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Aufgabe M1.5 (Senkrechter Wurf) Ein Körper wird von der Erdoberfläche aus (z0 = 0) mit der Anfangsgeschwindigkeit vz0 senkrecht nach oben abgeschossen. a) Welche Geschwindigkeit vz1 hat er in der Höhe z1? b) Welche Maximalhöhe z2 erreicht er? c) Skizieren Sie den Verlauf des senkrechten Wurfes in einem z(t)- und in einem
vz(t)-Diagramm. 2
Gegebene Größen: vz0 = 20 m/s, z1 = 5 m, g = 9.81 m/s
Lösung zu Aufgabe M1.5 zu a) Ort-Zeit-Funktion (Zeit muss eliminiert werden)
z=−
1 2 gt + v z0t mit z0 = 0 2
Geschwindigkeit:
v z = − gt + v z 0
⇒ t=
vz0 − vz g
eingesetzt in den Ort z ergibt die gesuchte Geschwindigkeit:
z=−
v −v v2 − v2 1 (v z 0 − v z )2 + vz 0 z 0 z = z 0 z g g 2 2g
⇔ v z2 = v z20 − 2 gz
v z20
⇒ v z1 = ± 2
− 2 gz1 = ± 20
2
m2 s
− 2 9.81
2
m s
2
5m = ± 17.4
m s
2
v − vz zu b) aus a) folgt z = z 0 2g
mit z = z 2 und v z = v z 2 = 0 am Scheitelpunkt folgt die Lösung:
m2 v2 s 2 = 20.4 m z2 = z 0 = 2 g 2 9.81 m s2 20 2
zu c) Ort-Zeit und Geschwindigkeits-Zeit Kurve z
vz
z2 vz0
z1
0
-vz0 0
t1
t2
2t2
t
2t2 t2
t
Aufgabe M2.3 (Schräger Wurf) Ein Ball soll vom Punkt P0 (x0 = 0, y0 = 0) aus unter einem Winkel α0 zur Horizontalen schräg noch oben geworfen werden. a) Stellen Sie die Bahngleichung y(x) auf! b) Wie groß muss die Abwurfgeschwindigkeit v0 sein, wenn der Punkt P1 mit
(x1,y1) erreicht werden soll? Gegebene Größen: x1 = 6 cm, y1 = 1.5 m, α0 = 45°
Lösung zu Aufgabe M2.3 z P1
y1
r v0
vy0
α0
P0
vx0 x1
r
zu a) Anfangsgeschwindigkeit v0 zerlegen:
v x 0 = v0 cos α 0 v y 0 = v0 sin α 0 Ort-Zeit-Funktion aufstellen, getrennt für x- und y-Richtung:
x(t ) = v x 0 t y (t ) = −
g 2 t + v y0 t 2
x(t) nach t auflösen: t =
x v0 cos α 0
und in y(t) einsetzen ergibt die gesuchte Bahngleichung:
y(x ) = −
g 2 v02
2
cos α 0
x 2 + x tan α 0
zu b) Zielpunkt P1 mit (x1, y1) in y(x) einsetzen:
y1 = −
g 2 v02
2
cos α 0
x12 + x1 tan α 0
nach v0 auflösen ergibt die Lösung:
v0 =
x1 cos α 0
g m = 8 .9 2 ( x1 tan α 0 − y1 ) s
x
Aufgabe M1.7 (Testfahrzeuge) Zwei Testfahrzeuge A und B beginnen gleichzeitig eine gradlinige Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0 am gleichen Ort s0 = 0. Das Fahrzeug A bewegt sich mit der Beschleunigung aA = a0 = const, das Fahrzeug B mit der Beschleunigung aB = k t;
