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Matrikelnummer: | | | | | | Name: Vorname: Übung: 07.30 Uhr oder 13.15 Uhr
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Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Aufgabenblatt 5
Prof. B. Kirstein Sommersemester 2015 Abgabe ausschließlich in der Vorlesung am Mittwoch Aufgabe 5.1. Seien n ∈ N sowie k ∈ {1, . . . , n}. Dann stelle man sich folgende Situation vor: Es werden n gleichartige Dinge (etwa Bücher) rein zufällig in einer Reihe aufgestellt. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit Pn (Ak,n ) des Ereignisses Ak,n , welches der Ereignisaussage „Es folgen k fixierte dieser n Dinge unmittelbar aufeinander, wobei es aber auf deren Reihenfolge untereinander nicht ankommt.“ entspricht? Aufgabe 5.2. Zeigen Sie: Sei n ∈ N und bezeichne Sn die Menge aller Permutationen der Menge {1, . . . , n} sowie Pn die diskrete Gleichverteilung auf (Sn , P(Sn )). (a) Sei k ∈ {1, . . . , n} und bezeichne Ak die Menge aller f ∈ Sn , für welche der Zyklus zu dem 1 gehört, die Länge k hat. Dann gilt Pn (Ak ) = 1/n. (b) Sei n ∈ N \ {1}. Es bezeichne Bn die Menge aller f ∈ Sn , für welche 1 und 2 zum selben Zyklus gehören. Dann gilt Pn (Bn ) = 1/2. Aufgabe 5.3. Zeigen Sie: Der berühmte polnische Mathematiker Stefan Banach (1892–1945) war ein leidenschaftlicher Raucher. In diesem Zusammenhang stelle man sich bei vorgegebenen n ∈ N und k ∈ {1, . . . , n} folgende Situation vor: (a) Banach führte ständig in jeder Hosentasche eine Streichholzschachtel mit sich, welche ursprünglich beide jeweils genau n Streichhölzer enthielten. Um eine Zigarette anzuzünden, bediente er sich gleichwahrscheinlich einer der beiden Schachteln. Es bezeichne An,k das Ereignis, welches der Ereignisaussage „Nachdem Banach das letzte Streichholz aus einer der beiden Schachteln aufgebraucht hat, befinden sich in der anderen noch genau k Streichhölzer.“ Dann berechnet sich dessen Wahrscheinlichkeit Pn,k (An,k ) 2n−k−1 gemäß Pn,k (An,k ) = 2n−k−1 /2 . n−1 (b) Weiterhin trug Banach stets ein Etui für 2n Zigaretten bei sich. Dieses füllte er mit jeweils n Zigaretten zweier verschiedener Marken in willkürlicher Reihenfolge und rauchte diese dann von der linken Seite beginnend in der durch das Etui vorgegebenen Reihenfolge. Es bezeichne Bn,k das Ereignis, welches der Ereignisaussage „In dem Moment, da die letzte Zigarette einer Marke geraucht wird, befinden sich noch genau k Zigaretten der anderen Marke 2n im Etui.“ Dann berechnet sich dessen Wahrscheinlichkeit P˜n (Bn,k ) gemäß P˜n (Bn,k ) = 2 2n−k−1 / n . n−1 Aufgabe 5.4. Man stelle sich folgende Situation vor: Zwei Personen X und Y verabreden sich an einem bestimmten Ort in der Zeit von 12.00 Uhr bis 13.00 Uhr. Dabei treffen sie folgende Vereinbarung: Der zuerst Gekommene wartet auf den anderen genau 20 Minuten. Danach geht er fort. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des der Ereignisaussage „X und Y treffen sich.“ entsprechenden Ereignisses A, wenn beide Personen in der betreffenden Stunde auf gut Glück ankommen und beide Ankunftszeiten voneinander unabhängig sind?
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