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Statistik 2 HTW des Saarlandes
- Sommersemester 2015 -
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¨ 2. Ubung zur Vorlesung Statistik 2 Aufgabe 1 Welche der folgenden grafischen Darstellungen und Tabellen zeigen keine (Einzel-)Wahrscheinlichkeitsverteilung? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begru ¨nden Sie ihre Antwort!
Aufgabe 2 Welche der folgenden Funktionen ist keine Dichtefunktion? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begru ¨nden Sie ihre Antwort! ( 3. f (x) = −x2 + 2 0, falls x ≤ 0, 1. f (x) = e−x , falls x > 0 2.
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Aufgabe 3 Welche der folgenden Funktionen ist keine Verteilungsfunktion? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begru ¨nden Sie ihre Antwort! ( 4. F (x) = 1 − e−|x| 0, falls x ≤ 0, 1. F (x) = (1 + e−x ), falls x > 0 5. ( 0, falls x < 0, 2. F (x) = −x (1 − e ), falls x ≥ 0 3.
Aufgabe 4 In einem Lieferung von 10 Motorteilen befinden sich 3 defekte Teile. Zur Qualit¨ atskontrolle werden nacheinander 4 Teile gezogen, ohne sie nach der Ziehung wieder ins die Lieferung zur¨ uck zu legen. Sei X die Anzahl der unter diesen 4 gezogenenen Teilen vorhandenen defekten Teile. 1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgr¨ oße X, d.h. po = P (X = 0), p1 = P (X = 1), p2 = P (X = 2) und p3 = P (X = 3). 2. Berechnen Sie den Erwartungswert E(X), die Varianz V ar(X) und das obere Quartil x0.75 . Aufgabe 5 Die zuf¨ allige Zeit X, die ein ICE in Saarbr¨ ucken versp¨ atet eintrifft, liegt zwischen 0 und 100 Minuten. Die Dichtefunktion ist in folgender Skizze gegeben.
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Berechnen Sie 1. die Dichtefunktion von X. 2. die Verteilungsfunktion von X. 3. den Anteil der F¨ allen, in denen die Versp¨ atung eine halbe Stunde u ¨berschreitet. Stellen Sie diesen Anteil grafisch dar! 4. die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass der ICE sich mehr als 1 Stunde versp¨ atet, wenn man bereits eine halbe Stunde (Versp¨ atung) auf den ICE gewartet hat. 5. Welche Versp¨ atungszeit wird in 70% aller F¨ alle u ¨berschritten? 6. Wie groß ist die Versp¨ atung im Mittel? Aufgabe 6 Die zuf¨ allige Lebensdauer X eines Handyakkus (in Jahren) hat folgende Dichtefunktion: −6 x2 + 6 x , 0 ≤ x ≤ 5 fX (x) = 125 25 0 , sonst a) Zeigen Sie, dass fX (x) eine Dichtefunktion ist. b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion FX (x) von X. c) Wie groß ist die durchschnittliche Lebensdauer der Handyakkus? d) Wieviel Prozent der Akkus leben l¨ anger als 2 Jahre? e) Berechnen Sie den Anteil der Handyakkus, die l¨ anger als 3 Jahre leben, wenn sie bereits 2 Jahre u ¨berlebt haben. Aufgabe 7 Gegeben ist eine stetige Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion: ( 0 ,x ≤ 1 f (x) = −2 1−x , sonst 1. Berechnen Sie die Dichtefunktion. 2. Berechnen Sie den Erwartungswert. 3. Berechnen Sie P (1, 5 ≤ x ≤ 2, 25). 4. Berechnen Sie P (x ≤ 3, 5|x ≤ 1, 5). 5. Berechnen Sie das 0,25-Quantil.