k = const. Beide Fahrzeuge legen in der Zeit t1 die Strecke s1 zurück. a) Bestimmen Sie für beide Fahrzeuge getrennt die Funktionen a(t), v(t) und s(t) und skizzieren Sie deren Verlauf in entsprechenden Diagrammen! b) Berechnen Sie die Zeit t1 und die Strecke s1! c) Welche Geschwindigkeiten vA1 und vB1 haben die Fahrzeuge am Ende der Strecke s1 erreicht? d) Nach welcher Zeit t2 haben beide Fahrzeuge die gleiche Geschwindigkeit v2 erreicht? Gegebene Größen: a0 und k
Lösung zu Aufgabe M1.7 zu a) Fahrzeug A
Fahrzeug B
a A = a0 = const
aB = k t
(v A0 = 0)
v A = a0 t
1 s A = a0 t 2 2
(s A 0 = 0 )
a
vB =
1 2 kt 2
(vB 0 = 0)
sB =
1 3 kt 6
(s B 0 = 0 )
v
s
vB1 aB a0
s1
vA1 aA
vA
sA vB
t1
t
sB t2 t1
t
t1
zu b) Beide Fahrzeuge legen die Strecke s1 zurück:
s1 = s A1 = s B1 1 1 ⇔ s1 = a0 t12 = k t13 2 6
a => Zeit: t1 = 3 0 k
=> Strecke: s1 =
9 a03 2 k2 2
a zu c) Fahrzeug A: v A1 = a0 t1 = 3 0 k
1 2 9 a02 Fahrzeug B: v B1 = k t1 = 2 2 k zu d) gleiche Geschwindigkeit: v A2 = vB 2
1 ⇔ a0 t 2 = t 22 2
⇔ t2 =
2a0 k
t
Aufgabe M2.5 (Erdrotation) Wie groß ist die Radialbeschleunigung ar für einen auf der Erdoberfläche liegender Körper am 51. Breitengrad infolge der Erddrehung?
Lösung zu Aufgabe M2.5
N ω r ϕ
ϕ
Äquator
S Radialbeschleunigung
ar = ω2 r mit
r = rE cos ϕ
ω=
2π T
Τ = d* => ar =
4π 2 d
*2
rE
(Sternentag)
rE cos ϕ = 0.021
m s2
Aufgabe M3.11 (Seilkräfte) Die Körper der Masse m1, m2 und m3 können sich reibungsfrei bewegen; Rollenmassen und Seilmassen werden vernachlässigt. m2
m3
F12
F 32
m1
g
α
a) Mit welcher Beschleunigung a bewegen sich die Körper? b) Wie groß sind die Seilkräfte F12 und F32 während der Bewegung? Gegebene Größen: m1 = 250 g, m2 = 250 g, m3 = 300 g, α = 30°
Lösung zu Aufgabe M3.11 zu a) Gesamtmasse, die beschleunigt wird: m = m1 + m2 + m3 Summe der äußeren Kräfte: F = m1 g − m3 g sin α Beschleunigung aus NGG: F = ma
⇔ (m1 + m2 + m3 ) a = m1 g − m3 g sin α ⇔a=
m1 g − m3 g sin α m = 1.23 2 m1 + m2 + m3 s
zu b) Bewegungsgleichung für m1:
m1a = m1 g − F12
⇔
F12 = m1 ( g − a ) = 2.15 N
Bewegungsgleichung für m3:
F32 = m3 (a + g sin α ) = 1.84 N
Aufgabe M7.6 (Waagrechter Träger) Ein waagrechter Träger der Länge l ist in eine Stahlsäule mit einem Kastenprofil (Kantenlänge b) eingeschweißt.
