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Weihnachtsaufgaben Diese Aufgaben dienen dazu die in der Vorlesung und den Übungen eingeführten Begriffe zu verstehen und zu vertiefen, die Bearbeitung ist freiwillig. Das Blatt wurde von den Übungsleitern erstellt und ist nicht mit Herrn Drewitz abgesprochen! Insbesondere ist das keine Probeklausur und gibt auch keine Informationen über die Aufgaben/Inhalt der Klausur oder deren Schwierigkeitsgrad! Geht bitte davon aus, dass die Klausuraufgaben im Zweifel eher ein bisschen schwerer werden! Wir wünschen frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr, in dem wir uns dann hoffentlich gut erholt in den Übungen sehen! Aufgabe 1 (Urnenmodelle). a) Welche Urnenmodelle gibt es? Stelle zu jedem Modell ein konkretes Beispiel auf, welches durch dieses Modell beschrieben wird. b) Auf einem Konzert geben n Leute ihren Regenschirm an der Garderobe ab. Am Ende werden die Regenschirme zufällig wieder ausgegeben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt mindestens eine Person ihren Regenschirm wieder? (i) Stelle den Wahrscheinlichkeitsraum Ω auf und beschreiben ein ω ∈ Ω mit eigenen Worten im Sachzusammenhang. (ii) Berechne die Wahrscheinlichkeit A =mindestens eine Person bekommt ihren Schirm zurück. Tipp: Inklusion-Exklusionsformel. Aufgabe 2 (Bedingte Wahrscheinlichkeiten). a) Du fliegst vom Flughafen Köln/Bonn nach Los Angeles, wobei du in New York umsteigst. In Köln/Bonn werde ein Koffer mit Wahrscheinlichkeit q1 nicht in das richtige Flugzeug verladen, in New York sei dies mit Wahrscheinlichkeit q2 der Fall. (i) Modelliere das Zufallsexperiment und erkläre ein ω ∈ Ω mit eigenen Worten. (ii) In LA stellst du fest, dass dein Koffer nicht angekommen ist. Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit denen dein Koffer in Köln/Bonn bzw. in New York fehlgeleitet wurde. b) In einem Medikamententest wird an kranke Patienten je eine Packung Tabletten abgegeben. 50% der Patienten erhalten Medikament A, 40% Medikament B und 10% Medikament C. Hersteller A behauptet, dass 90% der
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Patienten innerhalb einer Woche gesund werden, Hersteller B 95% und Hersteller C 97%. Angenommen diese Aussagen sind richtig. Nun kommt ein Patient nach einer Woche wieder zum Arzt und ist immer noch krank. (i) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Patient Medikament A,B bzw. C bekommen hat? (ii) Der Arzt kann zweifelsfrei feststellen, dass der Patient NICHT Medikament A erhalten hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat der Patient Medikament B bekommen? (iii) Die Ehefrau des Patienten, die mittlerweile gesund ist, hat ein Medikament des selben Herstellers B bzw. C, wie ihr Mann, bekommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er Medikament B bekommen, wenn wir annehmen, dass der Genesungserfolg der Eheleute unabhängig voneinander ist? Aufgabe 3 (Zufallsvariablen). a) Skizziere kurz, was die Aufgabe einer Zufallsvariablen ist. b) Die Funktion Ω → R; ω 7→ X 2 (ω) sei eine Zufallsvariable auf (Ω, F, P ). Sind die Funktionen (i) X(ω) (ii) |X(ω)| auch Zufallsvariablen? c) Ist die folgende Funktion eine Verteilungsfunktion? F (x) =
1 3 + arctan(x) 4 2π
. d) Eine Zufallsvariable X hat die Dichte f (x) = ae−λ|x| , λ > 0. (i) Bestimme den Parameter a, so dass f (x) Dichtefunktion ist. (ii) Bestimme die Verteilungsfunktion von X.
