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Physik II im Studiengang Elektrotechnik
- Wellen -
Prof. Dr. Ulrich Hahn SS 2008
Eigenschaften von Wellen Kette gekoppelter Oszillatoren:
Auslenkung eines Oszillators Nachbarn folgen mit zeitlicher Verzögerung Anregungszentrum
zeitlich variable Auslenkung eines Mediums an definiertem Ort
räumliche Ausbreitung Auslenkungsprofil wandert durch das Medium mit bestimmter Geschwindigkeit Energietransport Medium:
ohne Materietransport
räumliche Anordnung gekoppelter Oszillatoren Kopplungsstärke Ausbreitungsgeschwindigkeit
Oszillatoren nicht nicht separierbar: kontinuierliche Medien Wellen
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Beispiele von Wellen Mechanik:
Festkörper Seil, Feder Platte 3 dim. Körper Flüssigkeiten Gase
Elektrodynamik: Vakuum, Nichtleiter Leiter Atome, Kerne: Wellen
Oberflächenwellen Druckwellen Oberflächenwellen Druckwellen Druckwellen elektromagnetische Wellen Strom-, Spannungs-, Ladungswellen
Ladungsverteilung im Raum Aufenthaltswahrscheinlichkeit 3
was beeinflußt die Wellenausbreitung? Welle:
zeitlicher Verlauf Anregungszentrum
Geometrie
räumliche Verteilung Medium
Anregungszentrum - Medium
ebene Wellen Zylinderwellen Kugelwellen
Richtungen von Auslenkung & Ausbreitung Transversalwellen Longitudinalwellen Mischformen Dämpfung im Medium Dispersion im Medium Wellen
Auslenkung ⊥ Ausbreitung Auslenkung // Ausbreitung
Deformation der räumlichen Verteilung 4
Ausbreitung eindimensionaler Wellen keine Dämpfung, keine Dispersion zeitlicher Verlauf der Auslenkung eines Punktes xi im Medium: phasenverschoben zum Anregungszentrum x0 nacheilend s (t , xi ) = s (t − ∆t , x0 ) räumlicher Verlauf der Auslenkung zu verschiedenen Zeiten tj: s (t j , x ) = s (t0 , x − ∆x) verschoben in Ausbreitungsrichtung s
x1
x
t1
t
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Ausbreitung eindimensionaler Wellen Welle Ausbreitung eines räumlichen Auslenkungsmusters Muster zum Zeitpunkt t = 0: s ( x, t = 0) := f ( x) t > 0: s ( x, t ) := f ( x − c ⋅ t )
Welle in x-Richtung: c > 0 gegen x-Richtg: c < 0
c: Phasengeschwindigkeit alle Auslenkungszustände f(x) breiten sich im Medium mit c aus ein Punkt von f(x) beschreibt auch die Wellenausbreitung
Wellenfront alle Punkte im Medium: gleiche Bewegung wie Anregungszentrum jeder Punkt: Anregungszentrum für weitere Ausbreitung Anregungszentrum x = 0: x > 0: Wellen
s ( x = 0, t ) := g (t )
Schwingung
s ( x, t ) := g (t − x / c) 6
harmonische Wellen Anregungszentrum schwingt harmonisch: g (t ) = sˆ ⋅ cos ωt
ω x*) Oszillator am Ort x*: t t – x*/c c s(x,t) periodisch am Ort x* für die Zeitintervalle ωT = 2π ω Welle auf dem Medium zum Zeitpunkt t*: s ( x, t*) = sˆ ⋅ cos(− x + ωt*) c ω s(x,t) periodisch zur Zeit t* für die Ortsintervalle λ = 2π c s ( x*, t ) = sˆ ⋅ cos(ωt −
λ : Wellenlä Wellenlänge
2π/λ := k : Wellenzahl
⇒ s ( x, t*) = sˆ ⋅ cos k ( x − c ⋅ t*) andere Zeiten t*:
t = 0 : s ( x,0) := f ( x) = sˆ ⋅ cos kx
x x – c t*
Ausbreitung harmonischer Wellen: s ( x, t ) = sˆ ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ x) andere Wellen: Fourieranalyse Wellen
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Ausbreitungsgeschwindigkeit ∆s
transversale Seilwelle: Wellenprofil Kreissegment ϑ=
∆s r
r Fl
r ϑ
r Fr
r r r r ϑ rücktreibende Kraft: FRück = Fl + Fr = 2 | F | sin 2
Kreisbogen stabil ⇔ rücktreibende Kraft = Zentripetalkraft r c² ϑ m∆s = 2 | F | sin r 2
σ c= ρ
σ: Seilspannung F/Seilquerschnittsfläche Kopplung der Oszillatoren ρ: Dichte des Seilmaterials Trägheit der Oszillatoren
istnur nurabhängig abhängigvon vonKenngrößen Kenngrößendes desMediums Mediums ccist Wellen
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Ausbreitungsgeschwindigkeit Ausbreitung von Wellen im Medium Wellengleichung ∂s ( x, t ) ∂s ( x, t ) = c² ∂t ² ∂x ²
Mechanik: Elektrodynamik:
Kräfte Felder
Ausbreitungsgeschwindigkeiten unterschiedlicher Medien: Longitudinalwellen (Gas)
c =
Longitudinalw. (Flüss.)