B A
F
b l Die Eigenmasse des Trägers ist m. An seinem Ende hängt eine Last mit Gewichtskraft F. Wie groß sind die Stützkräfte in den Punkten A und B? Gegebene Größen: l = 4 m, F = 18 kN, b = 0.36 m, m = 520 kg
Lösung zu Aufgabe M7.6
FB B
b
l/2 A
0
mg
FA (statische) Gleichgewichtsbedingung:
FA − FB − mg − F = 0 Drehmomente auf Punkt B bezogen (Hebelgesetz):
FA b − mg
l −F l =0 2
Damit ergeben sich die Stützkräfte in A und B:
1 l FA = F + mg = 228 kN 2 b FB = FA − (F + mg ) = 205 kN
l F
Aufgabe M8.8 (Zwei Zylinder) Ein dünnwandiger Hohlzylinder und ein Vollzylinder aus verschiedenen Materialien und von verschiedenen Abmessungen rollen mit der Geschwindigkeit v0 auf einer horizontalen Ebene. Anschließend rollen sie einen Hang hinauf. In welchen Höhen h1 und
h2 über der Ebene kommen sie zur Ruhe? Gegebene Größe: v0 = 2 m/s
Lösung zu Aufgabe M8.8 Allgemeiner Ansatz für beide Zylinder über Energiesatz:
Ekin (1) = E pot (2 ) ⇔
1 2 1 mv0 + J S ω02 = mgh 2 2
Setzt man die Rollbedingung v0 = ω0 r ein, dann erhält man die erreichte Höhe:
1 h= 2mg
2 2 2 mv0 + J S v0 = v0 r 2 2 g
1 + J S m r2
v02 = 41 cm Hohlzylinder: J S1 = m r => h1 = g 2
Vollzylinder: J S 2 =
1 3 v02 m r 2 => h2 = = 31 cm 2 4 g
Aufgabe M8.9 (Wellrad) Ein Schöpfgefäß (Masse m) für einen Brunnen hängt an einem Seil, das um eine Welle (Radius r) eines Handrades gewickelt ist. Das gesamte Wellrad hat das Trägheitsmoment JS. Die Kurbel am Handrad wird losgelassen. Welche Geschwindigkeit v hat das Gefäß erreicht, wenn es sich um die Strecke l abwärts bewegt hat? (Reibungseinflüsse und die Seilmasse sollen unberücksichtigt bleiben.) 2
Gegebene Größen: l = 10.5 m, JS = 0.92 kg m , m = 5.2 kg, r = 11 cm
Lösung zu Aufgabe M8.9 Energiesatz:
E pot (1) = Ekin (2) ⇔mgl=
v 1 1 m v 2 + J S ω2 , wobei ω = r 2 2
J m ⇔ v 2 S2 + = m g l 2 2r ⇔v=
2gl m = 3.6 J s 1+ S2 mr
Aufgabe W1.9 (U-Rohr) In einem U-Rohr aus Glas befindet sich Quecksilber. Infolge eines Überdrucks auf der verschlossenen Seite ist die Flüssigkeit auf beiden Seiten um den Betrag von xm von der Ruhelage x = 0 entfernt. Zur Zeit t = 0 wird der Verschluss geöffnet und die Quecksilbersäule (Länge l) beginnt zu schwingen.
x
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und leiten Sie daraus die Formel für die Schwingungsdauer T der Quecksilbersäule ab. b) Welche maximale Geschwindigkeit vxm hat die Säule? c) Wie groß ist die Beschleunigung ax0 zur Zeit t = 0? d) Wie groß ist die Beschleunigung ax1 zur Zeit t = T/4? Gegebene Größen: l = 34.2 cm, xm = 3.5 cm
xm 0
Lösung zu Aufgabe W1.9 zu a) Newtonsches Grundgesetz: m &x& = Fx Masse m: m = ρ V = ρ A l Kraft Fx: Fx = −ρ g ∆V = −ρ g A 2 x
⇒ &x& + 2
g x=0 l
Vergleich mit der Schwingungsgleichung &x& + ω02 x = 0 liefert: ω02 = 2
Daraus folgt die Periodendauer T: T =
2π l = 2π = 0.83 s ω0 2g
zu b) max. Geschwindigkeit vxm?
x(t ) = xm cos(ω0 t ) => v x (t ) = x& = −ω0 xm sin (ω0 t ) ⇒ vxm = ω0 xm = xm
2g m = 0.27 s l
zu c) Beschleunigung ax0 @ t = 0:
ax (t ) = &x& = −ω02 xm cos(ω0 t ) ⇒ a x 0 = −ω02 xm = −
2g m xm = −2 2 l s
zu d) Beschleunigung ax1 @ t = T/4:
π ax1 = −ω02 xm cos ⇒ a x1 = 0 2
g l
Aufgabe T1.11 (Quecksilberstrahl) Ein Quecksilber- und ein Wasserstrahl strömen beide mit der gleichen Geschwindigkeit
v aus einem waagrecht liegenden Rohr und durchfallen beide die gleiche Höhe h. v
h
Um welchen Faktor erwärmt sich dabei die eine Flüssigkeit mehr als die andere? Gegebene Größen: c Hg = 138
J kJ , cw = 4.19 kg K kg K
Lösung zu Aufgabe T1.11 Energiesatz: pot. und kin. Energie werden in Wärme umgewandelt:
E pot + Ekin = Q m g h+
1 m v 2 = m c ∆T 2
Dies gilt für beide Flüssigkeiten:
g h+
v2 = cw ∆Tw = cHg ∆THg 2
Damit ergibt sich der gesuchte Faktor:
∆THg =
cw ∆Tw = 30 ∆Tw cHg
Aufgabe T1.7 (Eisenkugel) In ein Gefäß (C) mit Wasser (mw, ϑw) bringt man eine Eisenkugel (mE, cE). Dabei verdampft Wasser der Masse mD. Welche Temperatur hatte die Eisenkugel?
