, e para analisar a transferência calor por radiação para superfícies reais é necessário considerar o que acontece com a irradiação, ou radiação térmica, incidente sobre a superfície. A irradiação incidente I i ou é absorvida dentro da superfície como I a , ou refletida como I r , ou transmitida como I t . Dessa forma, pode-se escrever Ii = I a + I r + It (1.9.31) ou na forma de frações I a I r It + + =1 Ii Ii Ii (1.9.32) Estas frações são definidas como Ia =α Ii (Absortividade) (1.9.33a) Ir = ρ (Refletividade) Ii (1.9.33b) It =τ Ii (1.9.33c) (Transmissividade) e a equação (1.9.32) pode ser reescrita como α + ρ +τ = 1 (1.9.34) Corpos opacos não transmitem radiação, dessa forma α + ρ =1 (1.9.35) Corpos negros não refletem nem transmitem radiação, daí α =1 (1.9.36) 1.9.3.1 Emissividade A intensidade de radiação emitida por uma superfície real de temperatura T é apenas uma fração da intensidade de um corpo negro. A intensidade de radiação monocromática de um corpo negro foi designada como I b ,λ ( λ , T ) . Já para uma superfície real esta intensidade será denominada I λ ( λ , T , φ ,θ ) , pois, depende também da direção (φ , θ ) em que um dado raio 170 aponta. A razão entre I λ ( λ , T , φ ,θ ) e I b ,λ ( λ , T ) é chamada emissividade monocromática direcional: ε λ′ ( λ , T , φ ,θ ) = I λ ( λ , T , φ ,θ ) I b ,λ ( λ , T ) ≤1 (1.9.37) O fluxo emissivo monocromático de uma superfície real ou poder emissivo monocromático da superfície se define como Eλ ( λ , T ) = ∫ 2π ∫ π /2 φ =0 θ =0 I λ ( λ , T , φ ,θ )senθ cos θ dθ dφ (1.9.38) De maneira análoga, pode-se definir a emissividade monocromática hemisférica para uma superfície real como ελ (λ,T ) = Eλ ( λ , T ) Eb ,λ ( λ , T ) ≤1 (1.9.39) O fluxo emissivo da superfície é obtido da integração em todos os comprimentos de onda do fluxo emissivo monocromático, ou seja, E (T ) = ∫ ∞ λ =0 Eλ ( λ , T )d λ = ∫ ∞ ε ( λ , T ) Eb,λ ( λ , T )d λ λ =0 λ (1.9.40) Correspondente a este fluxo emissivo se define a emissividade total hemisférica na forma ε (T ) = E (T ) Eb (T ) ≤1 (1.9.41) Usando as equações (1.9.12) e (1.9.40) se obtém ε (T ) = 1 σT 4 ∞ ∫λ =0 Eλ ( λ , T )d λ = 1 σT 4 ∞ ∫λ =0 ε λ ( λ , T ) Eb ,λ ( λ , T )d λ (1.9.42) Uma superfície cinza ou corpo cinza de temperatura T é a superfície cuja emissividade monocromática hemisférica é independente do comprimento de onda (i.e. uma constante se T é fixada), ou seja, ε λ ( λ ,T ) ≅ ε λ (T ) ou ε λ ≠ funçao ( λ ) (1.9.43) Além do mais, pode-se mostrar a partir de (1.9.42) e (1.9.43) que a emissividade total hemisférica de um corpo cinza é igual à sua emissividade monocromática hemisférica ε (T ) = ε λ (T ) (1.9.44) Um corpo cinza é um meio opaco emissor difuso (emite uniformemente em todas as direções). Ele também é assumido como absorvedor e refletor difuso. O modelo de corpo cinza aproxima bem o comportamento de muitas superfícies em transferência de calor na engenharia, por exemplo, cobre, óxido de alumínio, tintas e papel. Superfícies metálicas 171 limpas e bem polidas são caracterizadas por baixos valores de ε . Superfícies não metálicas, por outro lado, têm altas emissividades: de fato, algumas destas satisfazem bem o modelo de corpo negro ε = 1 (fuligem, vidro liso, gelo). Superfícies metálicas que se tornam cobertas por óxidos e outras impurezas também adquirem consideravelmente altos valores de emissividade. 1.9.3.2 Absortividade e Refletividade Da mesma maneira que foram definidas as emissividades pode-se definir as absortividades. Seja I λ ( λ , T , φ ,θ ) a intensidade de radiação que atinge um elemento de uma superfície real vindo da direção (φ , θ ) . A quantidade relativa que é absorvida na superfície, I a ,λ ( λ , T , φ ,θ ) , é indicada pela absortividade monocromática direcional α λ′ : α λ′ ( λ , T , φ ,θ ) = I a ,λ ( λ , T , φ , θ ) I λ ( λ , T , φ ,θ ) (1.9.45) A absortividade monocromática hemisférica é definida como αλ (λ,T ) = Ga ,λ ( λ , T ) Gλ ( λ , T ) (1.9.46) na qual o denominador Gλ ( λ , T ) ( W / m 2 ⋅ m ) é a irradiação monocromática, ou o número de watts que atinge a unidade de área de todas as direções por comprimento de onda e é definido como Gλ ( λ , T ) = ∫ 2π ∫ π /2 φ =0 θ =0 I λ ( λ , T , φ ,θ )senθ cos θ dθ dφ (1.9.47) O numerador da equação (1.9.46) é a fração da irradiação que é absorvida pela superfície definido como Ga ,λ ( λ , T ) = ∫ 2π ∫ π /2 φ =0 θ =0 I a ,λ ( λ , T , φ ,θ )senθ cos θ dθ dφ (1.9.48) Finalmente se define a absortividade total hemisférica como α (T ) = Ga (T ) G (T ) (1.9.49) na qual a irradiação total G (T ) é obtida pela integração ∞ G (T ) = ∫ Gλ ( λ , T ) d λ 0 (1.9.50) 172 O total absorvido é calculado como ∞ ∞ 0 0 Ga (T ) = ∫ Ga ,λ ( λ , T ) d λ = ∫ α λ ( λ , T ) Gλ ( λ , T ) d λ (1.9.51) Substituindo (1.9.51) em (1.9.49) obtém-se a expressão para a absortividade total hemisférica α (T ) = ∞ 1 α λ ( λ , T ) Gλ ( λ , T ) d λ ∫ 0 G (T ) (1.9.52) A diferença entre a irradiação total G (T ) e a absorvida total Ga (T ) é a porção refletida (caso de superfície opaca, ρ = 1 − α ; τ = 0 ) Gr (T ) . Dessa forma Gr = G − Ga = (1 − α ) G = ρ G (1.9.53) em que ρ é a refletividade da superfície. 1.9.3.3 Lei de Kirchhoff A lei de Kirchhoff estabelece que a absortividade monocromática direcional de uma superfície não negra é sempre igual à sua emissividade monocromática direcional quando a superfície está em equilíbrio térmico com a radiação que incide sobre ela, ou seja, α λ′ ( λ , TA , φ ,θ ) = ε λ′ ( λ , TA , φ ,θ ) (Lei de Kirchhoff) (1.9.54) A Lei de Kirchhoff pode ser usada para estimar a absortividade de um corpo cinza? Para responder a esta questão, considere que para um absorvedor difuso α λ ( λ , T ) = α λ′ ( λ , T ) (1.9.55) Da mesma forma, para um emissor difuso ε λ ( λ , T ) = ε λ′ ( λ , T ) (1.9.56) Em conclusão, para uma superfície que é tanto um absorvedor difuso quanto emissor difuso, a Lei de Kirchhoff estabelece que αλ ( λ, T ) = ε λ ( λ, T ) (1.9.57) Para uma superfície cinza, a emissividade ε λ independe do comprimento de onda, ou seja, ε λ = ε (T ) . Portanto, pode-se se concluir que a absortividade também independe do comprimento de onda. Então (1.9.57) fica na forma α λ (T ) = ε (T ) Substituindo (1.9.58) em (1.9.52) pode-se demonstrar que para uma superfície cinza (1.9.58) 173 α ( T ) = ε (T ) (1.9.59) Portanto, pode-se estimar a absortividade total hemisférica de uma superfície cinza a partir de tabelas de emissividade total, desde que a superfície tenha a mesma temperatura da radiação que incide sobre ela. 1.9.4 Transferência de calor entre superfícies cinzas Considere agora o problema de determinar a taxa líquida de transferência de calor entre duas superfícies cinzas que formam uma cavidade, Figura 1.9.7. As áreas ( A1 , A2 ) , as temperaturas (T1 , T2 ) e as emissividades totais hemisféricas ( ε1 , ε 2 ) são especificadas. Assuma que a menor das duas superfícies A1 é não côncava, de modo que F11 = 0 . Figura 1.9.7 Cavidade definida por duas superfícies cinzas e resistência térmica de A1 para A2 Seja G1 a irradiação total que chega num elemento de área dA1 . Na direção oposta está a porção refletida ρ1G1 mais o fluxo de calor emitido por dA1 em si, ε1 Eb ,1 . O fluxo de calor unidirecional que parte de dA1 representa o que se chama radiosidade da superfície denominada J1 (W / m 2 ) : J1 = ρ1G1 + ε1 Eb ,1 (1.9.60) A diferença entre o fluxo de calor que deixa dA1 , J1 (W / m 2 ) e o fluxo que chega G1 , é o fluxo líquido que deixa dA1 , q1′′ = J1 − G1 (1.9.61) 174 Eliminando G1 entre (1.9.60) e (1.9.61) e lembrando que para uma superfície cinza, ρ1 = 1 − α1 = 1 − ε1 , obtém-se q1′′ = J1 − J1 − ε1 Eb ,1 ρ1 = ε1 ( Eb,1 − J1 ) 1 − ε1 (1.9.62) A taxa líquida que deixa a superfície A1 é simplesmente q1 = q1′′A1 , então, q1 = ( Eb,1 − J1 ) ε1 A1 Eb ,1 − J1 ) = ( 1 − ε1 Ri (1.9.63) Em que o denominador é uma resistência interna que impede a passagem de q1 através de A1 . A corrente líquida de calor que sai de A1 deve ser provida por um agente externo (um aquecedor); esta corrente é bombeada através da superfície de A1 , isto é, de suas costas para a face que está na cavidade. A resistência interna tem a forma genérica Ri = 1− ε εA (1.9.64) A corrente total de calor J1 A1 tem todos os aspectos de Eb ,1 A1 já discutido anteriormente. Assim pode se calcular a corrente unidirecional J1 A1 como q1→2 = J1 A1 F12 = J1 A2 F21 (1.9.65) De maneira análoga pode se calcular a corrente unidirecional J 2 A2 obtendo-se q2→1 = J 2 A2 F21 = J 2 A1 F12 (1.9.66) A corrente líquida de na direção A1 → A2 é, portanto, q1− 2 = q1→2 − q2→1 = A1F12 ( J1 − J 2 ) (1.9.67) Observando o circuito elétrico na Figura 1.9.7 pode-se verificar que a taxa líquida de calor pode ser calculada como se fosse um corpo negro na forma: q1− 2 = σ (T14 − T24 ) 1 − ε1 1 1− ε2 + + ε1 A1 A1 F12 ε 2 A2 (1.9.68) Pela conservação de energia através de A1 pode-se demonstrar que q1 = q1− 2 = −q2 (1.9.69) na qual q1 é calculado pela Eq. (1.9.63) e q2 e definido como q2 = ε 2 A2 ( Eb,2 − J 2 ) 1− ε2 (1.9.70) 175 Três casos de configurações importantes de cavidades de duas superfícies foram mostradas na Figura 1.9.6. Naqueles casos os fluxos líquidos podem ser avaliados como 1) Duas placas paralelas ( A1 = A2 = A ) q1− 2 = σ A (T14 − T24 ) 1 ε1 + 1 ε2 (1.9.71) −1 2) Espaço anelar entre dois cilindros infinitos ou entre duas esferas (não necessariamente concêntricos(as)) q1− 2 = σ A1 (T14 − T24 ) (1.9.72) ⎞ A ⎛1 + 1 ⎜ − 1⎟ ε1 A2 ⎝ ε 2 ⎠ 1 No caso em que uma superfície extremamente grande ( A2 ) circunda uma superfície convexa ( A1 , F11 = 0 ) tem-se q1− 2 = σ A1ε1 (T14 − T24 ) (1.9.73) O caso de invólucros de mais de duas superfícies também pode ser analisado de forma similar ao caso de invólucro de duas superfícies. Considere o caso de um invólucro de n superfícies cinzas, Figura 1.9.8. Em geral um observador sobre A1 pode ver as radiosidades de todas as n partes do invólucro. Por exemplo, a corrente de irradiação que emana da j-ésima superfície A j e atinge A1 é J j A j F j1 . Segue que a corrente de irradiação que impinge sobre A1 é A1G1 = J1 A1 F11 + J 2 A2 F21 + = n ∑J j =1 = + J n An Fn1 j A j F j1 j A1 F1 j (1.9.74) n ∑J j =1 Figura 1.9.8 – Invólucro formado por n superfícies cinzas, e resistência associada com Ai 176 Do ponto de vista de A1 , a transferência de calor é ainda o cálculo da taxa de transferência líquida de calor q1 que deve ser suprida nas costas (atrás) de A1 . Esta corrente de calor pode ser avaliada usando a eq. (1.9.63) desde que a radiosidade J1 seja conhecida. O problema se reduz, então, ao cálculo de J1 . Substituindo a eq. (1.9.60) na eq. (1.9.74) obtémse n J1 = (1 − α1 ) ∑ J j F1 j + ε1σ T14 (1.9.75) j =1 A eq. (1075) estabelece que a radiosidade da superfície A1 depende das propriedades de A1 (α1 , ε1 , T1 ) , das radiosidades de todas as superfícies que formam o invólucro ( J ; j = 1, 2,… , n ) e dos respectivos fatores de forma através dos quais estas superfícies são j visíveis de A1 . Um sistema de n equações para as n radiosidades pode ser obtido por escrever para cada superfície i que participa no invólucro: n J i = (1 − α i ) ∑ J j Fij + ε iσ Ti 4 ( i = 1, 2,… , n ) (1.9.76) j =1 Se a geometria e propriedades de todas as superfícies são especificadas, então o sistema (1.9.76) fornece os valores das n radiosidades. Uma equação para a taxa líquida de calor de cada superfície pode ser escrita como ε i Ai σ Ti 4 − J i ) ( 1− εi qi = ( i = 1, 2,… , n ) (1.9.77) A seguinte restrição deve ser satisfeita, n ∑q i =1 i =0 (1.9.78) Alternativamente, a taxa de calor de cada superfície definida como qi = Ai J i − Ai Gi pode ser calculada como n qi = Ai J i − ∑ J j Ai Fij (1.9.79a) j =1 n ou lembrando que ∑F j =1 ij = 1 , tem-se n n j =1 j =1 qi = Ai J i ∑ Fij − ∑ J j Ai Fij ou após um rearranjo de (1.9.79b) resulta (1.9.79b) 177 qi = ∑ Ai Fij ( J i − J j ) n (1.9.79c) j =1 Os fatores de forma de um invólucro de n superfícies formam uma matriz n × n num total de n 2 fatores de forma. Nem todos deste número podem ser especificados independentemente. Existirão ( n 2 − n ) / 2 relações de reciprocidade, porque existirão n fatores na diagonal e ( n 2 − n ) / 2 fatores em cada lado da diagonal. Adicionalmente, n relações de n invólucro ( ∑ Fij = 1 ) podem ser escritas. Em conclusão, o número de fatores de forma j =1 independentes é: n2 − 1 2 n n − n ) − n = ( n − 1) ( 2 2 (1.9.80) Existem em livros textos tabelas e gráficos de arranjos de várias configurações de fatores de forma. 178 2. Geradores de Vapor - GV 2.1. Introdução e Classificação Gerador de Vapor (GV) é um equipamento destinado à produção de vapor. O vapor gerado pode ser utilizado para diversos fins: aquecimento, processos industriais, como fluido de trabalho em máquinas motoras e esterilização Para gerar vapor é necessário calor. As fontes mais utilizadas são: energia liberada pela combustão, energia elétrica, aproveitamento de calor residual de outro processo e a energia nuclear. Conforme o agente que transfere calor para evaporação da água, as caldeiras se classificam em: • a óleo combustível; • a óleo diesel; • a lenha e bagaço de cana; • a carvão; • a eletricidade, com eletrodo submerso; • a gás (GLP e gás natural ou de destilação, canalizado, biogás) Um GV de vapor é constituído, basicamente, pelos seguintes componentes: caldeira, fornalha, superaquecedor, economizador, aquecedor de ar e sistema de tiragem. 2.2 Caldeiras As caldeiras, segundo o modo de transferência de calor, podem ser flamotubulares ou aquatubulares. 2.2.1 Caldeiras flamotubulares ou fogotubulares Nas caldeiras flamotubulares ou fogotubulares, Figura 2.1, gases quentes provenientes de uma fornalha ou câmara de combustão escoam em tubos imersos na água a ser evaporada, a qual se situa no interior de um encamisamento de chapas de aço soldadas. Os gases quentes podem passar uma ou mais vezes (duas e até três) pelos tubos. As vantagens principais deste tipo de caldeira são: • construção simples e pouca alvenaria; • facilidade de variação da quantidade de vapor produzido atuando sobre os queimadores; • possibilidade de troca/substituição fácil dos tubos; • uso de água sem tratamento rigoroso como seria necessário se a água escoasse internamente nos tubos. Como as incrustações se formam externamente nos tubos, elas pode ser removidas relativamente fácil; • limpeza fácil da fuligem no interior dos tubos; • custo relativamente baixo, pois dispensa o uso de superaquecedores e economizadores. Entre as desvantagens pode-se citar: • demora para atingir regime de plena produção de vapor, devido ao grande volume de água nas camisas que envolvem os tubos de gases quentes; • destinam-se a pressões não muito elevadas, algo em torno de 16 atm, por razões de segurança do vaso de pressão; 179 • necessidade de bomba para manter o suprimento de água compatível com demanda de vapor numa dada temperatura. Figura 2.1 Esquema de uma caldeira flamotubular com fornalha interna e tubos de gases de retorno em duas passagens. As caldeiras flamotubulares são também conhecidas como caldeiras de tubos de gases ou de tubos de fumaça e podem ser encontradas nos seguintes arranjos: • Caldeiras horizontais com fornalha interna