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Einfache Physik des Golfballs Stefan Hippler, 24.8.2006 Update: 3.11.2015
Frage: wie schnell fliegt ein Golfball?
Wenn der Ball ruht gelten (kinetische) Energie- und Impulserhaltungssatz. Also gilt: p = mS · v0 (1) und
1 mS · v02 (2) 2 Hierbei sind mS die Masse des Golfschl¨agers und v0 die Geschwindigkeit des Golfschl¨ agers im Treffmoment. E ist die kinetische Energie des Schl¨agers und p sein Impuls. Nachdem der Ball getroffen wurde, gelten genau so (kinetische) Energie- und Impulserhaltungssatz. Also: E=
p = mS · vS + mB · vB
(3)
und
1 1 2 mS · vS2 + mB · vB (4) 2 2 Hinzu gekommen ist der Impuls des Golfballs der Masse mB und Geschwindigkeit vB . Die gesamte kinetische Energie E ist nach dem Treffmoment aufgeteilt 2 und des Schl¨agers 1/2mS vS2 , in die kinetische Energie des Golfballs 1/2mB vB der jetzt eine geringere Geschwindigkeit vS besitzt (also vS < v0 ). E=
Jetzt kann man die Gleichungen 1 und 3 zusammen fassen zu: mS · v0 = mS · vS + mB · vB
(5)
Das gleiche mit den Gleichungen 2 und 4 ergibt: 1 1 1 2 mS · v02 = mS · vS2 + mB · vB 2 2 2
(6)
Gleichung 5 nach vS aufgel¨ost ergibt: vS =
m S · v0 − m B · vB mS
(7)
Jetzt kann vS aus Gleichung 7 in Gleichung 6 eingesetzt werden. 1 1 mS · v0 − mB · vB 2 1 2 mS · v02 = mS · ( ) + m B · vB 2 2 mS 2 1
(8)
Mit ein bisschen umformen und nicht vergessen, dass (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 gilt, erh¨ alt man aus Gleichung 8: vB =
2 · mS · v0 (mB + mS )
(9)
Zum guten Schluss ein paar Zahlen. Der Golfball wiegt maximal mB = 46 g. Ein Driver-Kopf ca. mS = 200 g. Jetzt noch bei Tiger Woods nachsehen wie hoch bei ihm die Schl¨ agerkopfgeschwindigkeiten v0 sind, z.B. v0 = 130 mph = 210 km/h, und schon kann die Geschwindigkeit des Golfballs ausgerechnet werden: vB = 341 km/h. Da sich der Ball beispielsweise verformt und auch noch andere Faktoren eine Rolle spielen, ist das glaube ich die maximale Golfball-Geschwindigkeit, die real m¨ oglich ist. Ist die Golfballmasse vernachl¨assigbar gegen die Schl¨agerkopfmasse, ergibt sich die theoretisch maximale Golfball-Geschwindigkeit zu: v B = 2 · v0
(10)
N¨ achste Frage: wie weit fliegt ein Golfball?
Um diese Frage zu beantworten ist etwas mehr Mathematik n¨otig, oder ein Blick in die Wikipedia zum Artikel Wurfparabel. Dort wird die maximale Reichweite vom Boden mit v2 (11) Rmax = 0 · sin 2β g angegeben. g bezeichnet die Erdbeschleunigung, β den Wurfwinkel zur Horizontalen hin. Die Sinusfunktion wird maximal f¨ ur β = 45 Grad, also sin (2 · 45) = 1. Die Reichweite ist also direkt proportional zu g1 , und beispielsweise auf dem Mond bei gleicher Geschwindigkeit v0 etwa 6 mal so weit (gErde = 9.81m/s2 , gM ond = 1.66m/s2 ). Dies gilt allerdings nur wenn die Erdatmosphre ignoriert wird. Wird die Erdatmosph¨are ber¨ ucksichtigt, ergibt sich ein optimaler Startwinkel β von ca. 20 Grad und die Parabelflugbahn knickt nach ihrem Maximum schnell ab, das heißt, der Ball f¨allt fast senkrecht zu Boden.
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