Gegebene Größen:
C = 209
J J MJ , mw = 100 g, ϑw = 95°, mE = 35 g, mD = 3 g, cE = 465 , q D = 2.26 , K kg K kg
cw = 4.19
kJ kg K
Lösung zu Aufgabe T1.7 Wärmebilanz:
∑ Qab = ∑ Qauf
mE cE (ϑE − ϑS ) = (mw cw + C ) (ϑS − ϑw ) + mD qD ⇔ ϑ E = ϑS +
(mw cw + C )(ϑS − ϑw ) + mD qD mE c E
= 100 °C + 610 K = 710 °C
Aufgabe T3.2 (Luftblase) In welcher Wassertiefe h eines Sees beträgt das Volumen einer Luftblase ein Zehntel des Volumens, das sie beim Auftauchen an der Wasseroberfläche hat? (Kleine Luftblasen haben eine geringe Steiggeschwindigkeit und nehmen deshalb die Temperatur des umgebenen Wassers an, die sich mit der Wassertiefe ändert.)
Gegebene Größen: •
Luftdruck: p1 = 1024 hPa
•
Oberflächentemperatur des Sees: ϑ1 = 13 °C
•
Tiefentemperatur des Sees: ϑ2 = 4 °C
Lösung zu Aufgabe T3.2 Es gilt die thermische Zustandsgleichung:
pV = m R′ = const T Druck, Temperatur und Volumen ändern sich mit der Tiefe, daher:
p1 V1 p V = 2 2, T1 T2 12 3 12 3
Oberfläche
Tiefe
wobei in der Tiefe h gilt: •
V Volumen V2 = 1
•
Druck p2 = p1 + ρ w g h
⇒
p1 p1 + ρ w g h = T1 10 T2
10
⇔ ρ w g h = 10
(Luftdruck plus Schweredruck)
T2 p1 − p1 T1
mit T = T0 + ϑ und T0 = 273 K folgt:
h=
p1 ρw g
T0 + ϑ2 10 − 1 = 91 m T + ϑ 0 1
Aufgabe E2.10 (Aufsteigende Ladung) Eine kleine positiv geladene Kugel (Masse m, Ladung Q) befindet sich im Vakuum zwischen zwei waagrecht angeordneten Platten eines Plattenkondensators mit Plattenabstand d. Berechnen Sie die Kondensatorspannung U für den Fall, dass sich die Kugel in der Zeit t1 von der unteren (positiven) Platte zur oberen (negativen) Platte bewegt. Die Anfangsgeschwindigkeit beträgt v0 = 0.
-6
Gegebene Größen: m = 4 g, Q = 5 10 C, d = 10 cm, t1 = 1 s
Lösung zu Aufgabe E2.10
–
Bewegungsgleichung (NGG):
m a = Fe − FG
Fe
mit der Kraft auf Ladung Q im Plattenkondensator
Fe = Q E = Q
U d
und der Gewichtskraft
FG = m g ⇒ma=
QU md (a + g ) − m g (*) <=> U = d Q
Ermittlung von a aus (*):
a=
QU − g = const => gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit md
d=
1 2 2d a t1 => a = 2 2 t1
Dies ergibt die gesuchte Spannung am Plattenkondensator:
U=
m d 2 d = 800 V + g Q t12
d
+ FG +
Aufgabe E2.11 (Dielektrikum) Ein Plattenkondensator, in dem sich zunächst Luft befindet, hat die Kapazität C0. a) Welchen Wert C nimmt die Kapazität an, wenn zwei Drittel seines Innenraumes durch ein Stück dielektrisches Material (εr) ausgefüllt wird?