e tubos de gases diretos. Os gases seguem num só sentido em direção à chaminé, Figura 2.2 • Caldeiras horizontais com tubofornalha. Constam de uma camisa e vários tubos internos que conduzem os gases quentes, não existindo a fornalha completamente revestida de material refratário, Figuras 2.3 e 2.4. Possibilitam produção até 8000 kg/h de vapor com pressão de 20 kgf/cm2. Usam como combustíveis: lenha e cavacos, serragem, carvão, cascas e óleos combustível. • Caldeiras verticais, com a vantagem de ocupar pouco espaço. São em geral pequenas com fornalha interna na parte inferior, Figura 2.5 As caldeiras flamotubulares, geralmente, são fornecidas pelo fabricante com certos equipamentos: a) Equipamento para suprimento de ar de combustão com pressão suficiente parta exaurir os gases de combustão através dos tubos de fogo. É constituído por um ventilador centrífugo. b) Sistema de preaquecimento de óleo. O óleo combustível (BTE ou BPF) deve ser aquecido a 120oC para diminuir a viscosidade e melhorar a eficiência dos atomizadores nos queimadores. No inicio usa-se uma resistência elétrica e posteriormente o próprio vapor para aquecimento do óleo cuja temperatura é regulada por um termostato. c) Sistema de queima de óleo combustível. Consta do seguinte: • de um conjunto de ignição por meio de óleo diesel, composto por bomba, transformador de ignição, queimador e célula fotoelétrica atuada por chama piloto; • bomba de circulação de óleo combustível; • válvula solenóide automática para controle do fluxo de óleo para os atomizadores; • válvula de regulagem de pressão de óleo; • filtros de óleo diesel e de óleo combustível, manômetro, termômetro. d) Sistema de alimentação de água • bomba para alimentação da caldeira; • injetor com pressão de 8 a 12 kgf/cm2. 180 Figura 2.3 Caldeira fogotubular simples, horizontal, de construção local e fornalha externa. Figura 2.4 Caldeira flamotubular a carvão e opcionalmente um outro combustível apropriado. (ATA Combsutão Técnica S.A.) 181 Figura 2.4 Caldeira fogotubular ATA tipo L, mista (a óleo e a lenha). Figura 2.5 Caldeira flamotubular vertical. 2.2.2 Caldeiras aquatubulares Nas caldeiras aquatubulares, o aquecimento se faz externamente a um feixe de tubos contendo água e em comunicação com um ou mais reservatórios ou tambores. São fabricadas para produção de 50.000 kg/h de vapor e valores até bem maiores. Poder ser: - de tubos retos • com tambor longitudinal (Figura 2.6) • com tambor transversal 182 - de tubos curvos • com um único tambor (Figura 2.7) • com dois tambores longitudinais ou transversais: horizontais (Figura 2.8a) verticais inclinados • com três tambores longitudinais ou transversais (Fig. 2.8b c) • com quatro ou mais tambores. Figura 2.6 Caldeira aquatubular de corpo longitudinal, um tambor e tubos inclinados. Figura 2.7 caldeira aquatubular de tubos curvos com um único tambor. 183 Figura 2.8 Caldeira aquatubular em vários arranjos. Em locais onde haja suprimento abundante de energia elétrica, pode-se analisar se é vantajosa a instalação de equipamentos eletrotérmicos. Vide Macintyre , 1997 (Macintyre, A.J. (1997) Equipamentos Industriais e de Processos, LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, 277p.) As Figuras 2.9 e 2.10 mostram vistas esquemáticas de um GV. Pode acontecer de algum GV não possuir todos os componentes listados acima, como por exemplo, não dispor de superaquecedeor, nem de aquecedor de água de alimentação. 184 Figura 2.9 Esquema dos componentes de GV. Figura 2.10 Ordem dos componentes em relação ao fluxo de gases de combustão. 2.3 Fornalha É a região do Gerador de Vapor (GV) onde ocorre a queima do combustível. As funções principais da fornalha são: - evaporar toda o umidade do combustível; - destilar as substâncias voláteis do combustível; - elevar a T do combustível até a combustão espontânea; - proporcionar uma combustão completa; - criar turbulência para misturar o ar e o combustível; - impedir a troca de calor entre os gases quentes produzidos e o ambiente externo. A maioria das fornalhas trabalha com pressões abaixo da atmosférica. Isso evita superaquecimentos locais devidos a vazamentos, permite a abertura de portas de observação 185 sem perigo. Porém, quando a perda de carga aumenta, deve-se usar um ventilador de exaustão - sujeito aos gases quentes - ou trabalhar com ar pressurizado (fornalhas pressurizadas). As fornalhas podem ser do tipo grelha. Os tipos de grelhas mais usados estão apresentados nas Figuras 2.11 à 2.17 onde está explicitado o seu funcionamento. Figura 2.11 Grelha de carregamento manual. Figura 2.13 grelha com deslizamento. Figura 2.12 Grelha de carregamento por projeção Figura 2.14 intermitente. Grelha com Figura 2.15 Grelha móvel com alimentação por baixo. Figura 2.16 Grelha com translação para queima em suspensão. movimento 186 Figura 2.17 Grelha móvel, barras de translação: a)simples, b)zoneada, c) abóbada. A queima de uma camada de combustível é explicada assim: -acima da camada de combustível ocorre a queima de CO e dos voláteis destilados, com o ar secundário. -na camada inferior da massa de combustível sobre a grelha estão as cinzas - final de combustão do combustível mais antigo. -na camada imediatamente superior - camada de oxidação - o ar que atravessa o combustível (ar primário) é rico em O2 e a reação predominante é: C + O2 = CO2. -na camada seguinte - camada de redução - a proporção de O2 diminui e a proporção de CO2 é grande. Então a reação predominante é: C + CO2 = 2CO. -na última camada - onde o combustível é mais recente - ocorre seu aquecimento e a destilação de seus componentes voláteis. As Figuras 2.18 e 2.19 ilustram este tipo de grelha e a teoria das quatro camadas. Figura 2.18 Queima em grelha – ar primário. Ar secundário queima CO2, voláteis, H2, etc. 187 Figura 2.19 Teoria das 4 camadas. As Figuras 2.20 a 2.24 ilustram a queima de combustíveis sólidos em suspensão, líquidos ou gasosos. Um maçarico (queimador) tema função de: dosar a mistura arcombustível, atomizar o combustível e proporcionar controle entre o ar e o combustível. Para realizar a pulverização - ou atomização - podemos usar vapor, ar pressurizado ou um movimento mecânico, em geral rotativo. Figura 2.20 Fornalha com uso de maçarico Figura 2.21 Maçarico a óleo – pulverizado a ar. 188 Figura 2.22 Maçarico pulverizado a ar ou vapor Figura 2.23 Maçarico de pulverização mecânica. Figura 2.24 Outro esquema de maçarico de pulverização mecânica. 2.4. Superaquecedores Quando se necessita de vapor superaquecido, usa-se uma superfície adicional de troca de calor para aumentar a temperatura do vapor acima da Temperatura de Saturação. São tubos que contém o vapor produzido na caldeira e servem para trocar calor com os gases de combustão, a fim de superaquecer o vapor. São sempre colocados após a caldeira - com relação ao fluxo de gases - para evitar problemas de superaquecimento dos tubos na partida, quando ainda não existe vapor. Ver Figuras 2.26 e 2.27. -Vantagens: aumento de entalpia do vapor, obtenção de vapor seco - para uso em turbinas, temperaturas mais altas. -Desvantagens: aumenta a perda de carga dos gases de combustão, aumentam os custos de manutenção. 189 Figura 2.26 Superaquecedor de vapor de tubos verticais. Figura 2.26 Superaquecedor de vapor de tubos horizontais. 