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Aufgabe 8 Die Anzahl der zerfallenen Atomkerne bei radioktiven Zerfall ist poissonverteilt. Im Mittel zerfallen bei einem bestimmten Pr¨ aparat 150 Atomkerne pro Minute. 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass h¨ ochstens 3 Kerne pro Sekunde zerfallen? 2. Wie groß ist die Zeit zwischen dem Zerfall von 2 Atomkernen im Durchschnitt? 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass die Zeit zwischen dem Zerfall von 2 Kernen mindestens 5 Sekunden betr¨ agt? Aufgabe 9 Die Zeit, die ein elektronisches Bauteil ohne St¨ orung l¨ auft, ist exponentialverteilt mit dem Parameter α = 0.03. 1. Wieviel % aller Bauteile arbeiten mehr als 40 Tage st¨ orungsfre? 2. Welche st¨ orungsfreie Zeit u ¨berschreiten 80% aller Bauteile nicht? 3. Wie lange arbeiten die Bauteile im Durchschnitt st¨ orungsfrei? Aufgabe 10 ¨ Bei der Ubertragung von elektronischen Signalen wird ein Signal mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0.1 fehlerhaft u ¨bertragen. Eine Nachricht besteht aus 8 Signalen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass: a) genau das 2. Signal fehlerhaft u ¨bertragen wird. b) genau eines der Signale fehlerhaft u ¨bertragen wird. c) genau das zweite und das f¨ unfte Signal fehlerhaft u ¨bertragen wird. d) genau zwei Signale fehlerhaft u ¨bertragen werden. e) h¨ ochstens ein Signal fehlerhaft u ¨bertragen wird. Aufgabe 11 Die durchschnittliche Niederschlagsmenge (Regenmenge) pro Monat in Deutschland ist normalverteilt um 58 Liter pro Quadratmeter: X ∼ N (58, (20)2 ). 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Moment mehr als 70 Liter pro Quadratmeter regnet? 2. Berechnen Sie den Toleranzbereich ( [58 − , 58 + ]) um 58 mm herum, d.h. das , in dem in 99% aller F¨ alle die Niederschlagsmenge im Monat liegen.
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Aufgabe 12 ¨ Die zuf¨ allige Ubertragungszeit T von Bildsignalen durch einen Kanal K sei normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 50 ms und der Varianz σ 2 = 4ms2 , d.h. es gelte T ∼ N (50, 4). Signal
K
Empfänger
¨ a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass die Ubertragungszeit genau 42 ms dauert? ¨ b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Ubertragungszeit zwischen 42 und 53 ms? c) Geben Sie einen symmetrischen Bereich [50 − c, 50 + c] ms um die mittlere ¨ Ubertragungszeit an, in dem 90 % aller Zeiten liegen! ¨ d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit betr¨ agt die Ubertragungszeit eines Bildsignales mehr als 50ms? e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass bei 5 (stochastisch unab¨ ¨ h¨ angigen) Ubertragungen bei mindestens einer die Ubertragungszeit mehr als 50 ms betr¨ agt? ¨ f ) Wie viele Ubertragungen, die l¨ anger als 50ms dauern, w¨ urden Sie durch¨ schnittlich bei 100 stochastisch unabh¨ angigen Ubertragungen erwarten? g) Angenommen, Sie schalten 2 dieser Kan¨ ale in Reihe. Mit welcher Wahr¨ scheinlichkeit u dann 100 ms? ¨berschreitet die Gesamt-Ubertragungszeit Signal
K1
K2
Empfänger
Aufgabe 13 Eine Ger¨ at besteht aus 3 Bauelementen, wie in der Skizze dargestellt. Das Ger¨ at f¨ allt aus, wenn beide Reihen ausfallen. Eine Reihe f¨ allt aus, wenn mindestens eines der in Reihe geschalteten Elemente ausf¨ allt. Die zuf¨ allige Zeit Ti bis zum Ausfall eines Bauelements Bi ist wie folgt gegeben (alle Angaben in Stunden): • Bauelement B1 : T1 ∼ N (100, 1) • Bauelement B2 : Die Verteilung von T2 ist nicht vollst¨ andig bekannt. • Bauelement B3 : T3 ∼ E(0, 01) B1 f¨ allt unabh¨ angig von B3 aus, gleichfalls f¨ allt B2 unabh¨ angig von B3 aus (d.h. T1 und T2 sind stochastisch unabh¨ angig von T3 ). Die Ausfallwahrscheinlichkeit von B2 ist von der Lebensdauer von B1 abh¨ angig; es gilt: P (T2 < 100/T1 < 100) = 0, 99 und P (T2 < 100/T1 ≥ 100) = 0, 2. 5
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Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass die Lebensdauer des Ger¨ ates 100 Stunden nicht u ¨berschreitet !
Abgabe: Freitag, 31. Juli 2015 vor der Vorlesung
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