c =
Longitudinalw. (Stab)
c =
elektromagnet. Welle
c =
c =
Wellen
elektromagnet. Welle (2-Draht)
κ⋅P ρ K ρ E ρ 1 µ ⋅ε
P: mittlerer Druck κ: Adiabatenexponent
1 C /l⋅L /l
C/l: Kapazitätsbelag L/l: Induktivitätsbelag
K: Kompressionsmodul ρ: Dichte E: Elastizitätsmodul ρ: Dichte µ: Permeabilität ε: Permittivität
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Energietransport Welle breitet sich im Medium aus: t =0
s
Zone mit Epot ≠ 0 wandert
Energietransport
t=τ x
| ℓ |
Energiestrom: dE c P= = EWelle dt l
kontinuierliche räumliche Medien: jeder Punkt Energiedichte w EWelle = wWelleVWelle
⇒ P = wWelle ⋅ c ⋅ AMedium
P = IWelle ⋅ AMedium
Intensitä Intensität harmonische Seilwelle: EOsz Wellen
mOsz = ω² sˆ² 2
Energiestromdichte [W/m²]
1 I = ω² sˆ² ρσ 2 10
Wellenwiderstand elektromagnetische Wellen im 2-Draht: Energie eines Schwingkreises: E = 1 LSK iˆ² = 1 CSK uˆ ² 2 2 Energiestrom: 1 ˆ 11 Wellenwiderstand 1 L ˆ L ⇒ P = Z ⋅i ² = ⋅ uˆ ² P= ⋅ i ² mit := Z der Leitung 2 2Z 2 C C elektromagnetische Wellen im Raum:
Z
1 µ r µ 0 rˆ I= |H |² 2 εr ε0 Seilwelle: Wellen
L≙m
1/Z
1 r r r r w = ( E • D + H • B) 2
1 ε r ε 0 rˆ I= |E|² 2 µrµ0
ZVakuum = 377 Ω
1 ˆ 1 ⇒ Li ² =ˆ mvˆ ² 2 2
⇒ iˆ² =ˆ vˆ ²
1 ⇒I = ρσ ⋅ vˆ ² 2
Z Seil = ρσ = ρc
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Reflexion von Wellen was passiert am Ende des Mediums? „loses“ Ende:
Reflexion
Grenzoszillator kann ungehindert schwingen
Profil der reflektierten Welle bleibt
Grenzoszillator: keine Kopplung an Grenze
„festes“ Ende: Grenzoszillator kann nicht schwingen
Profil der reflektierten Welle wird invertiert
Grenzoszillator: starre Kopplung an Grenze Wellen
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Reflexion von Wellen was passiert der Grenze zwischen 2 Medien? Transmission c1 > c2:
Reflexion Kopplung im Medium 1 stärker als im Medium 2 loses Ende
Reflexion ohne Inversion c1 < c2:
Kopplung im Medium 2 stärker als im Medium 1 festes Ende
Reflexion mit Inversion sprunghafte Änderung von c: kontinuierliche Änderung von c: Wellen
Transmission & Reflexion Transmission 13
Energieaufteilung an der Grenze Energiesatz:
Eein = Erefl . + Etransm.
⇒ I ein = I refl . + I transm.
einlaufende und reflektierte Welle: Medium 1 transmittierte Welle: Medium 2
c1, Z1 c2 , Z 2
elektromagnetische Welle auf Zweidraht: 1 1 1 2 2 2 ⇒ Z1 ⋅ iˆein = Z1 ⋅ iˆrefl + Z 2 ⋅ iˆtrans 2 2 2 iˆein + iˆrefl = iˆtrans Kirchhoffsche Regel an der Grenze: Reflexionsgrad
Wellen
I refl Z − Z2 R := =( 1 )² I ein Z1 + Z 2
I trans 2 Z1 =( )² Transmissionsgrad T := I ein Z1 + Z 2
FresnelFresnelFormeln 14
Energieaufteilung an der Grenze Grenzfälle: Medium 1: loses Ende
≙ c2 = 0 => Z2 = 0
⇒ iˆrefl = iˆein
Medium 1: festes Ende
≙ c2 → ∞, Z2 → ∞
⇒ iˆrefl = −iˆein
Medium 1: Abschluß mit Z1
„Wellensumpf“ Wellensumpf“
Wellen
≙ Z2 = Z1
⇒ iˆrefl = 0
Abschluß von HF-Kabeln
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Transversalwellen
Wellen
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Longitudinalwellen
Wellen
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Wasserwellen
Wellen
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