190 2.5. Economizador Consiste de uma tubulação onde a água de alimentação do Gerador de Vapor é préaquecida antes de entrar na caldeira. O pré-aquecimento da água de alimentação da caldeira com o uso da energia dos gases de exaustão representa considerável economia de combustível. O economizador propriamente dito usa gases de combustão para pré-aquecimento da água de alimentação. Outro tipo de pré-aquecedor que usa vapor de extração é denominado de regenerador. Ver Figuras 2.28 a 2.30. As vantagens de economizadores é permitir menores gradientes de temperatura na região de alimentação de caldeira, menor tempo de permanência da água dentro do GV e aumento do rendimento do GV. As desvantagens é o aumento da perda de carga da água de alimentação e complicada manutenção. Figura 2.28 Economizador recuperador Figura 2.28 Economizador regenerativo Figuras 2.30 Tipos de economizadores recuperadores. 191 2.6 Pré-Aquecedores de Ar de Combustão Neste equipamento se utiliza parte da energia dos gases de exaustão para pré-aquecer o ar da combustão. Tem a vantagem de melhorar o rendimento térmico do GV, devido a boa combustão. Como desvantagem provoca perda de carga do ar de alimentação e dos gases de exaustão, além do preço de instalação e manutenção e espaço ocupado. Alguns tipos são mostrados nas Figuras 2.31 a 2.33. Figura 2.31 Pré-aquecedor de ar. Figura 2.32 Trocador de escoamento cruzado. Ar nos tubos. Figura 2.33 Trocador de calor do tipo compacto. 2.7 Sistema de Tiragem Sistema pelo qual é feita a exaustão de gases queimados. Na sua forma mais simples consiste em uma chaminé. 192 A fim de manter a sucção de ar para a combustão e retirar os gases queimados do GV, é sempre necessário um sistema de exaustão - ou de "tiragem"; para isso, usa-se chaminés, ventiladores de insuflamento de ar ou exaustores de gases queimados; freqüentemente, uma combinação deles. -Chaminé - utiliza a diferença de densidade entre o ar atmosférico e os gases queimados (função da temperatura). A utilização de uma chaminé para a exaustão sem outros equipamentos, normalmente implica em chaminés bastante altas (20 a 60 metros) a fim de se ter a diferença de pressão suficiente. -Exaustor de gases queimados - succiona os gases queimados do GV e os expele. Usado em combinação com uma chaminé reduz bastante a altura necessária desta. -Ventilador de insuflamento de ar - dá ao ar de combustão uma pressão necessária para vencer as resistências ao escoamento dentro do GV. Se, por um lado, obriga a fornalha a trabalhar em uma pressão superior à atmosférica, por outro lado não tem a desvantagem de trabalhar com gases queimados a T relativamente alta como os exaustores trabalham, tendo então uma vida útil maior, com menor manutenção. 2.8. Tratamento de Água de Alimentação Existem quatro finalidades principais para se fazer o tratamento de água de alimentação de uma caldeira: -Prevenção contra depósitos nas paredes dos tubos, que podem causar superaquecimento localizado na estrutura da caldeira. -Evitar corrosão na caldeira, pela presença de O2. -Evitar endurecimento cáustico. -Redução da percentagem de sólidos de arraste, pela formação de espuma e nata. a) Impurezas Presentes na Água e seus Efeitos - Impureza: matérias orgânicas em solução coloidal; compostos minerais em solução (bicarbonatos, cloretos, sulfatos, silicatos de Ca, Mg, Na, K, Fe); gases dissolvidos na água (CO2, O2, N2). - Incrustações: tem o efeito de opor resistência à transmissão de calor entre os gases quentes e a água. São constituídas por sais que se cristalizam sobre o tubo (do lado da água) e por fuligem que também se deposita sobre o tubo (do lado dos gases quentes). - Golpe de Fogo: é um fenômeno que ocorre em casos drásticos de excesso de incrustações. Ver a figura 2.34 - quando uma placa de incrustações de sais permanece certo tempo sobre o tubo, pode surgir uma fenda nessa placa devida à diferença entre o coeficiente de dilatação do material que o constitui o tubo e o material de incrustação. Por essa fenda penetra uma bolsa de vapor que tem superfície seca. Ocorre então um aumento localizado de T no tubo; como o coeficiente de dilatação de um metal é relativamente alto, localmente o tubo se dilata, formando um "calo". O "calo" só favorece a existência de bolsa de vapor: o processo se realimenta. Há duas formas de se encerrar este processo: ou a placa de incrustação se rompe, permitindo que o "calo" volte a ser resfriado pela água, ou então o tubo se rompe devido à deformação e à pressão a que está submetido. Esta é a causa principal de "explosão" de caldeiras. - Corrosão: é o ataque do material dos tubos por substâncias agressivas: O2, CO2 e sais ácidos. A corrosão pelo O2 é bastante conhecida - localizada e característica; a corrosão por ácidos também é conhecida; a corrosão por CO2 é uma fragilização do material por igual e é conhecida como "fragilização cáustica". Todos os tipos de corrosão atuam no sentido de reduzir a resistência mecânica do material. 193 Figura 2.34 – Golpe de fogo. b) Tratamento interno à caldeira É usado para caldeiras de baixa e média pressão operacional. Consiste na adição de produtos químicos apropriados à água de alimentação. Exatamente que produtos e em que proporções, só a análise da água disponível pode revelar; porém iremos indicar que produtos são mais usados e com que finalidades. -Redutores de dureza - geralmente um fosfato; precipita Ca, Na, K, Mg. -Álcalis (NaOH ou KOH) - neutraliza a acidez da água, catalisa o processo acima. -Coagulante - em geral polímeros - impedem a aderência dos sais formados às paredes metálicas, indo ao fundo da caldeira em forma de "lama". -Redutos de O2 - em geral um sulfito ou Hidrazina (N2H4). -Neutralizante de vapor - em geral compostos amoniacais. -Anti-espumante - em geral silicone. Os compostos precipitados pelo tratamento da água devem ser expurgados periodicamente por descargas de fundo (válvulas). c) Tratamento completo de água É usado quando se trata de água de rio ou quando a caldeira opera a altas pressões. Constitui-se em: -Clarificação - eliminação dos compostos orgânicos em solução coloidal na água. São usados sulfato de alumínio ou cal ou soda cáustica para flocular os colóides. -Filtração - separa a água dos sólidos em suspensão. Normalmente são usadas camadas de pedras, areia e antracito. -Troca iônica - substâncias porosas por onde passa a água (resinas sintéticas) e que retiram os íons de Ca, Mg ou outros. -Desgaseificação - remoção dos gases dissolvidos na água. Normalmente se processa por aquecimento da água a T próximas a T de ebulição nas condições atmosféricas (~ 100 oC). -Tratamento interno complementar - idêntico ao exposto acima, com base na análise da água após o tratamento externo. Da descrição da complexidade do tratamento da água de alimentação se vê a importância de aproveitar o condensado para a alimentação da caldeira. O vapor condensado não só está mais aquecido que a água ambiente mas também é limpo - não precisa ser tratado. 