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Physik V WS 2009/10
Name: Gruppe: Abgabe: Do / Fr 6. / 7. 1. 2010
¨ Ubungsblatt 9 9.1 Reziprokes Gitter(30 Punkte) a) Nebenstehend ist ein fcc-Gitter mit der Gitterkonstante 𝑎0 (Abstand u ¨bern¨ achster Nachbarn) mit den fundamentalen Translationsvektoren (oft auch Basisvektoren genannt) 𝑎⃗𝑖 des zugeh¨origen primitiven Gitters gezeigt. Zeichnen Sie die primitive Elementarzelle vollst¨andig in die Abbildung ein.
b) Berechnen Sie aus 𝑎⃗1 , 𝑎⃗2 und 𝑎⃗3 die fundamentalen Translationsvektoren der primitiven Elementarzelle des zum fcc-Gitter reziproken Gitters. c) Zeigen Sie (z.b. durch geeignete Addition der Basisvektoren) dass das zu einem fcc-Gitter reziproke Gitter ein bcc-Gitter ist. 9.2 Streuung (40 Punkte) a) Die Tatsache, dass die primitive Elementarzelle von Kupfer einatomig ist f¨ uhrt, wenn man an deren Statt zur Interpretation von R¨ontgenstreudaten die kubisch fl¨achenzentrierte Elementarzelle mit zweiatomiger Basis ben¨ utzt, dazu dass einige der f¨ ur ein fcc-Gitter erwarteten Reflexe nicht auftreten. F¨ ur welche ℎ𝑘𝑙 verschwinden f¨ ur Kupfer (fcc, Gitterkonstante 𝑎) die Beugungsintensit¨aten? Benutzen Sie f¨ ur die Berechnung des Strukturfaktors 𝒮ℎ𝑘𝑙 eine kubische Elementarzelle mit vier⃗ ℎ𝑘𝑙 = (2𝜋/𝑎)(ℎ, 𝑘, 𝑙) f¨ atomiger Basis (reziproker Gittervektor 𝐺 ur ein einfach kubisches Gitter!), bei der alle Atome den gleichen Formfaktor 𝑓𝐶𝑢 haben. ⃗ ℎ𝑘𝑙 unterb) Welches sind die vier k¨ urzesten beobachtbaren reziproken Gittervektoren 𝐺 schiedlicher L¨ ange? Geben Sie deren L¨ange an (in Einheiten von 2𝜋/𝑎). c) In der nachfolgenden Abbildung ist eine Debye-Scherrer-Aufnahme von Kupferpulver dargestellt. Berechnen Sie die Gitterkonstante von Kupfer mit Hilfe einer graphischen Auswertung dieser Abbildung. Hinweis: Die Anordnung des R¨ ontgenfilms in der Messkammer sehen sie z.B. in der Materialiensammlung zur Vorlesung Woche 9, Fig. 2.7.
Debye-Scherrer Aufnahme. Der R¨ ontgenstrahl tritt durch das rechte Loch im Film in die Messkammer ein und tritt durch das linke Loch wieder aus.
9.3 Ewald-Kugel (30 Punkte) AuMg hat die CsCl-Struktur mit der Basis ⃗𝑟Au = (0, 0, 0), ⃗𝑟Mg = 𝑎2 (1, 1, 1) und einer Gitterkonstante von 3,266 ˚ A. F¨ ur die folgenden Rechnungen gen¨ ugt es, die einfach kubische (sc) Struktur anzunehmen ohne Ber¨ ucksichtigung der Basis (warum?). a) In einem Beugungsexperiment f¨ allt die Strahlung in [1 ¯1 0]-Richtung ein. Berechnen Sie die Wellenl¨ange und den Ablenkwinkel 2𝜗 f¨ ur die Beobachtung des (¯2 ¯1 0)-Peaks. b) Der (1¯ 1¯ 0)-Peak soll mit derselben Wellenl¨ange beobachtet werden. Zeigen Sie graphisch in einer maßst¨ablichen Zeichnung mit Hilfe der Ewald-Kugel-Konstruktion, in welcher Weise der Einfallswinkel und die Detektorposition zu ¨andern sind.
Weiterf¨ uhrende Fragen ∙ Was ist ein reziprokes Gitter? ∙ Wie kann die Kristallstruktur direkt gemessen werden? ∙ Warum hat das Diamantgitter f¨ ur Kohlenstoff eine primitive Elemtarzelle mit zweiatomiger Basis? ∙ Welche Informationen stecken in der Streuintensit¨at und welche fehlen?