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Aufgabe 4 (Unabhängigkeit). a) Was bedeutet es, wenn zwei Zufallsvariablen unabhängig sind? Was bedeutet es, wenn zwei Zufallsvariablen unkorreliert sind? b) Es sei (X, Y ) ein Zufallsvektor mit stetiger Verteilung und Dichte f (x, y) =
1, π 0,
f alls x2 + y 2 ≤ 1 sonst
(i) Bestimme die Dichte fX von X, sowie den Erwartungswert von X. Hinweis: Ist (X, Y ) ein 2-dim Zufallsvektor mit gegebener gemeinsamen Verteilung (erinnert euch an die Übung mit den Faltungen), dann berechnet man die sogenannte Randverteilung von X durch: P (X ≤ x) = P (X ≤ x, Y ∈ R). (ii) Bestimme für r ∈ [0, 1] die Wahrscheinlichkeit, dass X 2 + Y 2 ≤ r. (iii) Bestimme die Dichte der Zufallsvariablen Z = X 2 + Y 2 . (iv) Sind X und Y unabhängig? Aufgabe 5 (Erwartungswert, Varianz). a) Erläutere anhand eines Spiels den Erwartungswert, in dem man mit WahrP scheinlichkeit pi ni Geldeinheiten gewinnt, wobei ni=1 pi = 1 und ni ∈ Z. b) Für α > 0 sei X eine reelle Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte αx−α−1 ,
f (x) =
0,
x≥1 sonst
. (i) Bestimme die Verteilungsfunktion von X. (ii) Bestimme für welche α der Erwartungswert E(X) existiert und gib diese gegebenenfalls an. (iii) Untersuche für welche α die Varianz V ar(X) existiert und gib diese gegebenenfalls an.
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Aufgabe 6 (Erzeugenden Funktion). Sei Ω = N\{1}, P ({n}) = (n = 2, 3, . . . ) und X eine Zufallsvariable mit P ◦ X −1 = P .
1 n(n−1)
für
a) Zeige, dass P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf P (Ω) definiert. b) Bestimme einen geschlossenen Ausdruck für die erzeugenden Funktion. c) Existieren E(X) und V ar(X)? Wenn ja, berechne diese. Aufgabe 7 (Erwartungswert, Varianz, Kovarianz). a) Schreibe alle ’Rechenregeln’ zu E(X), V ar(X) und Cov(X, Y ) auf, die dir SOFORT einfallen. b) Vergleiche diese mit den Rechenregeln aus dem Skript. c) Alle Eigenschaften, die im Skript und NICHT von dir gerade aufgeschrieben wurden, sind in der Klausur zu können, sonst gibt es Ärger! (Zitat Lukas) Aufgabe 8 (Gesetz der großen Zahlen). 1. Erläutere anhand eines ’unendlich oft’ wiederholenden Münzwurfes, d.h. (Xn )n∈N ist eine Folge iid. Ber( 21 )-Zufallsvariable, das starke Gesetz der großen Zahlen. D.h. n 1X 1 P (n→∞ lim Xi = ) = 1 n i=1 2
2. Sei (Xn )n∈N eine Folge unabhängiger, U ni[1, e]-verteilter Zufallsvariablen auf (Ω, F, P ). Konvergiert Zn = (
n Y
1
Xi ) n
i=1
nach Wahrscheinlichkeit? Wenn ja, wie sieht der stochastische Limes aus? Aufgabe 9. Sei (Xn )n∈N eine Folge von Zufallsvariablen mit E(Xn ) = µ und V ar(Xn ) = σ 2 . P Sei Sn = nk=1 Xk . Zeige: P (Sn ≥ µ) ≤ 1 +
log(n) . log(µ + 1)
Tipp: Markov-Ungleichung auf log(x + 1) anwenden.
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Aufgabe 10. Die Dreiecksverteilung Da,b,m ist eine reelle Verteilung mit einer stetigen Dichtefunktion der Form
f (x) =
c x−a , m−a b−x c b−m , 0,
x ∈ [a, m] x ∈ [m, b], sonst
wobei a < m < b ∈ R. a) Bestimme c so, dass die Dichtefunktion f (x) tatsächlich eine Dichte ist. b) Gib die Verteilungsfunktion von Da,b,m allgemein an. c) Sei X Dreiecksverteilt. Zeige, dass für alle ε > 0 gilt P
X
(a − b)2 + (b − m)2 + (a − m)2 a + b + m > ε ≤ − . 3 36ε2 !
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