194 O retorno do condensado - água resultante da condensação do vapor usado em algum processo - representa considerável economia de combustível e de tratamento de água. 2.9 Perdas num Gerador de Vapor As perdas de energia que ocorrem num gerador de vapor acarretam um consumo de combustível maior que o esperado pela simples análise do Poder Calorífico do Combustível (PCI). As principais perdas são: a) Perdas por combustível não queimado nas cinzas e calor sensível das cinzas - apenas para combustíveis sólidos P1 = zwPCI + zcpc (Tc − Ta ) onde: z - fração de cinzas em massa (Kg cinzas / Kg comb.) w - fração de comb. nas cinzas (kg comb. não queimado / Kg de cinzas) cpc - calor específico das cinzas Tc - temperatura das cinzas Ta - temperatura ambiente Normalmente, P1 = 1 a 3% do PCI b) Perdas devido à combustão interna P2 = sQCO + rQC + oQ H2 onde: s - fração em massa de CO (kg de CO / kg de comb.) nos produtos r - fração em massa de C (kg de C / kg de comb.) nos produtos o - fração em massa de H2 (kg de H2 / kg de comb.) nos produtos Qco - energia liberada na queima de CO Qc - energia liberada na queima de C QH2 - energia liberada na queima de H2 em geral P2 = 1 a 4% do PCI c) Perdas por Calor Sensível nos Gases de exaustão ( P3 = t ⋅ cp g T g − Ta ) onde: t = massa dos gases formados / Kg de combustível queimado cpg = calor específico médio dos gases de combustível Tg = temperatura dos gases de exaustão ao deixar o gerador de vapor Ta = temperatura do ar de admissão para GV grandes Tg varia de 120 à 180 oC para GV pequenos Tg varia de 180 à 150 oC d) Perdas de energia para o ambiente, por radiação e convecção. Dependem dos detalhes construtivos do Gerador de Vapor e são de cálculo difícil; existem métodos simplificados de cálculo. em geral P4 = 1 à 15% do PCI 195 e) Perdas por mudanças de regime de operação, partida e parada São perdas de energia devidas a "transitórios" de operação -mudança de regime - inércia do sistema -partida - aquecimento do GV, da massa de água, etc. -parada - geração de vapor a pressões baixas que não será usado, perda de calor para o ambiente até esfriar o GV. Estas perdas são de difícil cálculo, e indicam a necessidade de se operar o GV em regime permanente tanto quanto possível. 2.10. Rendimento de um Gerador de Vapor a) Rendimento de uma fornalha Considera as perdas devidas à combustão calor produzido na fornalha PCI − ( P1 + P2 ) Rf = = calor int roduzido pelo combustível PCI valores usuais: 80 à 95% b) Rendimento da Caldeira Considera o aproveitamento do calor produzido pela combustão para a geração de vapor calor aproveitado na geração PCI − ( P1 + P2 + P3 + P4 ) Rc = = calor produzido na fornalha PCI − ( P1 + P2 ) valores usuais: 75 à 90% c) Rendimento Global do Gerador de Vapor Rt = calor aproveitado na geração PCI − ( P1 + P2 + P3 + P4 ) = calor int roduzido pelo combustível PCI Rt = Rf⋅Rc valores usuais: 65 à 92% 2.11 Consumo de Combustível Fazendo um balanço térmico do GV temos: mc ⋅ PCI + ma ha = mv hv + perdas mas as perdas podem ser calculadas como: • perdas = (1 − Rt ) m c ⋅ PCI então, após um pouco de álgebra: ( )( ) mc = mv hv − ha PCI ⋅ Rt pois ma = mv em regime perm. Note-se que a eq. acima pode se constituir numa forma rápida de se determinar o rendimento global do GV: Rt = mv (hv − ha ) mv ⋅ PCI Pois o consumo de combustão, a produção de vapor, o poder calorífico do combustível e as entalpias são facilmente obtidas. 196 3. Trocadores de calor Um trocador de calor é um dispositivo, ou parte de uma maquinaria, cuja função é promover a transferência de calor entre duas ou mais entidades a diferentes temperaturas. In muitos casos, as entidades de troca de calor são duas correntes de fluido. Para evitar a mistura das duas correntes, os dois fluidos são separados por paredes sólidas que, conjuntamente, constitui a superfície de transferência de calor, ou superfície do trocador de calor. Em alguns trocadores de calor uma superfície sólida de transferência de calor não é necessária, por causa da natureza imiscível das duas correntes ou a separação (estratificação) dos dois fluidos no campo gravitacional. Em tais casos a transferência de calor entre os dois fluidos ocorre através de sua interface mútua, e o aparato é chamado um trocador de calor de contato direto. 3.1 Classificação de trocadores de calor Existem muitos tipos de trocadores de calor e existem mesmo mais de uma maneira de classificar estes tipos. Bejan (1993) mostra uma classificação dada por Shah que é pelo tipo de arranjo dos fluidos. De acordo com o arranjo dos fluidos existem três configurações principais conhecidas como escoamentos paralelos ( ou co-correntes), escoamentos opostos (ou contra-corrente) e escoamentos cruzados. Em escoamentos paralelos, as duas portas de entrada são posicionadas na mesma extremidade do trocador de calor, local em que a diferença de temperatura de uma corrente para outra é a maior. No esquema contra-corrente, a diferença de temperatura de uma corrente para outra é mais uniformemente distribuída ao longo do trocador de calor. A Figura 3.1 ilustra um trocador de calor duplo tubo com escoamentos em correntes paralelas e contra-corrente. 197 Figura 3.1 Trocadores de calor duplo tubo (a) correntes paralelas, (b) correntes opostas. No arranjo cruzado, Figura 3.2, o projeto pode variar em relação ao grau de mistura lateral que é experimentada por cada corrente dentro do canal. As correntes escoam em um ângulo de 90o e para evitar o efeito de mistura lateral, pode-se instalar corrugações longitudinais que divide as correntes não misturadas em muitas mini-correntes que escoam em paralelo. Na ausência de partições longitudinais, a corrente pode misturar transversalmente em cada seção transversal de cada canal. Figura 3.2 Trocadores de calor de correntes cruzadas Uma outra maneira de diferenciar entre os vários projetos de trocadores de calor é considerar sua construção. Talvez o projeto mais simples é o arranjo duplo tubo mostrado na Figura 3.1. No arranjo de tubo interno concêntrico, as correntes são separadas pela parede do tubo interno, a superfície externa ou interna do qual desempenha o papel de superfície de 198 troca de calor. Na Figura 3.1 tem–se um caso de único passe, porque cada corrente passa apenas uma vez em cada tubo. Na Figura 3.3 tem-se um caso de múltiplos passes. Figura 3.3 Trocadores de calor casco tubo de único e múltiplos passes O trocador casco e tubo possui um projeto mais complicado em que a corrente interna não escoa através de um mas de vários tubos, Figura 3.4. A corrente externa é confinada por um vaso de grande diâmetro (a casca). Chicanas (Baffles) transversais forçam a corrente escoar através dos tubos, aumentando desta maneira o coeficiente global de transferência entre os dois fluidos. 199 Figura 3.4 Trocadores de calor casco tubo com defletores Outro tipo de construção é o trocador de calor de placa aletada, em que cada canal é definido por duas placas paralelas separadas por aletas ou espaçadores. As aletas são conectadas às placas paralelas por encaixe mecânico prensado, colagem, soldagem, solda amarela latão), fusão ou extrusão. Passagens alternantes são conectadas em paralelo pra câmaras finais (chamadas cabeças) e formam um lado (i.e, uma corrente) do trocador de calor. Aletas são usadas em ambos lados em aplicações gás para gás. Em aplicações líquidos para gás, aletas são necessárias apenas do lado do gás porque desse lado o coeficiente de troca de calor é baixo. A Figura 3.5 ilustra trocadores de calor de placas aletadas. Figura 3.5 Trocadores de calor de placas aletadas. 200 Finalmente, trocadores de calor podem ser classificados em relação ao seu grau de compacticidade. Se a razão da área da superfície pelo volume do trocador de calor, chamada superfície específica, S m for menor do 700 m2/m3, o trocador é do tipo convencional. Trocadores de calor compactos têm superfícies específicas maiores do que 700 m2/m3. Nessa ultima categoria estão os radiadores de automóveis e condensadores de refrigeradores. 