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Tutorium zur Einf¨ uhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die induktive Statistik Elisabeth Kr¨ atzschmar
Blatt 4 SS 2015
Aufgabe 16 ¨ In Aufgabe 13 (Ubungsblatt 3) wurde die Zufallsvariable X betrachtet, welche die Anzahl der Fehler, die w¨ahrend 12 Stunden an einem Digitalcomputer auftreten, beschreibt. (a) Welche Verteilung hat unter den gleichen Voraussetzungen die Zufallsvariable Y =Wartezeit auf den n¨achsten Fehler? (b) Wie lange wird man im Mittel auf den n¨achsten Fehler warten? (c) W¨ahrend 12 Stunden ist kein Fehler aufgetreten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in den n¨achsten 12 Stunden ebenfalls kein Fehler ereignet?
Aufgabe 17 Von einer stetigen Zufallsvariable X, die von einem Parameter θ ∈ [− 21 , 12 ] abh¨angt, sei die Verteilungsfunktion gegeben f¨ ur x < −2 0 1 1 2 (x + 2) + 8 θ(x − 4) f¨ ur −2 ≤ x ≤ 2 F (x) = 4 1 f¨ ur −2 < x (a) Wie lautet die Dichte f (x) von X? (b) Welche Verteilung liegt f¨ ur θ = 0 vor? (c) Berechnen Sie den Erwartungswert von X in Abh¨angigkeit von θ.
Aufgabe 18 Das statistische Bundesamt h¨alt f¨ ur die Wachstumsrate des Bruttosozialproduktes X alle Werte 2 ≤ x ≤ 3 prinzipiell f¨ ur m¨oglich und unterstellt f¨ ur ihre Analyse folgende Funktion c · (x − 2), 2 ≤ x ≤ 3 f (x) = 0, sonst. (a) Bestimmen Sie c derart, dass obige Funktion die Dichtefunktion der Zufallsvariablen X ist. (b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. (c) Berechnen Sie P (2.1 < X) und P (2.1 < X < 2.8). (d) Berechnen Sie P (−4 ≤ X ≤ 3|X ≤ 2.1) und zeigen Sie, dass die Ereignisse {−4 ≤ X ≤ 3} und {X ≤ 2.1} stochastisch unabh¨angig sind. (e) Bestimmen Sie den Erwartungswert, den Median und die Varianz.
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Aufgabe 19 Die Erlang-n-Verteilung wird h¨aufig zur Modellierung von Einkommensverteilungen verwendet. Sie ergibt sich als Summe von n unabh¨angigen mit Parameter λ exponentialverteilten Zufallsgr¨oßen. Beispielsweise hat f¨ ur n = 2 die Dichte die Form 2 −λx λ xe , x ≥ 0 f (x) = 0, sonst. (a) Zeigen Sie, dass f (x) tats¨achlich eine Dichtefunktion ist. (b) Zeigen Sie, dass F (x) =
0, x < 0 1 − e−λx (1 + λx), x ≥ 0
die zugeh¨orige Verteilungsfunktion ist. (c) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz dieser Verteilung f¨ ur beliebige n ∈ N und λ ∈ R+
Aufgabe 20 Die t¨aglichen Ver¨anderungen des Kurses der GNB seien normalverteilt mit µ = 0 und Varianz 3. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit betr¨agt die absolute t¨agliche Ver¨anderung des Kurses h¨ochstens 1$? (b) Gehen Sie davon aus, dass das Wertpapier mit einem Kurs von 2$ gestartet ist und dass die t¨aglichen Ver¨anderungen unabh¨angige Zufallsvariablen X1 , X2 , ... mit der gleichen Verteilung N(0,3) sind. (i) Welche Verteilung hat die Zufallsvariable Y =“Kurs des Wertpapiers nach 10 Tagen”? (ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Kurs an vier aufeinanderfolgenden Tagen um jeweils mindestens 0.5$ f¨allt. (c) Es sei Z die Anzahl der Werktage einer Woche, an denen der Kurs des Wertpapieres f¨allt. (i) Welche Verteilung hat Z? (ii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb einer Woche der Kurs h¨aufiger steigt als f¨allt?
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