εr
Der Kondensator wird vor dem Einbringen des Dielektrikums an eine Spannungsquelle (U0) angeschlossen. Wie groß ist die Spannung U und die Ladung Q nach dem Einbringen des Dielektrikums, wenn b) die Spannungsquelle am Kondensator angeschlossen bleibt bzw. c) die Spannungsquelle vor dem Einbringen des Dielektrikums wieder entfernt wird?
Lösung zu Aufgabe E2.11 zu a) Das Einbringen des Dielektrikums kann als Parallelschaltung von Kondensatoren beschrieben werden:
C1
C εr
εr
C2
C = C1 + C2 Es gilt: C ∝ A und Cvoll = ε r Cleer => C1 =
=> C =
C0 2 und C2 = ε r C0 3 3 1 C0 (1 + 2 ε r ) 3
zu b) Spannungsquelle bleibt am Kondensator angeschlossen: U = U 0 mit Q = C U und Q0 = C0 U 0 folgt:
Q C = Q0 C0 => Q =
1 C0 U 0 (1 + 2 ε r ) 3
zu c) Spannungsquelle wird abgeklemmt => Ladung bleibt erhalten: Q = Q0 damit C U = C0 U 0 => U =
3 U 0 und Q = C0 U 0 1 + 2 εr
Aufgabe E1.2 (Tauchsieder) Mit einem Tauchsieder (Spannung U) wird Wasser (Masse m, spezifische Wärmekapazität cw) bei dem Wirkungsgrad η in der Zeit t von der Temperatur ϑ1 auf die Temperatur ϑ2 erwärmt. Welchen Widerstand R hat das System der Heizdrähte?
Gegebene Größen:
U = 220 V, η = 0.8, cw = 4.19
kJ , m = 3 kg, t = 15 min , ϑ1 = 10 °C, ϑ2 = 100 °C kg K
Lösung zu Aufgabe E1.2 Es gilt:
R=
U P U2 und I = => R = I U P
Ermittlung der Leistung P: Wärme Q = η P t = m cw (ϑ2 − ϑ1 ) => P =
m cw (ϑ2 − ϑ1 ) ηt
ηtU2 => Widerstand: R = = 31 Ω m cw (ϑ2 − ϑ1 )
Aufgabe E1.7 (Vorwiderstand) Eine Glühlampe (Spannung UL, Leistung PL) soll mit Hilfe eines Vorwiderstandes an eine Netzspannung UN > UL angeschlossen werden. a) Man bestimme die zulässige Stromstärke I! b) Welcher Widerstand Rv muss vorgeschaltet werden? c) Welche Leistung Pv wird am Widerstand verbraucht? d) Wie groß ist die im Vorwiderstand je Sekunde entstehende Wärme Qv? e) Der Strom soll mit einem Strommesser (Vollausschlag IA < I, Innenwiderstand
RA) gemessen werden. Wie groß darf der dem Messinstrument parallel zu schaltende Widerstand Rp höchstens sein? Gegebene Größen: U L = 24 V , PL = 30 W , U N = 220 V , I A = 0.1 A , R A = 5 Ω
Lösung zu Aufgabe E1.7 zu a) Stromstärke:
I=
Rv
RL
PL = 1.25 A UL
zu b) Vorwiderstand:
Rv =
U v U N − U L (U N − U L ) U L = = = 157 Ω I I PL
UN
zu c) verbrauchte Leistung:
Pv = I U v = PL
UN −UL = 245 W UL
=> extrem große Verlustleistung, daher nicht dieses Experiment zu Hause machen!! zu d) dabei entstehende Wärme:
Qv = Pv t = 245 J zu e) Anpassung des Messinstruments mittels Stromteilerregel:
Rp RA
=
IA Ip
IA
I
mit dem Strom parallel zum Instrument:
Ip
I p = I −UA => parallel zu schaltender Widerstand:
R p = RA
IA = 0.435 Ω I − IA
Rp