3.2 Coeficiente global de transferência de calor Considere por exemplo os trocadores de calor da Figura 3.1. Para generalizar suponha que ambos lados da parede de troca de calor são aletadas. A área total de troca de calor será então, A = Au + Af (3.1) na qual Au é a área sem aletas e Af é área das aletas. Assumindo que o coeficiente de troca de calor tem o mesmo valor em ambas áreas Au e Af , a taxa total de transferência de calor pode ser calculada como q = hAu (Tw − T∞ ) + η hAf (Tw − T∞ ) (3.2) A temperatura Tw refere-se à temperatura da superfície não aletada ou da base das aletas, enquanto T∞ é temperatura média do fluido. O último termo do lado direito da Eq. (3.2) representa a contribuição da troca de calor pelas aletas com η sendo a eficiência das aletas definida como η= qb taxa de troca de calor real = taxa de troca de calor quando hpLc (Tb − T∞ ) a aleta inteira esta a Tb (3.3) na qual Tb é a temperatura da base da aleta, p é o perímetro e Lc é o comprimento corrigido definido como 201 Lc = L + Ac / p (3.4) em que L é o comprimento real da aleta e Ac é a área da seção transversal da aleta. A Eq. (3.2) pode ser rearranjada como ⎛ η Af Au ⎞ q=⎜ + ⎟ hA (Tw − T∞ ) = ε hA (Tw − T∞ ) A⎠ ⎝ A (3.5) na qual o fator de eficiência global da superfície é definido como ε =η Af A + A Au = 1 − f (1 − η ) A A (3.6) Quando a superfície é coberta por material depositado (fouling) uma resistência adicional ao fluxo de calor é definida como rs = Tw − Ts q′′ (3.7) na qual Ts é a temperatura na superfície da camada de depósito. Assim a equação (3.5) pode ser reescrita como q = ε he A (Tw − T∞ ) (3.8) em que o coeficiente efetivo de troca de calor, agora, é definido na forma: 1 1 = rs + he h (3.9) Num elemento de superfície a taxa de calor pode ser definida na como dq = UdA (Th − Tc ) (3.10a) 202 que integrada supondo U leva ao resultado q = UA 1 (Th − Tc ) dA = UAΔTm A ∫A (3.10b) ΔTm = 1 (Th − Tc ) dA A ∫A (3.10c) com O subscrito h refere-se ao fluido quente (hot) e o subscrito c refere-se ao fluido frio (cold). O coeficiente global de transferência de calor (ou condutância global de calor) é definido como 1 1 1 ⎛r ⎞ ⎛r ⎞ = + ⎜ s ⎟ + Rt , w + +⎜ s ⎟ UA ( ε hA )h ⎝ A ⎠h (ε hA)c ⎝ A ⎠c Nc t w ,i i =1 k w,i Aw Rt , w = ∑ Rt , w para parede plana com Nc camadas ⎛ ⎛ ri ⎞ ⎞ ⎜ ln ⎜ ⎟⎟ Nc ri −1 ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ para casca cilíndrica com Nc camadas =∑ ⎜ 2π k w,i l ⎟ i =1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ (3.11a) (3.11b) (3.11c) Uma forma alternativa seria definir 1 1 1 = + Rt ,w + UA ( ε he A )h (ε he A)c (3.11d) O coeficiente global de troca de calor pode ser definido em termos da superfície aquecida ou resfriada, assim UA = U h Ah = U c Ac (3.11e) 203 3.3 Diferença média logarítmica de temperatura A taxa total de transferência de calor pode ser calculada pela primeira lei da termodinâmica e fica na forma q = mh c ph (Th1 − Th 2 ) = mc c pc (Tc 2 − Tc1 ) (3.12a) na qual m é a vazão mássica e c p é o calor específico a pressão constante. Geralmente se define C = mc p como a taxa de capacidade do fluido. Assim a Eq. (3.12a) pode ser reescrita como q = Ch (Th1 − Th 2 ) = Cc (Tc 2 − Tc1 ) (3.12b) Diferenciando a Eq. (3.12b) obtém-se dq = −Ch dTh (3.13a) dq = Cc dTc (3.13b) Pode-se obter a variação de Th − Tc a partir das equações (3.13) como d (Th − Tc ) = dTh − dTc = − ⎛ 1 dq dq 1 − = −⎜ + Ch Cc ⎝ Ch Cc ⎞ ⎟ dq ⎠ (3.14a) e pela substituição de (3.10a) em (3.14a) obtém-se ⎛ 1 1 ⎞ d (Th − Tc ) = − ⎜ + ⎟ (Th − Tc ) UdA ⎝ Ch Cc ⎠ ou separando as variáveis (3.14b) 204 d (Th − Tc ) (Th − Tc ) ⎛ 1 1 ⎞ = −⎜ + ⎟ UdA ⎝ Ch Cc ⎠ (3.14c) A integração de (3.14c) do ponto 1 ao ponto 2 resulta ln ⎛ 1 1 ⎞ ΔT2 = −⎜ + ⎟ UA ΔT1 ⎝ Ch Cc ⎠ (3.15a) As variações de temperatura ΔT1 e ΔT2 dependem se os escoamentos no trocador de calor estão no mesmo sentido ou sentido opostos. No caso de escoamentos no mesmo sentido (cocorrente) tem-se ponto 1 entradas do fluidos e ponto 2 saídas dos fluidos e ΔT1 = Th ,1 − Tc ,1 e ΔT2 = Th ,2 − Tc ,2 (3.15b) No caso de escoamentos em contra-corrente, o subscrito e refere-se a entrada e o subscrito s a saída. As variações de temperatura são definidas como ΔT1 = Th ,e − Tc , s e ΔT2 = Th , s − Tc ,e (3.15c) No caso de escoamentos paralelos (mesmo sentido) pode-se demonstrar a partir de (3.12b) que 1 1 1 1 + = (Th1 − Th 2 + Tc 2 − Tc1 ) = ( ΔT1 − ΔT2 ) Ch Cc q q (3.16a) que substituída em (3.15a) leva à equação q= ( ΔT2 − ΔT1 ) UA = ( ΔT1 − ΔT2 ) UA = UAΔT ΔT ln 2 ΔT1 ΔT ln 1 ΔT2 lm Assim define-se a diferença média logarítmica de temperatura como (3.16b) 205 ΔTlm = ( ΔT2 − ΔT1 ) = ( ΔT1 − ΔT2 ) ΔT ln 2 ΔT1 ΔT ln 1 ΔT2 (3.17) A Figura 3.6 mostra casos em que se aplica a Eq. (3.16b). Esta definição de diferença média logarítmica de temperatura é aplicada tanto para escoamentos no mesmo sentido como para escoamentos em sentidos opostos. No caso de outros arranjos tais com escoamentos cruzados ou trocadores casco tubo, pode-se aplicar um fator de correção na Eq. (3.16b) resultando q = UAΔTlm F (3.18) Figura 3.6 Arranjos de escoamentos em que se aplica a Eq. (3.16b) O fator de correção F depende se as correntes são misturadas ou não. Pode-se verificar por comparação das equações (3.10b) e (3.18) que a definição de F é: F= ΔTm ΔTlm (3.19a) Em geral se apresenta graficamente o fator de correção F em função de dois parâmetros definidos como 206 P= Tc 2 − Tc1 C T −T ; R = c = h1 h 2 Th1 − Tc1 Ch Tc 2 − Tc1 (3.19b) O parâmetro P é a efetividade da corrente fria, que é o aumento de temperatura da corrente fria pela diferença das temperaturas de entrada dos dois fluidos. O parâmetro R é a razão da taxa de capacidade da corrente fria pela da corrente quente. As Figuras 3.7 a 3.11 mostram as funções F para vários trocadores de calor Figura 3.7 Escoamentos cruzados, passe único, com ambas correntes não misturadas 207 Figura 3.8 Escoamentos cruzados, passe único, com uma corrente não misturada. Figura 3.9 Escoamentos cruzados, passe único, com ambas correntes misturadas 208 Figura 3.10 Casco tubo com uma casca e dois tubos Figura 3.11 Casco tubo com duas casca e quatro tubos 3.4 Efetividade - NTU Um método alternativo para se calcular a taxa total de transferência de calor que considera não apenas o efeito da condutância UA mas também das taxas de capacidade dos 209 fluidos Ch e Cc . Neste método são definidos dois novos grupos adimensionais. O primeiro é o número de unidades de troca de calor (transferência de calor) NTU: NTU = UA Cmin (3.20) na qual Cmin é a menor das duas taxas de capacidade Cmin = min ( Ch , Cc ) O segundo grupo adimensional é a efetividade do trocador de calor que é a razão da taxa de troca de calor real pela máxima troca de calor ε= q (3.21) qmax na qual a máxima taxa de troca de calor pode ser calculada como qmax = Cmin (Th ,e − Tc ,e ) (3.22) Considere, agora, o caso de trocador de calor de correntes paralelas (co-corrente). Neste caso a efetividade pode ser calculada como ε= Ch (Th ,1 − Th ,2 ) Cmin (Th ,1 − Tc ,1 ) = Cc (Tc ,2 − Tc ,1 ) Cmin (Th ,1 − Tc ,1 ) (3.23) Considere a situação em que Cc = Cmin ; Ch = Cmax Substituindo (3.20) em (3.15a) resulta (3.24) 210 ln ⎛C C ⎞ ΔT2 = − ⎜ min + min ⎟ NTU Cc ⎠ ΔT1 ⎝ Ch (3.25a) Usando (3.23) e (3.24), (3.25a) fica na forma ln ⎛ T −T ⎞ ΔT2 = − NTU ⎜1 − h ,2 h ,1 ⎟ ⎜ T −T ⎟ ΔT1 c ,2 c ,1 ⎠ ⎝ (3.25b) Mas por (3.23) e (3.24) resulta Th ,2 − Th ,1 Tc ,2 − Tc ,1 =− Cc C = − min Ch Cmax (3.25c) que substituída em (3.25c) leva a expressão ln ⎛ C ⎞ ΔT2 = − NTU ⎜1 + min ⎟ ΔT1 ⎝ Cmax ⎠ (3.25d) A partir de (3.25d) pode-se obter a razão de temperaturas ⎡ ⎛ C ΔT2 = exp ⎢ − NTU ⎜1 + min ΔT1 ⎝ Cmax ⎣ ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦ O membro esquerdo da Eq. (3.26a) pode ser rearranjado como (3.26a) 211 ΔT2 Th ,2 − Tc ,2 Th ,2 − Tc ,2 + Th ,1 − Tc ,1 − (Th ,1 − Tc ,1 ) = = ΔT1 Th ,1 − Tc ,1 Th ,1 − Tc ,1 = 1+ Th ,2 − Tc ,2 − Th ,1 + Tc ,1 Th ,1 − Tc ,1 − (Tc ,2 − Tc ,1 ) + Th ,2 − Th ,1 = 1+ 1 (Tc,2 − Tc,1 ) (3.26b) ε ⎛ T −T ⎞ ⎛ C ⎞ = 1 + ε ⎜ −1 + h ,2 h ,1 ⎟ = 1 + ε ⎜ −1 − min ⎟ ⎜ Tc ,2 − Tc ,1 ⎠⎟ Cmax ⎠ ⎝ ⎝ A partir de (3.26a) e (3.26b) resulta uma expressão para calcular-se a efetividade ε esc. paralelo ⎡ ⎛ C 1 − exp ⎢ − NTU ⎜ 1 + min ⎝ Cmax ⎣ = C 1 + min Cmax ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦ (3.27) que pode ser resolvida para NTU resultando NTU esc. paralelo ⎡ ⎛ C ⎞⎤ ln ⎢1 − ε ⎜1 + min ⎟ ⎥ ⎝ Cmax ⎠ ⎦ =− ⎣ C 1 + min Cmax (3.28) O mesmo resultado seria obtido se tivesse sido feito Cc = Cmax ; Ch = Cmin . No caso em que Cmin = Cmax , a efetividade fica na forma 1 ε esc. paralelo = ⎡⎣1 − exp ( −2 NTU ) ⎤⎦ , ( Cmin = Cmax ) 2 (3.29) No caso em que Cmin / Cmax = 0 , caso em que uma das correntes muda de fase, a efetividade será calculada ε esc. paralelo = 1 − exp ( − NTU ) , ( Cmin / Cmax = 0 ) (3.30) 212 No caso do trocador de calor de correntes opostas a efetividade é definida como ε= Ch (Th ,e − Th , s ) Cmin (Th ,e − Tc ,e ) = Cc (Tc , s − Tc ,e ) Cmin (Th ,e − Tc ,e ) (3.31) Por um procedimento similar obtém-se as seguintes equações: ε esc.opostos = 1 − exp ⎡⎣ − NTU (1 − Cmin / Cmax ) ⎤⎦ 1 − ( Cmin / Cmax ) exp ⎡⎣ − NTU (1 − Cmin / Cmax ) ⎤⎦ (3.32) que pode ser resolvida para NTU resultando NTU esc.opostos ⎡1 − ε Cmin / Cmax ⎤ ln ⎢ ⎥⎦ 1− ε =− ⎣ 1 − Cmin / Cmax (3.33) No caso em que Cmin = Cmax , a efetividade fica na forma ε esc.opostos = NTU , ( Cmin = Cmax ) 1 + NTU (3.34) No caso em que Cmin / Cmax = 0 , caso em que uma das correntes muda de fase, a efetividade será calculada ε esc. paralelo = 1 − exp ( − NTU ) , ( Cmin / Cmax = 0 ) (3.35) Para outros arranjos de trocadores de calor a efetividade é uma função na forma ⎛ ε = ε ⎜ NTU , ⎝ ⎞ Cmin , arranjo do escoamento ⎟ Cmax ⎠ (3.36) Livros textos de transferência de calor apresentam resultados gráficos para a obtenção da efetividade em outras configurações. Vide Bejan (1993). 213 3.5 Queda de pressão O cálculo da potência de bombeamento dos fluidos através de trocadores de calor envolve a determinação da queda de pressão através dos mesmos, cujas geometrias são em geral complexas. Quando o fluido é um líquido a potência de bombeamento é calculada como WB = ⎛ ΔP ⎞ m⎜ + ghe ⎟ ηB ⎝ ρ ⎠ 1 (3.37) na qual η B é a eficiência isoentrópica da bomba, m é a vazão mássica de líquido através do trocador de calor, ρ a massa específica e he é o desnível entre os reservatórios de sucção e recalque. A queda de pressão pode ser estimada pela Equação de Darcy-Weisbach ΔP = 4 f L 1 ρV 2 Dh 2 (3.38) Na equação (3.38) L é o comprimento de trechos retos mais os comprimentos equivalentes de acessórios, de entradas, de saídas e outros, Dh é o diâmetro hidráulico do duto, V é a velocidade média do escoamento e f é o fator de atrito de Fanning que depende do número de Reynolds e da rugosidade do material do trocador de calor. Quando o fluido é um gás, geralmente se usa um compressor para bombeá-lo, a potência de bombeamento é calculada como ⎡⎛ P ⎞ R / c p ⎤ − 1⎥ WC = mc pTe ⎢⎜ s ⎟ ηC ⎢⎣⎝ Pe ⎠ ⎥⎦ 1 (3.39) na qual ηC é a eficiência isoentrópica do compressor, Te é a temperatura de entrada do fluido, Pe e Ps são as pressões de entrada e saída do fluido no compressor, c p e R são o calor específico e constante do gás respectivamente. 214 3.6 Trocadores de calor compactos Os trocadores de calor compactos possuem, em geral, geometrias bem complexas. Seu cálculo requer muita imaginação e experiência. Alguns livros específicos apresentam resultados gráficos para o projeto destes trocadores de calor. Um bom texto é o livro de Ralph L. Webb (1994): Principles of Enhanced Heat Transfer. 3.7 Método de Bell-Delaware A análise do escoamento do lado do casco de um trocador de calor não é uma tarefa muito fácil por causa da complexidade do escoamento combinando escoamento cruzado através das janelas das chicanas bem como by-pass de fluxos entre chicanas e casco e também entre o banco de tubos e casco, como ilustrado nas Figuras 3.12 e 3.13. Kakaç & Liu (2002) Figura 3.12 – (a) Diagrama indicando os caminhos de vazamentos de by-pass do escoamento na matriz de tubos, tanto nas folgas entre chicanas e matriz de tubos quanto nas folgas entre chicanas e casco. (b) corrente livre para um trocador de calor de dois passes nos tubos. 215 Kakaç & Liu (2002) Figura 3.13 – Projeto de chicanas radiais para reduzir o by-pass através da folga entre o lado da matriz de tubos e o casco. Na Figura 3.12, cinco diferentes correntes são identificadas. A corrente A é vazamento através do espaço entre tubos e as chicanas. A corrente B é a corrente principal através do banco de tubos; isto é a corrente desejada no lado do casco do trocador de calor. A corrente C é o by-pass da corrente escoando ao redor do banco de tubos entre os tubos mais externos no banco e dentro do casco. A corrente E é o vazamento através do espaço entre as chicanas e casco. Finalmente a corrente F é escoamento através de qualquer canal dentro do banco de tubos devido aos divisores de passes no cabeçote do trocador de calor para múltiplos passes nos tubos. A Figura 3.12 é uma representação idealizada das correntes. As correntes mostradas podem misturar e interagir umas com as outras, e uma análise matemática mais completa do escoamento do lado do casco deve levar estes efeitos em consideração. O método de Bell-Delaware leva em consideração os efeitos dos vários vazamentos e by-passes de correntes do lado do casco no coeficiente de troca de calor e queda de pressão. O método Delaware deriva seu nome de um estudo sobre trocadores de calor casco-tubo, conduzido na Universidade de Delaware, financiado por uma grande indústria e cujo relatório final foi publicado em 1963. Um dos principais pesquisadores do projeto foi Kenneth J. Bell, por isso seu nome é frequentemente adicionado ao nome do método. O método de BellDelaware é o método mais apropriado atualmente para análise do lado do casco. No método de Bell-Delaware, a corrente B é a corrente principal essencial. As outras correntes reduzem a corrente B e alteram o perfil de temperatura do lado do casco, resultando num decréscimo no coeficiente de transferência de calor. 216 Uma breve discussão do método de Bell-Delaware para o coeficiente de troca de calor e queda de pressão do lado do casco é apresentado nas subseções seguintes. 3.7.1 Coeficiente de Transferência de Calor do lado do Casco. A equação básica para calcular o coeficiente médio de transferência de calor é dada por (Kakaç & Liu, 2002) ho = hid J c J l J b J s J r (3.40) na qual hid é o coeficiente ideal de transferência de calor para escoamento cruzado puro em um banco de tubos ideal e é calculado de ⎛m hid = ji c ps ⎜ s ⎝ As ⎞ ⎛ ks ⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝ c ps μ s ⎞ ⎟⎟ ⎠ 2/3 ⎛ μs ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ μ s , w ⎝ ⎠ 0.14 (3.41) em que ji é o fator de Colburn para um banco de tubos ideal, s representa shell (casco), e As é a área de escoamento cruzado à linha de centro do casco para um escoamento cruzado entre duas chicanas. Gráficos estão disponíveis para ji como uma função do número de Reynolds do lado do casco, Re s = d o ms / μ s As , do layout dos tubos e do tamanho do passo. Nos mesmos gráficos de ji podem ser encontrados valores do fator de atrito fi . Do ponto de vista computacional existem correlações para se calcular ji e fi na seguinte forma: a ⎛ 1,33 ⎞ a2 ji = a1 ⎜ ⎟ ( Re s ) ⎝ PT / d o ⎠ na qual a= a3 1 + 0,14 ( Re s ) a4 (3.42) 217 b ⎛ 1,33 ⎞ b2 fi = b1 ⎜ ⎟ ( Re s ) ⎝ PT / d o ⎠ (3.43) na qual b= b3 1 + 0,14 ( Re s ) 4 b A Tabela 3.1 fornece os coeficientes das Eqs. (3.42) e (3.43). Tabela 3.1 – Coeficientes para ji e fi nas Eqs. (3.42) e (3.43), Kakaç & Liu (2002). Ângulo Número do de layout Reynolds a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 30o 105 - 104 0,321 -0,388 1,45 0,519 0,372 -0,123 7,00 0,500 104 – 103 0,321 -0,388 0,486 -0,152 103 – 102 0,593 -0,477 4,570 -0,476 102 - 10 1,360 -0,657 45,00 -0,973 < 10 1,400 -0,667 48,000 -1,000 105 - 104 0,370 -0,396 6,59 0,520 104 – 103 0,370 103 – 102 6,30 0,378 45o 90o 1,930 0,303 -0,126 -0,396 0,303 -0,136 0,730 -0,500 3,500 -0,476 102 - 10 0,498 -0,656 26,200 -0,913 < 10 1,550 -0,667 32,000 -1,000 105 - 104 0,370 -0,395 104 – 103 0,107 -0,266 0,0815 +0,022 103 – 102 0,408 -0,460 6,0900 -0,602 102 - 10 0,900 -0,631 32,100 -0,963 < 10 0,970 -0,667 35,000 -1,000 1,187 0,500 0,370 0,391 -0,148 J c é um fator de correção para o corte da chicana e espaçamento. Este fator leva em conta a transferência de calor na janela e calcula o coeficiente global de transferência de calor para o trocador de calor inteiro. Ele depende do diâmetro do casco e corte da chicana que é a 218 distância da ponta da chicana até o diâmetro interno do casco. Para cortes grandes na chicana, este valor pode diminuir até um valor de 0,53, e é igual a 1,0 para um trocador de calor sem nenhum tubo na janela. Ele pode aumentar para valores tão altos como 1,15 para pequenas janelas com altas velocidades através delas. J l é um fator de correlação para efeitos de vazamento na chicana incluindo vazamento tubo-chicana e chicana-casco (correntes A e E). Se as chicanas são colocadas muito próximas umas das outras, então a fração do escoamento nas correntes de vazamento aumenta comparada com o escoamento cruzado. J l é uma função da razão da área de vazamento total por chicana para a área de escoamento cruzado entre chicanas adjacentes e também da razão da área de vazamento casco-chicana para a área de vazamento tubo-chicana. Um valor típico de J l está na faixa de 0,7 e 0,8. J b é um fator de correção para efeitos de by-pass devido ao espaço entre os tubos mais externos e o casco e divisores de passes (correntes C e F). Para espaços relativamente pequenos entre os tubos mais externos e casco para construção com tubos em chapas fixas, J b ≈ 0,9 . Para um cabeçote flutuante e removível, grande espaço é requerido e J b ≈ 0, 7 . Tiras selantes (Figura 3.13) podem aumentar o valor de J b . J s é um fator de correção para espaçamento variável das chicanas na entrada e na saída. Devido ao espaço dos bocais na entrada e saída e mudanças nas velocidades locais, o coeficiente médio de transferência de calor do lado do casco mudará. O valor de J s está usualmente entre 0,85 e 1,00. J r aplica-se se o número de Reynolds do lado do casco, Re s , é menor do que 100. Se Re s < 20 , ele é totalmente efetivo. Este fator é igual a 1,00 se Re s > 100 . Os efeitos combinados destes fatores de correção para um projeto razoavelmente bom de um trocador casco-tubo é da ordem de 0,6. 219 3.7.2 Queda de Pressão do Lado do Casco. Para um trocador de calor casco-tubo com by-pass e correntes de vazamentos, a queda de pressão bocal-bocal, determinada pelo método de Bell-Delaware, é calculada como a soma dos seguintes três componentes, (Figura 3.14). 1. A queda de pressão na seção interior de escoamento cruzado (ponta a ponta de chicanas); a queda de pressão combinada da seção inteira de escoamento cruzado é Δpc = Δpbi ( N b − 1) Rl Rb (3.44) onde Δpbi é a queda de pressão em um banco de tubos equivalente ideal em um uma chicana do compartimento do espaçamento central das chicanas e Rl é o fator de correção para efeitos de vazamento nas chicanas (correntes A e E). Tipicamente, Rl = 0, 4 a 0,5 . Rb é o fator de correção para escoamento de by-pass (correntes C e F). Tipicamente, Rb = 0,5 a 0,8 , dependendo do tipo de construção e números de tiras selantes. N b é o número de chicanas. 2. A queda de pressão na janela é afetada pelo vazamento, mas não por by-pass. A queda de pressão combinada em todas as janelas é calculada de Δpw = Δpwi N b Rl (3.45) onde Δpwi é a queda de pressão em um banco de tubos equivalente ideal na seção da janela. 3. A queda de pressão nas seções de entrada e saída é afetada pelo by-pass, mas não vazamento. Adicionalmente, existe um efeito devido ao espaçamento variável das chicanas. A queda de pressão combinada para a seção de entrada e saída é dada por Δpe = 2Δpbi N c + N cw Rb Rs Nc (3.46) onde N c é o número de linhas de tubos cruzadas durante o escoamento através de um escoamento cruzado no trocador de calor, e N cw é o número de linhas de tubos cruzadas em cada janela de chicanas. Rs é o fator de correção para seções de entrada e saída tendo diferentes espaçamento de chicanas das seções internas devido a existência bocais de entrada e saída. Os fatores de correção estão disponíveis em gráficos na literatura. 220 Figura 3.14 – (a) entrada, (b) interior, (c) janela. A queda de pressão total no lado do casco do trocador de calor é Δps = Δpc + Δpw + Δpe (3.47) ⎛ N ⎞ Δps = ⎡⎣ Δpbi ( N b − 1) Rb + Δpwi N b ⎤⎦ Rl + 2Δpbi ⎜1 + cw ⎟ Rb Rs Nc ⎠ ⎝ (3.48) A queda de pressão em bocais deve ser calculada separadamente e adicionada à queda de pressão total. Na equação (3.48), Δpbi é calculada de G2 ⎛ μ ⎞ Δpbi = 4 fi s ⎜ s , w ⎟ 2ρ s ⎝ μs ⎠ 0,14 (3.49) Coeficientes de atrito são dados graficamente e também pela Eq. (3.43). Para uma seção de janela de chicana ideal, Δpbi é calculada de Δpwi = ms2 ( 2 + 0, 6 N cw ) se Re s > 100 e de 2 ρ s As Aw (3.50) 221 Δpwi = 26 μ s ms2 ⎛ N cw ms B ⎞ + 2 ⎟+ ⎜ As Aw p ⎝ p − do Dw ⎠ As Aw ρ s (3.51) se Re s ≤ 100 . Cálculos do diâmetro equivalente da janela, Dw , da área para escoamento através da janela, Aw , e dos fatores de correção são dados na literatura. O número de linhas de tubos cruzadas em uma seção de escoamento cruzado, N c , pode ser estimada de ⎛ L ⎞ di ⎜1 − 2 c ⎟ Ds ⎠ Nc = ⎝ Pp (3.52) Pp é definido na Figura 3.15 e pode ser obtido da Tabela 3.2, e Lc é o corte da chicana da ponta dela até o diâmetro interno do casco. Figura 8.15 – Passos paralelo e normal ao escoamento (arranjo em triangulo equilátero) O número efetivo de linhas de em escoamento cruzado, N cw , pode ser estimado de N cw = 0,8 Lc Pp (3.53) 222 O número de chicanas, N b , pode ser estimado de Nb = L − Bi − Bo +1 B (3.54) Se Bi = Bo = B , a Eq. (3.54) reduz a Nb = L −1 B (3.55) A queda de pressão total de um trocador casco-tubo típico é da ordem de 20 a 30% da queda de pressão que seria calculada sem levar em conta efeitos de vazamentos nas chicanas e by-pass no banco de tubos. Tabela 3.2 –Passos paralelo e normal ao escoamento. OD tubo Passo Tubo ( d o , [in]) (p, [in]) 5/8 =0,625 Layout Pp [in] Pn [in] 13/16 = 0,812 30o 0,704 0,406 ¾ = 0,75 15/16 = 0,938 30o 0,814 0,469 ¾ =0,75 1,0 90o 1,0 1,0 ¾ = 0,75 1,0 45o 0,707 0,707 ¾ =0,75 1,0 30o 0,866 0,5 1 1 ¼ =1,25 90o 1,25 1,25 1 1 ¼ =1,25 o 45 0,884 0,884 1 1 ¼ =1,25 30o 1,082 0,625 Bibliografia BEJAN, A., Transferência de Calor, Ed. Edgard Blucher Ltda., 1996. KERN, D., Processos de Transmissão de Calor, Ed. Guanabara Dois, 1980 BEJAN, A, TSARONIS, G., MORAN, M. Thermal Design and Optimization. John Wiley & Sons Inc., New York, 1996 MATAIX, C., Turbomáquinas Térmicas, Editora Dossat, 1973. OZISIK, M. N., Transferência de Calor: Um Texto Básico, Ed. Guanabara Dois, 1990. FRASS, A. P. & OZISIK, M. N., Heat Exchanger Design, Ed. Wiley, 1965. BACOCK & WILCOX, Steam its Generation and Use. 36th Edition, Merchant Books, 2007. KAKAÇ, S. & LIU, H., Heat Exchangers: Selection, Rating and Thermal Design, Second Edition, CRC Press, Boca Raton, 2002.